初二数学实数与二次根式

第05讲 实数与二次根式知识点梳理考点01 平方根一、平方根1.平方根的概念：如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 就叫作a 的平方根（或二次方根）。

2.平方根的表示方法：正数a 的平方根可记作a ±，读作：正负根号a ，读作根号，a 是被开方数。

3.平方根的性质：若a x =2，那么a x =-2）（，则x -也是a 的平方根，所以正数a 的平方根有两个，它们互为相反数，0的平方根是0；因为相同的两个数的乘积为正，所以任何数的平方都不是负数，所以负数没有平方根（即0≥±a a ，）。

二、算数平方根1.算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 就叫作a 的算术平方根。

2.算术平方根的表示方法：正数a 的算术平方根可记作a ，读作：根号a 。

3.算术平方根的性质：正数有一个正的算术平方根；0的算术平方根是0，负数没有算术平方根。

一个正数a 的正的平方根就是它的算术平方根。

三、开平方1.求一个数a （0≥a ）的平方根的运算叫作开平方，其中a 叫作被开方数。

开平方运算是已知指数和幂求底数。

2.因为平方与开平方互为逆运算，所以可以通过平方来寻找一个数的平方根。

3.正数、负数、0都可以进行平方运算，且平方的结果只有一个；但开平方只有正数和0可以，负数不能开平方。

考点02 立方根1.立方根的概念：一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即a x =3，那么这个数x 就叫作a的立方根（或三次方根）。

2.立方根的表示方法：a 的立方根可记作3a ，读作：三次根号a ，其中“3”是根指数，a 是被开方数，注意根指数“3”不能省略。

3.立方根的性质：（1）一个正数有一个正的立方根；（2）一个负数有一个负的立方根；（3）0的立方根是0；4.开立方：求一个数a 的立方根的运算叫作开立方。

5.立方根中被开方数可以是正数、负数和0,；开立方运算与立方运算互为逆运算；求一个带分数的立方根时，必须把带分数化成假分数，再求它的立方根。

二次根式与实数之间的关系根据数学的定义，二次根式是指一个数的平方根，表示为√a，其中a为非负实数。

实数是对现实生活中的数量进行抽象的数学概念，包括有理数和无理数。

二次根式与实数之间存在着密切的关系，本文将探讨这种关系。

1. 二次根式的定义二次根式是指一个实数的平方根。

对于非负实数a，√a表示a的正平方根，即满足b² = a的实数b。

例如，√4 = 2，因为2² = 4。

二次根式可以表示为分数形式或小数形式，如√9 = 3，或√2 ≈ 1.414。

2. 二次根式的性质二次根式具有一些重要的性质，这些性质与实数之间的关系密切相关：- 非负实数的二次根式均为实数。

例如，√9 = 3是一个实数。

- 负实数没有实数的二次根式。

例如，对于-9来说，不存在一个实数b，使得b² = -9。

- 实数的二次根式满足乘法性质。

即若a和b都是非负实数，则√(ab) = √a × √b。

3. 二次根式与有理数的关系有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括整数、分数和小数（有限小数和循环小数）。

二次根式与有理数之间的关系如下：- 若一个非负实数的平方是一个有理数，那么它的二次根式就是一个有理数。

例如，√4 = 2，4是一个有理数，因此2也是一个有理数。

- 若一个非负实数的平方不是一个有理数，那么它的二次根式就是一个无理数。

例如，√2是一个无理数，因为2的平方不是一个有理数。

4. 二次根式与无理数的关系无理数是不能表示为两个整数的比值的数，包括无理代数数和无理超越数。

二次根式与无理数之间的关系如下：- 像√2、√3这样的二次根式是无理数。

它们无法用有限小数或循环小数形式表示。

- 无理数的二次根式仍然是无理数。

例如，√(√2) = (√2)^(1/2) =2^(1/4) 是一个无理数。

综上所述，二次根式与实数之间存在着重要的关系。

实数的二次根式可以是有理数或无理数，具体取决于实数的平方是否是一个有理数。

初中数学二次根式知识点整理二次根式是初中数学中的重要知识点之一，也是数学学习中的基础。

它包含了平方根、分数指数和有理化的相关内容。

掌握了二次根式的知识，对于解决问题和提高数学能力具有重要的作用。

下面将对二次根式的相关知识点进行整理和总结。

一、二次根式的定义与性质二次根式是指具有形如√a（其中a≥0）的表达式。

其中，a被称为被开方数，√a被称为二次根式的根号部分。

除此之外，我们还需要了解以下性质：1. 二次根式的值是非负的实数或零：√a≥0；2. 二次根式的值大于零的情况下，可以化简：√a=0，a=0；二、二次根式的运算1. 二次根式的加减运算当被开方数相同时，二次根式的加减可以合并为一个根号内的运算，即√a±√a=2√a。

当被开方数不同但可以合并时，可以通过有理化的方法进行化简，具体操作如下：例如：√3+√12=√3+√(4×3)=√3+2√3=3√3；再例如：√8-√32=√(4×2)-√(16×2)=2√2-4√2=-2√2；2. 二次根式的乘除运算二次根式的乘法运算可以通过根式的合并和简化进行：例如：√2×√3=√(2×3)=√6；类似地，二次根式的除法运算可以通过根式的合并和简化进行：例如：√20÷√4=√(20÷4)=√5；需要注意的是，对于根号内含有非完全平方数的情况，需要通过化简为最简根式。

例外：对于根号内含有互质数的情况，乘法运算可以直接合并；例如：√7×√5=√(7×5)=√35；而除法运算同样可以进行简化：例如：√28÷√7=√(28÷7)=√4=2；三、二次根式的有理化有理化是将含有根号的式子转化成不含根号的式子，常用的方法有以下两种：1. 乘以去根号因式：当分母含有根号时，可以乘以分母的共轭形式，即乘以√a-√b；例如：1/（√2+√5）×（√2-√5）=√2-√5；2. 利用平方的性质进行有理化：当分母是二次根式时，可以通过平方的性质进行有理化；例如：1/√3=√3/（√3×√3）=√3/3；需要注意的是，有理化后的结果通常会更便于计算和使用。

初中数学实数与二次根式的基本概念进阶考试要求：重难点：1.平方根、立方根的有关概念以及其区别和联系；2.能进行实数的运算3.二次根式(0)a≥的内涵，(0)a≥是一个非负数；2a=(0)a≥；a=(0)a≥ 及其运用．4.二次根式乘除法的规定及其运用．5.二次根式的加减运算．例题精讲：实数模块一实数的概念及分类1．实数的概念实数：有理数和无理数的统称．2．实数的分类0⎧⎧⎫⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎪⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩正整数整数负整数有理数有限小数或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 注意：（1）实数还可按正数，零，负数分类．（2）整数可分为奇数，偶数，零是偶数，偶数一般用2n （n 为整数)表示；奇数一般用2n 1- 或2n 1+ （n 为整数）表示． （3）正数和零常称为非负数．（4）带根号的数不一定是无理数，如9．【例1】 下列实数317，π-，3.1415921中无理数有（ ）． A ．个B ．个C ．个D ．个【难度】1星【解析】是不是有理数，要看化简之后的结果，所以无理数有π-【答案】A【巩固】有下列说法：（1）无理数就是开方开不尽的数； （2）无理数是无限不循环小数；（3）无理数包括正无理数、零、负无理数； （4）无理数都可以用数轴上的点来表示． 其中正确的说法的个数是（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4【难度】1星 【解析】略． 【答案】C模块二 数轴、相反数、倒数、绝对值数轴：规定了原点、正方向和单位长度的一条直线叫数轴. 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0.（1）实数a 的相反数是a -.（2）实数a 和b 互为相反数，则a+b =0.（3）从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称.倒数：乘积为1的两个有理数互为倒数；0没有倒数. 倒数等于它本身的数是±1.（1）实数a (a ≠0)的倒数是1a. 2345（2）a 和b 互为倒数，则ab =1. 绝对值：（1）绝对值的含义与性质：(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩（2）几何意义：实数的绝对值是一个非负数，在数轴上，表示数的点到原点的距离.注意：实数和数轴上的点一一对应，平面直角坐标系内的点与一对有序实数一一对应，对二者要加以区分，不能混淆.【例2】 若直径为2个单位长度的圆上的点A圆上这一点到达另一点B ，则B 点表示的实数是（ ） A ．2π B ．4π C ．2π D4π【难度】2星 【解析】略． 【答案】D【例3】2的相反数是 ． 【难度】1星【解析】一个数a 的相反数是a -；同样一个式子A 的相反式是-A ．【答案】2【例4】的倒数是 ．【难度】1星 【解析】略．【答案】【例5】2的绝对值是 ． 【难度】1星【解析】关键是判断原数（原式）的正负．2【巩固】的相反数是 ；倒数是 ；绝对值是 ．【难度】1星 【解析】略．；．模块三 实数的大小比较1 利用数轴比较大小因为数轴上右边的点表示的数，总是比左边的点表示的数大，所以负数小于0，0小于正数，负数小于正数. 2 利用绝对值比较大小两个正数比较大小，绝对值大的较大；两个负数比较大小，绝对值大的反而小. 3 利用作差法比较大小设a 、b 是任意两实数，若0a b ->,则a b >;若0a b -=,则a b =;若0a b -<,则a b <. 4 利用作商法比较大小设a 、b 是任意两同号实数，当a ，b 都为负数时，若1a b >,则a b <；若1ab<,则a b >.【例6】 如果a b a b -= ． 【难度】2星【解析】91516<<,34∴<,3,3a b ∴==,33)6a b ∴-=-=-【答案】6-.）A ．在4.5和5.0之间B ．在5.0和5.5之间C ．在5.5和6.0之间D ．在6.0和6.5之间【难度】2星 【解析】同上． 【答案】B【巩固】已知a b ，为两个连续整数，且a b <，则a b +=_______． 【难度】2星【解析】由已知可知3,47a b a b ==∴+=． 【答案】7【例7】 若01b <<则2b ，b ，1b这四个数有下列关系（ ）A. 2b <b <<1bB. 2b <<1b <bC.1b<<b <2b D. <1b<2b <b 【难度】1星【解析】采用特殊值法，此题可令14b =． 【答案】A【巩固】15三个数的大小关系是（）A. <15<B. <15<C. <<15D. <<15【难度】2星【解析】利用平方法比较大小，2224=，2226=，215225=224225226,15<<∴<【答案】A模块四实数的运算1.运算律加法交换律a+b=b+a加法结合律()()a b c a b c++=++乘法交换律ab=ba乘法结合律()()ab c a bc=分配律a（b+c）=ab+ac注意：关于有理数的运算律和运算性质，在进行实数运算时仍然成立.2. 混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的.【例8】化简：（1）21（2）34（3）12011+【难度】1星【解析】（1）2121)211=-==-；（2）34341=+=；（3）12011+1201211+=【答案】（1）1-；（2）1；（3）1．【例9】已知等腰三角形一边长为a，一边长b，且22(2)90a b b-+-=．求它的周长．【难度】2星【解析】a，b为三角形的边长，0,0a b∴>>，又22(2)90a b b-+-=，220,90a b b∴-=-=，33,2b a∴==，故三角形的三边长为3,3,32 或33,,322（舍去），故三角形的周长为3133722++=．【答案】172模块五 近似数、有效数字和科学记数法1. 近似数：将一个数四舍五入所得到的数．2. 有效数字：一个近似数从左边第一个不是零的数字起，到精确的数位为止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字． 3. 科学记数法：把一个数表示成10n a ⨯的形式，其中110a ≤<,n 为整数．注意：用科学计数法表示的数10n a ⨯，其有效数字只与a 有关，就是a 的有效数字；精确度却和a 、10n有关，是a 的精确度乘10n 所得的结果.如54.3010⨯有三个有效数字，分别是4,3,0；4.30精确到0.01，60.011010000⨯=，故54.3010⨯精确到千位.【例10】 我国第六次全国人口普查数据显示，居住在城镇的人口总数达到665 575 306人，将665 575 306用科学记数法表示（保留三个有效数字）约为（ ）A ．B ．C ．D ．【难度】1星 【解析】略 【答案】C【例11】 指出下列各近似值精确到哪一位：（1）56.3；（2）5.630；（3） 65.6310⨯；（4） 5.630万【难度】1星 【解析】略 【答案】（1）十分位；（2）千分位；（3）万位；（4） 十位．【例12】 指出下列近似数有几个有效数字：（1）0.319；（2）0.0170；（3） 4.46万；（4） 85.2910⨯【难度】1星 【解析】略 【答案】（1）3个；（2）3个；（3） 3个；（4） 3个．模块六 平方根、算术平方根、立方根平方根：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a的平方根，记作766.610⨯80.66610⨯86.6610⨯76.6610⨯方根，负数没有平方根，0的平方根是0.算术平方根：正数a 的算术平方根为0.立方根：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0.注意：（1）当被开方数扩大(或缩小)2n 倍，它的算术平方根相应地扩大(或缩小)n 倍(0n ≥)． （2）平方根和算术平方根与被开方数之间的关系：若0a ≥，则2a =； 不管a (0)||(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩（3）若一个非负数a 介于另外两个非负数1a 、2a 之间，即120a a a ≤<<时，它的算术平方根也之间，即：0≤<<算一个非负数的算术平方根的大致范围．【例13】 ）A ．81B ．3±C ．3D ．3-【难度】2星 【解析】略 【答案】B 【例14】 若24m -与31m -是同一个正数的平方根，则m 为（ ）A ．3-B ．1C ．-1D ．3-或1【难度】2星【解析】由于一个正数的平方根有两个，且互为相反数，由此即可得到2m -4与3m -1相等或互为相反数，然后列方程即可解决问题． 24m -与31m -是同一个正数的平方根， ∴24m -=31m -或24(31)m m -=--， 解得：3m =-，或1m =． 故选D ．【答案】D2，则(25)x +的平方根是 ；若5=，则x = .【难度】2星【解析】考察的是数的开方 【答案】3±；5±．【例15】 一个自然数的算术平方根为a ，则和这个自然数相邻的下一个自然数是（ ）．A ．1a +B ． 21a +C ． 22a +D【难度】2星 【解析】首先根据算术平方根的定义求出自然数，然后即可求出这个自然数相邻的下一个自然数．一个自然数的算术平方根为a ， ∴这个自然数是2a ．∴和这个自然数相邻的下一个自然数是21a +． 故选B ．【答案】B【巩固】设a a 的值是 ． 【难度】3星【解析】201222503.503a =⨯⨯∴=． 【答案】503【例16】 1.22== _____.【难度】2星 【解析】略 【答案】122-【例17】 已知2a -的平方根是2±，27a b ++的立方根是3，求22a b +的算数平方根． 【难度】2星【解析】22(2),6a a -=±∴=；3273a b ++=且6a =，8b ∴=，10=． 【答案】10【巩固】已知A =是3n m -+的算术平方根，2m B -=7m n +的立方根，求B +A 的平方根．【难度】2星【解析】由题可知3233m n m n -=⎧⎨-+=⎩，解得63m n =⎧⎨=⎩，0A ∴==，3B ===，∴【答案】a =，2yb =(0y <)8(4b a >)18=，求xy 的值.【难度】2星 【解析】2(4)8,48,4,48a b a b b a b a -=∴-=>∴-=；又33()18,18a b a b +=∴+=，解得2,16a b == 8,4,32x y xy ∴=-=-=．【答案】32【例18】 若11a b ++=，求23ab c +-的值． 【难度】2星【解析】原式可变为(1)10a b -++=，2(1)10,1,1,1a b a b c -+++=∴==-=2312(1)314a b c ∴+-=+--⨯=-． 【答案】4-【例19】 已b ，求4321237620b b b b+++-． 【难度】３星【解析】本题采用了整体代入的数学思想．91416<<，34,<的整数部分为3，小数部分为3b =，3b =+，左右平方可得21496b b =++，256b b ∴=-， 4321237620b b b b +++-=22(56)12(56)37620b b b b b -+-++- 222225366060723762025620255662010b b b b b b b b b b =+-+-++-=++-=+-+-=【答案】10．模块七 二次根式的基本概念及化简二次根式概念0a ≥）的式子叫做二次根式． 二次根式的基本性质：0≥（0a ≥）双重非负性； 2a =（0a ≥）；(0)(0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩【例20】 设y =，求使y 有意义的x 的取值范围.【难度】２星【解析】对二次根式定义的考察20210x x -≥⎧⎨+>⎩，解得122x -<≤． 【答案】122x -<≤【巩固】当x 时，．【难度】２星【解析】对二次根式定义的考察，通过观察可以发现2223(1)220,x x x -+=-+≥>∴要使22023xx x -≥-+，20x -≥即可，2x ∴≤．【答案】2x ≤【例21在实数范围成立，那么x y z +的值是多少？ 【难度】２星0a ≥）的考察．由题可知20110,20110,2011z z z -≥-≥∴=，0，260,20,3,2x y x y ∴-=+=∴==-321201*********x y z +-∴===．【答案】2011【巩固】若m =定m 的值. 【难度】3星0a ≥）的考察，但是如果能观察出199x y -+与199x y --互为相反数此题会更直接．1990,1990,1990,199x y x y x y x y -+≥--≥∴--=∴+=，0，3520230x y m x y m +--=⎧∴⎨+-=⎩，解得264x m y m=-⎧⎨=-⎩，2642x y m m m ∴+=-+-=-，2199m ∴-=201m ∴=．【答案】201总结： 0a ≥0≥重非负性．【例22】 化112a ≤≤） 【难度】2星a =，去绝对值时，一定要注意a 的正负．211a a =---， 112a ≤≤，∴原式=21(1)21132a a a a a ---=--+=-． 【答案】32a -【巩固】设012x y <<<<，则=__________.【难度】3星【解析】012x y <<<<， ∴原式=2122(1)(2)21221x y x y x y x y x y x yx ==-+----=-+----=-+-+-+=+【答案】21x +总结：a ，而不是直接化简成a ，因为去绝对值时，a 的正负不同结果是不同的．二次根式的乘除最简二次根式：0a ≥）中的a 称为被开方数．满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式：被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式分母中不含二次根式二次根式的计算结果要写成最简根式的形式．=0a ≥，0b ≥）=0a ≥，0b >） 利用这两个法则时注意a 、b 的取值范围，=，a 、b 都非负，否则不成立，≠【例23】 已知0xy >，化简二次根式 ） ABC． D．【难度】2星【解析】解题的关键是确定被开放式字母的符号．由题可知20x >，且20,0y y x -≥∴≤，又0xy >，0x ∴<，∴原式=． 【答案】D【巩固】化简二次根式的结果是 ． 【难度】2星【解析】解题的关键是确定被开放式字母的符号．【答案】【例24】） A ． 1111n n +++ B ． 1111n n-++ C ． 1111n n +-+ D ． 1111n n--+ 【难度】3星【解析】原式1111n n ===+-+．【答案】C22010的结果是 ．【难度】3星【解析】解本题时注意完全平方公式的应用．原式2201022010=2222222201020102010200920093120102009201060271401960282009====+⨯+-=-++=-+=．【答案】2009【例25】 计算（1）02321(3)()(1)2π------ （2） （3）2(4+ （4）22⨯【难度】2星【解析】（1）02321(3)()(1)2π------11141222=-+-=- ； （2）=2212186-=-=- ；（3）2(4+164561=+++；（4）22⨯=22(52)9⨯=-=．【答案】（1）122-；（2）6-；（3）61+（4）9．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化．互为有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，说这两个代数式互为有理化因式．0．【例26】 若最简根式2m -是同类二次根式，则m ＝ ，n＝ ．.【难度】2星【解析】判断是同类二次根式首先必须是最简二次根式，然后被开方数完全相同即可．由题可知212252726m n m n m n -+=⎧⎨+-=+-⎩，解得94m n =⎧⎨=⎩． 【答案】9 ， 4【例27】 =的整数解有 组.【难度】3星【解析】,,x y ，∴=， ∴=,m n 为0或正整数），2m n ∴+=，0,1,2m ∴=．【答案】3【例28】 当m =2422m m m +--的值是 ． 【难度】1星【解析】2422m m m +--=22442222m m m m m m --==+---，m =2)2-=，原式=22+=．【答案】课堂检测：【练习1】若4m ，则估计m 的取值范围 ．【难度】2星【解析】67,243<<∴<<【答案】243<<【练习2】阅读下面数学领域的滑稽短剧,你觉得结果2=3荒谬吗?找出它们错误的根源吗?第一幕：410915-=- 第二幕：等式两边同时加164，1410691564-+=-+14第三幕：上式变形，得22225555222()323()2222-⨯⨯+=-⨯⨯+ 第四幕：利用2222()a ab b a b -+=-，得到：2255(2)(3)22-=- 第五幕：两边开平方，得552322-=- 第六幕：两边加上52，得到等式23=！ 【难度】2星【解析】荒谬．第五幕时出了错误．开方时，没有分类讨论． 第五幕：两边开平方，得552322-=-（舍去）或552322-=- 第六幕：移项得，5232,2+=⨯即55= ． 【答案】荒谬．第五幕时出了错误．开方时，没有分类讨论．【练习3】b =，求a ，b 的值. 【难度】2星【解析】考察二次根式非负性．【答案】11,2a b =-=-．【练习4】阅读下列解题过程：（1=== （2== 请回答下列问题：（1）观察上面解题过程,的结果为__________________．（2）利用上面所提供的解法，请化简：2010+ 【难度】2星【解析】对原式的每一项进行分母有理化，原式12011+1．【答案】（1（21【练习5】当n是一个整数．【难度】3星231n n =====++n为整数，∴231n n ++为整数．=231n n ++．课后作业：1. 把根号外的因式移到根号内得 （） AB ．C ． D【难度】2星【解析】略【答案】 C2. 已知整数x 、y=x ，y ）的个数是（ ）A ． 0B ． 1C ． 2D ． 3【难度】2星【解析】略【答案】D3. 设a b ，都是实数，且0a a +=，ab ab =，0c c -=，那么化简b ac -为（ ）A ．2c b -B ．22b a -C ．b - D.b【难度】2星 【解析】0,0,a a a +=∴≤,0.0.0.ab ab b c c c =∴≤-=∴≥∴原式=b a b c b c a b -++-++-=，故选D ．【答案】D4.设a 、ba =，求222ab -++的值【难度】2星【解析】由已知可得2a b ==，∴222a b -++=222(224a -+=+=． 【答案】45. 化简下列各式（1）0x >，0y >） （2）（0a >，0b >） 【难度】2星【解析】（1（0x >，0y >）2x y ==（2（0a >，0b >）==【答案】（1（26. 请你观察、思考下列计算过程2211121,11;11112321,111;==== ．【难度】2星=111111111．【答案】1111111117.计算：【难度】3星a b c ==，把二次根式转化成分式计算．原式=()()()()()()a b c a b a c b a b c c a c b ++------()()()()()()()()()0()()()0a b c b a c c a b a b a c b c ab ac ba bc ac bc a b a c b c a b a c b c ---+-=-----++-=---=---= 【答案】0。