最新【精选】理论力学第七章点的合成运动哈工大第七版版
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哈工大理论力学教研室《理论力学Ⅰ》(第7版)课后习题-点的合成运动(圣才出品)
图 7-4 解：以 M 为动点，水轮为动系，牵连运动轨迹为定轴转动，速度分析如图 7-5 所示。
图 7-5 由 va = ve + vr 在 x、y 两个方向上的分量得
va sin 60o = ve + vr sin va cos 60o = vr cos
7 / 42
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图 7-1
图 7-2
7-2 图 7-2 中的速度平行四边形有无错误？错在哪里？
1 / 42
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答：都有错误，改正见图 7-3。
图 7-3 7-3 如下计算对不对？错在哪里？
图 7-4 （a）图 7-4（a）中取动点为滑块 A，动参考系为杆 OC，则 ve=ω·OA，va=cosφ （b）图 7-4（b）中 vBC=ve=vacos60°va=ωr 因为 ω=常量,所以，VBC=常量， （c）图 7-4（c）中为了求 aa 的大小，取加速度在 η 轴上的投影式：aacosφ-ac=0 所以 答：（a）不对，va 的速度平行四边形画法不正确，正确图见图 7-5。 （b）加速度的计算不正确。vBC 和 ω 为此瞬时的大小，不是任意时刻的速度和角速度 故不能对时间求导。
其中 ρ 和 φ 是用极坐标表示的点的运动方程，aρ 和 aψ 是点的加速度沿极径和其垂直 方向的投影。
答：如图 7-7 建立直角坐标系．xOy 与极坐标系 ρOφ。 取动点 Q，动系 OA
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加速度合成（图 7-8）
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aa=aen+aet+ar+ac
大小：？
方向：Hale Waihona Puke √ √ √ √图 7-7
07-理论力学-第二部分运动学第七章点的合成运动
下面举例说明以上各概念。 1515
运动学/点的合成运动
动 点： AB杆上的A点 动 系： 凸轮 定 系： 地面 绝对运动： 直线 相对运动：曲线（圆弧） 牵连运动： 直线平移
1616
运动学/点的合成运动
动 点：A(在AB杆上) 动 系：偏心轮C 定 系： 地面 绝对运动：直线 相对运动：圆周（C） 牵连运动： 定轴转动
22
运动学/点的合成运动
另一方面，在实际问题中，不仅要在固联在地面上 的参考系上还要在相对于地面运动着的参考系上观察和 研究物体的运动。下面先看几个例子。
33
运动学/点的合成运动
44
55
本章将用点的合成运动的方法来研究这类问题。 66
第七章 点的合成运动
§7-1 §7-2 §7-3
§7-4
r 2
r 2
r2
l2
r2
l 2（
） 3030
运动学/点的合成运动
例4 圆盘凸轮机构
已知：OC＝e ，R 3e ，（匀角速度），图示瞬时， OCCA，且O，A，B三点共线。求：从动杆AB的速度。
解：选取动点：AB 上的A点
动系：圆盘
绝对运动：直线 相对运动：圆周
由
定系：基座 va
牵连运动：定轴 ve vr
▼动点相对动系、定系必须 有运动，不能和动系在同一 物体上。
▼以上可归结为一点、两系 、三运动。
2020
运动学/点的合成运动
四、 运动方程及坐标变换 可以利用坐标变换来建立绝对、
相对和牵连运动之间的关系。
以二维问题为例。设定系 ，
动系
。动点M，如图所示。
（1）绝对运动方程： x x(t), y y(t)
大小 ? OA
运动学/点的合成运动
动 点： AB杆上的A点 动 系： 凸轮 定 系： 地面 绝对运动： 直线 相对运动：曲线（圆弧） 牵连运动： 直线平移
1616
运动学/点的合成运动
动 点：A(在AB杆上) 动 系：偏心轮C 定 系： 地面 绝对运动：直线 相对运动：圆周（C） 牵连运动： 定轴转动
22
运动学/点的合成运动
另一方面，在实际问题中，不仅要在固联在地面上 的参考系上还要在相对于地面运动着的参考系上观察和 研究物体的运动。下面先看几个例子。
33
运动学/点的合成运动
44
55
本章将用点的合成运动的方法来研究这类问题。 66
第七章 点的合成运动
§7-1 §7-2 §7-3
§7-4
r 2
r 2
r2
l2
r2
l 2（
） 3030
运动学/点的合成运动
例4 圆盘凸轮机构
已知：OC＝e ，R 3e ，（匀角速度），图示瞬时， OCCA，且O，A，B三点共线。求：从动杆AB的速度。
解：选取动点：AB 上的A点
动系：圆盘
绝对运动：直线 相对运动：圆周
由
定系：基座 va
牵连运动：定轴 ve vr
▼动点相对动系、定系必须 有运动，不能和动系在同一 物体上。
▼以上可归结为一点、两系 、三运动。
2020
运动学/点的合成运动
四、 运动方程及坐标变换 可以利用坐标变换来建立绝对、
相对和牵连运动之间的关系。
以二维问题为例。设定系 ，
动系
。动点M，如图所示。
（1）绝对运动方程： x x(t), y y(t)
大小 ? OA
最新理论力学第七章点的合成运动(哈工大第七版版)
理论力学第七章点的合成 运动(哈工大第七版版)
车刀刀尖的运动
相对某一参考体的运动可由相对于其他参考体的几个运 动的组合而成－合成运动。
§7-1 相对运动·牵连运动·绝对运动 定坐标系（定系）
两个坐标系 动坐标系（动系） 绝对运动：动点相对于定系的运动。
三种运动 相对运动：动点相对于动系的运动。 牵连运动：动系相对于定系的运动。
v r v a 2 v e 2 2 v a v e c6 o 0 3 . s 6 m s
arcvsesiin 6n (0 )46 12
vr
例7-6 已知：圆盘半径为R，以角速度ω1绕水平轴CD转动， 支承CD的框架又以角速度ω2绕铅直的AB轴转动，如图所示。 圆盘垂直于CD，圆心在CD与AB的交点O处。
OA=r，两轴间距离OO1=l。求：曲柄在水平位置时摇杆的
角速度w1。
解: 1.动点：滑块 A 动系：摇杆 O1B
OA l2r2
2.运动分析：
绝对运动－绕 O 点的圆周运动；
相对运动－沿O1B的直线运动；
牵连运动－绕 O1 轴定轴转动。
3.
vavevr
大小 rw ? ?
方向 √ √ √
vevasijnrw
2.绝对运动：直线运动（AB）
相对运动：圆周运动（半径R）
牵连运动：定轴运动（轴O）
3.
va ve vr
大小 ? wOA ?
方向 √ √
√
vaveco twOO A e A we
例7-5 已知：矿砂从传送带A落入到另一传送带B上，如图所示。
站在地面上观察矿砂下落的速度为 v1=4m/s ，方向与铅直线成30º 角。传送带B水平传动速度 v2=3m/s 。 求：矿砂相对于传送带B 的速度。
车刀刀尖的运动
相对某一参考体的运动可由相对于其他参考体的几个运 动的组合而成－合成运动。
§7-1 相对运动·牵连运动·绝对运动 定坐标系（定系）
两个坐标系 动坐标系（动系） 绝对运动：动点相对于定系的运动。
三种运动 相对运动：动点相对于动系的运动。 牵连运动：动系相对于定系的运动。
v r v a 2 v e 2 2 v a v e c6 o 0 3 . s 6 m s
arcvsesiin 6n (0 )46 12
vr
例7-6 已知：圆盘半径为R，以角速度ω1绕水平轴CD转动， 支承CD的框架又以角速度ω2绕铅直的AB轴转动，如图所示。 圆盘垂直于CD，圆心在CD与AB的交点O处。
OA=r，两轴间距离OO1=l。求：曲柄在水平位置时摇杆的
角速度w1。
解: 1.动点：滑块 A 动系：摇杆 O1B
OA l2r2
2.运动分析：
绝对运动－绕 O 点的圆周运动；
相对运动－沿O1B的直线运动；
牵连运动－绕 O1 轴定轴转动。
3.
vavevr
大小 rw ? ?
方向 √ √ √
vevasijnrw
2.绝对运动：直线运动（AB）
相对运动：圆周运动（半径R）
牵连运动：定轴运动（轴O）
3.
va ve vr
大小 ? wOA ?
方向 √ √
√
vaveco twOO A e A we
例7-5 已知：矿砂从传送带A落入到另一传送带B上，如图所示。
站在地面上观察矿砂下落的速度为 v1=4m/s ，方向与铅直线成30º 角。传送带B水平传动速度 v2=3m/s 。 求：矿砂相对于传送带B 的速度。
理论力学(第七版)课后题答案哈工大
理论力学（第七版）课后题答案 哈工大.高等教育出版社
第1章 静力学公理和物体的受力分析
1-1 画出下列各图中物体 A，ABC 或构件 AB，AC 的受力图。未画重力的各物体的自 重不计，所有接触处均为光滑接触。
FN 1
A
P FN 2
(a)
(a1)
FT A P FN
(b)
A
(b1)
FN1
P
B FN 3
FR = (80i + 140 j ) N
FR = (80 N) 2 + (140 N) 2 = 161 N
2-2 如图 2-2a 所示，固定在墙壁上的圆环受 3 条绳索的拉力作用，力 F1 沿水平方向， 力 F3 沿铅直方向，力 F2 与水平线成 40°角。3 个力的大小分别为 F1=2 000 N，F2=2 500 N， F3=1 500 N。求 3 个力的合力。
C
FN 2
′ FN
B
P2
(a1)
FN1
(a) FN 1
B
C P2 FAy A
FN 2
FN
P1
P1
FAy
A F Ax
FAx
(a2)
(a3)
FN1
A P1 B P2
FN 3
FN 2
(b)
(b1)
′ FN
FN 1
A
B P2
FN 3
P1
FN
FN 2
(b3)
(b2)
3
理论力学（第七版）课后题答案 哈工大.高等教育出版社
F2 = 173 kN
如图 2-5a 所示，刚架的点 B 作用 1 水平力 F，刚架重量不计。求支座 A，D 的约
y F B C x
第1章 静力学公理和物体的受力分析
1-1 画出下列各图中物体 A，ABC 或构件 AB，AC 的受力图。未画重力的各物体的自 重不计，所有接触处均为光滑接触。
FN 1
A
P FN 2
(a)
(a1)
FT A P FN
(b)
A
(b1)
FN1
P
B FN 3
FR = (80i + 140 j ) N
FR = (80 N) 2 + (140 N) 2 = 161 N
2-2 如图 2-2a 所示，固定在墙壁上的圆环受 3 条绳索的拉力作用，力 F1 沿水平方向， 力 F3 沿铅直方向，力 F2 与水平线成 40°角。3 个力的大小分别为 F1=2 000 N，F2=2 500 N， F3=1 500 N。求 3 个力的合力。
C
FN 2
′ FN
B
P2
(a1)
FN1
(a) FN 1
B
C P2 FAy A
FN 2
FN
P1
P1
FAy
A F Ax
FAx
(a2)
(a3)
FN1
A P1 B P2
FN 3
FN 2
(b)
(b1)
′ FN
FN 1
A
B P2
FN 3
P1
FN
FN 2
(b3)
(b2)
3
理论力学（第七版）课后题答案 哈工大.高等教育出版社
F2 = 173 kN
如图 2-5a 所示，刚架的点 B 作用 1 水平力 F，刚架重量不计。求支座 A，D 的约
y F B C x
理论力学7-2
z
M M '
rM z '
r'
O' x'
k ' rO ' i '
j'
y'
O
y
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第七章 点的合成运动
1. 动系做平移时 i 0, j 0, k 0
' k ' 0 2 x' i ' y ' j ' z
ve vr va ro
vB ve r O l l l
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第七章 点的合成运动
绝对加速度 相对加速度
n 2 aa aa O r
方向由A指向O
ar ?
n e 2 e
方向水平
2 O r2
v 牵连加速度 a l
l
方向由B指向D
v R vr aa R R 2 v R 2 r 2vr R
2 a 2
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第七章 点的合成运动
加速度合成定理(Theorem of composition of accelerations)
1. 动系做平移时
aa ae ar
2. 两个不相关的物体，求二者的相对速度。 根据题意, 选择所求相对运动速度的点为动点, 动系 固结于另一物体上。
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第七章 点的合成运动
3. 相对于运动物体在运动的物体上有一动点，求该点的绝 对运动。则取该点取为动点，动系固结于另一个运动物体 上。
哈工大第七版理论力学__点的合成运动课件
第八章 点的合成运动
Resultant Motion of a Particle
运动学
运
动
演
示
第八章 点的合成运动
Resultant Motion of a Particle
运动学
（2） 选择动点，动系与定系 情况一
视频
第八章 点的合成运动
Resultant Motion of a Particle
即为相对运动方程，也就是笔尖相对纸带的运动方程。
上二式消去时间t 得相对轨迹方程：
y A cos
v
x
余弦曲线
第八章 点的合成运动
Resultant Motion of a Particle
运动学
§8-2 点的速度合成定理 Theorem of Composition of the Velocities of a Particle
第八章 点的合成运动
Resultant Motion of a Particle
运动学
视频
牵连点、 牵连点的运动轨迹？动点的相对运动轨迹？绝对运动轨迹？
第八章 点的合成运动
Resultant Motion of a Particle
运动学
视频
牵连点的运动轨迹？动点的相对运动轨迹？绝对运动轨迹？
第八章 点的合成运动 视频
第八章 点的合成运动
Resultant Motion of a Particle
运动学
B
由三角形关系，AB 杆速度大小为：
y
vr
y ' va R
va ve cot v0 cot 60 0.577v0
ve
v0 x'
理论力学第7章(点的合成运动)
（已知绝对运动和牵连运动求解相对运动的问题除外）
点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小‚方向
六个元素，已知任意四个元素，就能求出其他两个。 二、应用举例
[例] 桥式吊车 已知：小
车水平运行，速度为v平， 物块A相对小车垂直上升 的速度为v。求物块A的 运行速度。
解：选取动点: 物块A 动系: 小车 静系: 地面 相对运动: 直线; 相对速度vr =v 方向 牵连运动: 平动; 牵连速度ve=v平 方向 绝对运动: 曲线; 绝对速度va 的大小, 方向待求。
由速度合成定理 va= vr+ ve ， 作出速度平行四边形 如图示。
v a v e tg 30 0 2 3 e 3 v AB 2 3 e ( ) 3
动点：AB杆上的A点 动系：偏心轮
绝对运动：直线 相对运动：圆周（曲线） 牵连运动：定轴转动
铰接四边形O1A=O2B=100mm， O1O2=AB，杆 O1A以等角速度 ω =2rad/s绕轴O1转动。 AB杆上有一套筒C，此套筒与杆CD相铰接 ，机构的各部件都在同一铅垂平面内。
）
[例3] 圆盘凸轮机构 已知：OC＝e , R 3e , （匀角速度） 图示瞬时, OCCA 且 O、A、B三点共线。 求：从动杆AB的速度。
解：动点取直杆上A点，动系固结于圆盘， 静系固结于基座。 绝对速度 va = ? 待求，方向//AB 相对速度 vr = ? 未知，方向CA 牵连速度 ve =OA=2e , 方向 OA
y
O C
x
x
合成运动：相对某一参考体的运动可由相对于其它参考 体的几个运动组合而成，称这种运动为合成运动
动点：要研究的点
两个参考系： 一般把固定在地球上的坐标系称为静参考系； 用 Oxyz表示； 固定在相对地球运动的参考体上的坐标系称为动参考系； 用 Oxyz 表示。
点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小‚方向
六个元素，已知任意四个元素，就能求出其他两个。 二、应用举例
[例] 桥式吊车 已知：小
车水平运行，速度为v平， 物块A相对小车垂直上升 的速度为v。求物块A的 运行速度。
解：选取动点: 物块A 动系: 小车 静系: 地面 相对运动: 直线; 相对速度vr =v 方向 牵连运动: 平动; 牵连速度ve=v平 方向 绝对运动: 曲线; 绝对速度va 的大小, 方向待求。
由速度合成定理 va= vr+ ve ， 作出速度平行四边形 如图示。
v a v e tg 30 0 2 3 e 3 v AB 2 3 e ( ) 3
动点：AB杆上的A点 动系：偏心轮
绝对运动：直线 相对运动：圆周（曲线） 牵连运动：定轴转动
铰接四边形O1A=O2B=100mm， O1O2=AB，杆 O1A以等角速度 ω =2rad/s绕轴O1转动。 AB杆上有一套筒C，此套筒与杆CD相铰接 ，机构的各部件都在同一铅垂平面内。
）
[例3] 圆盘凸轮机构 已知：OC＝e , R 3e , （匀角速度） 图示瞬时, OCCA 且 O、A、B三点共线。 求：从动杆AB的速度。
解：动点取直杆上A点，动系固结于圆盘， 静系固结于基座。 绝对速度 va = ? 待求，方向//AB 相对速度 vr = ? 未知，方向CA 牵连速度 ve =OA=2e , 方向 OA
y
O C
x
x
合成运动：相对某一参考体的运动可由相对于其它参考 体的几个运动组合而成，称这种运动为合成运动
动点：要研究的点
两个参考系： 一般把固定在地球上的坐标系称为静参考系； 用 Oxyz表示； 固定在相对地球运动的参考体上的坐标系称为动参考系； 用 Oxyz 表示。
理论力学第七版第07章(1-2节)--点的合成运动 (2)
绝对运动：圆周运动 相对运动：直线运动（沿O1B） 牵连运动：定轴转动（绕O1轴） 2.速度
va ve vr r
√
大小
? ?
√
rl v r v a cos 2 l r2
方向 √
r 2 v e v a sin 2 l r2
ve ve r 2 1 2 2 2 O1 A l r2 l r
(7-15)
aa ar α r ω ω r 2ω vr
(7-18)
§7-4 牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理
设动系作定轴转动，转轴通过点O´，其角速度矢量为
aa ar α r ω ω r 2ω vr
v a rO xi yj z k xi yj zk
va ve v r
aa ae ar
例7-7
已知：如图所示平面机构中，铰接在曲柄端 A 的滑块，可 在丁字形杆的铅直槽DE内滑动。设曲柄以角速度ω作匀速 转动， OA r 。
回顾： 2.矢积表示绕定轴转动刚体上点的速度和加速度
dv d 加速度 a r dt dt
→
d dr r dt dt
r v
(6-21)
→
→ → →
科里奥利，法国物理学家。
1792年5月21日生于巴黎；1843年9月19日卒于巴黎。 科里奥利是巴黎工艺学院的教师，长期健康状况不佳，这 限制了他创造能力的发挥。即便如此，他的名字在物理学 中仍是不可磨灭的。 1835年，他着手从数学上和实验上研 究自旋表面上的运动问题。地球每 24 小时自转一周。赤道 面上的一点，在此时间内必须运行25，000英里，因此每小 时大约向东运行 1，000英里。在纽约纬度地面上的一点， 一天只需行进19，000英里，向东运行的速度仅约为每小时 800英里。由赤道向北流动的空气，保持其较快的速度，因 此相对于它下面运动较慢的地面而言会向东行。水流的情 况也是一样。因此，空气和水在背向赤道流动时好像被推 向东运动，反之会向西运动,这样会形成一个圆! 推动它们运动的力就称为科里奥利力。 这种力不是真实存在的 ! 只是 “ 惯性 ” 这种性质的表现而已。 正是这种"力"造成了飓风和龙卷风的旋转运动。研究大炮射 击、卫星发射等技术问题时，必须考虑到这种力。
第7章_点的合成运动
y ) i k ae ar 2( x j z
§7-3 点的加速度合成定理
i'
x'
O' y
x
7.3.2 点的加速度合成公式的推导
y ) 2[ x i (ωe i ) y (ωe j) z k (ωe k )] 2( x j z i + y j z k ) 2ωe ( x 2ωe v vrr
§7-3 点的加速度合成定理
7.3.3 关于科氏加速度
定义 :
aC 2ωe vr aC 2ωe vr sin
ωe vr ωe // vr
—相对速度矢的 矢积的两倍。1832年科利奥里(法)研究水轮机发现。 大小:
方向: 其中为e与vr两矢量间的最小夹角。 矢aC垂直于e和vr，指向按右手法则确定。
e
aC 2ωe vr vr aC 0 工程中常见的平面机构中 e和vr是垂 。 直的，此时aC = 2evr；且vr按e转向转90
就是aC的方向。
§7-3 点的加速度合成定理
aC
习题课
1、习题分类 ① 机构传动问题中，求某点的速度、加速度或者 求某刚体的转动角速度、角加速度。 ② 单一动点运动的分解或合成问题。
必有。
3、某瞬时，牵连点与动系有无相对运动?
答 : 无。
§7-1 相对运动 ·牵连运动 ·绝对运动
7.1.1 三种运动的概念
练习一
动点：滑块A
A
动系：滑槽
ve
va
vr
A
aa
ar
A
ae n ar
§7-1 相对运动 ·牵连运动 ·绝对运动
§7-3 点的加速度合成定理
i'
x'
O' y
x
7.3.2 点的加速度合成公式的推导
y ) 2[ x i (ωe i ) y (ωe j) z k (ωe k )] 2( x j z i + y j z k ) 2ωe ( x 2ωe v vrr
§7-3 点的加速度合成定理
7.3.3 关于科氏加速度
定义 :
aC 2ωe vr aC 2ωe vr sin
ωe vr ωe // vr
—相对速度矢的 矢积的两倍。1832年科利奥里(法)研究水轮机发现。 大小:
方向: 其中为e与vr两矢量间的最小夹角。 矢aC垂直于e和vr，指向按右手法则确定。
e
aC 2ωe vr vr aC 0 工程中常见的平面机构中 e和vr是垂 。 直的，此时aC = 2evr；且vr按e转向转90
就是aC的方向。
§7-3 点的加速度合成定理
aC
习题课
1、习题分类 ① 机构传动问题中，求某点的速度、加速度或者 求某刚体的转动角速度、角加速度。 ② 单一动点运动的分解或合成问题。
必有。
3、某瞬时，牵连点与动系有无相对运动?
答 : 无。
§7-1 相对运动 ·牵连运动 ·绝对运动
7.1.1 三种运动的概念
练习一
动点：滑块A
A
动系：滑槽
ve
va
vr
A
aa
ar
A
ae n ar
§7-1 相对运动 ·牵连运动 ·绝对运动
理论力学 7.点的合成运动
动点、动系和静系必须分别属于三个不同的物体，
否则绝对、相对和牵连运动中就缺少一种运动，不能 成为合成运动
动点相对动系的相对运动轨迹易于直观判断（已
知绝对运动和牵连运动求解相对运动的问题除外）。
课堂练习1．如图所示，曲柄OA长0.40m，以匀角速度 ω=0.5rad/s绕轴O逆时针方向转动，通过曲柄的A端推动滑杆BC 沿铅直方向运动。试求当曲柄OA与水平线的夹角φ=30°时，滑 杆BC的速度。
va = ve + vr
由几何关系
ve va sin a sin
连杆的速度大小
v a sin
例2 曲柄摆杆机构。已知：OA= r , , OO1=l，图示瞬时OAOO1，求：摆杆O1B 角速度1
解：取OA杆上A点为动点，摆杆O1B为动 系，基座为静系。 绝对速度va = r 方向 OA 相对速度vr = ? 方向//O1B
由速度合成定理 va= vr+ ve ，
作出速度平行四边形 如图示。
v a v e tg 30 0 2 3 e 3
（翻页请看动画）
v AB 2 3 e ( ) 3
例4 汽车A以v A 40 km/h的速度沿直线道路行驶，汽车B 以vB 56.6 km/h的速度沿另一叉道行驶。试求在汽车B上 观察到的汽车A的速度。
相对运动： 曲线（圆弧）
牵连运动： 直线平动
va 绝对速度 ：
相对速度 ：v r
牵连速度 ：v e
绝对加速度：aa 相对加速度：ar 牵连加速度：ae
四．动点的选择原则： 一般选择主动件与从动件的连接点，它是对两个坐 标系都有运动的点。
五．动系的选择原则： 动点对动系有相对运动，且相对运动的轨迹是已知的， 或者能直接看出的。
理论力学,动力学,第七章 点的合成运动-r
牵连运动为转动时点的加速度合成
dx dy dz vr i j k dt dt dt d 2 x d 2 y d 2 z ar 2 i 2 j 2 k dt dt dt
M
r
1 2 M
ve ω r
ae α r ω ve
v ve vr
M
r
1 2 M
ve ω r
ae α r ω ve
v ve vr
dve dvr a dt dt
ae ar 2ω vr
dve ae ω vr dt dvr ar ω vr dt
a ae ar 2ω vr
ω
O1
D
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
C
600
答案：
A1
600
A2 O2
v r
a 3 r ()
2
练习：已知半径为 r 的半圆形凸轮
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
以匀速 v0 在水平面上滑动，长为 r 的直杆OA可绕O轴转动。试求图示 瞬时OA杆的角速度和角加速度。
§7.2
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
点的速度合成定理 M' (2)
C
MM' ——动点的绝对位移
z
C
vr
v
ve M (1)
M1(1) M M' ——动点的相对位移 1
MM1 ——牵连点1点的位移
O x
y
MM MM1 M1 M
哈尔滨工业大学 第七版 理论力学 第7章 课后习题答案
解
设轮缘上任 1 点 M 的全加速度为 a，切向加速度 a t = rα ，法向加速度 a n = ω r ，如图
2
7-11b 所示。
tan θ =
把
α=
dω ， θ = 60° 代入上式，得 dt
at α = 2 an ω
dω tan 60° = dt2
ω
分离变量后，两边积分：
∫ω
得
ω
0
dω
ω
2
=∫
⎤ ⎡ ⎥ ⎢ sin ω t 0 θ = tan −1 ⎢ ⎥ ⎢ h − cos ω 0 t ⎥ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣r
故
50 π ⋅ 600 100π r ω1 = rad/s ⋅ = 100 − 5t 30 10 − 0.5t d dω 5 000 π d ⎛ 1 000π ⎞ α2 = 2 = ⎜ ⎟= dt dt ⎝ 100 − 5t ⎠ (100 − 5π )2
故得
h1 =
h4 = 2 mm 6
图 7-7
7-8 如图 7-8 所示，纸盘由厚度为 a 的纸条卷成，令纸盘的中心不动，而以等速 v 拉纸条。求 纸盘的角加速度（以半径 r 的函数表示） 。 解 纸盘作定轴转动，当纸盘转过 2π rad 时半径减小 a。设纸盘转过 dθ 角时半径增加 dr ，则
dθ =
y
B
t aB
α j
O
vA x
ω
(a) 图 7-12
aC
(b)
i 45° A n
C
t aC
解
由图 7-12b 得出
84
理论力学（第七版）课后题答案 哈工大.高等教育出版社
v A = 0.2 j m/s ， v A = ω × Ri ， ω × 0.1i = 0.200 j ， ω = 2k ，
理论力学(第7版)第七章 点的合成运动
rM rO r ro' xi yj z k
ar ~ d 2r dt 2
xi j k y z
ae
d 2 rM dt 2
xi yj zk rO
?
√ √ √ √ 将加速度矢量式投影到法线上，得
a a sin a e cos
大小 方向
aa a e a r a r ? a0 R? √
?
n
n
ar
n
aa (ae cos ar n ) / sin
整理得
a AB
2 3 8 v0 aa (a0 ) 3 3 R
称为动参考系，简称动系。例如在行驶的 汽车。以o’x’y’z’坐标系表示。
[注]： 1、参考系须指明固结于哪个参考体上，选择参 考体是选择参考系的关键。 2、动系与参考体有区别：参考体是有限的，而 参考坐标系是无限大的，故动系无限大。
3
7-1 相对运动 牵连运动 绝对运动
二、三种运动
１．绝对运动：动点对定系的运动 ２．相对运动：动点对动系的运动
2 (aa aen )sin 30 3O r (l r ) aet cos 30 3l
BD
2 aet 3O r (l r ) BD 3l 2
28
7-4 牵连运动是定轴时点的加速度合成定理 科氏加速度
1、牵连运动为转动情况：
定理推导:
rM rM
r xi yj z k
3、 v a v e v r 大小 r ? ?
ve r 2 1 2 O1 A l r 2
方向 OA O1B //O1B ve va sin r sin
ar ~ d 2r dt 2
xi j k y z
ae
d 2 rM dt 2
xi yj zk rO
?
√ √ √ √ 将加速度矢量式投影到法线上，得
a a sin a e cos
大小 方向
aa a e a r a r ? a0 R? √
?
n
n
ar
n
aa (ae cos ar n ) / sin
整理得
a AB
2 3 8 v0 aa (a0 ) 3 3 R
称为动参考系，简称动系。例如在行驶的 汽车。以o’x’y’z’坐标系表示。
[注]： 1、参考系须指明固结于哪个参考体上，选择参 考体是选择参考系的关键。 2、动系与参考体有区别：参考体是有限的，而 参考坐标系是无限大的，故动系无限大。
3
7-1 相对运动 牵连运动 绝对运动
二、三种运动
１．绝对运动：动点对定系的运动 ２．相对运动：动点对动系的运动
2 (aa aen )sin 30 3O r (l r ) aet cos 30 3l
BD
2 aet 3O r (l r ) BD 3l 2
28
7-4 牵连运动是定轴时点的加速度合成定理 科氏加速度
1、牵连运动为转动情况：
定理推导:
rM rM
r xi yj z k
3、 v a v e v r 大小 r ? ?
ve r 2 1 2 O1 A l r 2
方向 OA O1B //O1B ve va sin r sin
哈工大理论力学教研室《理论力学》复习大全(点的合成运动)
第7章 点的合成运动7.1 复习笔记一、合成运动 1．基本概念（1）合成运动：相对于某一参考体的运动可由相对于其他参考体的几个运动组合而成，称这种运动为合成运动。
（2）定参考系：习惯上把固定在地球上的坐标系称为定参考系，简称定系。
（3）动参考系：固定在其他相对于地球运动的参考体上的坐标系称为动参考系，简称动系。
（4）绝对运动：动点相对于定参考系的运动，称为绝对运动。
（5）相对运动：动点相对于动参考系的运动，称为相对运动。
（6）牵连运动：动参考系相对于定参考系的运动，称为牵连运动。
（7）动点在相对运动中的轨迹、速度和加速度，称为相对轨迹、相对速度r v 和相对加速度r a 。
（8）动点在绝对运动中的轨迹、速度和加速度，称为绝对轨迹、绝对速度a v 和绝对加速度a a 。
（9）在动参考系上与动点相重合的那一点(牵连点)的速度和加速度称为动点的牵连速度和牵连加速度，用符号e v 和e a 表示。
二、点的速度合成定理 1．点的速度合成定理动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。
表达式为a e r v v v =+由此公式画出的平行四边形也称为速度平行四边形。
2．用速度合成定理解决问题步骤与注意事项（1）选取动点、动参考系和定参考系。
所选的动参考系应能将动点的运动分解成为相对运动和牵连运动。
因此，动点和动参考系不能选在同一个物体上，一般应使相对运动易于看清。
动点与动参考系直接相关的是动参考系上与动点相重合的那一点（牵连点），牵连点的速度和加速度称为动点的牵连速度和牵连加速度。
（2）分析三种运动和三种速度。
相对运动是怎样的一种运动(直线运动、圆周运动或其他某种曲线运动)？牵连运动是怎样的一种运动(平移、转动或其他的某一种刚体运动)？绝对运动是怎样的一种运动(直线运动、圆周运动或其他某种曲线运动)？各种运动的速度都有大小和方向两个要素，只有已知四个要素时才能画出速度平行四边形。
理论力学第七版第七章-资料精品教育文档
BDBaetD
302r(lr)
3l2
§7-4 牵连运动(定轴转动)点的加速度 合成定理·科氏加速度
先分析k 对时间的导数。
vA
drA dt
e
rA
rA rO k
drO dt
ddkte(rO k)
因为 vO ddrO t erO
得 i d d kt e ei ,k， j同 e 理 ji,、 可 jk ， 即 得 e k
求：气体微团在点C的绝对加速度。
例题7-10
已知 v r, , ,： C O r 求 a a：
解：首先分析
动点：气体微团C，动系 ： Ox’y’ 相对运动：曲线运动（AB） 牵连运动：定轴转动（O轴） 绝对运动：未知
例题7-10
2、加速度 aaaear acaenarnac
大小 ?
已知：BC=DE，且BD=CE=l。 求：图示位置时，杆BD的角速度和角加速度。
例题7-9
解：1 动点：滑块A，动系：BC杆
绝对运动：圆周运动（O点） 相对运动：直线运动（BC） 牵连运动：平动
2 速度 大小 方向
va ve vr
r 0 ? ?
√ √√
vrvevar 0
BDBveDrl 0
得 a a ( a e e v r ) ( a r e v r )
aaaear2evr
令 aC 2evr 称为科氏加速度。
§7-4 牵连运动(定轴转动)点的加速度 合成定理·科氏加速度
Ve’
Ve’
Ve’-Ve
VM1
Vr’
VM1-Ve
M3 M1
Ve VM1
§7-4 牵连运动(定轴转动)点的加速度 合成定理·科氏加速度
理论力学第7章分析解析
解： 1.运动分析：
动点：滑块A ；
动系:固连于杆BC上；
绝对运动：以O为圆心的圆周运动； 相对运动：滑块A在杆BC上的直线运动；
牵连运动：BC的平移。
2.速度分析
va ve vr
？ √ √
大小：rωO ？ 方向：√
vr ve va rO
BD
ve rO BD l
ωt
绝对运动方程： vt vt x x cos y sin r 1 cos cos ωt r sin sin ωt r r
vt vt y x sin y cos r 1 cos sin ωt r sin cos ωt r r
§ 7-2 点的速度合成定理
例：小球在金属丝上的运动
绝对运动
M'
相对运动
M2
va ve
M1
牵连点的运动
z
vr
M y
x
O
点的速度合成定理
动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时 的牵连速度与相对速度的矢量和
va ve vr
例7-3 已知：刨床的急回机构如图所示。曲柄OA的一端A与滑块 用铰链连接。当曲柄OA以匀角速度ω绕固定轴O转动时， 滑块在摇杆O1B上滑动，并带动杆O1B绕定轴O1摆动。设曲 柄长为OA=r，两轴间距离OO1=l。 求：曲柄在水平位置时摇杆的 角速度 1 。
（3）机构传动，传动特点是在一个刚体上存在 一个不变的接触点，相对于另一个刚体运动。 例如： 导杆滑块机构 —— 滑块为动点， 动系固结于导杆； 凸轮挺杆机构 —— 杆上与凸轮接触点为动点， 动系固结于凸轮； 摇杆滑道机构 —— 滑道中的点为动点， 摇杆为动系。 （4）特殊问题，特点是相接触两个物体的接触 点位置都随时间变化，此时，这两个物体的接触 点都不宜选为动点，应选择满足前述的选择原则 的非接触点为动点。
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relative
embroil
实例：回转仪的运动分析
动点：Ｍ点
动系：框架
相对运动：圆周运动 牵连运动：定轴转动 绝对运动：空间曲线运动
动画
vr
ve
相对轨迹
相对速度 vr 相对加速度 ar
牵连运动
牵连速度 ve 牵连加速度 ae
绝对轨迹
绝对速度 va 绝对加速度 aa
在动参考系上与动点相重合的那一点（牵连点）的速 度和加速度称为动点的牵连速度和牵连加速度。
求：当连线OM在水平位置时，圆盘边缘上的点M的绝对速度。
解： 1.动点：M点 动系：框架 BACD 2.绝对运动：未知 相对运动：圆周运动（圆心O点）
3. 牵连运动：定 轴转动（ AB轴) v a v e v r
大小 ？ Rw2 Rw1
方向 ？ √
√
ww v av e 2 vr2R1 222
arctvvaer)na( rctw wa1 2)n(
rw
l2r2
w1
ve r2w
O1A l2 r2
sinj r
l2 r2
例7-4 已知：如图所示半径为R、偏心距为e的凸轮，以角速 度ω绕O轴转动，杆AB能在滑槽中上下平移，杆的端点A始 终与凸轮接触，且OAB成一直线。求：在图示位置时，杆 AB的速度。
解： 1. 动点：AB杆上A 动系：凸轮
OA=r，两轴间距离OO1=l。求：曲柄在水平位置时摇杆的
角速度w1。
解: 1.动点：滑块 A 动系：摇杆 O1B
OA l2r2
2.运动分析：
绝对运动－绕 O 点的圆周运动；
相对运动－沿O1B的直线运动；
牵连运动－绕 O1 轴定轴转动。
3.
vavevr
大小 rw ? ?
方向 √ √ √
vevasijnrw
v r v a 2 v e 2 2 v a v e c6 o 0 3 . s 6 m s
arcvsesiin 6n (0 )46 12
vr
例7-6 已知：圆盘半径为R，以角速度ω1绕水平轴CD转动， 支承CD的框架又以角速度ω2绕铅直的AB轴转动，如图所示。 圆盘垂直于CD，圆心在CD与AB的交点O处。
相对运动方程
xOO1O1Mcos
yO1Msin
代入 vt r
绝对运动方程
y’ y v
CM
x’
r
w
Y
Aj
O1
x
OB
x r1cosvt
r
y r sin vt r
xxcojsysij nr1covrstcowtsrsin vrst iw nt
yxsij nycojsr1covrstsiw ntrsin vrct owts
例7-2 已知：用车刀切削工件的直径端面，车刀刀尖M 沿水 平轴 x 作往复运动，如图所示。设Oxy为定坐标系，刀尖的运
动方程为x = b sin(wt)。工件以等角速度w 逆时针转向转动。
求：车刀在工件圆端面上切出的痕迹。
解： 动点：M 动系：工件 O x y
相对运动方程
x' O M c o sw t b sin w tc o sw t b sin 2 w t
7-5,7,8
§7-３牵连运动是平移时点的加速度合成定理
B
CA
D
O1 w O2 j
D
w
A
Oj
B
C
E
设动系作平移，由于 x'、y'、z' 各轴方向不变，故有
didjdk0 dt dt dt
ar
~ dvr
dt
dvr
dt
dve dt
dd v tO a O a e
从而有 a a d d v ta d d v te d d v tr a e a r
2
y OsM w itn b s2 iw tn b (1 c2 o w t)s 2
相对运动轨迹
x2 yb2 b2 2 4
§7-2 点的速度合成定理 例：小球在金属丝上的运动
z
O x
z y
x M2
绝对运动
M'
相对运动
M y
M1
牵连点的运动
速度之间的关系
r r ' r 1
z y
x M2
2.绝对运动：直线运动（AB）
相对运动：圆周运动（半径R）
牵连运动：定轴运动（轴O）
3.
va ve vr
大小 ? wOA ?
方向 √ √
√
vaveco twOO A e A we
例7-5 已知：矿砂从传送带A落入到另一传送带B上，如图所示。
站在地面上观察矿砂下落的速度为 v1=4m/s ，方向与铅直线成30º 角。传送带B水平传动速度 v2=3m/s 。 求：矿砂相对于传送带B 的速度。
例7-1 已知：点M 相对于动系Ox'y'沿半径为r 的圆周以速度v 作 匀速圆周运动(圆心为O1 ) ，动系Ox'y' 相对于定系Oxy以匀角速
度w 绕点O 作定轴转动，如图所示。初始时 Oxy 与O'x'y' 重合，
点M与O 重合。求：点M 的绝对运动方程。
解:
动点： M点 动系： Ox'y'
M
lt i0m r t lt i0m r t lt i0m r t1
vavrve
M’
r r'
r1 M1
例7-4 已知：刨床的急回机构如图所示。曲柄OA的一端A与滑 块用铰链连接。当曲柄OA以匀角速度ω绕固定轴O转动时，滑 块在摇杆O1B上滑动，并带动杆O1B绕定轴O1摆动。设曲柄长为
车刀刀尖的运动
相对某一参考体的运动可由相对于其他参考体的几个运 动的组合而成－合成运动。
§7-1 相对运动·牵连运动·绝对运动 定坐标系（定系）
两个坐标系 动坐标系（动系） 绝对运动：动点相对于定系的运动。
三种运动 相对运动：动点相对于动系的运动。 牵连运动：动系相对于定系的运动。
absolute
zM
rM
z&#
rO i O'
解： 1.动点：矿砂 M
动系：传送带 B
2.绝对运动：直线运动（ ）v 1
牵连运动：平移（ v ）2
相对运动：未知
3.
va ve vr
大小 v1 v2 ？
方向 √ √ ？
y x
v ac6 o 0 s v e v rsi n 3) (0
v ac3 o s 0 v rco s 3( )0
练习：已知 w，a，小球的相对速度 u，OM=l。
求：牵连速度和牵连加速度
y x'
y'
M
Oj
x
绝对、相对和牵连运动之间的关系
动点：M 动系：O ' x ' y '
绝对运动运动方程 相对运动运动方程
x x t
y
y
t
x x t
y
yt
由坐标变换关系有 xyxyO Oxxcsoinsjjyyscionsjj