数列的概念经典例题doc

数列与线性规划1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足()()211122,3n n nS n S n n n N a *+-+=+∈=，则数列{}n a 的通项n a =（ ）A ．41n -B ．21n +C ．3nD ．2n + 【答案】A 【解析】试题分析：当1n =时，()2213234,7a a ⋅+-⋅==，故A 选项正确。

考点：数列求通项．2．已知数列{}n a 中， 45n a n =-+，等比数列{}n b 的公比q 满足1(2)n n q a a n -=-≥，且12b a =，则12n b b b +++=（ )A 。

14n- B 。

41n- C 。

143n - D. 413n -【答案】B【解析】试题分析：依题意有124,3q b a =-==-，故()()134n n b -=--，所以134n n b -=⋅，这是一个等比数列，前n 项和为()3144114n n -=--.考点：等比数列的基本性质．3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若5359a a =，则95SS =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】A 【解析】试题分析：199515539()9215()52a a S a a a S a +===+．故选A ． 考点:等差数列的前n 项和．4．在等比数列{}n a 中,1401a a <<=,则能使不等式12312311110n n a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+⋅⋅⋅+-≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立的最大正整数n 是（ ）A.5 B 。

6 C ．7 D ．8 【答案】C 【解析】试题分析：设公比为q ,则1231231111n n a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+≤+++⋅⋅⋅+，即()111111111n n a q a q q q⎛⎫-⎪-⎝⎭≤--,将131a q =代入得：7n q q ≤，1,7q n >∴≤．考点:(1）数列与不等式的综合；（2)数列求和.【方法点晴】本题考查数列和不等式的综合,考查运算求解能力,推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性,对数学思维能力要求较高,是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．将不等式转化为两个等比数列之和,解不等式,对于在选择题中，该题还可以计算出721,a a a ,可得0111772211=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a a a a a ,可得不等式成立的最大整数n .5．数列{}n a 中，11++=n n a n ，9=n S ，则=n （ )A.97B.98 C ．99 D ．100【答案】C 【解析】 试题分析:由nn n n a n -+=++=111，∴)(11n S n =++++19==,所以99=n ，故选C.考点：数列求和.6．已知()()*111,n n n a a n a a n N+==-∈,则数列{}na 的通项公式是（ )A ．nB ．11n n n -+⎛⎫⎪⎝⎭C ．2n D ．21n -【答案】A 【解析】试题分析：由已知整理得()11+=+n n na a n ，∴n a n a n n =++11,∴数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n 是常数列．且111==a n a n ,∴n a n =，故选项为A. 考点:数列的递推式。

高二数学数列的经典例题
例题一：等差数列的通项公式
已知等差数列{an} 的首项a1 = 1，公差 d = 2，求第n 项的通项公式。

解：根据等差数列的通项公式，我们有：
an = a1 + (n - 1)d
将已知条件代入公式，得：
an = 1 + (n - 1) * 2
化简得：
an = 2n - 1
例题二：等比数列的求和公式
已知等比数列{bn} 的首项b1 = 2，公比q = 3，求前n 项和Sn。

解：根据等比数列的求和公式，我们有：
Sn = b1 * (1 - q^n) / (1 - q)
将已知条件代入公式，得：
Sn = 2 * (1 - 3^n) / (1 - 3)
化简得：
Sn = (3^n - 1)
例题三：数列的综合应用
已知数列{cn} 满足c1 = 1，且对任意的n ∈ N*，都有cn+1 = 2cn + 1，求数列{cn + 1} 的前n 项和Tn。

解：首先，我们将给定的递推关系式进行变形：
cn+1 + 1 = 2(cn + 1)
这说明数列{cn + 1} 是一个等比数列，其首项为c1 + 1 = 2，公比为2。

然后，我们利用等比数列的求和公式来求{cn + 1} 的前n 项和Tn：
Tn = (c1 + 1) * (1 - 2^n) / (1 - 2)
代入已知条件，得：
Tn = 2 * (2^n - 1)
化简得：
Tn = 2^(n+1) - 2。

一、数列的概念选择题1．已知数列265n a n n =-+则该数列中最小项的序号是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．62．设{}n a 是等差数列，且公差不为零，其前n 项和为n S ．则“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足*112(N 3)33n n n n S S S S n n --+≤+∈≥+，，则（ ）A ．63243a a a ≤-B ．2736+a a a a ≤+C ．7662)4(a a a a ≥--D ．2367a a a a +≥+4．数列{}n a 满足 112a =，111n na a +=-，则2018a 等于( )A ．12B ．－1C ．2D ．35．在数列{}n a 中，()1111,1(2)nn n a a n a --==+≥，则5a 等于A ．32B ．53 C ．85D ．236．数列1，3，6，10，…的一个通项公式是（ ）A ．()21n a n n =-- B ．21n a n =-C ．()12n n n a +=D ．()12n n n a -=7．在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，36，45，…这些数叫做三角形数.设第n 个三角形数为n a ，则下面结论错误的是（ ） A ．1(1)n n a a n n --=> B ．20210a = C ．1024是三角形数D ．123111121n n a a a a n +++⋯+=+ 8．数列{}n a 中，12a =，121n n a a +=-，则10a =（ ） A ．511B ．513C ．1025D ．10249．已知数列{}n a 满足: 12a =，111n na a +=-，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2017S =（ ） A ．1007B ．1008C ．1009.5D ．101010．数列{}n a 满足12a =，1111n n n a a a ++-=+，则2019a =（ ） A ．3-B ．12-C ．13D ．211．已知数列{}n a 满足12n n a a n +=+，且133a =，则na n的最小值为（ ） A ．21B ．10C ．212 D ．17212．已知数列{}n a 满足11a =，122n n a a n n+=++，则10a =（ ） A ．259B ．145 C ．3111D ．17613．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，则4a 的值为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．1014．数列{}n a 满足1111,(2)2n n n a a a n a --==≥+，则5a 的值为（ ）A ．18B ．17 C ．131D ．1615．已知数列{}n a 满足111n n n n a a a a ++-=+，且113a =，则{}n a 的前2021项之积为（ ） A ．23B ．13C ．2-D ．3-16．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且满足3()(),(1)32f x f x f -=-=，数列{}n a 满足11a =，且21n nS a n n=-，(n S 为{}n a 的前n 项和，*)n N ∈，则56()()f a f a +=（ ）A ．1B ．3C ．-3D ．017．数列1111,,,57911--，…的通项公式可能是n a =（ ） A ．1(1)32n n --+B ．(1)32n n -+C ．1(1)23n n --+D ．(1)23nn -+18．正整数的排列规则如图所示，其中排在第i 行第j 列的数记为,i j a ，例如4,39a =，则645a ，等于（ ）12345678910A ．2019B ．2020C ．2021D ．202219．已知数列{}n a 满足2112n n n a a a +=+-，且112a =，则该数列前2016项的和为（ ） A ．2015B ．2016C ．1512D ．3025220．已知数列{}n a 的首项为2，且数列{}n a 满足111n n n a a a +-=+，数列{}n a 的前n 项的和为n S ，则1008S 等于（ ） A ．504B ．294C ．294-D ．504-二、多选题21．黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工．在一个黄金矩形（宽长比约等于0.618）里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线．现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为a n (n ∈N *)，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)．再将扇形面积设为b n (n ∈N *)，则（ ）A ．4(b 2020－b 2019)＝πa 2018·a 2021B ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝a 2021－1C ．a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝2a 2019·a 2021D ．a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝022．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，若612S S =，则下列结论中正确的有（ ） A ．1:17:2a d =-B ．180S =C ．当0d >时，6140a a +>D ．当0d <时，614a a >23．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且35a =，73a =，则（ ）A ．12d =B ．12d =-C ．918S =D ．936S =24．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，218a =，512a =，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =- B ．122a =C ．3430a a +=D ．当且仅当11n =时，n S 取得最大值25．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的m ，*n N ∈，都有m n m n a a a +=+，则下列结论正确的是（ ）A ．11285a a a a +=+B ．56110a a a a <C ．若该数列的前三项依次为x ，1x -，3x ，则10103a = D ．数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减的等差数列 26．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则（ ） A ．若59S >S ，则150S > B ．若59S =S ，则7S 是n S 中最大的项 C ．若67S S >， 则78S S > D ．若67S S >则56S S >.27．已知数列{}2nna n +是首项为1，公差为d 的等差数列，则下列判断正确的是（ ） A ．a 1＝3 B ．若d ＝1，则a n ＝n 2+2n C ．a 2可能为6D ．a 1，a 2，a 3可能成等差数列28．等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若10a >，717S S =，则（ ） A ．0d < B ．120a > C ．13n S S ≤D ．当且仅当0nS <时，26n ≥29．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，且56678,S S S S S <=>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d < B ．70a =C ．95S S >D ．67n S S S 与均为的最大值30．定义11222n nn a a a H n-+++=为数列{}n a 的“优值”.已知某数列{}n a 的“优值”2nn H =，前n 项和为n S ，则（ ）A ．数列{}n a 为等差数列B ．数列{}n a 为等比数列C ．2020202320202S = D ．2S ，4S ，6S 成等差数列31．已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 25,n S n n =-则下列说法正确的是（ ）A ．{}n a 为等差数列B ．0n a >C ．n S 最小值为214-D ．{}n a 为单调递增数列32．下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题，其中的真命题为（ ）. A ．数列{}n a 是递增数列 B ．数列{}n na 是递增数列 C ．数列{}na n是递增数列 D ．数列{}3n a nd +是递增数列33．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n （n ∈N *），公差d ≠0，S 6=90，a 7是a 3与a 9的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A ．a 1=22B ．d =－2C ．当n =10或n =11时，S n 取得最大值D ．当S n >0时，n 的最大值为2134．已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，且13623a a S +=，则以下结论正确的是（ ）. A ．10a =0B ．10S 最小C ．712S S =D ．190S =35．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且满足10a >，1118S S =，则对n S 描述正确的有（ ） A ．14S 是唯一最小值 B ．15S 是最小值 C ．290S =D ．15S 是最大值【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、数列的概念选择题 1．A 解析：A 【分析】首先将n a 化简为()234n a n =--，即可得到答案。

数列题目精选精编【典型例题】（一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质例题1. 已知数列}{n a 满足1111,3(2)n n n a a a n --==+≥. （1）求32,a a ；（2）证明：312n n a -=. 解：（1）21231,314,3413a a a =∴=+==+=.（2）证明：由已知113--=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=---1213133312n n n a ---+=++++=， 所以证得312n n a -=.例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T .解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥，两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥，又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列∴13n n a -=（Ⅱ）设{}n b 的公比为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===，由题意可得2(51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d ==∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d =∴2(1)3222n n n T n n n -=+⨯=+例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且212322...a a a +++128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立，数列{}n n b b -+1是等差数列.⑴求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；⑵是否存在N k *∈，使得(0,1)k k b a -∈，请说明理由.点拨：（1）2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式，可以联想到已知n S 求n a 的方法，当2n ≥时，1n n n S S a --=.（2）把k k a b -看作一个函数，利用函数的思想方法来研究k k a b -的取值情况.解：（1）已知212322a a a +++ (1)2n n a -+8n =(n ∈*N ）①2n ≥时，212322a a a +++ (2)128(1)n n a n --+=-(n ∈*N ）②①－②得，128n n a -=，求得42n n a -=，在①中令1n =，可得得41182a -==，所以42nn a -=(n ∈N*）. 由题意18b =，24b =，32b =，所以214b b -=-，322b b -=-， ∴数列}{1n n b b -+的公差为2)4(2=---，∴1n n b b +-=2)1(4⨯-+-n 26n =-，(4)(2)(28)n =-+-++-2714n n =-+(n ∈*N ）.（2）k k b a -=2714k k -+-42k-，当4k ≥时，277()()24f k k =-+-42k-单调递增，且(4)1f =， 所以4k ≥时，2()714f k k k =-+-421k -≥， 又(1)(2)(3)0f f f ===，所以，不存在k ∈*N ，使得(0,1)k k b a -∈.例题4. 设各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足：a n 、b n 、a n+1成等差数列，b n 、a n+1、b n+1成等比数列，且a 1 = 1， b 1 = 2 ， a 2 = 3 ，求通项a n ，b n 解： 依题意得：2b n+1 = a n+1 + a n+2 ① a 2n+1 = b n b n+1 ②∵ a n 、b n 为正数， 由②得21211,+++++==n n n n n n b b a b b a ， 代入①并同除以1+n b 得：212+++=n n n b b b ， ∴}{n b 为等差数列∵ b 1 = 2 ， a 2 = 3 ，29,22122==b b b a 则 ，∴ 2)1(),1(22)229)(1(22+=∴+=--+=n b n n b n n ，∴当n ≥2时，2)1(1+==-n n b b a n n n ， 又a 1 = 1，当n = 1时成立， ∴2)1(+=n n a n2. 研究前n 项和的性质 例题5.已知等比数列}{n a 的前n 项和为2nn S a b =⋅+，且13a =.（1）求a 、b 的值及数列}{n a 的通项公式；（2）设n n n b a =，求数列}{n b 的前n 项和n T . 解：（1）2≥n 时，a S S a n n n n ⋅=-=--112.而}{n a 为等比数列，得a a a =⋅=-1112，又31=a ，得3=a ，从而123-⋅=n n a .又123,3a a b b =+=∴=-.（2）132n n n n n b a -==⋅， 21123(1)3222n n nT -=++++231111231(2322222n n n n n T --=+++++） ，得2111111(1)232222nn n n T -=++++-，111(1)2412[](1)13232212n n n n n n n T +⋅-=-=---.例题6. 数列{}n a 是首项为1000，公比为110的等比数列，数列{b }n 满足121(lg lg lg )k k b a a a k=+++*()N k ∈， （1）求数列{b }n 的前n 项和的最大值；（2）求数列{|b |}n 的前n 项和n S '.解：（1）由题意：410nn a -=，∴lg 4n a n =-，∴数列{lg }n a 是首项为3，公差为1-的等差数列，∴12(1)lg lg lg 32k k k a a a k -+++=-，∴1(1)7[3]22n n n nb n n --=-=由100n n b b +≥⎧⎨≤⎩，得67n ≤≤，∴数列{b }n 的前n 项和的最大值为67212S S ==.（2）由（1）当7n ≤时，0n b ≥，当7n >时，0n b <，∴当7n ≤时，212731132()244n n n S b b b n n n -+'=+++==-+当7n >时，∴22113(7)4411321(7)44n n n n S n n n ⎧-+≤⎪⎪'=⎨⎪-+>⎪⎩.例题7. 已知递增的等比数列{n a }满足23428a a a ++=，且32a +是2a ，4a 的等差中项. （1）求{n a }的通项公式n a ；（2）若12log n n nb a a =，12n n S b b b =+++求使1230n n S n ++⋅>成立的n 的最小值.解：（1）设等比数列的公比为q （q ＞1），由a 1q +a 1q 2+a 1q 3=28，a 1q +a 1q 3=2（a 1q 2+2），得：a 1=2，q =2或a 1=32，q =12（舍）∴a n =2·2（n －1）=2n（2） ∵12log 2nn n n b a a n ==-⋅，∴S n =－（1·2+2·22+3·23+…+n ·2n ） ∴2S n =－（1·22+2·23+…+n ·2n +1），∴S n =2+22+23+…+2n －n ·2n +1=－（n －1）·2n +1－2， 若S n +n ·2n +1＞30成立，则2n +1＞32，故n ＞4，∴n 的最小值为5.例题8. 已知数列}{n a 的前n 项和为S n ，且11,,n n S a +-成等差数列，*1,1N n a ∈=. 函数3()log f x x =.（I ）求数列}{n a 的通项公式； （II ）设数列{}n b 满足1(3)[()2]n n b n f a =++，记数列{}n b 的前n 项和为T n ，试比较52512312n n T +-与的大小. 解：（I ）11,,n n S a +-成等差数列，121n n S a +∴=-① 当2n ≥时，121n n S a -=-②. ①－②得：112()n n n n S S a a -+-=-，13+=∴n n a a ，13.n na a +∴=当n =1时，由①得112221S a a ∴==-， 又11,a =2213,3,a a a ∴=∴={}n a ∴是以1为首项3为公比的等比数列，13.n n a -∴=（II ）∵()x log x f 3=，133()log log 31n n n f a a n -∴===-，11111()(3)[()2](1)(3)213n n b n f a n n n n ===-++++++，比较52512312n n T +-与的大小，只需比较2(2)(3)n n ++与312 的大小即可. ∵*,N n ∈∴当*19N n n ≤≤∈且时，5252(2)(3)312,;12312nn n n T +++<<-即 当10n =时，5252(2)(3)312,;12312n n n n T +++==-即当*10N n n >∈且时，5252(2)(3)312,12312nn n n T +++>>-即. 3. 研究生成数列的性质例题9. （I ） 已知数列{}n c ，其中nn n c 32+=，且数列{}n n pc c -+1为等比数列，求常数p ；（II ） 设{}n a 、{}n b 是公比不相等的两个等比数列，n n n b a c +=，证明数列{}n c 不是等比数列.解：（Ⅰ）因为{c n +1－pc n }是等比数列，故有 （c n +1－pc n ）2=（ c n +2－pc n+1）（c n －pc n －1）， 将c n =2n ＋3n 代入上式，得 [2n ＋1+3n ＋1－p （2n ＋3n ）]2=[2n ＋2+3n ＋2－p （2n +1＋3n +1）]·[2n +3n －p （2n －1＋3n －1）]， 即[（2－p ）2n +（3－p ）3n ]2=[（2－p ）2n+1+（3－p ）3n+1][ （2－p ）2n －1+（3－p ）3n －1]，整理得61（2－p ）（3－p ）·2n ·3n =0，解得p =2或p =3. （Ⅱ）设{a n }、{b n }的公比分别为p 、q ，p ≠q ，c n =a n +b n .为证{c n }不是等比数列只需证22c ≠c 1·c 3.事实上，22c =（a 1p ＋b 1q ）2=21a p 2＋21b q 2＋2a 1b 1pq ， c 1·c 3=（a 1＋b 1）（a 1 p 2＋b 1q 2）=21a p 2＋21b q 2＋a 1b 1（p 2＋q 2）.由于p ≠q ，p 2＋q 2>2pq ，又a 1、b 1不为零，因此≠22c c 1·c 3，故{c n }不是等比数列.例题10. n 2（ n ≥4）个正数排成n 行n 列：其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等已知a 24=1，163,814342==a a 求S=a 11 + a 22 + a 33 + … + a nn解： 设数列{1k a }的公差为d ， 数列{ik a }（i=1，2，3，…，n ）的公比为q则1k a = a 11 + （k －1）d ， a kk = [a 11 + （k －1）d]q k －1依题意得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+==+==+=163)2(81)(1)3(31143311421124q d a a q d a a q d a a ，解得：a 11 = d = q = ±21 又n 2个数都是正数，∴a 11 = d = q = 21 ， ∴a kk = kk2n n S 212132122132⨯++⨯+⨯+=，1432212132122121+⨯++⨯+⨯+=n n S ，两式相减得：n n n S 22121--=- 例题11. 已知函数3()log ()f x ax b =+的图象经过点)1,2(A 和)2,5(B ，记()*3,.f n n a n N =∈（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设n n n nn b b b T a b +++==21,2，若)(Z m m T n ∈<，求m 的最小值；（3）求使不等式12)11()11)(11(21+≥+++n p a a a n对一切*N n ∈均成立的最大实数p .解：（1）由题意得⎩⎨⎧=+=+2)5(log 1)2(log 33b a b a ，解得⎩⎨⎧-==12b a ，（2）由（1）得n n n b 212-=， n n nn n T 2122322523211321-+-++++=∴- ①1132212232252232121+--+-+-+++=n n n n n n n T ② ①－②得)21212121(2121n 22222222221T 211n 2n 2111n n 1n 321n --+-+++++=--+++++= 1n 1n 1n 21n 2212321n 2+-+---=--.n n 2n n 23n 2321n 2213T +-=---=∴-， 设*,232)(N n n n f n ∈+=，则由 得*,232)(N n n n f n ∈+=随n 的增大而减小 +∞→∴n 当时，3→n T 又)(Z m m T n ∈<恒成立，3min =∴m（3）由题意得*21)11()11)(11(121N n a a a n p n ∈++++≤对 恒成立记)11()11)(11(121)(21n a a a n n F ++++=，则 )(),()1(,0)(n F n F n F n F 即>+∴> 是随n 的增大而增大)(n F 的最小值为332)1(=F ，332≤∴p ，即332max =p .（二）证明等差与等比数列1. 转化为等差等比数列.例题12. 数列{}n a 中，2,841==a a 且满足n n n a a a -=++122，*N n ∈. ⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵设||||||21n n a a a S +++= ，求n S ；⑶设n b =1(12)n n a -**12(),()N N n n n T b b b n ∈=+++∈，是否存在最大的整数m ，使得对任意*N n ∈，均有>n T 32m 成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.解：（1）由题意，n n n n a a a a -=-+++112，}{n a ∴为等差数列，设公差为d ， 由题意得2832d d =+⇒=-，82(1)102n a n n ∴=--=-. （2）若50210≤≥-n n 则，||||||,521n n a a a S n +++=≤ 时6n ≥时，n n a a a a a a S ---+++= 76521故⎪⎩⎪⎨⎧+--=40n 9n n n 9S 22n 56n n ≤≥ （3）11111()(12)2(1)21n n b n a n n n n ===--++，若32n m T >对任意*N n ∈成立，即116n mn >+对任意*N n ∈成立，*()1N n n n ∈+的最小值是21，1,162m ∴<m ∴的最大整数值是7.即存在最大整数,7=m 使对任意*N n ∈，均有.32n m T >例题13. 已知等比数列{}n b 与数列{}n a 满足3,n an b n =∈N *. （1）判断{}n a 是何种数列，并给出证明； （2）若8131220,a a m b b b +=求.解：（1）设{}n b 的公比为q ，∵3n an b =，∴()q log 1n a a 3q 331n a 1n a n 1-+=⇒=⋅-。

完整版)数列典型例题(含答案)等差数列的前n项和公式为代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得。

因此，前项和为。

⑵由已知条件可得代入等差数列的前n项和公式，得到化简得因此，前项和为。

8.(2010山东理) 已知等差数列 $a_1,a_2,\ldots,a_n,\ldots$，其中 $a_1=1$，公差为 $d$。

1) 求 $a_5$ 和 $a_{10}$。

2) 满足 $a_1+a_2+\ldots+a_k=100$，$a_1+a_2+\ldots+a_{k+1}>100$，$k\in\mathbb{N}$，求该等差数列的前 $k$ XXX。

考查目的：考查等差数列的通项公式和前项和公式等基础知识，考查数列求和的基本方法以及运算求解能力。

答案：(1) $a_5=5d+1$，$a_{10}=10d+1$；(2) $k=13$，前$k$ 项和为 $819$。

解析：(1) 根据等差数列的通项公式 $a_n=a_1+(n-1)d$，可得 $a_5=1+4d$，$a_{10}=1+9d$。

2) 设该等差数列的前 $k$ 项和为 $S_k$，则由等差数列的前项和公式可得 $S_k=\dfrac{k}{2}[2a_1+(k-1)d]$。

根据已知条件可列出不等式组：begin{cases}S_k=100\\S_{k+1}>100end{cases}将 $S_k$ 代入得：frac{k}{2}[2+(k-1)d]=100整理得：$k^2+kd-400=0$。

三年级等差数列例题一、等差数列基础概念例题。

1. 例题：求等差数列3，7，11，15，…的第10项是多少？- 解析：- 我们要确定这个等差数列的首项a_1 = 3，公差d=7 - 3=4。

- 根据等差数列的通项公式a_n=a_1+(n - 1)d。

- 当n = 10时，a_10=3+(10 - 1)×4=3 + 9×4=3+36 = 39。

2. 例题：等差数列2，5，8，11，…，29，这个数列共有多少项？- 解析：- 已知首项a_1 = 2，公差d = 5-2 = 3，末项a_n=29。

- 根据通项公式a_n=a_1+(n - 1)d，可得到29 = 2+(n - 1)×3。

- 化简方程29=2 + 3n-3，即29=3n - 1。

- 移项可得3n=30，解得n = 10，所以这个数列共有10项。

3. 例题：在等差数列{a_n}中，a_1 = 5，d = 3，求前5项的和S_5。

- 解析：- 根据等差数列求和公式S_n=(n(a_1 + a_n))/(2)，先求a_5。

- 由通项公式a_n=a_1+(n - 1)d，当n = 5时，a_5=5+(5 - 1)×3=5+12 = 17。

- 再代入求和公式S_5=(5×(5 + 17))/(2)=(5×22)/(2)=55。

4. 例题：已知等差数列1，4，7，10，…，求这个数列的第20项与前20项的和。

- 解析：- 首项a_1 = 1，公差d = 4 - 1=3。

- 第20项a_20=a_1+(20 - 1)d=1+(20 - 1)×3=1+19×3=1 + 57=58。

- 前20项和S_20=(20×(1 + 58))/(2)=10×59 = 590。

5. 例题：等差数列{a_n}中，a_3 = 7，a_5 = 11，求a_1和d。

- 解析：- 根据等差数列通项公式a_n=a_1+(n - 1)d。

1．数列的定义按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫做这个数列的项． 2.数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限按项与项间的大小关系分类 递增数列 a n ＋1__>__a n 其中n ∈N *递减数列 a n ＋1__<__a n 常数列 a n ＋1＝a n按其他标准分类有界数列 存在正数M ，使|a n |≤M 摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法． 4．数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．5．已知数列{a n }的前n 项和S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 ， n ＝1，S n －S n －1， n ≥2.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( × )(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( √ )(3)1,1,1,1，…，不能构成一个数列．( × )(4)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．( × )(5)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( √ ) (6)在数列{a n }中，对于任意正整数m ，n ，a m ＋n ＝a mn ＋1，若a 1＝1，则a 2＝2.( √ )1．已知数列{a n }中，a 1＝1，1a n ＋1＝1a n ＋3 (n ∈N *)，则a 10＝________. 答案128解析 由题意得1a n ＋1－1a n＝3.∴1a 2－1a 1＝3，1a 3－1a 2＝3，1a 4－1a 3＝3，1a 5－1a 4＝3，…，1a 10－1a 9＝3，对递推式叠加得1a 10－1a 1＝27，故a 10＝128.2．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为用这些数目的点可以排成一个正三角形(如图)．则第7个三角形数是________． 答案 28解析 根据三角形数的增长规律可知第七个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28. 3．数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1 (n ≥1，n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式是__________． 答案 a n ＝3n －1解析 由a n ＋1＝2S n ＋1可得a n ＝2S n －1＋1 (n ≥2)，两式相减得a n ＋1－a n ＝2a n ，即a n ＋1＝3a n (n ≥2)．又a 2＝2S 1＋1＝3，a 3＝3·a 2＝32·a 1＝32， a 4＝3a 3＝33… a n ＝3a n －1＝3n －1.4．(教材改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝________.答案 5n －45．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－[(n －1)2＋1]＝2n －1，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2.题型一 由数列的前几项求数列的通项公式例1 (1)数列0，23，45，67，…的一个通项公式为________．①a n ＝n －1n ＋1(n ∈N *) ②a n ＝n －12n ＋1(n ∈N *)③a n ＝2(n －1)2n －1(n ∈N *) ④a n ＝2n 2n ＋1(n ∈N *)(2)数列{a n }的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式是a n ＝________.答案 (1)③ (2)2n ＋1n 2＋1解析 (1)注意到分母0,2,4,6都是偶数，对照所给项排除即可．(2)数列{a n }的前4项可变形为2×1＋112＋1，2×2＋122＋1，2×3＋132＋1，2×4＋142＋1，故a n ＝2n ＋1n 2＋1.思维升华 根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征．应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式．(1)－1,7，－13,19，…； (2)0.8,0.88,0.888，…；(3)12，14，－58，1316，－2932，6164，…. 解 (1)数列中各项的符号可通过(－1)n 表示，从第2项起，每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)． (2)数列变为89⎝⎛⎭⎫1－110，89⎝⎛⎭⎫1－1102，89⎝⎛⎭⎫1－1103，…， 故a n ＝89⎝⎛⎭⎫1－110n . (3)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母小3. 因此把第1项变为－2－32，原数列化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，故a n ＝(－1)n 2n －32n .题型二 由数列的前n 项和求数列的通项公式例2 设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n ＝2S n －n 2，n ∈N *. (1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式． 解 (1)令n ＝1时，T 1＝2S 1－1，因为T 1＝S 1＝a 1，所以a 1＝2a 1－1，所以a 1＝1. (2)n ≥2时，T n －1＝2S n －1－(n －1)2， 则S n ＝T n －T n －1＝2S n －n 2－[2S n －1－(n －1)2] ＝2(S n －S n －1)－2n ＋1＝2a n －2n ＋1. 因为当n ＝1时，a 1＝S 1＝1也满足上式， 所以S n ＝2a n －2n ＋1(n ≥1)，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2(n －1)＋1， 两式相减得a n ＝2a n －2a n －1－2，所以a n ＝2a n －1＋2(n ≥2)，所以a n ＋2＝2(a n －1＋2)， 因为a 1＋2＝3≠0，所以数列{a n ＋2}是以3为首项，公比为2的等比数列． 所以a n ＋2＝3×2n －1，所以a n ＝3×2n －1－2， 当n ＝1时也成立， 所以a n ＝3×2n －1－2.思维升华 数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.当n ＝1时，a 1若适合S n －S n －1，则n ＝1的情况可并入n ≥2时的通项a n ；当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示．(1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n ＋1n ＋2，则a 4＝________.(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则其通项公式为________________．答案 (1)130 (2)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2解析 (1)a 4＝S 4－S 3 ＝56－45＝130. (2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1] ＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.题型三 由数列的递推关系求通项公式例3 (1)设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项a n ＝________. (2)数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，则它的一个通项公式为a n ＝________. 答案 (1)n (n ＋1)2＋1 (2)2×3n －1－1解析 (1)由题意得，当n ≥2时， a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝2＋(2＋3＋…＋n )＝2＋(n －1)(2＋n )2＝n (n ＋1)2＋1.又a 1＝2＝1×(1＋1)2＋1，符合上式，因此a n ＝n (n ＋1)2＋1.(2)方法一 (累乘法)a n ＋1＝3a n ＋2，即a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， 即a n ＋1＋1a n ＋1＝3， 所以a 2＋1a 1＋1＝3，a 3＋1a 2＋1＝3，a 4＋1a 3＋1＝3，…，a n ＋1＋1a n ＋1＝3.将这些等式两边分别相乘得a n ＋1＋1a 1＋1＝3n .因为a 1＝1，所以a n ＋1＋11＋1＝3n ，即a n ＋1＝2×3n －1(n ≥1)， 所以a n ＝2×3n －1－1(n ≥2)， 又a 1＝1也满足上式，故数列{a n }的一个通项公式为a n ＝2×3n －1－1. 方法二 (迭代法) a n ＋1＝3a n ＋2，即a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)＝32(a n －1＋1)＝33(a n －2＋1) ＝…＝3n (a 1＋1)＝2×3n (n ≥1)， 所以a n ＝2×3n －1－1(n ≥2)， 又a 1＝1也满足上式，故数列{a n }的一个通项公式为a n ＝2×3n －1－1.思维升华 已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解． 当出现a n ＝a n －1＋m 时，构造等差数列；当出现a n ＝xa n －1＋y 时，构造等比数列；当出现a n ＝a n －1＋f (n )时，用累加法求解；当出现a na n －1＝f (n )时，用累乘法求解．(1)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝n －1n·a n －1(n ≥2)，则a n ＝________.(2)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －1(n ∈N *)，则a 5＝________. 答案 (1)1n(2)16解析 (1)∵a n ＝n －1n a n －1 (n ≥2)，∴a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1.以上(n －1)个式子相乘得 a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n .当n ＝1时也满足此等式，∴a n ＝1n .(2)当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，∴a 1＝1. 当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1， ∴a n ＝2a n －2a n －1，∴a n ＝2a n －1. ∴{a n }是等比数列且a 1＝1，q ＝2， 故a 5＝a 1×q 4＝24＝16.题型四 数列的性质命题点1 数列的单调性例4 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1，且前n 项和为T n ，设c n ＝T 2n ＋1－T n .(1)求数列{b n }的通项公式； (2)判断数列{c n }的增减性．解 (1)a 1＝2，a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)．∵b n ＝2a n ＋1，∴b n ＝⎩⎨⎧23，n ＝1，1n ， n ≥2，n ∈N *.(2)∵c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1 ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1， ∴c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1＝12n ＋3－12n ＋2＝－1(2n ＋3)(2n ＋2)<0， ∴c n ＋1<c n .∴数列{c n }为递减数列． 命题点2 数列的周期性例5 数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，a 8＝2，则a 1＝_____________________________________.答案 12解析 ∵a n ＋1＝11－a n，∴a n ＋1＝11－a n ＝11－11－a n －1＝1－a n －11－a n －1－1＝1－a n －1－a n －1＝1－1a n －1＝1－111－a n －2＝1－(1－a n －2)＝a n －2， ∴周期T ＝(n ＋1)－(n －2)＝3. ∴a 8＝a 3×2＋2＝a 2＝2. 而a 2＝11－a 1，∴a 1＝12.命题点3 数列的最值例6 数列{a n }的通项a n ＝nn 2＋90，则数列{a n }中的最大项的值是________．答案119解析 令f (x )＝x ＋90x (x >0)，运用基本不等式得，f (x )≥290当且仅当x ＝310时等号成立．因为a n ＝1n ＋90n ，所以1n ＋90n ≤1290，由于n ∈N *，不难发现当n ＝9或10时，a n ＝119最大．思维升华 1.解决数列的单调性问题可用以下三种方法(1)用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列或是常数列． (2)用作商比较法，根据a n ＋1a n (a n ＞0或a n ＜0)与1的大小关系进行判断．(3)结合相应函数的图象直观判断． 2．解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． 3．数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解．(1)数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ，0≤a n ≤12，2a n－1，12＜a n＜1，a 1＝35，则数列的第2 015项为________．(2)设a n ＝－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是________． 答案 (1)25(2)0解析 (1)由已知可得，a 2＝2×35－1＝15，a 3＝2×15＝25，a 4＝2×25＝45，a 5＝2×45－1＝35，∴{a n }为周期数列且T ＝4， ∴a 2 015＝a 3＝25.(2)∵a n ＝－3⎝⎛⎭⎫n －522＋34，由二次函数性质，得当n ＝2或3时，a n 最大，最大值为0.5．数列中的新定义问题典例 (1)将石子摆成如图所示的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2 014项与5的差，即a 2 014－5＝__________.(用式子表示)(2)对于数列{x n }，若对任意n ∈N *，都有x n ＋x n ＋22＜x n ＋1成立，则称数列{x n }为“减差数列”．设b n ＝2t －tn －12n －1，若数列b 3，b 4，b 5，…是“减差数列”，则实数t 的取值范围是____________．思维点拨 (1)观察图形，易得a n －a n －1＝n ＋2(n ≥2)可利用累加法求解．(2)由“减差数列”的定义，可得关于b n 的不等式，把b n 的通项公式代入，化归为不等式恒成立问题求解．解析 (1)因为a n －a n －1＝n ＋2(n ≥2)，a 1＝5，所以a 2 014＝(a 2 014－a 2 013)＋(a 2 013－a 2 012)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2 016＋2 015＋…＋4＋5 ＝(2 016＋4)×2 0132＋5＝1 010×2 013＋5，所以a 2 014－5＝1 010×2 013.(2)由数列b 3，b 4，b 5，…是“减差数列”， 得b n ＋b n ＋22＜b n ＋1(n ≥3)， 即t －tn －12n ＋t －t (n ＋2)－12n ＋2＜2t －t (n ＋1)－12n ，即tn －12n ＋t (n ＋2)－12n ＋2＞t (n ＋1)－12n ，化简得t (n －2)＞1. 当n ≥3时，若t (n －2)＞1恒成立，则t ＞1n －2恒成立，又当n ≥3时，1n －2的最大值为1，则t 的取值范围是(1，＋∞)．答案 (1)1 010×2 013 (2)(1，＋∞)温馨提醒 解决数列的新定义问题要做到：(1)准确转化：解决数列新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，将题目所给定义转化成题目要求的形式，切忌同已有概念或定义相混淆．(2)方法选取：对于数列新定义问题，搞清定义是关键，仔细认真地从前几项(特殊处、简单处)体会题意，从而找到恰当的解决方法．[方法与技巧]1．求数列通项或指定项．通常用观察法(对于交错数列一般用(－1)n 或(－1)n ＋1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法．2．强调a n 与S n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1，S n －S n －1， n ≥2. 3．已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握．一般有两种常见思路：(1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)利用累加法或累乘法可求数列的通项公式．4．数列的性质可利用函数思想进行研究．[失误与防范]1．数列a n ＝f (n )和函数y ＝f (x )定义域不同，其单调性也有区别：y ＝f (x )是增函数是a n ＝f (n )是递增数列的充分不必要条件．2．数列的通项公式可能不存在，也可能有多个．3．由a n ＝S n －S n －1求得的a n 是从n ＝2开始的，要对n ＝1时的情况进行验证．A 组 专项基础训练(时间：40分钟)1．数列23，－45，67，－89，…的第10项是________． 答案 －2021解析 所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：符号、分母、分子．很容易归纳出数列{a n }的通项公式a n ＝(－1)n ＋1·2n 2n ＋1，故a 10＝－2021. 2．数列{a n }的前n 项积为n 2，那么当n ≥2时，a n ＝__________.答案 n 2(n －1)2解析 设数列{a n }的前n 项积为T n ，则T n ＝n 2，当n ≥2时，a n ＝T n T n －1＝n 2(n －1)2. 3．若S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝n n ＋1，则1a 5＝________. 答案 30解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n n ＋1－n －1n ＝1n (n ＋1)，所以1a 5＝5×6＝30. 4．若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为________．答案 7解析 ∵a n ＋1－a n ＝－3，∴数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列，∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n .∵a 7＝22－21＝1>0，a 8＝22－24＝－2<0，∴n ＝7时，数列{a n }的前n 项和最大．5．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2λn (n ∈N *)，则“λ＜1”是“数列{a n }为递增数列”的______________条件．答案 充分不必要解析 若数列{a n }为递增数列，则有a n ＋1－a n ＞0，即2n ＋1＞2λ对任意的n ∈N *都成立，于是有3＞2λ，λ＜32.由λ＜1可推得λ＜32，但反过来，由λ＜32不能得到λ＜1，因此“λ＜1”是“数列{a n }为递增数列”的充分不必要条件．6．(2015·大连双基测试)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2 解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝4≠2×1＋1，因此a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2. 7．数列{a n }中，已知a 1＝1，a 2＝2，a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，则a 7＝________. 答案 1解析 由已知a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，a 1＝1，a 2＝2，能够计算出a 3＝1，a 4＝－1，a 5＝－2，a 6＝－1，a 7＝1.8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n －n ，则a n ＝________. 答案 2n －1解析 当n ＝1时，S 1＝a 1＝2a 1－1，得a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －n －2a n －1＋(n －1)，即a n ＝2a n －1＋1，∴a n ＋1＝2(a n －1＋1)，∴数列{a n ＋1}是首项为a 1＋1＝2，公比为2的等比数列，∴a n ＋1＝2·2n －1＝2n ，∴a n ＝2n －1.9．数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6.(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？(3)该数列从第几项开始各项都是正数？解 (1)当n ＝4时，a 4＝42－4×7＋6＝－6.(2)令a n ＝150，即n 2－7n ＋6＝150，解得n ＝16或n ＝－9(舍去)，即150是这个数列的第16项．(3)令a n ＝n 2－7n ＋6＞0，解得n ＞6或n ＜1(舍去)．所以从第7项起各项都是正数．10．已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n. (1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．解 (1)由S 2＝43a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2， 解得a 2＝3a 1＝3.由S 3＝53a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3， 解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6. (2)由题设知a 1＝1.当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1， 整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1. 于是a 1＝1，a 2＝31a 1， a 3＝42a 2， ……a n －1＝n n －2a n －2， a n ＝n ＋1n －1a n －1. 将以上n 个等式两端分别相乘，整理得a n ＝n (n ＋1)2. 显然，当n ＝1时也满足上式．综上可知，{a n }的通项公式a n ＝n (n ＋1)2. B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n n ＝2，则a n n的最小值为________． 答案 10.5解析 由题意可知a n ＋1＝a n ＋2n ，由迭代法可得a n ＝a 1＋2[1＋2＋3＋4＋…＋(n －1)]＝n 2－n＋33，从而a n n ＝n ＋33n －1.当n ＝6时，a n n取得最小值10.5. 12．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21＝________. 答案 72解析 ∵a n ＋a n ＋1＝12，a 2＝2， ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－32，n 为奇数，2，n 为偶数.∴S 21＝11×⎝⎛⎭⎫－32＋10×2＝72. 13．定义：称n P 1＋P 2＋…＋P n为n 个正数P 1，P 2，…，P n 的“均倒数”．若数列{a n }的前n 项的“均倒数”为12n －1，则数列{a n }的通项公式为____________． 答案 a n ＝4n －3解析 ∵n a 1＋a 2＋…＋a n ＝12n －1， ∴a 1＋a 2＋…＋a n n ＝2n －1， ∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝(2n －1)n ，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(2n －3)(n －1)(n ≥2)，当n ≥2时，a n ＝(2n －1)n －(2n －3)(n －1)＝4n －3；a 1＝1也适合此等式，∴a n ＝4n －3.14．若数列{n (n ＋4)(23)n }中的最大项是第k 项，则k ＝________. 答案 4解析 由题意得⎩⎨⎧ k (k ＋4)(23)k ≥(k ＋1)(k ＋5)(23)k ＋1，k (k ＋4)(23)k ≥(k －1)(k ＋3)(23)k －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧k 2≥10，k 2－2k －9≤0，由k ∈N *可得k ＝4. 15．(2015·开封模拟)已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2(n －1)(n ∈N *，a ∈R 且a ≠0)． (1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围．解 (1)∵a n ＝1＋1a ＋2(n －1)(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)， 又a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9(n ∈N *)．结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性，可知1＞a 1＞a 2＞a 3＞a 4，a 5＞a 6＞a 7＞…＞a n ＞1(n ∈N *)．∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0.(2)a n ＝1＋1a ＋2(n －1)＝1＋12n －2－a 2， 已知对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性， 可知5＜2－a 2＜6，即－10＜a ＜－8.。

数列题目精选精编【典型例题】（一）研究等差等比数列的有关性质 1.研究通项的性质例题1.已知数列{a }满足nn1a 11,a3a 1(n2).nn（1）求a 2,a 3；a nn 31 2（2）证明： .解：（1） 2a 11,a 2314,a 33413.（2）证明：由已知 n1 a n a ，故()()()n122113a n a n a n1a n a n aa 13a n a n a n1a n a n aa n1221a 1 n1n2 3331 n 31 2 ，所以证得 a nn312.例题2.数列a n 的前n项和记为S ,a1,a2S1(n1) n1n1n（Ⅰ）求a n 的通项公式；（Ⅱ）等差数列b n 的各项为正，其前n项和为T ，且 nT 315，又a 1b 1,2a 2b 3,a 3b成等比数列，求T n .解：（Ⅰ）由a n12S n 1可得a n 2S n11(n2)， 两式相减得：a n1a n 2a n ,a n13a n (n2)， 又a 22S 113∴a 23a 1故a 是首项为1，公比为3的等比数列 n∴ a nn 31 （Ⅱ）设b n 的公比为d ，由T 得，可得b 1b 2b 315，可得b 25 315故可设b 15d,b 35d ，又a aa ， 11,23,39由题意可得 2(5d1)(5d9)(53)，解得 d 12,d 210 ∵等差数列b n 的各项为正，∴d0∴d2∴n(n1)2T3n2n2n n2例题3.已知数列a n 的前三项与数列 b 的前三项对应相同，且 n2a 12a 22a 3...n12a8n 对任意的nn 都成立，数列b n b n N * 1是等差数列.⑴求数列a n 与b 的通项公式； n⑵是否存在k N ，使得ba(0,1)，请说明理由.kk点拨：（1）2n1aaaan左边相当于是数列12223 (28)nn21an前n项和的形式，可以联想到已知S n求a的方法，当n2时，nS Sa.nn1n -1-（2）把b k a k 看作一个函数，利用函数的思想方法来研究b 的取值情况. kak解：（1）已知 2a 12a 22a 3,n 2 1 a 8n(nN*）① nn2时， 2a 12a 22a 3,n2 28(1)an(nN*）② n1 ①－②得， n1 2a8，求得 n 4n a2，n在①中令n1，可得得 41a 182，所以4n a2(n N*）.n 由题意b 18，b 24，b 32，所以b 2b 14，b 3b 22， ∴数列{b n1b n }的公差为2(4)2， ∴b n1b n 4(n1)22n6，bb 1(b 2b 1)(b 3b 2)(bb 1)nnn(4)(2)(2n8)n 27n14(nN*）.（2）b k a k2714 kk4 2k ，当k4时，77 2f(k)(k) 244 2k 单调递增，且f(4)1，所以k4时， 2f(k)k7k1424k 1， 又f(1)f(2)f(3)0，所以，不存在kN*，使得b k a k (0,1).例题4.设各项均为正数的数列{a n }和{bn}满足：a n 、b n 、a n+1成等差数列，b n 、a n+1、b n+1 成等比数列，且a 1=1，b 1=2，a 2=3，求通项a n ，b n解：依题意得： 2bn+1=an+1+an+2① 2a n+1=b n b n+1②∵a n 、b n 为正数，由②得11,212a ，nbbabbnnnnn代入①并同除以b n1得： 2b n b n b n 12 ， ∴{b}为等差数列n9 2 a 2bb,则b 212∵b 1=2，a2=3，2，92(n1)b n 2(n1)(2)(n1),b n ∴2222 ，n(n abb nnn1∴当n ≥2时，21)，1)n(nan又a1=1，当n=1时成立，∴2质2.研究前n项和的性例题5.已知等比数列{a}的前n项和为2nnnSab，且a13.-2-（1）求a 、b 的值及数列{a }的通项公式； n（2）设 bn n a ，求数列{b }的前n 项和nnT . nn111解：（1）n2时，aSS 12a .而{a }为等比数列，得a 12aa ，nnnn又a3，得a3，从而 1n1 a.又 32 na 12ab3,b3.（2） nn b nn1 a ，32n123n T(1)n n21322211123n1n T( n23n1n 2322222 ），得 11111n T(1) n2n1n 232222，1 1(1) 2[2]4(11)nnnT n nnn113123222. 例题6.数列{a }是首项为1000，公比为n110的等比数列，数列{b} n 满足1 b(lgalgalga)k12kk* (k N )， （1）求数列{b n }的前n项和的最大值；（2）求数列{|b n |}的前n 项和S n .解：（1）由题意：4n a10，∴lg4an ，∴数列{lga}是首项为3，公差为1nnn的等差数列，∴lgalgalga3k 12kk (k1) 2，∴ 1n(n1)7n b[3n] nn22b nb 由1n 0 0 ，得6n7，∴数列{b} n 的前n项和的最大值为SS 6721 2 .（2）由（1）当n7时，b0，当n7时，b0，nn∴当n7时， 当n7时，7n 311322Sbbb()nnn n12n244Sbbbbbb n12789n1132 2S(bbb)nn21712n44S n1132nn(n7) 441132nn21(n7) 44∴.例题7.已知递增的等比数列{a n}满足a2a3a428，且a32是a2，a4的等差中项.（1）求{a n}的通项公式a n；（2）若b aa，lognn1n2 S bbb求使n12n-3-Sn 成立的n 的最小值.230 n1n解：（1）设等比数列的公比为q （q ＞1），由 1 a 1q+a 1q 2+a 1q 3=28，a 1q+a 1q 3=2（a 1q 2+2），得：a 1=2，q=2或a 1=32，q=2+a 1q 3=28，a 1q+a 1q 3=2（a 1q 2+2），得：a 1=2，q=2或a 1=32，q=2（舍） （n －1） ∴a n =2·2=2n（2）∵n balogan2 nn1n 22+3·23+⋯+n ·2n ） ，∴S n =－（1·2+2·2 2+2·23+⋯+n ·2n+1），∴S n =2+22+23+⋯+2n －n ·2n+1=－（n －1）·2n+1－2，∴2S n =－（1·2 若S n +n ·2n+1＞30成立，则2n+1＞32，故n ＞4，∴n 的最小值为5.例题8.已知数列{a }的前n 项和为Sn，且1,S,a 1成等差数列，nnn*n N ,a 1.函数1fxx.()log3（I ）求数列{a }的通项公式；nbn （II ）设数列{b }满足n1 (n3)[f(a)2]，记数列{} b 的前n 项和为Tn，试比较nnT 与n 52n5 12312的大小. 解：（I ）1,S n ,a n1成等差数列，2S n a n 11①当n2时，2S n1a n 1②.①－②得：2(S n S n1)a n 1a n ，3a n a 1， n a n13.an当n=1时，由①得2S 12a 1a 21，又 a 11,a 2 a2 3,3, a 1{a n }是以1为首项3为公比的等比数列， a n n1 3. （II ）∵fxlog 3x ， n1f(a)logalog3n1，n3n3b n11111 ()(3)[()2](1)(3)213 nfannnn ，nT n 1111111111111 ()224354657nn2n1n3 11111 ()223n2n352n5122(n2)(n3),T 与n 比较52n5 12312 的大小，只需比较2(n2)(n3)与312的大小即可.22又2(n2)(n3)3122(n5n6156)2(n5n150)2(n15)(n10)∵n N∴当*,*,*1n9且n N时，52n52(n2)(n3)312,即T;n12312当n10时，52n5 2(n2)(n3)312,即T;n12312当*n10且n N时，2(n2)(n3)312,即Tn52n512312 .3.研究生成数列的性质-4-例题9.（I ）已知数列c n ，其中nn c23，且数列c n1pc n 为等比数列，求常数 np ；（II ）设a n 、b n 是公比不相等的两个等比数列，c n a n b n ，证明数列c n 不是 等比数列.解：（Ⅰ）因为{c n+1－pc n }是等比数列，故有（c n+1－pc n ） 2=（c n+2－pc n+1）（c n －pc n －1）， 将c n =2n＋3n代入上式，得n ＋1n ＋1－p （2n＋3n ）]2[2+3n ＋2+3n ＋2－p （2n+1＋3n+1）]·[2n +3n －p （2n －1＋3n －1）]，=[2n+（3－p ）3n ]2即[（2－p ）2n+1n+1n －1n －1=[（2－p ）2+（3－p ）3][（2－p ）2+（3－p ）3]，1整理得6n n=0，（2－p ）（3－p ）·2·3解得p=2或p=3. （Ⅱ）设{a n }、{bn}的公比分别为p 、q ，p ≠q ，cn=an+bn.为证{c n }不是等比数列只需证 2 c ≠c1·c 3. 2事实上， 2 c=（a 1p ＋b 1q ） 2 2= 2 a p 1 2＋ 2 b q1b 1pq ，1 2＋2a22 a p b q 2＋b 1q 2）=2＋2＋a 1b 1（p 2＋q 2）.c1·c3=（a 1＋b 1）（a 1p11 由于p ≠q ，p2＋q 2>2pq ，又a 1、b 1不为零，因此 2 cc1·c 3，故{c n }不是等比数列.2例题10.n2（n ≥4）个正数排成n 行n 列：其中每一行的数成等差数列，每一列的数成13 a 42,a43等比数列，并且所有公比相等已知a 24=1，816求S=a 11+a 22+a 33+,+a nn解：设数列{a 1k }的公差为d ，数列{a }（i=1，2，3，,，n ）的公比为q ik则a 1k =ak －111+（k －1）d ，a kk =[a 11+（k －1）d]qa 24 (a 11 3d)q1a 42 (a 11d)q 3 1 833a(a 2d)q4311依题意得：16 又n 2个数都是正数，1k1，解得：a 11=d=q=±2∴a 11=d=q=2 ，∴a kk =k 2S1 22 1 22 3 1 3 2 n1 2 n，1 2S 11123n 22 342221n1，-5-两式相减得：S21 n2 1 n n 2例题11.已知函数f(x)log 3(axb)的图象经过点A(2,1)和B(5,2)，记f(n)*a3,n N. n（1）求数列{a }的通项公式；n（2）设anb,nTbbb2，若Tm(mZ ) nn12nn ，求m的最小值；（3）求使不等式 (1 111 )(1)(1)p2n1aa n 对一切nN*均成立的最大a 12实数p.log(2ab)1a23解：（1）由题意得log(5)2 ab 3，解得b1， f(x)log 3(2x1) a n log(2n1)21,33nnN *b n 2n n 21 ，T n1 123 2 25 3 2 2n n 2 1 3 2n n 21 （2）由（1）得 ①1 2 T n132n52n32n2n2n3n122221 1②①－②得1 2 T n1 12 2 2 2 23 2 2 n 2 1 2 n 2 2n n 2 1 1 1 1 2 ( 1 1 2 1 2 2 1 n 2 2 1 n 2 1 ) 2n13 1 22n n1n1n 2221 1 . T n 3 1 n2 22n 2 n1 3 2n n23 ，设 f2n3 (n),n N n2 *，则由2n5f 得(n1)12n1n51 2 2n3f(n)2(2n3)22nn3 1 2 1 512 2n3*f(n),n Nn 随n 的增大而减小2当时，T3又T n m(mZ )恒成立，3mnnminp 1 2n 1 (1 1 a 1 )(1 1 a 2 ) (1 1 a n ) 对 n N*（3）由题意得恒成立F(n) 1 2n 1 (1 111)(1)(1a 1aa n2)，则记-6-F(n1) 1 2n3(1 1 a 1 )(1 1 a 2 ) (1 1 a n )(1 1 a n 1)F (n) 1 2n 1(1 1 a 1 )(1 1 a 2 ) (1 1 a n)(2n2n2 1)(2n 3) 4(n 2(n 2 1) 1) (n 1) 2 2n n 1 1 1F 即是随n 的增大而增大(n)0,F(n1)F(n),F(n)F 的最小值为 (n)F(1) 23 3 ， p 23 3 ，即 p max 23 3 . （二）证明等差与等比数列 1.转化为等差等比数列.a 中，a 18,a2且满足例题12.数列{}n4a n22a 1a ， nn*n N .⑴求数列{a n }的通项公式；⑵设S n |a||a||a|，求12nS ； n1⑶设b n =n (12a) n **(n N ),Tbbb(n N )，是否存在最大的整数m ，使得n12n对任意 m n ，均有T n 32N * 成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.解：（1）由题意，a n2a n a n a n ，{a }为等差数列，设公差为d ，11n由题意得283dd2，a82(n1)102n.n（2）若102n0则n5，5,||||||n 时S n aaa12n8102n2aaan9nn, 12n2n 时，S n aaaaaa n6125672S 5(S n S 5)2S 5S n n9n402 9nn n5nS 2故n9n40n6（3）bn11111()nannnn，(12)2(1)21nT n 1111111111[(1)()()()()]222334n1nnn1n.2(n1)mTn 若32 对任意nm*n N成立，即116n对任意*n N成立，1n*(n N)n的最小值是2 1 ，m1162,m的最大整数值是7.即存在最大整数m7,使对任意*n N，均有Tnm.32 a例题13.已知等比数列{b n}与数列{a n}满足3,bn N*.nn-7-（1）判断{a}是何种数列，并给出证明；n（2）若a8a13m,求b1b2b20.aa1n。

数列极限概念与性质例题和知识点总结一、数列极限的概念数列是按照一定顺序排列的一列数，例如：1，1/2，1/3，1/4，······就是一个数列。

而数列极限则是指当数列中的项数无限增大时，数列的取值趋近于某个确定的常数。

用数学语言来描述，如果对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正整数 N，使得当 n ＞ N 时，｜an A| ＜ε 恒成立，那么就称常数 A 是数列{an}的极限，记作lim(n→∞） an ＝ A 。

为了更好地理解数列极限的概念，我们来看一个简单的例子。

例 1：考虑数列{1 ／ n}，当 n 趋向于无穷大时，这个数列的极限是0 。

证明：对于任意给定的正数ε ，要使|1 ／ n 0| ＜ε ，即 1 ／ n ＜ε ，只要 n ＞ 1 ／ε 。

所以，取 N ＝ 1 ／ε ＋ 1（表示取整），当 n ＞ N 时，就有|1 ／ n 0| ＜ε ，所以lim(n→∞）（1 ／ n) ＝ 0 。

二、数列极限的性质1、唯一性：如果数列{an}有极限，那么极限值是唯一的。

2、有界性：如果数列{an}有极限，那么数列{an}是有界的。

3、保号性：如果lim(n→∞） an ＝ A ，且 A ＞ 0（或 A ＜ 0），那么存在正整数 N ，当 n ＞ N 时，an ＞ 0（或 an ＜ 0）。

三、数列极限的运算性质1、如果lim(n→∞） an ＝ A ，lim(n→∞） bn ＝ B ，那么lim(n→∞）（an ＋ bn) ＝ A ＋ Blim(n→∞）（an bn) ＝ A Blim(n→∞）（an × bn) ＝ A × B若B ≠ 0 ，lim(n→∞）（an ／ bn) ＝ A ／ B2、数列极限的夹逼准则：如果数列{an}，｛bn}，｛cn}满足：存在正整数 N0 ，当 n ＞ N0 时，an ≤ bn ≤ cn ，且lim(n→∞） an ＝lim(n→∞） cn ＝ A ，那么lim(n→∞） bn ＝ A 。