稳健回归的反复加权最小二乘迭代解法及其应用

稳健回归的反复加权最小二乘迭代解法及其应用调用robutfit函数作稳健回归regre函数和regtat函数利用普通最小二乘法估计模型中的参数，参数的估计值受异常值的影响比较大。

robutfit函数采用加权最小二乘法估计模型中的参数，受异常值的影响就比较小。

robutfit函数用来作稳健的多重线性或广义线性回归分析，下面介绍robutfit函数的用法。

1.4.1．robutfit函数的用法robutfit函数有以下几种调用方式：b=robutfit(某,y)b=robutfit(某,y,wfun,tune)b=robutfit(某,y,wfun,tune,cont)某b,tat+=robutfit(…)（1）b=robutfit(某,y)返回多重线性回归方程中系数向量β的估计值b，这里的b为一个1p某的向量。

输入参数某为自变量观测值矩阵（或设计矩阵），它是的矩阵。

与regre函数不同的是，默认情况下，robutfit函数自动在某第1列元素的左边加入一列1，不需要用户自己添加。

输入参数y为因变量的观测值向量，是的列向量。

robutfit函数把y或某中不确定数据NaN作为缺失数据而忽略它们。

np某1n某（2）b=robutfit(某,y,wfun,tune)用参数wfun指定加权函数，用参数tune指定调节常数。

wfun为字符串，其可能的取值如表1-3所示。

表1-3robutfit函数支持的加权函数加权函数（wfun）函数表达式默认调节常数值'andrew'in(||)rwIrrπ=<1.339'biquare'（默认值）22(1)(||1)wrIr=<4.685'cauchy'21(1)wr=+2.385'fair'1(1||)wr=+1.400'huber'1ma某(1,||)wr=1.345'logitic'tanh()wr=1.205'ol'普通最小二乘，无加权函数无'talwar'(||1)wIr=<2.795'welch'2rwe=2.985若调用时没有指定调节常数tune，则用表1-3中列出的默认调节常数值进行计算。

迭代最小二乘法
迭代最小二乘法（Iteratively Reweighted Least Squares，简称IRLS）是一种用于线性回归问题的求解方法。

它的主要思想是将线性回归问题转化为一个加权最小二乘问题，然后通过迭代的方式来逐步求解。

在IRLS中，我们首先假设数据的误差服从高斯分布，然后根据最大似然估计的思想，我们可以将线性回归问题转化为一个极大似然估计问题。

然后，为了解决这个问题，我们需要最小化误差的平方和，即最小二乘问题。

但是，由于数据中存在离群值等异常情况，简单的最小二乘法并不能很好地解决这个问题。

为了应对这个问题，IRLS引入了加权最小二乘法。

具体来说，我们首先给每个数据点一个权重，然后将线性回归问题转化为一个加权最小二乘问题。

在每次迭代中，我们根据当前的权重重新求解最小二乘问题，并更新权重。

这样，随着迭代的进行，权重会逐渐趋向于正确的值，从而更好地解决了数据中存在离群值等异常情况的问题。

总之，IRLS是一种比较有效的解决线性回归问题的方法，特别适用于数据中存在离群值等异常情况的情况。

通过迭代最小二乘法，我们可以逐步求解加权最小二乘问题，并得到比较准确的结果。

对最小二乘法的改进及其应用最小二乘法是一种常用的回归分析方法，常用于拟合连续数据，并能从中推断出数据间的关系。

然而，该方法在一些特殊情况下存在一定的缺陷，并需要一定的改进。

本文将围绕最小二乘法的改进及其应用这一主题进行论述。

一、最小二乘法的应用最小二乘法是一种常用的统计学方法，一般用于对数据进行拟合。

在该方法中，我们通过寻找一个线性模型，使得该模型与原数据之间的残差平方和最小，以达到最佳拟合的目的。

最小二乘法的应用十分广泛，如工程学、物理学、社会学和生物学等各个领域。

二、最小二乘法的缺陷尽管最小二乘法已成为了数据拟合的一种标准方法，但它并不是完美的。

在某些特殊情况下，最小二乘法容易出现一些问题，如过拟合、欠拟合以及异常点的影响等。

此外，在存在非线性关系的数据中，采用线性模型拟合效果也很难得到保障。

为了克服这些问题，一些学者对最小二乘法进行了一定的改进，如采用稳健性估计、核回归、广义最小二乘法等方法。

下面我们将对这些改进方法进行简要介绍。

三、稳健性估计稳健性估计是一种针对异常点的改进方法，它通过调整残差权值，来减少异常点对回归结果的影响。

通过该方法，我们可以忽略一些异常点的影响，使拟合结果更加准确。

四、核回归核回归是一种非参数回归方法，它通过设定一个核函数来拟合数据，从而不受线性模型的限制。

与最小二乘法不同，核回归可以处理非线性关系，并且对异常点不敏感，具有更好的鲁棒性。

五、广义最小二乘法广义最小二乘法是一种在最小二乘法的基础上进行改进而产生的方法，它利用了广义线性模型的思想，可以拟合非线性关系。

同时，广义最小二乘法还可以处理一些不符合正态分布的数据，如二项分布、泊松分布等。

六、最小二乘法的应用实例最后，我们来介绍一些最小二乘法的应用实例。

在医学领域，研究者通过最小二乘法的拟合，发现了胎儿及新生儿大脑的自发性活动。

另外，在社会学领域，研究者通过最小二乘法，探究了教育水平与工资之间的关系。

总结最小二乘法是一种常用的数据拟合方法，十分广泛地应用于各个领域。

回归分析中的二阶段最小二乘法应用技巧回归分析是统计学中一种常用的方法，用于研究自变量和因变量之间的关系。

在实际应用中，经常会遇到二阶段最小二乘法的问题。

二阶段最小二乘法是一种用于处理因果效应估计或处理内生性问题的方法。

下面就让我们来看看在回归分析中，二阶段最小二乘法的应用技巧。

首先，我们来谈谈二阶段最小二乘法的基本原理。

在回归分析中，当自变量和因变量之间存在内生性问题时，我们无法直接使用普通的最小二乘法进行估计。

这时，二阶段最小二乘法就能派上用场了。

它的基本思想是将内生变量替换为它的预测值，然后进行两阶段的最小二乘估计。

在第一阶段，我们使用一些外生变量对内生变量进行回归分析，得到内生变量的预测值。

然后，将这些预测值代入原始模型，利用最小二乘法进行估计。

这样就可以解决内生性问题，得到更为准确的估计结果。

接下来，我们来讨论一些二阶段最小二乘法的应用技巧。

首先，对于第一阶段的回归分析，我们需要选择合适的外生变量。

这些外生变量应该能够很好地解释内生变量的变化，同时又与因变量存在相关性。

在选择外生变量时，需要进行一定的理论分析和实证检验，确保它们符合模型设定的要求。

其次，在进行第一阶段回归分析时，需要注意共线性和异方差的问题。

共线性会导致外生变量估计系数的不稳定性，而异方差则会影响参数估计的一致性。

因此，在进行第一阶段回归分析时，需要进行适当的诊断和处理，以确保估计结果的准确性和稳健性。

另外，对于第二阶段的最小二乘估计，我们需要注意误差项的自相关性和异方差性。

当误差项之间存在自相关性时，最小二乘估计将不再是最优的，因此需要进行相关的修正。

而异方差则会导致估计量的无偏性和一致性受到影响，需要进行异方差稳健的估计。

除此之外，二阶段最小二乘法还有一些拓展应用技巧。

例如，当模型存在多个内生变量时，可以使用多元二阶段最小二乘法进行估计。

此外，还可以将二阶段最小二乘法与工具变量法相结合，来处理内生性问题。

这些技巧的应用可以帮助我们更好地处理回归分析中的内生性问题，得到更为准确和稳健的估计结果。

robust稳健回归的原理
稳健回归是一种统计方法，旨在通过排除异常值和异常观测值的干扰，从而得到对数据中真实关系的鲁棒估计。

稳健回归的原理包括以下几个方面：
1. 使用鲁棒的估计方法：传统的最小二乘法（OLS）回归受到异常观测值的影响较大，稳健回归应用鲁棒的估计方法，例如M估计、S估计等，这些方法能够有效降低异常值对回归结果的影响。

2. 基于鲁棒标准化残差选择异常值：通过计算标准化残差，可以判断数据中是否存在异常值。

标准化残差偏离0越远，表示数据可能是异常值，稳健回归可以通过排除这些异常值来提高回归模型的稳定性。

3. 使用鲁棒的误差分布假设：传统的最小二乘法回归假设误差项服从正态分布，但在实际应用中，误差项往往不能完全符合这个假设。

稳健回归采用鲁棒的误差分布假设，如t分布、Huber分布等，这些分布能够更好地适应数据中的异常值和非正态误差。

4. 通过加权最小二乘法降低异常值的影响：稳健回归通常使用加权最小二乘法来拟合回归模型，通过对残差进行加权，可以降低异常值对参数估计的影响。

加权最小二乘法给予较小残差较大的权重，从而有效抑制异常观测值的影响。

总之，稳健回归通过采用鲁棒的估计方法、标准化残差、鲁棒的误差分布假设和加权最小二乘法等手段，能够降低异常值对回归结果的影响，得到对数据中真实关系的可靠估计。

加权最小二乘回归系数的估计计算过程1. 概述加权最小二乘回归是一种对数据进行线性建模的方法，在现实应用中经常被使用。

通过加权最小二乘回归，我们可以得到对数据的线性关系进行建模的最佳拟合直线，并估计出各个自变量的系数。

本文将详细介绍加权最小二乘回归系数的估计计算过程，以便读者能够深入了解这一方法的原理和实现。

2. 加权最小二乘回归的基本原理加权最小二乘回归方法是最小化因变量的观测值与回归函数预测值之间的加权残差平方和来确定回归系数的方法。

其数学表达式为：（1）min∑wi(yi - β0 - β1xi1 - ... - βpxip)^2其中wi是观测值的权重，yi表示因变量的观测值，β0是截距项，β1到βp为自变量系数，xi1到xip为自变量观测值。

3. 加权最小二乘回归系数的估计计算步骤加权最小二乘回归系数的估计计算过程可以分为以下几个步骤：（1）计算加权变量根据给定的权重，对自变量和因变量进行加权变换，得到加权后的自变量和因变量。

（2）构建加权矩阵根据加权后的自变量和因变量，构建加权矩阵。

加权矩阵是一个n×(p+1)的矩阵，其中n为样本量，p为自变量的个数。

（3）计算加权矩阵的转置矩阵对加权矩阵进行转置，得到加权矩阵的转置矩阵。

（4）计算加权矩阵的乘积将加权矩阵和其转置矩阵相乘，得到乘积矩阵。

（5）计算乘积矩阵的逆矩阵对乘积矩阵进行求逆运算，得到逆矩阵。

（6）计算加权矩阵和因变量的乘积将加权矩阵和因变量相乘，得到乘积向量。

（7）计算回归系数利用逆矩阵和乘积向量，通过线性代数方法计算得到回归系数的估计值。

4. 加权最小二乘回归的优势加权最小二乘回归相对于普通最小二乘回归的优势在于，它能够更好地处理数据的异方差性。

在普通最小二乘回归中，对所有观测值一视同仁，忽略了不同观测值的方差可能不同的情况。

而通过加权最小二乘回归，我们可以根据数据的特点赋予不同观测值不同的权重，从而更准确地估计回归系数。

稳健回归用途稳健回归（robust regression）是一种用于处理数据中存在异常值或者偏离正态分布的情况下的统计回归模型。

相对于传统的普通最小二乘法（OLS），稳健回归更适用于具有离群值的数据集，具有更好的鲁棒性和稳定性。

稳健回归的主要用途包括以下几个方面：1.异常值处理：在现实世界中，数据集中常常会存在一些异常值，这些异常值可能是由于测量误差、录入错误或其他原因导致的。

传统的OLS回归对于异常值非常敏感，会导致回归系数估计值的失真。

稳健回归通过使用鲁棒估计方法，可以减少异常值对回归系数估计的影响，提高回归模型的鲁棒性。

2.异常分布数据拟合：在某些情况下，数据集可能不符合正态分布假设，而是呈现出其他非对称或重尾的分布。

OLS回归在这种情况下可能会产生偏离或者失真的估计结果。

稳健回归利用M估计、S估计等鲁棒估计方法，能够更好地适应非正态分布的数据，提高回归模型的准确性。

3.数据中存在异方差性：OLS回归模型对于存在异方差性的数据敏感。

异方差性指的是因变量的方差在不同的自变量取值下不同，即方差不是常数。

稳健回归通过使用加权最小二乘法（weighted least squares）或者通过对残差进行异方差校正（如使用希伯特-怀特（Huber-White）标准误）来处理异方差问题，提高回归模型的准确性。

4.小样本情况下的回归分析：当数据集较小或样本量不足时，使用OLS回归可能导致回归估计的不稳定性，且容易产生过拟合现象。

稳健回归可以通过使用较稳健的估计方法，如M估计、S估计等，来减小样本量对回归估计结果的影响，提高回归模型在小样本情况下的鲁棒性。

总之，稳健回归在面对数据中存在异常值、非正态分布、异方差性以及小样本等情况下，能够提供更可靠、准确和鲁棒的回归估计结果。

在实际应用中，我们可以利用稳健回归来提高回归模型的可靠性，更好地分析与预测数据。

最小二乘法原理与应用
最小二乘法原理是一种统计学的数据分析方法，用于拟合一条直线或曲线以逼近一组数据的实际分布情况。

它的基本思路是通过不断调整参数，使得拟合曲线与实际数据之间的误差最小化。

应用最小二乘法的场景非常广泛，比如：
1. 线性回归分析：在线性回归中，最小二乘法用于确定回归系数，从而使得预测值与实际值的误差最小化。

2. 时间序列分析：在时间序列分析中，最小二乘法用于拟合时间序列数据，以预测未来的趋势或周期性变化。

3. 拟合曲线和函数：在物理学、经济学和工程学领域中，最小二乘法被用于拟合实验数据与理论模型之间的关系，以便更好地理解物理现象、经济趋势和工程设计。

4. 数据处理和滤波：最小二乘法还可以用于处理噪声数据和滤波，滤波的过程与拟合曲线类似，通过降低噪声水平来提高数据的准确性。

总之，最小二乘法在各个领域都有广泛的应用，是一种非常重要的数据分析方法。

稳健回归（M 估计）方法简介浙江大学 唐启义估计的稳健性(Robustness)概念指的是在估计过程中产生的估计量对模型误差的不敏感性。

因此稳健估计是在比较宽的资料范围内产生的优良估计。

如在独立同分布正态误差的线性模型中，最小二乘估计(LSE)是有效无偏估计。

然而当误差是非正态分布时，LSE 不一定是最有效的。

但误差分布事先不一定知道，故有必要考虑稳健回归的问题。

稳健回归(Robust Regression)估计，如误差为正态时，它比LSE 稍差一点，但误差非正态时，它比LSE 要好得多。

这种对误差项分布的稳健特性，常能有效排除异常值干扰。

DPS 提供了稳健回归中常用的最大似然型的M 估计。

一般回归模型:n i e x Y i j ij pj i ,,1,1=+∑==β这里β1,…,βp为未知回归系数，e 1,…,e n …独立同分布，均值为0。

最小二乘法是找p ββ,,1 使表达式211pni ij j i j Y x b ==骣÷ç÷-ç÷ç÷ç桫邋达到最小作为代价函数，即211min pni ij j i j Y x b ==骣÷ç÷-=ç÷ç÷ç桫邋。

这样做会往往使得那些远离数据群体的数据(很可能是异常值)对残差平方和影响比其他数据大得多。

这是因为最小二乘估计为了达到极小化残差平方和的目的，必须迁就远端的数据，所以异常值对于参数估计相当敏感(如图1)。

M 估计稳健回归的基本思想是采用迭代加权最小二乘估计回归系数，根据回归残差的大小确定各点的权w i ，以达到稳健的目的，其优化的目标函数是：211min pni i ij j i j w Y x b ==骣÷ç÷-=ç÷ç÷ç桫邋 为减少“异常点”作用，我们可以对不同的点施加不同的权重，即对残差小的点给予较大的权重，而对残差较大的点给予较小的权重，根据残差大小确定权重，并据此建立加权的最小二乘估计，反复迭代以改进权重系数，直至权重系数之改变小于一定的允许误差(tolerance)。