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222习题七( A )1、设总体X 服从参数为N 和p 的二项分布，n X X X ,,,21 为取自X 的一个样本，试求参数p 的矩估计量与极大似然估计量.解：由题意，X 的分布律为： ()(1),0k N kN P X k p p k N k -⎛⎫==-≤≤⎪⎝⎭. 总体X 的数学期望为(1)(1)011(1)(1)1NNk N k k N k k k N N EX k p p N p p p k k ----==-⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑∑ 1((1))N N p p p N p -=+-=则E X p N=.用X 替换E X 即得未知参数p 的矩估计量为ˆX pN=.设12,,n x x x 是相应于样本12,,n X X X 的样本值，则似然函数为111211(,,;)()(1)nniii i n nx nN x n i i i i NL x x x p P Xx pp x ==-==∑∑⎛⎫===⋅- ⎪⎝⎭∏∏取对数111ln ln ln ()ln(1)nn ni i i i i iN L x p nN x p x ===⎛⎫=+⋅+-⋅- ⎪⎝⎭∑∑∑，11ln (1)nnii i i xnN x d L dpp p ==-=--∑∑.223令ln 0d L dp=，解得p 的极大似然估计值为11ˆnii x npN==∑.从而得p 的极大似然估计量为11ˆnii X X npNN===∑.2,、设n X X X ,,,21 为取自总体X 的一个样本,X 的概率密度为22,0(;)0,x x f x θθθ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它.其中参数0θ>，求θ的矩估计.解：取n X X X ,,,21 为母体X 的一个样本容量为n 的样本，则222()3xE X xf x dx x dx θθθ+∞-∞==⋅=⎰⎰32E X θ⇒=用X 替换E X 即得未知参数θ的矩估计量为3ˆ2X θ=.3、设12,,,n X X X 总体X 的一个样本, X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=--0,0,0,);(1x x ex x f xαλαλαλ其中0>λ是未知参数，0>α是已知常数,求λ的最大似然估计.解：设12,,,n x x x 为样本12,,,n X X X 的一组观测值，则似然函数为2241()1121(),0(,,,;)0,ni i n x n n i i n i x e x L x x x αλαλαλ=--=⎧∑⎪⋅≥=⎨⎪⎩∏ 其他 取对数 11ln ln ln (1)(ln )()n ni i i i L n n x x αλααλ===++--∑∑解极大似然方程1ln 0ni i d L nx d αλλ==-=∑得λ的极大似然估计值为1ˆnii nxαλ==∑从而得λ的极大似然估计量为1ˆnii nXαλ==∑.4、设总体X 服从几何分布,10,,2,1,)1()(1<<=-==-p k p p k X P k 试利用样本值n x x x ,,,21 ,求参数p 的矩估计和最大似然估计.解：因11111(1)(1)k k k k EX k p p p k p p∞∞--===⋅-=⋅-=∑∑,用X 替换E X 即得未知参数p 的矩估计量为1ˆpX=.在一次取样下，样本值12(,,,)n x x x 即事件1122{},{},,{}n n X x X x X x === 同时发生，由于12,,,n X X X 相互独立，得联合分布律为121122(,,,;)()(),,()n n n L x x x p P X x P X x P X x ====22512111(1)(1)(1)n x x x p p p p p p ---=-⋅-- ,即得极大似然函数为1()(1)ni i x nnL p p p =-∑=-取对数 1ln ()ln ()ln(1)ni i L p n p x n p ==+--∑解极大似然方程1ln ()01nii xnd L p n dppp=-=-=-∑得p 的极大似然估计值为11ˆ1nii pxn==∑从而得p 的极大似然估计量为111ˆ1nii pXXn===∑.5、设总体X 的概率密度为()1;exp ,2x f x σσσ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭0σ>为未知参数, n X X X ,,,21 为总体X 的一样本,求参数σ的最大似然估计.解：设12,,,n x x x 为样本12,,,n X X X 的一组观测值，则似然函数为121111(,,,;)(;)(;)exp{||}(2)nn n ini L x x x f x f x xσσσσσ====-∑取对数1211ln (,,,;)ln(2)||nn ii L x x x n xσσσ==--∑226解极大似然方程21ln 1||0nii d L nxd σσσ==-+=∑得σ的极大似然估计值11ˆ||nii x nσ==∑从而得σ的极大似然估计量为11ˆ||nii Xnσ==∑.6、证明第5题中σ的最大似然估计量为σ的无偏估计量.证明：由第5题知σ的最大似然估计量为11ˆ||nii X nσ==∑故 1111ˆ(||)||nniii i E E XE X nnσ====∑∑又1||||||exp{}2i x E X x dx σσ+∞-∞=⋅-⎰12exp{}exp{}()2x x x x dx x d σσσσ+∞+∞=⋅-=⋅-⎰⎰[exp{}|exp{}]xxx dx σσσ+∞+∞=-⋅---=⎰从而 ˆE σσ=，即ˆσ是σ的无偏估计. 7,、设总体X 的概率密度为()222220;0x x e x f x σσσ-⎧⎪>=⎨⎪⎩，，，其它.,20σ>为未知参数, n X X X ,,,21 为总体X 的一个样本,求参数2σ的的矩估计量和最大似然估计量.解：因22222(;)2xxE X x f x dx x e dx σσσ-+∞+∞-∞=⋅=⋅⎰⎰222222222002()[2|2]xxxxd exeedx σσσ---+∞+∞+∞=-=--⎰⎰22722222202xxedx edx σσ--+∞+∞===⎰⎰用X 替换E X 即得未知参数σ的矩估计量为ˆX σ=从而得未知参数2σ的估计量为22ˆ)X σ=设12,,,n x x x 为样本12,,,n X X X 的一组观测值，则似然函数为21211()222211212(,,,;)(;)(;)ni nix i n n nx L x x x f x f x eσσσσσ=-=∑==∏取对数222111ln ln ln 2nniii i L xn xσσ===--∑∑解极大似然方程22241ln 102nii d L nxd σσσ==-+=∑得2σ的极大似然估计值2211ˆ2nii x nσ==∑从而得未知参数2σ的估计量为2211ˆ2nii xnσ==∑.8、设总体),(~2σμN X ,μ已知,σ为未知参数, n X X X ,,,21 为X 的一个样本,∑=∧-=ni i X c 1||μσ, 求参数c ,使∧σ为σ的无偏估计.解：由无偏估计的定义，要使∧σ为σ的无偏估计，则ˆE σσ=228又11ˆ(||)||n ni i i i E E c X u c E X u σ===-=-∑∑由题意知总体),(~2σμN X ，从而22()2||||x u i E X u x u dx σ--+∞-∞-=-⎰2222()()2211[()]()x u x u u ux u dx x u dx σσ----+∞-∞=--+-⎰⎰且2222()220()x u yx u yux u dxydy σσ--=--+∞+∞-=⎰⎰22222()2yyed σσ-+∞=--=⎰由对称性有||i E X u -=从而有cnσ=，即2c n=.9、设θˆ是参数θ的无偏估计量,且有0)ˆ(>θD ,试证22)ˆ(ˆθθ=不是2θ的无偏估计量.证明：因为θˆ是参数θ的无偏估计量，故ˆE θθ=，且0)ˆ(>θD有22222ˆˆˆˆˆ()()()()E E D E D θθθθθθθ==+=+>即22)ˆ(ˆθθ=不是2θ的无偏估计量.10、设总体),(~2σμN X ,321,,X X X 是来自X 的样本,试证：估计量32112110351ˆX X X ++=μ;32121254131ˆX XX ++=μ;3213216131ˆX XX ++=μ229都是μ的无偏估计,并指出它们中哪一个最有效.证明：总体),(~2σμN X ,321,,X X X 是来自X 的样本，则1123123131131ˆ()51025102E E X X X E X E X E X u μ=++=++= 2123123115115ˆ()34123412E E X X X EX EX EX u μ=++=++=3123123111111ˆ()362362E E X X X EX EX EX u μ=++=++=即估计量123ˆˆˆ,,μμμ都是μ的无偏估计. 又211231231311911ˆ()510225100450D D X X X D X D X D X μσ=++=++=22123123115112525ˆ()341291614472D D X X X D X D X D X μσ=++=++=231231231111117ˆ()362936418D D X X X D X D X D X μσ=++=++=有 213ˆˆˆD D D μμμ<<，从而估计量2ˆμ最有效. 11,、设12,,,n X X X 是总体()20,X N σ 的一个样本,20σ>,证明：211ni i X n=∑是2σ的相合估计量.证明：由题意，总体()20,X N σ ，则220,EXEXσ==由样本的独立同分布性知2221111()nniii i E X EX nnσ====∑∑，即211ni i X n=∑是2σ的无偏估计.2221111()()nniii i D X D Xnn===∑∑又2422()()i i i D X E X E X =-，且23022222224432222|3]xxxi EX xdx x ex edx σσσ---+∞+∞+∞-∞-∞-∞==-⎰⎰2222423xx edx σσσ-+∞-∞==故2422444()()32i i i D X EX EX σσσ=-=-=，有42112()0()nii D X n nnσ==→→∞∑故211ni i X n=∑是2σ的相合估计量12、设总体X 的数学期望为μ,方差为2σ,分别抽取容量为1n 和2n 的两个独立样本,1X ,2X 分别为两样本均值,试证明:如果,a b 满足1a b +=,则12Y aX bX =+是μ的无偏估计量,并确定,a b ,使得()D Y最小.解：由题意，2,EX u D X σ==，且1X ,2X 分别为容量为1n 和2n 的两个独立样本得样本均值，故2111,E X u D X n σ==，2222,E X u D X n σ==.当1a b +=时，有12()EY aEX bEX a b u u=+=+=，即12Y aX bX =+是μ的无偏估计量.222221212()abD Y a D X b D X n n σ=+=+令2212(1)()aa g a n n -=+，由()0g a '=知函数()g a 的稳定点为231112n a n n =+，且1121211()2()0n g n n n n ''=+>+，故112n a n n =+为函数唯一极小值点，即当121212,n n a b n n n n ==++时，()D Y 最小.13、设12,,,n X X X 是总体X 的一个样本, X 的概率密度为();f x θ,0θ>,未知，已知()222nXn χθ,试求θ的置信水平为1α-的置信区间.解：由题意，统计量()222nXn χθ，则给定置信度为1α-时，有()()22122(22)1nXP n n ααχχαθ-≤≤=- ()()221222()122nXnXP n n ααθαχχ-⇔≤≤=-由置信区间的定义知，θ的置信水平为1α-的置信区间为()()221222,22nX nX n n ααχχ-⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭. 14、从大批彩色显像管中随机抽取100只,其平均寿命为10000小时,可以认为显像管的寿命X 服从正态分布.已知均方差40=σ小时,在置信水平0.95下求出这批显像管平均寿命的置信区间.解：设12,,,n X X X 是母体X 的样本容量为n 的子样，则显像管平均寿命(10000,16)X N构造统计量(0,1)X uU N -=，有232111222(||)1(1P U UP X UU X Uααααα---<=-⇔-<<+=-由题意10.950.05αα-=⇒=，查表可得0.975 1.96U =，故显像管平均寿命X 的置信度为95%的置信区间为：4040(10000 1.96 1.96(100007.84)-+=±.15、设随机地调查26年投资的年利润率(%),得样本标准差(%)15=S ,设投资的年利润率X 服从正态分布,求它的方差的区间估计(置信水平为0.95).解：由题意，构造统计量2222(1)(1)n Sn χχσ-=- ，则给定置信水平为1α-，有2222122(1)((1)(1))1n SP n n ααχχασ---<<-=-22222122(1)(1)()1(1)(1)n Sn SP n n αασαχχ---⇔<<=---取26,0.15,10.95n S α==-=，查表可得20.025(25)13.120χ=，20.975(25)40.616χ=，故方差的置信度为95%的置信区间为2222122(1)(1)(,)(0.014,0.043)(1)(1)n Sn Sn n ααχχ---=--.16,、从一批钉子中抽取16枚,测得其长度为(单位:厘米)2.14, 2.10, 2.13, 2.15, 2.13, 2.12, 2.13, 2.10, 2.15, 2.12, 2.14, 2.10, 2.13, 2.11, 2.14, 2.11.设钉子的长度X 服从正态分布,试求总体均值μ的置信水平为0.90的置信区间.233解：设1216,,,X X X 是母体X 的样本容量为16的子样，由题意知2.215X =，242.933310S -=⨯.构造统计量(1)X u t t n -=- ，有111222(||)1(1P t tP X tu X tααααα---<=-⇔-<<+=-由题意10.900.10αα-=⇒=，查表可得0.95(15) 1.7459t =，故显像管平均寿命X的置信度为90%的置信区间为：(2.1175,2.1325)=±. 17、生产一个零件所需时间(单位：秒)),(~2σμN X ,观察25个零件的生产时间得5.5=x ,73.1=s .试求μ和2σ的置信水平为0.95的置信区间.解：设1225,,,X X X 是母体X 的样本容量为25的子样，由题意知5.5X =， 1.73S =.构造统计量(1)X u t t n -=- ，有111222(||)1(1P t tP X tu X tααααα---<=-⇔-<<+=-由题意10.950.05αα-=⇒=，查表可得0.975(24) 2.0639t =，故参数μ的置信度为95%的置信区间为：(4.786,6.214)(5.50.714)=±.234构造统计量2222(1)(1)n Sn χχσ-=- ，则给定置信水平为1α-，有2222122(1)((1)(1))1n SP n n ααχχασ---<<-=-22222122(1)(1)()1(1)(1)n Sn SP n n αασαχχ---⇔<<=---取16, 1.73,0.05n S α===，查表可得20.025(15) 6.2621χ=，20.95(15)27.4884χ=，故方差的置信度为95%的置信区间为(1.825,5.. 18、产品的某一指标),(~2σμN X ，已知04.0=σ，μ未知.现从这批产品中抽取n 只对该指标进行测定,问n 需要多大,才能以95%的可靠性保证μ的置信区间长度不大于0.01?19、设A 和B 两批导线是用不同工艺生产的,今随机地从每批导线中抽取5根测量其电阻,算得721007.1-⨯=A s ,62103.5-⨯=B s ,若A 批导线的电阻服从),(211σμN ,B 批导线的电阻服从),(222σμN ,求2221σσ的置信水平为0.90的置信区间.20,、从甲乙两个蓄电池厂的产品中分别抽取6个产品,测得蓄电池的容量(A.h)如下:甲厂 140 , 138 , 143 , 141 , 144 , 137;乙厂135 , 140 , 142 , 136 , 138 , 140设蓄电池的容量服从正态分布,且方差相等,求两个工厂生产的蓄电池的容量均值差的95%置信区间.（ B ）1、设总体X 的概率分别为235其中102θθ⎛⎫<<⎪⎝⎭是未知参数,利用总体X 的如下样本值: 3, 1, 3, 0, 3, 1, 2, 3求θ的矩估计值和最大似然估计值.解：由题意可知总体X 为离散型随机变量，则总体X 的数学期望为()32()2123(12)34k EX kP Xk θθθθθ====-++-=-∑有34E X θ-=，由样本值可知2X =，用X 替换E X 即得未知参数θ的矩估计量为3ˆ4X θ-=，矩估计值1ˆ4θ=.设12340,1,2,3x x x x ====是相应于样本1234,,,X X X X 的样本值，则似然函数为12341234(,,,;)(0)(1)(2)(3)L x x x x P X P X P X P X θ=====462(12)4(1)θθθ=--取对数 ln 4ln(12)6ln 42ln(1)L θθθ=-++- 解极大似然方程ln 8620121d L d θθθθ-=+-=--有2121430θθ-+=，从而7ˆ12θ±=又当ˆ12θ=712106θ+-=-<矛盾，故舍去.所以θ的最大似然估计值ˆ12θ=2、设()111ˆˆ ,,n X X θθ= 和()221ˆˆ,,n X X θθ= 是参数θ的两个相236互独立的无偏估计量,且方差()()12ˆˆ2D D θθ=,试确定常数,a b ,使得12ˆˆa b θθ+是θ的无偏估计量,且在一切这样的线性估计类中方差最小.解：由题意，1ˆ θ和2ˆθ是参数θ的两个相互独立的无偏估计量，则 12ˆˆ,E E θθθθ==.要使得12ˆˆa b θθ+是θ的无偏估计量，有 1212ˆˆˆˆ()()E a b aE bE a b θθθθθθ+=+=+=恒成立，即1a b +=.又1ˆ θ，2ˆθ相互独立，且()()12ˆˆ2D D θθ=，则222212122ˆˆˆˆˆ()()()(2)()D a b a D b D a b D θθθθθ+=+=+令2222()22(1)g a a b a a =+=+-，由()0g a '=知函数()g a 的稳定 点为13a =，且1()03g ''>，故线性估计类中方差最小时13a =，23b =.3、在测量反应时间中,一心理学家估计的标准差为0.05秒,为了以0.95的置信水平使他对平均反应时间的估计误差不超过0.01秒,应取多大的样本容量.习题八1．在正常情况下，某炼钢厂的铁水含碳量（%）2(4.55,)X N σ .一日测得5炉铁水含碳量如下：4.48，4.40，4.42，4.45，4.47在显著性水平0.05α=下，试问该日铁水含碳量得均值是否有明显变化. 解：设铁水含碳量作为总体X ，则2(4.55,)X N σ ，从中选取容量为5的样本，测得24.444,0.0011X S ==.由题意，设原假设为0: 4.55H u =237构造检验统计量||(4)X u t t -=，则7.051t ==在显著性水平0.05α=下，查表可得0.97512(4)(4) 2.77647.051tt α-==<，拒绝原假设0H ，即认为有显著性变化.2．根据某地环境保护法规定，倾入河流的废物中某种有毒化学物质含量不得超过3ppm.该地区环保组织对某厂连日倾入河流的废物中该物质的含量的记录为：115,,x x .经计算得知15148ii x==∑, 1521156.26i i x ==∑.试判断该厂是否符合环保法的规定.（该有毒化学物质含量X 服从正态分布）解：设有毒化学物质含量作为总体X ，则2(,)X N u σ ，从中选取容量为15的样本，测得1511 3.215ii X x===∑，22221111()()0.1911nnii i i S x x x nx n n ===-=-=--∑∑.由题意，设原假设为0:3H u <，备择假设为1:3H u >.构造检验统计量||(14)X u t t -=，则|3.23| 1.777t -==，在显著性水平0.05α=下,查表可得10.95(14)(14) 1.7613 1.777t t α-==<，即拒绝原假设0H ，接受备择假设1H ，认为该厂不符合环保的规定.3．某厂生产需用玻璃纸作包装，按规定供应商供应的玻璃纸的横向延伸率238不应低于65.已知该指标服从正态分布2(,)N μσ，5.5σ=.从近期来货中抽查了100个样品，得样本均值55.06x =，试问在0.05α=水平上能否接受这批玻璃纸？解：设玻璃纸的横向延伸率为总体X ，则2(,5.5)X N u ，从中选取容量为100的样本，测得55.06x =.由题意，设原假设为0:65H u >，备择假设为1:65H u <.构造检验统计量||(0,1)X u U N -=，则|55.0665|18.07275.5U -==在显著性水平0.05α=下,查表可得10.95 1.644918.0727U U α-==<，即拒绝原假设0H ，接受备择假设1H ，不能接受该批玻璃纸..4．某纺织厂进行轻浆试验，根据长期正常生产的累积资料，知道该厂单台布机的经纱断头率（每小时平均断经根数）的数学期望为9.73根，标准差为1.60根.现在把经纱上浆率降低20%，抽取200台布机进行试验，结果平均每台布机的经纱断头率为9.89根，如果认为上浆率降低后均方差不变，问断头率是否受到显著影响（显著水平α=0.05）？ 解：设经纱断头率为总体X ，则9.73u EX ==， 1.6σ==，从中选取容量为200的样本，测得9.89x =.由题意，设原假设为0:9.73H u =，备择假设为1:9.73H u ≠.构造检验统计量||(0,1)X u U N -=，则|9.899.73|1.4142U -==在显著性水平0.05α=下,查表可得0.975121.96 1.4142UU α-==>，即接受原假设0H ，认为断头率没有受到显著影响.2395． 某厂用自动包装机装箱，在正常情况下，每箱重量服从正态分布2(100,)N σ.某日开工后，随机抽查10箱,重量如下（单位：斤）：99.3，98.9，100.5，100.1，99.9，99.7，100.0，100.2，99.5，100.9.问包装机工作是否正常，即该日每箱重量的数学期望与100是否有显著差异?（显著性水平α=0.05）解：设每箱重量为总体X ，则2(100,)X N σ ，从中选取容量为10的样本，测得99.9x =，20.34S =.由题意，设原假设为0:100H u =，备择假设为1:100H u ≠.构造检验统计量||(9)X u t t -=，则|99.9100|0.5423t -==，在显著性水平0.05α=下,查表可得0.97512(9)(9) 2.26220.5423tt α-==>，即接受原假设0H ，认为每箱重量无显著差异.6．某自动机床加工套筒的直径X 服从正态分布.现从加工的这批套筒中任取5个，测得直径分别为15,,x x (单位m μ:)，经计算得到51124i i x ==∑, 5213139i i x ==∑.试问这批套筒直径的方差与规定的27σ=有无显著差别？（显著性水平0.01α=）解：设这批套筒直径为总体X ，则2(,)X N u σ ，从中选取容量为5的样本，测得151124.815ii X x===∑，22221111()()15.9511nnii i i S xx x nx n n ===-=-=--∑∑.由题意，设原假设为24020:7H σ=，备择假设为21:7H σ≠.构造检验统计量2222(1)(4)n Sχχσ-=，则2415.959.11437χ⨯==，在显著性水平0.01α=下,查表可得220.99512(4)(4)14.86αχχ-==，220.0052(4)(4)0.2070αχχ==，从而222122(4)(4)ααχχχ-<<，即接受原假设0H ，认为这批套筒直径的方差与规定的27σ=无显著差别.7.甲、乙两台机床同时独立地加工某种轴，轴的直径分别服从正态分布211(,)N μσ、222(,)N μσ（12,μμ未知）.今从甲机床加工的轴中随机地任取6根，测量它们的直径为16,,x x ，从乙机床加工的轴中随机地任取9根，测量它们的直径为19,,y y ，经计算得知：61204.6ii x==∑, 6216978.9i i x ==∑91370.8i i y ==∑92115280.2i i y ==∑问在显著性水平0.05α=下，两台机床加工的轴的直径方差是否有显著差异？解：设两台机床加工的轴的直径分别为总体,X Y ，则211(,)X N μσ 、222(,)Y N μσ ，从总体X 中选取容量为6的样本，测得61134.16ii X x ===∑222211111()()0.40811nnii i i S x x x nx n n ===-=-=--∑∑241从总体Y 中选取容量为9的样本，测得91141.29i i Y y ===∑222221111()()0.40511nnii i i S y y y ny n n ===-=-=--∑∑ 由题意，设原假设为22012:H σσ=，备择假设为22112:H σσ≠.构造检验统计量2122(5,8)S F F S = ，则0.408 1.0070.405F ==，在显著性水平0.05α=下,查表可得0.97512(5,8)(5,8) 6.76FF α-==，0.0252(5,8)(5,8)0.1479F F α==，从而122(5,8)(5,8)F F Fαα-<<，即接受原假设0H ，认为两台机床加工的轴的直径方差无显著差异.8.某维尼龙厂根据长期正常生产积累的资料知道所生产的维尼龙纤度服从正态分布，它的标准差为0.048.某日随机抽取5根纤维，测得其纤度为1.32，1.55，1.36，1.40，1.44.问该日所生产得维尼龙纤度的均方差是否有显著变化（显著性水平α=0.1）？解：设维尼龙纤度为总体X ，则2(,0.048)X N u ，从中选取容量为5的样本，测得5111.4145ii X x ===∑，2211()0.00781nii S x x n ==-=-∑.由题意，设原假设为0:0.048H σ=，备择假设为1:0.048H σ≠.构造检验统计量2222(1)(4)n Sχχσ-=，则2240.007813.542(0.048)χ⨯==在显著性水平0.1α=下,查表可得220.9512(4)(4)9.487713.542αχχ-==<即拒绝原假设0H ，认为维尼龙纤度的均方差有显著变化.9.某项考试要求成绩的标准差为12，先从考试成绩单中任意抽出15份，计算样本标准差为16，设成绩服从正态分布，问此次考试的标准差是否符242合要求（显著性水平α=0.05）?解：设考试成绩为总体X ，则2(,12)X N u ，从中选取容量为15的样本，测得16S =.由题意，设原假设为0:12H σ=，备择假设为1:12H σ≠.构造检验统计量2222(1)(14)n Sχχσ-=，则222141619.055612χ⨯==.在显著性水平0.05α=下,查表可得220.97512(14)(14)26.1189αχχ-==，220.0252(14)(14) 5.6287αχχ==，从而222122(14)(14)ααχχχ-<<，即接受原假设0H ，认为此次考试的标准差符合要求.10.某卷烟厂生产甲、乙两种香烟，分别对他们的尼古丁含量（单位：毫克）作了六次测定,获得样本观察值为：甲：25，28，23，26，29，22；乙：28，23，30，25，21，27.假定这两种烟的尼古丁含量都服从正态分布，且方差相等,试问这两种香烟的尼古丁平均含量有无显著差异（显著性水平α=0.05，）？对这两种香烟的尼古丁含量，检验它们的方差有无显著差异（显著性水平α=0.1）？解：设这两种烟的尼古丁含量分别为总体,X Y ，则211(,)X N μσ 、222(,)Y N μσ ，从中均选取容量为6的样本，测得61125.56ii X x ===∑，22111()7.51nii S x x n ==-=-∑，61125.66676i i Y y ===∑，22211()11.06671nii S y y n ==-=-∑，由题意，在方差相等时，设原假设为012:H u u =，备择假设为112:H u u ≠.243构造检验统计量12(2)t t n n =+- ,其中222112212(1)(1)9.2834(2)wn S n S Sn n -+-==+-.则0.0948t ==，在显著性水平0.05α=下,查表可得120.97512(2)(10) 2.22810.0948tn n t α-+-==>，即接受原假设0H ，认为这两种香烟的尼古丁平均含量无显著差异.由题意，在方差待定时，设原假设为22012:H σσ=，备择假设为22112:H σσ≠.构造检验统计量2122(5,5)S F F S=，则7.50.677711.0667F ==，在显著性水平0.1α=下,查表可得0.9512(5,8)(5,5) 5.0503FF α-==，0.052(5,8)(5,5)0.1980F F α==，从而122(5,5)(5,5)F F Fαα-<<，即接受原假设0H ，认为它们的方差无显著差异.。
习题1解答1. 写出下列随机试验的样本空间Ω：（1）记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）； （2）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数；（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记为“正品”，不合格的记为“次品”，如连续查出了2件次品就停止检查，或检查了4件产品就停止检查，记录检查的结果； （4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标.解：（1）以n 表示该班的学生人数，总成绩的可能取值为0，1，2，…，100n ，所以该试验的样本空间为{|0,1,2,,100}ii n nΩ==.（2）设在生产第10件正品前共生产了k 件不合格品，样本空间为{10|0,1,2,}k k Ω=+=，或写成{10,11,12,}.Ω=（3）采用0表示检查到一个次品，以1表示检查到一个正品，例如0110表示第一次与第四次检查到次品，而第二次与第三次检查到的是正品，样本空间可表示为{00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111}Ω=.（3）取直角坐标系，则有22{(,)|1}x y x y Ω=+<，若取极坐标系，则有{(,)|01,02π}ρθρθΩ=≤<≤<.2．设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 及其运算关系表示下列事件. (1)A 发生而B 与C 不发生； (2)A 、B 、C 中恰好发生一个； (3)A 、B 、C 中至少有一个发生； (4)A 、B 、C 中恰好有两个发生； (5)A 、B 、C 中至少有两个发生； (6)A 、B 、C 中有不多于一个事件发生.解：(1)ABC 或A B C --或()A B C -；(2)ABC ABC ABC ；(3)AB C 或ABCABCABCABCABCABCABC ；(4)ABC ABCABC .(5)AB AC BC 或ABC ABC ABCABC ；(6)ABCABCABCABC .3．设样本空间{|02}x x Ω=≤≤，事件{|0.51}A x x =≤≤，{|0.8 1.6}B x x =<≤，具体写出下列事件：(1)AB ；（2）A B -；（3）A B -；（4）A B .解：（1）{|0.81}AB x x =<≤； （2）{|0.50.8}A B x x -=≤≤；（3）{|00.50.82}A B x x x -=≤<<≤或； （4）{|00.5 1.62}AB x x x =≤<<≤或.4. 一个样本空间有三个样本点， 其对应的概率分别为22,,41p p p -， 求p 的值. 解：由于样本空间所有的样本点构成一个必然事件，所以2241 1.p p p ++-=解之得1233p p =-=-，又因为一个事件的概率总是大于0，所以3p =- 5. 已知()P A =0.3，()P B =0.5，()P A B =0.8，求(1)()P AB ；(2)()P A B -；(3)()P AB .解：(1)由()()()()P AB P A P B P AB =+-得()()()()030.50.80P AB P A P B P A B =+-=+-=.(2) ()()()0.300.3P A B P A P AB -=-=-=. (3) ()1()1()10.80.2.P AB P AB P AB =-=-=-=6. 设()P AB =()P AB ，且()P A p =，求()P B . 解：由()P AB =()1()1()1()()()P AB P AB P AB P A P B P AB =-=-=--+得()()1P A P B +=，从而()1.P B p =-7. 设3个事件A 、B 、C ，()0.4P A =，()0.5P B =，()0.6P C =，()0.2P AC =，()P BC =0.4且AB =Φ，求()P A B C .解：()()()()()()()()0.40.50.600.20.400.9.P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+=++---+=8. 将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率. 解：依题意可知，基本事件总数为34个.以,1,2,3i A i =表示事件“杯子中球的最大个数为i ”，则1A 表示每个杯子最多放一个球，共有34A 种方法，故34136().416A P A ==2A 表示3个球中任取2个放入4个杯子中的任一个中，其余一个放入其余3个杯子中，放法总数为211343C C C 种，故211343239().416C C C P A == 3A 表示3个球放入同一个杯子中，共有14C 种放法，故14331().416C P A ==9. 在整数0至9中任取4个，能排成一个四位偶数的概率是多少?解：从0至9 中任取4个数进行排列共有10×9×8×7种排法.其中有(4×9×8×7－4×8×7＋9×8×7)种能成4位偶数. 故所求概率为4987487987411098790P ⨯⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯==⨯⨯⨯. 10. 一部五卷的文集，按任意次序放到书架上去，试求下列事件的概率：(1)第一卷出现在旁边；(2)第一卷及第五卷出现在旁边；(3)第一卷或第五卷出现在旁边；(4)第一卷及第五卷都不出现在旁边；(5)第三卷正好在正中.解：(1)第一卷出现在旁边，可能出现在左边或右边，剩下四卷可在剩下四个位置上任意排，所以5/2!5/!42=⨯=p .(2)可能有第一卷出现在左边而第五卷出现右边，或者第一卷出现在右边而第五卷出现在左边，剩下三卷可在中间三人上位置上任意排，所以 10/1!5/!32=⨯=p .(3)p P ={第一卷出现在旁边}+P{第五卷出现旁边}-P{第一卷及第五卷出现在旁边}2217551010=+-=. (4)这里事件是(3)中事件的对立事件，所以 10/310/71=-=P .(5)第三卷居中，其余四卷在剩下四个位置上可任意排，所以5/1!5/!41=⨯=P . 11. 把2，3，4，5诸数各写在一X 小纸片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得数是偶数的概率.解：末位数可能是2或4.当末位数是2(或4)时，前两位数字从剩下三个数字中选排，所以 23342/1/2P A A =⨯=.12. 一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客.电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率.解：每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所以样本点总数为79.事件A “没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从9层中任取7层，各有一位乘客离开电梯”.所以包含79A 个样本点，于是7799)(A A P =.13. 某人午觉醒来,发觉表停了, 他打开收音机,想听电台报时, 设电台每正点是报时一次,求他(她)等待时间短于10分钟的概率.解:以分钟为单位, 记上一次报时时刻为下一次报时时刻为60, 于是这个人打开收音机的时间必在),60,0(记 “等待时间短于10分钟”为事件,A 则有(0,60),Ω=)60,50(=A ,⊂Ω于是)(A P 6010=.61= 14. 甲乙两人相约812-点在预定地点会面。
习题八1. 已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N(4.55,0.1082).现在测了5炉铁水，其含碳量（%）分别为4.28 4.40 4.42 4.35 4.37问若标准差不改变，总体平均值有无显著性变化（α=0.05）?【解】0010/20.0250.025: 4.55;: 4.55.5,0.05, 1.96,0.1084.364,(4.364 4.55)3.851,0.108.H Hn Z ZxxZZZαμμμμασ==≠=======-===->所以拒绝H0，认为总体平均值有显著性变化.2. 某种矿砂的5个样品中的含镍量（%）经测定为：3.24 3.26 3.24 3.27 3.25设含镍量服从正态分布，问在α=0.01下能否接收假设：这批矿砂的含镍量为3.25.【解】设0010/20.0050.005: 3.25;: 3.25.5,0.01,(1)(4) 4.60413.252,0.013,(3.252 3.25)0.344,0.013(4).H Hn t n tx sxtttαμμμμα==≠===-====-===<所以接受H0，认为这批矿砂的含镍量为3.25.3. 在正常状态下，某种牌子的香烟一支平均1.1克，若从这种香烟堆中任取36支作为样本；测得样本均值为1.008（克），样本方差s2=0.1(g2).问这堆香烟是否处于正常状态.已知香烟（支）的重量（克）近似服从正态分布（取α=0.05）.【解】设0010/20.02520.025: 1.1;: 1.1.36,0.05,(1)(35) 2.0301,36,1.008,0.1,6 1.7456,1.7456(35)2.0301.H Hn t n t nx sxtttαμμμμα==≠===-=========<=所以接受H0，认为这堆香烟（支）的重要（克）正常.4.某公司宣称由他们生产的某种型号的电池其平均寿命为21.5小时，标准差为2.9小时.在实验室测试了该公司生产的6只电池，得到它们的寿命（以小时计）为19，18，20，22，16，25，问这些结果是否表明这种电池的平均寿命比该公司宣称的平均寿命要短？设电池寿命近似地服从正态分布（取α=0.05）. 【解】0100.050.05:21.5;:21.5.21.5,6,0.05, 1.65, 2.9,20,(2021.5)1.267,2.91.65.H Hn z xxzz zμμμασ≥<======-===->-=-所以接受H0，认为电池的寿命不比该公司宣称的短.5.测量某种溶液中的水分，从它的10个测定值得出x=0.452(%),s=0.037(%).设测定值总体为正态，μ为总体均值，σ为总体标准差，试在水平α=0.05下检验.（1）H0：μ=0.5(%)；H1：μ＜0.5(%).（2）:Hσ'=0.04(%)；1:Hσ'＜0.04(%).【解】(1)00.050.050.5;10,0.05,(1)(9) 1.8331,0.452,0.037,(0.4520.5)4.10241,0.037(9) 1.8331.n t n tx sxtt tαμα===-====-===-<-=-所以拒绝H0，接受H1.(2)2222010.9522222220.95(0.04),10,0.05,(9) 3.325,0.452,0.037,(1)90.0377.7006,0.04(9).nx sn sασαχχχσχχ-=======-⨯===>所以接受H0，拒绝H1.6.某种导线的电阻服从正态分布N（μ，0.0052）.今从新生产的一批导线中抽取9根，测其电阻，得s=0.008欧.对于α=0.05，能否认为这批导线电阻的标准差仍为0.005?【解】00102222/20.0251/20.975222220.02522:0.005;:0.005.9,0.05,0.008,(8)(8)17.535,(8)(8) 2.088,(1)80.00820.48,(8).(0.005)H Hn sn sαασσσσαχχχχχχχσ-===≠=======-⨯===>故应拒绝H0，不能认为这批导线的电阻标准差仍为0.005.7.有两批棉纱，为比较其断裂强度，从中各取一个样本，测试得到：第一批棉纱样本：n1=200，x=0.532kg, s1=0.218kg；第二批棉纱样本：n2=200，y=0.57kg, s2=0.176kg.设两强度总体服从正态分布，方差未知但相等，两批强度均值有无显著差异？(α=0.05) 【解】01211212/2120.0250.0250.025:;:.200,0.05,(2)(398) 1.96,0.1981,1.918;(398).w H H n n t n n t z s x y t t t αμμμμα=≠===+-=≈=======-< 所以接受H 0，认为两批强度均值无显著差别.8.两位化验员A ，B 对一种矿砂的含铁量各自独立地用同一方法做了5次分析，得到样本方差分别为0.4322(%2)与0.5006(%2).若A ，B 所得的测定值的总体都是正态分布，其方差分别为σA 2，σB 2，试在水平α=0.05下检验方差齐性的假设222201:;:.A B A B H H σσσσ=≠【解】221212/2120.0250.9750.02521225,0.05,0.4322,0.5006,(1,1)(4,4)9.6,11(4,4)0.1042,(4.4)9.60.43220.8634.0.5006n n s s F n n F F F s F s αα=====--========那么0.9750.025(4,4)(4,4).F F F << 所以接受H 0，拒绝H 1. 9~12. 略。
《概率论与数理统计》习题及答案第⼋章《概率论与数理统计》习题及答案第⼋章1. 设x.,x2,,%…是从总体X中抽岀的样本，假设X服从参数为兄的指数分布，⼏未知，给泄⼊〉0和显著性⽔平a(Ovavl),试求假设H o的⼒$检验统计量及否建域.解选统汁量*=2⼈⼯⼄=2如庆则Z2 -Z2(2n) ?对于给宦的显著性⽔平a,査z'分布表求出临界值加⑵"，使加⑵2))=Q因z2 > z2 > 所以(F"： (2/1)) => (/2 > /； (2n)),从⽽a = P{X2 > 加⑵“} n P{r > Za(2/0)可见仏:2>^的否定域为Z2>Z；(2?).2. 某种零件的尺⼨⽅差为O-2=1.21,对⼀批这类零件检查6件得尺⼨数据(毫⽶)：，，，，，。
设零件尺⼨服从正态分布，问这批零件的平均尺⼨能否认为是毫⽶(a = O.O5).解问题是在/已知的条件下检验假设：“ = 32.50Ho的否定域为1“ l> u af2u0(n5 = 1.96 ,因1“ 1=6.77 >1.96,所以否泄弘，即不能认为平均尺⼨是亳⽶。
3. 设某产品的指标服从正态分布，它的标准差为b = 100,今抽了⼀个容量为26的样本，计算平均值1580,问在显著性⽔平a = 0.05下，能否认为这批产品的指标的期望值“不低于1600。
解问题是在b?已知的条件下检验假设://>1600的否定域为u < -u a/2,其中X-1600 r-r 1580-1600 c , “11 = ------------ V26 = ------------------- x 5.1 = —1.02.100 100⼀叫05 =—1.64.因为// =-1.02>-1.64 =-M005,所以接受H(>,即可以认为这批产品的指标的期望值“不低于1600.4. ⼀种元件，要求其使⽤寿命不低于1000⼩时，现在从这批元件中任取25件，测得其寿命平均值为950⼩时，已知该元件寿命服从标准差为o-=100 ⼩时的正态分布，问这批元件是否合格(<7=0.05)解设元件寿命为X,则X~N(“，IO。
概率统计——习题八参考答案8.1 设t （单位：公斤）表示进货数，],[21t t t ∈，进货t 所获利润记为Y ，则有：⎩⎨⎧<<≤<--=21,,)(t X t at t X t b X t aX Y 又X 的密度函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(2112t x t t t x f所以 ⎰⎰-+---=21121211])([)(t t t t dx t t at dx t t b x t ax Y E 1221212]2)(2[t t t b a t at bt t b a -+-+++-= 令 dt Y dE )(0])([1221=-+++-=t t at bt t b a ，得驻点b a bt at t ++=12。
所以该店应该进ba bt at ++12公斤商品，才可使利润的数学期望最大。
8.2 设⎩⎨⎧=,,,0,1否则只球与盒配对第i X i n i ,,2,1 = 则.1∑==n i i X X ∑===∴===n i i i i X E X E n X P X E 1.1)()(,1}1{)( 8.3 ∑∑∞=∞=--=--⋅-=--=-=0121,1)]1(1[1)1()1()1()1()(k k k k p p p p p p k p p p kp X E )()]1([])1([)(2X E X X E X X X E X E +-=+-=∑∑∞=∞=--+---=-+--=02221)1)(1()1(1)1()1(k k k k p p p k k p p p p p p k k ,)2)(1(])1(2[11)]1(1[2)1(2232p p p p p p p p p p p p --=+--=-+---= .11)2)(1()]([)()(22222p p p p p p p X E X E X D -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-=∴ 8.4 μ+μ-===⎰⎰⎰+∞∞-μ--+∞∞-μ--+∞∞-dx e x dx e x dx x xf X E x x 21)(21)()(μ=μ+=⎰+∞∞--dt e t t 21 ⎰⎰⎰+∞∞--+∞∞-μ--+∞∞-=μ-=-=dy e y dx e x dx x f X E x X D y x 2222121)()()]([)(202==⎰+∞-dy e y y 8.5 用切比雪夫不等式即得,2)(1}2|)({|}2|{|212X D X E X P X P -≥<-=<= 故 .2)211(4)(=-≥X D 8.6 （1）1=ρXY ； （2）73.0)(=+Y X D ；（3）)()(),(y F x F y x F Y X Y X =⇔相互独立与；0=ρ⇔XY Y X 不相关与；=⋂⇔B A B A 互不相容与事件∅； =⋂Ω=⋃⇔B A B A B A 且互为对立事件与事件∅或A B =；)()()(B P A P AB P B A =⇔相互独立与事件。
第八章试题答案概率论与数理统计第八章试题一、单项选择题(本大题共l0小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设总体X 服从正态分布N （μ，1），x 1，x 2，…，x n 为来自该总体的样本，x为样本均值，s 为样本标准差，欲检验假设H 0∶μ=μ0，H 1∶μ≠μ0，则检验用的统计量是（）A.n/s x 0μ- B.)(0μ-x n C.10-μ-n /s xD.)(10μ--x n答案：B2．设总体X~N （μ，σ2），X 1，X 2，…，X n 为来自该总体的一个样本，X为样本均值，S 2为样本方差.对假设检验问题：H 0：μ=μ0?H 1：μ≠μ0，在σ2未知的情况下，应该选用的检验统计量为（） A ．nμ0- B ．1--n X σμ C ．nSX 0μ-D ．1--n SX μ答案：C3．在假设检验问题中，犯第一类错误的概率α的意义是（） A ．在H 0不成立的条件下，经检验H 0被拒绝的概率B ．在H 0不成立的条件下，经检验H 0被接受的概率C ．在H 0成立的条件下，经检验H 0被拒绝的概率D ．在H 0成立的条件下，经检验H 0被接受的概率答案：C4．设总体X~N （μ,σ2），σ2未知，X为样本均值，S n 2=n1∑=-ni iXX()2，S 2=1n 1-∑=-n1i iXX()2，检验假设H 0:μ=μ0时采用的统计量是（） A ．Z=n/X 0σμ- B ．T=n/S X n 0μ- C ．T=n/S X 0μ-D ．T=n/X 0σμ-答案：C4. .对正态总体的数学期望μ进行假设检验，如果在显著水平0.05下接受H0：μ=μ0，那么在显著水平0.01下，下列结论中正确的是( )A.必接受H0B.可能接受H0，也可能拒绝H0C.必拒绝H0D.不接受，也不拒绝H0答案：A二、填空题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
