1987年IMO中国国家队选拔考试试题

历届IMO试题（1-44届）第1届IMO1.求证(21n+4)/(14n+3)对每个自然数n都是最简分数。

2.设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解：(a)A=√2；(b)A=1；(c)A=2。

3.a、b、c都是实数，已知cosx的二次方程acos2x+bcosx+c=0,试用a,b,c作出一个关于cos2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。

当a=4,b=2,c=-1时比较cosx和cos2x的方程式。

4.试作一直角三角形使其斜边为已知的c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。

5.在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N，(a.)求证AF、BC相交于N点；（b.)求证不论点M如何选取直线MN都通过一定点S；(c.)当M在A与B之间变动时，求线断PQ的中点的轨迹。

6.两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。

试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D分别落在平面P和Q上。

第2届IMO1.找出所有具有下列性质的三位数N：N能被11整除且N/11等于N的各位数字的平方和。

2.寻找使下式成立的实数x：4x2/(1-√(1+2x))2<2x+93.直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成n等份（n为奇数），令α为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证：tanα=4nh/(an2-a).4.已知从A、B引出的高线长度以及从A引出的中线长，求作三角形ABC。

5.正方体ABCDA''B''C''D''（上底面ABCD，下底面A''B''C''D''）。

1988Day 11Suppose real numbers A,B,C such that for all real numbers x,y,z the following inequality holds:A (x −y )(x −z )+B (y −z )(y −x )+C (z −x )(z −y )≥0.Find the necessary and sufficient condition A,B,C must satisfy (expressed by means of an equality or an inequality).2Find all functions f :Q →C satisfying(i)For any x 1,x 2,...,x 1988∈Q ,f (x 1+x 2+...+x 1988)=f (x 1)f (x 2)...f (x 1988).(ii)f (1988)f (x )=f (1988)f (x )for all x ∈Q .3In triangle ABC ,∠C =30◦,O and I are the circumcenter and incenter respectively,Points D ∈AC and E ∈BC ,such that AD =BE =AB .Prove that OI =DE and OI ⊥DE .4Let k ∈N ,S k ={(a,b )|a,b =1,2,...,k }.Any two elements (a,b ),(c,d )∈S k are called ”undistinguishing”in S k if a −c ≡0or ±1(mod k )and b −d ≡0or ±1(mod k );otherwise,we call them ”distinguishing”.For example,(1,1)and (2,5)are undistinguishing in S 5.Considering the subset A of S k such that the elements of A are pairwise distinguishing.Let r k be the maximum possible number of elements of A .(i)Find r 5.(ii)Find r 7.(iii)Find r k for k ∈N ./This file was downloaded from the AoPS −MathLinks Math Olympiad Resources Page Page 1http://www.mathlinks.ro/1988Day 21Let f (x )=3x +2.Prove that there exists m ∈N such that f 100(m )is divisible by 1988.2Let ABCD be a trapezium AB//CD,M and N are fixed points on AB,P is a variable point on CD .E =DN ∩AP ,F =DN ∩MC ,G =MC ∩P B ,DP =λ·CD .Find the value of λfor which the area of quadrilateral P EF G is maximum.3A polygon is given in the OXY plane and its area exceeds n.Prove that there exist n +1points P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),...,P n +1(x n +1,y n +1)in such that ∀i,j ∈{1,2,...,n +1},x j −x i and y j −y i are all integers.4There is a broken computer such that only three primitive data c ,1and −1are reserved.Only allowed operation may take u and v and output u ·v +v.At the beginning,u,v ∈{c,1,−1}.After then,it can also take the value of the previous step (only one step back)besides {c,1,−1}.Prove that for any polynomial P n (x )=a 0·x n +a 1·x n −1+...+a n with integer coefficients,the value of P n (c )can be computed using this computer after only finite operation./This file was downloaded from the AoPS −MathLinks Math Olympiad Resources Page Page 2http://www.mathlinks.ro/。

CMO 中国数学奥林匹克竞赛试题1987第二届年中国数学奥林匹克1.设n为自然数，求方程z n+1-z n-1=0有模为1的复根的充份必要条件是n+2可被6整除。

2.把边长为1的正三角形ABC的各边都n等分，过各分点平行于其它两边的直线，将这三角形分成小三角形，和小三角形的顶点都称为结点，在第一结点上放置了一个实数。

已知i.A、B、C三点上放置的数分别为a、b、c。

ii.在每个由有公共边的两个最负三角形组成的菱形之中，两组相对顶点上放置的数之和相等。

试求3.放置最大数的点积放置最小数的点之间的最短距离。

4.所有结点上数的总和S。

3.某次体育比赛，每两名选手都进行一场比赛，每场比赛一定决出胜负，通过比赛确定优秀选手，选手A被确定为优秀选手的条件是：对任何其它选手B，或者A胜B，或者存在选手C，C胜B，A胜C。

结果按上述规则确定的优秀选手只有一名，求证这名选手胜所有其它选手。

4.在一个面积为1的正三角形内部，任意放五个点，试证：在此正三角形内，一定可以作三个正三角形盖住这五个点，这三个正三角形的各边分别平行于原三角形的边，并且它们的面积之和不超过0.64。

5.设A1A2A3A4是一个四面体，S1, S2, S3, S4分别是以A1, A2, A3, A4为球心的球，它们两两相切。

如果存在一点O，以这点为球心可作一个半径为r的球与S1, S2, S3, S4都相切，还可以作一个半径为R的球积四面体的各棱都相切，求证这个四面体是正四面体。

6.m个互不相同的正偶数与n个互不相同的正奇数的总和为1987，对于所有这样的m与n，问3m+4的最大值是多少？请证明你的结论。

1.设a1, a2, ... , a n是给定的不全为零的实数，r1, r2, ... , r n为实数，如果不等式r1(x1-a1)+r2(x2-a2)+...+r n(x n-a n)≦√(x12+ x22+ ... + x n2) + √(a12+ a22+ ... + a n2)对任何实数x1, x2, ... , x n成立，求r1, r2, ... , r n的值。

《数学奥林匹克报》Mathematical Olympiad Express 1998 第 13 届IMO 中国国家队选拔考试第一天一、求正整数 k ，使得：( a ) 对任意正整数 n ，不存在 j 满足 0≤ j ≤ n − k + 1 ，且 Cnj ， Cnj +1 ，……， Cnj + k −1成等差数列；( b ) 存在正整数 n ，使得有 j 满足 0≤ j ≤ n − k + 2 ，且 Cnj ， Cnj +1 ，……， Cnj + k −2 成等差数列。

进一步求出具有性质 ( b ) 的所有 n 。

二、 n （ n ≥5）支足球队进行单循环赛，每两队赛一场，胜队得 3 分，负队得 0 分，平局各得 1 分，结 果取得倒数第 3 名的队得分比名次在前面的队都少，比后两名都多；胜场数比名次在前面的队都多， 却又比后两名都少，求队数 n 的最小值。

三、对于固定的 θ ∈ ⎜ 0,⎛ π⎞ ⎟ ，求满足以下两条件的最小正数 a ： ⎝ 2⎠①⎡ a a ⎤ a a ＋ ＞1；②存在 x ∈ ⎢1 − , ⎥， cos θ sin θ ⎣ sin θ cos θ ⎦⎣2 2使得 ⎡(1 − x ) sin θ − a − x cosθ ⎤ ＋ ⎡ x cos θ − a − (1 − x ) sin 2 θ ⎤ ≤ a 。

⎦ ⎣ ⎦ 第二天22四、锐角△ABC 中，H 是垂心，O 是外心，I 是内心。

已知∠C＞∠B＞∠A。

求证：I 在△BOH 的内部。

五、自然数 n ≥3，平面上给定一条直线 l ，在 l 上有 n 个互不相同的点 P ， P2 ，……， Pn 。

记点 P 到其 1 i 余 n − 1 个点的距离的乘积为 di （ i ＝1，2，……， n ） 。

平面上还有一点 Q 不在上，点 Q 到点 P 的距 i 。

求以下和式的值： S n ＝ 离记为 Ci （ i ＝1，2，……， n ）r∑ ( −1)i =1nn −iCi2 i 。

第二届中国数学奥林匹克(1987年)
1.设n为自然数，求方程z n+1-z n-1=0有模为1的复根的充份必要条件是n+2
可被6整除。

2.把边长为1的正三角形ABC的各边都n等分，过各分点平行于其它两边
的直线，将这三角形分成小三角形，和小三角形的顶点都称为结点，在第一结点上放置了一个实数。

已知
i.A、B、C三点上放置的数分别为a、b、c。

ii.在每个由有公共边的两个最负三角形组成的菱形之中，两组相对顶点上放置的数之和相等。

试求
(1)放置最大数的点积放置最小数的点之间的最短距离。

(2)所有结点上数的总和S。

3.某次体育比赛，每两名选手都进行一场比赛，每场比赛一定决出胜负，通
过比赛确定优秀选手，选手A被确定为优秀选手的条件是：对任何其它选手B，或者A胜B，或者存在选手C，C胜B，A胜C。

结果按上述规则确定的优秀选手只有一名，求证这名选手胜所有其它选手。

4.在一个面积为1的正三角形内部，任意放五个点，试证：在此正三角形内，
一定可以作三个正三角形盖住这五个点，这三个正三角形的各边分别平行于原三角形的边，并且它们的面积之和不超过0.64。

5.设A1A2A3A4是一个四面体，S1, S2, S3, S4分别是以A1, A2, A3, A4为球心的
球，它们两两相切。

如果存在一点O，以这点为球心可作一个半径为r的球与S1, S2, S3, S4都相切，还可以作一个半径为R的球积四面体的各棱都相切，求证这个四面体是正四面体。

6.m个互不相同的正偶数与n个互不相同的正奇数的总和为1987，对于所
有这样的m与n，问3m+4的最大值是多少？请证明你的结论。

高中数学竞赛-历届IMO试题（1-46届）第1届IMO1.求证(21n+4)/(14n+3) 对每个自然数 n都是最简分数。

2.设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解：(a) A=√2；(b)A=1；(c)A=2。

3.a、b、c都是实数，已知 cos x的二次方程a cos2x +b cos x +c = 0,试用a,b,c作出一个关于cos 2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。

当a=4,b=2,c=-1时比较 cos x和cos 2x的方程式。

4.试作一直角三角形使其斜边为已知的c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。

5.在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N，(a.) 求证 AF、BC相交于N点；（b.) 求证不论点M如何选取直线MN 都通过一定点 S；(c.) 当M在A与B之间变动时，求线断 PQ的中点的轨迹。

6.两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。

试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D分别落在平面P和Q 上。

第2届IMO1.找出所有具有下列性质的三位数 N：N能被11整除且 N/11等于N的各位数字的平方和。

2.寻找使下式成立的实数x：4x2/(1 - √(1 + 2x))2< 2x + 93.直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成 n 等份（n为奇数），令α为从A 点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC 边的高长为h，求证：tan α = 4nh/(an2 - a).4.已知从A、B引出的高线长度以及从A引出的中线长，求作三角形ABC。

5.正方体ABCDA'B'C'D'（上底面ABCD，下底面A'B'C'D'）。

imo考试题及答案# IMO考试题及答案## 题目1：数列问题**题目描述：**设 \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) 是一个正整数序列，满足 \(a_1 = 1\) 且对于所有 \(i \geq 2\)，有 \(a_i = a_{i-1} + 2^{i-1}\)。

求 \(a_n\) 的值。

**解答：**首先，我们可以通过递推关系式计算序列的前几项：- \(a_1 = 1\)- \(a_2 = a_1 + 2^1 = 1 + 2 = 3\)- \(a_3 = a_2 + 2^2 = 3 + 4 = 7\)- \(a_4 = a_3 + 2^3 = 7 + 8 = 15\)观察上述计算结果，我们可以发现 \(a_i\) 的值实际上是 \(2^i - 1\)。

因此，对于任意的 \(n\)，我们有：\[ a_n = 2^n - 1 \]所以，\(a_n\) 的值为 \(2^n - 1\)。

## 题目2：几何问题**题目描述：**在三角形 \(ABC\) 中，\(AB = AC\)，点 \(D\) 在 \(BC\) 上，使得\(BD = 2DC\)。

求证：\(AD\) 平分 \(\angle BAC\)。

**解答：**由于 \(AB = AC\)，三角形 \(ABC\) 是等腰三角形，因此\(\angle ABC = \angle ACB\)。

设 \(\angle ABC = \angle ACB =\theta\)，则 \(\angle BAC = 180^\circ - 2\theta\)。

由于 \(BD = 2DC\)，我们可以设 \(DC = x\)，则 \(BD = 2x\)，因此 \(BC = 3x\)。

根据角平分线定理，如果 \(AD\) 平分 \(\angleBAC\)，则有：\[ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} \]由于 \(AB = AC\)，我们有：\[ \frac{2x}{x} = 1 \]这与 \(AB = AC\) 相符合，因此 \(AD\) 确实平分 \(\angle BAC\)。