中考数学考点知识与题型专题讲解28---与圆有关的角

中考数学复习考点题型专题练习《圆的选择题综合》1．如图，点O为Rt△ABC的斜边AB的中点，∠C＝90°，∠A＝30°，以点O为旋转中心顺时针旋转△ABC得到△A1B1C1，若BC＝2，当BC∥A1C1时，图中弧BC1所构成的阴影部分面积为（ ）A．B．C．D．2．如图，已知A、B、C、D四点都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，在下列四个说法中，①＝2；②AC＝2CD；③OC⊥BD；④∠AOD＝3∠BOC，正确的个数是（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连结OD，AD．以下结论：①∠ADB＝90°；②D是BC的中点；③AD是∠BAC的平分线；④OD∥AC，其中正确结论的个数有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．如图，圆心为M的量角器的直径的两个端点A，B分别在x轴，y轴正半轴上（包括原点O），AB＝4．点P，Q分别在量角器60°，120°刻度线外端，连结MP．量角器从点A与点Q重合滑动至点Q与点O重合的过程中，线段MP扫过的面积为（ ）A．π+B．π C．π+2D．35．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，点P是AB边上的一个动点，以BP为直径的圆交CP于点Q，若线段AQ长度的最小值是3，则△ABC的面积为（ ）A．18 B．27 C．36 D．546．如图，△ABC内接于⊙O，且AB＝AC．直径AD交BC于点E，F是AE的中点，连结CF，若AD＝6．则CF的最大值为（ ）A．6 B．5 C．4 D．37．如图，分别以正五边形ABCDE的顶点A、D为圆心，以AB长为半径画、．若AB＝a，则阴影部分图形的面积为（ ）（结果保留到0.01，参考：sin72°≈0.951，tan36°≈0.727）A．0.45a2B．0.3a2C．0.6a2D．0.15a28．如图，两个三角形纸板△ABC，△MNP能完全重合，∠A＝∠M＝50°，∠ABC＝∠N＝60°，BC＝4，将△MNP绕点C（P）从重合位置开始，按逆时针方向旋转，边MN，MP分别与BC，AB交于点H，Q（点Q不与点A，B重合），点O是△BCQ的内心，若∠BOC＝130°，点N 运动的路径为，则图中阴影部分的面积为（ ）A．π﹣2 B．2π﹣4 C．D．9．如图，⊙O的半径是5，点A是圆周上一定点，点B在⊙O上运动，且∠ABM＝30°，AC ⊥BM，垂足为点C，连接OC，则OC的最小值是（ ）A．B．C．D．﹣10．如图，在圆O上依次有A．B，C三点，BO的延长线交圆O于E，＝，点C作CD ∥AB交BE的延长线于D，AD交圆O于点F，连接OA，OF，若∠AOF＝3∠FOE，且AF＝2，劣弧CF的长是（ ）A．π B．π C．π D．π11．如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角120°的弧AB多次复制并首尾连接而成．现有一点P从A（A为坐标原点）出发，以每秒π米的速度沿曲线向右运动，则在第2020秒时点P的纵坐标为（ ）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．112．如图，正方形ABCD中，⊙O过点A，B交边AD于点E，连结CE交⊙O于点F，连结AF，若tan∠AFE＝，则的值为（ ）A．1 B．C．D．13．如图，点O为正六边形的中心，P，Q分别从点A（1，0）同时出发，沿正六边形按图示方向运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，则第2020次相遇地点的坐标为（ ）A．B．（1，0） C．D．（﹣1，0） 14．如图，在平面直角坐标系中．点A的坐标是（20，0），点B的坐标是（16，0），点C，D在以OA为直径的半圆M上，四边形OCDB是平行四边形．则点C的坐标为（ ）A．（1，7） B．（2，6） C．（2，7） D．（1，6） 15．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，交AC于点E，若∠C ＝72°，则∠DOE的度数是（ ）A．30° B．35° C．36° D．40°16．如图，AB是⊙O的直径，点C，点D是半圆上两点，连结AC，BD相交于点P，连结AD，OD．已知OD⊥AC于点E，AB＝2．下列结论：①AD2+BC2＝4；②sin∠DAC＝；③若AC＝BD，则DE＝OE；④若点P为BD的中点，则DE＝2OE．其中确的是（ ）A．①②③ B．②③④ C．③④ D．②④17．如图，∠MON＝30°，OP是∠MON的角平分线，PQ∥ON交OM于点Q，以P为圆心半径为4的圆与ON相切，如果以Q为圆心半径为r的圆与⊙P相交，那么r的取值范围是（ ）A．4＜r＜12 B．2＜r＜12 C．4＜r＜8 D．r＞418．如图，半径为3的⊙O与五边形ABCDE的边相切于点A，C，连接OA交BC于点H，连接OB，AB．若∠D+∠E＝240°，HC＝3BH，则△ABO的面积为（ ）A．3B．C．D．219．如图，在△ABC中，∠C＝40°，∠A＝60°．以B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交AB，BC于点D，E；分别以D，E为圆心，大于DE长度为半径作弧，两弧交于点F；作射线BP，交AC于点P，过点P作PM⊥AB于M；以P为圆心，PM的长为半径作⊙P．则下列结论中，错误的是（ ）A．∠PBA＝40° B．PC＝PBC．PM＝MB D．⊙P与△ABC有4个公共点20．如图，在平面直角坐标系中，已知C（3，4），以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、B 在x轴上，且OA＝OB．点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最小值为（ ）A．4 B．3 C．7 D．8参考答案1．解：设A1C1与AB的交点为D，连接OC1，作DE⊥OC1于E，∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，∴AB＝2BC＝4，∠ABC＝60°，∵点O为Rt△ABC的斜边AB的中点，∴OC＝AB＝2，∴OC1＝OA1＝2，∴∠A1＝∠A1C1O＝30°，∴∠A1OC1＝120°，∵BC∥A1C1，∴∠ADA1＝∠ABC＝60°，∵∠A1＝∠A＝30°，∴∠A1OD＝90°，∴∠DOC1＝30°，∴∠DOC1＝∠A1C1O，∴OD＝DC1，∴OE＝EC1＝1，∴DE＝OE＝，∴S阴影＝S扇形﹣S＝﹣＝﹣， 故选：A．2．解：∵OB⊥AC，BC＝CD，∴，，∴＝2，故①正确；AC＜AB+BC＝BC+CD＝2CD，故②错误；OC⊥BD，故③正确；∠AOD＝3∠BOC，故④正确；故选：C．3．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，∴D是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，∴①②③正确，∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∴④正确，故选：D．4．解：由题意可知，点M的运动轨迹是以O为圆心，2为半径，圆心角为60°的扇形， 点P在第四象限内时，∠AOB是弧AP所对的圆周角，所以∠AOP＝30°，点P在第二象限内时，∠BOP是弧BP所对的圆周角，所以∠BOP＝60°，所以点P的运动路径是一条线段，当量角器从点A与O重合滑动至点Q与点O重合时，MP扫过的图形是如图所示的阴影部分，它是由两个边长为2的等边三角形与一个扇形组成，所以PM扫过的面积为： +2××22＝π+2，故选：C．5．解：如图，取BC的中点T，连接AT，QT．∵PB是⊙O的直径，∴∠PQB＝∠CQB＝90°，∴QT＝BC＝定值，AT是定值，∵AQ≥AT﹣TQ，∴当A，Q，T共线时，AQ的值最小，设BT＝TQ＝x，在Rt△ABT中，则有（3+x）2＝x2+62，解得x＝4.5，∴BC＝2x＝9，∴S△ABC＝•AB•BC＝×6×9＝27，故选：B．6．解：∵F是AE的中点，∴设AF＝EF＝x，则AE＝2x，∴DE＝6﹣2x，∵AB＝AC，∴＝，∵AD为⊙O的直径，∴BC⊥AD，∠ABD＝90°∴BE＝CE，∠ABE+∠DBE＝∠DBE+∠D＝90°，∴∠ABE＝∠D，∵∠AEB＝∠DEB＝90°，∴△ABE∽△BDE，∴，∴BE2＝AE•DE＝2x（6﹣x），∴CE2＝2x（6﹣x），在Rt△CEF中，CF2＝EF2+CE2＝x2+2x（6﹣x）＝﹣3（x﹣2）2+36，∴当x＝2时，CF的最大值为6，故选：A．7．解：如图，设正五边形ABCDE的中心为O，连接OB，OC，连接AF，EO并延长交BC于G，过E作EH⊥AF于H，则∠EAB＝∠AED＝＝108°，∠BOC＝＝72°，EG⊥BC，AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE＝54°，∴∠EAF＝72°，∴∠BAF＝36°，∵AE＝AF＝AB＝a，∴sin72°＝＝＝0.951，∴EH＝0.951a，∴S弓形EF＝S扇形EAF﹣S△AEF＝﹣a•0.951a＝﹣0.951a2＝0.1528a2，∵S扇形EAB＝＝＝0.942a2，∴S空白＝2×（0.942a2﹣2×0.1528a2）＝1.2728a2，∵∠BOG＝36°，BG＝a，∴OG＝＝＝，∴S△OBC＝BC•OG＝a×，∴正五边形ABCDE的面积＝5S△BOC＝×＝1.719a2，∴阴影部分图形的面积＝正五边形ABCDE的面积﹣S空白≈0.45a2， 故选：A．8．解：设旋转角为α，则∠BCN＝∠ACM＝α，∵∠A＝∠M＝50°，∠ABC＝∠N＝60°，∴∠ACB＝∠MPN＝70°，∴∠BCM＝70°﹣α，∵点O是△BCQ的内心，∴∠BCO＝∠BCM＝35°﹣，＝30°，∵∠BOC＝130°，∴35°﹣+30°+130°＝180°，解得α＝30°，∴∠BCN＝30°，∵∠N＝60°，∴∠CHN＝90°，∴NH＝CN＝＝2，CH＝CN＝×4＝2，∴S△CNH＝＝2，∴S阴影＝S扇形BCN﹣S△CHN＝﹣2＝π﹣2，故选：D．9．解：如图，设BM交⊙O于T，连接OT，OA，过点O作OH⊥AT于H，连接CH．∵∠B＝30°，∴∠TOA＝60°，∵OT＝OA，∴△OTA是等边三角形，∴OT＝OA＝AT＝5，∵OH⊥AT，∴TH＝AH＝，OH＝＝＝，∵AC⊥BM，∴∠ACT＝90°，∴CH＝，∵OC≥OH﹣CH＝﹣，∴OC的最小值为＝﹣．故选：D．10．解：∵＝，∴∠CBD＝∠ABD，∵CD∥AB，∴∠ABD＝∠CDB，∴∠CBD＝∠CDB，∴CB＝CD，∵BE是⊙O的直径，∴＝，∴AB＝BC＝CD，∵CD∥AB，∴四边形ABCD是菱形，∴BC∥AD，∵∠AOF＝3∠FOE，设∠FOE＝x，则∠AOF＝3x，∠AOD＝∠FOE+∠AOF＝4x，∵OA＝OF，∴∠OAF＝∠OFA＝（180﹣3x）°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝2x，∴∠ABC＝4x，∵BC∥AD，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∴4x+2x+（180﹣3x）＝180，解得：x＝20°，∴∠AOF＝3x＝60°，∠AOE＝80°，∴∠COF＝80°×2﹣60°＝100°，∵OA＝OF，∴△AOF是等边三角形，∴OF＝AF＝2，∴的长＝＝π，故选：C．11．解：＝＝，＝2（秒），2020÷4＝505，故在第2020秒时点P的纵坐标为0，故选：C．12．解：如图，设⊙O交BC于J，连接AJ，JF，EJ，过点F作FM⊥AD于M交BC于N．设AB＝3a．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠BAD＝∠BCD＝90°，AD∥BC，AD＝AB＝BC＝CD＝3a， ∴AJ是⊙O的直径，∴∠AFJ＝∠AEJ＝90°，∵FM⊥AD，AD∥CB，∴MN⊥BC，∴∠MNC＝∠BCD＝∠D＝90°，∴四边形MNCD是矩形，四边形ABJE是矩形，∴MN＝CD＝3a，AE＝BJ，∴＝，∴∠BAJ＝∠AFE，∴tan∠BAJ＝tan∠AFE＝，∴BJ＝AE＝a，JC＝2a，∵∠JAF＝∠JEC，∴tan∠JAF＝tan∠JEC，∴＝＝，∵∠AFM+∠JFN＝90°，∠JFN+∠FJN＝90°，∴∠AFM＝∠FJN，∵∠AMF＝∠FNJ＝90°，∴△AMF∽△FNJ，∴＝＝＝，设JN＝2x，则FM＝3x，∵AM＝AE+EM＝a+2x，∴FN＝AM＝（a+2x），∵FM+FN＝3a，∴3x+（a+2x）＝3a，∴9x+2a+4x＝9a，∴x＝a，∴CN＝2a﹣2x＝2a﹣a＝a，∵EM∥CN，∴＝＝＝，故选：B．13．解：∵A（1，0），O为正六边形的中心，∴OA＝AB＝1，连接OB，作BG⊥OA于点G，则AG＝OA＝，BG＝，∴B（，），∴C（﹣，），E（﹣，﹣），∵正六边形的边长＝1，∴正六边形的周长＝6，∵点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度， ∴第1次相遇需要的时间为：6÷（1+2）＝2（秒），此时点P的路程为1×2＝2，点的Q路程为2×2＝4，此时P，Q相遇地点的坐标在点C（﹣，），以此类推：第二次相遇地点在点E（﹣，﹣），第三次相遇地点在点A（1，0），…如此下去，∵2020÷3＝673…1，∴第2020次相遇地点在点C，C的坐标为（﹣，）． 故选：A．14．解：如图，连接OD，AD，DM，作DF⊥OA于F．∵A（20，0），B（16，0），∴OA＝20，OB＝16，∴AB＝20﹣16＝4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥OB，CD＝OB＝16，OC＝BD，∴∠CDO＝∠DOA，∴＝，∴OC＝AD＝BD，∵DF⊥BA，∴BF＝FA＝2，∴OF＝18，∴在Rt△DMF中．DF＝＝＝6，∴D（18，6），C（2，6），故选：B．15．解：如图，连接AD．∵AB＝AC，∠C＝72°，∴∠ABC＝∠C＝72°．∴∠CAB＝36°．∵AB是圆O的直径，∴AD⊥BD．又∵AB＝AC，∴BD＝CD．∴AD是∠CAB的平分线，∴∠CAD＝∠CAB＝18°．∴∠DOE＝2∠CAD＝36°．故选：C．16．解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴AC2+BD2＝AB2＝4，∵AC＞AD，∴AD2+BC2＜4，故①错误，∵∠DAC＝∠CBD，∴sin∠DAC＝sin∠CBD＝，故②正确，∵AE⊥OE，假设DE＝EO，则AD＝AO＝OD，∴△ADO是等边三角形，显然不符合题意，故③错误， ∵∠DEP＝∠BCP＝90°，DP＝PB，∠DPE＝∠BPC，∴△PDE≌△PBC（AAS），∴DE＝BC，∵OE∥BC，AO＝OB，∴AE＝EC，∴DE＝2OE，故④正确．故选：D．17．解：如图，过点P作PA⊥OM于点A．∵圆P与ON相切，设切点为B，连接PB．∴PB⊥ON．∵OP是∠MON的角平分线，∴PA＝PB．∴PA是半径，∴OM是圆P的切线．∵∠MON＝30°，OP是∠MON的角平分线，∴∠1＝∠2＝15°．∵PQ∥ON，∴∠3＝∠2＝15°．∴∠4＝∠1+∠3＝30°．∵PA＝4，∴PQ＝2PA＝8．∴r最小值＝8﹣4＝4，r最大值＝8+4＝12．∴r的取值范围是4＜r＜12．故选：A．18．解：连接OC，过点C，B分别作AO的垂线，垂足分别为M，N， ∵半径为3的⊙O与五边形ABCDE的边相切于点A，C，∴∠OAE＝∠OCD＝90°，∵∠AOC+∠OCD+∠D+∠E+∠OAE＝540°，∠D+∠E＝240°，∴∠AOC＝120°，∴∠MOC＝180°﹣∠AOC＝60°，∴，∵CM⊥AO，BN⊥AO，∴CM∥BN，∴△HCM∽△HBN，∴，∴，∴，故选：C．19．解：∵∠C＝40°，∠A＝60°，∴∠ABC＝80°，由题意得，BP平分∠ABC，∴∠ABP＝ABC＝40°，故选项A正确； ∵∠PBC＝∠PBA＝ABC＝40°，∴∠C＝∠PBC，∴PC＝PB，故选项B正确；∵PM⊥AB，∴∠BMP＝90°，∴∠BPM＝50°，∴∠BPM≠∠MBP，∴PM≠BM，故C选项错误；∵点P在∠ABC的角平分线上，∴P到AB和BC的距离＝PM＝⊙P的半径，∴AB，BC与⊙P相切，∵PA＞PM，PC＞PM，∴⊙P与AC相交，∴⊙P与△ABC有4个公共点，故D选项正确，故选：C．20．解：连接OC，交⊙C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作⊙O，交x轴于A、B，此时AB的长度最小，∵C（3，4），∴OC＝＝5，∵以点C为圆心的圆与y轴相切．∴⊙C的半径为3，∴OP＝OC﹣3＝2，∴OP＝OA＝OB＝2，∵AB是直径，∵∠APB＝90°，∴AB长度的最小值为4，故选：A．。

专题28 与圆有关的角聚焦考点☆温习理解一、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理1、圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角。

2、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

3、圆周角顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

4、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

名师点睛☆典例分类考点典例一、圆心角、圆周角之间的换算.【例1】（中考山东济宁第5题）如图，在⊙O中，=，∠AOB=40°，则∠ADC的度数是（）A．40° B．30° C．20° D．15°【答案】C.【解析】考点：圆周角定理.【点睛】此题运用了圆周角定理．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．【举一反三】（中考湖南娄底第6题）如图，已知AB是⊙O的直径，∠D=40°，则∠CAB的度数为（）A．20° B．40° C．50° D．70°【答案】C.【解析】试题分析：根据圆周角定理可得∠B=∠D=40°，∠ACB=90°，所以∠CAB=90°﹣40°=50°．故答案选C．考点：圆周角定理.考点典例二、圆周角与垂径定理的关系【例2】（中考内蒙古巴彦淖尔第3题）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB=40°，则∠ABD与∠AOD分别等于（）A．40°，80°B．50°，100°C．50°，80°D．40°，100°【答案】B．【解析】考点：圆周角定理；垂径定理．【举一反三】如图，在⊙O中，CD⊥AB于E，若∠BAD=30°，且BE=2，则CD= ．【答案】．【解析】试题分析：如答图，连接OD，设⊙O的半径为r，∵∠BAD=30°，∴∠BOD=2∠BAD=60°.∵CD⊥AB，∴DE=CE.在Rt△ODE中，OE=OB-BE=r-2，OD=r，∵OE cos EOD cos60OD ∠=︒=，∴r21r2-=，解得r =4，∴OE=4-2=2，∴DE∴CD=2DE=．考点典例三圆周角与切线之间的关系【例3】（中考海南省第12题）如图，AB 是⊙O 的直径，直线PA 与⊙O 相切于点A ，PO 交⊙O 于点C ，连接BC ．若∠P=40°，则∠ABC 的度数为（ ） A ．20° B ．25° C ．40° D ．50°【答案】B. 【解析】【举一反三】（中考黑龙江哈尔滨第18题）如图，AB 为⊙O 的直径，直线l 与⊙O 相切于点C ，AD⊥l，垂足为D ，AD 交⊙O 于点E ，连接OC 、BE ．若AE=6，OA=5，则线段DC 的长为 ．【答案】4. 【解析】试题分析：令OC 交BE 于F ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AEB=90°，∵AD ⊥CD ，∴BE ∥CD ，∵CD 为⊙O 的切线，∴OC ⊥CD ，∴OC ⊥BE ，∴四边形CDEF 为矩形，∴CD=EF ，在Rt △ABE 中，822=-=AE AB BE ，∵OF⊥BE ，∴BF=EF=4，∴CD=4．考点：1切线；2矩形的性质；3勾股定理. 考点典例四 与圆周角有关的证明【例4】（中考湖北黄石第19题）（本小题满分7分）如图，⊙O 的直径为AB ，点C 在圆周上（异于B A ,），CD AD ⊥.（1）若BC =3，5=AB ，求AC 的值；（2）若AC 是DAB ∠的平分线，求证：直线CD 是⊙O 的切线.【答案】(1)4;(2)详见解析. 【解析】（2）证明：AC 是DAB ∠的角平分线，BAC DAC ∠=∠∴ 又︒=∠=∠∴⊥90,ACB ADC DC ADADC ∆∴∽CBA DCA ACB ∠=∠∴∆,又OC OA = ，OCA OAC ∠=∠∴︒=∠=∠+∠∴︒=∠+∠90,90OCD ACD OCA OBC OAC DC ∴是⊙O 的切线.解法二（2）证明：AC 是DAB ∠的角平分线，BAC DAC ∠=∠∴ 圆的性质OC OA = ，OCA OAC ∠=∠∴OCA DAC ∠=∠∴ 即AD ∥OC ,又DC AD ⊥ ，DC OC ⊥∴DC ∴是⊙O 的切线 考点：圆周角定理；勾股定理；切线的判定. 【举一反三】A第19题图如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，连接CD．（1）求证：∠A=∠BCD；（2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）当MC=MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与⊙O相切，理由见解析. 【解析】∵∠ACB=90°，∴∠DCB+∠ACD=90°. ∴∠DCB=∠A.（2）当MC=MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与⊙O相切，理由如下：如答图，连接DO，∵DO=CO，∴∠1=∠2.∵DM=CM，∴∠4=∠3.∵∠2+∠4=90°，∴∠1+∠3=90°. ∴直线DM与⊙O相切．课时作业☆能力提升一．选择题1．（中考江苏常州第5题）如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M、N，量得OM=8cm，ON=6cm，则该圆玻璃镜的半径是（）A B．5cm C．6cm D．10cm【答案】B．【解析】考点：圆周角定理；勾股定理．2.（中考四川达州第7题）如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（）A．B．2 C．D．【答案】C.【解析】考点：圆周角定理；锐角三角函数的定义．3.(中考湖北襄阳第8题)如图，I是∆ABC的内心，AI向延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BI，BD，DC下列说法中错误的一项是( )A．线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DC重合B．线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DI熏合C．∠CAD绕点A顺时针旋转一定能与∠DAB重合D．线段ID绕点I顺时针旋转一定能与线段IB重合【答案】D.【解析】考点：内心的概念；圆周角定理.4.（中考湖南娄底第6题）如图，已知AB是⊙O的直径，∠D=40°，则∠CAB的度数为（）A．20° B．40° C．50° D．70°【答案】C.【解析】试题分析：根据圆周角定理可得∠B=∠D=40°，∠ACB=90°，所以∠CAB=90°﹣40°=50°．故答案选C．考点：圆周角定理.5.（中考内蒙古巴彦淖尔第3题）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB=40°，则∠ABD与∠AOD 分别等于（）A．40°，80°B．50°，100°C．50°，80°D．40°，100°【答案】B．【解析】考点：圆周角定理；垂径定理．6.如图所示，点A，B，C在圆O上，∠A=64°，则∠BOC的度数是（）A． 26° B． 116° C． 128° D． 154°【答案】C．【解析】试题分析：∵∠A=64°，∴∠BOC=2∠A=2×64°=128°．故选C．考点：圆周角定理．二．填空题1. （中考内蒙古包头第18题）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连接AC，若∠A=30°，PC=3，则BP的长为．【解析】考点：切线的性质;锐角三角函数．2.（中考湖南湘西州第7题）如图，在⊙O中，圆心角∠AOB=70°，那么圆周角∠C=．【答案】35°．【解析】试题分析：根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半,可得∠C=21∠AOB=21×70°=35°． 考点：圆周角定理.3. （中考山东枣庄第15题）如图，在半径为3的⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点E ，连接AC ，BD ，若AC =2，则tan D = .【答案】22.【解析】试题分析：如图，连接BC ，根据直径所对的圆周角为直角可得△ACB 为直角三角形，在直角三角形△ACB 中，AC=2，AB=6，由勾股定理可得BC=42，由圆周角定理可得∠A=∠D,所以tan D =tan A =22224==AC BC.考点：圆周角定理；勾股定理；锐角三角函数.4. （中考贵州铜仁第16题）如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠OBC =18°，则∠A = ．第15题图【答案】72°．【解析】考点：圆周角定理．5.（中考浙江台州第13题）如图，△ABC的外接圆O的半径为2，∠C=40°，则AB的长是．【答案】89π．【解析】试题分析：∵∠C=40°，∴∠AOB=80°，∴AB的长是802180π⨯⨯=89π．故答案为：89π．考点：三角形的外接圆与外心；弧长的计算．6.（中考广西来宾第18题）如图，在⊙O中，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB=110°，则∠α= ．【答案】140°．【解析】考点：圆周角定理．7.（中考广西河池第16题）如图，AB是⊙O的直径，点C，D都在⊙O上，∠ABC=50°，则∠BDC的大小是．【答案】40°．【解析】试题分析：∵∠ABC=50°，∴ADC的度数为100°，∵AB为直径，∴BC的度数为80°，∴∠BDC=12×80°=40°，故答案为：40°．考点：圆周角定理．8.（中考青海第10题）如图，在⊙O中，AB为直径，CD为弦，已知∠CAB=50°，则∠ADC= ．【答案】40°．【解析】考点：圆周角定理．9.（中考重庆A 卷第15题）如图，OA ，OB 是⊙O 的半径，点C 在⊙O 上，连接AC ，BC ，若∠AOB =120°，则∠ACB = 度．【答案】60．【解析】试题分析：∵OA ⊥OB ，∴∠AOB =120°，∴∠ACB =120°×12=60°，故答案为：60． 考点：圆周角定理．10.（中考辽宁葫芦岛第15题）如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，∠C=110°，则∠BOD= 度．【答案】140．【解析】试题分析：已知A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，∠C=110°，可知四边形ABCD 是圆内接四边形，根据圆内接四边形对角互补和可得∠C+∠A=180°，再由∠A=70°，∠BOD=2∠A ，可得∠BOD=140°.考点：圆周角定理；圆内接四边形的性质．三、解答题1.（中考湖北黄石第19题）（本小题满分7分）如图，⊙O 的直径为AB ，点C 在圆周上（异于B A ,），CD AD ⊥.（1）若BC =3，5=AB ，求AC 的值；（2）若AC 是DAB ∠的平分线，求证：直线CD 是⊙O 的切线.【答案】(1)4;(2)详见解析.【解析】（2）证明：AC 是DAB ∠的角平分线，BAC DAC ∠=∠∴ 又︒=∠=∠∴⊥90,ACB ADC DC ADADC ∆∴∽CBA DCA ACB ∠=∠∴∆,又OC OA = ，OCA OAC ∠=∠∴︒=∠=∠+∠∴︒=∠+∠90,90OCD ACD OCA OBC OAC DC ∴是⊙O 的切线.解法二（2）证明：AC 是DAB ∠的角平分线，BAC DAC ∠=∠∴ 圆的性质OC OA = ，OCA OAC ∠=∠∴OCA DAC ∠=∠∴ 即AD ∥OC ,又DC AD ⊥ ，DC OC ⊥∴DC ∴是⊙O 的切线 考点：圆周角定理；勾股定理；切线的判定.A 第19题图。

专题28 圆心角一、单选题1．如图所示，△ABC的内切圆△O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若△DEF＝55°，则△A的度数是（）．A．35°B．55°C．70°D．125°【答案】C【分析】根据三角形内切圆、圆心角和圆周角定理、四边形的性质分析，即可完成解题．【详解】连接OD，OF，如下图所示△△ABC的内切圆△O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F△△DEF＝55°△△DOF＝2△DEF＝2×55°＝110°△四边形ADOF△△A+△ADO+△AFO+△DOF＝360°△AD，AF是圆的切线△△ADO＝△AFO＝90°△△A＝360°-90°-90°-110°＝70°故选：C．【点睛】本题考查了三角形内切圆、圆心角、圆周角、四边形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内切圆、圆心角、圆周角、四边形内角和性质，从而完成求解．2．下列命题中，正确的是（ ）A ．三点确定一个圆B ．平分弦的直径必垂直于这条弦C ．已知两圆的半径分别为1r 和2r ，圆心距为d ，如果两圆外离，则12d r r >+D ．圆心角相等，它们所对的弧也相等【答案】C【分析】根据圆的概念、垂径定理、圆与圆的位置关系、圆心角定理逐项判断即可．【详解】A 、不在同一条直线上的三点确定一个圆，此项错误B 、平分弦（非直径）的直径必垂直于这条弦，此项错误C 、由圆与圆的位置关系可知，已知两圆的半径分别为1r 和2r ，圆心距为d ，如果两圆外离，则12d r r >+，此项正确D 、在同圆或等圆中，圆心角相等，它们所对的弧也相等，此项错误故选：C ．【点睛】本题考查了圆的概念、垂径定理、圆与圆的位置关系、圆心角定理，熟练掌握圆的相关知识是解题关键． 3．如图，点A 、B 、C 在△O 上，且△ACB=100o ，则△α度数为（ ）A ．160oB ．120oC ．100oD ．80o【答案】A【分析】 在△O 取点D ，连接,.AD BD 利用圆的内接四边形的性质与一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的2倍，可得答案．【详解】AD BD解：如图，在△O取点D，连接,.四边形ACBD为△O的内接四边形，∴∠+∠=︒ACB ADB180,ACB∠=︒100,∴∠=︒D80,∴∠=︒．AOB160.故选A【点睛】本题考查的是圆的内接四边形的性质，同弧所对的圆心角是它所对的圆周角的2倍，掌握相关知识点是解题的关键．O恰好在大量角器的圆周上,设图中两圆4．如图,将大小不同的两块量角器的零度线对齐,且小量角器的中心2周的交点为P.且点P在小量角器上对应的刻度为63︒,那么点P在大量角器上对应的刻度为(只考虑小于90︒的角)( )A．54︒B．55︒C．56︒D．57︒【答案】A【分析】∠的度数，然依题意，设大量角器的左端点为A，小量角器的圆心为B.利用三角形的内角和定理求出PAB后根据圆的知识可求出大量角器上对应的角度.【详解】设大量角器的左端点为A ，小量角器的圆心为B ，连接AP 、BP ，则90APB ∠=︒，63∠=︒ABP ，因而906327∠=︒-︒=︒PAB ，在大量角器中弧PB 所对的圆心角是54︒，因而P 在大量角器上对应的度数为54︒.故选：A.【点睛】本题主要考查了直径所对的圆心角是90︒，能把实际问题转化为数学问题是解决本题的关键.5．下列说法中，不正确的是（ ）A ．圆心角的角度与它所对的弧的度数相等B ．同圆中，所有半径都相等C ．圆既是轴对称图形又是中心对称图形D ．长度相同的弧是等弧【答案】D【分析】利用圆的基本性质逐项判断即可．【详解】A 、圆心角的度数与它所对应的弧的度数相等，说法正确，故A 不符合题意．B 、同圆中，所有半径都相等，说法正确，故B 不符合题意．C 、圆既是轴对称图形又是中心对称图形，说法正确，故C 不符合题意．D 、在同样大小的圆或同一个圆中，长度相同的弧是等弧，所以原说法错误，故D 符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查圆的基本性质，正确判断每个选项是否符合圆的基本性质是解答本题的关键．6．下列说法中，错误的有( )△任意三点确定一个圆△相等的圆心角所对的弧相等△各边相等的圆内接多边形是正多边形△若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝10，则AC＝－5A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【分析】根据确定圆的条件、圆周角定理、圆内接四边形、黄金分割的性质一一判断即可．【详解】解：△任意三点确定一个圆；错误，应该的不在同一直线上的三点可以确定一个圆；△相等的圆心角所对的弧相等；错误，应该是在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等；△各边相等的圆内接多边形是正多边形；正确；△若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝10，则AC＝5，错误，若点C是线段AB的黄金分割点，且AB=10，则5或5．；故选：A．【点睛】本题考查了圆的条件、圆周角定理、圆内接四边形、黄金分割的性质等知识，熟练掌握基本知识是解题的关键．7．如图，已知△O的半径为3，弦AB、CD所对的圆心角分别是△AOB、△COD，若△AOB与△COD互补，弦CD=4，则弦AB的长为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】如图，延长AO交△O于T，连接BT．证明CD=BT，△ABT=90°，再利用勾股定理求解即可．【详解】解：如图，延长AO 交△O 于T ，连接BT ．△△AOB+△BOT=180°，△AOB+△COD=180°，△△COD=△BOT ，△CD BT =，△CD=BT=4，△AT 是直径，AT=6，△△ABT=90°， △AB=22AT BT -=25，故选：C ．【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．8．如图，已知50ABC ∠=︒，点P 是ABC ∠平分线 BM 上一点，当点P 是ABC 的外心时，APC ∠=（ ）A ．95°B ．100°C ．110°D ．115°【答案】B【分析】根据圆周角，圆心角的性质解答即可．【详解】解：如图示，△点P 是ABC 的外心，△A ，B ，C 三点共圆，△2250100APC ABC ，故选：B ．【点睛】本题考查了圆周角，圆心角的性质，熟悉相关性质是解题的关键．9．已知锐角AOB ∠．如图（1）在射线OA 上取一点C ，以点O 为圆心，OC 长为半径作PQ ，交射线OB 于点D ．连接CD ；（2）分别以点C 、D 为圆心，CD 长为半径作弧，交PQ 于点M 、N ；（3）连接OM ，MN ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A ．COM COD ∠=∠B MN =，则35AOB ∠=︒C ．MN CD ∥D ．点M 与点D 关于OA 对称【答案】B【分析】由作图知CM CD DN ==，OM=OC=OD ，再利用对称的性质逐一判断可得．【详解】解：由作图知CM CD =，且OM=OD ，又OC=OC故△COM△△CODCOM COD ∴∠=∠，故A 选项正确；故M 与D 点关于OA 对称，故D 选项正确；2=OM MN ，OM=ONOMN ∴∆是直角等腰三角形，90MON ∴∠=︒，CM CD DN ==，1303MOA AOB BON MON ∴∠=∠=∠=∠=︒，故B 选项错误； 设MOA AOB BON α∠=∠=∠=，则1802OCD OCM α︒-∠=∠=， 180MCD α∴∠=︒-，又12CMN CON α∠=∠=， 180MCD CMN ∴∠+∠=︒，//MN CD ∴，故C 选项正确；故选：B ． 【点睛】本题主要考查了作图，内角和定理，对称等基本性质，熟悉相关性质是解题的关键．10．如图，AB 是△O 的直径，AB ＝12，弦CD△AB 于点E ，△DAB ＝30°，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．18πB ．12πC ．18π﹣D ．12π﹣【答案】D【分析】 首先连接OD ，OC ，根据题意得出△DOB ＝2△DAB ＝60°，利用垂径定理结合锐角三角函数求出DE 与OE 的长，最后根据阴影部分的面积S ＝S 扇形COD −S △COD 进一步分析求解即可.【详解】如图所示，连接OD ，OC ，△△DAB ＝30°，△△DOB ＝2△DAB ＝60°，△AB 是△O 的直径，AB ＝12，弦CD△AB ，△OA ＝OD ＝OB ＝6，CE ＝DE ，△△COB ＝△DOB ＝60°，△△COD ＝120°，在Rt△OED 中，DE ＝OD×sin60°＝6=OE ＝OD×cos60°＝1632⨯=，△CD ＝2DE ＝△阴影部分的面积S ＝S 扇形COD −S △COD ＝2120613123602ππ⨯-⨯=-故选：D．【点睛】本题主要考查了圆的性质与扇形面积公式及三角函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.11．如图，已知△ABC是圆O的内接三角形，AB＝AC，△ACB＝65°，点C是弧BD的中点，连接CD，则△ACD 的度数是（）A．12°B．15°C．18°D．20°【答案】B【分析】如图，连接AO，BO，CO，DO，由等腰三角形的性质可求△ABC＝△ACB＝65°，△BAC＝50°，由圆周角定理可求△AOC＝2△ABC＝130°，△BOC＝2△BAC＝100°，可求△AOD＝30°，即可求解．【详解】如图，连接AO，BO，CO，DO，△AB＝AC，△ACB＝65°，△△ABC＝△ACB＝65°，△△BAC＝50°，△△AOC＝2△ABC＝130°，△BOC＝2△BAC＝100°，△点C是弧BD的中点，△BC CD，△△BOC＝△COD＝100°，△△AOD＝30°，△△AOD＝2△ACD，△△ACD ＝15°，故选：B ．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角、圆心角、弧的关系是解题的关键．12．如图，四个边长为2的小正方形拼成一个大正方形，A 、B 、O 是小正方形顶点，△O 的半径为2，P 是△O 上的点，且位于右上方的小正方形内，则△APB 等于（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】B【分析】 根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半求解．【详解】 解：12APB AOB ∠=∠ 90190452AOB APB ︒︒︒∠=∴∠=⨯= 故选：B【点睛】本题考查了圆周角和圆心角的有关知识．根据正方形的性质得到圆心角的度数是解题的关键．13．如图，点,,B D C 是O 上的点，120BDC ∠=，则BOC ∠是（ ）A ．120B ．130C ．150D ．160【答案】A【分析】 本题利用弧的度数等于所对的圆周角度数的2倍求解优弧BAC 度数，继而求解劣弧BC 度数，最后根据弧的度数等于圆心角的度数求解本题．【详解】如下图所示：△△BDC=120°，△优弧BAC 的度数为240°，△劣弧BC 度数为120°．△劣弧BC 所对的圆心角为△BOC ，△△BOC=120°．故选：A ．【点睛】本题考查圆的相关概念，解题关键在于清楚圆心角、圆周角、弧各个概念之间的关系．14．如图，扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，半径6,OA C =是AB 的中点，//CD OA ，交AB 于点D ，则CD 的长为（ ）A ．2B C ．2 D ．6【答案】D【分析】 连接OC ，延长CD 交OB 于点E ，如图，易得△AOB 、△COE 、△BDE 都是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出CE 与DE 的长，从而可得答案．【详解】解：连接OC ，延长CD 交OB 于点E ，如图，△90AOB ∠=︒，C 是AB 的中点，△△COE=45°，△//CD OA ，90AOB ∠=︒，△CE△OB ，△△OCE=△COE=45°，△CE=OE=622==△BE=OB －OE=6-，△OA=OB ，90AOB ∠=︒，△△ABO=45°，△△BDE=△ABO=45°，△EB=ED=6-，△CD=CE －DE=(66-=．故选：D ．【点睛】本题考查了圆心角和弧的关系、等腰直角三角形的判定和性质等知识，属于常考题型，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质是解此题的关键．15．如图，在△O中，△ABC＝20°，△DAC＝24°，则△ADO的度数为（）A．43°B．44°C．45°D．46°【答案】D【分析】连接OA，OC，根据圆周角定理得到△AOC＝2△ABC＝40°，△COD＝2△CAD＝48°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】如图，连接OA，OC，△△ABC＝20°，△DAC＝24°，△△AOC＝2△ABC＝40°，△COD＝2△CAD＝48°，△△AOD＝40°+48°＝88°，△OA ＝OD ，△△ADO ＝△OAD ＝12⨯(180°−88°)＝46°，故选：D ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形性质与圆周角定理的运用，熟练掌握相关方法是解题关键.16．如图，AB 为△O 的直径，点C 为弧AB 的中点，弦CD 交AB 于点E ，若35DE CE =，则tan△B 的值是（ ）A ．15B ．14C ．13D ．12【答案】C【分析】如图（见解析），连接OC ，过O 作OH CE ⊥于E ，过D 作DF AB ⊥于F ，先根据垂径定理得到12CH CD =，设3,5DE x CE x ==，从而可得4CH x =，再根据相似三角形的判定与性质可得OC =，从而可得OE =，又根据相似三角形的判定与性质可得DF 、EF 的长，从而可得BF 的长，最后根据正切三角函数的定义即可得．【详解】如图，连接OC ，过O 作OH CE ⊥于E ，过D 作DF AB ⊥于F △35DE CE = △设3,5DE x CE x ==，则8CD DE CE x =+= △142CH CD x == △AB 为△O 的直径，点C 为弧AB 的中点△90EOC ∠=︒在OCH △和ECO 中，90C C OHC EOC ∠=∠⎧⎨∠=∠=︒⎩OCH ECO ∴~OC CH CE OC ∴=，即45OC x x OC=解得OC =或OC =-（不符题意，舍去）OE ∴=△,DF AB OC AB ⊥⊥△//DF OC△OCE FDE ~OC OE CE DF EF DE ∴==53x x==解得,DF x EF x ==OB OC ==BF OB OE EF x ∴=++=++= 则在Rt BDF中，1tan 3x DF B BF ∠=== 故选：C ．【点睛】本题考查了垂径定理、圆心角定理、相似三角形的判定与性质、正切三角函数等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形和直角三角形是解题关键．二、填空题17．如图，一块含30°角的直角三角板，将它的30°角顶点A 落在O 上，边AB 、AC 分别与O交于点D、E，则劣弧DE的度数为______．【答案】60°【分析】根据同弧所对的圆心角度数等于圆周角度数的2倍解答．【详解】△△BAC=30，△△DOE=2△BAC=60︒，△劣弧DE的度数为60︒，故答案为：60︒．【点睛】此题考查弧的度数与圆心角的度数相等，以及圆周角定理：同弧所对的圆周角度数等于圆心角的一半．18．圆心角为90°的扇形如图所示，过AB的中点作CD△OA、CE△OB，垂足分别为点D、E．若半径OA ＝2，则图中阴影部分图形的面积和为_____．π-【答案】2【分析】根据矩形的判定定理得到四边形CDOE是矩形，连接OC，根据全等三角形的性质得到OD=OE，得到矩形CDOE是正方形，根据阴影部分图形的面积和等于扇形面积减去正方形的面积即可得到答案．【详解】解：△CD△OA，CE△OB，△△CDO=△CEO=△AOB=90°，△四边形CDOE 是矩形，如图，连接OC ，△点C 是AB 的中点，△△AOC=△BOC ，在△COD 与△COE 中，CDO CEO DOC EOC OC OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△COD△△COE （AAS ），△OD=OE ，△矩形CDOE 是正方形，,OD CD ∴=△OC=OA=2， 222OD CD OC +=,OD CD ∴==△图中阴影部分的面积= 22902 2.360ππ⨯-=-故答案为：2π-．【点睛】 本题考查了扇形面积的计算，圆心角与弧之间的关系，矩形的判定，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识是解题的关键．19．如图，AB 是△O 的直径，AB=10cm ，M 是半圆AB 的一个三等分点，N 是半圆AB 的一个六等分点，P 是直径AB 上一动点，连接MP 、NP ，则MP+NP 的最小值是____cm ．【答案】5【详解】 试题分析：作N 关于AB 的对称点N′，连接MN′交AB 于点P ，则点P 即为所求的点，再根据M 是半圆AB 的一个三等分点，N 是半圆AB 的一个六等分点可求出△MON′的值，再由勾股定理即可求出MN′的长． 解：作N 关于AB 的对称点N′，连接MN′交AB 于点P ，则点P 即为所求的点，△M 是半圆AB 的一个三等分点，N 是半圆AB 的一个六等分点， △△MOB=1803︒=60°，△BON′=1806︒=30°， △△MON′=90°，△AB=10cm ，△OM=ON′=5cm ，=，即MP+NP 的最小值是．故答案为点评：本题考查的是最短路线问题及圆心角、弧、弦的关系，根据M 是半圆AB 的一个三等分点，N 是半圆AB 的一个六等分点，求出△MON′=90°是解答此题的关键．20．如图，点A ，B ，C ，D 在O 上，C 是弧BD 的中点，若50ODC ∠=︒，则BAC ∠的度数为=______°．【答案】40°【分析】由点C是弧BD的中点，可知BC=DC，根据在同圆或等圆中，同弧所对圆心角是圆周角的两倍，因为△ODC=50°，因为△COD=180°-50°-50°=80°，所以△BAC=1402COD=︒∠；【详解】△点C是弧BD的中点，△ BC=DC，△△ODC=50°，△△OCD=50°，△△COD=180°-50°-50°=80°，△△BAC=1402COD=︒∠，故答案为：40°．【点睛】本题考查了在同圆或等圆中，同弧所对圆心角是圆周角的两倍，正确理解该知识点是解题的关键；21．如图，在△O中，点B是AC的中点，点D在BAC上，连接OA、OB、BD、CD．若△AOB=50°，则△BDC的大小为___________．【答案】25°【分析】连接OC ，利用AB BC =得到△AOB ＝△BOC ＝50°，然后根据圆周角定理得到△BDC 的度数．【详解】解：如图，连接OC ．△点B 是AC 的中点，△AB BC =．△△AOB ＝△BOC ＝50°，△△BDC ＝12△BOC ＝25°． 故答案为：25°．【点睛】本题考查了圆周角定理，掌握圆周角、圆心角的性质是解答此题的关键．22．如图，△O 是△ABC 的外接圆，AO△BC 于F ，D 为AC 的中点，E 是BA 延长线上一点，若△DAE ＝108︒，则△CAD ＝_______．【答案】36︒【分析】 根据垂径定理由AO BC ⊥得AB AC = ，根据圆周角定理得ABC ACB ∠=∠，而由AD CD =得CAD ACD ∠=∠，所以 2AB AD =， 2ACB ACD ∠=∠，再根据圆内接四边形的性质得到108BCD ∠=︒，于是1108363ACD ∠=⨯︒=︒，从而得到△CAD 的度数． 【详解】解：△AO BC ⊥，△AB AC =，△ABC ACB ∠=∠，△D 为AC 的中点，△AD CD =，△CAD ACD ∠=∠，△2AB AD =，△2ACB ACD ∠=∠，又△108DAE ∠=︒，△108BCD ∠=︒， △1108363ACD ∠=⨯︒=︒， △36CAD ∠=︒．故答案为：36°．【点睛】本题主要考察了圆周角定理、圆心角和弧的关系、圆内接四边形的性质及垂径定理，能够找到ACB ∠与ACD ∠之间的关系是解题的关键．23．如图，在以AB 为直径的半圆中，AD =EB ，CD△AB ，EF△AB ，CD=CF=1，则以AC 和BC 的长为两根的一元二次方程是________．【答案】0152=+-x x【分析】连接OD ，OE ，因为AD =EB ，根据等弧所对的圆心角相等可得△DOC=△EOF ，因为CD△AB ，EF△AB ，所以△DCO=△EFO=90°，又因为DO==EO ，所以Rt△DOC△Rt△EOF ，所以CO=OF=12，在Rt△DOC 中，2，所以，AC=12，BC=AB - 12=12，所以以AC和BC 的长为两根的一元二次方程是（x ）(x )=0，整理，得0152=+-x x ． 【详解】解：连接OE ，OD ，△AD =EB ，△△DOC=△EOF ，△CD△AB ，EF△AB ，△△DCO=△EFO=90°，又△DO=EO ，△Rt△DOC△Rt△EOF ， △CO=OF=12，△在Rt△DOC 中，，，AC=AO -CO=12，BC=AB - 12=12，△以AC 和BC 的长为两根的一元二次方程是（x ）(x )=0，整理，得0152=+-x x ．故答案为：x 2．【点睛】本题考查圆心角定理及其推论，全等三角形的判定与性质以及根与系数的关系．此题属于开放题，注意数形结合与方程思想的应用．24．如图，AB是半径为4的△O的直径，P是圆上异于A，B的任意一点，△APB的平分线交△O于点C，连接AC和BC，△ABC的中位线所在的直线与△O相交于点E、F，则EF的长是_____．【答案】【分析】连接OC交EF于点D△连接OE△由圆心角定理和圆周角定理易得CO△AB△再由中位线定理可得CD=DO△OC△EF△则由垂径定理可得EF=2ED. 在RT△EDO中运用勾股定理即可求解【详解】解△连接OC交EF于点D△连接OE△PC是△APB的平分线△由圆心角定理可知=△进而可得△AOC=△BOC=90°△由题干条件EF是△ABC的中位线所在的直线△根据中位线定理可得EF△AB△则可得△ODE=△AOC=90°△OD=12OC=2.同时由垂径定理可得EF=2ED△在RT△EDO中运用勾股定理：OD2+ED2=OE2△则ED=22421223-==△即EF=2ED=43.故答案为【点睛】本题综合考查了圆心角定理、圆周角定理以及垂径定理，熟悉各定理是解题关键.25．如图，已知点C是△O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD=CO．若AD的度数为35°，则BE 的度数是_____．【答案】105°．【分析】连接OD、OE，根据圆心角、弧、弦的关系定理求出△AOD=35°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可．【详解】解：连接OD、OE，△AD的度数为35°，△△AOD=35°，△CD=CO，△△ODC=△AOD=35°，△OD=OE，△△ODC=△E=35°，△△DOE=180°-△ODC-△E=180°-35°-35°=110°，△△AOE=△DOE-△AOD=110°-35°=75°，△△BOE=180°-△AOE=180°-75°=105°，△BE的度数是105°．故答案为105°．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．26．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（10，0），点B的坐标为（8，0），点C、D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，OC长为_____．【分析】过点M作MF△CD于F，过C作CE△OA于E，在Rt△CMF中，根据勾股定理即可求得MF与EM，进而就可求得OE，CE的长，然后利用勾股定理求得MF的长，再次利用勾股定理求得OC的长即可．【详解】解：△四边形OCDB是平行四边形，点B的坐标为（8，0），CD//OA，CD＝OB＝8，过点M作MF△CD于F，则CF＝12CD＝4，过C作CE△OA于E，△A（10，0），△OA＝10，OM＝5，△OE＝OM﹣ME＝OM﹣CF＝5﹣4＝1，连接MC，MC＝12OA＝5△在Rt△CMF中，MF3，△CE＝MF＝3，△OC，．【点睛】此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解，常见辅助线是过圆心作弦的垂线． 27．已知：点A 、点B 在直线MN 的两侧．（点A 到直线MN 的距离小于点B 到直线MN 的距离）．F ，交直线MN、PC ．根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中：△PE 是C 的切线； △PC 平分EF ；△PB PC PF ==； △2APN BPN ∠=∠．所有正确结论的序号是___________________________．【答案】△△△【分析】△先根据轴对称的性质可得12CE BE BC ==，BC MN ⊥，再根据圆的切线的判定即可得证； △如图（见解析），连接CF ，先根据切线长定理可得PE PF =，再根据直角三角形全等的判定定理与性质可得PCE PCF ∠=∠，然后根据圆心角定理即可得证；△先根据轴对称的性质可得PE 垂直平分BC ，由此可得PB PC =，再根据圆的切线的性质可得CF PF ⊥，然后根据直角三角形的性质可得PC PF >，由此可得出答案；△先根据△可知APC CPN ∠=∠，从而可得2APN CPN ∠=∠，再根据△可知BPC △是等腰三角形，然后根据等腰三角形的三线合一可得CPN BPN ∠=∠，由此即可得证．【详解】 由轴对称的性质得：12CE BE BC ==，BC MN ⊥，即CE PE ⊥ 由作图可知，CE 为C 的半径由圆的切线的判定得：PE 是C 的切线，则结论△正确 如图，连接CF ，设PC 与C 的交点为点D PF 是C 的切线CF PF ∴⊥，即90PFC ∠=︒由切线长定理得PE PF =在Rt PCE △和Rt PCF 中，PC PC PE PF =⎧⎨=⎩()Rt PCE Rt PCF HL ∴≅PCE PCF ∴∠=∠DE DF ∴=，即PC 平分EF ，则结论△正确由轴对称的性质得：PE 垂直平分BCPB PC ∴=在Rt PCF 中，PC PF >PB PC PF ∴=>，则结论△错误Rt PCE Rt PCF ≅APC CPN ∴∠=∠2APN APC CPN CPN ∴∠=∠+∠=∠PB PC =BPC ∴是等腰三角形BC PE ⊥CPN BPN ∴∠=∠（等腰三角形的三线合一）2APN BPN ∴∠=∠，则结论△正确综上，所有正确结论的序号是△△△故答案为：△△△．【点睛】本题考查了圆的切线的判定与性质、圆心角定理、直角三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握并灵活运用圆的相关性质与定理是解题关键．三、解答题28．如图，在ABC 中，AC BC =，D 是AB 上一点，△O 经过点A 、C 、D ，交BC 于点E ，过点D 作//DF BC ，交△O 于点F ，求证：（1）四边形DBCF 是平行四边形（2）AF EF =【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）利用等腰三角形的性质证明BAC B =∠∠，利用平行线证明ADF B ∠=∠，利用圆的性质证明BAC CFD ∠=∠，再证明//,BD CF 即可得到结论；（2）如图，连接AE ，利用平行线的性质及圆的基本性质AEF B ∠=∠，再利用圆内接四边形的性质证明EAF B ∠=∠，从而可得结论．【详解】证明：（1）AC BC =，BAC B ∴∠=∠，//DF BC ，ADF B ∴∠=∠，又BAC CFD ∠=∠,,ADF CFD ∴∠=∠//,BD CF ∴四边形DBCF 是平行四边形．（2）如图，连接AEADF B ∠=∠，ADF AEF ∠=∠AEF B ∠∠∴=四边形AECF 是O 的内接四边形180ECF EAF ︒∴∠+∠=//BD CF180ECF B ︒∴∠+∠=EAF B ∴∠=∠AEF EAF ∴∠=∠AF EF ∴=【点睛】本题考查平行四边形的判定，圆的基本性质，平行线的性质与判定，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，掌握以上知识是解题的关键．29．如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A 、B 、C ，请在网格中进行下列操作：（1）请在图中确定该圆弧所在圆心D 点的位置，D 点坐标为 ；（2）连接AD 、CD ，则△D 的半径为 ；扇形DAC 的圆心角度数为 ；（3）若扇形DAC 是某一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面半径．【答案】（1）(2,0)；（2）；（3【分析】（1）作AB、BC的垂直平分线，两垂直平分线的交代即为点D，再根据坐标轴上点的坐标特征可得到点D 的坐标；（2）连接DA、DC，利用勾股定理求出AD的长，即△D的半径；再利用SAS证得△AOD△△DEC，根据全等三角形的性质可得△OAD=△CDE，然后求出△ADC的度数即可；（3）设出圆锥的底面半径，再根据圆锥的底面周长等于侧面展开图即扇形的弧长，即可求出该圆锥的底面半径.【详解】（1）如图，分别作AB、BC的垂直平分线，两线交于点D，△D点的坐标为(2，0).（2）连接DA、DC，如图，则即△D的半径为△OD=CE，OA=DE=4，△AOD=△CEO=90°，△△AOD△△DEC，△△OAD=△CDE，△△ADO+△CDE=△ADO+△OAD=90°，△△ADC=90°，即扇形DAC的圆心角度数为90°.（3）设圆锥的底面半径是r，r则2π=△r=，.【点睛】本题考查了垂径定理，弧长公式，勾股定理以及全等三角形的判定与性质等知识.要能够根据垂径定理作出圆的圆心，根据全等三角形的性质确定角之间的关系，掌握圆锥的底面半径的计算方法.30．如图，AB是△O的一条弦，OD△AB，垂足为C，交△O于点D，点E在△O上．（1）若△AOD=52°，求△DEB的度数；（2）若AB=24，CD=8，求△O的半径长．【答案】（1）26；（2）13【分析】（1）连接OB，结合OD△AB，根据垂径定理，推导得△AOD；再根据圆心角、圆周角的性质，即可得到答案；（2）结合题意，根据垂径定理性质，计算得AC；再结合OD△AB，通过勾股定理即可计算得△O的半径．【详解】（1）连接OB△⊥OD AB△AD BD =△52AOC BOD ∠=∠= △12DEB BOD ∠=∠ △26DEB ∠=（2）△⊥OD AB △11241222AC AB ==⨯= 设OA x =，则8OC x =-在Rt ACO 中，()222128x x =+-△13x =△O 的半径长为13．【点睛】本题考查了圆的知识；解题的关键是熟练掌握垂径定理、圆心角、圆周角、勾股定理的性质，从而完成求解．31．如图，在Rt ABC 中，ACB 90∠=︒，以点A 为圆心，AC 为半径，作A ，交AB 于点D ，交CA 的延长线于点E ，过点E 作AB 的平行线交A 于点F ，连接AF ，BF ，DF ．（1）求证：ABC ABF △≌△；（2）填空：△当∠=CAB ________°时，四边形ADFE 为菱形；△在△的条件下，BC =________cm 时，四边形ADFE 的面积是2．【答案】（1）见详解；（2）△60；△6【分析】（1）由题意易得△EFA=△FAD ，△CAF=2△EFA ，进而可得△FAD=△CAB ，然后问题可求证；（2）△由四边形ADFE 为菱形，可得AD=DF=AF ，则△ADF 是等边三角形，然后由（1）及等边三角形的性质可求解；△连接ED ，根据四边形ADFE 的面积是2及△可得AF ED ⋅=30°角的直角三角形的性质可求解．【详解】（1）证明：EF△AB ，AE=AF ，∴△EFA=△FAD ，△E=△EFA ，∴△CAF=2△EFA=2△FAD ，△CAF=△FAD+△CAB ，∴△FAD=△CAB ， 又AC=AF ，AB=AB ，∴ABC ABF △≌△；（2）解：△当60CAB ∠=︒时，四边形ADFE 为菱形；理由如下：由（1）得：△FAD=△CAB=△EAF=60°，AF=AD ，∴△AFD 是等边三角形，同理可得△EAF 是等边三角形，∴ AF=AD=AE=EF=FD ，∴四边形ADFE 为菱形；故答案为60；△当BC =6cm 时，四边形ADFE 的面积是2，理由如下：连接ED ，交AF 于点H ，如图，由△得：∴AF△ED ，AH=HF ，EH=HD ，△FAD=△CAB =60°，∴,HD BC ==，BC =6cm ，∴AC AF ==∴6ED =，∴11=622ADFE S ED AF ⋅=⨯⨯=菱形 故答案为6．【点睛】本题主要考查圆的基本性质及菱形的判定与性质，关键是根据圆的基本性质得到线段和角的等量关系，然后利用特殊直角三角形去求解问题即可．32．如图，△O 的弦AB 、DC 的延长线相交于点E ．（1）如图1，若AD 为120°，BC 为50°，求△E 的度数；（2）如图2，若AB ＝CD ，求证：AE ＝DE ．【答案】（1）35°；（2）见解析【分析】（1）连接AC ．根据弧AD 为120°，弧BC 为50°，可得到△ACD ＝60°，△BAC ＝25°，根据△ACD ＝△BAC+△E ，得出△E ＝△ACD ﹣△BAC ＝60°﹣25°＝35°；（2）连接AD．由AB＝CD，得到弧AB＝弧CD，推出弧AC＝弧BD，所以△ADC＝△DAB，因此AE＝DE．【详解】（1）解：连接AC．△弧AD为120°，弧BC为50°，△△ACD＝60°，△BAC＝25°，△△ACD＝△BAC+△E△△E＝△ACD﹣△BAC＝60°﹣25°＝35°；（2）证明：连接AD．△AB＝CD，△弧AB＝弧CD，△弧AC＝弧BD，△△ADC＝△DAB，△AE＝DE．【点睛】本题考查了圆的相关计算与证明，正确理解圆心角、弧与弦的关系是解题的关键．=，CD△OA于点D，CE△OB于点E．33．如图，在O中，AC CB=；（1）求证：CD CE（2）若△AOB=120°，OA=2，求四边形DOEC的面积．【答案】（1）详见解析；（2【分析】（1）连接OC ，由AC=BC ，可得△AOC=△BOC ，又CD△OA ，CE△OB ，由角平分线定理可得CD=CE ；（2）由△AOB=120°，△AOC=△BOC ，可得△AOC=60°，又△CDO=90°，得△OCD=30°，可得112OD OC ==，由勾股定理可得CD =，可得12CDO S OD CD =⋅△CBO S =△，进而求出CDO CEO CDOE S S S =+=△△四边形．【详解】（1）证明：连接OC ．△AC=BC ，△△AOC=△BOC ．△CD△OA ，CE△OB ，△CD=CE ．（2）解：△△AOB=120°，△AOC=△BOC ，△△AOC=60°．△△CDO=90°，△△OCD=30°，△OC=OA=2， △112OD OC ==．△CD ==△12CDO S OD CD =⋅△同理可得CBO S =△，△CDO CEO CDOE S S S =+=△△四边形．【点睛】本题主要考查了圆心角与弧的关系，角平分线的性质，勾股定理以及面积计算，熟练掌握圆中的相关定理是解题的关键．34．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的△O分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH△AC，垂足为点H，连接DE，交AB于点F．（1）求证：DH是△O的切线；（2）若△O的半径为4，AE=FE时，求AD的长（结果保留π）；【答案】（1）见解析；（2）8 5【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质得△ODB=△OBD=△ACB，从而得OD△AC，进而得DH△OD，即可得到结论；（2）设△B=△C=α，由三角形外角的性质得△EAF=△EF A=2α，由圆周角定理的推论，得△E=△B=α，结合三角形内角和定理，可得α的值，从而可得△AOD的度数，结合弧长公式，即可求解．【详解】（1）连接OD，△OB=OD，△△ODB是等腰三角形，△OBD=△ODB，△在△ABC中，AB=AC，△△ABC=△ACB，△△ODB=△OBD=△ACB，△OD△AC，△DH△AC，△DH△OD，△DH是△O的切线；（2）△AE=EF，△△EAF=△EF A，设△B=△C=α，△△EAF=△EF A=2α，△△E=△B=α，△α+2α+2α=180°，△α=36°，△△B=36°，△△AOD=72°，△AD的长=724180π⨯⨯=85π．【点睛】本题主要考查圆的切线的判定定理，等腰三角形的性质，圆心角定理，圆周角定理的推论，三角形外角的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握圆的切线的判定定理，等腰三角形的性质，圆心角定理，圆周角定理的推论，是解题的关键．35．如图，在△ABC中，以AB为直径的△O交BC于点D，交AC于点E，连结DE，且BD＝DE，过点B 作BP△DE，交△O于点P，连结OP．（1）求证：AB＝AC；（2）若△A＝30°，求△BOP的度数．【答案】（1）见解析；（2）△BOP ＝90°【分析】（1）连结AD ，根据直径所对的圆周角为直角得到△ADB=90°，求出△BAD=△CAD ，△ADB△△ADC 即可； （2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出△ABC=75°，再根据圆内接四边形的性质得到△EDC=△BAC=30°，然后利用平行线的性质得到△PBC=△EDC=30°，所以△OBP=△ABC -△PBC=45°，于是可判断△OBP 为等腰直角三角形，则△BOP=90°．【详解】（1）证明：连接AD ，△BD ＝DE ，△,BD DE =△△BAD ＝△CAD ，△AB 为△O 的直径，△△ADB ＝90°＝△CDA ，在△ADB 和△ADC 中,ADB ADC AD ADBAD CAD ∠=⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩△△ADB △△ADC （ASA ），△AB ＝AC ；（2）解：△△BAC ＝30°，AB ＝AC ，△△ABC ＝12（180°﹣30°）＝75°， △四边形ABDE 为圆O 的内接四边形，△△EDC ＝△BAC ＝30°，。

【中考压轴题专题突破28】圆中的新定义问题（2）1．以点P为端点竖直向下的一条射线PN，以它为对称轴向左右对称摆动形成了射线PN1，PN2，我们规定：∠N1PN2为点P的“摇摆角”，射线PN摇摆扫过的区域叫作点P的“摇摆区域”（含PN1，PN2）．在平面直角坐标系xOy中，点P（2，3）．（1）当点P的摇摆角为60°时，请判断O（0，0）、A（1，2）、B（2，1）、C（2+，0）属于点P的摇摆区域内的点是（填写字母即可）；（2）如果过点D（1，0），点E（5，0）的线段完全在点P的摇摆区域内，那么点P的摇摆角至少为°；（3）⊙W的圆心坐标为（a，0），半径为1，如果⊙W上的所有点都在点P的摇摆角为60°时的摇摆区域内，求a的取值范围．2．如图，在平面直角坐标系xOy中，过⊙T外一点P引它的两条切线，切点分别为M，N，若60°≤∠MPN＜180°，则称P为⊙T的环绕点．（1）当⊙O半径为1时，①在P1（1，0），P2（1，1），P3（0，2）中，⊙O的环绕点是；②直线y＝2x+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，若线段AB上存在⊙O的环绕点，求b的取值范围；（2）⊙T的半径为1，圆心为（0，t），以（m，m）（m＞0）为圆心，m为半径的所有圆构成图形H，若在图形H上存在⊙T的环绕点，直接写出t的取值范围．3．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：如果点P为图形M上任意一点，点Q为图形N上任意一点，那么称线段PQ长度的最小值为图形M，N的“近距离”，记作d（M，N）．若图形M，N的“近距离”小于或等于1，则称图形M，N互为“可及图形”．（1）当⊙O的半径为2时，①如果点A（0，1），B（3，4），那么d（A，⊙O）＝，d（B，⊙O）＝；②如果直线y＝x+b与⊙O互为“可及图形”，求b的取值范围；（2）⊙G的圆心G在x轴上，半径为1，直线y＝﹣x+5与x轴交于点C，与y轴交于点D，如果⊙G和∠CDO互为“可及图形”，直接写出圆心G的横坐标m的取值范围．4．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），点B在x轴上，以AB为直径作⊙C，点P在y轴上，且在点A上方，过点P作⊙C的切线PQ，Q为切点，如果点Q在第一象限，则称Q为点P的离点．例如，图1中的Q为点P的一个离点．（1）已知点P（0，3），Q为P的离点．①如图2，若B（0，0），则圆心C的坐标为，线段PQ的长为；②若B（2，0），求线段PQ的长；（2）已知1≤P A≤2，直线l：y＝kx+k+3（k≠0）．①当k＝1时，若直线l上存在P的离点Q，则点Q纵坐标t的最大值为；②记直线l：y＝kx+k+3（k≠0）在﹣1≤x≤1的部分为图形G，如果图形G上存在P的离点，直接写出k的取值范围．5．定义：有且仅有一组对角相等的凸四边形叫做“准平行四边形”．例如：凸四边形ABCD 中，若∠A＝∠C，∠B≠∠D，则称四边形ABCD为准平行四边形．（1）如图①，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°，延长BP到Q，使AQ＝AP．求证：四边形AQBC是准平行四边形；（2）如图②，准平行四边形ABCD内接于⊙O，AB≠AD，BC＝DC，若⊙O的半径为5，AB＝6，求AC的长；（3）如图③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，若四边形ABCD是准平行四边形，且∠BCD≠∠BAD，请直接写出BD长的最大值．6．我们定义：如果圆的两条弦互相垂直，那么这两条弦互为“十字弦”，也把其中的一条弦叫做另一条弦的“十字弦”．如：如图，已知⊙O的两条弦AB⊥CD，则AB、CD互为“十字弦”，AB是CD的“十字弦”，CD也是AB的“十字弦”．（1）若⊙O的半径为5，一条弦AB＝8，则弦AB的“十字弦”CD的最大值为，最小值为．（2）如图1，若⊙O的弦CD恰好是⊙O的直径，弦AB与CD相交于H，连接AC，若AC＝12，DH＝7，CH＝9，求证：AB、CD互为“十字弦”；（3）如图2，若⊙O的半径为5，一条弦AB＝8，弦CD是AB的“十字弦”，连接AD，若∠ADC＝60°，求弦CD的长．【中考压轴题专题突破28】圆中的新定义问题（2）参考答案与试题解析一．解答题（共6小题）1．解：（1）根据“摇摆角”作出图形，如图所示，将O、A、B、C四点在平面直角坐标系中描出后，可以发现，B、C在点P的摇摆区域内，故属于点P的摇摆区域内的点是B、C（2）如图所示，当射线PN1过点D时，由对称性可知，此时点E不在点P的摇摆区域内，当射线PN2过点E时，由对称性可知，此时点D在点P的摇摆区域内，易知：此时PQ＝QE，∴∠EPQ＝45°，∴如果过点D（1，0），点E（5，0）的线段完全在点P的摇摆区域内，那么点P的摇摆角至少为90°（3）如果⊙W上的所有点都在点P的摇摆角为60°时的摇摆区域内，此时⊙W与射线PN1相切，设直线PN1与x轴交于点M，⊙W与射线PN1相切于点N，P为端点竖直向下的一条射线PN与x轴交于点Q，由定义可知：∠PMW＝60°，∵NW＝1，PQ＝3，∴sin∠PMW＝，tan∠PMW＝∴MW＝，MQ＝，∴OM＝2﹣，∴OW＝OM+MW＝2﹣+＝2﹣∴此时W的坐标为：（2﹣，0）由对称性可知：当⊙W与射线PN2相切时，此时W的坐标为：（2+，0）∴a的范围为：2﹣≤a≤2+2．解：（1）①如图，PM，PN是⊙T的两条切线，M，N为切点，连接TM，TN．当∠MPN＝60°时，∵PT平分∠MPN，∵∠TPM＝∠TPN＝30°，∵TM⊥PM，TN⊥PN，∴∠PMT＝∠PNT＝90°，∴TP＝2TM，以T为圆心，TP为半径作⊙T，观察图象可知：当60°≤∠MPN＜180°时，⊙T的环绕点在图中的圆环内部（包括大圆设的点不包括小圆上的点）．如图1中，以O为圆心2为半径作⊙O，观察图象可知，P2，P3是⊙O的环绕点，故答案为P2，P3．②如图2中，设小圆交y轴的正半轴与于E．当直线y＝2x+b经过点E时，b＝1．当直线y＝2x+b与大圆相切于K（在第二象限）时，连接OK，由题意B（0，b），A（﹣，0），∴OB＝b，OA＝，AB＝＝＝b，∵OK＝2，•AB•OK＝•OA•OB，∴•b×2＝•b•，解得b＝2，观察图象可知，当1＜b≤2时，线段AB上存在⊙O的环绕点，根据对称性可知：当﹣2≤b＜﹣1时，线段AB上存在⊙O的环绕点，综上所述，满足条件的b的值为1＜b≤2或﹣2≤b＜﹣1．（2）如图3中，不妨设E（m，m），则点E在直线y＝x时，∵m＞0，∴点E在射线OE上运动，作EM⊥x轴，∵E（m，m），∴OM＝m，EM＝，∴以E（m，m）（m＞0）为圆心，m为半径的⊙E与x轴相切，作⊙E的切线ON，观察图象可知，以E（m，m）（m＞0）为圆心，m为半径的所有圆构成图形H，图形H即为∠MON的内部，包括射线OM，ON上．当⊙T的圆心在y轴的正半轴上时，假设以T为圆心，2为半径的圆与射线ON相切于D，连接TD．∵tan∠EOM＝＝，∴∠EOM＝30°，∵ON，OM是⊙E的切线，∴∠EON＝∠EOM＝30°，∴∠TOD＝30°，∴OT＝2DT＝4，∴T（0，4），当⊙T的圆心在y轴的负半轴上时，且经过点O（0，0）时，T（0，﹣2），观察图象可知，当﹣2＜t≤4时，在图形H上存在⊙T的环绕点．3．解：（1）①如图1中，设⊙O交y轴于E，连接OB交⊙于F．由题意d（A，⊙O）＝AE＝1，d（B，⊙O）＝BF＝OB﹣OF＝5﹣2＝3．故答案为1，3．②如图2中，作OH⊥EF于H，交⊙O于G．当GH＝1时，OF＝OG+GH＝3，∵直线EF的解析式为y＝x+b，∴E（0，b），F（﹣b，0），∴OE＝OF＝b，∵OH⊥EF，∴HE＝HF，∵EF＝2OH＝6，∴b＝3，根据对称性可知当﹣3≤b≤3时，直线y＝x+b与⊙O互为“可及图形”．（2）如图3中，当⊙G在y轴的左侧，OG＝2时，GG（﹣2，0），当⊙G′在y轴的右侧，作G′H⊥CD于H，当HG′＝2时，∵直线y＝x﹣5交x轴于C，交y轴于D，∴C（5，0），D（0，5），∴OC＝OD＝5，∠OCD＝45°，∵∠CHG′＝90°，∴CH＝HG′＝2，∴CG′＝2，∴G′（5﹣2，0），当点G″在直线CD的右侧时，同法可得G″（5+2，0），观察图象可知满足条件的m的值为：﹣2≤m≤2或5﹣2≤m≤5+2．4．解：（1）①如图可知：C（0，1），在Rt△PQC中，CQ＝1，PC＝2，∴PQ＝，故答案为（0，1）；；②如图，过C作CM⊥y轴于点M，连接CP，CQ．∵A（0，2），B（2，0），∴C（1，1）．∴M（0，1）．在Rt△ACM中，由勾股定理可得CA＝．∴CQ＝．∵P（0，3），M（0，1），∴PM＝2．在Rt△PCM中，由勾股定理可得PC＝．在Rt△PCQ中，由勾股定理可得PQ＝＝．（2）①如图1：当k＝1时，y＝x+4，∴Q（t﹣4，t），∵1≤P A≤2，∴P的纵坐标为4时，PQ与圆C相切，设B（m，0），∴C（，1），∵CQ⊥PQ，∴CQ的解析式为y＝﹣x++1，∴Q点横坐标为﹣，∴﹣＝t﹣4，∴m＝4t﹣10，∴C（2t﹣5，1），∵CQ＝AC，∴（2t﹣5）2+1＝2（t﹣1）2，∴t＝6或t＝2，∴t的最大值为6；故答案为6．②∵﹣1≤x≤1，∵y＝kx+k+3经过定点（﹣1，3），∵PQ是圆的切线，AO是圆的弦，∴PQ2＝P A•PO，当k＜0时，Q点的在端点（﹣1，3）和（1，2k+3）之间运动，当P（0，4）时，PQ＝2，以P为圆心，PQ长为半径的圆与y轴交于点（0，4﹣2），此时k＝1﹣2，当P（0，3）时，PQ＝，Q（1，2k+3），∴1+4k2＝3，∴k＝，∴k＝﹣，∴1﹣2＜k≤﹣；当k＞0时，当P（0，4）时，PQ＝2，以P为圆心，PQ长为半径的圆与y轴交于点（0，4+2），此时k＝1+2，当P（0，3）时，PQ＝，Q（1，2k+3），∴1+4k2＝3，∴k＝，∴k＝，∴≤k＜1+2．5．证明：（1）∵∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠APQ＝60°，且AQ＝AP，∴△APQ是等边三角形，∴∠Q＝60°＝∠QAP，∵四边形APBC是圆内接四边形，∴∠QP A＝∠ACB＝60°，∵∠Q+∠ACB+∠QAC+∠QBC＝360°，∴∠QAC+∠QBC＝240°，且∠QAC＝∠QAP+∠BAC+∠P AB＝120°+∠P AB＞120°，∴∠QBC＜120°，∴∠QAC≠∠QBC，且∠QP A＝∠ACB＝60°＝∠Q，∴四边形AQBC是准平行四边形；（2）如图②，连接BD，∵AB≠AD，BC＝DC，∴∠ABD≠∠ADB，∠CBD＝∠CDB，∴∠ABC≠∠ADC，∵四边形ABCD是准平行四边形，∴∠BAD＝∠BCD，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，∴BD是直径，∴BD＝10，∴AD＝＝＝8，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△CDH，∴AB＝DH＝6，AC＝CH，∠ACH＝90°，∠ABC＝∠CDH，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ADC+∠CDH＝180°，∴点A，点D，点H三点共线，∴AH＝AD+DH＝14，∵AC2+CH2＝AH2，∴2AC2＝196∴AC＝7；（3）如图③，作△ACD的外接圆⊙O，过点O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，∴∠ABC＝60°，∠ABC＝60°，AC＝BC＝2∵四边形ABCD是准平行四边形，且∠BCD≠∠BAD，∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∴∠AOC＝120°，且OE⊥AC，OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO＝30°，CE＝AE＝，∴OE＝1，CO＝2OE＝2，∵OE⊥AC，OF⊥BC，∠ECF＝90°，∴四边形CFOE是矩形，∴CE＝OF＝，OE＝CF＝1，∴BF＝BC+CF＝3，∴BO＝＝＝2，∵当点D在BO的延长线时，BD的长有最大值，∴BD长的最大值＝BO+OD＝2+2．6．解：（1）如图a，当CD是直径时，CD的长最大，则CD的最大值为10；如图b，当点D与点A重合时，CD有最小值，过点O作OE⊥CD于E，OF⊥AB于F，∴AF＝BF＝4，DE＝CE，∴OF＝＝＝3，∵OE⊥CD，OF⊥AB，∠CDB＝90°，∴四边形CEOF是矩形，∴CE＝OF＝3，∴CD＝6，∴CD最小值为6，故答案为：10，6；（2）如图1，连接AD，∵DH＝7，CH＝9，∴CD＝16，∵CD是直径，∴∠CAD＝90°，∴AD＝＝＝4，∵，＝，∴，∠ADH＝∠ADC，∴△ADH∽△CDA，∴∠AHD＝∠CAD＝90°，∴AB⊥CD，∴AB、CD互为“十字弦”；（3）如图2，过点O作OE⊥CD于E，过点O作OF⊥AB于点F，连接AO，CO，过点O作ON⊥AC于N，∵∠ADC＝60°，AB⊥CD，∴AF＝DF，∵OE⊥CD，OF⊥AB，AB⊥CD，∴四边形OEHF是矩形，AF＝BF＝4，CE＝ED，∴OF＝EH，∵OF＝＝＝3，∴EH＝3，∴ED＝CE＝3+DH，∴CF＝3+2DH，∵∠AOC＝2∠ADC＝120°，且AO＝CO＝5，ON⊥AC，∴∠CAO＝30°，AN＝CN，∴NO＝，AN＝，∴AC＝5，∵AH2+CH2＝AC2，∴75＝3DH2+（3+2DH）2，∴DH＝2﹣，∴CD＝2CE＝2（3+2﹣）＝．。

专题08 与圆有关的角知识网络重难突破知识点一圆心角1.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.圆心角的度数等于它所对的弧的度数．2.圆心角性质定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等．【典例1】（2020•项城市三模）如图，圆O通过五边形OABCD的四个顶点．若＝150°，∠A＝75°，∠D＝60°，则的度数为何？（）A．25°B．40°C．50°D．60°【点拨】连接OB，OC，由半径相等得到△OAB，△OBC，△OCD都为等腰三角形，根据∠A＝75°，∠D＝60°，求出∠1与∠2的度数，根据的度数确定出∠AOD度数，进而求出∠3的度数，即可确定出的度数．【解析】解：连接OB、OC，∵OA＝OB＝OC＝OD，∴△OAB、△OBC、△OCD，皆为等腰三角形，∵∠A＝75°，∠D＝60°，∴∠1＝180°﹣2∠A＝180°﹣2×75°＝30°，∠2＝180°﹣2∠D＝180°﹣2×60°＝60°，∵＝150°，∴∠AOD＝150°，∴∠3＝∠AOD﹣∠1﹣∠2＝150°﹣30°﹣60°＝60°，则的度数为60°．故选：D．【点睛】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，多边形内角与外角，弄清圆心角、弧、弦的关系是解本题的关键．【变式训练】1．（2019秋•鹿城区月考）一个圆的内接正多边形中，一边所对的圆心角为72°，则该正多边形的边数是（）A．6 B．5 C．4 D．3【点拨】根据正多边形的中心角＝计算即可．【解析】解：设正多边形的边数为n．由题意＝72°，∴n＝5，故选：B．【点睛】本题考查正多边形的有关知识，解题的关键是记住正多边形的中心角＝．2．（2019秋•余杭区期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，的度数为α，以点C为圆心，BC长为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则∠A的度数为（）A．45°﹣αB．αC．45°+αD．25°+α【点拨】连接OD，求得∠DCE＝α，得到∠BCD＝90°﹣α，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．【解析】解：连接OD，∵的度数为α，∴∠DCE＝α，∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＝90°﹣α，∵BC＝DC，∴∠B＝（180°﹣∠BCD）＝（180°﹣90°+α）＝45°+α，∴∠A＝90°﹣∠B＝45°﹣α，故选：A．【点睛】本题考查了圆心角，弧，弦，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．3.（2019秋•鄞州区期末）如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AC＝12，AE＝3，则⊙O的直径长为（）A．10 B．13 C．15 D．16【点拨】连接OF，首先证明AC＝DF＝12，设OA＝OF＝x，在Rt△OEF中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解析】解：如图，连接OF．∵DE⊥AB，∴DE＝EF，＝，∵点D是弧AC的中点，∴＝，∴＝，∴AC＝DF＝12，∴EF＝DF＝6，设OA＝OF＝x，在Rt△OEF中，则有x2＝62+（x﹣3）2，解得x＝，∴AB＝2x＝15，故选：C．【点睛】本题考查垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．4．（2019春•西湖区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，M、N分别是AO，BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，则的度数60°．【点拨】根据圆心角、弧、弦的关系和含30°的直角三角形的性质解答．【解析】解：∵AB是⊙O的直径，M、N分别是AO，BO的中点，∴2OM＝OC，2ON＝OD，∵CM⊥AB，DN⊥AB，∴∠CMO＝∠DNO＝90°，∴∠MCO＝∠NDO＝30°，∴∠MOC＝∠NOD＝60°，∴∠COD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴的度数是60°，故答案为：60°【点睛】此题考查圆心角、弧、弦，关键是根据圆心角、弧、弦的关系和含30°的直角三角形的性质解答．5.（2018秋•丽水期中）如图，已知OA、OB、OC是⊙O的三条半径，点C是弧AB的中点，M、N分别是OA、OB的中点．求证：MC＝NC．【点拨】根据弧与圆心角的关系，可得∠AOC＝∠BOC，又由M、N分别是半径OA、OB的中点，可得OM＝ON，利用SAS判定△MOC≌△NOC，继而证得结论．【解析】证明：∵弧AC和弧BC相等，∴∠AOC＝∠BOC，又∵OA＝OB，M、N分别是OA、OB的中点∴OM＝ON，在△MOC和△NOC中，，∴△MOC≌△NOC（SAS），∴MC＝NC．【点睛】此题考查了弧与圆心角的关系以及全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．知识点二圆周角1.圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角叫做圆周角．圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．2.圆周角性质定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．【典例2】（2019秋•义乌市期末）如图，已知AB为半圆O的直径，AC，AD为弦，且AD平分∠BAC．（1）若∠ABC＝28°，求∠CBD的度数；（2）若AB＝6，AC＝2，求AD的长．【点拨】（1）利用圆周角定理得到∠C＝∠ADB＝90°，则根据互余计算出∠CAB＝62°，再根据角平分线的定义得到∠CAD＝∠CAB＝31°，然后根据圆周角定理得到∠CBD的度数；（2）连接OD交BC于E，如图，先利用勾股定理计算出BC＝4，由∠CAD＝∠BAD得到＝，根据垂径定理得到OD⊥BC，BE＝CE＝BC＝2，则OE＝1，然后根据勾股定理计算出BD，接着计算出AD．【解析】解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝∠ADB＝90°，∴∠CAB＝90°﹣28°＝62°，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠CAB＝31°，∴∠CBD＝∠CAD＝31°；（2）连接OD交BC于E，如图，在Rt△ACB中，BC＝＝4，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，∴＝，∴OD⊥BC，∴BE＝CE＝BC＝2，∴OE＝AC＝×2＝1，∴DE＝OD﹣OE＝3﹣1＝2，在Rt△BDE中，BD＝＝2，在Rt△ABD中，AD＝＝2．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．【变式训练】1．（2019秋•海曙区期末）如图，点A，B，C，D在⊙O上，AC是⊙O的直径，若∠CAD＝25°，则∠ABD 的度数为（）A．25°B．50°C．65°D．75°【点拨】先根据圆周角定理得到∠ADC＝90°，∠ABD＝∠ACD，然后利用互余计算出∠ACD，从而得到∠ABD的度数．【解析】解：∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠CAD＝90°﹣25°＝65°，∴∠ABD＝∠ACD＝65°．故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．2．（2020•绍兴）如图，点A，B，C，D，E均在⊙O上，∠BAC＝15°，∠CED＝30°，则∠BOD的度数为（）A．45°B．60°C．75°D．90°【点拨】首先连接BE，由圆周角定理即可得∠BEC的度数，继而求得∠BED的度数，然后由圆周角定理，求得∠BOD的度数．【解析】解：连接BE，∵∠BEC＝∠BAC＝15°，∠CED＝30°，∴∠BED＝∠BEC+∠CED＝45°，∴∠BOD＝2∠BED＝90°．故选：D．【点睛】此题考查了圆周角定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．3. （2020•温州一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠AOC＝∠B，则∠D的度数为60°．【点拨】根据圆周角定理得到∠AOC＝2∠D，根据题意得到∠B＝2∠D，根据圆内接四边形的对角互补列式计算，得到答案．【解析】解：由圆周角定理得，∠AOC＝2∠D，∵∠AOC＝∠B，∴∠B＝2∠D，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D+∠B＝180°，∴∠D+2∠D＝180°，解得，∠D＝60°，故答案为：60．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．4.（2019春•西湖区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E连接EB、DE，EC＝2，BC＝6，则⊙O的半径为 4.5．【点拨】连接BE，AD，求出CD，根据圆周角定理求出∠CAD＝∠CBE，证△CAD∽△CBE，得出比例式，求出AC，即可得出答案．【解析】解：连接BE，AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，∵BC＝6，AB＝AC，∴CD＝BD＝3，∵由圆周角定理得：∠CAD＝∠CBE，∵∠C＝∠C，∴△CDA∽△CEB，∴＝，∴＝，解得：AC＝9，∵AB＝AC，∴AB＝9，∴⊙O的半径为＝4.5，故答案为：4.5．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．5.（2019秋•温州期末）如图，点A、B、C、D、E都在⊙O上，AC平分∠BAD，且AB∥CE，求证：＝．【点拨】由于AC平分∠BAD则∠BAC＝∠DAC，再利用平行线的性质得∠BAC＝∠ACE，所以∠DAC ＝∠ACE，然后根据圆周角定理得到结论．【解析】证明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∵AB∥CE，∴∠BAC＝∠ACE，∴∠DAC＝∠ACE，∴＝．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．6.（2018秋•西湖区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．（1）求证：BE＝CE；（2）若∠B＝75°，求弧DE的度数；（3）若BD＝3，BE＝4，求AC的长．【点拨】（1）连结AE，如图，由圆周角定理得∠AEC＝90°，而AB＝AC，则根据等腰三角形的性质即可判断BE＝CE；（2）连结OD、OE，如图，在Rt△ABE中，利用互余计算出∠BAE＝15°，再根据圆周角定理得∠DOE ＝2∠DAE＝30°，然后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数即可得到弧DE的度数为30°；（3）连结CD，如图，BC＝2BE＝8，设AC＝x，则AD＝x﹣3，由圆周角定理得∠ADC＝90°，在Rt △BCD中，利用勾股定理得CD2＝55，然后在Rt△ADC中再利用勾股定理得到（x﹣3）2+55＝x2，接着解方程求出x即可．【解析】解：（1）证明：连结AE，如图，∵AC为直径，∴∠AEC＝90°，∴AE⊥BC，∵AB＝AC，∴BE＝CE；（2）解：连结OD、OE，如图，在Rt△ABE中，∠BAE＝90°﹣∠B＝90°﹣75°＝15°，∴∠DOE＝2∠DAE＝30°，∴弧DE的度数为30°；（3）解：连结CD，如图，BC＝2BE＝8，设AC＝x，则AD＝x﹣3，∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，在Rt△BCD中，CD2＝BC2﹣BD2＝82﹣32＝55，在Rt△ADC中，∵AD2+CD2＝AC2，∴（x﹣3）2+55＝x2，解得x＝，即AC的长为．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了等腰三角形的判定与性质．知识点三圆内接四边形1.圆的内接四边形：如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．2. 圆内接四边形的性质：圆的内接四边形的对角互补．【典例3】（2018秋•崇川区校级月考）如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．（1）若∠E＝∠F，求证：∠ADC＝∠ABC；（2）若∠E＝∠F＝40°，求∠A的度数；（3）若∠E＝30°，∠F＝40°，求∠A的度数．【点拨】（1）根据外角的性质即可得到结论；（2）根据圆内接四边形的性质和等量代换即可求得结果；（3）连结EF，如图，根据圆内接四边形的性质得∠ECD＝∠A，再根据三角形外角性质得∠ECD＝∠1+∠2，则∠A＝∠1+∠2，然后根据三角形内角和定理有∠A+∠1+∠2+∠E+∠F＝180°，解方程即可．【解析】解：（1）∠E＝∠F，∵∠DCE＝∠BCF，∠ADC＝∠E+∠DCE，∠ABC＝∠F+∠BCF，∴∠ADC＝∠ABC；（2）由（1）知∠ADC＝∠ABC，∵∠EDC＝∠ABC，∴∠EDC＝∠ADC，∴∠ADC＝90°，∴∠A＝90°﹣40°＝50°；（3）连结EF，如图，∵四边形ABCD为圆的内接四边形，∴∠ECD＝∠A，∵∠ECD＝∠1+∠2，∴∠A＝∠1+∠2，∵∠A+∠1+∠2+∠E+∠F＝180°，∴2∠A+30°+40°＝180°，∴∠A＝90°﹣＝55°．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．【变式训练】1．（2019秋•越城区期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A：∠C＝5：7，则∠C＝（）A．210°B．150°C．105°D．75°【点拨】根据圆内接四边形对角互补可得∠C＝180°×＝105°．【解析】解：∵∠A+∠C＝180°，∠A：∠C＝5：7，∴∠C＝180°×＝105°．故选：C．【点睛】此题主要考查了圆内接四边形，关键是掌握圆内接四边形对角互补．2．（2020•仙居县模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BCD＝143°，则∠BOD的度数是（）A．77°B．74°C．37°D．43°【点拨】根据圆内接四边形的性质求出∠A，再根据圆周角定理解答即可．【解析】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝143°，∴∠A＝180°﹣∠BCD＝37°，由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝74°，故选：B．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．3．．如图，已知ABCD是一个以AD为直径的圆内接四边形，分别延长AB和DC，它们相交于P，若∠APD ＝60°，AB＝5，PC＝4，则⊙O的面积为（）A．25πB．16πC．15πD．13π【点拨】连接AC，由圆周角定理可得出∠ACD＝90°，再由圆内接四边形的性质及三角形内角和定理可求出∠P AC＝30°，由直角三角形的性质可求出AP、AC的长，由相似三角形的判定定理及性质可得出CD的长，再根据勾股定理接可求出AD的长，进而求出该圆的面积．【解析】解：连接AC，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∵∠APD＝60°，∴∠P AC＝30°，∴AP＝2PC＝2×4＝8，∵AB＝5，∴PB＝8﹣5＝3，∵四边形ABCD是以AD为直径的圆内接四边形，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∵∠BCD+∠PCB＝180°，∴∠BAD＝∠PCB，∠APD＝∠APD，∴△PCB∽△P AD，∴＝，即＝，PD＝6，∴CD＝PD﹣PC＝6﹣4＝2，∴AC＝＝＝4，在Rt△ACD中，AD＝＝＝2．∴OA＝AD＝，∴⊙O的面积＝π×（）2＝13π．故选：D．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质、圆内接四边形的性质、勾股定理，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形求解．4．（2019秋•萧山区期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝5，CE＝，则AE＝2．【点拨】连接AC，由圆内接四边形的性质和圆周角定理得到∠BAE＝∠CDA，∠ABD＝∠ACD，从而得到∠ACD＝∠CDA，得出AC＝AD＝5，然后利用勾股定理计算AE的长．【解析】解：连接AC，如图，∵BA平分∠DBE，∴∠ABE＝∠ABD，∵∠ABE＝∠CDA，∠ABD＝∠ACD，∴∠ACD＝∠CDA，∴AC＝AD＝5，∵AE⊥CB，∴∠AEC＝90°，∴AE＝＝＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定、圆周角定理、勾股定理、角平分线定义等知识；熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质是解题的关键．6.（2019•黄埔区一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD，BC的延长线交于点E，F是BD延长线上一点，∠CDE＝∠CDF＝60°．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）判断DA，DC，DB之间的数量关系，并证明你的结论．【点拨】（1）根据圆内接四边形的性质得到∠CDE＝∠ABC＝60°，根据圆周角定理、等边三角形的判定定理证明；（2）在BD上截取PD＝AD，证明△APB≌△ADC，根据全等三角形的性质证明结论．【解析】（1）证明：∵∠CDE＝∠CDF＝60°，∴∠CDE＝∠EDF＝60°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠CDE＝∠ABC＝60°，由圆周角定理得，∠ACB＝∠ADB＝∠EDF＝60°，∴△ABC是等边三角形；（2）解：DA+DC＝DB，理由如下：在BD上截取PD＝AD，∵∠ADP＝60°，∴△APD为等边三角形，∴AD＝AP，∠APD＝60°，∴∠APB＝120°，在△APB和△ADC中，，∴△APB≌△ADC（AAS），∴BP＝CD，∴DB＝BP+PD＝DA+DC．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．巩固训练1．（2019秋•福田区期末）下图中∠ACB是圆心角的是（）A．B．C．D．【点拨】根据圆心角的概念判断．【解析】解：A、∠ACB不是圆心角；B、∠ACB是圆心角；C、∠ACB不是圆心角；D、∠ACB不是圆心角；故选：B．【点睛】本题考查的是圆心角的概念，掌握顶点在圆心的角叫作圆心角是解题的关键．2．（2019秋•诸暨市期末）用直角三角板检查半圆形的工件，下列工件哪个是合格的（）A．B．C．D．【点拨】根据90°圆周角所对的弦是直径即可判断．【解析】解：根据90°的圆周角所对的弦是直径得到只有C选项正确，其他均不正确；故选：C．【点睛】本题考查圆周角定理、解题的关键是灵活运用圆周角定理解决问题，属于中考常考题型．3．（2019秋•拱墅区校级期末）下列语句中，正确的是（）①相等的圆周角所对的弧相等；②同弧或等弧所对的圆周角相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；④圆内接平行四边形一定是矩形．A．①②B．②③C．②④D．④【点拨】根据圆周角定理、垂径定理、圆内接四边形的性质定理判断．【解析】解：①在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，本说法错误；②同弧或等弧所对的圆周角相等，本说法正确；③平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，本说法错误；④圆内接平行四边形一定是矩形，本说法正确；故选：C．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，掌握圆周角定理、垂径定理、圆内接四边形的性质定理是解题的关键．4．（2019春•西湖区校级月考）圆的内接四边形ABCD的四个内角之比∠A：∠B：∠C：∠D的可能的值是（）A．1：2：3：4 B．4：2：3：1 C．4：3：1：2 D．4：1：3：2【点拨】因为圆的内接四边形对角互补，则两对角的和应该相等，比值所占份数也相同，据此求解．【解析】解：∵圆的内接四边形对角互补，∴∠A+∠C＝∠B+∠D＝180°，∴∠A：∠B：∠C：∠D的可能的值是4：3：1：2．故选：C．【点睛】要掌握圆的内接四边形对角互补的特性．5．（2018秋•句容市校级月考）如图，AB，CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，弧CE的度数为40°，∠AOC 的度数70°．【点拨】连接OE，由弧CE的度数为40°，得到∠COE＝40°，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出∠OCE＝（180°﹣40°）÷2＝70°，而弦CE∥AB，即可得到∠AOC＝∠OCE＝70°．【解析】解：连接OE，如图，∵弧CE的度数为40°，∴∠COE＝40°，∵OC＝OE，∴∠OCE＝∠OEC，∴∠OCE＝（180°﹣40°）÷2＝70°，∵弦CE∥AB，∴∠AOC＝∠OCE＝70°．【点睛】本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等，等腰三角形的性质和平行的性质以及三角形的内角和定理．6．（2020•浙江自主招生）如图，MN是⊙O的直径，MN＝2，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为弧AN 的中点，P是直径MN上一动点，则P A+PB的最小值为．【点拨】首先利用在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点P的位置，然后根据弧的度数发现一个等腰直角三角形计算．【解析】解：作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则P点就是所求作的点．此时P A+PB最小，且等于AC的长．连接OA，OC，∵∠AMN＝30°，∴∠AON＝60°，∴弧AN的度数是60°，则弧BN的度数是30°，根据垂径定理得弧CN的度数是30°，则∠AOC＝90°，又OA＝OC＝1，则AC＝．【点睛】此题主要考查了确定点P的位置，垂径定理的应用．7．（2019春•西湖区校级月考）如图，在⊙A中，弦BC、ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，已知DE＝6，BC＝9，∠BAC+∠EAD＝180°，则⊙A的直径等于3．【点拨】延长CA，交⊙A于点F，易得∠BAF＝∠DAE，由圆心角与弦的关系，可得BF＝DE，由圆周角定理可得：∠CBF＝90°，然后由勾股定理求得弦CF的长即可．【解析】解：作直径CF，连结BF，如图，∵∠BAC+∠EAD＝180°，而∠BAC+∠BAF＝180°，∴∠DAE＝∠BAF，∴，∴DE＝BF＝6，∵CF是直径，∴∠CBF＝90°，∴CF＝＝＝3，故答案为：3．【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、三角形中位线的性质以及勾股定理．正确作出辅助线是解题的关键．8．（2019秋•香坊区校级期中）如图，AB为 ⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F．且＝．（1）求证：OE＝OF；（2）作半径ON⊥AB于点M，若AB＝8，MN＝2，求OM的长．【点拨】（1）连接OA、OB，证明△AOE≌△BOF（ASA），即可得出结论；（2）连接OA，由垂径定理得出AM＝AB＝4，设OM＝x，则OA＝ON＝x+2，在Rt△AOM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解析】（1）证明：连接OA、OB，如图1所示：∵OA＝OB，∴∠A＝∠B，∵＝，∴∠AOE＝∠BOF，在△AOE和△OBF中，，∴△AOE≌△BOF（ASA），∴OE＝OF；（2）解：连接OA，如图2所示：∵OM⊥AB，∴AM＝AB＝4，设OM＝x，则OA＝ON＝x+2，在Rt△AOM中，由勾股定理得：42+x2＝（x+2）2，解得：x＝3，∴OM＝3．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理等知识；熟练掌握圆心角、弧、弦的关系和垂径定理是解题的关键．9．（2019秋•滨江区期中）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC 交于点E．（1）若∠B＝70°，求弧CD的度数；（2）若AC＝24，DE＝8，求半圆O的半径．【点拨】（1）根据直径所对的圆周角是直角求出∠BAC的度数，根据平行线的性质求出∠AOD的度数，然后求出∠DOC的度数可确定弧CD的度数；（2）先证明OE⊥AC得到AE＝CE＝AC＝12，设半径为r，则OE＝r﹣8，然后利用勾股定理得到（r ﹣8）2+122＝r2，然后解方程即可．【解析】解：（1）连接OC，如图，∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，又∠B＝70°，∴∠BAC＝20°，∵OD∥BC，∴∠AOD＝∠B＝70°，又OD＝OA，∴∠OAD＝55°，∴∠DAC＝35°，∴∠DOC＝2∠DAC＝70°，∴的度数是70°；（2）∵OD∥BC，∴∠OEA＝∠ACB＝90°，∴OE⊥AC，∴AE＝CE＝AC＝12，设半径为r，则OE＝r﹣8，在Rt△AOE中，（r﹣8）2+122＝r2，解得r＝5，即半圆O的半径为5．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．10．（2020•雅安）如图，四边形ABCD内接于圆，∠ABC＝60°，对角线BD平分∠ADC．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）过点B作BE∥CD交DA的延长线于点E，若AD＝2，DC＝3，求△BDE的面积．【点拨】（1）根据三个内角相等的三角形是等边三角形即可判断；（2）过点A作AE⊥CD，垂足为点E，过点B作BF⊥AC，垂足为点F．根据S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD，分别求出△ABC，△ACD的面积，即可求得四边形ABCD的面积，然后通过证得△EAB≌△DCB（AAS），即可求得△BDE的面积＝四边形ABCD的面积＝．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆．∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC＝60°，∴∠ADC＝120°，∵DB平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB＝60°，∴∠ACB＝∠ADB＝60°，∠BAC＝∠CDB＝60°，∴∠ABC＝∠BCA＝∠BAC，∴△ABC是等边三角形．（2）过点A作AM⊥CD，垂足为点M，过点B作BN⊥AC，垂足为点N．∴∠AMD＝90°，∵∠ADC＝120°，∴∠ADM＝60°，∴∠DAM＝30°，∴DM＝AD＝1，AM＝＝＝，∵CD＝3，∴CM＝CD+DM＝1+3＝4，∴S△ACD＝CD•AM＝×＝，Rt△AMC中，∠AMD＝90°，∴AC＝＝＝，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝，∴BN＝BC＝，∴S△ABC＝×＝，∴四边形ABCD的面积＝+＝，∵BE∥CD，∴∠E+∠ADC＝180°，∵∠ADC＝120°，∴∠E＝60°，∴∠E＝∠BDC，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠EAB＝∠BCD，在△EAB和△DCB中，，∴△EAB≌△DCB（AAS），∴△BDE的面积＝四边形ABCD的面积＝．【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．。

与圆有关的角考点聚焦圆是重要的平面图形，与圆有关的角(圆心角，圆周角，圆内接四边形的内角，与切线有关的夹角，扇形的圆心角等)是圆中最基础最重要的内容之一纵观近年来各地的中考数学试卷，与圆有关的角相关的考题都占有一定的比重，有的直接单一考查圆周角、圆心角的有关知识点，这类问题多以选择题和填空题的形式出现;有的则与其他知识点或生活实际相结合，成为综合解答类试题，以考查学生综合运用有关知识分析问题与解决问题的能力.其考点则主要聚焦在以下几个方面.考点1求圆心角的度数例1(2017•绍兴)如图1，一块含45°角的直角三角板，它的一个锐角顶点A 在圆上，边,AB AC 分别与⊙O 交于点,D E ，则DOE ∠的度数为.解:Q 点A 在圆上45DAE ∠=︒,1452DAE DOE ∴∠=∠=︒.90DOE ∴∠=︒.评注:根据图形特点，利用同弧(»DE)所对的圆心角DOE ∠等于圆周角DAE ∠的2倍，可使问题获得解答.同步练习1(2017•兰州)如图2.在⊙O 中，AB BC =，点D 在⊙O 上，25CDB ∠=︒，则AOB ∠=()A.45° B.50°C.55°D.60°考点2求圆周角的大小例2(2017•重庆)如图3,BC 是⊙O 的直径，点A 在圆上，连接,,64AO AC AOB ∠=︒，则ACB ∠=.解:由题设知ACB ∠是弧AB 所对的圆周角，AOB ∠是弧AB 所对的圆心角.又64AOB ∠=︒，1322ACB AOB ∴∠=∠=︒.评注:此类考题是基础题，理解并掌握同一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半是正确解题的关键.同步练习2(2017•自贡)如图4,AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于点,A PO 交⊙O 于点C ，连接BC ，若40P ∠=︒，则B ∠=()A.20°B.25°C.30°D.40°考点3求与圆心角和圆周角相关的其它角的度数例3(2017•泰安)如图5,ABC ∆内接于⊙O ，若A α∠=，则OBC ∠=()A.1802α︒-B.2αC.90α︒+D.90α︒-解:如图6，连接OC .O Q 为圆心，A α∠=,22BOC A α∠=∠=.又OB OC =,OBC OCB ∴∠=∠.21801802OBC BOC α∴∠=︒-∠=︒-，即90OBC α∠=︒-故选D.评注:根据题设条件，作出辅助线OC ，构造出圆心角BOC ∠是解答本题的切入点，而利用BOC ∠与A ∠之间的关系，以及等腰三角形的性质，用含α的式子表示出OBC ∠是解答本题的关键.同步练习3(2017•扬州)如图7，已知⊙O 是ABC ∆的外接圆，连接AO ，若40B ∠=︒，则OAC ∠=.考点4圆内接四边形的内角例4(2017•南京)如图8，四边形ABCD 是菱形，⊙O 经过点,,A C D ，与BC 相交于点E ，连接,AC AE ，若78D ∠=︒，则EAC ∠=.解:Q 四边形ABCD 是菱形，//AD BC ∴.78D ∠=︒Q ,102BCD ∴∠=︒.1512ECA BCD ∴∠=∠=︒.Z又四边形AECD 为⊙O 的内接四边形，180AEC D ∴∠+∠=︒.102AEC ∴∠=︒.1801801025127EAC AEC ECA ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒.评注:圆内接四边形的四个内角都是圆周角，它们的内对角互补.同步练习4(2017•淮安)如图9，在圆内接四边形ABCD 中，若,,A B C ∠∠∠的度数之比为4:3:5，则D ∠的度数是.考点5弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系例5(2017•湖州)如图10，已知，在ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径作半圆O ，交BC 于D .若40BAC ∠=︒，则»AD 的度数是度.解:如图11，连接OD .,40AB AC BAC =∠=︒Q ,70ABC C ∴∠=∠=︒，即70ABD ∠=︒.2270140AOD ABD ∴∠=∠=⨯︒=︒.∴»AD 的度数是140°.评注:本题考查了弧、圆周角、圆心角之间的关系，明确所求弧的度数等于这条弧上的圆心角的度数是正确解题的关键.同步练习5(2017•北京)如图12,AB 为⊙O 的直径，,C D 为⊙O 上的点,»»AD CD=，若40CAB ∠=︒，则CAD ∠=.考点6与圆心角有关的弧长计算例6(2017•安徽)如图13，已知等边ABC ∆的边长为6，以AB 为直径的⊙O 与边,AC BC 分别交于,D E 两点，则»DE 的长为.解:如图14，连接,,OD OE AE .ABC ∆Q 为等边三角形，60BAC ∴∠=︒.又AB 为直径，90AEB ∴∠=︒.即AE BC ⊥.30BAE CAE ∴∠=∠=︒.260DOE DAE ∴∠=∠=︒.又132OD OA AB ===Q ，»DE ∴的长603180ππ⨯⨯==.评注:求弧长，必须知道弧所对的圆心角的大小.本题根据等边三角形“三线合一”的性质先求出圆周角DAE ∠的度数，从而可得到圆心角DOE ∠的度数，然后利用弧长公式可求出»DE的长.同步练习6(2017•枣庄)如图15，在ABCD Y 中，AB 为⊙O 的直径，⊙O 与DC 相切于点E ，与AD 相交于点F ，已知12,60AB C =∠=︒，则»FE 的长为.考点7与切线有关的夹角问题例7(2017•滨州)如图16，点E 是ABC ∆的内心，AE 的延长线交BC 于点F ，交ABC ∆的外接圆⊙O 于点D ，连接BD ，过点D 作直线DM ，使BDM DAC ∠=∠.求证:直线DM 是⊙O 的切线.证明:如图17，连接OD .Q 点E 是ABC ∆的内心，AE 的延长线交⊙O 于点D ,BAD DAC ∴∠=∠.»»BDCD ∴=，即D 为»BC 的中点.OD BC ∴⊥.,BDM DAC DAC DBC ∠=∠∠=∠Q ,BDM DBC ∴∠=∠.//DM BC ∴.OD BC ⊥Q ,DM OD ∴⊥.∴直线DM 是⊙O 的切线.评注:当过半径外端点的一条直线(DM )与过这个端点的一条弦(DB )所夹的角(BDM ∠)，等于这个角所夹弧上的圆周角(BAD ∠)时，则这条直线必是圆的切线.值得注意的是，上述命题的逆命题也成立.即知道一条直线是圆的切线时，则切线与弦的夹角等于其所夹弧上的圆周角(有兴趣的读者可自证之).熟知上述两个结论，在求解有关问题(特别是选择题和填空题)时，可简化过程，收到事半功倍的效果.同步练习7(2017•福建)如图18，四边形ABCD 内接于⊙O ,AB 是⊙O 的直径，点P 在CA 的延长线上，45CAD ∠=︒.(1)若AB =4，求»CD的长;(2)若»»BCAD =,AD AP =，求证:PD 是⊙O 的切线.考点8与其他知识结合的综合性问题例8(2017•台州)如图19，已知等腰直角三角形ABC ，点P 是斜边BC 上一点(不与,B C 重合),PE 是ABP ∆的外接圆⊙O 的直径.(1)求证:APE ∆是等腰直角三角形;(2)若⊙O 的直径为2，求22PC PB +的值.解:(1)证明:ABC ∆Q 为等腰直角三角形，,90AC AB CAP BAP ∴=∠+∠=︒.PE Q 为⊙O 的直径，90BAE BAP ∴∠+∠=︒.CAP BAE ∴∠=∠.Q 四边形AEBP 为⊙O 的内接四边形，180APB AEB ∴∠+∠=︒.又180APC APB ∠+∠=︒,APC AEB ∴∠=∠.ACP ABE ∴∆≅∆.AP AE ∴=.又90PAE ∠=︒，APE ∴∆是等腰直角三角形.(2)ACP ABE ∆≅∆Q ,CP BE ∴=.PE Q 为⊙O 的直径，90PBE ∴∠=︒.222,2EB PB PE PE +==Q .222224PC PB PE ∴+===.评注:本题由全等三角形和圆周角及其推论(直径所对的圆周角是直角)，证出APE ∆是等腰直角三角形;在ACP ABE ∆≅∆的基础上，结合勾股定理并利用整体求值的思想方法计算出22PC PB +的值，知识间联系自然，具有较好的综合性.同步练习8(2017•天津)已知AB 是⊙O 的直径，AT 是⊙O 的切线，50ABT ∠=︒,BT 交⊙O 于点,C E 是AB 上一点，延长CE 交⊙O 于点D .(1)如图20，求T ∠和CDB ∠的大小;(2)如图21，当BE BC =时，求CDO ∠的大小.参考答案1.B2.B3.50°4.120°5.25°6.π7.(1)π(2)»»BCAD =Q ,BOC AOD ∴∠=∠,90COD ∠=︒Q ,45AOD ∴∠=︒,18067.52AOD ODA ︒-∠∴∠==︒,又45,CAD AD AP ∠=︒=,122.52ADP APD CAD ∴∠=∠=∠=︒,67.522.590ODP ODA ADP ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒,即OD PD ⊥.∴PD 是⊙O 的切线.8.(1)40T ∠=︒,40CDB ∠=︒.(2)15CDO ∠=︒。

初三数学圆的知识点归纳圆是指在一个平面内，一动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线，标准方程是(x-a)?+(y-b)?=r?，其中点(a,b)是圆心，r是半径。

初三数学圆的知识点归纳一、圆的定义。

1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。

2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。

二、圆的各元素。

1、半径：圆上一点与圆心的连线段。

2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。

3、弦：连接圆上两点线段(直径也是弦)。

4、弧：圆上两点之间的曲线部分。

半圆周也是弧。

(1)劣弧：小于半圆周的弧。

(2)优弧：大于半圆周的弧。

5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。

6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。

7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。

三、圆的基本性质。

1、圆的对称性。

(1)圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。

(2)圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。

(3)圆是旋转对称图形。

2、垂径定理。

(1)垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。

(2)推论：平分弦(非直径)的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。

平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。

3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。

圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。

(1)同弧所对的圆周角相等。

(2)直径所对的圆周角是直角;圆周角为直角，它所对的弦是直径。

4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。

5、夹在平行线间的两条弧相等。

6、设⊙O的半径为r，OP=d。

7、(1)过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。

(2)不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三个点的距离相等。

(直角三角形的外心就是斜边的中点。

)8、直线与圆的位置关系。

d表示圆心到直线的距离，r表示圆的半径。

直线与圆有两个交点，直线与圆相交;直线与圆只有一个交点，直线与圆相切;直线与圆没有交点，直线与圆相离。

中考数学一轮复习 与圆有关的角知识考点：1、掌握与圆有关的角，如圆心角、圆周角、弦切角等概念；2、掌握圆心角的度数等于它所对弧的度数；3、掌握圆周角定理及其推论；4、掌握弦切角定理及其推论；5、掌握各角之间的转化及其综合运用。

精典例题：【例1】如图，在等腰△ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝1000，点P 在△ABC 的外部，并且PC ＝BC ，求∠APB 的度数。

分析：注意条件AC ＝BC ＝PC ，联想到圆的定义，画出以点C 为圆心，AC 为半径的圆，问题则得以解决。

解：∵AC ＝BC ，PC ＝BC∴A 、B 、P 三点在以C 为圆心，AC 为半径的圆上 若P 、C 在AB 的同侧，则∠APB ＝21∠ACB ∵∠ACB ＝1000，∴∠APB ＝500若P 、C 在AB 的异侧，则∠APB ＝1800－50＝1300【例2】如图，在△ABC 中，∠B ＝900，O 是AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆与AB 交于E ，与AC 切于点D ，直线ED 交BC 的延长线于F ，若AD ∶AE ＝2∶1，求cot ∠F 的值。

分析：由AD ∶AE ＝2∶1和△ADE ∽△ABD 有DE ∶DB ＝1∶2，而∠F ＝∠EBD ，则cot ∠F＝cot ∠EBD ＝DEBD，故结论得证。

解：连结BD∵AC 为⊙O 的切线，∴∠1＝∠2 ∵∠A ＝∠A ，∴△ADE ∽△ABD∴DE BD AE AD=，即12=AE AD ∴212==DEDB∵BE 为⊙O 的直径，∴∠BDE ＝900∴∠2＋∠BEF ＝900，∵∠F ＋∠BEF ＝900，∴∠2＝∠F ∴cot ∠F ＝cot ∠2＝DEBD＝2 【例3】如图，由矩形ABCD 的顶点D 引一条直线分别交BC 及AB 的延长线于F 、G ，连结AF 并延长交△BGF 的外接圆于H ，连结GH 、BH 。

（1）求证：△DFA ∽△HBG ；'•例1图P CBA•例2图21OEFDCBA（2）过A 点引圆的切线AE ，E 为切点，AE ＝33，CF ∶FB ＝1∶2，求AB 的长； （3）在（2）的条件下，又知AD ＝6，求tan ∠HBG 的值。

九年级数学圆周角知识点归纳
九年级数学圆周角知识点归纳
1、定义：顶点在圆上，角的两边都与圆相交的角。

(两条件缺一不可)
2、定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

3、推论：1)在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。

2)直径(半圆)所对的圆周角是直角;900的圆周角所对的'弦为直径。

(①常见辅助线：有直径可构成直角，有900圆周角可构成直径;②找圆心的方法：作两个900圆周角所对两弦交点)
4、圆内接四边形的性质定理：圆内接四边形的对角互补。

(任意一个外角等于它的内对角)
补充：1、两条平行弦所夹的弧相等。

2、圆的两条弦1)在圆外相交时，所夹角等于它所对的两条弧度数差的一半。

2)在圆内相交时，所夹的角等于它所夹两条弧度数和的一半。

3、同弧所对的(在弧的同侧)圆内部角最大其次是圆周角，最小的是圆外角。

专题与圆有关的角阅读与思考与圆有关的角主要有圆心角、圆周角、弦切角.特别的，直径所对的圆周角是直角.圆内接四边形提供相等的角、互补的角，在理解与圆有关的角的概念时，要注意角的顶点与圆的位置关系、角的两边与圆的位置关系.角在解题中经常发挥重要的作用，是证明角平分线、两线平行、两线垂直，判定全等三角形、相似三角形的主要条件，而圆的特点又使角的互相转化具备了灵活多变的优越条件，是解题中最活跃的元素.熟悉以下基本图形和以上基本结论.例题与求解【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，则△CDE的面积为___________.（海南省竞赛题）例1题图例2题图解题思路：作DF⊥BC于F，需求出CE，DF的长.由AB为⊙O的直径作出相关辅助线.»BC的中点，AM交BC于点D，若AD＝3，DM＝1，则MB 【例2】如图，△ABC内接于⊙O，M是的长是（）A．4B．2C．3D．3解题思路：图中隐含许多相等的角，利用比例线段计算.【例3】如图1，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC＝45°，等腰直角三角形DCE中，∠DCE是直角，点D在线段AC上.(1)证明：B，C，E三点共线；(2)若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN＝2OM；(3)将△DCE绕点C逆时针旋转α(0°＜α＜90°)后，记为△D1CE1(如图2).若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1＝2OM1是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由.解题思路：对于(2)，充分利用条件中的多个中点，探寻线段之间的数量关系与位置关系.图1图2【例4】如图所示，ABCD为⊙O的内接四边形，E是BD上的一点，∠BAE＝∠DAC.求证：(1)△ABE∽△ACD；(2)AB·DC＋AD·BC＝AC·BD.（陕西省竞赛试题）解题思路：由(1)可类比猜想，为(2)非常规问题的证明铺平道路.【例5】如图1，已知⊙M与x轴交于点A，D，与y轴正半轴交于点B，C是⊙M上一点，且A（－2,0），B（0，4），AB＝BC.(1)求圆心M的坐标；(2)求四边形ABCD的面积；(3)如图2，过C点作弦CF交BD于点E，当BC＝BE时，求CF的长.解题思路：作出基本辅助线（如连接BM或AC），这是解(1)、(2)的基础；对于(3)，由BC＝BE，得∠BEC＝∠BCE，连接AC，将与圆无关的∠BEC转化为与圆有关角，导出CF平分∠ACD，这是解题的关键.【例6】如图，AB，AC，AD是⊙O中的三条弦，点E在AD上，且AB＝AC＝AE.求证：(1)∠CAD＝2∠DBE；(2)AD2－AB2＝BD·DC.（浙江省竞赛试题）解题思路：对于（2），AD2－AB2＝(AD＋AB)(AD－AB)＝(AD＋AE)(AD－AE)＝(AD＋AE)·DE，需证(AD＋AE)·DE＝BD·DC，从构造相似三角形入手.能力训练A级1.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC＝30°，点P在线段OB上运动.设∠ACP＝x，则x的取值范围是________.2.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，F是CG的中点，延长AF交⊙O于E，CF＝2，AF＝3，则EF的长为________.3.如图，AB，CD是⊙O的两条弦，它们相交于点P.连接AD，BD，已知AD＝BD＝4，PC＝6，那么CD的长为________.BD＝1.设AD＝x，4.如图，圆内接四边形ABCD中的两条对角线相交于点P，已知AB＝BC，CD＝12用x的代数式表示PA与PC的积：PA·PC＝__________.（宁波市中考试题）5.如图，ADBC是⊙O的内接四边形，AB为直径，BC＝8，AC＝6，CD平分∠ACB，则AD＝()A．50B．32C．52D．42第4题图第5题图第6题图6.如图，在△ABC中，AD是高，△ABC的外接圆直径AE交BC边于点G，有下列四个结论：①AD2＝BD·CD；②BE2＝EG·AE；③AE·AD＝AB·AC；④AG·EG＝BG·CG.其中正确结论的个数是()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（哈尔滨市中考试题）7.如图，正△ABC 内接于⊙O ，P 是劣弧»BC上任意一点，PA 与BC 交于点E ，有如下结论：①PA ＝PB ＋PC ；②111AP PB PC=+；③PA ·PE ＝PB ·PC .其中正确结论的个数是()（天津市中考试题）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个8.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，延长AD ，BC 交于点M ，延长AB ，DC 交于点N ，∠M ＝20°，∠N ＝40°，则∠A 的大小为（）A ．35°B ．60°C ．65°D ．70°第7题图第8题图第9题图9.如图，已知⊙O 的内接四边形ABCD 中，AD ＝CD ，AC 交BD 于点E .求证：(1)AD DE BD AD=；(2)AD ·CD －AE ·EC ＝DE 2；（扬州市中考试题）10.如图，已知四边形ABCD 外接圆⊙O 的半径为5，对角线AC 与BD 交于点E ，且AB 2＝AE •AC ，BD ＝8，求△ABD 的面积.（黑龙江省中考试题）11.如图，已知⊙O 的内接△ABC 中，AB ＋AC ＝12，AD ⊥BC 于D ，AD ＝3.设⊙O 的半径为y ，AB 的长为x .(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)当AB 的长等于多少时，⊙O 的面积最大？并求出⊙O 的最大面积.（南京市中考试题）12.如图，已知半圆⊙O 的直径AB ＝4，将一个三角板的直角顶点固定在圆心O 上.当三角板绕着O 点转动时，三角板的两条直角边与半圆周分别交于C ，D 两点，连接AD ，BC 交于点E .(1)求证：△ACE ∽△BDE ；(2)求证：BD ＝DE ；(3)设BD ＝x ，求△AEC 的面积y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.（广东省中考试题）B 级1.如图，△ABC 内接于直径为d 的圆，设BC ＝a ，AC ＝b ，那么△ABC 的高CD ＝__________.2.如图，在平面直角坐标系中，△OCB 的外接圆与y 轴相交于点A （0，2），∠OCB ＝60°，∠COB ＝45°，则OC ＝__________.第1题图第2题图第3题图3.如图，AB 为⊙O 的直径，CD ⊥AB ，设∠COD ＝α，则2sin 2AB AD ＝________.（江苏省竞赛试题）4.如图，已知圆内接四边形ABCD 中，AD ≠AB ，∠DAB ＝90°，对角线AC 平分∠DAB .若AD ＝a ，AB ＝b ，则AC ＝___________.（“东亚杯”竞赛试题）5.如图，ABCD 是一个以AD 为直径的圆内接四边形，AB ＝5，PC ＝4，分别延长AB 和DC ，它们相交于点P ，若∠APD ＝60°，则⊙O 的面积为（）A ．25πB ．16πC ．15πD ．13π6.如图，AB ＝AC ＝AD ，若∠DAC 是∠CAB 的k 倍（k 为正数），那么∠DBC 是∠BDC 的（）A ．k 倍B ．2k 倍C ．3k 倍D ．以上答案都不对第4题图第5题图第6题图7.如图，AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高，AB ＝AC ，过A ，D 两点的圆与AB ，AC 分别相交于E ，F ，弦EF 与AD 相交于点G ，则图中与△GDE 相似的三角形的个数为()A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个8．如图，AB 为⊙O 的直径，AC 交⊙O 于点E ，BC 交⊙O 于点D ，CD ＝BD ，∠C ＝70°，现给出以下四个结论：①∠A ＝45°；②AC ＝AB ；③»»AE BE；④CE ·AB ＝2BD 2.其中正确结论的序号是()A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④（苏州市中考试题）第7题图第8题图第9题图9.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 为⊙O 的直径，E 为DC 边上一点，若AE ∥BC ,AE ＝EC ＝7，AB ＝6.(1)求AD 的长；(2)求BE 的长.（绍兴市竞赛题）10.如图1，已知M（12，32，以M为圆心，MO为半径的⊙M分别交x轴，y轴于B，A.(1)求A，B两点的坐标;(2)C是»AO上一点，若BC＝3，试判断四边形ACOM是何种特殊四边形，并说明理由;(3)如图2，在(2)的条件下，P是»AB上一动点，连接PA，PB，PC.当P在»AB上运动时，求证：PA+POPC的值是定值.11.如图，四边形ABCD为正方形，⊙O过正方形的顶点A和对角线的交点P，分别交AB，AD于点F，E.(1)求证：DE＝AF；(2)若⊙O的半径为32，AB＝2＋1，求AEED的值.（江苏省竞赛题）。

2025年中考数学考点分类专题归纳圆知识点一、圆的定义、性质及与圆有关的角1．圆的定义(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.备注：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2．圆的性质(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.(3)垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.⑤平行弦夹的弧相等.备注：在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）3．与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.4．圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.备注：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.知识点二、与圆有关的位置关系1．判定一个点P是否在⊙O上设⊙O的半径为，OP=，则有点P在⊙O 外；点P在⊙O 上；点P在⊙O 内.备注：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.2．判定几个点A1，A2……A n在同一个圆上的方法当A1O=A2O=……=A n O=R时，A1，A2……A n在⊙O 上.3．直线和圆的位置关系设⊙O 半径为R，点O到直线的距离为.(1)直线和⊙O没有公共点直线和圆相离.(2)直线和⊙O有唯一公共点直线和⊙O相切.(3)直线和⊙O有两个公共点直线和⊙O相交.4．切线的判定、性质(1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.(2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径.②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.③经过切点作切线的垂线经过圆心.(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.5．圆和圆的位置关系设的半径为，圆心距.(1)和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离.(2)和没有公共点，且的每一个点都在内部内含(3)和有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切.(4)和有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切.(5)和有两个公共点相交.知识点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形1．三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等.(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等.(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示.(4)垂心：是三角形三边高线的交点.备注：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).(3) 三角形的外心与内心的区别：2．圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.知识点四、圆中有关计算1．圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.备注：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.1．（2024•贺州）如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知sin∠CDB，BD＝5，则AH的长为（）A．B．C．D．2．（2024•张家界）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则AE＝（）A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm3．（2024•襄阳）如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA＝30°，则弦BC的长为（）A．4 B．2C．D．24．（2024•衢州）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则OF的长度是（）A．3cm B．cm C．2.5cm D．cm5．（2024•枣庄）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为（）A．B．2C．2D．86．（2024•安顺）已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则AC的长为（）A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．2cm或4cm7．（2024•临安区）如图，⊙O的半径OA＝6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC＝（）A．B．C．D．8．（2024•乐山）《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED＝1寸），锯道长1尺（AB＝1尺＝10寸）”，问这块圆柱形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算：圆柱形木材的直径AC是（）A．13寸B．20寸C．26寸D．28寸9．（2024•日照）如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠BED 的正切值等于（）A．B．C．2 D．10．（2024•巴中）如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，点E在⊙O上，∠E＝22.5°，AB＝4，则半径OB 等于（）A．B．2 C．2D．311．（2024•赤峰）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（A、B除外），∠AOD＝130°，则∠C的度数是（）A．50°B．60°C．25°D．30°12．（2024•盘锦）如图，⊙O中，OA⊥BC，∠AOC＝50°，则∠ADB的度数为（）A．15°B．25°C．30°D．50°13．（2024•陕西）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作CD∥AB，并与⊙O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为（）A．15°B．35°C．25°D．45°14．（2024•柳州）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠A＝60°，∠B＝24°，则∠C的度数为（）A．84°B．60°C．36°D．24°15．（2024•铜仁市）如图，已知圆心角∠AOB＝110°，则圆周角∠ACB＝（）A．55°B．110°C．120°D．125°16．（2024•通辽）已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°17．（2024•咸宁）如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD＝6，则弦AB的长为（）A．6 B．8 C．5D．518．（2024•陇南）如图，⊙A过点O（0，0），C（，0），D（0，1），点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是（）A．15°B．30°C．45°D．60°19．（2024•盐城）如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC＝35°，则∠CAB的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°20．（2024•邵阳）如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是（）A．80°B．120°C．100°D．90°21．（2024•泰安）如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（）A．3 B．4 C．6 D．822．（2024•牡丹江）如图，△ABC内接于⊙O，若sin∠BAC，BC＝2，则⊙O的半径为（）A．3B．6C．4D．223．（2024•自贡）如图，若△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠A＝60°，连接OB、OC，则边BC的长为（）A．B．C．D．24．（2024•湘西州）已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定25．（2024•湘西州）如图，直线AB与⊙O相切于点A，AC、CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，若⊙O的半径为5，CD＝8，则弦AC的长为（）A．10 B．8 C．4D．426．（2024•福建）如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC交⊙O于点D，若∠ACB＝50°，则∠BOD等于（）A．40°B．50°C．60°D．80°27．（2024•宜昌）如图，直线AB是⊙O的切线，C为切点，OD∥AB交⊙O于点D，点E在⊙O上，连接OC，EC，ED，则∠CED的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°28．（2024•重庆）如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为4，BC＝6，则PA的长为（）A．4 B．2C．3 D．2.529．（2024•海南）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（20，0），点B的坐标是（16，0），点C、D 在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，则点C的坐标为_______．30．（2024•烟台）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为_________．31．（2024•孝感）已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16cm，CD＝12cm，则弦AB和CD之间的距离是______cm．32．（2024•广元）如图是一块圆环形玉片的残片，作外圆的弦AB与内圆相切于点C，量得AB＝8cm、点C 与的中点D的距离CD＝2cm．则此圆环形玉片的外圆半径为___cm．33．（2024•舟山）如图，量角器的0度刻度线为AB，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C，直尺另一边交量角器于点A，D，量得AD＝10cm，点D在量角器上的读数为60°，则该直尺的宽度为________cm．34．（2024•毕节市）如图，AB是⊙O的直径，C、D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，∠ACE的度数为_____．35．（2024•随州）如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝40度，∠C＝20度，则∠B＝____度．36．（2024•黑龙江）如图，AC为⊙O的直径，点B在圆上，OD⊥AC交⊙O于点D，连接BD，∠BDO＝15°，则∠ACB＝_____．37．（2024•吉林）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，，若∠AOB＝58°，则∠BDC＝____度．38．（2024•北京）如图，点A，B，C，D在⊙O上，，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝_____．39．（2024•绥化）如图，△ABC是半径为2的圆内接正三角形，则图中阴影部分的面积是________（结果用含π的式子表示）．40．（2024•常州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝60°，的长是，则⊙O的半径是___．41．（2024•新疆）如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积是__．42．（2024•临沂）如图．在△ABC中，∠A＝60°，BC＝5cm．能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是______cm．43．（2024•内江）已知△ABC的三边a，b，c，满足a+b2+|c﹣6|+28＝410b，则△ABC的外接圆半径＝_．44．（2024•益阳）如图，在圆O中，AB为直径，AD为弦，过点B的切线与AD的延长线交于点C，AD＝DC，则∠C＝____度．45．（2024•枣庄）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以BC为直径作⊙O交AB于点D．（1）求线段AD的长度；（2）点E是线段AC上的一点，试问：当点E在什么位置时，直线ED与⊙O相切？请说明理由．46．（2024•徐州）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O外，∠ABC的平分线与⊙O交于点D，∠C＝90°．（1）CD与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由；（2）若∠CDB＝60°，AB＝6，求的长．。

圆中的定弦定角和最大张角模型模型分析【模型1】定弦定角模型如图28-1，在ΔABC中，BC的长为定值a，∠A=α为定角度，(1)确定点A的运动轨迹，有3种情况：①如图28-2，当α<90°时，点A的运动轨迹为优弧BAC(不与B、C点重合)；②如图28-3，当α=90°时，点A的运动轨迹为⊙O(不与点B、C重合)；③如图28-4，当α>90°时，点A的运动轨迹为劣弧BAC(不与B、C点重合)。

(2)构成等腰三角形(AB=AC)时：点A到BC的距离最大，且此时ΔABC的面积最大。

【模型变式1】如图28-5，已知点A、B是∠EPF的边PF上的两个定点，点Q是边PE上一动点，则当点Q在何处时，∠AQB最大。

⇒当ΔAQB的外接圆与边PE相切于点Q时，∠AQB最大。

【证明】如图28-6，作ΔAQB的外接圆⊙O，设点Q 为PE上不同与Q点的任意一点，连接Q A、Q B，Q A与⊙O交于点D，连接BD，∵∠ADB>∠AQ'B,∠AQB=∠ADB∵∠AQB>∠AQ'B∴当ΔAQB的外接圆与边PE相切于点Q时，∠AQB最大。

典例分析【例1】如图，在△ABC中，AC=6，BC=83，∠ACB=60°，过点A作BC的平行线l，P为直线l上一动点，⊙O 为△APC 的外接圆，直线BP 交⊙O 于E 点，则AE 的最小值为．【答案】2【分析】如图，连接CE ．首先证明∠BEC =120°，根据定弦定角，可得点E 在以M 为圆心，MB 为半径的BC 上运动，连接MA 交BC于E ′，此时AE ′的值最小．【解析】解：如图，连接CE ．∵AP ∥BC ，∴∠PAC =∠ACB =60°，∴∠CEP =∠CAP =60°，∴∠BEC =120°，∵BC =83,为定值，则点E 的运动轨迹为一段圆弧如图，点E 在以M 为圆心，MB 为半径的BC上运动，过点M 作MN ⊥BC ∴⊙M 中优弧BC 度数为2∠BEC =240°，则劣弧BC度数为120°∴△BMC 是等腰三角形，∠BMC =120°，∵∠BCM =30°，BC =83，MB =MC∴BN =BM 2-MN 2==3MN =12BC =43∴MB =MC =8，∴连接MA 交BC于E ′，此时AE ′的值最小．∵∠ACB =60°，∠BCO =30°，∴∠ACM =90°，∴MA =MC 2+AC 2=82+62=10，∴AE 的最小值为=10-8=2．故答案为：2【例2】数学概念若点P 在ΔABC 的内部，且∠APB 、∠BPC 和∠CPA 中有两个角相等，则称P 是ΔABC 的“等角点”，特别地，若这三个角都相等，则称P 是ΔABC 的“强等角点”.理解概念(1)若点P 是ΔABC 的等角点，且∠APB =100°，则∠BPC 的度数是°.(2)已知点D 在ΔABC 的外部，且与点A 在BC 的异侧，并满足∠BDC +∠BAC <180°，作ΔBCD 的外接圆O ，连接AD ，交圆O 于点P .当ΔBCD 的边满足下面的条件时，求证：P 是ΔABC 的等角点.(要求：只选择其中一道题进行证明！)①如图①，DB =DC②如图②，BC =BD深入思考(3)如图③，在ΔABC 中，∠A 、∠B 、∠C 均小于120°，用直尺和圆规作它的强等角点Q .(不写作法，保留作图痕迹)(4)下列关于“等角点”、“强等角点”的说法：①直角三角形的内心是它的等角点；②等腰三角形的内心和外心都是它的等角点；③正三角形的中心是它的强等角点；④若一个三角形存在强等角点，则该点到三角形三个顶点的距离相等；⑤若一个三角形存在强等角点，则该点是三角形内部到三个顶点距离之和最小的点，其中正确的有.(填序号)【答案】(1)100、130或160；(2)选择①或②，理由见解析；(3)见解析；(4)③⑤【分析】(1)根据“等角点”的定义，分类讨论即可；(2)①根据在同圆中，弧和弦的关系和同弧所对的圆周角相等即可证明；②弧和弦的关系和圆的内接四边形的性质即可得出结论；(3)根据垂直平分线的性质、等边三角形的性质、弧和弦的关系和同弧所对的圆周角相等作图即可；(4)根据“等角点”和“强等角点”的定义，逐一分析判断即可．【解析】(1)(i )若∠APB =∠BPC 时，∴∠BPC =∠APB =100°(ii )若∠BPC =∠CPA 时，∴∠BPC =∠CPA =12(360°-∠APB )=130°；(iii )若∠APB =∠CPA 时，∠BPC =360°-∠APB -∠CPA =160°，综上所述：∠BPC =100°、130°或160°故答案为：100、130或160．(2)选择①：连接PB ,PC∵DB =DC ∴DB =DC∴∠BPD =∠CPD∵∠APB +∠BPD =180°，∠APC +∠CPD =180°∴∠APB =∠APC∴P 是ΔABC 的等角点．选择②连接PB ,PC∵BC =BD ∴BC =BD∴∠BDC =∠BPD∵四边形PBDC 是圆O 的内接四边形，∴∠BDC +∠BPC =180°∵∠BPD +∠APB =180°∴∠BPC =∠APB∴P 是ΔABC 的等角点(3)作BC 的中垂线MN ，以C 为圆心，BC 的长为半径作弧交MN 与点D ，连接BD ，根据垂直平分线的性质和作图方法可得：BD=CD=BC∴△BCD为等边三角形∴∠BDC=∠BCD=∠DBC=60°作CD的垂直平分线交MN于点O以O为圆心OB为半径作圆，交AD于点Q，圆O即为△BCD的外接圆∴∠BQC=180°-∠BDC=120°∵BD=CD∴∠BQD=∠CQD∴∠BQA=∠CQA=12(360°-∠BQC)=120°∴∠BQA=∠CQA=∠BQC如图③，点Q即为所求．(4)③⑤．①如下图所示，在RtABC中，∠ABC=90°，O为△ABC的内心假设∠BAC=60°，∠ACB=30°∵点O是△ABC的内心∴∠BAO=∠CAO=12∠BAC=30°，∠ABO=∠CBO=12∠ABC=45°，∠ACO=∠BCO=12∠ACB=15°∴∠AOC=180°-∠CAO-∠ACO=135°，∠AOB=180°-∠BAO-∠ABO=105°，∠BOC=180°-∠CBO-∠BCO=120°显然∠AOC≠∠AOB≠∠BOC，故①错误；②对于钝角等腰三角形，它的外心在三角形的外部，不符合等角点的定义，故②错误；③正三角形的每个中心角都为：360°÷3=120°，满足强等角点的定义，所以正三角形的中心是它的强等角点，故③正确；④由(3)可知，点Q为△ABC的强等角，但Q不在BC的中垂线上，故QB≠QC，故④错误；⑤由(3)可知，当ΔABC的三个内角都小于120°时，ΔABC必存在强等角点Q．如图④，在三个内角都小于120°的ΔABC内任取一点Q ，连接Q A、Q B、Q C，将ΔQ AC绕点A逆时针旋转60°到ΔMAD，连接Q M，∵由旋转得Q A=MA，Q C=MD，∠Q AM=60°∴ΔAQ M是等边三角形．∴Q M=Q A∴Q A+Q B+Q C=Q M+Q B+MD∵B、D是定点，∴当B、Q 、M、D四点共线时，Q M+Q B+MD最小，即Q A+Q B+Q C最小．而当Q 为ΔABC的强等角点时，∠AQ B=∠BQ C=∠CQ A=120°=∠AMD，此时便能保证B、Q 、M、D四点共线，进而使Q A+Q B+Q C最小．故答案为：③⑤．模型演练一、单选题1.如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，若∠ABC=20°，则∠BDC的度数是()A.50°B.60°C.80°D.70°【答案】D【分析】由AB是直径可得∠ACB=90°，由∠ABC=20°可知∠CAB=70°，再根据圆周角定理可得∠BDC的度数，即可得出答案．【解析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠ABC=20°，∴∠CAB=70°，∴∠BDC=∠CAB=70°，故选：D．2.如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC，BD，且AC=BC，∠ADC=130°，则∠ADB的度数为()A.50°B.60°C.70°D.80°【答案】D【分析】利用等边对等角，同弧上的圆周角相等，三角形内角和定理联合解题即可．【解析】∵AC=BC，∴∠CAB=∠CBA，2∠CAB+∠BCA=180°，∵∠ADC=130°，∴∠ADB+∠BDC=130°，∵∠BDC=∠CAB，∠BCA=∠ADB，∴2∠ADB+2∠CAB=260°①，2∠CAB+∠ADB=180°②，①-②，得∠ADB=80°，故选D．3.如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点．设∠ABC=25°，则∠BDC=()A.85°B.75°C.70°D.65°【答案】D【分析】先利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，从而求出∠BAC，再利用同弧所对的圆周角相等即可求出∠BDC．【解析】解：∵C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，∴∠ACB=90°，∵∠ABC=25°，∴∠BAC=90°-25°=65°，∴∠BDC=∠BAC=65°，故选：D．4.如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CAB=60°，则∠ADC的度数为()A.20°B.30°C.40°D.60°【答案】B【分析】由圆周角定理，得到∠ACB=90°，则∠ABC=30°，即可求出答案．【解析】解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=60°，∴∠ABC=30°，∴∠ADC=30°；故选：B．二、填空题5.如图，点D在半圆O上，半径OB=5，AD=4，点C在弧BD上移动，连接AC，作DH⊥AC，垂足为H，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是．【答案】222-2【分析】先确定点H的运动轨迹，再根据点与圆的位置关系可得BH取最小值时，点H的位置，然后利用圆周角定理、线段的和差即可得．【解析】如图，设AD的中点为点E，则EA=ED=12AD=12×4=2由题意得，点H的运动轨迹在以点E为圆心，EA为半径的圆上由点与圆的位置关系得：连接BE，与圆E交于点H，则此时BH取得最小值，EH=2连接BD∵AB为半圆O的直径∴∠ADB=90°∴BD=AB2-AD2=(5+5)2-42=221∴BE=BD2+ED2=(221)2+22=222∴BH=BE-EH=222-2故答案为：222-2．6.如图，已知C、D在以AB为直径的⊙O上，若∠CAB=30°，则∠D的度数是．【答案】60°【分析】由AB为⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠ACB=90°，又由∠CAB= 30°，即可求得∠B的度数，然后由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠D的度数．【解析】∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=30°，∴∠B=90°-∠CAB=60°，∴∠D=∠B=60°．故答案为：60°．7.如图，直线l与⊙O相交于点B、D，点A、C是直线l两侧的圆弧上的动点，若⊙O的半径为1，∠A =30°，那么四边形ABCD的面积的最大值是．【答案】1【分析】当A点和C点到BD的距离最大时，四边形ABCD的面积最大，此时A点和C点为BD所对弧的中点，则AC⊥BD，利用圆周角定理得到∠BOC=30°，接着计算出BH的长，则可计算出S△ABC=12，从而得到四边形ABCD的面积的最大值．【解析】解：当A点和C点到BD的距离最大时，四边形ABCD的面积最大，此时A点和C点为BD 所对弧的中点，∴AC为⊙O的直径，如图，∴AC ⊥BD ，∵∠BAC =30°，∴∠BOC =30°，在Rt △OBH 中，BH =12OB =12，∴S △ABC =12•BH •AC =12×2×12=12，∴四边形ABCD 的面积=2×12=1，∴四边形ABCD 的面积的最大值为1．故答案为1．8.如图，在⊙O 中，弦AB 、CD 相交于点E ，∠BAC =50°，∠AED =75°，则AD 的度数是°．【答案】50【分析】连接OA ，OD ，首先根据同弧所对圆周角相等可得∠BDC =∠BAC =50°，再根据三角形外角的性质即可求得∠ABD 的度数，再根据圆周角定理可求得∠AOD =50°，由此即可求得答案．【解析】解：如图，连接OA ，OD ，∵∠BDC =∠BAC ，∠BAC =50°，∴∠BDC =∠BAC =50°，又∵∠AED =75°，∴∠ABD =∠AED -∠D =75°-50°=25°，∴∠AOD =2∠ABD =50°，∴AD的度数是50°，故答案为：50．9.如图，∠MAN =45°，B 、C 为AN 上两点，AB =1，BC =3，D 为AM 上的一个动点，过B 、C 、D 三点作⊙O ，当sin ∠BDC 的值最大时，⊙O 的半径为【答案】52-42【分析】由题意知，∠BDC 小于90o ，，当⊙O 与AM 相切时，∠BDC 最大，此时AD 2=AB ·AC ，则AD=2，延长DO 交AN 于点E ，DE =AD =2，设半径为x ，OE =2-x ，过O 点作OH ⊥BC ，垂足为H ，则OH =2(2-x )2，BH =32，在Rt △OHB 中，2x -2 22+322=x 2，最后求得半径x =52-42．【解析】解：当⊙O 与AM 相切时，∠BDC 最大，此时sin ∠BDC 的值最大，∵⊙O 与AM 相切于点D ，AB =1，BC =3，∴AD 2=AB ·AC =AB ∙AB +BC =4，∴AD =2，延长DO 交AN 于点E ，过O 点作OH ⊥BC ，垂足为H ，连接BO ，∴∠ADE =90°，∵∠A =45°，∴△AED 为等腰直角三角形，∴DE =AD =2，设⊙O 半径为x ，则OE =2-x ，∵∠DEA =45°,∠OHE =90°，∴OH =sin45°∙OE =2(2-x )2，BH =12BC =32，在Rt △BOH 中，BO 2=BH 2+OH 2，即2x -2 22+322=x 2，解得：x 1=52-42,x 2=-52-42，∵⊙O 半径大于0，∴x 2=-52-42舍去，∴x =52-42．故答案为：52-42．三、解答题10.我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”．如图所示，点A 、B 、C 、D 分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D 的坐标为0,-3 ，AB 为半圆的直径，半圆圆心M 的坐标为1,0 ，半圆半径为2．(1)求“蛋圆”抛物线部分的解析式及“蛋圆”的弦CD 的长；(2)已知点E 是“蛋圆”上的一点(不与点A ，点B 重合)，点E 关于x 轴的对称点是点F ，若点F 也在“蛋圆”上，求点E 坐标；(3)点P 是“蛋圆”外一点，满足∠BPC =60°，当BP 最大时，直接写出点P 的坐标．【答案】(1)“蛋圆”抛物线部分的解析式为y =x 2-2x -3，CD 的长3+3；(2)E 1(1+3，1)，E 2(1-3，1)，E 3(1+3，-1)，E 4(1-3，-1)；(3)点P 的坐标为(1，23)．【分析】(1)求出点A ，B 的坐标，运用待定系数法求出函数解析式；将x =0代入抛物线的解析式得y =-3，故此可得到DO 的长，可得到AB 的长，由M 为圆心可得到MC 和OM 的长，然后依据勾股定理可求得OC 的长，最后依据CD =OC +OD 求解即可．(2)假设点E 在x 轴上方的“蛋圆”上，EF 与x 轴交于点H ，连接EM ．由HM 2+EH 2=EM 2，点F 在二次函数y =x 2-2x -3的图象上，可得方程组，以及对称性求解；(3)根据∠BPC =60°保持不变，点P 在一圆弧上运动和直径是最大的弦进行解答即可．【解析】解：(1)∵圆心M 的坐标为1,0 ，半圆半径为2．∴A (-1，0)，B (3，0)设“蛋圆”抛物线部分的解析式为y =ax 2+bx +c把A (-1，0)，B (3，0)，D (0，-3)代入解析式得，a -b +c =09a -3b +c =0c =-3解得，a =1b =-2c =-3∴“蛋圆”抛物线部分的解析式为y =x 2-2x -3连接AC ，BC ，MC ∵点D 的坐标为(0，-3)，∴OD 的长为3．∵A (-1，0)，B (3，0)．∴AO =1，BO =3，AB =4，∵M (1，0)．∴MC =2，OM =1．在Rt △COM 中，OC =CM 2-OM 2=3．∴CD =CO +OD =3+3，即这个“蛋圆”被y 轴截得的线段CD 的长3+3．(2)假设点E 在x 轴上方的“蛋圆”上，设E (m ，n )，则点F 的坐标为(m ，-n )．EF 与x 轴交于点H ，连接EM ．∴HM 2+EH 2=EM 2，∴(m -1)2+n 2=4，⋯①；∵点F 在二次函数y =x 2-2x -3的图象上，∴m 2-2m -3=-n ，⋯②解由①②组成的方程组得：m =1+3n =1 ；m =1-3n =1．(n =0舍去)由对称性可得：m=1+3 n=-1；m=1-3n=-1．∴E1(1+3，1)，E2(1-3，1)，E3(1+3，-1)，E4(1-3，-1)．(3)如图，∵∠BPC=60°保持不变，因此点P在一圆弧上运动．此圆是以K为圆心(K在BC的垂直平分线上，且∠BKC=120°)，BK为半径．当BP为直径时，BP最大．在RtΔOCB中，MO=1,MC=2∴OC=MC2-MO2=3，BC=OC2+OB2=23∴tan∠BCO=OBOC =33=3∴∠BCO=60°∵∠BCP=90°∴∠PCR=30°在RtΔPCB中，∠BPC=60°∴BCPC=tan60°∴PC=BCtan60°=233=2在Rt△PCR中，∠PCR=30°∴PR=12PC=1∴RC=PC2-PR2=3∴OR=OC+CR=3+3=23∴点P的坐标为(1，23)．11.如图，抛物线y=ax2+bx-3交x轴于点A(-1,0)，B(3,0)，D是抛物线的顶点，P是抛物线上的动点，点P的横坐标为m(0≤m≤3)，AE⎳PD交直线l：y=12x+2于点E，AP交DE于点F，交y轴于点Q．(1)求抛物线的表达式；(2)设△PDF的面积为S1，△AEF的面积为S2，当S1=S2时，求点P的坐标；(3)连接BQ，点M在抛物线的对称轴上(位于第一象限内)，且∠BMQ=45°，在点P从点B运动到点C的过程中，点M也随之运动，直接写出点M的纵坐标t的取值范围．【答案】(1)y=x2-2x-3；(2)P52,-74；(3)22≤t≤3+172．【分析】(1)运用待定系数法将A(-1,0)，B(3,0)代入y=ax2+bx-3，即可求得答案；(2)利用配方法可求得抛物线顶点坐标D(1,-4)，由AE⎳PD得△AEF∽△PDF，再根据△PDF与△AEF的面积相等，可得△AEF≌△PDF，故点F分别是AP、ED的中点，设E e,12e+2，P(m, m2-2m-3)，结合中点坐标公式建立方程求解即可；(3)根据题意，分别求出t的最大值和最小值：①当点P与点B重合时，点Q与点O重合，此时t的值最大，如图2，以OB为斜边在第一象限内作等腰直角△O′OB，以O′为圆心，OO′为半径作⊙O′，交抛物线对称轴于点M(1,t)，过点O′作O′H⊥y轴于点H，运用勾股定理即可求得答案，②当点P与点C重合时，点Q与点C重合，此时t的值最小，如图3，连接BC，以O为圆心，OB为半径作⊙O交抛物线对称轴于点M，连接OM，设抛物线对称轴交x轴于点E，运用勾股定理即可求得答案．【解析】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx-3交x轴于点A(-1，0)，B(3,0)，∴将A、B坐标分别代入抛物线解析式得：a-b-3=0 9a+3b-3=0，解得：a=1 b=-2，∴抛物线的表达式为：y=x2-2x-3；(2)如图，∵D是抛物线的顶点，抛物线的表达式为：y=x2-2x-3=(x-1)2-4，∴D(1,-4)，∵AE⎳PD交直线l：y=12x+2于点E，P是抛物线上的动点，点P的横坐标为m(0≤m≤3)，∴△AEF∽△PDF，设E e,12e+2，P(m,m2-2m-3)，又∵△PDF的面积为S1，△AEF的面积为S2，S1=S2，∴△AEF≌△PDF，∴AF=PF，EF=DF，即点F分别是AP、ED的中点，又∵A(-1，0)，P(m,m2-2m-3)，E e,12e+2，D(1,-4)，∴由中点坐标公式得：m-12=e+12m2-2m-3+02=12e+2-42，解得：m1=0(与“AE⎳PD”不符，应舍去)，m2=5 2，∴e2=12，∴P52,-74，E12,94；(3)①当点P与点B重合时，点Q与点O重合，此时t的值最大，如图2，以OB为斜边在第一象限内作等腰直角△O′OB，则O′32,32，OO′=O′B=322，以O′为圆心，OO′为半径作⊙O′，交抛物线对称轴于点M(1,t)，过点O′作O′H⊥y轴于点H，则∠O′HM=90°，O′H=12，O′M=OO′=322，∴MH=O M2-O H2=3222-12 2=172，∴t=32+172=3+172，②当点P与点C重合时，点Q与点C重合，此时t的值最小，如图3，连接BC，以O为圆心，OB为半径作⊙O交抛物线对称轴于点M，∵OB=OC=3，∴⊙O经过点C，连接OM，设抛物线对称轴交x轴于点E，则OM=OB=3，OE=1，∵∠MEO=90°，∴ME=OM2-OE2=32-12=22，∴t=22，综上所述，22≤t≤3+172．12.一个角的顶点在圆外，两边都与该圆相交，则称这个角是它所夹的较大的弧所对的圆外角．(1)证明：一条弧所对的圆周角大于它所对的圆外角；(2)应用(1)的结论，解决下面的问题：某市博物馆近日展出当地出土的珍贵文物，该市小学生合唱队计划组织120名队员前去参观，队员身高的频数分布直方图如图1所示．该文物PQ高度为96cm，放置文物的展台QO高度为168cm，如图2所示．为了让参观的队员站在最理想的观看位置，需要使其观看该文物的视角最大(视角：文物最高点P、文物最低点Q、参观者的眼睛A所形成的∠PAQ)，则分隔参观者与展台的围栏应放在距离展台多远的地方？请说明理由．(说明：①参观者眼睛A与地面的距离近似于身高；②通常围栏的摆放位置需考虑参观者的平均身高)【答案】(1)见解析；(2)围栏应摆在距离展台167cm处，见解析【分析】(1)写出“已知”“求证”，设BP交⊙O于点Q，连接AQ，画出图象，用三角形外角大于不相邻的内角即可证明；(2)先计算120名队员平均身高，再根据题意把实际问题“数学化”，画出图形，在QO 上取一点B ，使得BO =152cm ，则BQ =16cm ，过B 作射线l ⊥QO 于B ，过P ，Q 两点作⊙C 切射线l 于M ，由(1)的结论可知队员的眼睛A 与M 重合时，观看该展品的视角最大，此时队员站在MN 处，故求出ON 长度即可．【解析】解：(1)已知：如图所示，点A ，B ，C 在⊙O 上，点P 在⊙O 外．求证：∠ACB >∠APB ．证明：设BP 交⊙O 于点Q ，连接AQ ，∵∠ACB 与∠AQB 同对AB，∴∠ACB =∠AQB ．∵在△APQ 中，∠AQB =∠APB +∠PAQ ，∴∠AQB >∠APB ，∴∠ACB >∠APB ；(2)解：设合唱队员平均身高为x cm ，则x =142×15+146×18+150×18+154×30+158×3915+18+18+30+39=152．在QO 上取一点B ，使得BO =152cm ，则BQ =16cm ，过B 作射线l ⊥QO 于B ，过P ，Q 两点作⊙C 切射线l 于M ．依题意可知，参观的队员的眼睛A 在射线上．而此时，射线l 上的点只有点M 在⊙C 上，其他的点在⊙C 外．根据(1)的结论，视角∠PMQ 最大，即队员的眼睛A 与M 重合(也即队员站在MN 处)时，观看该展品的视角最大．所以围栏应摆放在N 处．连接CM 并延长交地面OD 于N ，过C 作CH ⊥PQ 于H ，连接CP ，CQ ，从而四边形HBMC 和四边形HONC 均为矩形．∵在⊙C 中，CP =CQ ，CH ⊥PQ ，∴PH =HQ =12PQ =48．∴ CQ =CM =HB =48+16=64．∵在Rt △CHQ 中，∠CHQ =90°，CQ 2=CH 2+HQ 2，∴CH =CQ 2-HQ 2=642-482=167．∴ON =CH =167．即围栏应摆在距离展台167cm 处．13.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，EF 与⊙O 相切于点D ，EF ∥BC 分别交AB ，AC 的延长线于点E 和F ，连接AD 交BC 于点N ，∠ABC 的平分线BM 交AD 于点M ．(1)求证：AD 平分∠BAC ；(2)若AB :BE =5:2，AD =14，求线段DM 的长．【答案】(1)见解析；(2)DM =2【分析】(1)连接OD ，根据切线的性质得OD ⊥EF ，由EF ∥BC 得OD ⊥BC ，由垂径定理得BD =CD ，进而即可得出结论；(2)由平行线分线段定理得DN =2147，再证明△BDN ∽△ADB ，可得BD =2，最后证明∠BMD =∠DBM ,进而即可求解．【解析】(1)证明：连接OD 交BC 于点H .∵EF 与⊙O 相切于点D∴OD ⊥EF ，∴∠ODF =90°，∵BC ∥EF ，∴∠OHC =∠ODF =90°，∴OD ⊥BC ，∴BD =CD ，∴∠BAD =∠CAD 即AD 平分∠BAC ；(2)解：∵BC ∥EF ，∴BE AE =ND AD，∵AB :BE =5:2，AD =14，∴DN=2147，∵∠BAD=∠CAD，∠CAD=∠CBD，∴∠BAD=∠CBD，∵BM平分∠ABC，∴∠ABM=∠CBM，∴∠BAD+∠ABM=∠CBD+∠CBM，∴∠BMD=∠MBD，∴BD=DM，∵∠NBD=∠BAD，∠BDM=∠ADB，∴△BDN∽△ADB，∴ND BD =DB AD∴BD2=ND⋅AD=2147×14=4，∴BD=2(负值舍去)，∴DM=BD=2。