第3讲-主应力及主切应力
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材料力学 主应力
材料力学主应力主应力是材料力学中的一个重要概念，它是指在一个物体内部某一点上的一个力对应的应力。
主应力的研究对于了解材料的力学性能和变形行为具有重要意义。
本文将从主应力的定义、计算以及应用等方面进行阐述。
我们来了解一下主应力的定义。
主应力是指在一个点上的一个力对应的应力，它是力对应的作用面上的单位面积上的力的大小。
主应力可以分为正应力和负应力，正应力是指某一面上的应力向外作用，而负应力则是指某一面上的应力向内作用。
主应力的大小可以通过实验或计算来得到，它是材料力学中的一个重要参数，可以用来描述材料受力情况下的变形行为。
我们来介绍一下主应力的计算方法。
主应力的计算可以通过应力分析或应力变换的方法来进行。
在应力分析中，可以通过测量力的大小和作用面积的大小来计算主应力的大小。
在应力变换中，可以通过施加不同方向的力来计算主应力的大小。
主应力的计算方法较为复杂，需要具备一定的数学和力学基础。
然后，我们来讨论一下主应力的应用。
主应力的应用非常广泛，它可以用来分析材料的强度和变形性能。
在工程设计中，主应力可以用来评估材料的承载能力和安全性。
在材料加工中，主应力可以用来控制材料的变形和裂纹的产生。
在材料测试中，主应力可以用来评估材料的力学性能和耐久性。
总之，主应力在材料力学中具有重要的应用价值。
我们来总结一下主应力的重要性。
主应力是材料力学中的一个重要概念，它是描述材料受力情况下的变形行为的重要参数。
主应力的计算和应用对于了解材料的力学性能和变形行为具有重要意义。
研究主应力可以帮助我们更好地理解材料的力学行为，为工程设计和材料加工提供科学依据。
因此，主应力的研究具有重要的理论和实际意义。
主应力是材料力学中的一个重要概念，它是描述材料受力情况下的变形行为的重要参数。
主应力的计算和应用对于了解材料的力学性能和变形行为具有重要意义。
通过研究主应力，我们可以更好地理解材料的力学行为，为工程设计和材料加工提供科学依据。
希望本文能够帮助读者对主应力有更深入的了解。
三向应力状态求主应力和最大切应力
三向应力状态求主应力和最大切应力咱们来一起了解一个特别有趣的东西，就像在玩一个超级有挑战性的游戏一样。
这个东西就是三向应力状态下求主应力和最大切应力。
先来说说应力是什么吧。
想象一下，你有一块小橡皮，你用手捏它、拉它或者压它，橡皮里面就会有那种抵抗你用力的感觉，这个就是应力啦。
就像你拉一个弹簧，弹簧会有一股劲儿想恢复原来的样子，这个劲儿就有点像应力。
那三向应力状态呢？咱们把这个小橡皮放在一个小盒子里，这个盒子从三个方向都对橡皮有作用，就好像上下左右前后都在给它压力或者拉力，这就是三向应力状态啦。
现在咱们来求主应力。
主应力就像是一群小伙伴里的小队长。
比如说在一个班级里，大家做游戏分组的时候，每个小组都有一个组长。
主应力就是在应力这个大家庭里比较特殊的“组长”。
怎么找到这个“组长”呢？咱们可以想象一个小正方体的泥巴块，这个泥巴块各个面都受到不同的力。
我们要找到这样的力，当这个泥巴块按照这个力的方向变形的时候，它不会歪着变形，而是直直地变形。
这个时候的力就是主应力啦。
我给你们讲个小故事哦。
有一个小木偶，它的身体就像我们说的那个泥巴块。
小木偶的胳膊、腿和身体各个部分都被不同的小绳子拉着或者推着，就像泥巴块各个面受力一样。
小木偶想要直直地站着或者动起来，它就需要找到那些主要的力量方向，就像我们找主应力一样。
再来说最大切应力。
切应力就像是你拿一把小刀去切一块软软的蛋糕时，蛋糕抵抗你切它的那种力。
最大切应力呢，就是这些切应力里最大的那个。
还是说那个小泥巴块，在它受到不同方向的力的时候，它的里面就会有切应力。
就像你把泥巴块想象成是一个装满水的小盒子，你要是扭这个盒子，水就会晃来晃去，这个晃的感觉就有点像切应力。
比如说，咱们有一块软软的豆腐，你用不同的板子从不同的方向去压豆腐，豆腐里面就会有应力。
豆腐可能会被压得变形，这个变形就和应力有关系。
而在这些应力里，我们就能找到主应力和最大切应力。
知道了三向应力状态下的主应力和最大切应力有什么用呢？这就像我们知道了怎么让小木偶更好地动起来，或者怎么让豆腐被压的时候按照我们想要的方式变形一样。
第三章 应力分析
σx τxy τxz σy yx τ τyz Sx τzy σz τzx By Sz S= σ Sy N
A x
主平面上的应力
S x = σ l , S y = σ m, S z = σ n S x = σl = σ x l + τ yx m + τ zx n ⎫
⎪ S y = σm = τ xy l + σ y m + τ zy n⎬ ⎪ S z = σn = τ xz l + τ yzx m + σ z n ⎭
S y dF − σ y mdF − τ xy ldF − τ zy ndF = 0
写成矩阵形式：
z C σ τx
y x
dF N σ Sz S Sy Sx O τz
y z
斜面上全应力为： 斜面上切应力为：
S = Sx + S y + Sz
2 2 2
2
σ
y z
τx τy
x z
σ = S xl + S y m + S z n
F0
P
N θ
σ0
σθ C F1 C1 Q Q
P P ⎧ C ⎪ Sθ = F = F cos θ = σ 0 cos θ 1 0 ⎪ ⎪ 2 ⎨σ θ = Sθ cos θ = σ 0 cos θ ⎪ 1 ⎪τ θ = Sθ sin θ = σ 0 cos θ sin θ = σ 0 sin 2θ 2 ⎪ ⎩
SN = σ N +τ N
2 2
2
3.2 点应力状态
点应力状态：点的应力状态，是指物体内任意一点附近不同方位上所承 受的应力情况，必须了解物体内任意一点的应力状态，才可推断整个变 形物体的应力状态。 1、一点应力状态的两种描述方法 第一种方法：应力状态图 在变形区内某点附近取一无限小的单元六面体，在其每个界面上都 作用着一个全应力，设单元体很小，可视为一点，故对称面上的应力是 相等的，只需在三个可见的面上画出全应力：
应力不变量,主应力,最大切应力
主题：应力不变量、主应力和最大切应力的意义和计算方法摘要：本文将介绍应力不变量、主应力和最大切应力的概念及其在工程实践中的重要性，同时分析其计算方法和影响因素，旨在帮助读者更深入地理解应力分析的相关概念。
一、概述在工程实践中，应力分析是非常重要的一项工作。
而应力不变量、主应力和最大切应力则是应力分析中的一些重要概念，对工程结构的强度和稳定性有着重要的影响。
本文将对这些概念进行深入探讨，介绍其计算方法和作用机理。
二、应力不变量的意义和计算方法应力不变量是描述应力状态的一个重要参数。
它是应力张量的三个主应力的平均值，代表了系统中应力的均匀分布程度。
应力不变量的计算方法是将应力张量表示成矩阵形式，然后利用矩阵运算求得其不变量。
在工程实践中，应力不变量的大小直接影响着材料的变形和破坏行为，因此对于工程设计来说具有重要意义。
三、主应力的概念及其作用主应力是应力张量的三个特征值，代表了应力状态的主要特征。
主应力的大小和方向决定了材料在受力时的变形和破坏模式，因此对于工程结构的强度分析非常重要。
在实际工程中，通过对主应力的计算和分析，工程师可以更好地预测材料的破坏行为，从而有针对性地进行结构设计和改进。
四、最大切应力的意义和计算最大切应力是应力张量中剪应力分量的最大值，代表了材料在受力时的最大切应力情况。
在材料变形和破坏过程中，最大切应力往往是导致材料失效的主要因素之一。
对最大切应力的计算和分析对于工程设计来说至关重要，能够有效地预测材料的破坏情况，从而指导工程实践中的结构设计和材料选择。
五、应力不变量、主应力和最大切应力的影响因素除了介绍这些概念的意义和计算方法之外，本文还将分析应力不变量、主应力和最大切应力的影响因素。
材料的物理性质、载荷的作用方式以及结构的几何形状等都会对这些应力参数产生影响。
了解这些影响因素有助于工程师更好地进行应力分析和结构设计。
六、结论通过对应力不变量、主应力和最大切应力的深入探讨，我们可以更好地理解这些应力参数在工程实践中的重要性和作用机理。
主切应力和最大切应力--材料成型原理
三、主切应力和最大切应力
主切应力平面：使切应力达到极大值的平面称为主切 应力平面；
主切应力：主切应力平面上所作用的切应力称为主切 应力。
在主轴空间中，垂直于一个主平面而与另两个主平面 交角为45的平面就是主切应力平面。
图 14-6 主切应力平面图
22
1
1
1
a ） l 0, m2 n2 1 b ）l 0, m n 1 c ）m 0,l n 1 d ）
表示。 设三个主应力的关系为 1 2 3 ，则
max
1 3
2
（14-19）
主切应力平面上的正应力值和主切应力值
12
1
2
2
；
23
2
3
2
；
31
3
2
1
；
12 23 31
1 2 3
2
2
3
2
1
2
（14-20）
主切应力的性质：
• 若1=2=3=，即变形体处于三向等拉或三向等压 的应力状态（即球应力状态）时，主切应力为零： 12=23=31=0
由此得
( x
x x
dx)dydz
x dydz
(
yx
yx y
dy)dzdx
y xdzdx
( zx
zx z
dz)dxdy zx dxdy 0
x yx zx 0
x y z
得质点的应力平衡微分方程
x
x
yx
y
zx
z
0
xy
x
y
y
zy
z
0
xz
x
yz
• 若三个主应力同时增加或减少一个相同的值时，主切 应力值将保持不变。
主切应力平面：使切应力达到极大值的平面称为主切 应力平面；
主切应力：主切应力平面上所作用的切应力称为主切 应力。
在主轴空间中，垂直于一个主平面而与另两个主平面 交角为45的平面就是主切应力平面。
图 14-6 主切应力平面图
22
1
1
1
a ） l 0, m2 n2 1 b ）l 0, m n 1 c ）m 0,l n 1 d ）
表示。 设三个主应力的关系为 1 2 3 ，则
max
1 3
2
（14-19）
主切应力平面上的正应力值和主切应力值
12
1
2
2
；
23
2
3
2
；
31
3
2
1
；
12 23 31
1 2 3
2
2
3
2
1
2
（14-20）
主切应力的性质：
• 若1=2=3=，即变形体处于三向等拉或三向等压 的应力状态（即球应力状态）时，主切应力为零： 12=23=31=0
由此得
( x
x x
dx)dydz
x dydz
(
yx
yx y
dy)dzdx
y xdzdx
( zx
zx z
dz)dxdy zx dxdy 0
x yx zx 0
x y z
得质点的应力平衡微分方程
x
x
yx
y
zx
z
0
xy
x
y
y
zy
z
0
xz
x
yz
• 若三个主应力同时增加或减少一个相同的值时，主切 应力值将保持不变。
第3讲-主应力及主切应力
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21
Lesson 5
同理可求得2、3的方向余弦
2
z
l 0
l 0
m 1 或
n 0
m 1 n 0
3
1
3
x
l 0.862
l 0.862
m 0 或 m 0
n 0.507
n 0.507
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Lesson 5
主应力的特点
三个主应力所作用的主微分面是相互垂直的
将主应力1代入（*）式中的任何两个方程， 并与（**）式联立，可以求解出主应力1的
方向余弦l1、m1、n1，同理，可以求解出主
应力2及3的方向余弦l2、m2、n2及l3、m3、
n3 。 每两个主应力的方向余弦之间满足以下关系
第五讲 Lesson Five
张贵杰
Zhang Guijie
Tel：0315-2592155 E-Mail： zhguijie@
河北理工大学金属材料与加工工程系 Department of Metal Material and Process Engineering Hebei Polytechnic University, Tangshan 063009
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Lesson 5
对此方程组求解分不同情况
当1≠2≠3时，
1）l m 0, n 1 ，此解指主微分面上切应力为零
2）l 0, m 0 时， l 1 m 0 n 1
2
2
3）l 0, m 0 时， l 0 m 1 n 1
2
2
4）l 0, m 0 时，此种情况不可能成立。
第三章力学基础(应力分析)
主应力
4 2 3
例题：已知点的应力状态 ij 2 6 1 ，求其
3 1 5
的主应力、主方向。（应力单位：MPa）
解：
J1 x y z 4 6 5 15
J2
(
x
y
y
z
z
x)
2 xy
2 yz
2 zx
(24 30 20) 4 1 9 60
x xy xz 4 2 3 J3 xy y yz 2 6 1 120 6 6 20 4 54
)l ( y
yxm )m
zxn zyn
0 0
xzl yz m ( z )n 0
主应力
➢ 由于 l 2 m2 n2 1 ，因此l、m、n不同时为零 则三元齐次方程组的系数矩阵一定等于零
x xy xz
yx y
yz
yz zy 0 z
展开方程组系数矩阵，可得
3 J1 2 J2 J3 0
主应力
➢应力状态特征方程
3 J1 2 J2 J3 0
式中 J1 x y z
J2
( x y
y z
z
x
)
2 xy
2 yz
2 zx
J3
x y z
2 xy yz zx
x
2 yz
y
2 zx
z
2 xy
主应力
➢ 应力状态特征方程 3 J1 2 J2 J3 0 的三
xl2 ym2 zn2 2( xylm yzmn zxnl) 即 ijlil j
2 n
S2
2 n
如何求解斜面上的应力
例题说明
➢ 已知某点应力张量为
ij yxx
xy y
xz yz
材料力学主应力知识点总结
材料力学主应力知识点总结材料力学是研究物质在外力作用下变形和破坏的学科，主应力是材料受力引起的应变状态中所表现出来的应力。
主应力是材料力学中的重要知识点，本文将对主应力的概念、计算方法以及其应用进行总结。
一、主应力的概念主应力指的是在某个特定方向上的最大和最小应力。
根据材料在不同应力状态下的表现，主应力可分为拉应力和压应力。
拉应力是指某一方向上的应力值为正值，而压应力则是指某一方向上的应力值为负值。
二、主应力的计算方法主应力的计算可以通过应力转换公式来实现。
对于平面应力状态下的主应力计算，我们可以使用著名的Mohr圆方法。
该方法通过绘制Mohr圆图来确定主应力的数值。
绘制Mohr圆图的步骤如下：1. 根据给定的平面应力状态下的两个主应力值，构建一个坐标系。
2. 在坐标系中找到两个主应力值所对应的坐标点，分别标记为A和B。
3. 以点A和B为圆心，AB的长度为半径作圆弧，确定一个圆。
根据圆的性质，圆弧与横轴和纵轴相交的两点分别为两个主应力值的坐标点。
4. 连接圆心和两个主应力值的坐标点，得到两条线段，分别表示两个主应力的方向。
5. 从圆心开始，沿着圆弧方向的逆时针方向旋转90度，该方向所对应的弧度为斜面上的剪应力最大值。
三、主应力的应用主应力是材料力学中常用的计算参数，具有广泛的应用价值。
下面介绍几个主应力的应用场景：1. 设计材料和结构：在工程设计过程中，了解主应力及其分布情况对材料的选择和结构的设计至关重要。
通过对主应力的计算和分析，可以确定材料的最大承载能力，从而确保结构的安全性和耐久性。
2. 破坏分析：主应力可以用于破坏分析，即通过判断主应力是否超过材料的极限强度来预测材料的破坏。
如果主应力超过了材料的极限强度，则材料可能发生破坏或变形。
3. 应力集中分析：在实际工程中，往往存在应力集中的情况，即某一点或某一区域的应力值明显高于周围区域。
主应力可以用于分析应力集中的位置和程度，进而指导设计和加强工艺。
材料力学主应力
材料力学主应力为了进一步了解主应力，我们首先需要了解材料的应力状态。
材料在外力作用下会受到内部分子间的相互作用力，这些力会导致材料产生内部应力。
根据力的性质，我们可以将内部应力分解为正应力和剪应力。
正应力是指垂直于截面的分量，剪应力是指平行于截面的分量。
在一维静力学问题中，材料受到的应力只有一个方向，因此只存在一个正应力。
但在三维静力学问题中，材料受到的应力存在多个方向，因此存在多个正应力。
这些正应力中，具有最大值的称为主应力，具有最小值的称为次应力。
主应力对于材料的力学行为和断裂性能具有重要影响。
在材料的拉伸、压缩、扭转和弯曲等不同加载方式下，主应力的分布是不同的。
在拉伸或压缩加载中，材料的主应力沿加载轴方向，而在扭转加载中，主应力沿材料截面法线方向。
在弯曲加载中，则存在两个方向的主应力。
根据主应力的大小和正负号，可以判断材料的受力状态。
当主应力为正时，材料受到拉伸力，当主应力为负时，材料受到压缩力。
当主应力的大小相等时，材料受到平衡状态的等轴应力。
主应力的分析对于材料的工程应用具有重要意义。
具体来说，主应力的分布可以用来判断材料的断裂行为。
材料在主应力达到其极限强度时会发生断裂。
在构造设计中，合理地选择材料和加载方式可以使主应力分布均匀，避免材料发生断裂。
此外，主应力的研究也对于材料的变形行为有着重要的影响。
主应力的大小和分布会对材料的塑性行为和变形能力产生影响。
合理地调节主应力分布可以改变材料的变形行为，从而使其具有更好的工程性能。
综上所述，主应力是材料力学中一个重要的概念。
主应力的分布可以用来判断材料的断裂行为，而主应力的大小和分布也会对材料的变形行为产生影响。
因此，在材料力学研究和工程应用中，主应力的分析是必不可少的一步。
3-1-2 应力分析_主应力与主切应力
J1 x y z 15
J2
( x y
yz
z
x
)
2 xy
2 yz
2 zx
60
J3
x
y z
2 xy
yz zx
( x
2 yz
2
y zx
z
2 xy
)
54
金属塑性成形原理
将J1、J2和J3代入应力状态特征方程（式3-15） 主应力：
3 15 2 60 54 0 ( 9)( 2 6 6) 0
σ1 = σ2 = σ3 球应力状态。所有方向都没有剪应力，所以都是主方向
而且所有方向的应力都相等。
σ1
σ1
σ1
σ1
σ2 σ3
σ2 σ3
σ2
σ3
σ2
主应力表示的各种应力状态
金属塑性成形原理
主应力图：
一点的应力状态可用作用在单元体上的主应力来描述，只用主应力 的个数及符号来描述一点的应力状态的简图称为主应力图。
2 6
3 ,m3
2 6
3 ,n3
1 3
金属塑性成形原理
二、应力张量不变量
利用应力张量的三个不变量J1、J2、J3 ，可以辨别应力状态是否相同
J11 x y z a b
J
1 2
( x y
y z
z x
)
2 xy
2 yz
2 zx
ab
J
1 3
x
y z
2
xy
yz zx
( x
2 yz
金属塑性成形原理
3-1-2：应力分析 ——主应力与主切应力
内容提纲
一、主应力 二、应力张量不变量 三、应力椭球面 四、主切应力和最大切应力
主应力及主切应力
在工程实践中，主切应力的大小和方向对材料的剪切性能、强度和稳定性等有重 要影响，因此，了解主切应力的物理意义对于工程设计和安全评估具有重要意义 。
03
主应力与主切应力的关系
主应力影响
主应力的大小和方向会影响主切应力的分布和大小，主切应力的大小和方向也会受到主应力的影响。
主应力与主切应力的平衡条件
平衡条件
在一定的条件下，主应力和主切应力 可以达到平衡状态。平衡状态是指材 料内部的应力分布处于相对稳定的状 态，不再发生应力变化。
平衡条件的应用
平衡条件在工程中有着广泛的应用， 如结构设计、强度分析、稳定性分析 等。通过满足平衡条件，可以保证结 构的稳定性和安全性，防止因应力过 大而发生破坏。
主切应力对主应力的影响
主切应力的大小和方向会影响主应力的分布和大小，主应力的大小和方向也会受到主切应力的影响。
主应力与主切应力的转化关系
主应力与主切应力的转化
在一定的条件下，主应力和主切应力可以相互转化。当材料受到外力作用时，主应力可能会转化为主切应力，反 之亦然。
转化条件
主应力与主切应力的转化需要满足一定的条件，如材料的屈服极限、强度极限等。当材料达到屈服极限或强度极 限时，主应力可能会转化为主切应力，导致材料发生断裂或屈服。
主应力及主切应力
目录
• 主应力概述 • 主切应力概述 • 主应力与主切应力的关系 • 主应力与主切应力的应用 • 主应力及主切应力的研究展望
01
主应力概述
主应力的定义
定义
主应力是指物体受力作用后，在受力面上各点所出现的应力 。它是描述物体受力状态的一个重要参数，也是进行结构设 计、强度分析、稳定性分析等计算的重要依据。
04
主应力与主切应力的应用
03
主应力与主切应力的关系
主应力影响
主应力的大小和方向会影响主切应力的分布和大小，主切应力的大小和方向也会受到主应力的影响。
主应力与主切应力的平衡条件
平衡条件
在一定的条件下，主应力和主切应力 可以达到平衡状态。平衡状态是指材 料内部的应力分布处于相对稳定的状 态，不再发生应力变化。
平衡条件的应用
平衡条件在工程中有着广泛的应用， 如结构设计、强度分析、稳定性分析 等。通过满足平衡条件，可以保证结 构的稳定性和安全性，防止因应力过 大而发生破坏。
主切应力对主应力的影响
主切应力的大小和方向会影响主应力的分布和大小，主应力的大小和方向也会受到主切应力的影响。
主应力与主切应力的转化关系
主应力与主切应力的转化
在一定的条件下，主应力和主切应力可以相互转化。当材料受到外力作用时，主应力可能会转化为主切应力，反 之亦然。
转化条件
主应力与主切应力的转化需要满足一定的条件，如材料的屈服极限、强度极限等。当材料达到屈服极限或强度极 限时，主应力可能会转化为主切应力，导致材料发生断裂或屈服。
主应力及主切应力
目录
• 主应力概述 • 主切应力概述 • 主应力与主切应力的关系 • 主应力与主切应力的应用 • 主应力及主切应力的研究展望
01
主应力概述
主应力的定义
定义
主应力是指物体受力作用后，在受力面上各点所出现的应力 。它是描述物体受力状态的一个重要参数，也是进行结构设 计、强度分析、稳定性分析等计算的重要依据。
04
主应力与主切应力的应用
材料力学 主应力
材料力学主应力主应力是材料力学中的一个重要概念，用于描述材料中所受到的最大应力值。
在材料力学中，研究材料的力学性质和行为是十分关键的，而主应力则是其中一个重要的参数。
主应力是指在一个给定点上，材料中所受到的最大正应力或最大剪应力。
主应力的大小和方向都是十分重要的，它们直接影响着材料的力学行为。
主应力的大小可以用来评估材料的强度和耐久性，而主应力的方向则可以用来确定材料的变形方式和断裂模式。
在材料力学中，主应力有三个主要的方向，分别是主应力1、主应力2和主应力3。
主应力1是材料中的最大主应力，主应力2是中间的主应力，主应力3是最小的主应力。
这三个主应力的方向夹角为60度。
主应力1和主应力3之间的夹角称为主应力差角，它可以用来描述材料的应力状态。
主应力的计算可以通过应力张量的特征值来实现。
应力张量是一个描述材料内部应力分布的矩阵，它包含了材料中各个方向上的正应力和剪应力。
通过求解应力张量的特征值和特征向量，我们可以得到主应力的大小和方向。
主应力的大小等于应力张量的特征值，而主应力的方向则由对应的特征向量确定。
主应力在工程中有着广泛的应用。
例如，在材料的设计和优化过程中，我们可以根据材料的主应力来选择合适的材料和结构形式，以满足设计要求和提高材料的强度和耐久性。
此外，在材料的失效分析和断裂力学中，主应力也是一个重要的参数。
通过计算主应力，我们可以预测材料的失效模式和寿命，从而提前采取措施以防止材料的损坏和事故的发生。
主应力是材料力学中的一个重要概念，它可以用来描述材料中所受到的最大应力值。
主应力的大小和方向对材料的力学性质和行为有着直接的影响，因此在材料的设计、优化和失效分析中都具有重要的应用价值。
通过了解和掌握主应力的概念和计算方法，我们可以更好地理解和研究材料的力学行为，并为工程实践提供科学依据。
材料成型原理——主切应力及八面体应力
+σ3 )2 2 +σ1 )2 2
+τ 2 +τ 2
=
l
2
(σ1
−
σ
2
)(σ1
−
σ
3
)
+
σ (
2
− 2
σ
3
)2
=
m2
(σ
2
−
σ
3
)(σ
2
−
σ1)
+
σ (
3
− 2
σ1
)2
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪
(σ
−
σ1
+σ2 2
)2
+τ
2
=
n2 (σ 3
− σ1)(σ 3
−σ2)
+
(σ1
−σ2 2
)2
⎪ ⎪⎭
1圆外 2圆内 3圆外
第十一章 应力与应变理论
第三讲 主切应力及八面体应力
阎昱
一、主切应力
1. 复习主应力、主平面的概念
z 主平面： τ = 0 的微分面 z 主应力：主平面上作用的正应力
z 主切应力平面：切应力τ达到极值的微分面
z 主切应力：主切应力平面上作用的切应力
一、主切应力
求解切应力极值
l = 0, m = ±1 2 , n = ±1 2
四、应力平衡微分方程
一点的应力状态
各点的应力变化关系 ？
应力是坐标的连续函数，即 σij = f (x, y, z)
在直角坐标系中，点Q (x,y,z)的应力状态为σij。
无限邻近处点Q′((x+dx),(y+dy),(z+dz))的应力状态为
应力、主应力和应力状态
一、应力
1. 几个相关概念
外力：一物体施加于另一物体的力。 内力：同一物体内部各部分之间的相互作用力。
P
pA p
P
外力（P）和内
力（p）图示
一、应力 1. 几个相关概念
固有内力：物体未受外力时，内部各质点 间已经存在的相互作用力，即自然状态粒 子结合力，它们使各质点处于相对平衡状 态，使物体保持固定的形状。 附加内力：物体受到外力作用时，内部质 点之间的相互作用力相应地改变，内力的 改变量称为附加内力。它阻止物体继续变 形并力图恢复其原来的形状。构造地质学 研究中非常关注附加内力。
一、应力
2. 应力
在物体内部某截面（如图中n截面）上的某点
（如m点）处截取一微小面积F，设其上的作
用力为P，则将 lim P dP P
F0 F dF
P
称为n截面上m点处的应力，
也可以称为m点处n截面上 n
的应力。
m
应力的特点：①是一个矢量；
②与材料内部特定的截面相关
一、应力 2. 应力 应力的分解
应力P 是矢量，可以分解为垂直于截面 n 的正应力或直应力（）和平行于截面 n 的剪应力或切应力（）。
P
规定：正应力挤压为正， n
m
拉伸为负。
二、 主应力、主方向、主平面与应力状态
应力状态：材料内部某点处所有截面上的应力集合。
为了表述一点处的应力状态，以考察点为中心，截 取一个体积趋于零的立方体，该立方体的六个表面
1
力状态或平面应力状态、
3
三轴应力状态。
2
主应力示意图
上只有正应力而没有剪
2
应力作用。此时的三对
3
正应力称之为3
用1、2和3表示。
1. 几个相关概念
外力：一物体施加于另一物体的力。 内力：同一物体内部各部分之间的相互作用力。
P
pA p
P
外力（P）和内
力（p）图示
一、应力 1. 几个相关概念
固有内力：物体未受外力时，内部各质点 间已经存在的相互作用力，即自然状态粒 子结合力，它们使各质点处于相对平衡状 态，使物体保持固定的形状。 附加内力：物体受到外力作用时，内部质 点之间的相互作用力相应地改变，内力的 改变量称为附加内力。它阻止物体继续变 形并力图恢复其原来的形状。构造地质学 研究中非常关注附加内力。
一、应力
2. 应力
在物体内部某截面（如图中n截面）上的某点
（如m点）处截取一微小面积F，设其上的作
用力为P，则将 lim P dP P
F0 F dF
P
称为n截面上m点处的应力，
也可以称为m点处n截面上 n
的应力。
m
应力的特点：①是一个矢量；
②与材料内部特定的截面相关
一、应力 2. 应力 应力的分解
应力P 是矢量，可以分解为垂直于截面 n 的正应力或直应力（）和平行于截面 n 的剪应力或切应力（）。
P
规定：正应力挤压为正， n
m
拉伸为负。
二、 主应力、主方向、主平面与应力状态
应力状态：材料内部某点处所有截面上的应力集合。
为了表述一点处的应力状态，以考察点为中心，截 取一个体积趋于零的立方体，该立方体的六个表面
1
力状态或平面应力状态、
3
三轴应力状态。
2
主应力示意图
上只有正应力而没有剪
2
应力作用。此时的三对
3
正应力称之为3
用1、2和3表示。
应力,剪应力,正应力(法向应力),主应力
剪应力：
剪应力是应力的一种，定义为单位面积上所承受的剪力，且力的方向与受力面的法线方向正交。
法线：
法线，是指始终垂直于某平面的虚线。在数学几何中法线指平面上垂直于曲线在某点的切线的一条线。法线也应用于物理学上的平面镜反射上。
剪力：
剪力，又称剪切力：“剪切”是在一对相距很近，大小相同，指向相反的横向外力（即垂直于作用面的力）作用下，材料的横截面沿该外力作用方向发生的相对错动变形现象。能够使材料产生剪切变形的力称为剪力或剪切力。发生剪切变形的截面称为剪切面。判断是否“剪切”的关键是材料的横截面是否发生相对错动。
应力：
物体由于外因（受力、湿度、温度场变化等）而变形时，在物体内各部分之间产生相互作用的内力，以抵抗这种外因的作用，并试图使物体从变形后的位置恢复到变形前的位置。
在所考察的截面某一点单位面积上的内力称为应力。同截面垂直的称为正应力或法向应力，同截面相切的称为剪应力或切应力。
正应力：
物体由于外因(受力、湿度变化等)而变形时，在物体内各部分之间产生相互作用的内力，以抵抗这种外因的作用，并试图使物体从变形后的位置回复到变形前的位置。
在所考察的截面某一点单位面积上的内力称为应力。同截面垂直的称为正应力或法向应力（normal stress）是物体内某一点以法向量为n=(n1，n2，n3)的微面积元上剪应力为零时的法向应力。这时，n的方向称为这一点的应力主方向。
主应力即为一点在某一微面积元上的法向应力。
【材料力学课件】空间应力状态的主应力与最大剪应力
8-５空间应力状态的主应力与最大剪应力1. 主应力对于空间一般应力状态（如图8-9a），可以证明，总可将微元体转到某一方位，此时三对微面上只有正应力而无剪应力作用（如图8-13）。
此三对微面即主平面，三个正应力即主应力（正应力极值）。
空间一般应力状态一般具有三个非零的主应力，故也称三向应力状态。
约定：三个主应力按代数值从大到小排列，即。
，，, 所以，,2. 主剪应力，最大剪应力若已知（或已求得）三个主应力，可求：1）平行方向的任意斜截面上应力（如图8-15a ）。
由于不参加图8-15b所示微元体的力平衡。
可利用式（8-3a ）、(8-3b)：相应于图8-15c 中， 构成的应力圆，此时主剪应力：，（图8-15c 上的 点）。
2）平行方向斜截面上的主剪应力（见图8-16a，b，c）主剪应力：。
（见图8-15c中,,构成的应力圆上点）。
3）求平行方向斜截面上的主剪应力（见图8-15c中点）。
在按约定排列的三个非零主应力，，主剪应力，，处在与，作用面成【例8-1】中：而非【例8-2】中：3. 任意斜截面上应力已知主应力，，，设斜截面法线n的方向余弦为l,m, n。
求任意斜截面上应力。
设斜面面积，则三个侧面面积：三个方向余弦满足关系：（a）由平衡条件，和有：，，（b）由总应力的三个分量可得总应力：（c）也可分解为法线n方向的正应力和面上剪应力（图8-17c），则有（d）由式（d），（c）得：（e），，在斜面法线上投影之代数和为，注意到式（b），则有：（f）由式（a），（e），（f）可解得：(8-7)在以为横坐标，为纵坐标的坐标平面内，以上三式分别表示三个应力圆，且交于一点，此点坐标即为斜截面上的应力（，）。
由于、、，在约定当，式（中，所有平行方向的斜截面中，与，成的斜面上具有主剪应力，同理，当，和时，对应有，及，组成的分别可得主剪应力：和，可见，。
主平面、主切应力平面及其面上的正应力和切应力
主平面、主切应力平面及其面上的正应力和切应力主平面和主应力是弹性力学中的概念，是用来描述材料在受力作用下的应力状态的一个重要工具。
主平面指的是材料内部受力作用下应力最大或最小的方向，而主应力则是这个方向上的应力值。
而主切应力平面和其面上的正应力和切应力，则是描述材料内部的变形状态的一个概念。
首先我们来看主平面和主应力的概念。
当材料受到外力的作用时，材料内部会产生各种应力。
这些应力是多方向的，如果我们希望找到一个方向，使得在这个方向上的应力是最大或者最小的，那么就会得到主平面和主应力的概念。
主平面是这个方向，而主应力则是在这个方向上的应力值。
对于一个给定的点，它的主平面是由该点的应力张量的特征向量所决定的。
其实，主平面、主切应力平面以及其面上的正应力和切应力这个概念是从材料的变形过程中提出来的。
在一个点上，由于材料受到外力的作用，会引起这个点周围的变形，而这个变形不仅仅与物体在这个点上的材料性质有关，还与外力和材料在这个点处的应力状态有关。
在材料受到外力的作用时，内部会产生应力，而这个应力不是均匀分布的，而是沿各个方向都存在的。
当材料内部的应力不再增大时，即为主应力。
通常会有三个主应力，分别对应于三个不同的主平面。
在这三个主平面上，会有相应的正应力和切应力。
主平面和主应力是弹性力学中很重要的概念，研究它们可以帮助工程师更好地分析和设计材料的性能和工程结构的安全性。
主平面和主应力的概念是非常重要的，因为它们可以帮助我们更好地理解材料在受力作用下的应力状态，这对于材料力学的研究和工程设计具有非常重要的意义。
主平面和主应力的概念对于工程领域有很多应用。
在工程设计中，我们经常需要了解材料在受力作用下的应力状态，从而确定材料的强度和结构的稳定性。
主平面和主应力可以帮助我们更好地理解和分析材料的应力状态，从而指导工程设计和优化。
同样，主切应力平面和其面上的正应力和切应力也是非常重要的。
它们描述了材料内部的变形状态，这对于材料的强度和耐久性有着重要作用。
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11
Lesson 5
主应力的特点
三个主应力所作用的主微分面是相互垂直的
将主应力1代入（*）式中的任何两个方程， 并与（**）式联立，可以求解出主应力1的
方向余弦l1、m1、n1，同理，可以求解出主
应力2及3的方向余弦l2、m2、n2及l3、m3、
n3 。 每两个主应力的方向余弦之间满足以下关系
l1l2 m1m2 n1n2 0
l2l3 m2m3 n2n3 0
l3l1 m3m1 n3n1 0
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Lesson 5
三个主应力均为实根 主应力具有极值性质
三个主应力中的最大值赋给1，最小值赋给 3，并按大小顺序排列1≥2≥3，则过该 点任意微分斜面上的正应力中，1为最大值， 3为最小值。
1 0 0 T 0 2 0
0 0 3
为主应力张量
正应力 n 1l 2 2m2 3n2
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Lesson 5
10.4.2 主切应力和最大切应力
主切应力
任意微分斜面上的切应力也有极大值和最大值。 极值切应力又称为主切应力。
在主坐标系下，任意微分斜面上的切应力
展开后得
1 2 3 0
3 1 2 3 2 1 2 2 3 31 1 2 3 0
由代数学可知，具有相同的根的方程是全等方 程，因此该式与应力状态特征方程全等。有
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应力张量不变量
Lesson 5
I1 x y z 1 2 3
2 n
1
2 2 l 2m2
2
3 2 m2n2
3
1 2 n2l 2
上式中消去n，得到n与l、m的函数关系
2 n
12
2 3
l2
2 2
2 3
m2
2 3
1 3
l2 2 3
m2 3
2
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Lesson 5
当微分面转动时，切应力随之变化。我们所求 的是，当l、m、n为何值时，微分面上的切应 力取极值。由二元函数f(x,y)求极值的方法可求 得微分面上的切应力的极值。
I2 x y y z z x
2 xy
2 yz
2 zx
1 2 2 3 3 1
I3
x y z
2 xy yz zx
x
2 yz
y
2 zx
z
2 xy
1 2 3
对同一点应力状态，三个主应力的数值是一定的，而
与过该点的坐标系的选择无关，不管应力分量怎样随坐 标系改变。那么I1、I2、I3 是不随坐标系改变的，分别称 为一次、二次和三次应力常量，或称为应力张量不变量。
f
(l,
m)
2 n
2 1
2 3
l2
2 2
z x
(
2 xy
2 yz
zx2 )
I3
x y z
2 xy yz zx
x
2 yz
y zx2
z
2 xy
则有
3 I1 2 I2 I3 0
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Lesson 5
三次方程式称为应力状态特征方程。此方程 的三个根就是三个主应力，而这三个主应力 均为实根。由因式分解可知
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Lesson 5
6
Lesson 5
代入到斜面应力方程中有
Snx Sny
l m
xxyllyxymmzxzynn
Snz
n
xzl
yzm
z
n
整理后可得
x
xyl
l
y
y
xm m
zx zy
n n
0 0
xzl yzm z n 0
又有
l2 m2 n2 1esson 5
4
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Lesson 5
5
主应力的求解
如果取微分面ABC为主 微分面，即该微分面上 只有主应力而没有切应 力。这时，作用在此面 上的全应力就是主应力。
用 表示主应力，则它
在各坐标轴上的投影为
Snx l Sny m Snz n
zy 0
z
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8
展开此行列式，得
Lesson 5
3 ( x y z ) 2
x
y
y z
z x
(
2 xy
2 yz
zx2 )
x y z
2 xy yz zx
x yz2
y zx2
z
2 xy
0
令
I1 ( x y z )
I2
x
y
y z
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Lesson 5
主坐标系
因为三个主应力两两相互垂直，若取坐标轴 与主应力方向一致，则构成主坐标系，其坐 标轴称为主轴。
3(z)
3
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1
1(x)
2
2(y)
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Lesson 5
在主坐标系下斜面上的应力为
Sn1 1l 0 m 0 n 1l Sn2 0 l 2m 0 n 2m Sn3 0 l 0 m 3n 3n 或 Sn1 1 0 0 l Sn2 0 2 0 m Sn3 0 0 3 n
（*） （**）
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7
Lesson 5
由上面四个方程可求出主应力及其方向余
弦l、m、n。显然，前三个方程构成一个齐 次方程组，显然不能有l = m = n = 0这样的
解。如要方程组有其他解时，必须取该方程 组的系数行列式为零，即
x
xy xz
yx
y
yz
zx
金属塑性变形理论
Theory of metal plastic deformation
第五讲 Lesson Five
张贵杰
Zhang Guijie
Tel：0315-2592155 E-Mail： zhguijie@
河北理工大学金属材料与加工工程系 Department of Metal Material and Process Engineering Hebei Polytechnic University, Tangshan 063009
第十章 应力状态分析
主要内容
Main Content
应力状态基本概念 斜面上任一点应力状态分析 求和约定和应力张量 主应力及主切应力 球应力及偏差应力
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Lesson 5
2
10.4 主应力及主切应力
Lesson 5
10.4.1 主应力的概念
通过坐标变换可以找到只有正应力的 坐标面，此坐标轴称为主轴，此应力 称为主应力，该坐标面为主平面。