九年级数学函数专题之二次函数基础提高篇拔高练习(含答案)

九年级中考数学二次函数解答题压轴题提高专题练习及详细答案一、二次函数1．已知，m ，n 是一元二次方程x 2+4x +3=0的两个实数根，且|m |＜|n |，抛物线y =x 2+bx +c 的图象经过点A （m ，0），B （0，n ），如图所示．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x 轴的另一个交点为抛物线的顶点为D ，求出点C ，D 的坐标，并判断△BCD 的形状；（3）点P 是直线BC 上的一个动点（点P 不与点B 和点C 重合），过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点M ，点Q 在直线BC 上，距离点P 为2个单位长度，设点P 的横坐标为t ，△PMQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式．【答案】（1）223y x x =--；（2）C （3，0），D （1，﹣4），△BCD 是直角三角形；（3）2213(03)2213(03)22t t t S t t t t ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩＜＜＜或＞ 【解析】试题分析：（1）先解一元二次方程，然后用待定系数法求出抛物线解析式；（2）先解方程求出抛物线与x 轴的交点，再判断出△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，从而得到结论；（3）先求出QF=1，再分两种情况，当点P 在点M 上方和下方，分别计算即可． 试题解析：解（1）∵2+430x x +=，∴11x =-，23x =-，∵m ，n 是一元二次方程2+430x x +=的两个实数根，且|m|＜|n|，∴m=﹣1，n=﹣3，∵抛物线223y x x =--的图象经过点A （m ，0），B （0，n ），∴10{3b c c -+==-，∴2{3b c =-=-，∴抛物线解析式为223y x x =--；（2）令y=0，则2230x x --=，∴11x =-，23x =，∴C （3，0），∵223y x x =--=2(1)4x --，∴顶点坐标D （1，﹣4），过点D 作DE ⊥y 轴，∵OB=OC=3，∴BE=DE=1，∴△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，∴∠OBC=∠DBE=45°，∴∠CBD=90°，∴△BCD 是直角三角形；（3）如图，∵B（0，﹣3），C（3，0），∴直线BC解析式为y=x﹣3，∵点P的横坐标为t，PM⊥x轴，∴点M的横坐标为t，∵点P在直线BC上，点M在抛物线上，∴P（t，t﹣3），M（t，223t t--），过点Q作QF⊥PM，∴△PQF是等腰直角三角形，∵PQ=2，∴QF=1．①当点P在点M上方时，即0＜t＜3时，PM=t﹣3﹣（223t t--）=23t t-+，∴S=12PM×QF=21(3)2t t-+=21322t t-+，②如图3，当点P在点M下方时，即t＜0或t ＞3时，PM=223t t--﹣（t﹣3）=23t t-，∴S=12PM×QF=12（23t t-）=21322t t-．综上所述，S=2213(03)22{13(03)22t t tt t t t或-+<<-．考点：二次函数综合题；分类讨论．2．如图，抛物线y=ax2+bx过点B（1，﹣3），对称轴是直线x=2，且抛物线与x轴的正半轴交于点A．（1）求抛物线的解析式，并根据图象直接写出当y≤0时，自变量x的取值范围；（2）在第二象限内的抛物线上有一点P，当PA⊥BA时，求△PAB的面积．【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣4x，自变量x的取值范图是0≤x≤4；（2）△PAB的面积=15．【解析】【分析】（1）将函数图象经过的点B坐标代入的函数的解析式中，再和对称轴方程联立求出待定系数a和b；（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，设P（x，x2-4x），证明△PFA∽△AEB,求出点P的坐标，将△PAB的面积构造成长方形去掉三个三角形的面积．【详解】（1）由题意得，32 2a bba+-⎧⎪⎨-⎪⎩＝＝，解得14ab-⎧⎨⎩＝＝，∴抛物线的解析式为y=x2-4x，令y=0，得x2-2x=0，解得x=0或4，结合图象知，A的坐标为（4，0），根据图象开口向上，则y≤0时，自变量x的取值范围是0≤x≤4；（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，设P（x，x2-4x）,∵PA⊥BA∴∠PAF+∠BAE=90°,∵∠PAF+∠FPA=90°,∴∠FPA=∠BAE又∠PFA=∠AEB=90°∴△PFA∽△AEB,∴PF AFAE BE=，即244213x x x--=-，解得，x= −1，x=4（舍去）∴x2-4x=-5∴点P的坐标为（-1，-5），又∵B点坐标为（1，-3），易得到BP直线为y=-4x+1所以BP与x轴交点为（14，0）∴S△PAB=115531524⨯⨯+=【点睛】本题是二次函数综合题，求出函数解析式是解题的关键，特别是利用待定系数法将两条直线表达式解出，利用点的坐标求三角形的面积是关键．3．抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3（a≠0）与直线y ＝kx+c （k≠0）相交于A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点，且抛物线与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）求出C 、D 两点的坐标（3）在第四象限抛物线上有一点P ，若△PCD 是以CD 为底边的等腰三角形，求出点P 的坐标．【答案】（1）y ＝x 2﹣2x ﹣3;（2）C （0，﹣3）,D （0，﹣1）;（3）P （2，﹣2）.【解析】【分析】（1）把A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点坐标代入y ＝ax 2+bx ﹣3可得抛物线解析式． （2）当x ＝0时可求C 点坐标，求出直线AB 解析式，当x ＝0可求D 点坐标． （3）由题意可知P 点纵坐标为﹣2，代入抛物线解析式可求P 点横坐标．【详解】解：（1）把A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点坐标代入y ＝ax 2+bx ﹣3可得 304233a b a b --=⎧⎨+-=-⎩解得12a b =⎧⎨=-⎩ ∴y ＝x 2﹣2x ﹣3（2）把x ＝0代入y ＝x 2﹣2x ﹣3中可得y ＝﹣3∴C （0，﹣3）设y ＝kx+b ，把A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点坐标代入023k b k b -+=⎧⎨+=-⎩解得11k b =-⎧⎨=-⎩ ∴y ＝﹣x ﹣1∴D （0，﹣1）（3）由C （0，﹣3），D （0，﹣1）可知CD 的垂直平分线经过（0，﹣2）∴P 点纵坐标为﹣2，∴x2﹣2x﹣3＝﹣2解得：x＝∵x＞0∴x＝．∴P（，﹣2）【点睛】本题是二次函数综合题，用待定系数法求二次函数的解析式，把x＝0代入二次函数解析式和一次函数解析式可求图象与y轴交点坐标，知道点P纵坐标带入抛物线解析式可求点P 的横坐标．4．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是3元，经市场预测，销售单价为40元时，可售出600个；销售单价每涨1元，销售量将减少10个设每个销售单价为x元．（1）写出销售量y（件）和获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系；（2）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？【答案】（1）y＝﹣10x+1000；w=﹣10x2+1300x﹣30000（2）商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元．【解析】【分析】（1）利用销售单价每涨1元，销售量将减少10个即可表示出y＝600﹣10（x﹣40），再利用w= y•（x﹣30）即可表示出w与x之间的关系式；（2）先将w＝﹣10x2+1300x﹣30000变成顶点式，找到对称轴，利用函数图像的增减性确定在44≤x≤46范围内当x＝46时有最大值，代入求值即可解题.【详解】解：（1）依题意，易得销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系：y＝600﹣10（x﹣40）＝﹣10x+1000获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系为：w＝y•（x﹣30）＝（1000﹣10x）（x﹣30）＝﹣10x2+1300x﹣30000（2）根据题意得，x≥14时且1000﹣10x≥540，解得：44≤x≤46w＝﹣10x2+1300x﹣30000＝﹣10（x﹣65）2+12250∵a＝﹣10＜0，对称轴x＝65∴当44≤x≤46时，y随x的增大而增大∴当x＝46时，w最大值＝8640元即商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，难度较大，求解二次函数与利润之间的关系时,需要用代数式表示销售数量和销售单价，熟悉二次函数顶点式的性质是解题关键.5．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx+b（k＜0，b＞0），与x轴交于点A、与y轴交于点B，直线CD与x轴交于点C、与y轴交于点D．若直线CD的解析式为y＝﹣1k （x+b ），则称直线CD 为直线AB 的”姊线”，经过点A 、B 、C 的抛物线称为直线AB 的“母线”．（1）若直线AB 的解析式为：y ＝﹣3x +6，求AB 的”姊线”CD 的解析式为： （直接填空）；（2）若直线AB 的”母线”解析式为：2142y x x =-+，求AB 的”姊线”CD 的解析式； （3）如图2，在（2）的条件下，点P 为第二象限”母线”上的动点，连接OP ，交”姊线”CD 于点Q ，设点P 的横坐标为m ，PQ 与OQ 的比值为y ，求y 与m 的函数关系式，并求y 的最大值；（4）如图3，若AB 的解析式为：y ＝mx +3（m ＜0），AB 的“姊线”为CD ，点G 为AB 的中点，点H 为CD 的中点，连接OH ，若GH ＝5，请直接写出AB 的”母线”的函数解析式．【答案】（1）1(6)3y x =+；（2）（2，0）、（0，4）、（﹣4，0）；（3）当m ＝﹣32，y 最大值为338；（4）y ＝x 2﹣2x ﹣3． 【解析】【分析】（1）由k ，b 的值以及”姊线”的定义即可求解；（2）令x ＝0，得y 值，令y ＝0，得x 值，即可求得点A 、B 、C 的坐标，从而求得直线CD 的表达式；（3）设点P 的横坐标为m ，则点P （m ，n ），n ＝﹣12m 2﹣m+4， 从而求得直线OP 的表达式，将直线OP 和CD 表达式联立并解得点Q 坐标，由此求得P Q y y ，从而求得y ＝﹣12m 2﹣32m+3，故当m ＝﹣32，y 最大值为338； （4）由直线AB 的解析式可得AB 的“姊线”CD 的表达式y ＝﹣1m（x+3），令x ＝0，得 y 值，令y ＝0，得x 值，可得点C 、D 的坐标，由此可得点H 坐标，同理可得点G 坐标， 由勾股定理得：m 值，即可求得点A 、B 、C 的坐标，从而得到 “母线”函数的表达式．【详解】（1）由题意得：k ＝﹣3，b ＝6，则答案为：y ＝13（x+6）； （2）令x ＝0，则y ＝4，令y ＝0，则x ＝2或﹣4，点A 、B 、C 的坐标分别为（2，0）、（0，4）、（﹣4，0），则直线CD 的表达式为：y ＝12（x+4）＝12x+2； （3）设点P 的横坐标为m ，则点P （m ，n ），n ＝﹣12m 2﹣m+4， 则直线OP 的表达式为：y ＝n mx ， 将直线OP 和CD 表达式联立得122n y x m y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， 解得：点Q （2438m m m --+，222838m m m m +-+-） 则P Q y y ＝﹣12m 2﹣32m+4， y ＝1P Q P Q Q y y y PQ OQ y y -==-＝﹣12m 2﹣32m+3， 当m ＝﹣32，y 最大值为338； （4）直线CD 的表达式为：y ＝﹣1m （x+3）， 令x ＝0，则y ＝﹣3m，令y ＝0，则x ＝﹣3， 故点C 、D 的坐标为（﹣3，0）、（0，﹣3m ），则点H （﹣32，﹣32m ）， 同理可得：点G （﹣32m ，32）， 则GH 2＝（32+32m ）2+（32﹣32m）22， 解得：m ＝﹣3（正值已舍去），则点A 、B 、C 的坐标分别为（1，0）、（0，3）、（﹣3，0），则“母线”函数的表达式为：y ＝a （x ﹣1）（x+3）＝a （x 2﹣2x ﹣3），即：﹣3a ＝﹣3，解得：a ＝1，故：“母线”函数的表达式为：y ＝x 2﹣2x ﹣3．【点睛】此题是二次函数综合题目，考查了“姊线”的定义，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，掌握二次函数的有关性质是解答此题的关键.6．如果一条抛物线y ＝ax 2+bx +c (a ≠0)与x 轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，[a ，b ，c ]称为“抛物线系数”．(1)任意抛物线都有“抛物线三角形”是 (填“真”或“假”)命题；(2)若一条抛物线系数为[1，0，﹣2]，则其“抛物线三角形”的面积为 ；(3)若一条抛物线系数为[﹣1，2b ，0]，其“抛物线三角形”是个直角三角形，求该抛物线的解析式；(4)在(3)的前提下，该抛物线的顶点为A ，与x 轴交于O ，B 两点，在抛物线上是否存在一点P ，过P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，使得△BPQ ∽△OAB ？如果存在，求出P 点坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）假；（2）3）y ＝－x 2＋2x 或y ＝－x 2－2x ；（4）P （1，1）或P （－1，－3）或P （1，－3）或（－1，1）．【解析】分析：（1）当△＞0时，抛物线与x 轴有两个交点，由此可得出结论；（2）根据“抛物线三角形”定义得到22y x =-，由此可得出结论；（3）根据“抛物线三角形”定义得到y ＝－x 2＋2bx ，它与x 轴交于点（0，0）和（2b ，0）；当抛物线三角形是直角三角形时，根据对称性可知它一定是等腰直角三角形，由抛物线顶点为（b ，b 2），以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到2122b b =⨯，解方程即可得到结论； （4）分两种情况讨论：①当抛物线为y ＝－x 2＋2x 时，②当抛物线为y ＝－x 2－2x 时． 详解：（1）当△＞0时，抛物线与x 轴有两个交点，此时抛物线才有“抛物线三角形”，故此命题为假命题；（2）由题意得：22y x =-，令y =0，得：x=，∴ S=122⨯=12x x ； （3）依题意：y ＝－x 2＋2bx ，它与x 轴交于点（0，0）和（2b ，0）；当抛物线三角形是直角三角形时，根据对称性可知它一定是等腰直角三角形．∵y ＝－x 2＋2bx =22()x b b --+，∴顶点为（b ，b 2），由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到：2122b b =⨯，∴2b b =，解得：b ＝0（舍去）或b ＝±1， ∴y ＝－x 2＋2x 或y ＝－x 2－2x ．（4）①当抛物线为y ＝－x 2＋2x 时．∵△AOB 为等腰直角三角形，且△BPQ ∽△OAB ，∴△BPQ 为等腰直角三角形，设P （a ，－a 2＋2a ），∴Q （（a ，0）， 则｜－a 2＋2a ｜＝｜2－a ｜，即(2)2a a a -=-．∵a －2≠0，∴1a =，∴a =±1，∴P （1，1）或（－1， －3）．②当抛物线为y ＝－x 2－2x 时．∵△AOB 为等腰直角三角形，且△BPQ ∽△OAB ，∴△BPQ 为等腰直角三角形，设P （a ，－a 2－2a ），∴Q （（a ，0），则｜－a 2－2a ｜＝｜2+a ｜，即(2)2a a a +=+．∵a +2≠0，∴1a =，∴a =±1，∴P （1，－3，）或（－1，1）．综上所述：P （1，1）或P （－1，－3）或P （1，－3，）或（－1，1）．点睛：本题是二次函数综合题．考查了二次函数的性质以及“抛物线三角形”的定义．解题的关键是弄懂“抛物线三角形”的定义以及分类讨论．7．如图，对称轴为直线x 1=-的抛物线()2y ax bx c a 0=++≠与x 轴相交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为（－3，0）．（1）求点B 的坐标；（2）已知a 1=，C 为抛物线与y 轴的交点．①若点P 在抛物线上，且POC BOC S 4S ∆∆=，求点P 的坐标；②设点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值．【答案】（1）点B 的坐标为（1，0）.（2）①点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）.②线段QD 长度的最大值为94. 【解析】【分析】（1）由抛物线的对称性直接得点B 的坐标．（2）①用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得点C 的坐标，得到BOC S ∆，设出点P 的坐标，根据POC BOC S 4S ∆∆=列式求解即可求得点P 的坐标．②用待定系数法求出直线AC 的解析式，由点Q 在线段AC 上，可设点Q 的坐标为(q,-q-3)，从而由QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，得点D 的坐标为(q,q 2+2q-3)，从而线段QD 等于两点纵坐标之差，列出函数关系式应用二次函数最值原理求解.【详解】解：（1）∵A 、B 两点关于对称轴x 1=-对称 ，且A 点的坐标为（－3，0）， ∴点B 的坐标为（1，0）.（2）①∵抛物线a 1=，对称轴为x 1=-，经过点A （－3，0）， ∴2a 1b 12a 9a 3b c 0=⎧⎪⎪-=-⎨⎪-+=⎪⎩，解得a 1b 2c 3=⎧⎪=⎨⎪=-⎩. ∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=+-.∴B 点的坐标为（0，－3）.∴OB=1，OC=3.∴BOC 13S 1322∆=⨯⨯=. 设点P 的坐标为(p,p 2+2p-3)，则POC 13S 3p p 22∆=⨯⨯=. ∵POC BOC S 4S ∆∆=，∴3p 62=，解得p 4=±. 当p 4=时2p 2p 321+-=；当p 4=-时，2p 2p 35+-=，∴点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）.②设直线AC 的解析式为y kx b =+，将点A ，C 的坐标代入，得：3k b 0b 3-+=⎧⎨=-⎩，解得：k 1b 3=-⎧⎨=-⎩. ∴直线AC 的解析式为y x 3=--.∵点Q 在线段AC 上，∴设点Q 的坐标为(q,-q-3).又∵QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，∴点D 的坐标为(q,q 2+2q-3).∴()22239QD q 3q 2q 3q 3q q 24⎛⎫=---+-=--=-++ ⎪⎝⎭. ∵a 10<=-，-3302<<-∴线段QD 长度的最大值为94.8．如图，若b 是正数，直线l ：y =b 与y 轴交于点A ；直线a ：y =x ﹣b 与y 轴交于点B ；抛物线L ：y =﹣x 2+bx 的顶点为C ，且L 与x 轴右交点为D ．（1）若AB =8，求b 的值，并求此时L 的对称轴与a 的交点坐标； （2）当点C 在l 下方时，求点C 与l 距离的最大值；（3）设x 0≠0，点（x 0，y 1），（x 0，y 2），（x 0，y 3）分别在l ，a 和L 上，且y 3是y 1，y 2的平均数，求点（x 0，0）与点D 间的距离；（4）在L 和a 所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b =2019和b =2019.5时“美点”的个数． 【答案】（1）b =4，（2，﹣2 ）；（2）1；（3）12；（4）当b =2019时“美点”的个数为4040个，b =2019.5时“美点”的个数为1010个． 【解析】 【分析】（1）求出A 、B 的坐标，由AB =8，可求出b 的值．从而得到L 的解析式，找出L 的对称轴与a 的交点即可；（2）通过配方，求出L 的顶点坐标，由于点C 在l 下方，则C 与l 的距离24b b -，配方即可得出结论；（3）由題意得y 1+y 2=2y 3，进而有b +x 0﹣b =2（﹣x 02+bx 0）解得x 0的值，求出L 与x 轴右交点为D 的坐标，即可得出结论；（4）①当b =2019时，抛物线解析式L ：y =﹣x 2+2019x 直线解析式a ：y =x ﹣2019，美点”总计4040个点，②当b =2019.5时，抛物线解析式L ：y =﹣x 2+2019.5x ，直线解析式a ：y =x ﹣2019.5，“美点”共有1010个． 【详解】（1）当x =0吋，y =x ﹣b =﹣b ，∴B （0，﹣b ）．∵AB =8，而A （0，b ），∴b ﹣（﹣b ）=8，∴b =4，∴L ：y =﹣x 2+4x ，∴L 的对称轴x =2，当x =2时，y =x ﹣4=﹣2，∴L 的对称轴与a 的交点为（2，﹣2 ）；（2）y =﹣（x 2b -）224b +，∴L 的顶点C （2b ，24b ）．∵点C 在l 下方，∴C 与l 的距离b 2144b -=-（b ﹣2）2+1≤1，∴点C 与l 距离的最大值为1；（3）∵y 3是y 1，y 2的平均数，∴y 1+y 2=2y 3，∴b +x 0﹣b =2（﹣x 02+bx 0），解得：x 0=0或x 0=b 12-． ∵x 0≠0，∴x 0=b 12-，对于L ，当y =0吋，0=﹣x 2+bx ，即0=﹣x （x ﹣b ），解得：x 1=0，x 2=b ．∵b ＞0，∴右交点D （b ，0），∴点（x 0，0）与点D 间的距离b ﹣（b 12-）12=．（4）①当b =2019时，抛物线解析式L ：y =﹣x 2+2019x ，直线解析式a ：y =x ﹣2019． 联立上述两个解析式可得：x 1=﹣1，x 2=2019，∴可知每一个整数x 的值都对应的一个整数y 值，且﹣1和2019之间（包括﹣1和﹣2019）共有2021个整数；∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，∴线段和抛物线上各有2021个整数点，∴总计4042个点．∵这两段图象交点有2个点重复，∴美点”的个数：4042﹣2=4040（个）；②当b =2019.5时，抛物线解析式L ：y =﹣x 2+2019.5x ，直线解析式a ：y =x ﹣2019.5，联立上述两个解析式可得：x 1=﹣1，x 2=2019.5，∴当x 取整数时，在一次函数y =x ﹣2019.5上，y 取不到整数值，因此在该图象上“美点”为0，在二次函数y =x 2+2019.5x 图象上，当x 为偶数时，函数值y 可取整数，可知﹣1到2019.5之 间有1010个偶数，因此“美点”共有1010个．故b =2019时“美点”的个数为4040个，b =2019.5时“美点”的个数为1010个． 【点睛】本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的性质以及待定系数法求函数解析式是解题的关键．9．如图，（图1，图2），四边形ABCD 是边长为4的正方形，点E 在线段BC 上，∠AEF=90°,且EF 交正方形外角平分线CP 于点F ，交BC 的延长线于点N, FN ⊥BC ． （1）若点E 是BC 的中点（如图1），AE 与EF 相等吗？（2）点E 在BC 间运动时（如图2），设BE=x ，△ECF 的面积为y ． ①求y 与x 的函数关系式；②当x 取何值时，y 有最大值，并求出这个最大值.【答案】（1）AE=EF ；（2）①y=-12x 2+2x （0＜x ＜4)，②当x=2,y 最大值=2. 【解析】 【分析】（1）在AB 上取一点G ，使AG=EC ，连接GE ，利用ASA ，易证得：△AGE ≌△ECF ，则可证得：AE=EF ；（2）同（1）可证明AE=EF ，利用AAS 证明△ABE ≌△ENF ，根据全等三角形对应边相等可得FN=BE ，再表示出EC ，然后利用三角形的面积公式即可列式表示出△ECF 的面积为y ，然后整理再根据二次函数求解最值问题． 【详解】（1）如图，在AB 上取AG=EC ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB=BC ，有∵AG=EC ，∴BG=BE ， 又∵∠B=90°， ∴∠AGE=135°，又∵∠BCD=90°，CP 平分∠DCN ， ∴∠ECF=135°，∵∠BAE ＋∠AEB=90°，∠AEB ＋∠FEC=90°， ∴∠BAE=∠FEC ， 在△AGE 和△ECF 中，AGE ECF AG ECGAE CEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ∴△AGE ≌△ECF ， ∴AE=EF ；(2)①∵由（1）证明可知当E 不是中点时同理可证AE=EF ， ∵∠BAE=∠NEF ，∠B=∠ENF=90°， ∴△ABE ≌△ENF ， ∴FN=BE=x ， ∴S △ECF =12(BC-BE)·FN ， 即y=12x(4-x ）， ∴y=-12x 2+2x （0＜x ＜4)，②()()222111y x 2x x 4x x 22222=-+=--=--+， 当x=2，y 最大值=2. 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的最值问题，综合性较强，正确添加辅助线、熟练掌握相关知识是解题的关键．10．如图，已知A （﹣2，0），B （4，0），抛物线y=ax 2+bx ﹣1过A 、B 两点，并与过A点的直线y=﹣12x ﹣1交于点C ． （1）求抛物线解析式及对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使四边形ACPO 的周长最小？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点M 为y 轴右侧抛物线上一点，过点M 作直线AC 的垂线，垂足为N ．问：是否存在这样的点N ，使以点M 、N 、C 为顶点的三角形与△AOC 相似，若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为：y=211184x x --，抛物线对称轴为直线x=1；（2）存在P 点坐标为（1，﹣12）；（3）N 点坐标为（4，﹣3）或（2，﹣1） 【解析】分析：（1）由待定系数法求解即可；（2）将四边形周长最小转化为PC+PO 最小即可；（3）利用相似三角形对应点进行分类讨论，构造图形．设出点N 坐标，表示点M 坐标代入抛物线解析式即可．详解：（1）把A （-2，0），B （4，0）代入抛物线y=ax 2+bx-1，得042101641a b a b --⎧⎨+-⎩＝＝ 解得1814a b ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＝＝∴抛物线解析式为：y=18x2−14x−1∴抛物线对称轴为直线x=-141228ba-=-⨯＝1（2）存在使四边形ACPO的周长最小，只需PC+PO最小∴取点C（0，-1）关于直线x=1的对称点C′（2，-1），连C′O与直线x=1的交点即为P 点．设过点C′、O直线解析式为：y=kx∴k=-12∴y=-12x则P点坐标为（1，-12）（3）当△AOC∽△MNC时，如图，延长MN交y轴于点D，过点N作NE⊥y轴于点E∵∠ACO=∠NCD，∠AOC=∠CND=90°∴∠CDN=∠CAO由相似，∠CAO=∠CMN∴∠CDN=∠CMN∵MN⊥AC∴M、D关于AN对称，则N为DM中点设点N坐标为（a，-12a-1）由△EDN∽△OAC∴ED=2a∴点D坐标为（0，-52a−1）∵N为DM中点∴点M坐标为（2a，32a−1）把M代入y=18x2−14x−1，解得a=4则N点坐标为（4，-3）当△AOC∽△CNM时，∠CAO=∠NCM∴CM∥AB则点C关于直线x=1的对称点C′即为点N由（2）N（2，-1）∴N点坐标为（4，-3）或（2，-1）点睛：本题为代数几何综合题，考查了待定系数、两点之间线段最短的数学模型构造、三角形相似．解答时，应用了数形结合和分类讨论的数学思想．11．（12分）如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=16-x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3 m，到地面OA的距离为172m.（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？【答案】（1）抛物线的函数关系式为y=16-x2+2x+4，拱顶D到地面OA的距离为10 m；(2)两排灯的水平距离最小是3．【解析】【详解】试题分析：根据点B和点C在函数图象上，利用待定系数法求出b和c的值，从而得出函数解析式，根据解析式求出顶点坐标，得出最大值；根据题意得出车最外侧与地面OA的交点为（2,0）（或（10,0）），然后求出当x=2或x=10时y的值，与6进行比较大小，比6大就可以通过，比6小就不能通过；将y=8代入函数，得出x的值，然后进行做差得出最小值．试题解析：（1）由题知点17(0,4),3,2B C⎛⎫⎪⎝⎭在抛物线上所以41719326cb c=⎧⎪⎨=-⨯++⎪⎩，解得24bc=⎧⎨=⎩，所以21246y x x=-++所以，当62bxa=-=时，10ty=≦答：21246y x x=-++，拱顶D到地面OA的距离为10米（2）由题知车最外侧与地面OA的交点为（2,0）（或（10,0））当x=2或x=10时，2263y=>，所以可以通过（3）令8y=，即212486x x-++=，可得212240x x-+=，解得12623,623x x=+=-1243x x-=答：两排灯的水平距离最小是43考点：二次函数的实际应用．12．如图，已知抛物线的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）。

2019-2020学年中考复习：二次函数拔高专题精讲精练（含答案解析）1．如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过点A．O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题；分类讨论。

解答：解：（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°，∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°，又∵OA=OB=4，∴OC=OB=×4=2，BC=OB•sin60°=4×=2，∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）；（2）∵抛物线过原点O和点A．B，∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx，将A（4，0），B（﹣2．﹣2）代入，得，解得，∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+x（3）存在，如图，抛物线的对称轴是x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y），①若OB=OP，则22+|y|2=42，解得y=±2，当y=2时，在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD==，∴∠POD=60°，∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，即P、O、B三点在同一直线上，∴y=2不符合题意，舍去，∴点P的坐标为（2，﹣2）②若OB=PB，则42+|y+2|2=42，解得y=﹣2，故点P的坐标为（2，﹣2），③若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+2|2，解得y=﹣2，故点P的坐标为（2，﹣2），综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，﹣2），2．如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O．（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出四边形PB′A′B 的两条性质．考点：二次函数综合题。

人教版九年级数学上册 二次函数（提升篇）（Word 版 含解析）一、初三数学 二次函数易错题压轴题（难）1．在平面直角坐标系中，将函数2263,(y x mx m x m m =--≥为常数)的图象记为G ．（1）当1m =-时，设图象G 上一点(),1P a ，求a 的值；（2）设图象G 的最低点为(),o o F x y ，求o y 的最大值；（3）当图象G 与x 轴有两个交点时，设右边交点的横坐标为2,x 则2x 的取值范围是 ；（4）设1112,,2,16816A m B m ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当图象G 与线段AB 没有公共点时，直接写出m 的取值范围．【答案】（1）0a =或3a =-；（2）118；（3）21136x -<<-；（4）18m <-或116m >- 【解析】【分析】（1）将m=-1代入解析式，然后将点P 坐标代入解析式，从而求得a 的值；（2）分m ＞0和m ≤0两种情况，结合二次函数性质求最值；（3）结合二次函数与x 轴交点及对称轴的性质确定取值范围；（4）结合一元二次方程根与系数的关系确定取值范围．【详解】解：（1）当1m =-时，()22613y x x x =++≥ 把(),1P a 代入，得22611a a ++=解得0a =或3a =-（2）当0m >时，,(3)F m m -此时，0o y m =-<当0m ≤时，2223926=2()22y x mx m x m m m =----- ∴239,22F m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭此时，229911=()22918m m m ---++ ∴0y 的最大值118=综上所述，0y 的最大值为118（3）由题意可知：当图象G 与x 轴有两个交点时，m ＞0 当抛物线顶点在x 轴上时，22=4(6)42()=0b ac m m -=--⨯⨯-△解得：m=0（舍去）或29m =- 由题意可知抛物线的对称轴为直线x=32m 且x ≥3m ∴当图象G 与x 轴有两个交点时，设右边交点的横坐标为x 2，则x 2的取值范围是21136x -<<- （4）18m <-或116m >- 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．2．如图①是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作：(Ⅰ)将矩形纸片沿DF 折叠，使点A 落在CD 边上点E 处，如图②；(Ⅱ)在第一次折叠的基础上，过点C 再次折叠，使得点B 落在边CD 上点B′处，如图③，两次折痕交于点O ；(Ⅲ)展开纸片，分别连接OB 、OE 、OC 、FD ，如图④．（探究）（1）证明：OBC ≌OED ；（2）若AB ＝8，设BC 为x ，OB 2为y ，是否存在x 使得y 有最小值，若存在求出x 的值并求出y 的最小值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）x=4，16【解析】【分析】（1）连接EF ，根据矩形和正方形的判定与性质以及折叠的性质，运用SAS 证明OBC ≌OED 即可；（2）连接EF 、BE ，再证明△OBE 是直角三角形，然后再根据勾股定理得到y 与x 的函数关系式，最后根据二次函数的性质求最值即可．【详解】（1）证明：连接EF．∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠ABC＝∠BCD＝∠ADE＝∠DAF＝90°由折叠得∠DEF＝∠DAF，AD＝DE∴∠DEF＝90°又∵∠ADE＝∠DAF＝90°，∴四边形ADEF是矩形又∵AD＝DE，∴四边形ADEF是正方形∴AD＝EF＝DE，∠FDE＝45°∵AD＝BC，∴BC＝DE由折叠得∠BCO＝∠DCO＝45°∴∠BCO＝∠DCO＝∠FDE．∴OC＝OD．在△OBC与△OED中，BC DEBCO FDEOC OD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，∴△OBC≌△OED（SAS）；（2）连接EF、BE．∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝8．由（1）知，BC＝DE∵BC＝x，∴DE＝x∴CE＝8－x由（1）知△OBC≌△OED∴OB＝OE，∠OED＝∠OBC．∵∠OED＋∠OEC＝180°，∴∠OBC＋∠OEC＝180°．在四边形OBCE中，∠BCE＝90°，∠BCE＋∠OBC＋∠OEC＋∠BOE＝360°，∴∠BOE ＝90°．在Rt △OBE 中，OB 2＋OE 2＝BE 2．在Rt △BCE 中，BC 2＋EC 2＝BE 2．∴OB 2＋OE 2＝BC 2＋CE 2．∵OB 2＝y ，∴y ＋y ＝x 2＋(8－x)2．∴y ＝x 2－8x ＋32∴当x=4时，y 有最小值是16．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形和正方形的判定与性质、折叠的性质、全等三角形的判定、勾股定理以及运用二次函数求最值等知识点，灵活应用所学知识是解答本题的关键．3．如图1．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:C y ax bx c =++与x 轴相交于,A B 两点，顶点为()0,442D AB =,，设点(),0F m 是x 轴的正半轴上一点，将抛物线C 绕点F 旋转180︒，得到新的抛物线'C ．()1求抛物线C 的函数表达式:()2若抛物线'C 与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点，求m 的取值范围． ()3如图2，P 是第一象限内抛物线C 上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P 在抛物线'C 上的对应点P'，设M 是C 上的动点，N 是'C 上的动点，试探究四边形'PMP N 能否成为正方形？若能，求出m 的值；若不能，请说明理由．【答案】()12142y x =-+；()2222m <<()3四边形'PMP N 可以为正方形，6m = 【解析】【分析】（1）由题意得出A,B 坐标，并代入,,A B D 坐标利用待定系数法求出抛物线C 的函数表达式；（2）根据题意分别求出当C '过点()0,4D 时m 的值以及当C '过点()22,0B 时m 的值，并以此进行分析求得；（3）由题意设(),P n n ，代入解出n ，并作HK OF ⊥，PH HK ⊥于H ，利用正方形性质以及全等三角形性质得出M 为()2,2m m --，将M 代入21: 42C y x =-+即可求得答案.【详解】解：()142AB =(), 22,0)2,0(2A B ∴-将,,A B D 三点代入得2 y ax bx c =++ 820.820.4a b c a b c c ⎧-+=⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩解得1204a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩2142y x ∴=-+； ()2如图21:42C y x =-+．关于(),0F m 对称的抛物线为()21:242C y x m '=-- 当C '过点()0,4D 时有()2140242m =-- 解得:2m = 当C '过点()22,0B 时有()21022242m =-- 解得:22m =222m ∴<<；()3四边形'PMP N 可以为正方形由题意设(),P n n ，P 是抛物线C 第一象限上的点2142n n ∴-+= 解得:122,2n n ==-(舍去)即()2,2P如图作HK OF ⊥，PH HK ⊥于H ，MK HK ⊥于K四边形PMP N '为正方形易证PHK FKM ≌2FK HP m ∴==-2MK HF ==M ∴为()2,2m m --∴将M 代入21: 42C y x =-+得 ()212242m m -=--+ 解得:126,0m m ==(舍去)∴当6m =时四边形PMP N ''为正方形.【点睛】本题考查二次函数综合题、中心对称变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，难度大.4．已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠过点(0,2)A -．（1）若点(2,0)-也在该抛物线上，请用含a 的关系式表示b ；（2）若该抛物线上任意不同两点()11,M x y 、()22,N x y 都满足：当120x x <<时，()()12120x x y y --<；当120x x <<时，()()12120x x y y -->；若以原点O 为圆心，OA 为半径的圆与抛物线的另两个交点为B 、C （点B 在点C 左侧），且ABC ∆有一个内角为60，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若点P 与点O 关于点A 对称，且O 、M 、N 三点共线，求证：PA 平分MPN ∠．【答案】（1）21b a =-；（2）22y x =-；（3）见解析.【解析】【分析】（1）把点()0,2-、()2,0-代入抛物线解析式，然后整理函数式即可得到答案．（2）根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为y 轴、开口向上，进而可得出0b =，由抛物线的对称性可得出ABC ∆为等腰三角形，结合其有一个60︒的内角可得出ABC ∆为等边三角形，设线段BC 与y 轴交于点D ，根据等边三角形的性质可得出点C 的坐标，再利用待定系数法可求出a 值，此题得解；（3）由（1）的结论可得出点M 的坐标为1(x ，212)x -+、点N 的坐标为2(x ，222)x -+，由O 、M 、N 三点共线可得出212x x =-，进而可得出点N 及点'N 的坐标，由点A 、M 的坐标利用待定系数法可求出直线AM 的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点'N 在直线PM 上，进而即可证出PA 平分MPN ∠．【详解】解：（1）把点()0,2-、()2,0-分别代入，得2420c a b c =-⎧⎨-+=⎩．所以21b a =-．（2），如图1，当120x x <<时，()()12120x x y y --<，120x x ∴-<，120y y ->，∴当0x <时，y 随x 的增大而减小；同理：当0x >时，y 随x 的增大而增大，∴抛物线的对称轴为y 轴，开口向上，0b ∴=．OA 为半径的圆与拋物线的另两个交点为B 、C ，ABC ∴∆为等腰三角形，又ABC ∆有一个内角为60︒，ABC ∴∆为等边三角形．设线段BC 与y 轴交于点D ，则BD CD =，且30OCD ∠=︒，又2OB OC OA ===，·303CD OC cos ∴=︒=，·301OD OC sin =︒=． 不妨设点C 在y 轴右侧，则点C 的坐标为31)．点C 在抛物线上，且2c =-，0b =，321a ∴-=，1a ∴=，∴抛物线的解析式为22y x =-．（3）证明：由（1）可知，点M 的坐标为1(x ，212)x -，点N 的坐标为2(x ，222)x -．如图2，直线OM 的解析式为()110y k x k =≠．O 、M 、N 三点共线，10x ∴≠，20x ≠，且22121222x x x x --=， 121222x x x x ∴-=-， ()1212122x x x x x x -∴-=-，122x x ∴=-，即212x x =-， ∴点N 的坐标为12(x -，2142)x -． 设点N 关于y 轴的对称点为点'N ，则点'N 的坐标为12(x ，2142)x -． 点P 是点O 关于点A 的对称点，24OP OA ∴==，∴点P 的坐标为()0,4-．设直线PM 的解析式为24y k x =-，点M 的坐标为1(x ，212)x -，212124x k x ∴-=-，21212x k x +∴=， ∴直线PM 的解析式为21124x y x x +=-． ()222111221111224224·42x x x x x x x +-+-==-，∴点'N在直线PM上，∠．∴平分MPNPA【点睛】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、二次函数的性质、等边三角形的性质以及一次（二次）函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征求出a、b满足的关系式；（2）①利用等边三角形的性质找出点C的坐标；②利用一次函数图象上点的坐标特征找出点'N在直线PM上．5．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为Q(2，-1)，且与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于A，B两点(点A在点B的右侧)，点P是该抛物线上的一动点，从点C沿抛物线向点A运动(点P与A不重合)，过点P作PD∥y轴，交AC于点D．(1)求该抛物线的函数关系式；(2)当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；(3)在题(2)的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1) y=x2﹣4x+3；(2) P1（1，0），P2（2，﹣1）；(3) F1（22，1），F2（22，1）．【解析】【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可将抛物线的解析式设为顶点式，然后将函数图象经过的C点坐标代入上式中，即可求出抛物线的解析式；（2）由于PD∥y轴，所以∠ADP≠90°，若△ADP是直角三角形，可考虑两种情况：①以点P为直角顶点，此时AP⊥DP，此时P点位于x轴上（即与B点重合），由此可求出P点的坐标；②以点A为直角顶点，易知OA=OC，则∠OAC=45°，所以OA平分∠CAP，那么此时D、P关于x轴对称，可求出直线AC的解析式，然后设D、P的横坐标，根据抛物线和直线AC的解析式表示出D、P的纵坐标，由于两点关于x轴对称，则纵坐标互为相反数，可据此求出P 点的坐标；（3）很显然当P、B重合时，不能构成以A、P、E、F为顶点的四边形，因为点P、F都在抛物线上，且点P为抛物线的顶点，所以PF与x轴不平行，所以只有（2）②的一种情况符合题意，由②知此时P、Q重合；假设存在符合条件的平行四边形，那么根据平行四边形的性质知：P 、F 的纵坐标互为相反数，可据此求出F 点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出F 点的坐标． 【详解】（1）∵抛物线的顶点为Q （2，﹣1）， ∴设抛物线的解析式为y=a （x ﹣2）2﹣1， 将C （0，3）代入上式，得： 3=a （0﹣2）2﹣1，a=1；∴y=（x ﹣2）2﹣1，即y=x 2﹣4x+3； （2）分两种情况：①当点P 1为直角顶点时，点P 1与点B 重合； 令y=0，得x 2﹣4x+3=0，解得x 1=1，x 2=3； ∵点A 在点B 的右边， ∴B （1，0），A （3，0）； ∴P 1（1，0）；②当点A 为△AP 2D 2的直角顶点时； ∵OA=OC ，∠AOC=90°， ∴∠OAD 2=45°；当∠D 2AP 2=90°时，∠OAP 2=45°， ∴AO 平分∠D 2AP 2； 又∵P 2D 2∥y 轴， ∴P 2D 2⊥AO ，∴P 2、D 2关于x 轴对称；设直线AC 的函数关系式为y=kx+b （k≠0）． 将A （3，0），C （0，3）代入上式得：303k b b +=⎧⎨=⎩， 解得13k b =-⎧⎨=⎩；∴y=﹣x+3；设D 2（x ，﹣x+3），P 2（x ，x 2﹣4x+3）， 则有：（﹣x+3）+（x 2﹣4x+3）=0，即x 2﹣5x+6=0；解得x 1=2，x 2=3（舍去）；∴当x=2时，y=x 2﹣4x+3=22﹣4×2+3=﹣1； ∴P 2的坐标为P 2（2，﹣1）（即为抛物线顶点）． ∴P 点坐标为P 1（1，0），P 2（2，﹣1）；（3）由（2）知，当P 点的坐标为P 1（1，0）时，不能构成平行四边形； 当点P 的坐标为P 2（2，﹣1）（即顶点Q ）时， 平移直线AP 交x 轴于点E ，交抛物线于F ； ∵P （2，﹣1）， ∴可设F （x ，1）； ∴x 2﹣4x+3=1，解得x 1=2﹣2，x 2=2+2； ∴符合条件的F 点有两个，即F 1（2﹣2，1），F 2（2+2，1）．【点睛】此题主要考查了二次函数的解析式的确定、直角三角形的判定、平行四边形的判定与性质等重要知识点，同时还考查了分类讨论的数学思想，能力要求较高，难度较大.6．如图，抛物线2y x bx c =-++的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点．点A 坐标的为3,0，点C 的坐标为()0,3．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）点M 为线段AB 上一点（点M 不与点A 、B 重合），过点M 作i 轴的垂线，与直线AC 交于点E ，与抛物线交于点P ，过点P 作//PQ AB 交抛物线于点Q ，过点Q 作QN x ⊥轴于点N ．若点P 在点Q 左边，当矩形PMNQ 的周长最大时，求AEM △的面积；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当矩形PMNQ 的周长最大时，连接DQ ，过抛物线上一点F 作y 轴的平行线，与直线AC 交于点G （点G 在点F 的上方）．若=22FG DQ ，求点F 的坐标．【答案】（Ⅰ）223y x x =--+；（Ⅱ）12；（Ⅲ）()4,5F --或()1,0 【解析】 【分析】（Ⅰ）将点A ，点C 坐标代入解析式可求解；（Ⅱ）设M （x ，0），P （x ，-x 2-2x+3），利用对称性可求点Q （-2-x ，-x 2-2x+3），可求MP=-x 2-2x+3，PQ=-2-x-x=-2-2x ，则可用x 表示矩形PMNQ 的周长，由二次函数的性质可求当矩形PMNQ 的周长最大时，点P 的坐标，即可求点E ，点M 的坐标，由三角形面积公式可求解；（Ⅲ）先求出点D 坐标，即可求DQ=2，可得FG=4，设F （m ，-m 2-2m+3），则G （m ，m+3），用含有m 的式子表示FG 的长度即可求解． 【详解】解:（Ⅰ）依题意()()2330{3b c c --+⨯-+==解得2{3b c =-= 所以223y x x =--+（Ⅱ）2223(1)4yx x x抛物线的对称轴是直线1x =-(,0)M x ，()2,23P x x x --+，其中31x -<<-∵P 、Q 关于直线1x =-对称 设Q 的横坐标为a则()11a x --=-- ∴2a x =--∴()22,23Q x x x ----+∴223MP x x =--+，222PQ x x x =---=--∴周长()222222232822(2)10d x x x x x x =----+=--+=-++ 当2x =-时，d 取最大值，此时，(2,0)M - ∴2(3)1AM =---= 设直线AC 的解析式为y kx b =+ 则303k b b -+=⎧⎨=⎩，解得13k b =⎧⎨=⎩∴设直线AC 的解析式为3y x将2x =-代入3y x，得1y =∴(2,1)E -， ∴1EM=∴11111222AEM S AM ME ∆=⋅=⨯⨯=（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当矩形PMNQ 的周长最大时，2x =-此时点()0,3Q ，与点C 重合， ∴3OQ = ∵2223(1)4yx x x∴()1,4D -过D 作DK y ⊥轴于K ， 则1DK =，4OK = ∴431OK OK OQ =-=-=∴DKQ 是等腰直角三角形，DQ =∴4FG ==设()2,23F m m m --+，则(,3)G m m +()223233FG m m m m m =+---+=+∴234m m +=，解得14m =-，21m = 当4m =-时，2235m m --+=- 当1m =时，2230m m --+=． ∴()4,5F --或()1,0【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质等，利用参数表示线段的长度是本题的关键．7．如图1所示，抛物线223y x bx c=++与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知C 点坐标为（0，4），抛物线的顶点的横坐标为72，点P是第四象限内抛物线上的动点，四边形OPAQ是平行四边形，设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）求使△APC的面积为整数的P点的个数；（3）当点P在抛物线上运动时，四边形OPAQ可能是正方形吗？若可能，请求出点P的坐标，若不可能，请说明理由；（4）在点Q随点P运动的过程中，当点Q恰好落在直线AC 上时，则称点Q 为“和谐点”，如图（2）所示，请直接写出当Q 为“和谐点”的横坐标的值．【答案】（1）2214433y x x=-+；（2）9个；（3）33,22或44，；（4）33【解析】【分析】（1）抛物线与y轴交于点C，顶点的横坐标为72，则472223cb，即可求解；（2）APC∆的面积PHA PHCS S S，即可求解；（3）当四边形OPAQ 是正方形时，点P 只能在x 轴的下方，此时OAP为等腰直角三角形，设点(,)P x y ，则0x y +=，即可求解； （4）求出直线AP 的表达式为：2(1)(6)3y m x ，则直线OQ 的表达式为：2(1)3ym x ②，联立①②求出Q 的坐标，又四边形OPAQ 是平行四边形，则AO 的中点即为PQ 的中点，即可求解． 【详解】解：（1）抛物线与y 轴交于点C ，顶点的横坐标为72，则472223cb ，解得1434bc，故抛物线的抛物线为：2214433y x x =-+； （2）对于2214433y x x =-+，令0y =，则1x =或6，故点B 、A 的坐标分别为(1,0)、(6,0)；如图，过点P 作//PH y 轴交AC 于点H ，设直线AC 的表达式为：y kx b =+ 由点A （6，0）、C （0，4）的坐标得460b kb，解得423b k， ∴直线AC 的表达式为：243y x =-+①， 设点2214(,4)33P x x x ，则点2(,4)3H x x ，APC ∆的面积221122146(44)212(16)22333PHAPHCSSSPH OA x x x x x，当1x =时，10S =，当6x =时，0S =， 故使APC ∆的面积为整数的P 点的个数为9个；（3）当四边形OPAQ 是正方形时，点P 只能在x 轴的下方，此时OAP 为等腰直角三角形，设点(,)P x y ，则0x y +=，即2214433yx x x ，解得：32x =或4， 故点P 的坐标为3(2，3)2或(4,4)-； （4）设点2214(,4)33P m m m ，为点(6,0)A ，设直线AP 的表达式为：y kx t =+，由点A ，P 的坐标可得260214433kt kmt m m ，解之得：2(1)326(1)3km tm∴直线AP 的表达式为：2(1)(6)3ym x ， //AP OQ ，则AP 和OQ 表达式中的k 值相同，故直线OQ 的表达式为：2(1)3ym x ②， 联立①②得：2(1)3243ym x yx ，解得：446mm y x ，则点6(Q m ，44)m， 四边形OPAQ 是平行四边形，则AO 的中点即为PQ 的中点， 如图2，作QC x ⊥轴于点C ，PD x ⊥轴于点D ，∴OC AD =, 则有，66m m ，解得：33m，经检验，33m 是原分式方程得跟，则633m，故Q 的横坐标的值为33 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形正方形的性质、面积的计算等，能熟练应用相关性质是解题的关键．8．如图，直线3yx与x 轴、y 轴分别交于点A ，C ，经过A ，C 两点的抛物线2y ax bx c =++与x 轴的负半轴的另一交点为B ，且tan 3CBO ∠=（1）求该抛物线的解析式及抛物线顶点D 的坐标；（2）点P 是射线BD 上一点，问是否存在以点P ，A ，B 为顶点的三角形，与ABC 相似，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）243y x x =++，顶点(2,1)D --；（2）存在，52,33P ⎛⎫--⎪⎝⎭或(4,3)-- 【解析】 【分析】（1）利用直线解析式求出点A 、C 的坐标，从而得到OA 、OC ，再根据tan ∠CBO=3求出OB ，从而得到点B 的坐标，然后利用待定系数法求出二次函数解析式，整理成顶点式形式，然后写出点D 的坐标；（2）根据点A 、B 的坐标求出AB ，判断出△AOC 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出AC ，∠BAC=45°，再根据点B 、D 的坐标求出∠ABD=45°，然后分①AB 和BP 是对应边时，△ABC 和△BPA 相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出BP ，过点P 作PE ⊥x 轴于E ，求出BE 、PE ，再求出OE 的长度，然后写出点P 的坐标即可；②AB 和BA 是对应边时，△ABC 和△BAP 相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出BP ，过点P 作PE ⊥x 轴于E ，求出BE 、PE ，再求出OE 的长度，然后写出点P 的坐标即可． 【详解】解：（1）令y=0，则x+3=0， 解得x=-3， 令x=0，则y=3，∴点A （-3，0），C （0，3）， ∴OA=OC=3， ∵tan ∠CBO=3OCOB=， ∴OB=1， ∴点B （-1，0），把点A、B、C的坐标代入抛物线解析式得，9303a b ca b cc-+=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，解得：143abc=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴该抛物线的解析式为：243y x x=++，∵y=x2+4x+3=（x+2）2-1，∴顶点(2,1)D--；（2）∵A（-3，0），B（-1，0），∴AB=-1-（-3）=2，∵OA=OC，∠AOC=90°，∴△AOC是等腰直角三角形，∴AC=2OA=32，∠BAC=45°，∵B（-1，0），D（-2，-1），∴∠ABD=45°，①AB和BP是对应边时，△ABC∽△BPA，∴AB ACBP BA=，即2322BP=，解得BP=223，过点P作PE⊥x轴于E，则BE=PE=23×22=23，∴OE=1+23=53，∴点P的坐标为（-53，-23）；②AB 和BA 是对应边时，△ABC ∽△BAP ， ∴AB ACBA BP =， 即2322=， 解得BP=32， 过点P 作PE ⊥x 轴于E ， 则BE=PE=32×22=3， ∴OE=1+3=4，∴点P 的坐标为（-4，-3）；综合上述，当52,33P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭或(4,3)--时，以点P ，A ，B 为顶点的三角形与ABC ∆相似； 【点睛】本题是二次函数综合题型，主要利用了直线与坐标轴交点的求解，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，难点在于（2）要分情况讨论．9．如图，已知二次函数1L ：()22311y mx mx m m =+-+≥和二次函数2L ：()2341y m x m =--+-()1m ≥图象的顶点分别为M 、N ，与x 轴分别相交于A 、B两点（点A 在点B 的左边）和C 、D 两点（点C 在点D 的左边），（1）函数()22311y mx mx m m =+-+≥的顶点坐标为______；当二次函数1L ，2L 的y值同时随着x 的增大而增大时，则x 的取值范围是_______； （2）判断四边形AMDN 的形状（直接写出，不必证明）； （3）抛物线1L ，2L 均会分别经过某些定点； ①求所有定点的坐标；②若抛物线1L 位置固定不变，通过平移抛物线2L 的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线2L 应平移的距离是多少？ 【答案】（1）()1,41m --+，13x；（2）四边形AMDN 是矩形；（3）①所有定点的坐标，1L 经过定点()3,1-或()1,1，2L 经过定点()5,1-或()1,1-；②抛物线2L 应平移的距离是423+或423-．【解析】【分析】（1）将已知抛物线解析式转化为顶点式，直接得到点M 的坐标；结合函数图象填空； （2）利用抛物线解析式与一元二次方程的关系求得点A 、D 、M 、N 的横坐标，可得AD 的中点为（1，0），MN 的中点为（1，0），则AD 与MN 互相平分，可证四边形AMDN 是矩形；（3）①分别将二次函数的表达式变形为1:(3)(1)1L y m x x =+-+和2:(1)(5)1L y m x x =----，通过表达式即可得出所过定点；②根据菱形的性质可得EH 1=EF=4即可，设平移的距离为x ，根据平移后图形为菱形，由勾股定理可得方程即可求解．【详解】解：（1）12b x a=-=-，顶点坐标M 为(1,41)m --+， 由图象得：当13x 时，二次函数1L ，2L 的y 值同时随着x 的增大而增大． 故答案为：(1,41)m --+；13x ；（2）结论：四边形AMDN 是矩形．由二次函数21:231(1)L y mx mx m m =+-+和二次函数22:(3)41(1)L y m x m m =--+-解析式可得：A 点坐标为41(1m m ---，0)，D 点坐标为41(3m m -+，0)， 顶点M 坐标为(1,41)m --+，顶点N 坐标为(3,41)m -，AD ∴的中点为(1,0)，MN 的中点为(1,0)，AD ∴与MN 互相平分，∴四边形AMDN 是平行四边形，又AD MN =，∴□AMDN 是矩形；（3）①二次函数21:231(3)(1)1L y mx mx m m x x =+-+=+-+，故当3x =-或1x =时1y =，即二次函数21:231L y mx mx m =+-+经过(3,1)-、(1,1)两点，二次函数22:(3)41(1)(5)1L y m x m m x x =--+-=----，故当1x =或5x =时1y =-，即二次函数22:(3)41L y m x m =--+-经过(1,1)-、(5,1)-两点，②二次函数21:231L y mx mx m =+-+经过(3,1)-、(1,1)两点，二次函数22:(3)41L y m x m =--+-经过(1,1)-、(5,1)-两点，如图：四个定点分别为(3,1)E -、(1,1)F ，(1,1)H -、(5,1)G -，则组成四边形EFGH 为平行四边形，∴FH ⊥HG ，FH=2，HM=4-x ，设平移的距离为x ，根据平移后图形为菱形，则EH 1=EF=H 1M=4，由勾股定理可得：FH 2+HM 2=FM 2，即22242(4)x =+-，解得：423x =±，抛物线1L 位置固定不变，通过左右平移抛物线2L 的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线2L 应平移的距离是423+或423-．【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．10．在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2+bx +2的图象与x 轴交于A （﹣3，0），B （1，0）两点，与y 轴交于点C ．（1）求这个二次函数的关系解析式；（2）点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点P ，使△ACP 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；（3）在平面直角坐标系中，是否存在点Q ，使△BCQ 是以BC 为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由；【答案】（1）224233y x x =--+；（2）存在，点P 35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，使△PAC 的面积最大；（3）存在点Q ，使△BCQ 是以BC 为腰的等腰直角三角形．Q 点坐标为：Q 1（2，3），Q 2（3，1），Q 3（﹣1，﹣1），Q 4（﹣2，1）．【解析】【分析】（1）直接把点A （﹣3，0），B （1，0）代入二次函数y ＝ax 2+bx+2求出a 、b 的值即可得出抛物线的解析式；（2）设点P 坐标为（m ，n ），则n ＝﹣23m 2﹣43m+2，连接PO ，作PM ⊥x 轴于M ，PN ⊥y 轴于N ．根据三角形的面积公式得出△PAC 的表达式，再根据二次函数求最大值的方法得出其顶点坐标即可；（3）以BC 为边，在线段BC 两侧分别作正方形，正方形的其他四个顶点均可以使得“△BCQ 是以BC 为腰的等腰直角三角形”，因此有四个点符合题意要求，再过Q 1点作Q 1D ⊥y 轴于点D ，过点Q 2作Q 2E ⊥x 轴于点E ，根据全等三角形的判定定理得出△Q 1CD ≌△CBO ，△CBO ≌△BQ 2E ，故可得出各点坐标．【详解】（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx+2过点A （﹣3，0），B （1，0），∴093202a b a b =-+⎧⎨=++⎩2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得 ∴二次函数的关系解析式为y ＝﹣23x 2﹣43x+2； （2）存在．∵如图1所示，设点P 坐标为（m ，n ），则n ＝﹣23m 2﹣43m+2． 连接PO ，作PM ⊥x 轴于M ，PN ⊥y 轴于N ．则PM＝﹣23m2﹣43m+2．，PN＝﹣m，AO＝3．∵当x＝0时，y＝﹣23×0﹣43×0+2＝2，∴OC＝2，∴S△PAC＝S△PAO+S△PCO﹣S△ACO＝12AO•PM+12CO•PN﹣12AO•CO＝12×3×（﹣23m2﹣43m+2）+12×2×（﹣m）﹣12×3×2＝﹣m2﹣3m∵a＝﹣1＜0∴函数S△PAC＝﹣m2﹣3m有最大值∴当m＝﹣2ba＝﹣32时，S△PAC有最大值．∴n＝﹣23m2﹣43m+2＝﹣23×（﹣32）2﹣43×（﹣32）+2＝52，∴存在点P（﹣32，52），使△PAC的面积最大．（3）如图2所示，以BC为边在两侧作正方形BCQ1Q2、正方形BCQ4Q3，则点Q1，Q2，Q3，Q4为符合题意要求的点．过Q1点作Q1D⊥y轴于点D，过点Q2作Q2E⊥x轴于点E，∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，∠3+∠4＝90°，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，在△Q1CD与△CBO中，∵11324Q C BC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△Q1CD≌△CBO，∴Q1D＝OC＝2，CD＝OB＝1，∴OD＝OC+CD＝3，∴Q1（2，3）；同理可得Q4（﹣2，1）；同理可证△CBO≌△BQ2E，∴BE＝OC＝2，Q2E＝OB＝1，∴OE＝OB+BE＝1+2＝3，∴Q2（3，1），同理，Q3（﹣1，﹣1），∴存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形．Q点坐标为：Q1（2，3），Q2（3，1），Q3（﹣1，﹣1），Q4（﹣2，1）．【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求二次函数解析式，二次函数极值、全等三角形的判定与性质，正方形及等腰直角三角形的性质等知识，涉及面较广，难度较大．。

九年级二次函数拔高培优及解析一、单选题1．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为(4,0)，抛物线的对称轴是x=1.下列结论中：①abc>0；②2a+b=0；③方程ax2+bx+c=3有两个不相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点坐标为(−2,0)；⑤若点A(m,n)在该抛物线上，则am2+bm+c≤a+b+c．其中正确的有()A．5个B．4个C．3个D．2个【答案】B【解析】【分析】结合函数图象，根据二次函数的性质及二次函数与一元二次方程、一元二次不等式间的关系逐一判断即可．【详解】①∵对称轴是y轴的右侧，∴ab<0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c>0，∴abc<0，故①错误；②∵−b=1，2a∴b=−2a，2a+b=0，故②正确；③由图象得：y=3时，与抛物线有两个交点，∴方程ax2+bx+c=3有两个不相等的实数根，故③正确；④∵抛物线与x轴的一个交点坐标为(4,0)，抛物线的对称轴是x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(−2,0)，故④正确；⑤∵抛物线的对称轴是x=1，∴y有最大值是a+b+c，∵点A(m,n)在该抛物线上，∴am2+bm+c≤a+b+c，故⑤正确，本题正确的结论有：②③④⑤，4个，故选B．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右；常数项c 决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于(0,c)；也考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质．2．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0）、点B（3，0）、点C（4，y1），若点D（x2，y2）是抛物线上任意一点，有下列结论：①二次函数y=ax2+bx+c的最小值为﹣4a；②若﹣1≤x2≤4，则0≤y2≤5a；③若y2＞y1，则x2＞4；④一元二次方程cx2+bx+a=0的两个根为﹣1和13其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】【分析】利用交点式写出抛物线解析式为y=ax2﹣2ax﹣3a，配成顶点式得y=a（x﹣1）2﹣4a，则可对①进行判断；计算x=4时，y= a×5×1=5a，则根据二次函数的性质可对②进行判断；利用对称性和二次函数的性质可对③进行判断；由于b=﹣2a ，c=﹣3a ，则方程cx 2+bx+a=0化为﹣3ax 2﹣2ax+a=0，然后解方程可对④进行判断．【详解】由二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过点A （﹣1，0）、点B （3，0）， 可得抛物线解析式为y=a （x+1）（x ﹣3），即y=ax 2﹣2ax ﹣3a ，∵y=a （x ﹣1）2﹣4a ，∴当x=1时，二次函数有最小值﹣4a ，所以①正确；当x=4时，y=a×5×1=5a ，∴当﹣1≤x 2≤4，则﹣4a≤y 2≤5a ，所以②错误；∵点C （1，5a ）关于直线x=1的对称点为（﹣2，﹣5a ），∴当y 2＞y 1，则x 2＞4或x ＜﹣2，所以③错误；∵b=﹣2a ，c=﹣3a ，∴方程cx 2+bx+a=0化为﹣3ax 2﹣2ax+a=0，整理得3x 2+2x ﹣1=0，解得x 1=﹣1，x 2=13，所以④正确，故选B ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法、二次函数与一元二次方程等，综合性较强，熟练掌握待定系数法以及二次函数的相关知识是解题的关键.3．已知二次函数y=﹣x 2+x+6及一次函数y=﹣x+m ，将该二次函数在x 轴上方的图象沿x 轴翻折到x 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），请你在图中画出这个新图象，当直线y=﹣x+m 与新图象有4个交点时，m 的取值范围是（ ）A ． ﹣254＜m ＜3B ． ﹣254＜m ＜2C ． ﹣2＜m ＜3D ． ﹣6＜m ＜﹣2【答案】D【解析】【分析】如图，解方程﹣x 2+x+6=0得A （﹣2，0），B （3，0），再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为y=（x+2）（x ﹣3），即y=x 2﹣x ﹣6（﹣2≤x≤3），然后求出直线•y=﹣x+m 经过点A （﹣2，0）时m 的值和当直线y=﹣x+m 与抛物线y=x 2﹣x ﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时m 的值，从而得到当直线y=﹣x+m 与新图象有4个交点时，m的取值范围．【详解】如图，当y=0时，﹣x2+x+6=0，解得x1=﹣2，x2=3，则A（﹣2，0），B（3，0），将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y=（x+2）（x﹣3），即y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），当直线y=﹣x+m经过点A（﹣2，0）时，2+m=0，解得m=﹣2；当直线y=﹣x+m与抛物线y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时，方程x2﹣x﹣6=﹣x+m有相等的实数解，解得m=﹣6，所以当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围为﹣6＜m＜﹣2，故选D．【点睛】本题考查了抛物线与几何变换，抛物线与x轴的交点等，把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解决此类问题常用的方法.4．若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( )A．(−3,−6)B．(−3,0)C．(−3,−5)D．(−3,−1)【答案】B【解析】分析：根据定弦抛物线的定义结合其对称轴，即可找出该抛物线的解析式，利用平移的“左加右减，上加下减”找出平移后新抛物线的解析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征即可找出结论．详解：∵某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，∴该定弦抛物线过点（0，0）、（2，0），∴该抛物线解析式为y=x（x-2）=x2-2x=（x-1）2-1．将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新抛物线的解析式为y=（x-1+2）2-1-3=（x+1）2-4．当x=-3时，y=（x+1）2-4=0，∴得到的新抛物线过点（-3，0）．故选：B．点睛：本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质，根据定弦抛物线的定义结合其对称轴，求出原抛物线的解析式是解题的关键．5．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（）①abc＜0；②a+c＞0；③2a+b=0；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解是x1=﹣1，x2=3⑤b2＜4acA．②③④B．①②③④C．①③④D．③④⑤【答案】B【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，结合抛物线的对称轴可确定b的符号，由抛物线与y轴的交点确定c的符号，然后根据图象经过的点的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】∵抛物线开口向下，∴a＜0，=1，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣b2a∴b=﹣2a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①正确；∵x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，∴a+c＞b＞0，所以②正确；∵b=﹣2a，∴2a+b=0，所以③正确；∵抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）和（3，0），∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解是x1=﹣1，x2=3，所以④正确；∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，所以⑤错误，故选B．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数与一元二次方程等，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.6．已知抛物线y=ax2+bx+c（0＜2a≤b）与x轴最多有一个交点．以下四个结论：①abc＞0；②该抛物线的对称轴在x=﹣1的右侧；③关于x的方程ax2+bx+c+1=0无实数根；≥2．④a+b+cb其中，正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】【分析】由a>0可知抛物线开口向上，再根据抛物线与x轴最多有一个交点可c>0，由此可判断可判断②，由ax2+bx+c≥0可判断出①，根据抛物线的对称轴公式x=﹣b2aax2+bx+c+1≥1＞0，从而可判断③，由题意可得a﹣b+c＞0，继而可得a+b+c≥2b，从而可判断④.【详解】①∵抛物线y=ax2+bx+c（0＜2a≤b）与x轴最多有一个交点，∴抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＞0，故①正确；②∵0＜2a≤b，∴b 2a ＞1， ∴﹣b 2a ＜﹣1，∴该抛物线的对称轴在x=﹣1的左侧，故②错误；③由题意可知：对于任意的x ，都有y=ax 2+bx+c≥0，∴ax 2+bx+c+1≥1＞0，即该方程无解，故③正确；④∵抛物线y=ax 2+bx+c （0＜2a≤b ）与x 轴最多有一个交点，∴当x=﹣1时，y ＞0，∴a ﹣b+c ＞0，∴a+b+c≥2b ，∵b ＞0，∴a+b+c b ≥2，故④正确，综上所述，正确的结论有3个，故选C ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与系数的关系.7．二次函数y=x 2+（a ﹣2）x+3的图象与一次函数y=x （1≤x≤2）的图象有且仅有一个交点，则实数a 的取值范围是（ ）A ． a=3±2√3B ． ﹣1≤a ＜2C ． a=3+2√3或﹣12≤a ＜2D ． a=3﹣2√3或﹣1≤a ＜﹣12【答案】D【解析】分析：根据二次函数的图象性质即可求出答案．详解：由题意可知：方程x 2+（a-2）x+3=x 在1≤x≤2上只有一个解，即x 2+（a-3）x+3=0在1≤x≤2上只有一个解，当△=0时，即（a-3）2-12=0，a=3±2√3，当a=3+2√3时，此时x=-√3，不满足题意，当a=3-2√3时，此时x=√3，满足题意，当△＞0时，令y=x 2+（a-3）x+3，令x=1，y=a+1，令x=2，y=2a+1（a+1）（2a+1）≤0解得：-1≤a≤−12，当a=-1时，此时x=1或3，满足题意；当a=-12时，此时x=2或x=32，不满足题意， 综上所述，a=3-2√3或-1≤a ＜−12.故选：D ．点睛：本题考查二次函数的综合问题，解题的关键是将问题转化为x 2+（a-3）x+3=0在1≤x≤2上只有一个解，根据二次函数的性质即可求出答案8．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a ），下列结论：①4a+2b+c ＞0；②5a ﹣b+c=0；③若方程a （x+5）（x ﹣1）=﹣1有两个根x 1和x 2，且x 1＜x 2，则﹣5＜x 1＜x 2＜1；④若方程|ax 2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有（ ）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个【答案】B【解析】【分析】根据抛物线的顶点坐标（﹣2，﹣9a ），根据顶点坐标公式可求得b=4a ，c=-5a ，从而可得抛物线的解析式为y=ax 2+4ax ﹣5a ，然后根据二次函数的性质一一判断即可．【详解】∵抛物线的开口向上，∴a>0，∵抛物线的顶点坐标（﹣2，﹣9a ），∴﹣b2a =﹣2，4ac−b24a=﹣9a，∴b=4a，c=-5a，∴抛物线的解析式为y=ax2+4ax﹣5a，∴4a+2b+c=4a+8a﹣5a=7a＞0，故①正确，5a﹣b+c=5a﹣4a﹣5a=﹣4a＜0，故②错误，∵抛物线y=ax2+4ax﹣5a交x轴于（﹣5，0），（1，0），∴若方程a（x+5）（x﹣1）=﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1，正确，故③正确，若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的和为﹣8，故④错误，故选B．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上的点的特征、抛物线与坐标轴的交点问题等知识，根据顶点坐标确定出抛物线的解析式为y=ax2+4ax﹣5a是解题的关键. 9．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①9a﹣3b+c=0；②4a﹣2b+c ＞0；③方程ax2+bx+c﹣4=0有两个相等的实数根；④方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c=0的两根是x1=﹣2，x2=2．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】【分析】根据二次函数图形的性质逐一判断即可.【详解】①由抛物线的对称性可知：与x轴交于另一点为（﹣3，0），∴9a﹣3b+c=0；故①正确；②由图象得：x=0时y>0,∴当x=﹣2时，y＞0，∴4a ﹣2b+c ＞0，故②正确；③∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），∴方程ax 2+bx+c=4有两个相等的实数根，即方程ax 2+bx+c ﹣4=0有两个相等的实数根；故③正确；④由题意得：方程ax 2+bx+c=0的两根为：x 1=﹣3，x 2=1，∴方程a （x ﹣1）2+b （x ﹣1）+c=0的两根是：x −1=−3或x ﹣1=1，∴x 1=﹣2，x 2=2，故④正确；综上得：正确结论为：①②③④，4个，故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数图像的性质并熟练运用二次函数图像解决二次函数问题是解题关键.10．已知函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象与函数y=x ﹣32的图象如图所示，则下列结论：①ab ＞0；②c ＞﹣32；③a+b+c ＜﹣12；④方程ax 2+（b ﹣1）x+c+32=0有两个不相等的实数根．其中正确的有（ ）A ． 4 个B ． 3 个C ． 2 个D ． 1 个【答案】B【解析】【分析】根据抛物线的开口方向及对称轴的位置确定a 、b 的符号，即可判定①；根据抛物线与y 轴的交点在直线y=x ﹣32与y 轴交点的上方，即可判定②；观察图象可得当x=1时，ax 2+bx +c ＜x ﹣32，即可判定③；由函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与函数y=x ﹣32的图象有两个不同的交点，即可判定④.【详解】∵抛物线开口朝上， ∴a ＞0，∵对称轴x=﹣b2a 在y 轴的右侧，∴b ＜0，∴ab ＜0，故①错误；∵抛物线与y 轴的交点在直线y=x ﹣32与y 轴交点的上方， ∴c ＞﹣32，故②正确；观察图象可得，当x=1时，ax 2+bx +c ＜x ﹣32，即a +b +c ＜﹣12；故③正确； ∵函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与函数y=x ﹣32的图象有两个不同的交点，∴ax 2+（b ﹣1）x +c +32=0有两个不相等的实数根，故④正确． 故选B ． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系及二次函数与不等式之间的关系，解决这类问题都用到数形结合的数学思想.11．已知抛物线y=14x 2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F （0，2）的距离与到x 轴的距离始终相等，如图，点M 的坐标为（√3，3），P 是抛物线y=14x 2+1上一个动点，则△PMF 周长的最小值是（ ）A ． 3B ． 4C ． 5D ． 6 【答案】C 【解析】 【详解】过点M 作ME ⊥x 轴于点E ，交抛物线y=14x 2+1于点P ，此时△PMF 周长最小值，∵F （0，2）、M （ √3，3），∴ME=3，FM=√(√3−0)2+(3−2)2=2， ∴△PMF 周长的最小值=ME+FM=3+2=5． 故选C ． 【点睛】本题求线段和的最值问题，把需要求和的线段，找到相等的线段进行转化，转化后的线段共线时为最值情况。

二次函数试题一;选择题：1、 y =（m-2）x m2-m 是关于x 的二次函数，贝U m=（）A-1B2C-1或2 Dm 不存在2、下列函数关系中，可以看作二次函数 y=ax 2+bx+c （a 工0）模型的是（） A 在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系我国人中自然增长率为 1%，这样我国总人口数随年份变化的关系 矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系 圆的周长与半径之间的关系的解析式是（B y=—(x+2) 2+2C y=—x+2) 2+25、抛物线y=1X 2-6X +242 B (— 6, 6) A (— 6,— 6) 6、 已知函数y=ax 2+bx+c,图象如图所示, ① abc 〈0 ② a + c 〈bA 1B 27、函数 y=ax 2-bx+c b a c C (a ^ 0) cA -1 C (6, 6) ③ a+b+c > 0 ④ 3 D 4 的图象过点（-1 , 0），则 a b 1 C - 2y= ax+c 与二次函数的值是（ 12y=ax_+bx+c (a * 0), 8、已知一次函数 它们在同一坐标系内的大致图象是图中的（4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=- x 2,则抛物线 A y=—(x-2) 2+22 217、抛物线y= ( k+1) x +k -9开口向下，且经过原点，则k = ----------解答题：(二次函数与三角形)391、已知：二次函数y=_x2+bx+c，其图象对称轴为直线x=1，且经过点(2,-—)•44AMC (1)求此二次函数的解析式.(2)设该图象与x轴交于B、C两点(B点在C点的左侧)，请在此二次函数x轴下方的图象上确定一点己，使厶EBC的面积最大, 并求出最大面积.2、如图，在平面直角坐标系中, 抛物线与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，与轴交于点C (0, 4),顶点为( 1, ! )•(1)求抛物线的函数表达式;(2)设抛物线的对称轴与轴交于点D,试在对称轴上找出点卩，使厶CDP为等腰三角形，请直接写岀满足条件的所有点P的坐标.(3)若点E是线段AB上的一个动点(与A、B不重合)，分别连接AC、BC,过点作EF // AC交线段BC于点F，连接CE,记厶CEF的面积为S, S是否存在最大值?若存在，求岀S的最大值及此时E点的坐标；若不存在，请说明理由.4 23、如图，一次函数y=—4x—4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y= 3X + bx+c的图象经过A、C两点，且与x轴交于点B.(1) 求抛物线的函数表达式；(2) 设抛物线的顶点为D,求四边形ABDC的面积；(3) 作直线MN平行于x轴，分别交线段AC、BC于点M、N •问在x轴上是否存在点P,使得厶PMN是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的P点的坐标；如果不存在，请说明理由.1 27(二次函数与四边形) 4、已知抛物线y =-x2_mx • 2m __ .2 2(1)试说明：无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点；⑵如图，当该抛物线的对称轴为直线x=3时，抛物线的顶点为点C,直线y=x- 1与抛物线交于A、B两点，并与它的对称轴交于点D .①抛物线上是否存在一点P使得四边形ACPD是正方形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；②平移直线CD，交直线AB于点M，交抛物线于点N，通过怎样的平移能使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形.5、如图，抛物线y= mx2- 11mx + 24m (m v 0)与x轴交于B、C两点(点B在点C的左侧)，抛物线另有一点A在第一象限内，且 / BAC=90°.(1)填空：OB = _ ▲，OC = _ ▲;(2)连接OA,将厶OAC沿x轴翻折后得△ ODC，当四边形OACD是菱形时，求此时抛物线的解析式；(3)如图2,设垂直于x轴的直线I: x= n与(2)中所求的抛物线交于点M，与CD交于点N，若直线I沿x轴方向左右平移，且交点M始终位于抛物线上A、C两点之间时，试探究：当n为何值时，四边形N的面积取得最大值，并求出这个最大值.l: x= n学习资料收集于网络，仅供参考6、如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC // AD，/ BAD=90 ° , BC与y轴相交于点M，且M是BC 的中点，A、B、D三点的坐标分别是A ( _1，0 )，B ( _1，2 )，D (3, 0).连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON.若抛物线y =ax2亠bx亠C经过点D、M、N .(1)求抛物线的解析式.(2)抛物线上是否存在点P,使得PA=PC，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.(3)设抛物线与x轴的另一个交点为E,点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q在什么位置时有|QE-QC|最大？并求出最大值.27、已知抛物线y二ax -2ax -3a (a ::: 0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点c,点D为抛物线的顶点.(1)求A、B的坐标；(2)过点D作DH丄y轴于点H，若DH=HC，求a的值和直线CD的解析式；(3)在第(2)小题的条件下，直线CD与x轴交于点E,过线段OB的中点N作NF丄x轴，并交直线CD于点F,则直线NF 上是否存在点M，使得点M到直线CD的距离等于点M到原点O的距离？若存在，求岀点M的坐标；若不存在，请说明理由.(二次函数与圆)8、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c (a^0的图象经过M (1, 0)和N (3, 0)两点，且与y轴交于D (0, 3),学习资料学习资料收集于网络，仅供参考直线I是抛物线的对称轴.1)求该抛物线的解析式.2) 若过点A (- 1 , 0)的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，求此直线的解析式.3) 点P在抛物线的对称轴上，。

九年级数学函数专题之二次函数基础提高篇(二次函数)拔高练习试卷简介:本卷只有四道选择题，每题25分，满分100分。

主要考察学生对二次函数综合知识的掌握程度。

学习建议:本讲重点考察二次函数，二次函数的综合性非常强，灵活多变，需要学生熟练掌握二次函数的基础知识，并学会灵活运用。

一、单选题(共4道，每道25分)1.（2011山东）抛物线y=（x+2）²-3可以由抛物线y=x²平移得到,则下列平移过程正确的是（）A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位2.（2011甘肃）如图所示的二次函数y=ax²+bx+c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）b²-4ac＞0；（2）c>1；（3）2a－ba+b+c<0．你认为其中错误的有（）A.2个B.3个C.4个D.1个3.（2011湖北）已知函数y=（k-3）x²+2x+1的图象与x轴有交点，则k 的取值范围是（）A.k＜4B.k&le;4C.k＜4且k≠3D.k&le;4且k≠34.（2011安徽）二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，则反比例函数与一次函数y=bx+c在同一坐标系中的大致图象是（）A.B.C.D.推荐课程：众享课程主页http://ese.xxt/curriculum/index.jsp?do=ok 东区总校：郑州市文化路与黄河路交叉口中孚大厦7楼B室电话：65335902 西区总校：郑州市陇海路与桐柏路交叉口凯旋门大厦B座405室电话：68856662希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、宁可辛苦一阵子，不要苦一辈子。

2、为成功找方法，不为失败找借口。

3、蔚蓝的天空虽然美丽，经常风云莫测的人却是起落无从。

二次函数精编测试题及参考答案(提高)一、选择题1.下列是二次函数的是（）A.y=2x-1B. y=x2-(x-1)2C.y=x(x+1)-7D.y=1 x22.若二次函数y=(k-2)x2-3x+4与x轴有两个交点,则k的取值范围是（）A.k≠2B.k≠4116C.k＜4116且k≠2 D.k＞4116且k≠23.将抛物线y=2x2-4x+1向左平移2022个单位,再向下平移2023个单位,则平移后抛物线的解析式为（）A.y=2(x-1)2-1B.y=2(x+2021)2-2024C.y=2(x-2022)2-2024D.y=2(x-2024)2+20224.关于二次函数y=3x2+1的说法中,错误的是（）A.抛物线顶点(0,1)B.当x＞1时,y随x的增大而增大C.图象经过点(1,4)D.图象的对称轴是直线x=15.如果三点P1(1,y1),P2(3,y2)和P3(4,y3)在抛物线y=-x2+6x+c的图象上,那么y1,y2与y3之间的大小关系是（）A y1<y3<y2 B.y3<y2<y1 C.y3<y1<y2 D.y1<y2<y36.根据下表中二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值,判断方程ax2+bx+c=0(a≠0a,b,c为常数)的一个解x的范围可能是（）A.6<x<6.17B.6.17<x<6.18C.6.18<x<6.19D.6.19<x<6.207.向空中抛一枚物体,第x秒时的高度为y米,且高度与时间的关系为y=ax2+bx+c(a≠0),若此物体在第6秒与第15秒时的高度相等,则下列时间中物体所在的高度最高是（）A.第6秒B.第10秒C.第14秒D.第15秒8.如图,函数y=kx 2-2x+1和y=k(x-1)(k 是常数,且k ≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ） 9.三孔桥的三个桥孔呈抛物线形,两小孔形状、大小完全相同.当水面刚好淹没小孔时,大孔水面宽度为10米,孔顶离水面1.5米;当水位下降,大孔水面宽度为14米时,单个小孔的水面宽度为4米.当大孔水面宽度为20米时,单个小孔的水面宽度为（ ）A.2√3B. 4√3C. 5√2D. 6√310.如图,在四边形DEFG 中,∠E=∠F= 90°,∠DGF=45°,DE=1,FG=3,Rt △ABC 的直角顶点C 与点G 重合,另一个顶点B(在点C 左侧)在射线FG 上,且BC=1,AC=2,将△ABC 沿GF 方向平移,点C 与点F 重合时停止.设CG 的长为x,△ABC 在平移过程中与四边形DEFG 重叠部分的面积为y,则下列图象能正确反映y 与x 函数关系的是（ ）11.对于二次函数y=12x 2-6x+21,有以下结论:①当x>5时,y 随x 的增大而增大;②当x=6时,y 有最小值3;③图象与x 轴有两个交点;④图象是由抛物线y=12x 2先向左平移6个单位长度,再向上平移3个单位长度得到的.其中结论正确的个数为（ ）A.1B.2C.3D.412.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=-1,则下列结论: ①abc<0;②(4a+c)2<(2b)2;③若(x1,y1)和(x2,y2)是抛物线上的两点,则当|x1+1|>|x2+1|时,y1<y2;④抛物线的顶点坐标为(-1,m),则关于x的方程ax2+bx+c=m-1无实数根.其中正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.4二、填空题13.二次函数y=3(x-3)2+2顶点坐标为_________.14.已知抛物线y=ax2+x+c与x轴交点的横坐标为-1,则a+c的值是_______.15.如图,在一幅长50cm,宽30cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂画,设整个挂画总面积为ycm2,金色纸边的宽为xcm,则y与x的关系式是_____________.第15题第16题第17题16.如图,有一座拱桥洞呈抛物线形状,这个桥洞的最大高度为16m,跨度为40m,现把它的示意图放在如图的平面直角坐标系中,则抛物线对应的函数关系式为________________.17.如图,把抛物线y=12x2平移得到抛物线m,抛物线m经过点A(-6,0)和原点O(0,0),它的顶点为P,它的对称轴与抛物线y=12x2交于点Q,则图中阴影部分的面积为_________.18.如图，在平面直角坐标系中,抛物线y=x2的图象如图所示,已知A点坐标为(1,1),过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1,过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2,过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3,过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4,…,依次进行下去,则点A2023的坐标是_____________.三、解答题19.已知函数y=(m2+2m)x2+mx+m+1,(1)当m为何值时,此函数是一次函数.(2)当m为何值时,此函数是二次函数.20.如图,一农户要建一矩形猪舍,猪舍的一边利用长12m的住房墙,另外三边用27m长的建筑材料围成,为了方便进出,在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门.所围成矩形猪舍的长、宽分别为多少时,猪舍的面积y最大,最大面积是多少?21.如图,已知直线y1=kx+n与抛物线y2=-x2+bx+c相交于A(4,0)和B(0,2).(1)求直线和抛物线解析式;(2)当y1>y2时,求x的取值范围;(3)若直线上方的抛物线有一点C,S△ABC=6,求点C的坐标.22.某公司计划购进一批原料加工销售,已知该原料的进价为6.2万元/吨,加工过程中原料的质量有20%的损耗,加工费m(万元)与原料的质量x(吨)之间的关系为m=50+0.2x,销售价y(万元/吨)与原料的质量x(吨)之间的关系如图所示.(1)求y与x之间的函数关系式;(2)设销售收入为P(万元),求P与x之间的函数关系式;(3)当原料的质量x为多少吨时,所获销售利润最大,最大销售利润是多少万元?23.抛物线y=-x2+bx+c经过点A(-3,0)和点C(0,3).(1)求抛物线的函数解析式,并写出顶点D的坐标;(2)若过顶点D的直线将△ACD的面积分为1:2两部分,并与x轴交于点Q,求点Q的坐标.参考答案一、选择题1-5 CCBDA 6-10 CBBCB 11-12 AC二、填空题13.（3，2）14. 115.y=4x2+160x+150016.y=−125(x−20)2+1617. 13.518.(-1012,10122)三、解答题19(1)m=-2 (2)m≠0且m≠-220.设宽为x，y=-2x2+28x,当宽为8米，长为12米时，面积最大，最大是96平方米。

二次函数专题训练〔含答案〕一、填空题1.把抛物线y1x2向左平移2个单位得抛物线，接着再向下平移3个2单位，得抛物线.2 .函数y2x2x图象的对称轴是，最大值是.3 .正方形边长为3，如果边长增加x面积就增加y，那么y与x之间的函数关系是.4.二次函数y2x28x 6，通过配方化为y a(x h)2k的形为.5.二次函数y ax2c〔c不为零〕，当x取x，x〔x≠x〕时，函数值相等，那么1212x1与x2的关系是.6.抛物线y ax2bx c当b=0时，对称轴是，当a，b同号时，对称轴在y轴侧，当a，b异号时，对称轴在y轴侧.7.抛物线y 2(x1)23开口，对称轴是，顶点坐标是.如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是.8 .假设a0，那么函数y2x2ax5图象的顶点在第象限；当x a时，函4数值随x的增大而.二次函数9.口抛物线y ax2bx c〔a≠0〕当a0时，图象的开口a0时，图象的开，顶点坐标是.y1(x h)2，开口，顶点坐标是，对称轴2是.11.二次函数y3(x)2()的图象的顶点坐标是〔1，-2〕.12.y1(x1)22，当x时，函数值随x的增大而减小.313.直线y2x1与抛物线y5x2k交点的横坐标为2，那么k=，交点坐标为.14.用配方法将二次函数y x22x化成y a(xh)2k的形式是. 315.如果二次函数yx26x m的最小值是1，那么m的值是.二、选择题：16.在抛物线y2x23x1上的点是〔〕1A.〔0，-1〕B.1,0 C.〔-1，5〕D.〔3，4〕217.直线y5x2与抛物线yx21x的交点个数是〔〕22个个个 D.互相重合的两个18.关于抛物线y ax2bx c〔a≠0〕，下面几点结论中，正确的有〔〕①当a0时，对称轴左边y随x的增大而减小，对称轴右边y随x的增大而增大，当0时，情况相反.②抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点.③只要解析式的二次项系数的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同.④一元二次方程ax2bx c 0〔a≠0〕的根，就是抛物线y ax2bx c与x轴交点的横坐标.A.①②③④B.①②③C.①②D.①19.二次函数y=(x+1)(x-3)，那么图象的对称轴是〔〕A.x=1B.x=-2C.x=3D.x=-320.如果一次函数yax b的图象如图代13-3-12中A所示，那么二次函yax2bx-3的大致图象是〔〕图代13-2-1221.假设抛物线y ax2bxc的对称轴是x 2,那么ab〔〕A.2B.11D.2422.假设函数y a1，-2〕，那么抛物线的图象经过点〔xA.质说得全对的是〔〕开口向下，对称轴在y轴右侧，图象与正半开口向下，对称轴在y轴左侧，图象与正半开口向上，对称轴在y轴左侧，图象与负半开口向下，对称轴在y轴右侧，图象与负半y ax2(a 1)x a3的性轴相交轴相交轴相交轴相交23.二次函数y x2bxc中，如果b+c=0，那么那时图象经过的点是〔〕A.(-1，-1)B.(1，1)C.(1，-1)D.〔-1，1〕224.函数y ax2与y a〔a0〕在同一直角坐标系中的大致图象是〔〕x图代13-3-1325.如图代13-3-14，抛物线y x2bx c与y轴交于A点，与x轴正半轴交于B，C两点，且BC=3，S△ABC=6，那么b的值是〔〕A.b=5B.b=-5C.b=±5D.b=4图代13-3-1426.二次函数y ax2〔a 0〕，假设要使函数值永远小于零，那么自变量x的取值范围是〔〕A．X取任何实数00或x027.抛物线y2(x3)24向左平移1个单位，向下平移两个单位后的解析式为〔〕A.y2(x4)26B.y2(x4)22C.y2(x2)22D.y3(x3)2228.二次函数y x2ykx9k2〔k0〕图象的顶点在〔〕轴的负半轴上轴的正半轴上轴的负半轴上轴的正半轴上29.四个函数：y x,y x1,y1〔x0〕，y x2〔x0〕，其中图象经过原x点的函数有〔〕个个个个30.不管x为值何，函数y ax2bx c〔a≠0〕的值永远小于0的条件是〔〕0，00,03C．a0,00,0三、解答题31.二次函数y x22ax 2b 1和y x2(a 3)x b21的图象都经过x轴上两上不同的点M，N，求a，b的值.32.二次函数y ax2bx c的图象经过点A〔2，4〕，顶点的横坐标为1，它2的图象与x轴交于两点B〔x1，0〕，C〔x2，0〕，与y轴交于点D，且x12x2213，试问：y轴上是否存在点P，使得△POB与△DOC相似〔O为坐标原点〕？假设存在，请求出过P，B两点直线的解析式，假设不存在，请说明理由.33.如图代13-3-15，抛物线与直线y=k(x-4)都经过坐标轴的正半轴上A，B两点，该抛物线的对称轴x=-21与x轴相交于点C，且∠ABC=90°，求：〔1〕直线AB的解析式；〔2〕抛物线的解析式.图代13-3-15图代13-3-1634.中图代13-3-16，抛物线y ax23x c交x轴正方向于A，B两点，交y轴正方向于C点，过A，B，C三点做⊙D，假设⊙D与y轴相切.〔1〕求a，c满足的关系；〔2〕设∠ACB=α，求tgα；〔3〕设抛物线顶点为 P，判断直线PA与⊙O的位置关系并证明.如图代13-3-17，这是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的示意图，横断面的地平线为x轴，横断面的对称轴为y轴，桥拱的DGD＇局部为一段抛物线，顶点C的高度为8米，AD和A＇D＇是两侧高为米的支柱，OA和OA＇为两个方向的汽车通行区，宽都为15米，线段CD和C＇D＇为两段对称的上桥斜坡，其坡度为1∶4.求〔1〕桥拱DGD＇所在抛物线的解析式及CC＇的长；〔2〕BE和B＇E＇为支撑斜坡的立柱，其高都为4米，相应的AB和A＇B＇为两个方向的行人及非机动车通行区，试求AB和A＇B＇的宽；〔3〕按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于米，车载大型设备的顶部与地面的距离均为7米，它能否从OA〔或OA＇〕区域平安通过？请说明理由.4图代13-3-1736.：抛物线yx 2 (m 4)x m 2与x 轴交于两点A(a,0),B(b,0)〔ab 〕.O为坐标原点，分别以OA ，OB 为直径作⊙O 和⊙O 在y 轴的哪一侧？简要说明理由，并12指出两圆的位置关系.37.如果抛物线yx 2 2(m 1)x m 1与x 轴都交于A ，B 两点，且A 点在x 轴（ 的正半轴上，B 点在x 同的负半轴上， OA 的长是a ，OB 的长是b.1〕求m 的取值范围；2〕假设a ∶b=3∶1，求m 的值，并写出此时抛物线的解析式；〔3〕 设〔2〕中的抛物线与 y 轴交于点 C ，抛物线的顶点是 M ，问：抛物线上是否存 在点P ，使△PAB 的面积等于△BCM 面积的8倍？假设存在，求出 P 点的坐标；假设不存在，请说明理由.38.：如图代13-3-18，EB 是⊙O 的直径，且EB=6，在BE 的延长线上取点 P ，使是EP 上一点，过A 作⊙O 的切线AD ，切点为D ，过D 作DF ⊥AB 于F ，过B 作AD 的垂线BH ，交AD 的延长线于H ，连结ED 和FH.图代13-3-181〕假设AE=2，求AD 的长.〔2〕当点A 在EP 上移动〔点A 不与点E 重合〕时，①是否总有ADED？试证明AH FH你的结论；②设 ED=x ，BH=y ，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.39.二次函数yx2(m24m5)x2(m24m9)的图象与x 轴的交点为2240. A ，B 〔点A 在点B 右边〕，与y 轴的交点为 C.1〕假设△ABC 为Rt △，求m 的值；2〕在△ABC 中，假设AC=BC ，求∠ACB 的正弦值；〔3〕设△ABC 的面积为 S ，求当m 为何值时，S 有最小值，并求这个最小值 .如图代13-3-19，在直角坐标系中，以AB 为直径的⊙C 交x 轴于A ，交y 轴于B ，满足OA ∶OB=4∶3，以OC 为直径作⊙D ，设⊙D 的半径为2.5图代13-3-191〕求⊙C 的圆心坐标.2〕过C 作⊙D 的切线EF 交x 轴于E ，交y 轴于F ，求直线EF 的解析式.〔3〕抛物线yax 2bx c 〔a ≠0〕的对称轴过C 点，顶点在⊙C 上，与y 轴交点为B ，求抛物线的解析式.41.直线y1x 和yx m ，二次函数yx 2pxq 图象的顶点为M.21x 与y〔1〕假设M 恰在直线yx m 的交点处，试证明：无论m 取何实数值，2二次函数yx 2 pxq 的图象与直线 y xm 总有两个不同的交点.〔2〕在〔1〕的条件下，假设直线y x m 过点D 〔0，-3〕，求二次函数yx 2pxq 的表达式，并作出其大致图象.图代13-3-20〔3〕 在〔2〕的条件下，假设二次函数 y x 2 pxq 的图象与y 轴交于点C ，与x同的左交点为A ，试在直线y1x 上求异于M 点P ，使P 在△CMA 的外接圆上.242.如图代 13-3-20，抛物线yx 2 ax b 与x 轴从左至右交于A ，B 两点，（ 与y 轴交于点C ，且∠BAC=α，∠ABC=β，tg α-tg β=2,∠ACB=90°.1〕求点C 的坐标；2〕求抛物线的解析式；3〕假设抛物线的顶点为P ，求四边形ABPC 的面积.6参 考 答 案动脑动手设每件提高x 元〔0≤x ≤10〕，即每件可获利润〔2+x 〕元，那么每天可销售〔100-10x 〕件，设每天所获利润为y 元，依题意，得y (2x)(10010x)10x 2 80x 20010(x4)2 360.∴当x=4时〔0≤x ≤10〕所获利润最大，即售出价为 14元，每天所赚得最大利润 360元.2.∵ymx 23m 4x 4，3∴当x=0时，y=4.当mx 23m 4x4 0,m0时m 1 3,m 24.33m即抛物线与y 轴的交点为〔0，4〕，与x 轴的交点为A 〔3，0〕，B4,0.3m1〕当AC=BC 时，43,m 4.3m4x 2 9 ∴y492〕当AC=AB 时，AO 3,OC4,AC 5.∴45 .33mm 112 .∴,m 231时，y1x 2 11x4；6当m666当m2时，y2x22x4.3333〕当AB=BC 时，44 2342，3m3m∴m8.77∴y8x244x4.721可求抛物线解析式为：y4x24,y1x211x4,y2x22x4或8x244x 96633y4.7213.〔1〕∵[(25)]24(226)m mm22m21(m2 1)20图代13-3-21∴不管m取何值，抛物线与x轴必有两个交点.令y=0，得x2(m25)x2m260(x2)(xm23)0，∴x12,x2m23.∴两交点中必有一个交点是A〔2，0〕.〔2〕由〔1〕得另一个交点B的坐标是〔m2+3,0〕.d m232m21，∵m2+100，∴d=m2+1.3〕①当d=10时，得m2=9.∴A〔2，0〕，B〔12，0〕.y x214x24(x7)225.该抛物线的对称轴是直线x=7，顶点为〔7，-25〕，∴AB的中点E〔7，0〕.过点P作PM⊥AB于点M，连结PE，那么PE 1AB5,PM2b2,ME2(7a)2，2∴(7a)2b252.①∵点PD在抛物线上，8∴b(a 7)2 25. ②解①②联合方程组，得 b 1 1,b 2 0.当b=0时，点P 在x 轴上，△ABP 不存在，b=0，舍去.∴b=-1.注：求b 的值还有其他思路，请读者探觅，写出解答过程.②△ABP 为锐角三角形时，那么-25≤b -1；△ ABP 为钝角三角形时，那么 b -1，且b ≠0.同步题库一、 填空题1.y1(x2)2,y1(x 2)23；2.x1,1；3.y(x3)29；4.224 8y2(x2)22；5. 互为相反数；轴，左，右；7. 下，x=-1,(-1,-3) ，x-1；8.四，增大；9.向上，向下，b ,4ac b 2 ,xb ； 10.向下，〔h,0〕，x=h ；2a4a2a1 2，-2；-1；，〔2，3〕；14.yx13；15.10.9二、选择题 28. C三、解答题解法一：依题意，设M 〔x 1，0〕，N 〔x 2，0〕，且x 1≠x 2，那么x 1，x 2为方程x 2+2ax-2b+1=0的两个实数根，∴x 1 x 22a ，x 1·x 22b1. ∵x 1，x 2又是方程x 2 (a3)xb 21 0的两个实数根，∴ x1+x 2=a-3，x 1·x 2=1-b 2.∴2a a 3,2b 1 1 b 2.解得a 1, 或a 1,b 0;b2.当a=1,b=0 时，二次函数的图象与x 轴只有一个交点，a=1，b=0舍去.当a=1；b=2时，二次函数y x 2 2x 3和yx 22x 3符合题意.∴a=1，b=2.解法二：∵二次函数yx 22ax 2b 1的图象对称轴为x a ，9二次函数 yx 2 (a 3)x b 21的图象的对称轴为 xa3，2又两个二次函数图象都经过 x 轴上两个不同的点 M ，N ，∴两个二次函数图象的对称轴为同一直线 .∴a3.a2解得a1.∴两个二次函数分别为yx 2 2x 2b1和yx 2 2xb 21.依题意，令y=0，得x 2 2x 2b 1 0，x 2 2xb 2 10.①+②得b 22b 0. 解得b 1 0,b 22.∴a 1,a 1,b 0;或2.b当a=1，b=0时，二次函数的图象与 x 轴只有一个交点，∴a=1，b=0舍去.当a=1，b=2时，二次函数为y x 22x 3和yx 2 2x3符合题意.∴a=1，b=2.32.解：∵y ax 2 bx c 的图象与x 轴交于点B 〔x 1，0〕，C 〔x 2，0〕，∴x 1 x 2b,x 1x 2c .aa又∵x 12 x 22 13即(x 1x 2)2 2x 1x 2 13，∴( b )22 c 13 .①aa又由y 的图象过点A 〔2，4〕，顶点横坐标为1，那么有4a+2b+c=42，②b 1③2a.2解由①②③组成的方程组得a=-1,b=1,c=6.10∴ y=-x 2+x+6.与x 轴交点坐标为〔-2，0〕，〔3，0〕.与y 轴交点D 坐标为〔0，6〕.设y 轴上存在点 P ，使得△POB ∽△DOC ，那么有 〔1〕 当B 〔-2，0〕，C 〔3，0〕，D 〔0，6〕时，有OB OP ,OB 2,OC 3,OD6.OCOD∴OP=4，即点P 坐标为〔0，4〕或〔0，-4〕.当P 点坐标为〔0，4〕时，可设过P ，B 两点直线的解析式为y=kx+4.有 0=-2k-4.得 k=-2.∴ y=-2x-4.或 OBOP,OB2,OD6,OC3. OD OC ∴OP=1，这时P 点坐标为〔0，1〕或〔0，-1〕.当P 点坐标为〔0，1〕时，可设过P ，B 两点直线的解析式为y=kx+1.有 0=-2k+1.得1k.2∴y1x1.2当P 点坐标为〔0，-1〕时，可设过P ，B 两点直线的解析式为y=kx-1，有0=-2k-1 ，得k 1 .2∴y1x1.22〕当B 〔3，0〕，C 〔-2，0〕，D 〔0，6〕时，同理可得y=-3x+9，或 y=3x-9， 或y1x 1，3 或y11. x 3解：〔1〕在直线y=k(x-4)中，令y=0，得x=4.∴A 点坐标为〔4，0〕. ∴ ∠ABC=90°. ∵△CBD ∽△BAO ，∴OB OA2OCOB ，即OB=OA ·OC.11又∵CO=1，OA=4，∴OB2=1×4=4.∴OB=2〔OB=-2舍去〕∴B点坐标为〔0，2〕.将点B〔0，2〕的坐标代入y=k(x-4)中，得k 1.1x 2∴直线的解析式为：y2.2〔2〕解法一：设抛物线的解析式为y a(x1)2h，函数图象过A〔4，0〕，B〔0，2〕，得25a h0,a h 2.解得a1,h25. 1212∴抛物线的解析式为：y1(x1)225. 1212解法二：设抛物线的解析式为：y ax2bx c，又设点A〔4，0〕关于x=-1的对称是D.∵CA=1+4=5，∴CD=5.∴OD=6.∴D点坐标为〔-6，0〕.将点A〔4，0〕，B〔0，2〕，D〔-6，0〕代入抛物线方程，得16a4b c0,c2,36a6b c0.解得a 1,b1,c2. 126∴抛物线的解析式为：y1x21x2.12634.解：〔1〕A，B的横坐标是方程ax23x c 0的两根，设为x1,x2〔x2x1〕，C的纵坐标是C.又∵y轴与⊙O相切，∴OA2·OB=OC.∴x1·x2=c2.又由方程ax23x c0知x1x2c，a12∴c2c，即ac=1.a〔2〕连结PD ，交x 轴于E ，直线PD 必为抛物线的对称轴，连结AD 、BD ，图代13-3-22∴AE1AB .1 2ACBADBADE.2ax ，∵0,x21∴ABx 2x 1 9 4ac5a.aAE5.2a又ED=OC=c ，∴tg AE 5 .DE23〕设∠PAB=β，∵P 点的坐标为3, 5 ，又∵a0，2a 4a∴在Rt △PAE 中，PE5.4a∴PE5tg.AE2∴tgβ=tg α.∴β=α.∴∠PAE=∠ADE.∵∠ADE+∠DAE=90°PA 和⊙D 相切.解：〔1〕设DGD ＇所在的抛物线的解析式为 y ax 2 c ，由题意得 G 〔0，8〕，D 〔15，〕.138c,解得a1 , ∴9025ac.c 8.∴DGD ＇所在的抛物线的解析式为 y1x 2 8.∵AD1且AD=5.5,90AC4∴×4=22(米).∴cc2OC 2 (OA AC) 2(1522〕=74 〔米〕.答：cc ＇的长为 74米. 〔2〕∵EB 1,BE 4，BC=16.BC 4∴∴AB=AC-BC=22-16=6〔米〕.答：AB 和A ＇B ＇的宽都是 6米.〔3〕在y1x 2 8中，当x=4时，901737y16 8 .90 45∵37 (7 0.4) 1970.4545∴该大型货车可以从 OA 〔OA ＇〕区域平安通过.解:〔1〕∵⊙O 1与⊙O 2外切于原点O ，∴A ，B 两点分别位于原点两旁，即 a0，b0.∴方程x 2 (m 4)x m 2 0的两个根a ，b 异号.ab=m+20，∴m-2.〔2〕当m-2，且m ≠-4时，四边形PO 1O 2Q 是直角梯形.根据题意，计算得S四边形POOQ1b 2〔或1a 2或1〕.1 22 2m=-4时，四边形POOQ 是矩形.1 2根据题意，计算得S四边形POOQ1b 2〔或1a 2或1〕.1 222〔3〕∵(m 4)2 4(m 2)(m2)240∴方程x 2 (m 4)x m 2 0有两个不相等的实数根.∵ m-2，∴a b m4 0,ab m 20.14∴a0，b0.∴⊙O1与⊙O2都在y轴右侧，并且两圆内切.解：〔1〕设A，B两点的坐标分别是〔x1，0〕、〔x2，0〕，∵A，B两点在原点的两侧，∴x1x20，即-〔m+1〕0，解得m-1.∵[2(m1)]24(1)(m1)4m24m84(m1)272当m-1时，0，∴m的取值范围是m-1.2〕∵a∶b=3∶1，设a=3k，b=k〔k0〕，那么x1=3k，x2=-k，∴3k k2(m1),3k(k)(m1).解得m12,m21 .143∵m x2时，x1〔不合题意，舍去〕，33∴m=2∴抛物线的解析式是y x2x3.〔3〕易求抛物线y x22x3与x轴的两个交点坐标是A〔3，0〕，B〔-1，0〕与y轴交点坐标是C〔0，3〕，顶点坐标是M〔1，4〕.设直线BM的解析式为y px q，4 p1 q,那么0p(1)q.p2,解得q 2.∴直线BM的解析式是y=2x+2.设直线BM与y轴交于N，那么N点坐标是〔0，2〕，∴SBCM SBCNSMNC111111221.设P点坐标是〔x,y〕，15∵SABP8S BCM，∴1AB y81. 2即14y8.2∴y4.∴y4.当y=4时，P点与M点重合，即P〔1，4〕，当y=-4时，-4=-x2+2x+3，解得x122.∴满足条件的P点存在.P点坐标是〔1，4〕，(122,4),(122,4).38.〔1〕解：∵AD切⊙O于D，AE=2，EB=6，∴AD2=AE·AB=2×〔2+6〕=16.∴AD=4.图代13-2-23〔2〕①无论点A在EP上怎么移动〔点A不与点E重合〕，总有证法一：连结DB，交FH于G，∵AH是⊙O的切线，∴∠HDB=∠DEB.又∵BH⊥AH，BE为直径，∴∠BDE=90°AD ED.AH FH ∴有∠DBE=90°-∠DEB=90°-∠HDB=∠DBH.在△DFB和△DHB中，DF⊥AB，∠DFB=∠DHB=90°，DB=DB，∠DBE=∠DBH，∴△DFB∽△DHB.BH=BF，∴△BHF是等腰三角形.BG⊥FH，即BD⊥FH.16∴ED∥FH，∴AD ED.AH FH图代13-3-24证法二：连结DB，∵AH是⊙O的切线，∴∠HDB=∠DEF.又∵DF⊥AB，BH⊥DH，∴∠EDF=∠DBH.以BD为直径作一个圆，那么此圆必过F，H两点，∴∠DBH=∠DFH，∴∠EDF=∠DFH.∴ED∥FH.∴AD EDAH .FH ②∵ED=x，BH=，BH=y，BE=6，BF=BH，∴EF=6y.又∵DF是Rt△BDE斜边上的高，∴∴△DFE∽△BDE，EFED，即ED2EFEB.ED EB∴x26(6y)，即y1x26.6∵点A不与点E重合，∴ED=x0.A从E向左移动，ED逐渐增大，当A和P重合时，ED最大，这时连结OD，那么OD⊥PH.∴OD∥BH.又POPE EO639,PB12，OD PO,BH ODPB4，BH PB PO ∴BF BH4,EF EB BF642，2由ED=EF·EB得x2 2 612，x0，∴x23.∴0x≤23.〔或由BH=4=y，代入y1x26中，得x23〕617故所求函数关系式为y1 x2 6〔0x ≤2 3〕.639.解：∵yx2m 4m5 x 2m24m 9(x2)[xm24m9],222∴可得A(2,0),Bm 24m 9 ,0,C0,2m 24m9 .22〔1〕∵△ABC 为直角三角形，∴OC 2OB ，AO24m9即4m24m92m，22化得(m 2)20.∴m=2.〔2〕∵AC=BC ，CO ⊥AB ，∴AO=BO ，即m 24m 9 2 .2∴OC2m 24m94.∴ACBC5.22过A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，∴ AB·OC=BC ·AD.∴8AD.58∴sin ACBAD 5 4 .AC2 55图代13-3-25〔3〕S ABC1AB CO21m 24m 9 22m 24m9222(u2)u(u1)21.∵u m 2 4m9 1 ，2 2181，即m5∴当u2时，S 有最小值，最小值为.24解：〔1〕∵OA ⊥OB ，OA ∶OB=4∶3，⊙D 的半径为2，∴⊙C 过原点，OC=4，AB=8.A 点坐标为32,0，B 点坐标为0,24.55∴⊙C 的圆心C 的坐标为 16 ,12.52〕由EF 是⊙D 切线，∴OC ⊥EF.∵ CO=CA=CB，∴∠COA=∠CAO ，∠COB=∠CBO.∴ Rt△AOB ∽Rt △OCE ∽Rt △FCO.∴OE OC ,OFOC .AB OA AB OB∴OE5,OF20.3E 点坐标为〔 5，0〕，F 点坐标为0,20，3∴切线EF 解析式为y4x 20 .3 3〔3〕①当抛物线开口向下时，由题意，得抛物线顶点坐标为16,12 4，可得5 5b16, 5,2a 5 a324ac b 2 324ab1,524.24 cc. 55∴y5x 2 x 24 .32 5②当抛物线开口向上时 ,顶点坐标为16,124，得5 519b 16,5,2a 5a 4acb 28, b8 4,4a52424c.c .5541. ∴综合上述，抛物线解析式为〔1〕证明：由y5 x 2 4x 24 .8 5y5x 2 x24或y 5x 2 4x 24.325 85y1x, 2 yxm,有1xxm ，3221∴x mxmy m .2,3 , 32 1∴交点 M()m,m332m 21m此时二次函数为yx3 3x24mx 4m 2 1m .y ，有 3 93由②③联立，消去x24m1x4m 22m0.3934m1 244m 22m39316m 2 8m116m 28m9 3 931 0.∴无论m 为何实数值，二次函数y x 2pxq 的图象与直线yxm 总有两个不同的交点.20图代13-3-26〔2〕解：∵直线y=-x+m过点D〔0，-3〕，∴-3=0+m，∴m=-3.∴M〔-2，-1〕.∴二次函数为y(x2)21x24x3(x3)(x1).图象如图代13-3-26.3〕解：由勾股定理，可知△CMA为Rt△，且∠CMA=Rt∠，∴MC为△CMA外接圆直径.∵P在y 1x上，可设Pn,1n，由MC为△CMA外接圆的直径，P在这个圆上，22∴∠CPM=Rt∠.过P分别作PN⊥y，轴于N，PQ⊥x轴于R，过M作MS⊥y轴于S，MS的延长线与PR的延长线交于点Q.由勾股定理，有222212MP QP(n2)2n1.MQ，即MP222NC2NP231n n2.CP2220.CM而MP 2CP2CM2，21n2∴(n2)21n13n220，22即52260，n n2∴5n24n120，(5n6)(n2)0.21∴n 16,n 22.5 而n 2=-2即是M 点的横坐标，与题意不合，应舍去.∴n 6，5此时1 32n.5∴P 点坐标为6 ,3.5解：〔1〕根据题意，设点A 〔x 1，0〕、点〔x 2，0〕，且C 〔0，b 〕，x 10，x 20，b0，∵x 1，x 2是方程 x 2 axb0的两根， ∴x 1 x 2a,x 1x 2b .2在Rt △ABC 中，OC ⊥AB ，∴OC=OA ·OB.∵ OA=-x∴ bb0,∴b=1，∴C 〔0，1〕.〔2〕在Rt △AOC 的Rt △BOC 中，1,OB=x 2，2=-x 1·x 2=b.OCOC 1 1 x 1x 2 a tgtgx 1x 2x 1x 22.OAOBb∴a2.∴抛物线解析式为yx 2 2x1.图代13-3-27〔3〕∵y x 2 2x1，∴顶点P 的坐标为〔1，2〕，当x 2 2x 1 0时，x12. ∴A(12,0),B(12,0).延长PC 交x 轴于点D ，过C ，P 的直线为y=x+1， ∴点D 坐标为〔-1 ，0〕. ∴S 四边形ABPC S DPB S DCA221DB y p 1AD yc221(22)21(22)1 2232(平方单位).223。

浙教版九年级上册第一章二次函数提高练习一、选择题1．抛物线 y =3(x +4)2+2 的顶点坐标是（ ）A ．(2，4)B ．(2，−4)C ．(4，2)D ．(−4，2)2．下列函数的图象中，不能通过二次函数y =5x 2的图象平移得到的是（ ）A ．y =5x 2+1B ．y =5x +2C ．y =5(x−3)2+2D ．y =5(x−1)23．抛物线 y =−3x 2+6x +2 的对称轴是（ ）A ．直线 x =2B ．直线 x =−2C ．直线 x =1D ．直线 x =−14．抛物线y =2x 2+2x +1的图像与坐标轴的交点个数是（ ）A ．无交点B ．1个C ．2个D ．3个5．若无论 x 取何值，代数式 (x +1−3m)(x−m) 的值恒为非负数，则 m 的值为（ ）A ．0B ．12C ．13D ．16．用配方法将二次函数y =x 2−8x−9化为y =a (x−ℎ)2+k 的形式为（ ）.A ．y =(x−4)2+7B ．y =(x−4)2−25C ．y =(x +4)2+7D ．y =(x +4)2−257．已知直线y =ax +b 经过第一、三、四象限，则抛物线y =a x 2+bx 可能是下列中的（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知二次函数y =−12x 2+bx 的对称轴为x =1，当m ≤x ≤n 时，y 的取值范围是2m ≤y ≤2n ．则m +n 的值为（ ）A ．−6或−2B ．14或−74C ．14D ．−29．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠ABC =60°，BC =6，点O 为AC 中点，点D 为线段AB 上的动点，连接OD ，设BD =x ，O D 2=y ，则y 与x 之间的函数关系图像大致为（ ）A．B．C．D．10．已知二次函数y=a x2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，在下列5个结论：①abc>0；②b<a+c；③4a+2b+c>0；④2c<3b；⑤a+b<m(am+b)（m≠1的实数），其中正确的结论有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题11．若y=(m−3)x m2−5m+8+2x−3是关于x的二次函数，则m的值是 ．12．二次函数y=−(x−6)2+8的最大值是 ．13．若抛物线y=x2−6x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为 ．14．二次函数y=a x2+bx+c的部分对应值列表如上：则一元二次方程：a(2x+1)2+b(2x+1)+c=−5的解为 ．x…−30135y…7−8−9−5715．如图，平面直角坐标系中，桥孔抛物线对应的二次函数关系式是y＝﹣1x2，桥下的水面宽AB为36m，当水位上涨2m时，水面宽CD为 m（结果保留根号）.16．对于一个四位自然数M，满足千位上的数字与个位上的数字之和等于百位上的数字与十位上的数字之和，那么就称这个数为“智慧数”．例如，M=5241，因为5+1=2+4，所以5241是“智慧数”则最小的“智慧数”是 ；若“智慧数”M=1000a+100b+10c+d，使二次函数y=a x2+(b+c)x+d 与x轴有且只有一个交点，且满足16≤a+b+c+d≤25，则满足条件的M的最大值为 ．三、解答题17．已知二次函数过点A(0，−2)，B(−1,0)，C(2,0)．（1）求此二次函数的解析式；（2）当x为何值时，这个二次函数取到最小值？并求出这个最小值．18．已知二次函数y=x2−4x+1．（1）将该二次函数化成y=a(x+ℎ)2+k的形式．（2）自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大？19．在平面直角坐标系中，已知抛物线y=a x2−2a2x−3(a≠0)．（1）若a=1，当−2<x<3时，求y的取值范围；（2）已知点A(2a−1，y1)，B(a，y2)，C(a+2，y3)都在该抛物线上，若(y1−y3)(y3−y2)>0，求a 的取值范围．20．若一个函数的解析式等于另两个函数解析式的和，则这个函数称为另两个函数的“生成函数”．现有关于x的两个二次函数y1，y2，且y1=a(x−m)2+4(m>0)，y1，y2的“生成函数”为：y=x2+4x+14；当x=m时，y2=15；二次函数y2的图象的顶点在y轴上．（1）求m的值；（2）求二次函数y1，y2的解析式．21．在二次函数y=x2−2tx+3(t>0)中，（1）若它的图象过点(2,1)，则t的值为多少？（2）当0≤x≤3时，y的最小值为−2，求出t的值：（3）如果A(m−2,a),B(4,b),C(m,a)都在这个二次函数的图象上，且a<b<3，求m的取值范围．22．某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中3.5≤x≤5.5，另外每天还需支付其他费用80元．销售单价x3.5 5.5（元）销售量y280120（袋）（1）请直接写出y与x之间的函数关系式；（2）如果每天获得160元的利润，销售单价为多少元？（3）设每天的利润为w元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？23．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b1与x轴交于点A，与y轴交于点B．已知抛物线y=−x2+bx+c经过A(3，0)，B(0，3)两点．（1）求此抛物线的解析式和直线AB的解析式；（2）如图①，动点E从O点出发，沿着OA方向以1个单位/秒的速度向终点A匀速运动，同时，动点F从A点出发，沿着AB方向以2个单位/秒的速度向终点B匀速运动，当E，F中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动，连接EF，设运动时间为t秒，当t为何值时，△AEF为直角三角形？（3）如图②，取一根橡皮筋，两端点分别固定在A，B处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P与A，B两点构成无数个三角形，在这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时点P的坐标；如果不存在，请简要说明理由．答案解析部分1．【答案】D2．【答案】B3．【答案】C4．【答案】B5．【答案】B6．【答案】B7．【答案】B8．【答案】D9．【答案】C10．【答案】B11．【答案】212．【答案】813．【答案】914．【答案】±115．【答案】2 316．【答案】1010；693617．【答案】（1）y=x2−x−2（2）当x=12时，y的最小值为−9418．【答案】（1）y=(x−2)2−3（2）当x>2时，y随x的增大而增大19．【答案】（1）解：当a=1时，y=x2−2x−3，抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，x=−2比x=3距离对称轴远，∴x=1时，y=1−2−3=−4为函数最小值，当x=−2时，y=4+4−3=5为函数最大值，∴当−2<x<3时，−4≤y<5；（2）解：∵对称轴为直线x=a，∴当a>0时，抛物线开口向上，函数有最小值y2，∴y3−y2>0，∵(y1−y3)(y3−y2)>0，∴y1−y3>0，即y1>y3，∴|2a−1−a|>|a+2−a|，解得a>3，当a<0时，抛物线开口向下，函数有最大值y2，∴y3−y2<0，∵(y1−y3)(y3−y2)>0，∴y1−y3<0，即y1<y3，∴|2a−1−a|>|a+2−a|，解得a<−1，∴a的取值范围是a>3或a<−1．20．【答案】（1）m=1（2）y1=−2(x−1)2+4；y2=3x2+1221．【答案】（1）t=32（2）t=5（3）3<m<4或m>622．【答案】（1）y与x之间的函数关系式为y=﹣80x+560；（2）如果每天获得160元的利润，销售单价为4元；（3）当销售单价定为5元时，每天的利润最大，最大利润是240元．23．【答案】（1）抛物线的解析式为y=−x2+2x+3，直线AB的解析式为y=−x+3（2）t=1或t=3 2（3）△ABP的面积的最大值为278，此时点P的坐标为(32,154)。

九年级数学上二次函数经典拔高题型汇总50题（后附答案详解）一、单选题（共4题；共8分）1.已知函数y1=ax2+bx+c，（a、b、c为常数），如图所示，y2=ax+b.在研究两个函数时，同学们得到结论如下，其中错误．．的一个结论为（）A. a<0,b>0,c>0B. 当x＞3时，ax+b＜0C. 当x＞2时，y1＞y2.D. ax2+bx+c=ax+b有两个不同的解2.已知二次函数y＝ax2+bx+4的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②a+b+c＝2；③b2﹣4ac＞0；④a＜12；⑤b＞1，其中正确结论有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个3.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于C点，OA=OC,则由抛物线的特征写出如下结论：①abc＞0 ② 4ac－b2＞0 ③ a－b＋c＞0 ④ac＋b＋1＝0.其中正确的个数是（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个4.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交于两点(x1,0)，(2,0)，其中0<x1<1.下列四个结论：① abc<0；② 2a−c>0；③ a+2b+4c>0；④ 4ab +ba<−4，正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（共5题；共14分）5.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+6x-8与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），与直线BC交于点N （x3，y3），若x1<x2<x3，记s=x1+x2+x3，则s的取值范围为________．6.将抛物线y＝﹣x2﹣4x（﹣4≤x≤0）沿y轴折叠后得另一条抛物线，若直线y＝x+b与这两条抛物线共有3个公共点，则b的取值范围为________.7.如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，点A在点B左侧，顶点在折线M﹣P﹣N上移动，它们的坐标分别为M（﹣1，4）、P（3，4）、N（3，1）．若在抛物线移动过程中，点A横坐标的最小值为﹣3，则﹣1﹣b+c的最小值是________．8.已知抛物线y=(x−2)(x−b)，其中b>2，该抛物线与y轴交于点A．b,0)在该抛物线上，求b的值；（1）若点(12（2）过点A作平行于x轴的直线l，记抛物线在直线l与x轴之间的部分（含端点）为图象L．点M，N在直线l上，点P，Q在图象L上，且P在抛物线对称轴的左侧．设点P的横m+1的正方形？若存在，坐标为m，是否存在以M，P，Q，N为顶点的四边形是边长为12求出点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．9.已知抛物线y=−x2+6x−5的顶点为P，对称轴l与x轴交于点A，N是PA的中点．M (m,n)在抛物线上，M关于直线l的对称点为B，M关于点N的对称点为C．当1≤m≤3时，线段BC的长随m的增大而发生的变化是：________．（“变化”是指增减情况及相应m的取值范围）三、综合题（共41题；共575分）10.在平面直角坐标系内，设二次函数y1=(x−a)2+a−1（a为常数）.（1）若函数y1的图像经过点（1,2），求函数y1的表达式；（2）若y1的图像与一次函数y2=x+b（b为常数）的图像有且仅有一个交点，求b值；.（3）已知(x0,n)（x0>0）在函数y1的图像上，当x0>2a时，求证：n>−5411.如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，且OC＝OB.（1）求此抛物线的解析式；（2）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求出此时点E 的坐标；（3）点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标.12.直线y=−3x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y=−x2+bx+c经过B，C 两点，与x轴的另一交点为A，连接AC，点P为AC上方的抛物线上一动点.（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，连接BP，交线段AC于点D，若PD:BD=5:16，求此时点P的坐标；（3）如图②，连接PC.过点P作PE//y轴，交线段AC于点E，若△PCE与△ABC相似，求出点P的横坐标及线段PE长.13.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于点A（﹣4，0）和点B（2，0），与y轴交于点C.（1）求该抛物线的表达式及点C的坐标；（2）如果点D的坐标为（﹣8，0），联结AC、DC，求∠ACD的正切值；（3）在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，当∠OCD＝∠CAP时，求点P的坐标.14.已知二次函数y＝ax2+2x+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），（1）求二次函数的表达式（2）D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求使△ADC面积最大时点D的坐标；（3）M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N，使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形？若有，请直接写出点N的坐标x2+bx+c与轴交于点A和点B，与y轴交于点C，作直线BC，点B的坐标为（6，15.如图，抛物线y＝120），点C的坐标为（0，﹣6）.（1）求抛物线的解析式并写出其对称轴；（2）D为抛物线对称轴上一点，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求D点坐标；（3）若E为y轴上且位于点C下方的一点，P为直线BC上的一点，在第四象限的抛物线上是否存在一点Q.使以C，E，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出Q点的横坐标；若不存在，请说明理由.16.已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−(x−m)2+4与y轴交于点B，与x轴交于点C、D （点C在点D左侧），顶点A在第一象限，异于顶点A的点P(1,n)在该抛物线上．（1）如果点P与点C重合，求线段AP的长；（2）如果抛物线经过原点，点Q是抛物线上一点，tan∠OPQ=3，求点Q的坐标；（3）如果直线PB与x轴的负半轴相交，求m的取值范围．17.已知二次函数y=ax2−2ax+a+4(a<0)的大致图像如图所示，这个函数图像的顶点为点D．（1）求该函数图像的开口方向、对称轴及点D的坐标；（2）设该函数图像与y轴正半轴交于点C，与x轴正半轴交于点B，图像的对称轴与x轴交于点A，如果DC⊥BC，tan∠DBC=1，求该二次函数的解析式；3（3）在（2）的条件下，设点M在第一象限该函数的图像上，且点M的横坐标为t(t>1)，如果ΔACM的面积是25，求点M的坐标．818.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像经过点A（2，4）、B（5，0）和O（0，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）联结AO，过点B作BC⊥AO于点C，与该二次函数图像的对称轴交于点P，联结AP，求∠BAP的余切值；（3）在（2）的条件下，点M在经过点A且与x轴垂直的直线上，当△AMO与△ABP相似时，求点M的坐标．19.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(−2,0)，B(8,0)两点，与y 轴交于点C，且OC=2OA，抛物线的对称轴与x轴交于点D.（1）求抛物线的解析式；（2）点P是第一象限内抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，设点P点的横坐标为m，且S△CDP=11S△ABC，求m的值；2020.如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点A（6，0），点B（0，6），△ABO的中线AC与y轴交于点C，且⊙M经过O，A，C三点.（1）圆心M的坐标为________；（2）抛物线经过点B，且以圆心M为顶点，求抛物线的解析式；（3）若直线AD与⊙M相切于点A，交y轴于点D，求直线AD的函数表达式；（4）若（2）中的抛物线上有一动点P，过点P作PE∥y轴，交（3）中的直线AD于点E.若以PE为半径的⊙P与直线AD相交于另一点F.求EF的最小值.21.如图，抛物线y=−x2+bx+c经过x轴上A(−1,0)，B(3,0)两点，且与y轴交于点C，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，点D是其顶点，连接BD.（1）求该抛物线的函数表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△BCQ是以BC为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.22.女生排球考试要求：垫球后，球在运动中离地面的最大高度至少为2米.某次模拟测试中，某女生在O 处将球垫偏，之后又在A，B两处先后垫球，球沿抛物线C1→ C2→ C3运动（假设抛物线C1，C2，C3在同一平面内），最终正好在O处垫住，O处离地面的距离为1米.如图所示，以O为坐标原点1米为单位长度建立直角坐标系，x轴平行于地面水平直线m，已知点A（32，38），点B的横坐标为- 32，抛物线C1和C3的表达式分别为y = ax2- 2ax 和y = 2ax2 + bx （a≠ 0）.（1）求抛物线C1的函数表达式.（2）第一次垫球后，球在运动中离地面的最大高度是否达到要求？请说明理由.（3）为了使第三次垫球后，球在运动中离地面的最大高度达到要求，该女生第三次垫球处B 离地面的高度至少为多少米？23.王大伯有一条渔船用于捕鱼和捕蟹作业，一年共安排20次出海作业，其中x次捕鱼，t次捕蟹(x，t 均为正整数，且x+t=20).每次捕鱼的平均收入y(单位:万元)与捕鱼次数x的关系为y={ x+4,1≤x≤10−12x+19,10<x≤19 ，每次捕蟹的平均收入p(单位:万元)与捕蟹次数t的关系如图所示.（1）求p关于t的函数解析式.（2）设王大伯捕鱼和捕蟹的年总收入为W(单位:万元)①若x=8，W的值为________;②求W关于x的函数解析式.________（3）王大伯一年的收入能否超过216万元? 若能，请写出如何安排捕鱼和捕蟹次数；若不能，请说明理由.24.如图，抛物线y=ax2+4ax+c与x轴负半轴交于点A(−6,0)，与x轴正半轴交于点B，与y 轴交于点C(0,−2√3)，直线l与x轴交于点B，与y轴交于点D，点D为点C关于x轴的对称点.（1）求抛物线的函数表达式及抛物线顶点坐标；（2）直线以每秒2个单位的速度沿x轴的负方向平移，平移t（t>0）秒后，直线l与x轴交于点E，与y轴交于点F，点B关于直线l的对称点为B′.①请直接写出点E的横坐标为________（用含字母t的代数式表示）②当点B′落在抛物线上时，请直接写出此时t为________秒，点B′的坐标为________；③点G是第二象限内一点，当四边形EGAB′为矩形时，过抛物线顶点的一条直线将这个矩形分成面积相等的两部分，请直接写出此时t为________秒，这条过抛物线顶点的直线表达式为________.25.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点坐标是(2,1)，并且经过点(4,2)，直线y=12x+1与抛物线交于B，D两点，以BD为直径作圆，圆心为点C，圆C与直线m交于对称轴右侧的点M(t,1)，直线m上每一点的纵坐标都等于1.（1）求抛物线的解析式；（2）证明：圆C与x轴相切；（3）过点B作BE⊥m，垂足为E，再过点D作DF⊥m，垂足为F，求MF的值.（或者求BEMF的值）26.如图，直线y=−12x+c与x轴交于点A(−3,0)，与y轴交于点C，拋物线y=12x2+bx+c经过点A，C，与x轴的另一个交点为B(1,0)，连接BC.（1）求抛物线的函数解析式.（2）M为x轴的下方的拋物线上一动点，求△ABM的面积的最大值.（3）P为抛物线上一动点，Q为x轴上一动点，当以B，C，Q，P为顶点的四边形为平行四边形时，求点P的坐标.27.如图，已知抛物线y=ax2+bx+3经过A(−3,0)，B(1,0)两点，其顶点为D，对称轴是直线l，l 与x轴交于点H.（1）求该抛物线的解析式；（2）求△DBC的周长；（3）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值.28.如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C.（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.29.如图，抛物线y=x2+bx+c经过A（－3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，P为y轴上的动点，连接AP，以AP为对角线作正方形AMPN.（1）求抛物线的解析式；（2）当正方形AMPN与△AOP面积之比为5∶2时，求点P的坐标；（3）当正方形AMPN有两个顶点在抛物线上时，直接写出点P的坐标.30.如图，已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和点B(−3,0)，与y轴交于点C.（平面直角坐标系内两点间距离公式：点(x1,y1)与点(x2,y2)的距离为√(x1−x2)2+(y1−y2)2.）（1）求抛物线的解析式；（2）若−2≤x≤0时，画出函数图像，并根据图像直接写出函数的最大值与最小值；（3）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求当四边形BOCE面积取最大值时，求E点的坐标.31.如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y＝x+m的图象与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点坐标为（3，4），B点在y轴上.（1）求m的值及这个二次函数的解析式；（2）若P是线段AB下方抛物线上一动点，当△ABP面积最大时，求P点坐标以及△ABP面积最大值；（3）若D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，Q为线段AB之间的一个动点，过Q作x轴的垂线，与这个二次函数图象交于点E，问是否存在这样的点Q，使得四边形DCEQ为平行四边形，若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.32.如图直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=−x2+6x+3交y轴于点A，过A作AB//x轴，交抛物线于点B，连结OB.点P为抛物线上AB上方的一个点，连结PA，作PQ⊥AB垂足为H，交OB于点Q.（1）求AB的长；（2）当∠APQ=∠B时，求点P的坐标；（3）当△APH面积是四边形AOQH面积的2倍时，求点p的坐标.33.矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，AC两点的坐标分别为A(6,0),C(0,3)，直线y=−34x+92与BC边相交于点D．（1）求点D的坐标；（2）若上抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过A,D两点，试确定此抛物线的解析式；（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线AD交点M，点P为对称轴上一动点，以P、A、M为顶点的三角形与ΔABD相似，求符合条件的所有点P的坐标．34.在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：y=12x2−32x−2的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P．（1）若抛物线L2经过点（2，﹣12），求L2对应的函数表达式；（2）当BP﹣CP的值最大时，求点P的坐标；（3）设点Q是抛物线L1上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若△DPQ与△ABC相似，求其“共根抛物线”L2的顶点P的坐标．35.二次函数y＝x2﹣4mx+5（m为常数）．（1）当m＝1时，①直接写出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标．②若点（b，5）在这个抛物线上，求出b的值．③当0≤x≤3时，求这个二次函数的最大值和最小值．（2）过点C（0，2）作直线l⊥y轴．①当直线l与抛物线有一个公共点时，求m的值．②当x≥m时，抛物线y＝x2﹣4mx+5（m为常数）的最低点到直线l的距离为1，请直接写出m的值．36.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），连结0A，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．（注意：本题中的结果如果有根号均保留根号）37.已知抛物线y=mx2−2mx+n经过点(−1,2)，且直线y=kx−1（k≠0）过抛物线的顶点P．（1）求k与m之间的函数关系式；（2）求证：直线与抛物线有两个交点；（3）直线与抛物线的另一个交点记为Q，当m>0时，求点Q纵坐标的最小值．38.在平面直角坐标系xOy中，有抛物线y=x2−2mx+m2（m≥0）．（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；（2）过点A（0，1）作y轴的垂线l，点B在直线l上且横坐标是2m＋1①若m的值等于1，求抛物线与线段AB的交点个数；②若抛物线与线段AB只有一个公共点，直接写出m的取值范围．x+ √3与x轴交于点A，与y轴交于点C，以AC为直径作⊙M，点D是劣弧AO上39.如图，直线y= √33x²+bx+c经过点A、C，与x轴交于另一点B，一动点（D点与A，C不重合）．抛物线y=－√33（1）求抛物线的解析式及点B的坐标；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，是︱PA—PC︱的值最大；若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）连CD交AO于点F，延长CD至G，使FG=2，试探究当点D运动到何处时，直线GA与⊙M相切，并请说明理由．40.已知二次函数y=−x2+bx+c（其中b，c是常数）（1）已知函数过点(2,3)，求出b和c满足的关系式；（2）若c=1−b，求证：不论b为何值，该函数图象与x轴一定有交点；（3）四位同学在研究此函数时，甲发现当x=0时，y=5；乙发现函数的最大值是9；丙发现函数图象的对称轴是x=2；丁发现x=4是方程−x2+bx+c=0的一个根.已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，请直接写岀错误的那个同学是谁，并根据另三位同学的表述求出此函数表达式. 41.如图，抛物线C1:y=ax2−3x+c与x轴交于A、B，与y轴交于C(0,4)，其顶点D的横坐标为3.（1）求抛物线C1的表达式；（2）将抛物线C1向上平移2个单位长度，得到抛物线C2，且C2的顶点为F，交y轴于N，则在抛物线C2上是否存在点M，使S△MNC=2S△MFD？若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由.42.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2−kx−2k（k为常数）的顶点为N.（1）如图，若此抛物线过点A(3,−1)，求抛物线的函数表达式；（2）在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B，①求∠ABO的度数________；②连接AB，点P为线段AB上不与点A，B重合的一个动点，过点P作CD//x轴交抛物线在第四象限部分于点C，交y轴于点D，连接PN，当△BPN∼△BNA时，线段CD的长为________.（3）无论k取何值，抛物线都过定点H，点M的坐标为(2,0)，当∠MHN=90°时，请直接写出k 的值.43.如图，一次函数y=−12x+2分别交y轴、x轴于A,B两点，抛物线y=−x2+bx+c过A,B 两点（1）求抛物线的解析式；（2）作直线x=t垂直于x轴，在第一象限交直线AB于点M，交抛物线于点N，交x轴于点E(t,0).求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的情况下，以A,M,N,D为顶点作平行四边形，请直接写出第四个顶点D的坐标.44.如图，已知抛物线y= a x2+bx+2经过B(2，0)、C（6，0) 二点，与直线y= 23x+2交于A、D两点，且点A为直线y= 23x+2和抛物线y= a x2+bx+2与y轴的交点，点G为直线y= 23x+2与x轴的交点.（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）点M是抛物线上位于直线AD下方上的一个动点，当点M运动到什么位置时△MDA的面积最大？最大值是多少？（3）在x轴上是否存在点P，使以A、P、D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；45.如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=a(x-h) 2-4(a≠0）与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为(-3，0).（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC.求点P的坐标；（3）设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值.x2−2x−2的顶点为A，直线y=−x−2与y轴相交于点46.在平面直角坐标系中，抛物线y=−12B，点C是抛物线对称轴上的一点.（1）求A，B的坐标；（2）点D在抛物线上，若以C.D.A为顶点的三角形与△AOB全等，求点D的坐标；（3）点D在平面上，是否存在点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出它的坐标；若不存在，说明理由.47.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为C(3，6)，与y轴交于点B(0，3)，点A是对称轴与x轴的交点.（1）求抛物线的解析式；（2）如图①所示，直线AB交抛物线于点E，连接BC、CE，求△BCE的面积；（3）如图②所示，在对称轴AC的右侧作∠ACD＝30°交抛物线于点D，求出D点的坐标；并探究：在y 轴上是否存在点Q，使∠CQD＝60°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由.48.如图，已知抛物线y＝a x2＋bx－3（a ≠0）的对称轴为直线x＝1，交x轴于D，且抛物线交x轴于A(－1，0)，B两点，与y轴交于点C（1）求抛物线的表达式（2）设点P为第四象限抛物线上的一个动点，求使ΔCPB面积最大的点P的坐标（3）点Q是对称轴x＝1上的一点，是否存在点Q，使得ΔDCQ是等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由49.综合与探究如图，二次函数y=ax2+bx+3与x轴相交于点A(−2,0)和点B(4,0)，与y轴相交于点C；连接BC，点P为BC上方抛物线上的一个动点，过点P作PE⊥BC于点E．（1）求抛物线的表达式（2）设点P的横坐标为m(0<m<4)，试用含m的代数式表示线段PE的长；并求出PE长度的最大值．（3）连接AC，点M是x轴上的一个动点，点N是平面内任意一点；是否存在这样的点M、N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．50.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2−4x+3与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C，其顶点为点D，点E的坐标为（0，3），该抛物线与BE交于另2一点F，连接BC．（1）求点A，B，C的坐标；（2）动点M从点D出发，沿抛物线对称轴方向向下以每秒1个单位的速度运动，运动时间为t，连接OM，BM，当t为何值时，△OMB为等腰三角形？（3）在x轴下方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PBF被BA平分？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．答案解析部分一、单选题1.【答案】C2.【答案】B3.【答案】B4.【答案】C二、填空题5.【答案】10<s< 2126.【答案】0<b<947.【答案】-158.【答案】（1）解：把点(12b,0)代入y=(x−2)(x−b)，得(12b−2)(12b−b)=0，解得b1=0，b2=4．因为b>2，所以b=4（2）解：如图解法一：解：当x=0时，y=(0−2)(0−b)=2b．所以点A坐标为(0,2b)．在正方形PQNM中，PQ//MN//x轴，PM//QN//y轴．可设点M坐标为(m,2b)．又因为正方形PQNM边长为12m+1，即MP=PQ=12m+1，所以点P的坐标为(m,2b−12m−1)，且0≤m≤2，x Q=m+12m+1．因为抛物线的对称轴为x=b+22，所以x Q=b+2−m．所以b+2−m=m+12m+1．所以b=52m−1．所以点P的坐标为(m,92m−3)．因为点P在抛物线上，把(m,92m−3)代入y=(x−2)(x−b)，得(m−2)(m−52m+1)=92m−3．解得m1=23，m2=−1．因为0≤m≤2，所以m1=23．当m=23时，b=52m−1=52×23−1=23<2．所以不存在边长为12m+1的正方形PQNM．解法二：解：当x=0时，y=(0−2)(0−b)=2b，所以点A坐标为(0,2b)．在正方形PQNM中，PQ//MN//x轴，PM//QN//y轴．可设点M坐标为(m,2b)．又因为正方形PQNM边长为12m+1，即MP=PQ=12m+1，所以点P的坐标为(m,2b−12m−1)，且0≤m≤2，x Q=m+12m+1．因为抛物线的对称轴为x=b+22，所以x Q=b+2−m．所以b+2−m=m+12m+1．所以m=25b+25．所以点P的坐标为(25b+25,95b−65)．因为点P在抛物线上，把点P的坐标代入y=(x−2)(x−b)，得(2 5b+25−2)(25b+25−b)=95b−65．解得b1=23<2，b2=−72<2．所以不存在边长为 12m +1 的正方形 PQNM ．同理，当M 、N 两点的位置互换后，也不存在边长为 12m +1 的正方形．【分析】9.【答案】 当 1≤m <3−√2 时， BC 的长随 m 的增大而减小；当 3−√2<m ≤3 时， BC 的长随 m 的增大而增大．三、综合题10.【答案】 （1）解：将（1,2）代入 y 1=(x −a)2+a −1 ，得到 (1−a)2+a −1=2 ，解得 a 1=−1,a 2=2∴ y 1=(x +1)2−2 或 y 1=(x −2)2+1（2）解：①∵ y 1 的图像与一次函数 y 2=x +b （ b 为常数 ）的图像有且仅有一个交点 ∴ (x −a)2+a −1=x +b 有两个相等的实数根，即 x 2−(2a +1)x +a 2+a −b −1=0 有两个相等的实数根，∴ Δ=(2a +1)2−4(a 2+a −b −1)=0∴ 4b +5=0 ，解得 b =−54 （3）（ x 0>0 ）在函数 y 1 的图像上，当 x 0>2a 时，求证：n >−54 .（3）解：∵ x 0>2a ，∴ x 0+02>a结合函数图像，可得 |a −0|<|a −x 0|∴ y x=0<y x=x 0 ，即 n >a 2+a −1∴ n >(a +12)2−54∵(a +12)2−54≥−54 ，∴ n >(a +12)2−54≥−54 ，即 n >−5411.【答案】 （1）解：∵抛物线y=ax 2 +bx+c ( a≠0 )与x 轴交于点A(1 ,0)和点B( -3,0) , ∵OB=3，∴OC=OB=3 ,∴c=3，{9a −3b +3=0a +b +3=0 ) ，解得：{a =−1b =−2),∴所求抛物线解析式为: y=-x 2-2x+3 ;（2）解：如图2，过点E 作EF ⊥x 轴于点F ,设E(a, -a 2-2a+3 ) ( -3<a<0)，∴EF=-a 2-2a+3 , BF=a+3 , OF=-a ,∴S 四边形BOCE = 12BF·EF+12(OC+EF )OF=12(a+3)(-a 2-2a+3)+12(-a 2 -2a+6)(-a)=-32a 2-92a+92=-32(a+32)2+638,∴当a=-32时，S 四边形BOCE 最大，且最大值为638 ，此时，点E 的坐标为（-32 ， 154）；（3）解：∵抛物线y=-x 2 - 2x+3的对称轴为x=-1，点P 在抛物线的对称轴上， 设P(-1,m)，∵线段PA 绕点P 逆时针旋转90°后点A 的对应点A 恰好也落在此抛物线上，如图3，∴PA=PA 1 ， ∠APA'=90°，①当m≥0时，如图3，过A 作A 1N1对称轴于N ，设对称轴与x 轴交于点M ，∴∠NPA 1+∠MPA=∠NA 1P+∠NPA 1=90°，∴∠NA 1P=∠MPA ，在△A 1NP 与△APM 中,{∠A 1NP = ∠AMP =90°∠NA 1P =∠MPAPA 1=AP )∴△A 1NP ≌△PMA ，∴A 1N=PM=m ，PN=AM=2，∴A 1(m-1，m+2)，代入y=-x 2-2x+3得: m+2=-(m-1)2-2(m-1)+3，解得：m=1，m=-2（舍）,②当m<0时，要使P 2A=P 2A 2 ， 由图可知，A 2点与点B 重合，∵∠AP 2A 2=90°，∴MP 2=MA=2，∴P 2（-1,-2），∴P(-1,1)，(-1，-2) .12.【答案】 （1）解：直线 y =−3x +3 与 x 轴交于点 B ，与 y 轴交于点 C ， 令 x =0 ，则 y =3 ；令 y =0 ，则 x =1 ，∴ B （1,0），C （0,3）∵ 抛物线 y =−x 2+bx +c 经过 B ， C 两点，将B 、C 的坐标代入解析式可得{−1+b +c =0c =3解得 {b =−2c =3∴ 抛物线解析式为： y =−x 2−2x +3 ；（2）解：令抛物线 y =−x 2−2x +3=0 ，可得 x =1 或 x =−3 ∴ A （-3,0）∵ C （0,3）∴ 设直线AC 的解析式为： y =kx +b 1将A （-3,0），C （0,3）代入直线 y =kx +b 1 ，得{−3k +b 1=0b 1=3解得： {k =1b 1=3∴ 直线AC 的解析式为： y =x +3设P 点坐标为（ m , −m 2−2m +3 ）设直线BP 的解析式为： y =ax +n将B （1,0），P （ m , −m 2−2m +3 ）代入解析式 y =ax +n 中，得{a +n =0am +n =−m 2−2m +3解得： {a =−m −3n =m +3∴ 直线BP 的解析式为： y =−(m +3)x +m +3联立直线BP 与直线AC{y =−(m +3)x +m +3y =x +3解得 x =m m+4如图过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，作DG ⊥x 轴于点G∵DG//PH∴∠BDG =∠BPH ， ∠BGD =∠BHP =90°又 ∵∠DBG =∠PBH∴△BDG ∼△BPH∵ PD ：BD=5:16∴ BG ：BH=16:21∵ BG= x B −x D =1−m m+4 ，BH= x B −x P =1−m∴1−m m+41−m =1621解得： m =−12 或 m =−52 ，经检验， m =−12 ， m =−52 都是方程的根，∴ 当 m =−12 时， −m 2−2m +3=154 ； 当 m =−52 时， −m 2−2m +3=74故点P 的坐标为（ −12 ，154 ），（ −52 ， 74 ）；（3）解：设P 点坐标为 (a,−a 2−2a +3)∴E(a,a +3)∴PE =−a 2−2a +3−(a +3)=−a 2−3a ， AC =√AO 2+OC 2=√32+32=3√2 , EC =√2(3−a −3)=−a √2 ,∵PE//y 轴∴∠PEC =∠ACO又 ∵OA =OA =3，OC ⊥OA ,∴∠CAB =∠ACO =45°∴∠PEC =∠CAB①当 △ABC ∼△EPC 时AC EC =AB EP即 √2−a √2=4−a 2−2a+3−a−3解得： a =−53 或 a =0经检验 a =0 不是方程的根，应舍去，∴PE =−a 2−3a =209 ；②当 △ABC ∼△ECP 时ABEC =ACEP即 −a 2=3√2−a 2−2a+3−a−3解得： a =−32 或 a =0经检验 a =0 不是方程的根，应舍去，∴PE =−a 2−3a =9413.【答案】 （1）解：将点A(-4，0)和点B(2，0)代入抛物线y=ax 2+bx-4可得 {16a −4b −4=04a +2b −4=0解得:a= 12 ，b=1∴抛物线的解析式为 y =12x 2+x −4当x=0时，y=-4，∴C(0，-4)（2）解：如图1,过D 作DE ⊥AC 交CA 延长线于E,∵C(0，-4)，点A(-4，0),∴OA=OC=4,∴AC= 4√2∵∠EAD=∠OAC,∠DEA=∠COA∴△EAD∼△OAC∴DECO=EAOA=DACA=44√2∴DE4=EA4=4√2∴DE=2√2,EA=2√2∴EC=6√2∴tan∠ACD=DEEC=√26√2=13（3）解：如图2，过点P作PF上x轴于F，设P(t, 12t2+t-4)∴∠OCD=∠CAP ,∴∠OCA+∠ACD=∠CAB＋∠BAP∴45°+∠ACD=45°十∠BAP ,∴∠ACD=∠BAP∴tan∠BAP=tan∠ACD= 13,∴tan ∠BAP =PF AF =12t 2+t −4t +4=13∴t =83 或t=-4（舍去）∴P(83,209) 14.【答案】 （1）解：把B （1，0），C （0，﹣3）代入y ＝ax 2+2x+c 则有 {c =−3a +2+c =0， 解得 {a =1c =−3， ∴二次函数的解析式为y ＝x 2+2x ﹣3（2）解：如图1中连接AD ，CD.∵△DAC 的面积最大，设直线AC 解析式为：y ＝kx+b ，∵A （﹣3，0），C （0，﹣3），∴ {b =−3−3k +b =0 ， 解得， {k =−1b =−3，∴直线AC 的解析式为y ＝﹣x ﹣3， 过点D 作x 轴的垂线交AC 于点G ，设点D 的坐标为（x ，x 2+2x ﹣3），则G （x ，﹣x ﹣3），∵点D 在第三象限，∴DG ＝﹣x ﹣3﹣（x 2+2x ﹣3）＝﹣x ﹣3﹣x 2﹣2x+3＝﹣x 2﹣3x ，∴S △ACD ＝ 12 •DG•OA ＝ 12 （﹣x 2﹣3x ）×3＝﹣ 32 x 2﹣ 92 x ＝﹣ 32 （x+ 32 ）2+ 278 ， ∴当x ＝﹣ 32 时，S 最大＝278 ，点D （﹣ 32 ，﹣ 154 ）（3）解：满足条件的点N 的坐标为（﹣2，﹣3）或（0，﹣3）或（2，5）15.【答案】 （1）解：将点B 、C 的坐标代入二次函数表达式得： {12×36+6b +c =0c =−6，解得： {b =−2c =−6， 故抛物线的表达式为：y ＝ 12 x 2﹣2x ﹣6，令y ＝0，则x ＝﹣2或6，则点A （﹣2，0），则函数的对称轴x ＝2；（2）解：①当∠BCD ＝90°时，将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式得：直线BC 的表达式为：y ＝x ﹣6，则直线CD的表达式为：y＝﹣x﹣6，当x＝2时，y＝﹣8，故点D（2，﹣8）；②当∠DBC＝90°时，同理可得点D（2，4），故点D（2，﹣8）或（2，4）；（3）解：①当CE为菱形的一条边时，则PQ∥CE，设点P（m，m﹣6），则点Q（m，n），m2﹣2m﹣6…①，则n＝12由题意得：CP＝PQ，即√2m＝m﹣6﹣n…②，联立①②并解得：m＝6﹣2 √2，n＝4﹣8 √2，则点Q（6﹣2 √2，4﹣8 √2）；②当CE为菱形的对角线时，则PQ⊥CE，即PQ∥x轴，设点P（m，m﹣6），则点Q（s，m﹣6），s2﹣2s﹣6…③，其中m﹣6＝12则PC＝﹣√2m，CQ2＝s2+m2，由题意得：CQ＝CP，即：（﹣√2m）2＝s2+m2…④，联立③④并解得：m＝6或﹣2（舍去6），故点（2，﹣8）；综上，点Q（6﹣2 √2，4﹣8 √2）或（2，﹣8）.16.【答案】（1）解：如图1，∵抛物线与x轴相交于C点，∴−(x−m)2+4=0，(x−m)2=4，x−m=±2，x=m±2，∵C点在D点的左侧，∴C（m-2，0），又∵点P与点C重合，P(1,n)，∴ m-2=1，m=3，∴y=−(x−3)2+4，∴A（3，4），P（1，0），∴AP=√22+42=2√5；（2）解：如果抛物线经过原点，将（0，0）代入，得−m2+4=0，m=±2，∵顶点A在第一象限，∴m=2，∴y=−(x−2)2+4= −x2+4x，当x=1时，y=3，∴P（1，3），如图2，连接OP，PQ，作OE⊥PQ于E点，PF⊥x轴于F点，∵ tan ∠OPQ =3 ， tan ∠POF =PF OF =3 ，∴∠OPQ =∠POF ，设PQ 延长线与x 轴交于点G （x ，0），又 ∵ OG=PG ， ∴ x =√(x −1)2+32 ，解得x=5，检验：把x=5代入原方程，左边=右边，所以x=5为方程的解，∴ G （5,0），设直线PG 的解析式为：y=kx+b ，∴ 将P ，G 两点坐标代入得 {5k +b =0k +b =3 ，求得 {k =−34b =154 ， ∴ PG 所在直线的解析式为 y =−34x +154 ，联立直线PG 和抛物线解析式可得 {y =−x 2+4x y =−34x +154， 解得 {x =1y =3 或 {x =154y =1516， ∴ Q (154，1516) ；（3）解：如图3， ∵ 点 P(1,n) 在该抛物线上，代入 y =−(x −m)2+4 中，∴ n =−(1−m)2+4=−m 2+2m +3 ， ∴ P(1，−m 2+2m +3) ，又 ∵ 抛物线与y 轴交于点B ， ∴ B （0， −m 2+4 ），设直线BP 的解析式为：y=kx+b ，代入B 、P 两点， {k +b =−m 2+2m +3b =−m 2+4， 则 {k =2m −1b =−m 2+4，直线BP 的解析式为： y =(2m −1)x −m 2+4 ， 令y=0， x =m 2−42m−1=(m+2)(m−2)2m−1 ，∵ 直线 PB 与x 轴的负半轴相交，∴ (m+2)(m−2)2m−1<0 ， {(m +2)(m −2)>02m −1<0 或 {(m +2)(m −2)<02m −1>0， 解得m<-2或 12 <m<2，又 ∵ 顶点A 在第一象限， ∴ m>0,∵ 点A 与点P 不重合， ∴ m ≠1 ，综上所述， 12<m <2 且 m ≠1 ．17.【答案】 （1）解：∵ a <0 ，∴抛物线开口向下，根据对称轴公式可得： x =−2a −2a =1 ，当 x =1 时， y =4 ，则顶点 D(1,4) ，∴抛物线开口向下，对称轴为直线 x =1 ，顶点 D(1,4)（2）解：如图所示，作DE ⊥y 轴，由（1）可知顶点D(1,4)，则OA=ED=1，∵DC⊥BC，∴∠DCE+∠BCO=90°，又∵∠DCE+∠CDE=90°，∴∠CDE=∠BCO，∴△CDE∽△BCO，∴EDOC =CDBC，∵tan∠DBC=13，∴CDBC =13当x=0时，y=a+4，即点C的坐标为(0,a+4)∴OC=a+4，则：1a+4=13，解得：a=−1，经检验a=-1是方程的解，∴抛物线的解析式为：y=−x2+2x+3；（3）解：在（2）的条件下，如图所示，连接MC，M的坐标为(t,−t2+2t+3)，此时设直线CM的解析式为：y=kx+b，将C ，M 的坐标代入得：{b =3tk +b =−t 2+2t +3 ，解得： {k =−t +2b =3， 即：直线CM 的解析式为： y =(−t +2)x +3 ，设直线CM 与对称轴交于P 点，则P 的坐标为 (1,−t +5) ， AP =−t +5 ，∴ S △AMC =12AP ·(x M ̅̅̅̅−x C ̅̅̅)=12t(−t +5)=258 ，解得： t =52 ，将 t =52 代入抛物线解析式得： y =74 ，∴点M 的坐标为 (52,74) ． 18.【答案】 （1）解：由题意设： y =ax(x −5),把 A(2，4) 代入 y =ax(x −5),∴2a ×(2−5)=4,∴−6a =4,∴a =−23,∴ 抛物线为： y =−23x(x −5)=−23x 2+103x（2）解：由抛物线： y =−23x 2+103x,∴ 抛物线的对称轴方程为： x =−b 2a =−1032×(−23)=52,∵A(2，4)，O(0，0)，B(5，0)，∴AO =√22+42=2√5，AB =√(5−2)2+(0−4)2=5，BO =5，∴BA =BO, BC ⊥AO,∴ C 为 AO 的中点，∴C(1，2)， AC =CO =√5,设 BC 为 y =kx +b ，∴{k +b =25k +b =0,解得： {k =−12b =52∴y =−12x +52,当 x =52 时， y =54,∴P(52,54),∴PA =√(2−52)2+(4−54)2=54√5，PB =√(52−5)2+(54−0)2=54√5，∴PA =PB,∴∠PAB =∠PBA,∵B(5，0)，C(1，2)，∴BC =√(5−1)2+(0−2)2=2√5，∴cot ∠PAB =cot ∠PBA =BC AC =√5√5=2（3）解：如图，当 △ABP ∽△AOM 时，则 AB AO =APAM ,∵AP =PB =5√54，OA =2√5，AB =5，∴2√55√54AM ,∴AM =52， 经检验符合题意，∴4−52=32,∴M(2，32).当△ABP∽△AMO时，又△ABP是等腰三角形，∴△AMO为等腰三角形，且AO=MO，∵AM⊥x轴，且与x轴交于G，∴AG=MG=4，∴M(2，−4).所以：M(2，−4)或M(2，32).19.【答案】（1）解：∵A(−2,0)，B(8,0)∴OA=2，OB=8，∵OC=2OA，∴OC=4，∴点C(0,4)∵设y=a(x+2)(x−8)经过点C，∴4=−16a，∴a=−14，∴抛物线解析式为：y=−14(x+2)(x−8)=−14x2+32x+4；（2）解：如图1，由题意：点D(3,0)，∴OD=3，设P(m,−14m2+32m+4)，(m>0,−14m2+32m+4>0)∵C(0,4)，∴直线PC的解析式可表示为：y=(−14m+32)x+4，设直线PC与对称轴的交点为E，则点E(3,−34m+172)，∴DE=−34m+172，∵S△ABC=12×AB×OC，∴S△ABC=12×10×4=20，∵S△CDP=1120S△ABC，∴12×(−34m+172)×m=1120×20，∴m1=4或m2=223；(3)K是抛物线上一个动点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使B、C、K、H为顶点的四边形成为矩形？若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，说明理由.解：若BC为边，∠CBK=90°时，如图2，将BC绕点B逆时针旋转90°得到BC"∴BC=BC"，∠CBC"=90°，∴∠CBO+∠C"=90°，∠CBO+∠OCB=90°，∴∠OCB=∠EBC"，且BC=BC"，∠BEC"=∠BOC=90°，∴△BCO≌△BC"E(AAS)∴BE=OC=4，OB=EC"=8，∴点C"(4,−8)，且B(8,0)∴直线BC"解析式为：y=2x−16，∴2x−16=−14x2+32x+4，∴x1=−10，x2=8，。