浙江省温州市高二上学期期末考试数学试题 有答案

2021-2022学年浙江省温州市高二上学期期末教学质量统一检测数学试题（B 卷）一、单选题1．直线20x y ++=的倾斜角为（ ） A ．6π B ．4π C ．2π D ．34π 【答案】D【分析】求出给定方程的直线斜率，再利用斜率的定义计算作答.【详解】直线20x y ++=的斜率1k =-，设这条直线的倾斜角为α，[0,)απ∈，显然2πα≠，于是得tan 1α=-，解得34πα=， 所以直线20x y ++=的倾斜角为34π. 故选：D2．已知空间向量(2,1,1)a =-，(4,,)b x y =-，//a b ，则x y -=（ ） A ．4 B ．-4 C ．0 D ．2【答案】A【分析】根据空间向量平行求出x ,y ，进而求得答案. 【详解】因为//a b →→，所以存在实数λ，使得422(4,,)(2,1,1)22b a x y x x y y λλλλλλ-==-⎧⎧⎪⎪=⇒-=-⇒=-⇒=⎨⎨⎪⎪==-⎩⎩，则4x y -=.故选：A.3．下列曲线中，与双曲线2214x y -=有相同渐近线的是（ ）A ．2214y x -=B ．2241x y -=C ．2241x y -=D ．2214y x -=【答案】B【分析】求出已知双曲线的渐近线方程，逐一验证即可. 【详解】双曲线2214x y -=的渐近线方程为12y x =±，而双曲线2214y x -=的渐近线方程为2y x =±，双曲线2241x y -=的渐近线方程为12y x =±，双曲线2241x y -=的渐近线方程为2y x =±，双曲线2214y x -=的渐近线方程为2y x =±.故选：B4．己知抛物线2:C y x =，过点(1,0)P 与抛物线C 有且只有一个交点的直线有（ ）条． A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】D【分析】设出过点(1,0)P 与抛物线C 只有一个公共点且斜率存在的直线方程，再与C 的方程联立借助判别式计算、判断作答.【详解】抛物线2:C y x =的对称轴为y 轴，直线1x =过点P 且与y 轴平行，它与抛物线C 只有一个公共点，设过点(1,0)P 与抛物线C 只有一个公共点且斜率存在的直线方程为：(1)y k x =-，由2(1)y k x y x=-⎧⎨=⎩消去y 并整理得：20x kx k -+=，则240k k ∆=-=，解得0k =或4k =， 因此，过点(1,0)P 与抛物线C 相切的直线有两条，相交且只有一个公共点的直线有一条， 所以过点(1,0)P 与抛物线C 有且只有一个交点的直线有3条. 故选：D5．圆221:(1)(1)28O x y -+-=与222:(4)18O x y +-=的公共弦长为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】已知两圆方程，可先让两圆方程作差，得到其公共弦的方程，然后再计算圆心到直线的距离，再结合勾股定理即可完成弦长的求解.【详解】已知圆221:(1)(1)28O x y -+-=，圆222:(4)18O x y +-=，两圆方程作差，得到其公共弦的方程为：AB ：3120x y -+=，而圆心1O 到直线AB 的距离为d =圆1O 的半径为12AB =，所以AB =. 故选：D.6．已知四面体ABCD ，所有棱长均为2，点E ，F 分别为棱AB ，CD 的中点，则AF CE ⋅=（ ）A ．1B ．2C ．-1D ．-2【答案】D【分析】在四面体ABCD 中，取定一组基底向量，表示出AF ，CE ，再借助空间向量数量积计算作答.【详解】四面体ABCD 的所有棱长均为2，则向量,,AB AC AD 不共面，两两夹角都为60， 则22cos602AB AC AC AD AD AB ⋅=⋅=⋅=⨯⨯=，因点E ，F 分别为棱AB ，CD 的中点，则1()2AF AC AD =+，12CE AE AC AB AC =-=-，211()(2)(22)44AF CE AC AD AB AC AC AB AD AB AC AC AD ⋅=+⋅-=⋅+⋅--⋅21(222222)24=+-⨯-⨯=-， 所以2AF CE ⋅=-. 故选：D7．关于实数a ，b ，c ，下列说法正确的是（ ） A ．如果2a c b +=，则1a ，1b ，1c成等差数列B ．如果2a c b +=，则2a ，2b ，2c 成等比数列C ．如果2ac b =，则2a ，2b ，2c 成等差数列D ．如果2ac b =，则ln a ，ln b ，ln c 成等差数列 【答案】B【分析】根据给定条件结合取特值、推理计算等方法逐一分析各个选项并判断即可作答. 【详解】对于A ，若2a c b +=，取1,2,3a b c ===，而114213a c b+=≠=，即1a ，1b ，1c 不成等差数列，A 不正确；对于B ，若2a c b +=，则22222()22c a c a b b +⋅===，即2a ，2b ，2c 成等比数列，B 正确；对于C ，若2ac b =，取1,1,1a b c =-==-，而111222212222a c b --+=+=≠⨯=⨯，2a ，2b ，2c 不成等差数列，C 不正确；对于D ，a ，b ，c 是实数，若2ac b =，显然,,a b c 都可以为负数或者0，此时a ，b ，c 无对数，D 不正确. 故选：B8．如图，某绿色蔬菜种植基地在A 处，要把此处生产的蔬菜沿道路1AA 或2AA 运送到形状为四边形区域1234A A A A 的农贸市场中去，现要求在农贸市场中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路1AA 运送蔬菜较近，而另一侧的点沿道路2AA 运送蔬菜较近，则该界线所在曲线为（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【答案】C【分析】设M 是界限上的一点，则1122MA AA MA AA +=+，即1221MA MA AA AA -=-，再根据双曲线的定义即可得出答案.【详解】解：设M 是界限上的一点， 则1122MA AA MA AA +=+，所以1221MA MA AA AA -=-，即1221MA MA AA AA -=-， 在12AA A 中，2112AA AA A A -<， 所以点M 的轨迹为双曲线， 即该界线所在曲线为双曲线. 故选：C.二、多选题9．在等差数列{}n a 中，10a >，670a a <，n S 为{}n a 的前n 项和，则下列式子一定成立的有（ ） A ．0d < B ．60a > C ．120a < D ．130S >【答案】ABC【分析】由已知可得6700a a ><，，结合等差性质即可作出判断. 【详解】∵670a a <，∴67a a ，异号， 又10a >，∴0d <且6700a a ><，， ∴12750a a d =+<，()113137131302a a S a +==<，故选：ABC10．在同一直角坐标系中，直线2y ax a =+与圆222()x a y a ++=的位置可能的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】AC【分析】根据给定条件求出直线与坐标轴的交点坐标、圆心坐标，再结合图形判断作答. 【详解】直线2y ax a =+与y 轴正半轴交于点2(0,)a ，排除选项B ；直线2y ax a =+与x 轴交于点(,0)a -，而圆222()x a y a ++=的圆心为(,0)a -， 因此，直线2y ax a =+过圆222()x a y a ++=的圆心，排除选项D ；当0a >时，圆心在x 轴负半轴上，选项A 满足；当0a <时，圆心在x 轴正半轴上，选项C 满足. 故选：AC11．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为(c,0)F ，上顶点为(0,)A b ，直线2a x c =上存在点P 使得AP 的中垂线过点F ，则椭圆C 的离心率可能为（ ）A ．12B C D 【答案】BCD【分析】由给定条件可得||||PF AF a ==，再由以点F 为圆心，a 为半径的圆与直线2a x c=有公共点列式计算作答.【详解】依题意，线段AP 的中垂线过点F ，则有||||PF AF a ===，即点P 在以点F 为圆心，a 为半径的圆上，而点P 在直线2a x c =上，因此有2a c a c-≤，整理得220c ac a +-≥，椭圆离心率(0,1)ce a=∈，于是得210e e +-≥1e ≤<，所以椭圆C 故选：BCD12．某“最强大脑”大赛吸引了全球10000人参加，赞助商提供了2009枚智慧币作为比赛奖金．比赛结束后根据名次（没有并列名次的选手）进行奖励，要求第k 名比第1k +名多2枚智慧币，每人得到的智慧币必须是正整数，且所有智慧币必须都分给参赛者，按此规则主办方可能给第一名分配（ ）智慧币． A ．300 B ．293C ．93D ．89【答案】BD【分析】设第一名分配m 个智慧币，且总共有x 名参赛选手获奖，根据等差数列知识可得20091m x x=+-，分类讨论可得结果. 【详解】设第一名分配m 个智慧币，且总共有x 名参赛选手获奖， 则智慧币分配如下： ()()()2122212009m m m m x +-⨯+-⨯++--=⎡⎤⎣⎦，即()21212009xm x -+++-=⎡⎤⎣⎦，又()()()211112122x x x x x +--⎡⎤-⎣⎦+++-==， ∴22009xm x x +-=，即20091m x x=+-， ∵x ，m 都为正整数，且20097741=⨯⨯， ∴7x =，2009712937m =+-=， 41x =，20094118941m =+-=， 49x =，20094918949m =+-=， 287x =，20092871293287m =+-=， ∴第一名分配89或293个智慧币． 故选：BD 三、填空题13．已知直线1:220l ax y +-=与直线2:230l x ay +-=平行，则实数=a ______． 【答案】±1【分析】分类讨论0a =，0a ≠两种情况，结合直线平行的知识得出实数a . 【详解】当0a =时，直线1:2l y =与直线23:2l x =垂直； 当0a ≠时，2123: 22,:l y ax l y x a a =-+=-+，则22a a -=-且32a ≠，解得1a =±.故答案为：±114．写出同时满足以下三个条件的数列{}n a 的一个通项公式n a =______．①{}n a 不是等差数列，②{}2n a 是等比数列，③{}n a 是递增数列．【答案】2n【分析】由条件②写出一个等比数列，再求出n a 并确保单调递增即可作答.【详解】因{}2n a 是等比数列，令24nn a =，当0n a >时，2n n a =，1N ,n n n a a *+∀∈>，{}n a 是递增数列，令,,m n k 是互不相等的三个正整数，且m n k <<，若m a ，n a ，k a 成等差数列，则2m k n a a a +=，即2222m k n +=⨯，则有1122k m n m -+-+=，显然k m -、1n m +-都是正整数，2k m -，12n m +-都是偶数，于是得12k m -+是奇数，从而有1122k m n m -+-+=不成立，即m a ，n a ，k a 不成等差数列，数列{}n a 不成等差数列， 所以2n n a =. 故答案为：2n15．如图，一个小球从10m 高处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的13，若已知小球经过的路程为530m 27，则小球落地的次数为______．【答案】4【分析】设小球从第（n-1）次落地到第n 次落地时经过的路程为n a m ，则由已知可得数列{}n a 是从第2项开始以首项为203，公比为13的等比数列，根据等比数列的通项公式求得n a ，再设设小球第n 次落地时，经过的路程为530m 27，由等比数列的求和公式建立方程求解即可.【详解】解：设小球从第（n-1）次落地到第n 次落地时经过的路程为n a m ，则12321110,102,10233a a a ==⨯⨯=⨯⨯，，当2n ≥时，得出递推关系12120,33n n a a a +==，所以数列{}n a 是从第2项开始以首项为203，公比为13的等比数列，所以221120()(2)33n n n a a n --=⋅=≥，且110a =，设小球第n 次落地时，经过的路程为530m 27，所以 12n n S a a a =+++211111020()()333n -⎡⎤=++++⎢⎥⎣⎦110203n -=-， 所以11053020327n --=，解得4n =， 故答案为：4.16．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在线段1D E上，分别记四棱锥P ABCD -，11P AA D D -的体积为1V ，2V ，则2212V V +的最小值为______．【答案】329【分析】设1EP ED λ=，用参数λ表示目标函数，利用均值不等式求最值即可. 【详解】取线段AD 中点为F ，连接EF 、D 1F ，过P 点引PM DE ⊥于M ，1PN D F ⊥于N ，则PM ⊥平面ABCD ，PN 平面11AA D D ，则2144,33M V P V PN ==， ∴()221222169V V PM PN =++， 设1EP ED λ=，则11PM DD λ=，11PN EF λ-=， 即2PM λ=，()21PN λ=-，∴()()()221222222116646432441199929V V λλλλλλ+-⎡⎤⎡⎤=+-=+-≥⨯=⎣⎣⎦+⎦，当且仅当12λ=时，等号成立， 故答案为：329四、解答题17．如图，已知圆C 与y 轴相切于点(0,1)，且被x 轴正半轴分成的两段圆弧长之比为1∶2．(1)求圆C 的方程；(2)已知点(3,2)P ，是否存在弦AB 被点P 平分？若存在，求直线AB 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】(1)22(2)(1)4x y -+-=. (2)+50x y -=.【分析】（1）由已知得圆心C 在直线1y =上，设圆C 与x 轴的交点分别为E 、F ，则有23ECF π∠=， 2,CE CF ==，圆心C 的坐标为(2,1)，由此求得圆C 的标准方程； （2）假设存在弦AB 被点P 平分，有AB CP ⊥，由此求得直线AB 的斜率可得其方程再检验，直线AB 与圆C 是否相交即可. (1)解：因为圆C 与y 轴相切于点(0,1)，所以圆心C 在直线1y =上，设圆C 与x 轴的交点分别为E 、F ，由圆C 被x 轴分成的两段弧长之比为2∶1，得23ECF π∠=， 所以2,CE CF ==，圆心C 的坐标为(2,1)， 所以圆C 的方程为22(2)(1)4x y -+-=；(2)解：因为点(3,2)P ，有22(32)(21)24-+-=<，所以点P 在圆C 的内部， 假设存在弦AB 被点P 平分，则AB CP ⊥，又21132CP k -==-，所以1AB k =-，所以直线AB 的方程为()32y x -=--，即+50x y -=， 检验，圆心C 到直线AB 的距离为222+152211d -==<+ ，所以直线AB 与圆C 相交，所以存在弦AB 被点P 平分，此时直线AB 的方程为+50x y -=.18．如图，三棱锥A BCD -中，ABC 为等边三角形，且面ABC ⊥面BCD ，CD BC ⊥．(1)求证：CD AB ⊥；(2)当AD 与平面BCD 所成角为45°时，求二面角C AD B --的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； 10【分析】(1)根据给定条件证得CD ⊥平面ABC 即可推理作答.(2)由AD 与平面BCD 所成角确定正ABC 边长与CD 长的关系，再作出二面角C AD B --的平面角，借助余弦定理计算作答.(1)在三棱锥A BCD -中，平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC平面BCD BC =，而CD BC ⊥，CD ⊂平面BCD ，因此有CD ⊥平面ABC ，又有AB 平面ABC ，所以CD AB ⊥. (2)取BC 中点F ，连接AF ，DF ，如图，因ABC 为等边三角形，则AF BC ⊥，而平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC 平面BCD BC =，AF ⊂平面ABC ，于是得AF ⊥平面BCD ，ADF ∠是AD 与平面BCD 所成角，即45ADF ∠=，令2BC =，则3DF AF ==CD BC ⊥，即有2DC =，由(1)知，DC AC ⊥，则有6AD BD =过C 作CO AD ⊥交AD 于O ，在平面ABD 内过O 作OE AD ⊥交BD 于E ，连CE ，从而得COE ∠是二面角C AD B --的平面角，Rt ACD △中，3AC CD CO AD ⋅==222226(2)()3OD CD CO -=- ABD △中，由余弦定理得222222(6)(6)22cos 23266AD BD AB EDO AD BD +-+-∠===⋅⨯⨯， 6cos OD DE EDO ==∠2230OE DE OD =-=，显然E 是Rt BCD 斜边中点，则162CE BD ==COE 中，由余弦定理得2222222306()()()623cos 2230263CO EO CECOE CO EO+-+-∠==⋅⨯⨯10=， 所以二面角C AD B --1019．已知抛物线2:2(0)C y px p =>过点(1,2)A ，O 为坐标原点． (1)求焦点F 的坐标及其准线方程；(2)抛物线C 在点A 处的切线记为l ，过点A 作与切线l 垂直的直线，与抛物线C 的另一个交点记为B ，求OAB 的面积．【答案】(1)焦点(1,0)F ，准线方程1x =-； (2)12.【分析】(1)将点A 坐标代入求出p ，写出抛物线方程即可作答.(2)由(1)的结论求出切线l 的斜率，进而求得直线AB 方程，联立直线AB 与抛物线C 的方程，求出弦AB 长及点O 到直线AB 距离计算作答. (1)依题意，2221p =⨯，解得2p =，则抛物线C 的方程为：24y x =， 所以抛物线C 的焦点(1,0)F ，准线方程为1x =-. (2)显然切线l 的斜率存在，设切线l 的方程为：2(1)y k x -=-，由224y kx k y x=-+⎧⎨=⎩消去x 并整理得：2204k y y k --+=，依题意得1(2)0k k ∆=--+=，解得1k =，因直线AB l ⊥，则直线AB 的斜率为-1，方程为：2(1)y x -=--，即30x y +-=，由2304x y y x+-=⎧⎨=⎩消去x 并整理得：24120y y +-=，解得122,6y y ==-， 因此有(9,6)B -，而(1,2)A，则||AB == 而点(0,0)O 到直线AB ：30x y +-=的距离d ==1||122OABS AB d =⋅=， 所以OAB 的面积是12.20．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，且112a b ==，37b a =，34T S =．(1)求n a ，n b ； (2)己知12111n nP b b b =++⋅⋅⋅+，12231222n n n Q a a a a a a +=++⋅⋅⋅+，试比较n P ，n Q 的大小． 【答案】(1)1n a n =+，2nn b =；(2)n n P Q >.【分析】(1)设等差数列{}n a 的公差，等比数列{}n b 的公比，由已知列式计算得解. (2)由(1)的结论，用等比数列前n 项和公式求出n P ，用裂项相消法求出n Q ，再比较大小作答. (1)设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，依题意，2222622286q dq q d ⎧=+⎨++=+⎩， 整理得：221333q dq q d ⎧=+⎨+=+⎩，解得1,2d q ==， 所以1n a n =+，2nn b =.(2)由(1)知，112n n b =，数列1{}n b 是首项为12，公比为12的等比数列，则11(1)12211212n n n P -==--， 122112()(1)(2)12n n a a n n n n +==-++++， 111111111122[()()()()]2()123344512222n Q n n n n =-+-+-++-=-=-++++，则11212n n nQ n P -=-+， 用数学归纳法证明212nn>+，N n *∈， ①当1n =时，左边2=，右边32=，左边>右边，即原不等式成立， ②假设当,N n k k *=∈时，不等式成立，即212k k>+， 则1111221112222k k k k k ++++⎛⎫>+=++>+ ⎪⎝⎭，即1n k =+时，原不等式成立，综合①②知，N n *∀∈，212nn>+成立， 因此，110212nn n n P Q -=->+，即n n P Q >， 所以n n P Q >.21．一杯100℃的开水放在室温25℃的房间里，1分钟后水温降到85℃，假设每分钟水温变化量和水温与室温之差成正比． (1)分别求2分钟，3分钟后的水温；(2)记n 分钟后的水温为*(N )n a n ∈，证明：{}25n a -是等比数列，并求出{}n a 的通项公式； (3)当水温在40℃到55℃之间时（包括40℃和55℃），为最适合饮用的温度，则在水烧开后哪个时间段饮用最佳．（参考数据：lg 20.3≈） 【答案】(1)2分钟的水温为73℃，3分钟后的水温63.4℃；(2)证明见解析，1460()255n n a -=⨯+，*N n ∈；(3)在水烧开后4到7分钟饮用最佳.【分析】(1)根据给定条件设第n 分钟后的水温为*(N )n a n ∈，探求出n a 与1n a -的关系即可计算23,a a 作答.(2)利用(1)的信息，列式变形、推导即可得证，进而求出{}n a 的通项公式. (3)由(2)的结论列不等式，借助对数函数的性质求解即得. (1)设第n 分钟后的水温为*(N )n a n ∈，正比例系数为k ，记0100a =，依题意，1(25)n n n a a k a --=-，当1n =时，01100,85a a ==，则有10085(8560)k -=-，解得14k =，因此，11(25)4n n n a a a --=-，即有1455n n a a -=+，213244573,563.455a a a a =+==+=，所以2分钟的水温为73℃，3分钟后的水温63.4℃. (2)由(1)知，*N n ∈，2n ≥时，185a =，1455n n a a -=+，则有1425205n n a a --=-，即1425(25)5n n a a --=-，而12560a -=，于是得{}25n a -是以60为首项，45为公比的等比数列，则有142560()5n n a --=⨯，即1460()255n n a -=⨯+，所以{}25n a -是等比数列，{}n a 的通项公式是1460()255n n a -=⨯+，*N n ∈.(3)由(2)及已知得：4055n a ≤≤，即144060()25555n -≤⨯+≤，整理得1141()452n -≤≤，两边取常用对数得：()42lg 21lg lg 25n -≤-≤-，而4lg 2lg 2lg53lg 2105=-=-<，解得lg 22lg 21113lg 213lg 2n +≤≤+--，即47n ≤≤，所以在水烧开后4到7分钟饮用最佳.【点睛】思路点睛：涉及实际意义给出的数列问题，正确理解实际意义，列出关系式，再借助数列思想探求相邻两项间关系即可推理作答.22．已知2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，短轴长为2，F 为右焦点．(1)求椭圆的方程；(2)在x 轴上是否存在一点M ，使得过F 的任意一条直线l 与椭圆的两个交点A ，B ，恒有OMA OMB ∠=∠，若存在求出M 的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1)2212x y +=；(2)存在点M 满足条件，点M 的坐标为(2,0).【分析】(1)根据给定条件直接计算出2a 即可求解作答.(2)假定存在点(,0)M t ，当直线l 与x 轴不重合时，设出l 的方程，与椭圆C 的方程联立， 借助MA 、MB 斜率互为相反数计算得解，再验证直线l 与x 轴重合的情况即可作答. (1)依题意，1b =，而离心率e =222212a b e a -==，解得22a =， 所以椭圆C 的方程为：2212x y +=.(2)由(1)知，(1,0)F ，假定存在点(,0)M t 满足条件，当直线与x 轴不重合时，设l 的方程为：1x my =+，由22122x my x y =+⎧⎨+=⎩消去x 并整理得：22(2)210m y my ++-=，设1122(,),(,)A x y B x y ， 则有12122221,22m y y y y m m +=-=-++，因OMA OMB ∠=∠，则直线MA 、MB 斜率互为相反数， 于是得：12120y yx t x t+=--，整理得11221)1()(0y y my t my t +-++-=，即1212(1)()02y y t y m y +-+=，则有22122()(1)()022m m t m m -+--=++，即22(2)02m t m -=+，而m 为任意实数，则2t =， 当直线l 与x 轴重合时，点A ，B 为椭圆长轴的两个端点，点(2,0)M 也满足OMA OMB ∠=∠，所以存在点M 满足条件，点M 的坐标为(2,0).【点睛】思路点睛：解答直线与椭圆相交的问题，常把直线与椭圆的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.。

浙江省“温州十校联合体”高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．直线的倾斜角是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】直线的斜率为直线的倾斜角为：，可得：故选2．抛物线的焦点坐标是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析：根据抛物线的焦点坐标是，所以此题的答案应是，故选A.【考点】抛物线的焦点坐标和标准方程.3．设是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】D【解析】试题分析：对于A,若，与可能平行，故A错；对于B, 若，与可以相交、异面直线、平行，故B错；对于C, 若，，l与可以相交、异面直线、平行，故C错；对于D,根据线面垂直的性质定理可得若，则，故D正确.【考点】空间直线与平面的位置关系.【方法点晴】本题主要考查空间直线与平面的位置关系，属于中档题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价. 4．“直线y ＝x+b 与圆x2+y2＝1相交”是“0＜b ＜1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】由题意，直线y ＝x+b 与圆x 2+y 2＝1相交，可得（0，b ）在圆内，b 2＜1，求出﹣1＜b ＜1，即可得出结论． 【详解】由题意，直线y ＝x+b 恒过（0，b ），∵直线y ＝x+b 与圆x 2+y 2＝1相交，∴（0，b ）在圆内，∴b 2＜1，∴﹣1＜b ＜1； 又由0＜b ＜1时，（0，b ）在圆内，∴直线y ＝x+b 与圆x 2+y 2＝1相交． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，以及充要条件的判断问题，其中解答中熟记直线与圆的位置关系的求解方法，以及充要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.5．圆221:2880C x y x y +++-=与圆222:4410C x y x y +---=的公切线条数为（ ）A.1 B .2 C.3 D.4 【答案】B【解析】试题分析：由题意得，圆1C 的圆心1(1,4)C --，半径为5R =；圆2C 的圆心2(2,2)C ，半径为3r =，则12C C =，且2,8R r R r -=+=，即12R r C C R r -<<+，所以两圆相交，所以共有2条公切线，故选B ．【考点】圆与圆的位置关系．6．双曲线的左、右焦点分别为，，在左支上过点的弦AB 的长为5，那么的周长是A．12 B．16 C．21 D．26【答案】D【解析】依题意，利用双曲线的定义可求得，，从而可求得的周长．【详解】解：依题意，，，，又，．．即的周长是26．故选：D．【点睛】本题考查双曲线的简单性质，着重考查双曲线定义的灵活应用，属于中档题．7．已知正四棱柱中，，E为中点，则异面直线BE与所成角的余弦值为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】平移成三角形用余弦定理解，或建立坐标系解，注意线线角不大于,故选C. 8．如图，在正方体中，是侧面内一动点，若到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹是A．直线B．圆C．双曲线D．抛物线【答案】D【解析】由题意知，直线C1D1⊥平面BB1C1C，则C1D1⊥PC1，即|PC1|就是点P到直线C1D1的距离，那么点P到直线BC的距离等于它到点C的距离，所以点P的轨迹是抛物线．故选D．9．已知点为抛物线上的两点，为坐标原点，且，则的面积的最小值为（）A．16 B．8 C．4 D．2【答案】A【解析】方法一：第一步，把A，B点设出来；第二步，根据向量垂直的等式关系推导出参数间的关系；第三步，根据题意列出面积方程；第四步，利用均值不等式进行求最小值.方法二：由对称性，当的面积取得最小值时，两点关于轴对称，根据对称关系，直线的倾斜角为，直线的方程为，将其代入抛物线方程，【详解】解析：设，则，,则解得，根据三角形的面积公式，，当且仅当时，取最小值.则的面积的最小值为16.解法2：由对称性，当的面积取得最小值时，两点关于轴对称，又因为，所以直线的倾斜角为，直线的方程为，将其代入抛物线方程，解得，所以，此时．答案选A 【点睛】本题考查直线与抛物线形成的三角形面积，对动点采用设而不求的方法，难点在于根据已有向量关系形成等量代换，进而均值不等式求解面积最小值，难度较大。

第一学期十校联合体高二期末联考数 学 试 卷参考公式：球的表面积公式 24πS R = 球的体积公式 343πV R =其中R 表示球的半径 柱体的体积公式 V =Sh其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式V =13Sh其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高台体的体积公式()112213V h S S S S =++其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线31y x =-+的倾斜角是（ ▲ ） A.π6 B.π3C.2π3D.5π62.在命题“若4πα=，则1tan =α”的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，正确命题的个数是( ▲ )A.0B.2C.3D.4 3.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3， 则正视图中的x 的值（ ▲ ） A.23 B.2 C.3 D.29 4．已知椭圆13422=+y x ，直线l 与椭圆相交于B A 、两点，点)1,1(P 是线段AB 的中点，则直线l 的斜率为( ▲ )A.23-B.23 C.43- D.435.已知n m 、是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ▲ ） A.若αβα//,m ⊥,则β⊥m B.若,//,//βαn m 且n m //，则βα// C.若βαβ⊥⊥,m ,则α//m D.若,,βα⊥⊥n m 且n m ⊥，则βα⊥6．已知P 是抛物线24y x =上一动点，则点P 到直线:230l x y -+=和y 轴的距离之和的最小值是（ ▲ ）A.3B.5C.2D.51-7．过抛物线22y px =（0p >）的焦点F 作倾斜角为60的直线l ，若直线l 与抛物线在第一象限的交点为A 并且点A 也在双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线上，则双曲线的离心率为（ ▲ ） A ．213 B ．13 C ．233D ．5 8.如图，平面⊥α平面ABC ，D 为线段AB 的中点， 32=AB ，︒=∠30CDB ，P 为面α内的动点，且P 到直线CD 的距离为1，则APB ∠的最大值为（ ▲ ） A ．︒60 B ．︒90 C ．︒120 D ．︒150二、填空题：本大题有7小题，9-12题每题6分，每格3分，13-15题每题4分，共36分.把答案填在答题卷的相应位置.9．抛物线22y x =的准线方程是 ▲ ；焦点到准线的距离为 ▲ 10.已知直线012:1=++y x l 和直线2:30l x ay ++=，若12l l ⊥，则实数a 的值为 ▲ ；若12//l l ，则1l 与2l 间的距离为 ▲11. 若正方体外接球的体积是92π，则正方体的棱长等于 ▲ ；该正方体内切球的表面积为 ▲12．设P 是椭圆221259x y +=上的一点，12,F F 是该椭圆的两个焦点，且123F PF π∠=， 则12F PF ∆的面积为 ▲ ，12F PF ∆内切圆半径为 ▲ 13.正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，点M 和N 分别 是11D B 和11C B 的中点，则异面直线AM 和CN 所成角的 余弦值为 ▲14．已知双曲线)0(12222>=-b b y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，其一条渐近线方程为x y 2=，点),3(0y P 在双曲线上.则1PF ·2PF ＝ ▲15. 已知点()5,0A -，()1,3B --，若圆()2220x y r r +=>上恰有两点M ，N ，使得MAB ∆ 和NAB ∆ 的面积均为5，则r 的取值范围是 ▲三.解答题：本大题共5小题,满分52分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.（本题满分10分)已知方程2214x y m m+=-（m R ∈）表示双曲线。

2019-2020学年浙江省温州市高二上学期期末数学试题及答案解析版一、单选题1．下列直线中与直线210x y -+=垂直的一条是（ ） A ．210x y ++= B ．2420x y -+= C ．2410x y ++=D ．2410x y -+=【答案】A【解析】由题意利用两条直线垂直的判断方法，得出结论. 【详解】解：已知直线210x y -+=的斜率为12，而直线210x y ++=的斜率为2-，它与已知直线的斜率之积等于1-，故它和已知直线垂直，故满足条件，故A 满足条件； 而直线2420x y -+=的斜率为12，它与已知直线的斜率之积不等于1-，故它和已知直线不垂直，故不满足条件，故B 不满足条件；而直线2410x y ++=的斜率为12-，它与已知直线的斜率之积不等于1-，故它和已知直线不垂直，故不满足条件，故C 不满足条件；而直线2410x y ++=的斜率为12，它与已知直线的斜率之积不等于1-，故它和已知直线不垂直，故不满足条件，故D 不满足条件， 故选：A.【点睛】本题考查两直线的垂直的判定，属于基础题.2．双曲线22154x y -=的焦点坐标是（）A ．()1,0±B ．()3,0±C ．()0,1±D ．()0,3±【答案】B【解析】直接利用双曲线方程求解焦点坐标即可. 【详解】 解：双曲线22154x y -=，焦点在x轴上，3c ==， 所以双曲线的焦点坐标为()3,0±. 故选：B . 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.3．已知圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-【答案】B【解析】试题分析：圆22220x y x y a ++-+=化为标准方程为22(1)(1)2x y a ++-=-，所以圆心为（-1,1），半径r =心距为d ==．因为圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦长为4，所以222,4a a +=-∴=-．故选B ．4．已知实数x ，y 满足不等式组123y xx x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪+≤⎩，则x y +的取值范围为（ ）A ．[]2,0-B ．[]22-,C ．[]2,4D ．[]2,4-【答案】D【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用平移法进行求解即可 【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）. 令z x y =+得y x z =-+， 平移直线y x z =-+，由图象可知当直线y x z =-+经过点()1,5A -时，直线y x z =-+的截距最大， 此时z 最大. 即max 154z =-+=.当直线y x z =-+经过点()1,1B --时，直线y x z =-+的截距最小， 此时z 最小. 即min 112z =--=-. 故选：D.【点睛】本题考查简单的线性规划问题，属于基础题.5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“2n S pn qn =+（p 、q 是常数）”是“{}n a 成等差数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也比不要条件【答案】C【解析】2n S pn qn =+（p 、q 是常数），2n ≥时，1n n n a S S -=-.1n =时，11a S p q ==+，可得2n a pn p q =-+.利用等差数列的通项公式及其性质即可判断出结论. 【详解】解：2n S pn qn =+（p 、q 是常数），2n ≥时，()()221112n n n a S S pn qn p n q n pn p q -⎡⎤=-=+--+-=-+⎣⎦. 1n =时，11a S p q ==+，对于上式也成立.∴2n a pn p q =-+.∴{}n a 成等差数列，反之也成立.∴“2n S pn qn =+（p 、q 是常数）”是“{}n a 成等差数列”的充要条件. 故选：C . 【点睛】本题考查了等差数列的定义、通项公式及求和公式及其性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m nB ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥ 【答案】B【解析】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B 正确. 【考点】空间点线面位置关系．7．已知AB 、CD 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的短轴和长轴，点E 是椭圆弧CBD 上异于B 的任意一点，将坐标平面沿x 轴折叠成大小为α（02πα<<）的二面角，记AOE ϕ∠=，则（ ） A ．αϕ≥ B ．αϕ> C ．αϕ<D ．αϕ≤【答案】C【解析】由题意画出图形，利用直线与平面所成角是直线与平面内所有直线所成角的最小角得答案. 【详解】 解：如图，折叠后，,OA OB 都与x 轴垂直，AOB α∠=OA 看作是椭圆弧CBD 所在平面的一条斜线，其射影为OB ，则α为平面CBD 的一条斜线OA 与平面CBD 所成角， 而OE 为平面CBD 内的一条与OB 不重合也不平行的直线，ϕ为OA 与OE 所成角，根据直线与平面所成角是直线与平面内所有直线所成角的最小角，可知αϕ<. 故选：C . 【点睛】本题考查椭圆的性质，考查空间中直线与直线、直线与平面所成角的关系，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题．8．在平面直角坐标系内，已知()1,0A -，()2,0B ，动点M 满足12MA MB =，且M 在直线20ax y a --=上.若满足条件的点M是唯一的，则a =（ ）A．3±B．CD【答案】A【解析】先求出动点M 的轨迹方程为圆，结合题意利用直线和圆相切，求出a 即可. 【详解】解：设动点(),M x y12=， 化简可得：()2224x y ++=，∴动点M 的轨迹方程为()2224x y ++=.曲线C 是以()2,0-为圆心，2为半径的圆， 且M 在直线20ax y a --=上，故直线与圆相切，且切点为M ， 2=，得231a =，∴3a =±，故选：A. 【点睛】本题考查动点的轨迹方程以及直线与圆相切求参数的值，属于中档题.9．正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，下列结论：①AD 与BC 所成的角为60︒：②AC 与BD 所成的角为90︒：③BC 与面ACD 所成角的正弦值为3：④二面角A BC D --的：其中正确结论的个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A【解析】取BD 中点O ，连结AO ，CO ，以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法和空间中线线、线面、面面间的位置关系逐一判断四个命题得结论. 【详解】解：取BD 中点O ，连结AO ，CO ， ∵正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，∴以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴，建立空间直角坐标系，设1OC =，则()0,0,1A ，()0,1,0B -，()1,0,0C ，()0,1,0D ，()0,1,1AD =-，()1,1,0BC =，1cos 22AD BC AD BC AD BC⋅⋅===⋅， ∴异面直线AB 与CD 所成的角为60︒，故①正确：()1,0,1AC =-，()0,2,0BD =，∵0AC BD ⋅=，∴AC BD ⊥，故②正确： 设平面ACD 的一个法向量为(),,t x y z =，由00t AC x z t AD y z ⎧⋅=-=⎨⋅=-=⎩，取1z =，得()1,1,1t =，()1,1,0BC =， 设BC 与面ACD 所成角为θ，则sin cos ,33BC t BC t BC tθ⋅====⋅，故③正确： 平面BCD 的法向量()0,0,1n =，()0,1,1BA =，()1,1,0BC =，设平面ABC 的法向量(),,m x y z =，则00m BA y z m BC x y ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩，取1x =，得()1,1,1m =-， cos ,3m n m n m n⋅<>==⋅，∴6sin ,m n <>=. ∴二面角A BC D --的平面角正切值是：2，故④正确.故选：A.【点睛】本题考查利用空间向量法解决立体几何中的问题，属于综合题.10．设双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F .若左焦点1F 关于其中一条渐近线的对称点位于双曲线上，则该双曲线的离心率e 的值为（ ） A 3B ．3C 5D ．5【答案】C【解析】设左焦点()1,0F c -，渐近线方程为by x a=，对称点为(),F m n '，运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为1-，求出对称点的坐标，代入双曲线的方程，由离心率公式计算即可得到所求值. 【详解】解：设()1,0F c -，渐近线方程为by x a =，对称点为(),F m n '，即有n a m c b =-+，且()1122b m c n a-⋅=⋅， 解得22b a m c-=，2abn c=-， 将222,b a ab F c c ⎛⎫-'- ⎪⎝⎭，即2222,c a ab c c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入双曲线的方程可得()222222222241c a a b c a c b--=， 化简可得2241c a -=，即有25e =，解得e =故选：C. 【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为1-，以及点满足双曲线的方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．二、填空题11．经过两点A (2,3)，B (1,4)的直线的斜率为________，倾斜角为________．【答案】－1 135°【解析】由斜率定义式得k ＝－1，再结合斜率与倾斜角关系得倾斜角． 【详解】由斜率定义得k ＝4312--=－1，设倾斜角为α,α[0.π∈）,则tan α1,=-故3πα4=，即135°故答案为－1 ； 135° 【点睛】本题考查直线的斜率及倾斜角，熟记斜率与倾斜角关系是关键，是基础题 12．已知椭圆C ：221169y x +=，则该椭圆的长轴长为______：焦点坐标为______.【答案】8(0,【解析】利用椭圆方程求解a ，b ，c ，推出结果即可. 【详解】 解：椭圆C ：221169y x +=，可得4a =，3b =，且焦点在y 轴上，则该椭圆的长轴长：8，c ==(0,故答案为：8；(0,.【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，属于基础题.13．某几何体的三视图如图所示（单位：cm )，则该几何体最长的一条棱的长度是__________cm ；体积为__________3cm .【答案】43643【解析】【详解】几何体为一个四棱锥P-ABCD ，如图，最长的一条棱的是P Ｃ,长度22244443++= ,体积为21644433⨯⨯= 14．如图所示，AC ，BD 分别在平面α和平面β内，在α与β的交线l 上取线段1AB =，AC l ⊥，BD l ⊥，1AC =，1BD =，2CD =，则AB 与CD 所成的角为______：二面角l αβ--的大小为______.【答案】60︒ 120︒【解析】作出图形，由异面直线所成角及二面角的定义直接可以得解.【详解】解：如图，在平面β内过点A 作//AE BD ，且AE BD =，又AB BD ⊥，则ABDE 为矩形，连接CE ，DE ，∵AB AC ⊥， ∴ED AC ⊥， 又ED AB ⊥，ABAC A =，AB平面ACE ，AC ⊂平面ACE ，∴ED ⊥平面ACE ， ∴ED EC ⊥， ∴3CE =，1cos 2CDE ∠=，即60CDE ︒∠=，则AB 与CD 所成的角为60︒：又BD l ⊥，则AE l ⊥，又AC l ⊥，CAE ∠为二面角l αβ--的平面角， 又1131cos 2112CAE +-∠==-⨯⨯，则120CAE ∠=︒. 故答案为：60︒；120︒.【点睛】本题考查二面角的计算，属于中档题.15．在平面区域2100260270x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩内含有一个圆，当圆的面积最大时圆记为M ，则M 的方程为______.【答案】()()22345x y -+-=【解析】先画出该平面区域，明确区域所围成的平面图形的形状，再由面积最大的圆则为该平面图形的内切圆.再由圆的相关条件求圆的方程. 【详解】解：画出该区域得三角形ABC ，顶点坐标分别为()2,4A -，()4,1B ，()8,9C ，且为直角三角形，三边长分别为35，45，55，由于面积最大，故圆M 是ABC 内切圆，5R =：设(),M a b ，则21026275555a b a b a b -++---===：解得3a =，4b =：所以圆M 的方程为()()22345x y -+-=.故答案为：()()22345x y -+-=.【点睛】本题主要考查平面区域的画法，三角形的内切圆的几何性质以及圆的切线的应用．还考查了数形结合的思想方法，属于中档题． 16．已知过椭圆C ：2212x y +=的左焦点F 的直线交C 于A ，B 两点，若2AF BF k +≥恒成立，则k 的最大值为______.【答案】321+【解析】由题意画出图形，再由2AF BF AF BF BF AB BF+=++=+，结合椭圆上的点右端点到左焦点的距离最大求解. 【详解】 解：如图，由椭圆C ：2212x y +=，得2a =1b =，1c =.2AF BF AF BF BF AB BF+=++=+，∵AB 的最大值为22BF 21，∴2321AF BF +≥，又2AF BFk +≥恒成立，则k 的最大值为321.故答案为：321.【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查数学转化思想方法，属于基础题．17．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()4,0A -，()0,4B ，从直线AB 上一点P 向圆224x y +=引两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D .设线段CD 的中点为M ，则线段AM 长的最小值为______.【答案】【解析】根据题意，求出直线AB 的方程，设()00,P x y ，分析可得点C 、D 在以OP 为直径的圆上，求出以OP 为直径的圆的方程，分析可得CD 所在直线方程为：004x x y y +=，又由直线OM 的方程，联立3个方程可得点M 的轨迹方程，结合点与圆的位置关系分析可得答案. 【详解】解：根据题意，()4,0A -，()0,4B ，则直线AB 的方程为40x y -+=，设()00,P x y ，则004y x =+，①，如图：又由OD DP ⊥，OC CP ⊥，则点C 、D 在以OP 为直径的圆上，又由OP 的中点即该圆圆心为00,22x y ⎛⎫⎪⎝⎭，其半径为1122OP = 则以OP 为直径的圆的方程为22000x y x x y y +--=，联立两圆的方程22220040x y x y x x y y ⎧+=⎨+--=⎩，可得CD 所在直线方程为：004x x y y +=，又由线段CD 的中点为M ，则直线OM ：000x y y x -=，③ 联立①②③消去0x ，0y ，可得M 的轨迹方程为22111222x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其圆心为11,22⎛⎫-⎪⎝⎭，半径22r ：又由()4,0A -，则AM 的最大值为14923244++=： 故答案为：32【点睛】本题考查轨迹方程的计算以及应用，涉及直线与圆的位置关系，关键是分析点M 的轨迹，属于综合题．三、解答题18．已知直线:1l y kx =+，圆22:(1)(1)12C x y -++=.（1）试证明：不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点；（2）求直线l 被圆C 截得的最短弦长. 【答案】（1）见解析；（2）7【解析】试题解析：（1）因为不论k 为何实数，直线l 总过点A （1,0），而523AC R <=,所以点A 在圆C 的内部，即不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点 （2）由几何性质过点A （1,0）的弦只有和AC 垂直时最短，而此时点A （1，0）为弦的中点，由勾股定理，弦长为212527-=【考点】本题考查直线与圆的位置关系点评：解决本题的关键是利用圆的几何性质解题19．如图，PA⊥正方形ABCD所在平面，M是PC的中点，二面角P DC A--的大小为45︒.（1）设l是平面PAB与平面PCD的交线，证明CD l∥；（2）在棱AB是否存在一点N，使M DN C--为60︒的二面角.若不存在，说明理由：若存在，求AN长.【答案】（1）见解析（2）存在，35AN=【解析】（1）先证明//CD平面PAB，再利用线面平行的性质即得证；（2）易知二面角P DC A--的平面角，由此建立空间直角坐标系，并求出各点的坐标，设()N x，求出平面的法向量，,0,0根据M DN C--的二面角为60︒，建立方程，解出即可得出结论.【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴//CD AB，又AB在平面PAB内，CD不在平面PAB内，∴//CD平面PAB，又平面PCD过直线CD，且平面PAB⋂平面PCD l=，∴//CD l ：（2）∵PA ⊥正方形ABCD 所在平面，∴易知二面角P DC A --的平面角即为45PDA ∠=︒， 以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方形的边长为2，则()0,2,0D ，()002P ,,，()2,2,0C ，()1,1,1M ，设(),0,0N x ， 易得平面DNC 的一个法向量为()0,0,1m =，设平面MDN 的一个法向量为(),,n a b c =，又()1,1,1MD =--，()1,1,1NM x =-，则()010n MD a b c n NM x a b c ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，则可取1,,122x x n ⎛⎫=-⎪⎝⎭， ∴22112cos ,cos 6021142xm n m n m nx x -⋅===︒=⎛⎫++- ⎪⎝⎭，解得35x =-，故存在存在一点N ，使M DN C --为60︒的二面角，且35AN =-.【点睛】本题考查线面平行的性质，及利用空间向量求解二面角问题，考查运算能力及逻辑推理能力，属于中档题． 20．已知抛物线C ：24y x =，过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点.（1）若直线l 的倾斜角为45︒，求MN 的长；（2）设M 在准线上的射影为A ，求证：A ，O ，N 三点共线（O 为坐标原点）. 【答案】（1）8；（2）见解析【解析】（1）由题意知直线l 的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长MN ：（2）设直线l 的方程与抛物线联立求出两根之积，得出纵坐标之间的关系，求出AO ，ON 的斜率，值相等，结合两直线有公共点O 可得三点共线. 【详解】解：（1）由题意知抛物线的焦点()1,0F ，直线l 的倾斜角为45︒，则直线的斜率为1，所以直线l 的方程：1x y =+，设(),M x y ，(),N x y ''，联立直线与抛物线的方程整理得：2440y y --=， 所以4y y '+=，4yy '=-，所以弦长8MN===，所以MN 的长为8；（2）显然直线l 的斜率不为0，设直线方程为：1x my =+，设(),M x y ，(),N x y ''，由题意知()1,A y -，联立直线与抛物线的方程整理为：2440y my --=，4y y m '+=，4 yy'=-，4 yy =-'因为41OAyk yy==-='-，244ONyy ykx y'''===''∴OA ONk k=，AO，ON又有公共点O，所以A，O，N三点共线.【点睛】考查直线与抛物线的综合应用，属于中档题．21．如图，设矩形ABCD所在平面与梯形ACEF所在平面相交于AC.若1AB=，3BC=，1AF FE EC===.（1）求证：AC DE⊥；（2）若1DE=，求BE与面ACEF所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）12【解析】（1）连结AC、BD，交于点O，连结OE，1OE CE AF===，2==AC BD，从而CDO∆是边长为1的正三角形，取OC中点G，连结DG，EG，连结DG，EG，从而EG AC⊥，DG AC⊥，由此能求出AC⊥平面DEG，由此能证明AC DE⊥. （2）过B作BH AO⊥，交AO于点H，连结FH，以H为原点，HB为x轴，HC为y轴，过H作平面ABCD的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BE与面ACEF 所成角的正弦值.【详解】解：（1）证明：连结AC 、BD ，交于点O ，连结OE ， ∵矩形ABCD 所在平面与梯形ACEF 所在平面相交于AC .1AB =，BC =，1AF FE EC ===.∴1OE CE AF ===，2AC BD ===，∴CDO ∆是边长为1的正三角形，取OC 中点G ，连结DG ，EG ，连结DG ，EG ， ∴EG AC ⊥，DG AC ⊥， ∵DGEG G =，DG ⊂平面DEG ，EG ⊂平面DEG ，∴AC ⊥平面DEG ， ∵DE ⊂平面DEG ， ∴AC DE ⊥.（2）解：∵1DE =，∴三棱锥E CDO -和三棱锥E ABO -都是棱长为1的正四面体，过B 作BH AO ⊥，交AO 于点H ，连结FH ，∴1BF EF HG ===，2FH BH EG ====，12CG =，30BCA ∠=︒，∴BG ===，∴以H 为原点，HB 为x 轴，HC 为y 轴，过H 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，2B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，263E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2,1,33BE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 平面ACEF 的法向量()0,0,1n =，设BE与面ACEF所成角为θ，则21 3sin2169BE nBE nθ⋅===⋅，∴BE与面ACEF所成角的正弦值为12.【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题．22．如图，椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为32，点()2,1M-是椭圆内一点，过点M作两条斜率存在且互相垂直的动直线12,l l，设1l与椭圆C相交于点,A B，2l 与椭圆C相交于点,D E．当点M恰好为线段AB的中点时，10AB．（1）求椭圆C的方程；（2）求AD EB⋅的最小值．【答案】（1）221123x y +=；（2）165.【解析】分析：（Ⅰ3|AB|=10列一个方程组，解方程组即得a,b,c 的值，即得椭圆的方程. （Ⅱ）先求出AD EB ⋅的表达式()()()2222201144k AD EB k k +⋅=++，再求函数的最小值即得AD EB ⋅的最小值．详解：（Ⅰ）由题意设224a b =，即椭圆2222:14x y C b b +=，设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y由22211222224444x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩作差得，()()()()1212121240x x x x y y y y -++-+=又∵()2,1M -,即12124,2x x y y +=-+=， ∴AB斜率121212y y k x x -==-．由222214122x y b b y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩． 消x 得，224820x x b ++-=． 则()221211116482104AB k x b =+-=+--=解得23b =，于是椭圆C 的方程为：221123x y +=．（Ⅱ）设直线():21AB y k x =++,由()22112321x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=++⎩消x 得， ()()()22214821421120k xk k x k +++++-=． 于是()()212122282142112,1414k k k x x x x kk-++-+=⋅=++．()()AD EB AM MD EM MB AM MB EM MD ⋅=+⋅+=⋅+⋅()()()()112244332,12,12,12,1x y x y x y x y =---⋅+-+---⋅+-∵()()()()()21122122,12,1122x y x y k x x ---⋅+-=-+++()()()22121224114214k k x x x x k +⎡⎤=-++++=⎣⎦+．同理可得()()()244332412,12,14k x y x y k +---⋅+-=+． ∴()()()()22222222011141144144k AD EB k kk k k +⎛⎫⋅=++= ⎪++++⎝⎭，()222222011651442k k k +≥=⎛⎫+++ ⎪⎝⎭,当1k =±时取等号．综上，AD EB ⋅的最小值为165．点睛：本题的难点在求得()()()2222201144kAD EB k k +⋅=++之后，如何求该函数的最小值.这里可以利用导数，也可以换元，但是最好的方法是利用基本不等式，()()()()2222222222012011651441442k k k k k k ++≥=++⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，所以解题时要注意观察式子的特点，灵活选择方法解答,提高解题效率.。

2023—2024学年浙江省温州市高二上学期期末教学质量统一检测数学试卷(B卷)一、单选题1. 已知直线方程，则倾斜角为（）A．45°B．60°C．120°D．135°2. 抛物线的准线方程为（）A．B．C．D．3. 在空间四边形ABCD中，点M，G分别是BC和CD的中点，则（）A．B．C．D．4. 已知为数列的前n项和，，则（）A．2B．4C．8D．165. 在棱长为1的正方体中，点到平面的距离为（）A．B．C．D．6. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒或小石子来研究数．他们根据沙粒或小石头所排列的形状把数分成许多类，如下图的1，3，6，10称为三角．．形数．．，1，4，9，16称为正方形数，则下列各数既是三角形数又是正方形数的是（）A．55B．49C．36D．287. 已知圆锥有一个内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，圆柱与圆锥的高之比为（）A．B．C．D．8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，点P在椭圆C上，直线与直线交于点Q，且，则（）A．B．C．D．二、多选题9. 已知圆和圆外离，则整数m的一个取值可以是（）A．4B．5C．6D．710. 以下选项中的两个圆锥曲线的离心率相等的是（）A．与B．与C．与D．与11. 已知三棱锥如图所示，G为重心，点M，F为中点，点D，E分别在上，，，以下说法正确的是（）A．若，则平面∥平面B．C．D．若M，D，E，F四点共面，则12. 已知数列的前n项和为，且，，则下列命题正确的是（）A．若为等差数列，则数列为递增数列B．若为等比数列，则数列为递增数列C．若为等差数列，则数列为递增数列D．若为等比数列，则数列为递增数列三、填空题13. 若双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的方程可以是______ ．（只需填写满足条件的一个方程）14. 已知正项等比数列的前n项和为，，且，则______ ．15. 已知点P为圆上一动点，，，则点P到直线AB的距离的取值范围是 ______ ．16. 两个正方形ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，M 和N分别是对角线AC和BF上的动点，则MN的最小值为 ______ ．四、解答题17. 如图，在平行六面体中，，，，，设，，．(1)用向量表示；(2)求．18. 已知等差数列的前n项和为，且满足，．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前10项和．19. 如图，四棱锥的底面是边长为1的菱形，，平面ABCD，，M为PB的中点．(1)求证：平面平面PDB；(2)求CP与平面MAC所成角的正弦值．20. 已知圆满足：①截轴所得弦长为2；②被轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线：的距离为，求该圆的方程．21. 已知数列满足，．(1)求证：数列为等差数列；(2)设数列前n项和为，且对任意的恒成立，求k的取值范围．22. 已知点在双曲线C：上，(1)求C的方程；(2)如图，若直线l垂直于直线OA，且与C的右支交于P、Q两点，直线AP、AQ与y轴的交点分别为点M、N，记四边形MPQN与三角形APQ的面积分别为与，求的取值范围．。

浙江省温州市高二上学期期末数学试题一、单选题1．双曲线221916x y -=的实轴长为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】由题求出a=3,即得实轴的长. 【详解】 由题得a=3, 所以实轴长为6. 故选：C 【点睛】本题主要考查双曲线的方程和实轴的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 2．与直线:2310l x y -+=关于y 轴对称的直线的方程为（ ） A ．2310x y ++= B ．2310x y +-= C ．3210x y -+= D ．3210x y ++=【答案】B【解析】设M(x,y)是所求直线上的任意一点，则其关于y 轴的对称点为(,)M x y '-在直线:2310l x y -+=上，把(,)M x y '-的坐标代入直线l 的方程即得解. 【详解】设M(x,y)是所求直线上的任意一点，则其关于y 轴的对称点为(,)M x y '-在直线:2310l x y -+=上，所以23+10,x y -+=即2310x y +-=.与直线:2310l x y -+=关于y 轴对称的直线的方程为2310x y +-=. 故选：B 【点睛】本题主要考查关于直线对称的直线方程的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.3．若直线0x y -=与圆()()2211x y m -++=相离，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(]0,2B ．(]1,2C ．()0,2D ．()1,2【答案】C>即得解.【详解】由题得圆心到直线的距离为d =>，所以2m <， 因为m ＞0， 所以0＜m ＜2. 故选：C 【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.4．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．6B ．2C ．12D ．3【答案】A【解析】直接利用三视图的还原图求出几何体的体积． 【详解】根据三视图：该几何体为底面为直角梯形的四棱柱,如图所示：故该几何体的体积为1(12)2262V =+=g g ．故选：A ．【点睛】本题主要考查三视图和几何体体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5．一个三棱锥是正三棱锥的充要条件是（ ） A ．底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形 B ．各个面都是正三角形 C ．三个侧面是全等的等腰三角形D．顶点在底面上的射影为重心【答案】A【解析】利用正三棱锥和充要条件的定义逐一分析判断每一个选项得解.【详解】A．根据正三棱锥的定义可知，满足侧面是全等的等腰三角形，底面是正三角形的三棱锥是正三棱锥．正三棱锥的底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形，所以一个三棱锥是正三棱锥的充要条件是底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形，所以该选项符合题意；B. 各个面都是正三角形，则三棱锥是正三棱锥，所以各个面都是正三角形是三棱锥为正三棱锥的充分条件；如果三棱锥是正三棱锥，则各个面不一定都是正三角形，所以各个面都是正三角形是三棱锥为正三棱锥的非必要条件，故该选项错误.C. 三个侧面是全等的等腰三角形不一定是正三棱锥，如图所示，VA=VC=BC=AB，AC=VB时，不一定是正三棱锥，故该选项错误；D. 顶点在底面上的射影为重心，设底面为直角三角形ABC,其重心为O,过点O作平面ABC的垂线OV，连接VA,VB,VC得到三棱锥V-ABC,显然三棱锥V-ABC不是正三棱锥，所以该选项错误.故选：A【点睛】本题主要考查正三棱锥的定义，考查充要条件的判定方法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6．如图，已知三棱锥V ABC -，点P 是VA 的中点，且2AC =，4VB =，过点P 作一个截面，使截面平行于VB 和AC ，则截面的周长为（ ）A ．12B ．10C ．8D ．6【答案】D【解析】如图所示，设AB 、BC 、VC 的中点分别为D,E,F ，连接PD,DE,EF,PF.先证明截面DEFP 就是所作的平面，再求截面的周长. 【详解】如图所示，设AB 、BC 、VC 的中点分别为D,E,F ，连接PD,DE,EF,PF. 由题得PD||VB,DE||AC,因为,PD DE ⊆平面DEFP ,VB,AC 不在平面DEFP 内， 所以VB||平面DEFP ,AC||平面DEFP , 所以截面DEFP 就是所作的平面.由于11||,||,,22PD VB EF VB PD VB EF VB ===, 所以四边形DEFP 是平行四边形，因为VB=4,AC=2,所以PD=FE=2,DE=PF=1, 所以截面DEFP 的周长为2+2+1+1=6. 故选：D【点睛】本题主要考查截面的作法和线面位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7．已知直线1:l y kx =和2:20l x ky +-=相交于点P ，则点P 的轨迹方程为（ ） A ．221x y += B ．()2211x y -+=C ．()2210x y x +=≠D ．()()22110x y x -+=≠【答案】D【解析】联立两直线方程消去k 得到()2211x y -+=，再求x 的范围即得解.【详解】由题得,,22y kx y x x ky x y =⎧∴=⎨-+=-+⎩所以()2211x y -+=. 由题得222220,(1)21x k x k x x k+-=∴+=∴=+，，所以0x >. 所以点P 的轨迹方程为()()22110x y x -+=≠. 故选：D 【点睛】本题主要考查动点的轨迹方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8．已知双曲线224x y -=，若过点P 作直线l 与双曲线交于,A B 两点，且点P 是线段AB 的中点，则点P 的坐标可能是（ ）A ．()1,1B ．()1,2C ．()2,1D ．()2,2【答案】B【解析】设112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y ，求出0AB x k y =，再检验每一个选项得解. 【详解】设112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y ，由题得22111212121222224()()()()04x y x x x x y y y y x y ⎧-=∴+--+-=⎨-=⎩，， 所以1200120121202()2()0,y y xx x x y y y k x x y ----=∴==-.当P 的坐标为()1,2时，1,2k =直线AB 的方程为1132(1),222y x y x -=-∴=+. 把1322y x =+代入双曲线方程得>0∆. 对于选项A,C,D 中点P 的坐标经检验得，不满足>0∆. 故选：B 【点睛】本题主要考查直线和双曲线的位置关系，考查弦的中点问题的解答，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F 、，点P 在椭圆上，且124PF PF =，则此椭圆的离心率e 的最小值为（ ）A ．35B ．45C ．14D ．34【答案】A【解析】设P 00(,)x y ,由题得1020||,||,PF a ex PF a ex =+=-根据124PF PF =得035ax a e=≤即得解. 【详解】 设P 00(,)x y由题得1020||,||,PF a ex PF a ex =+=-因为124PF PF =所以0003344,,55a a ex a ex x a e e +=-∴=≤∴≥, 所以此椭圆的离心率e 的最小值为35.故选：A 【点睛】本题主要考查椭圆的定义和离心率的最值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10．在平面直角坐标系中，已知点()2,0A ，()0,2B ，圆()22:1C x a y -+=，若圆C 上存在点M ，使得2212MA MB +=，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,1⎡+⎣B ．1⎡-+⎣C ．1,1⎡+⎣D ．1⎡+⎣【答案】B【解析】先求出动点M 的轨迹是圆D,再根据圆D 和圆C 相交或相切，得到a 的取值范围. 【详解】设(,)M x y ，则2222(2)(2)12x y x y -+++-=， 所以22(1)(1)4x y -+-=， 所以点M 的轨迹是一个圆D, 由题得圆C 和圆D 相交或相切，所以13≤≤， 所以11a -≤≤+故选：B 【点睛】本题主要考查动点的轨迹方程的求法，考查两圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、填空题11．已知直线()2:1210l m x y +-+=（m 为常数），若直线l 的斜率为12，则m =__________，若1m =-，直线l 的倾斜角为__________．【答案】0 45︒【解析】（1）解方程21122m +-=-即得m 的值；（2）求出直线的斜率，即得直线的倾斜角. 【详解】（1）由题得211,022m m +-=∴=-；（2）若1m =-，则直线的斜率21,2k =-=-所以直线的倾斜角为45︒. 故答案为：(1). 0 (2). 45︒ 【点睛】本题主要考查直线的斜率和倾斜角，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 12．在平面直角坐标系中，点()1,2A -关于x 轴的对称点为()1,2A '--，那么，在空间直角坐标系中，()1,2,3B -关于x 轴的对称点B '坐标为__________，若点()1,1,2C -关于xOy 平面的对称点为点C '，则B C ''=__________．【答案】()1,2,3---【解析】（1）根据空间对称点的位置关系特点写出点B '坐标；（2）先求出点C '坐标，再求出B C ''的值. 【详解】（1）由题得()1,2,3B -关于x 轴的对称轴点B '坐标为()1,2,3---；（2）点()1,1,2C -关于xOy 平面的对称点为点C '（1,-1，-2），所以B C ''==.故答案为：(1). ()1,2,3--- (2).【点睛】本题主要考查空间对称点的求法，考查空间两点间的距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.13．已知圆221:1C x y +=和圆()()()2222:430C x y r r -+-=>外切，则r 的值为__________，若点()00,A x y 在圆1C 上，则220004x y x +-的最大值为__________．【答案】4 5【解析】（1|1|r =+即得解；（2）先求出22001y x =-，代入220004x y x +-化简解答最大值.【详解】（1|1|,4r r =+∴=.（2）点()00,A x y 在圆1C 上，所以2222000011x y y x +=∴=-，， 所以2200004=14x y x x +--，因为011x -≤≤，所以220004x y x +-的最大值为5.此时01x =-.故答案为： (1). 4 (2). 5 【点睛】本题主要考查两圆的位置关系，考查点和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14．已知直线1y x =-与抛物线()220y px p =>交于,A B 两点；若直线过抛物线的焦点，则抛物线的准线方程为__________，若OA OB ⊥，则p 的值为__________． 【答案】1x =-12【解析】（1）先求出抛物线的焦点坐标，再求出抛物线的准线方程；（2）联立直线和抛物线的方程得到韦达定理，由OA OB ⊥得12120x x y y +=，代入韦达定理化简即得p 的值.【详解】（1）由于直线过抛物线的焦点，令y=0得x=1,所以抛物线的焦点坐标为(1,0), 所以抛物线的准线方程为x=-1.（2）联立221y px y x ⎧=⎨=-⎩得2(22)10x p x -++=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，所以121222,1x x p x x +=+⋅=，因为OA OB ⊥，所以121212120,(1)(1)0x x y y x x x x +=∴+--=，所以1212()210x x x x -++⋅+=， 所以12230,2p p --+=∴=. 故答案为：(1). 1x =- (2).12 【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15．某学习合作小组学习了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.利用祖暅原理研究椭圆()222210x y a b a b+=>>绕y 轴旋转一周所得到的椭球体的体积，方法如下：取一个底面圆半径为a 高为b 的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体和半椭球体放在同一平面α上，那么这两个几何体也就夹在两个平行平面之间了，现在用一平行于平面α的任意一个平面β去截这两个几何体，则截面分别是圆面和圆环面，经研究，圆面面积和圆环面面积相等，由此得到椭球体的体积是__________．【答案】243a b π 【解析】由祖暅原理得椭球体的体积为221()23a b a b ππ-⨯，计算即得解. 【详解】由祖暅原理得椭球体的体积为22214()233a b a b a b πππ-⨯=. 故答案为：243a b π 【点睛】本题主要考查组合体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16．如图，等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，2AB AD DC ===，4BC =，E 为BC 上一点，且1BE =，P 为DC 的中点.沿AE 将梯形折成大小为θ的二面角B AE C --，若ABE △内（含边界）存在一点Q ，使得PQ ⊥平面ABE ，则cos θ的取值范围是__________．【答案】10,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】先证明BEC ∠就是二面角B AE C --的平面角θ.当090θ>时，不存在这样的点Q;当090θ=时，点Q 恰好是AE 的中点.此时cos 0θ=.当0090θ<<时，以点E 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -，分析得到251cos cos 22y θθ=≤，解不等式即得解.【详解】如图所示，由于梯形是等腰梯形，所以AE BE AE EC ⊥⊥，.折叠之后，AE BE AE EC ⊥⊥，.所以BEC ∠就是二面角B AE C --的平面角θ. 当090θ>时，不存在这样的点Q;当090θ=时，点Q 恰好是AE 的中点.此时cos 0θ=.当0090θ<<时，以点E 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -.则E(0,0,0),B (sin ,cos ,0)θθ，533),(0,,22A P .设Q 在平面ABE 内，(tan ,y,z)Q y θ.所以EB =u u u r (sin ,cos ,0)θθ,EA =u u u r .5(tan ,,22PQ y y z θ=--u u u r ,由题得0,PQ EA z z ⋅==∴=u u u r u u u r .所以点Q 在△ABE 的中位线GH 上，所以点Q 的纵坐标1cos 2y θ≤. 由题得25sin 5sin tan ()cos ()cos 02cos 2PQ EB y y y y θθθθθθ⋅=+-=+-=u u u r u u u r ， 所以25cos 2y θ=. 所以251cos cos 22y θθ=≤，所以1cos 5θ≤. 所以此时10cos 5θ<≤. 综上所述，10cos 5θ≤≤. 故答案为：10,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查空间二面角的范围的计算，考查空间位置关系的转化，考查立体几何的探究性问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.17．设抛物线24x y =，点F 是抛物线的焦点，点()0,M m 在y 轴正半轴上（异于F 点），动点N 在抛物线上，若FNM ∠是锐角，则m 的范围为__________．【答案】()()0,11,9U【解析】设()24,4N t t ，由FNM ∠是锐角得到()4286202m t m t +-+>对任意t R ∈恒成立.令20x t =≥，则()()286202m f x x m x =+-+>对任意[)0,x ∈+∞恒成立,再通过分类讨论求出m 的取值范围.【详解】设()24,4N t t ，可知()0,1F ，0m >且1m ≠，所以()24,14NF t t =--u u u r ，()24,4NM t m t =--u u u u r ，因为FNM ∠是锐角，所以0NF NM ⋅>u u u r u u u u r ，即()()222161440t tm t +-->， 整理得()42161240t m t m +-+>， 等价于()4286202m t m t +-+>对任意t R ∈恒成立； 令20x t =≥，则()()286202m f x x m x =+-+>对任意[)0,x ∈+∞恒成立； 因为()f x 的对称轴为38m x -=-，故分类讨论如下： （1）308m --≤，即03m <≤时， ()()min 002m f x f ==>， 所以03m <≤；（2）308m -->，即3m >时， 应有()2624802m m ∆=--⨯⨯<， 得39m <<；综上所述：()()0,11,9m ∈U .【点睛】本题主要考查抛物线中的范围问题，考查二次函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题18．已知圆心C 在直线：220x y --=上的圆经过点()1,2A -和()3,2B -，且过点()3,1P -的直线l 与圆C 相交于不同的两点,M N .（1）求圆C 的标准方程；（2）若90MCN ∠=︒，求直线l 的方程.【答案】（1）()2218x y -+=（2）3x =或34130x y --=【解析】（1）先求出圆心C 的坐标为()1,0，再求半径CA =，即得圆C 的标准方程；（2）先求出圆心C 到直线l 的距离为2，再对直线l 的斜率分两种情况讨论求出直线l 的方程.【详解】（1）Q 易求得AB 的中点为()1,0，且1AB k =-，AB ∴的中垂线方程为10x y --=由10220x y x y --=⎧⎨--=⎩， 得圆心C 的坐标为()1,0，∴半径CA =，故圆C 的标准方程为：()2218x y -+= （2）当90MCN ∠=︒时，则圆心C 到直线l 的距离为2，若直线l 的斜率存在，设直线():13l y k x +=-，即310kx y k ---=∴圆心()1,0C 到直线l的距离2d ==， 解得34k =， ∴直线l 的方程为34130x y --=若直线l 的斜率不存在，则直线:3l x =，符合题意，综上所述：所求直线l 的方程为：3x =或34130x y --=【点睛】本题主要考查直线和圆的方程的求法，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19．如图，CD αβ=I ，EF αγ=I ，AB βγ=I ，AB CD ∥.（1）求证：CD EF P ；（2）若几何体ACE BDF -是三棱柱，ACE △是边长为2的正三角形，AB 与面ACE 所成角的余弦值为15，2AB =，求三棱柱ACE BDF -的体积. 【答案】（1）见解析（21225 【解析】（1）先证明AB||EF,再证明CD EF P ；（2）求出三棱柱的底面积和高，即得三棱柱ACE BDF -的体积.【详解】（1）AB CD AB CD αα⎫⎪⊄⎬⎪⊂⎭P AB α⇒P又AB γ⊂，EF αγ=IAB EF ∴P ，又AB CD Q ∥，CD EF ∴P（2）由题得122sin 6032ACE S =⋅⋅⋅︒=△ 又棱柱高21215h ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭2426655=4365V Sh ∴==1225= 【点睛】 本题主要考查空间位置关系的证明，考查几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20．已知点,A B 的坐标分别是()1,0-，()1,0，直线,AM BM 相交于点M ，且直线BM的斜率与直线AM 的斜率的差是2.（1）求点M 的轨迹方程C ；（2）若直线:0l x y -=与曲线C 交于,P Q 两点，求APQ ∆的面积.【答案】（1）21y x =-(0y ≠或1x ≠±)；（2）APQ S =△ 【解析】（1）设(),M x y ，则211y y x x -=-+，化简即得轨迹方程；（2）先求出弦长|PQ|,再求出A 到直线的距离，即得APQ ∆的面积.【详解】（1）设(),M x y ，则1AM y k x =+，1BM y k x =-， 所以211y y x x -=-+， 所以轨迹方程为21y x =-(0y ≠或1x ≠±)； （2）设()11,P x y ，()22,Q x y 联立方程210y x x y ⎧=-⎨-=⎩，得210x x --=， 所以121211x x x x +=⎧⎨=-⎩，所以PQ == A到直线的距离为d ==所以122APQ S d PQ =⋅⋅=△． 【点睛】 本题主要考查轨迹方程的求法，考查三角形面积的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.21．如图，在三棱锥A BCD -中，且AD DC ⊥，AC CB ⊥，面ABD ⊥面BCD ，AD CD BC ==，E 为AC 中点，H 为BD 中点.（1）求证：AD BC ⊥；（2）在直线CH 上确定一点F ，使得AF P 面BDE ，求AF 与面BCD 所成角.【答案】（1）见解析（2）45︒【解析】（1）证明AD ⊥平面BCD ，AD BC ⊥即得证；（2）在CH 延长线上取点F ，使FH HC =,先证明AFD ∠即为AF 与面BCD 所成线面角，再求出AF 与面BCD 所成线面角为45︒.【详解】（1）易知CH BD ⊥，又平面ABD ⊥平面BCDCH ∴⊥面ABDCH AD ∴⊥又AD CD ⊥，AD CH ⊥，⋂=CD CH C ，,CD CH ⊆平面BCD ,AD ∴⊥平面BCDAD BC ∴⊥（2）在CH 延长线上取点F ，使FH HC =,则四边形BCDF 为平行四边形 又EH AF P ，EH ⊂面BDE ，AF ⊄面BDEAF ∴P 面BDE又AD ⊥面BCDAFD ∴∠即为AF 与面BCD 所成线面角又DF BC AD ==45AFD ∴∠=︒，即AF 与面BCD 所成线面角为45︒【点睛】本题主要考查空间位置关系的证明，考查空间线面角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.22．设椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，直线l 过椭圆的右焦点F ，与椭圆交于点M N 、；若l 垂直于x 轴，则3MN =.（1）求椭圆的方程；（2）椭圆的左右顶点分别为12A A 、，直线1A M 与直线2A N 交于点P .求证：点P 在定直线上.【答案】（1）22143x y +=（2）见解析 【解析】（1）解方程22312b ac a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即得椭圆的标准方程；（2）设()11,M x y ，()()2212,N x y y y >， 联立直线和椭圆方程得到122122634934m y y m y y m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，再求出直线1A M 与直线2A N 的方程和它们的交点P 的横坐标，再把韦达定理代入P 的横坐标化简即得解.【详解】（1）由已知得22312b ac a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，第 21 页 共 21 页所以21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆的方程为22143x y +=； （2）设()11,M x y ，()()2212,N x y y y >，:1MN l x my =+， 联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 得()2234690m y my ++-=， 所以122122634934m y y m y y m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 可得()111:22A M y l y x x =++， ()222:22A N y l y x x =--， 所以()()()122121122121222P x y x y y y x x y x y y y ++-=-++()()()12212121212222my y y y y y y y y y +++-=-++，又因为()121223my y y y =+，所以()()()()2121212124242P y y y y x y y y y ++-==-++；所以点P 在直线4x =上．【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系和椭圆中的定直线问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。

2019-2020学年高二第一学期期末数学试卷（A卷）一、选择题1．命题“若x＞0，则x2＞0”的否命题是（）A．若x＞0，则x2≤0 B．若x2＞0，则x＞0C．若x≤0，则x2≤0 D．若x2≤0，则x≤02．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括（）A．一个圆台、两个圆锥B．一个圆柱、两个圆锥C．两个圆台、一个圆柱D．两个圆台、一个圆锥3．已知l1：2x+m2y+2m＝0与l2：y＝﹣3x+，若两直线平行，则实数m的值为（）A．B．C．或D．或4．设α，β，γ为三个不同的平面，l，m为两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β．有如下的两个命题：①若l∥β，m∥α，则α∥β；②若l⊥γ，m⊥γ，则α∥β．那么（）A．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题C．①②都是真命题D．①②都是假命题5．已知双曲线过点P（2，2），其渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．6．已知函数f（x）＝x3+3ax2+bx+a2（a，b∈R）在x＝﹣1时处取得极值0，则a+b＝（）A．4 B．11 C．4或11 D．3或107．已知P是椭圆上在第一象限内的点，F1，F2分别是椭圆的左右焦点，若存在点P使得点F2在线段PF1的中垂线上，则椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．8．如图，正四面体ABCD中，E是AC的中点，F是CD边上的动点，记二面角B﹣EF﹣D的平面角为α，则F从C运动到D的过程中（不含端点D）（）A．α增大B．α减小C．α先增大后减小D．α先减小后增大9．已知函数f（x）是定义在（0，+∞）的可导函数，f'（x）为其导函数，当x＞0且x≠1时，，若曲线y＝f（x）在x＝1处的切线的斜率为﹣1，则f（1）＝（）A．B．0 C．D．110．已知点A，B分别是互不垂直的两条异面直线a，b上的点，且直线AB与a，b均垂直，P∈a，Q∈b，若直线PQ与AB所成锐角θ为定值，则PQ的中点M的轨迹是（）A．椭圆B．抛物线C．圆D．线段二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的体积与球的体积之比为，圆柱的表面积与球的表面积之比为．12．已知函数f（x）＝x﹣e x，则f'（1）＝；函数f（x）的值域为．13．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是cm3；表面积是cm2．14．已知集合A＝{（x，y）||x|+|y|≤1}，集合B＝{（x，y）|x2+y2≤a2，a＞0}，若“x ∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是；若“x∈A”是“x ∈B”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是．15．如图，已知点F是抛物线y2＝4x的焦点，点A，B是抛物线上不同的两点，满足|FA|：|FB|＝1：3，且∠AFB＝90°，则直线AB的斜率为．16．如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝2，，对角线BD＝3，E是线段CD上除端点外的任一点，将△ABD沿BD翻折成△A'BD，使二面角A'﹣BD﹣C为120°，设异面直线A'D和BE所成的角为α，则sinα的最小值是．17．已知斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于A，B两点，设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，满足k1+k2＝8k，则△OAB面积的取值范围是．三、解答题：5小题，共74分18．如图，已知圆M的圆心在第一象限，与x轴相切于点，与直线相切于点B．（1）求圆M的方程；（2）圆M和圆x2+y2＝1相交于P，Q两点，求线段PQ的长度．19．已知函数f（x）＝x+alnx，（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a＝1时，如果函数在定义域内单调递增，求实数t的取值范围．20．如图，三棱柱ABC﹣A'B'C'中，BC＝BB'＝B'C＝4，，AC⊥AA'，二面角B﹣AB'﹣C是直二面角，E，F分别是A'B'，CC'的中点．（1）求证：EF∥平面AB'C；（2）求EF与平面ABB'A'所成角的正弦值．21．如图，F是抛物线x2＝4y的焦点，过F的直线交抛物线于A，B两点，抛物线在A，B 两点处的切线相交于点M．（1）求证：点M在抛物线的准线上；（2）已知过抛物线上的点C作抛物线的切线分别交直线AM，BM于点P，Q，求△FPQ面积的最小值．22．已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+bx，曲线f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y＝2x ﹣1．（1）求实数a，b的值；（2）如果不等式恒成立，求整数k的最大值．参考答案一、选择题：每小题4分，共40分1．命题“若x＞0，则x2＞0”的否命题是（）A．若x＞0，则x2≤0 B．若x2＞0，则x＞0C．若x≤0，则x2≤0 D．若x2≤0，则x≤0【分析】命题的否命题是否定题设又否定结论，从而得到答案．解：命题“若x＞0，则x2＞0”的否命题是：若x≤0，则x2≤0，故选：C．2．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括（）A．一个圆台、两个圆锥B．一个圆柱、两个圆锥C．两个圆台、一个圆柱D．两个圆台、一个圆锥【分析】画出等腰梯形，考虑较长的底边，旋转可得形状．解：设等腰梯形ABCD，较长的底边为CD，则绕着底边CD旋转一周可得一个圆柱和两个圆锥，（如右轴截面图）故选：B．3．已知l1：2x+m2y+2m＝0与l2：y＝﹣3x+，若两直线平行，则实数m的值为（）A．B．C．或D．或【分析】直线l2的方程化为3x+y﹣＝0，根据两直线平行列方程求出m的值，再排除两直线重合情况．解：直线l2：y＝﹣3x+可化为3x+y﹣＝0，由直线l1：2x+m2y+2m＝0与l2平行，则3m2﹣2×1＝0，解得m＝±；当m＝时，l1的方程为3x+y+＝0，两直线平行；当m＝﹣时，l1的方程为3x+y﹣＝0，两直线重合；综上知，m的值为．故选：B．4．设α，β，γ为三个不同的平面，l，m为两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β．有如下的两个命题：①若l∥β，m∥α，则α∥β；②若l⊥γ，m⊥γ，则α∥β．那么（）A．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题C．①②都是真命题D．①②都是假命题【分析】直接利用线面和面面之间的平行和垂直的判定的应用求出结果．解：对于两个命题：①若l∥β，m∥α，则α∥β；错误，由于直线和平面之间没有传递性．②若l⊥γ，m⊥γ，则α∥β．错误，可能α和β相交．故选：D．5．已知双曲线过点P（2，2），其渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．【分析】设以为渐近线的双曲线方程为（λ≠0），把P的坐标代入求得λ，则答案可求．解：设以为渐近线的双曲线方程为（λ≠0），∵双曲线过点P（2，2），∴，即λ＝﹣3．∴双曲线的标准方程为．故选：D．6．已知函数f（x）＝x3+3ax2+bx+a2（a，b∈R）在x＝﹣1时处取得极值0，则a+b＝（）A．4 B．11 C．4或11 D．3或10【分析】由题意可得，f（﹣1）＝0，f′（﹣1）＝0，代入即可求解．解：∵f（x）＝x3+3ax2+bx+a2在x＝﹣1时处取得极值0，∴f′（x）＝3x2+6ax+b，∴，解可得，或当时，f′（x）＝3x2+6x+3＝3（x+1）2≥0恒成立，函数单调递增，没有极值，不合题意，则a+b＝11．故选：B．7．已知P是椭圆上在第一象限内的点，F1，F2分别是椭圆的左右焦点，若存在点P使得点F2在线段PF1的中垂线上，则椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】利用已知条件转化列出a、c关系式，然后求解离心率的范围．解：F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，可得|PF2|＝2c，即以F2为圆心，2c为半径的圆与椭圆有交点，所以2c＞a﹣c．可得e ＞，P是椭圆上在第一象限内的点，a＞2c，可得e椭圆C的离心率的取值范围是：（，）．故选：C．8．如图，正四面体ABCD中，E是AC的中点，F是CD边上的动点，记二面角B﹣EF﹣D的平面角为α，则F从C运动到D的过程中（不含端点D）（）A．α增大B．α减小C．α先增大后减小D．α先减小后增大【分析】作图，先求得二面角B﹣EF﹣D的平面角，再在直角三角形中求得tanα的值，通过OG的变化，得到tanα的变化情况，进而得解．解：由题意得，BO⊥平面ACD，其中O为△ADC的中心，过O作OG⊥EF交于点G，连接BG，由三垂线定理可得，BG⊥EF，∠BGO为二面角B﹣EF﹣D的平面角α，易知，在Rt△BOG 中，，由图可得，F从C运动到D的过程中OG减小，而BO为定值，故tanα增大，则α增大，故选：A．9．已知函数f（x）是定义在（0，+∞）的可导函数，f'（x）为其导函数，当x＞0且x≠1时，，若曲线y＝f（x）在x＝1处的切线的斜率为﹣1，则f（1）＝（）A．B．0 C．D．1【分析】令g（x）＝x2f（x），讨论x＞1，0＜x＜1时，g（x）的单调区间和极值点，可得g′（1）＝0，即有2f（1）+f′（1）＝0，由f′（1）＝﹣1，即可得出．解：当x＞0且x≠1时，，可得x＞1时，2f（x）+xf′（x）＞0；0＜x＜1时，2f（x）+xf′（x）＜0．令g（x）＝x2f（x），x∈（0，+∞），∴g′（x）＝2xf（x）+x2f′（x）＝x[2f（x）+xf′（x）]．可得：x＞1时，g′（x）＞0；0＜x＜1时，g′（x）＜0．可得函数g（x）在x＝1处取得极值，∴g′（1）＝2f（1）+f′（1）＝0，由f′（1）＝﹣1，可得f（1）＝，故选：C．10．已知点A，B分别是互不垂直的两条异面直线a，b上的点，且直线AB与a，b均垂直，P∈a，Q∈b，若直线PQ与AB所成锐角θ为定值，则PQ的中点M的轨迹是（）A．椭圆B．抛物线C．圆D．线段【分析】画出图象，根据动点轨迹锐角θ为定值，故以AB为轴，夹角为θ，PQ为母线画圆锥，由P，Q分别在a，b上移动，故相当于圆锥在移动，画出中点M随椭圆的变化位置，因为AB长度为定值，故可投影为平面问题，建立坐标系，求出M的轨迹为椭圆．解：如图，直线AB与两条异面直线a，b垂直，将b从BB'移动到AA'，与a相交于A 点，故直线AB与底面APA'垂直，且AB与PQ所成的锐角θ为定值，故以AB为轴，夹角为θ，PQ为母线画圆锥，由P，Q分别在a，b上移动，故相当于圆锥在移动，画出中点M随椭圆的变化位置，因为AB长度为定值，故可投影为平面问题，如下图，以直线a，b交点为原点，角平分线为x轴建立如图直角坐标系，为了方便计算不妨设a，b的夹角θ＝60°，直线x轴与a，b夹角为30°，令定值|P'Q'|＝|AB|tanθ＝6，则设动点Q'（a，a），设M（x，y），M为P'Q'中点，故P'（2x﹣a，2y﹣a）可得tan（﹣30°）＝，得3a＝x+3y，由|P'Q'|＝（2x﹣2+（2y﹣2a）2＝36，联立解得，故选：A．二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的体积与球的体积之比为，圆柱的表面积与球的表面积之比为．【分析】本题先找出圆柱底面和高分别与内切球的半径的关系，然后根据公式进行推理运算即可得到结果．解：由题意，圆柱底面半径r＝球的半径R，圆柱的高h＝2R，则V球＝πR3，V柱＝πr2h＝π•R2•2R＝2πR3．∴＝＝．S球＝4πR2，S柱＝2πr2+2πrh＝2πR2+2πR•2R＝6πR2．∴＝＝．故答案为：；．12．已知函数f（x）＝x﹣e x，则f'（1）＝1﹣e；函数f（x）的值域为（﹣∞，﹣1] ．【分析】对函数求导，判断单调性和最值，代入即可．解：f（x）＝x﹣e x，所以f'（x）＝1﹣e x，f'（1）＝1﹣e，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）递增；当x∈（0，+∞）时，f（x）递减，故f（x）有最大值f（0）＝﹣1，故f（x）的值域为（﹣∞，﹣1]，故答案为：1﹣e；（﹣∞，﹣1]．13．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是8+cm3；表面积是20+4cm2．【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积和表面积．解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为上面为正式棱锥体，下面为正方体的组合体，故＝8+．S＝＝20+4．故答案为：；20+4．14．已知集合A＝{（x，y）||x|+|y|≤1}，集合B＝{（x，y）|x2+y2≤a2，a＞0}，若“x ∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是[1，+∞）；若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（0，] ．【分析】根据题意，分析集合A、B的几何意义，进而结合集合与充分必要条件的定义分析可得答案．解：根据题意，集合A＝{（x，y）||x|+|y|≤1}，其几何意义为如图正方形ABCD及其内部区域，集合B＝{（x，y）|x2+y2≤a2，a＞0}，其几何意义为圆x2+y2＝a2的圆周及其内部区域，而圆x2+y2＝a2的圆心为（0，0），半径r＝a，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则正方形ABCD在圆x2+y2＝a2的内部，必有a ≥1，此时a的取值范围为[1，+∞）；若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则圆x2+y2＝a2在正方形ABCD的内部，必有a ≤，此时a的取值范围为（0，]；故答案为：[1，+∞）；（0，]．15．如图，已知点F是抛物线y2＝4x的焦点，点A，B是抛物线上不同的两点，满足|FA|：|FB|＝1：3，且∠AFB＝90°，则直线AB的斜率为．【分析】由题意得A，B横坐标的关系，再由∠AFB＝90°知，△AA'F∽△FB'B，所以得坐标的关系，代入抛物线中得A，B的坐标，进而求出斜率．解：由题意知，焦点F（1，0），准线方程：x＝﹣1，A（x，y），B（x'，y'）过A，B分别做AA'，BB'垂直于x轴，则由∠AFB＝90°，△AA'F∽△FB'B，∴，|FA|：|FB|＝1：3，所以3AA'＝B'F，∴3y＝x'﹣1①，由3（x+1）＝x'+1，∴x'＝3x+2②由①②y＝2+，x'＝7+2，y'＝2+2，x＝，所以k AB＝＝＝＝＝；故答案为：．16．如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝2，，对角线BD＝3，E是线段CD上除端点外的任一点，将△ABD沿BD翻折成△A'BD，使二面角A'﹣BD﹣C为120°，设异面直线A'D和BE所成的角为α，则sinα的最小值是．【分析】抓住点E的任意性，“最小角定理”得到的线面角不超过线线角，由此能求出sinα的最小值．解：设A′O⊥平面BCD，过O作OH⊥BD于H，连结A′H，由题意得∠A′HO＝60°，由等面积法得A′H＝，∴＝＝，由最小角定理得直线A′D与平面BCD所成角是异面直线A'D和BE所成的角的最小角，∴（sinα）min＝＝＝．故答案为：．17．已知斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于A，B两点，设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，满足k1+k2＝8k，则△OAB面积的取值范围是．【分析】设直线l的方程，与椭圆联立，求出两根之和两根之积，进而求直线OA，OB 的斜率，再由斜率之和为8k，求出参数的关系，代入面积公式均值不等式求出面积的取值范围．解：设直线AB的方程：y＝kx+t，设A（x'，y'），B（x''，y''），联立与椭圆的方程整理得：（3+4k2）x2+8ktx+4t2﹣12＝0，△＝64k2t2﹣4（3+4k2）（4t2﹣12）＞0，即t2＜3+4k2，x'+x''＝﹣，x'x''＝，∴k1＝k OA＝，k2＝k OB＝，由题意得：＝8k，∴＝8k，8k＝2k+t，∴4t2＝9，∴t2＝；∴，原点O到直线的距离d＝，AB＝＝＝4＝2，∴S△OAB＝•AB•d＝•＝＝＜，∴△OAB面积的取值范围是：（0，）．故答案为：（0，）．三、解答题：5小题，共74分18．如图，已知圆M的圆心在第一象限，与x轴相切于点，与直线相切于点B．（1）求圆M的方程；（2）圆M和圆x2+y2＝1相交于P，Q两点，求线段PQ的长度．【分析】（1）设圆心M（，b），b＞0，则圆M的方程为+（y﹣b）2＝b2，再根据圆和直线相切的性质可得＝b，由此求得b＝1，可得圆的标准方程．（2）由题意利用两个圆相交的性质，利用弦长公式求出线段PQ的长度．解：（1）已知圆M的圆心在第一象限，与x轴相切于点，设圆心M（，b），b＞0，则圆M的方程为+（y﹣b）2＝b2，由于该圆M与直线相切于点B，故有＝b，求得b＝1，故圆M的方程为+（x﹣1）2＝1．（2）∵圆M和圆x2+y2＝1相交于P，Q两点，把两个圆的方程相减，可得PQ的方程为2x+2y﹣3＝0．由于点O到直线PQ的距离为d＝＝，故弦长PQ＝2＝2×＝1．19．已知函数f（x）＝x+alnx，（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a＝1时，如果函数在定义域内单调递增，求实数t的取值范围．【分析】（1）对函数f（x）求导，对a进行讨论，判断单调性；（2）函数在定义域内单调递增，g'（x）＝≥0，分离参数求出t的范围．解：（1）已知函数f（x）＝x+alnx，（a∈R），x＞0，f'（x）＝1+，当a≥0时，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增；当a＜0时，x∈（0，﹣a），f'（x）＜0，f（x）递减；x∈（﹣a，+∞），f'（x）＞0，f（x）递增；（2）当a＝1时，g（x）＝x+lnx+，x＞0，g'（x）＝≥0，即x2+（t+1）x+1≥0在x＞0恒成立，分离参数t+1≥，由x+，x＞0，故t+1≥﹣2，即t≥﹣3．20．如图，三棱柱ABC﹣A'B'C'中，BC＝BB'＝B'C＝4，，AC⊥AA'，二面角B﹣AB'﹣C是直二面角，E，F分别是A'B'，CC'的中点．（1）求证：EF∥平面AB'C；（2）求EF与平面ABB'A'所成角的正弦值．【分析】（1）取AB′的中点G，连结GE，GC，推导出四边形GCFE为平行四边形，EF∥CG，由此能证明EF∥平面AB′C．（2）由CG∥EF，得EF与平面ABB′A′所成的角等于CG于平面ABB′A′所成角，作BH ⊥B′A，H是垂足，推导出∠CGA是CG与平面ABB′A′所成角，由此能求出EF与平面ABB'A'所成角的正弦值．解：（1）证明：取AB′的中点G，连结GE，GC，∵E，F分别是AB′，CC′的中点，∴GE∥AA′，且GE＝，∵CF∥AA′，且CF＝，∴GE∥CF，且GE＝CF，∴四边形GCFE为平行四边形，∴EF∥CG，又CG⊂平面AB′C，EF⊄平面AB′C，∴EF∥平面AB′C．（2）解：∵CG∥EF，∴EF与平面ABB′A′所成的角等于CG于平面ABB′A′所成角，作BH⊥B′A，H是垂足，由面BAB′⊥面AB′C，得BH⊥面AB′C，∴BH⊥AC，又AC⊥AA′，BH和AA′是相交直线，∴AC⊥平面ABB′A′，∴∠CGA是CG与平面ABB′A′所成角，AC＝3，AG＝，CG＝，∴EF与平面ABB'A'所成角的正弦值为sin∠CGA＝＝．21．如图，F是抛物线x2＝4y的焦点，过F的直线交抛物线于A，B两点，抛物线在A，B 两点处的切线相交于点M．（1）求证：点M在抛物线的准线上；（2）已知过抛物线上的点C作抛物线的切线分别交直线AM，BM于点P，Q，求△FPQ面积的最小值．【分析】（1）求得抛物线的焦点F的坐标，设出A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y＝kx+1，联立抛物线方程，运用韦达定理，求得y＝x2的导数，可得切线的斜率和方程，求得交点M的坐标，即可得证；（2）设C（x3，y3），求得切线的方程，运用点到直线的距离公式，求得P，Q的坐标，和距离|PQ|，再由三角形的面积公式和基本不等式，即可点到所求最小值．解：（1）证明：抛物线x2＝4y的焦点F（0，1），设A（x1，y1），B（x2，y2），则x12＝4y1，x22＝4y2，直线AB的方程为y＝kx+1，联立抛物线方程可得x2﹣4kx﹣4＝0，可得x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4，由y＝x2的导数为y′＝x，可得A处的切线的方程为y﹣y1＝x1（x﹣x1），即为y＝x1x﹣x12，同理可得B处切线的方程为y＝x2x﹣x22，解方程可得M（，），即M（2k，﹣1），即点M在抛物线的准线y＝﹣1上；（2）设C（x3，y3），可得C处的切线PQ的方程为y＝x3x﹣x32，则点F到直线PQ的距离为d＝，由（1）可得P（，），Q（，），可得|PQ|＝，则S△FPQ＝d|PQ|＝（1+x32）≥＝＝≥＝1，当且仅当x1＝﹣2，x2＝2，x3＝0时取得等号．则△FPQ面积的最小值为1．22．已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+bx，曲线f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y＝2x ﹣1．（1）求实数a，b的值；（2）如果不等式恒成立，求整数k的最大值．【分析】（1）由已知结合导数的几何意义可得，，代入即可求解a，b，（2）由已知可得，k，转化为求g（x）＝的最小值，结合导数即可求解．解：（1）∵f（x）＝lnx﹣ax2+bx，∴f′（x）＝﹣2x+b，由题意可得，，解可得，a＝0，b＝1，（2）由（I）可得f（x）＝lnx+x，f′（x）＝+1，由恒成立可得，k，令g（x）＝，则g′（x）＝，令h（x）＝x﹣ln（x+1），则h′（x）＝＞0，∴h（x）单调递增，而h（2）＜0，h（3）＞0，所以h（x）有唯一的实数根x0∈（2，3），且0＝x0﹣ln（x0+1），∴g（x）min＝g（x0）＝[1+ln（1+x0）]＝1+x0∈（3，4），∴k≤3，k∈z，故k的最大值3．。

2019-2020学年浙江省温州市高二（上）期末数学试卷（A 卷）一、选择题：每小题4分，共40分1．（4分）命题“若0x >，则20x >”的否命题是( )A ．若0x >，则20x …B ．若20x >，则0x >C ．若0x …，则20x …D ．若20x …，则0x … 2．（4分）将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括()A ．一个圆台、两个圆锥B ．一个圆柱、两个圆锥C ．两个圆台、一个圆柱D ．两个圆台、一个圆锥3．（4分）已知21:220l x m y m ++=与2:3l y x =-，若两直线平行，则实数m 的值为()A B C 或 D 或4．（4分）设α，β，γ为三个不同的平面，l ，m 为两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂．有如下的两个命题：①若//l β，//m α，则//αβ；②若l γ⊥，m γ⊥，则//αβ．那么()A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①②都是真命题D ．①②都是假命题5．（4分）已知双曲线过点(2,2)P ，其渐近线方程为12y x =±，则该双曲线的标准方程为()A ．2214x y -=B ．2214x y -=C ．221123x y -=D ．221312y x -=6．（4分）已知函数322()3(,)f x x ax bx a a b R =+++∈在1x =-时处取得极值0，则(a b +=) A ．4B ．11C ．4或11D ．3或107．（4分）已知P 是椭圆22221x y a b+=上在第一象限内的点，1F ，2F 分别是椭圆的左右焦点，若存在点P 使得点2F 在线段1PF 的中垂线上，则椭圆离心率的取值范围是( ) A ．1(0,)2B ．1(,1)3C ．11(,)32D ．1(,1)28．（4分）如图，正四面体ABCD 中，E 是AC 的中点，F 是CD 边上的动点，记二面角B EF D --的平面角为α，则F 从C 运动到D 的过程中（不含端点)(D )A ．α增大B ．α减小C ．α先增大后减小D ．α先减小后增大9．（4分）已知函数()f x 是定义在(0,)+∞的可导函数，()f x '为其导函数，当0x >且1x ≠时，2()()01f x xf x x '+>-，若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为1-，则f （1）(= )A ．12-B ．0C ．12D ．110．（4分）已知点A ，B 分别是互不垂直的两条异面直线a ，b 上的点，且直线AB 与a ，b 均垂直，P a ∈，Q b ∈，若直线PQ 与AB 所成锐角θ为定值，则PQ 的中点M 的轨迹是()A ．椭圆B ．抛物线C ．圆D ．线段二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11．（4分）如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的体积与球的体积之比为 ，圆柱的表面积与球的表面积之比为 ．12．（4分）已知函数()x f x x e =-，则f '（1）= ；函数()f x 的值域为 ． 13．（4分）某几何体的三视图（单位：)cm 如图所示，则此几何体的体积是 3cm ；表面积是 2cm ．14．（4分）已知集合{(,)|||||1}A x y x y =+…，集合222{(,)|B x y x y a =+…，0}a >，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 ；若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是 ．15．（4分）如图，已知点F 是抛物线24y x =的焦点，点A ，B 是抛物线上不同的两点，满足||:||1:3FA FB =，且90AFB ∠=︒，则直线AB 的斜率为 ．16．（4分）如图，四边形ABCD 中，2AB BC CD ===，5AD 3BD =，E 是线段CD 上除端点外的任一点，将ABD ∆沿BD 翻折成△A BD '，使二面角A BD C '--为120︒，设异面直线A D '和BE 所成的角为α，则sin α的最小值是 ．17．（4分）已知斜率为(0)k k ≠的直线l 交椭圆22143x y +=于A ，B 两点，设直线OA ，OB的斜率分别为1k ，2k ，满足128k k k +=，则OAB ∆面积的取值范围是 ． 三、解答题：5小题，共74分18．如图，已知圆M 的圆心在第一象限，与x 轴相切于点(2,0)A ，与直线22y x =相切于点B ．（1）求圆M 的方程；（2）圆M 和圆221x y +=相交于P ，Q 两点，求线段PQ 的长度．19．已知函数()f x x alnx =+，()a R ∈． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =时，如果函数21()()2g x f x x tx =++在定义域内单调递增，求实数t 的取值范围．20．如图，三棱柱ABC A B C '''-中，4BC BB B C ''===，7AB =，AC AA '⊥，二面角B AB C '--是直二面角，E ，F 分别是A B ''，CC '的中点．（1）求证：//EF 平面AB C '；（2）求EF 与平面ABB A ''所成角的正弦值．21．如图，F 是抛物线24x y =的焦点，过F 的直线交抛物线于A ，B 两点，抛物线在A ，B 两点处的切线相交于点M ．（1）求证：点M 在抛物线的准线上；（2）已知过抛物线上的点C 作抛物线的切线分别交直线AM ，BM 于点P ，Q ，求FPQ ∆面积的最小值．22．已知函数2()f x lnx ax bx =-+，曲线()f x 在(1，f （1）)处的切线方程为21y x =-． （1）求实数a ，b 的值； （2）如果不等式()(1)1kf x ln x '>++恒成立，求整数k 的最大值．2019-2020学年浙江省温州市高二（上）期末数学试卷（A 卷）参考答案与试题解析一、选择题：每小题4分，共40分1．（4分）命题“若0x >，则20x >”的否命题是( )A ．若0x >，则20x …B ．若20x >，则0x >C ．若0x …，则20x …D ．若20x …，则0x … 【解答】解：命题“若0x >，则20x >”的否命题是：若0x …，则20x …， 故选：C ．2．（4分）将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括()A ．一个圆台、两个圆锥B ．一个圆柱、两个圆锥C ．两个圆台、一个圆柱D ．两个圆台、一个圆锥【解答】解：设等腰梯形ABCD ， 较长的底边为CD ， 则绕着底边CD 旋转一周可得一个圆柱和两个圆锥，（如右轴截面图） 故选：B ．3．（4分）已知21:220l x m y m ++=与2:36l y x =-，若两直线平行，则实数m 的值为() A ．23B 6C 6或6D ．223或223- 【解答】解：直线2:36l y x =-+可化为360x y +=， 由直线21:220l x m y m ++=与2l 平行，。