八年级数学下册第三章《平移和旋转》知识点归纳北师大版

学习资料八年级数学下册第三章图形的平移与旋转知识点（新版）北师大版班级：科目：3。

1 生活中的平移一、新知要点（1）平移的概念（2）平移的特点 (3）平移的基本性质火车沿笔直的轨道行驶、缆车沿笔直的索道滑行、火箭升空等物体都是沿着一条直线运动的,那么在运动的过程中这些物体的形状、大小、位置等因素中,哪些没有发生改变? 哪些发生了变化?这种运动就叫做什么？1。

图形的平移例1：下图中的图形A向右平移了6格得到图形A′A A′(1) 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小。

(2)平移的特点：①平移是指整个图形平行移动，包括图形的每一条线段，每一个点。

经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离。

②平移不改变图形的形状、大小，方向，只改变图形的位置。

例2、观察下图△ABE沿射线XY的方向平移一定距离后成为△CDF。

找出图中存在的平行且相等的三条线段和一组全等三角形。

（3) 平移的基本性质:经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等.二、新知巩固（练习）1。

平移改变的是图形的 ( )A 位置B 大小C 形状D 位置、大小和形状2.经过平移,对应点所连的线段 ( ）A 平行B 相等C 平行且相等D 既不平行，又不相等3。

经过平移，图形上每个点都沿同一个方向移动了一段距离,下面说法正确的是（）A 不同的点移动的距离不同B 既可能相同也可能不同C 不同的点移动的距离相同D 无法确定4。

如图,四边形ABCD平移后得到四边形 EFGH,填空（1）CD=______, （2）∠ F＝______（3）HE= ，（4）∠D=_____，（5）DH=_________。

5。

如图，若线段CD是由线段AB平移而得到的，则线段CD、AB关系是__________.6。

试着做一做：（1)把图形向右平移7格后得到（2）把图形向左平移5格后到的图形涂上颜色。

平移与旋转变换一、知识点归纳：平移的定义：1、点平移：点坐标的平移，一般在平面直角坐标系中求点坐标2、直线平移：左加右减，上加下减一次函数y=kx+b整体向左（右）平移a（a>0）个单位变为y=k(x+a)+b一次函数y=kx+b整体向上（下）平移a（a>0）个单位变为y=k(x)+b+a旋转变换：1、定义：旋转需要注意的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角2、旋转的性质：（1）旋转前后图形全等，对应线段相等，对应角相等；（2）对应点到旋转中心的距离相等；（3）任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，都相等.3、旋转作图：4、中心对称和中心对称图形：中心对称是两个图形，中心对称图形是一个图形两部分的对称关系。

5、有关对称的几个坐标：)-,(-'),(yxpyxp关于原点对称的坐标P(x,y)关于直线y=x对称的点P(y,x)P(x,y)关于直线y=-x对称的点P(-y,-x)6、常见的几种有关旋转的辅助线的方法：（1）图中出现等边三角形、等腰直角三角形、正方形，通常旋转60°或90°（2）图形中有线段的中点，通常旋转180°（3）图形中出现有公共端点且相等的线段，通常旋转夹角的度数（4）公共端点或共线的三条线段转化到同一个三角形，通常考虑旋转7、旋转变换：旋转变换从分析三要素（旋转中心，旋转方向，旋转角度）入手，旋转实现条件整合（任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，旋转出现等腰三角形．利用旋转思想解决问题，关键看基本图形能否提供旋转三要素（如等边三角形，等腰直角三角形等）．二、精讲精练题型一：旋转求度数或者求线段长度1、如图，P是等边三角形ABC内一点，AP=3，BP=4，CP=5，求∠APB的度数．第1题第2题第3题2、如图，P是正方形ABCD内一点，且PA=1，PB=2，PC=3．求∠APB的度数．3、如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE．若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD⊥BC，则∠BAC的度数为（）A．60°B．75°C．85°D．90°第4题第5题第6题4、如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，连接BB′，则∠BB′C′=_________．5、如图，在△ABC中，AB=2，BC=3.6，∠B=60°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，CD的长为______．6、探究：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，AE⊥CD于点E．若AE=10，则四边形ABCD的面积是 .应用：如图2，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，AE⊥BC于点E．若AE=19，BC=10，CD=6，则四边形ABCD的面积为__________．7、把一副三角板如图1放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AB=6，DC=7，把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图2），此时AB与CD1交于点O，与D1E1交于点F，则线段AD1的长ABC D第7题第8题第9题8、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=50°，点D在边BC上，BD=2CD．把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0<m<180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m=_________．9、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=70°，点D在边BC上，BD:DC=2:3．将线段DB绕点D 逆时针旋转m（0<m<180）度后，若点B的对应点恰好落在△ABC的边上，则m=_______．题型二：有关折叠求度数或求线段长度10、把一张矩形纸片ABCD按如图所示方式折叠，使顶点B和顶点D重合，折痕是EF．若BF=4，CF=2，则∠DEF=________．第10题图第11题图第12题图第13题图11、将矩形纸片ABCD按如图所示方式折叠，AE，EF为折痕，∠BAE=30°，AB=，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处，则BC的长为（）A．B．2 C．3 D．212、如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，且点F在矩形ABCD内部．将AF延长交边BC于点G．若，则_______（用含k的代数式表示）．13、如图，在正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④S△FGC=3．其中正确的结论有（）个．A．1 B．2C．3D．414、动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动．若限定点P，Q分别在AB，AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为________．FEDCBA14题图15题图15、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=1，点D在边AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处，连接AE，如果AD⊥ED，那么△ABE的面积是（）A．1 B．32C．333+D．1234+题型三：展开图求长度的（蚂蚁怎样走最近和大树绕圈的问题）16、如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm（玻璃杯厚度忽略不计）．17、彩带绕电棒几圈的问题。

一、图形的平移1、定义把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。

2、性质（1）平移不改变图形的大小和形状，但图形上的每个点都沿同一方向进行了移动（2）连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等。

3.确定一个平移运动的条件是：平移的方向和距离4.平移的规则：图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离．5.画平移图形，必须找出平移方向和距离，其依据是平移的性质．二、图形的旋转1、定义把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。

2、性质（1）对应点到旋转中心的距离相等。

（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。

三、中心对称1、定义把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。

2、性质（1）关于中心对称的两个图形是全等形。

（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。

3、判定如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。

4、中心对称图形把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。

5.中心对称与中心对称图形区别与联系.（1）.中心对称与中心对称图形的区别：中心对称是两个图形的位置关系，必须涉及两个图形，中心对称图形是指一个图形；中心对称是指其中一个图形沿对称中心旋转180°后，两个图形重合；中心对称图形是指该图形绕对称中心旋转180°，与原图形重合．（2）.中心对称与中心对称图形的联系：如果把两个成中心对称的图形拼在一起，看成一个整体，那么它就是中心对称图形；如果把中心对称图形看成以对称中心为分点的两个图形，那么这两个图形成中心对称．【例1】如图，在10×6的网格中，每个小方格的边长都是1个单位，将△ABC平移到△DEF的位置，下面正确的平移步骤是（）A．先把△ABC向左平移5个单位，再向下平移2个单位B．先把△ABC向右平移5个单位，再向下平移2个单位C．先把△ABC向左平移5个单位，再向上平移2个单位D．先把△ABC向右平移5个单位，再向上平移2个单位【答案】A．【解析】分析：根据网格结构，可以利用一对对应点的平移关系解答．【名师指南】本题考查平移的基本概念及平移规律，是比较简单的几何图形变换．关键是要观察比较平移前后图形的位置．平移前后图形的形状、大小都不变，平移得到的对应线段与原线段平行且相等，对应角相等，平移时以局部带整体，考虑某一特殊点的平移情况即可．【例2】在图示的方格纸中（1）作出△ABC关于MN对称的图形△A1B1C1；（2）说明△A2B2C2是由△A1B1C1经过怎样的平移得到的？【答案】(1)作图见解析；（2）向右平移6个单位，再向下平移2个单位（或向下平移2个单位，再向右平移6个单位）．【解析】分析：（1）根据网格结构找出点A、B、C关于MN的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；（2）根据平移的性质结合图形解答．解答：（1）△A1B1C1如图所示；（2）向右平移6个单位，再向下平移2个单位（或向下平移2个单位，再向右平移6个单位）．考点：作图-轴对称变换；作图-平移变换．【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置以及变化情况是解题的关键．对于直线、线段、多边形等特殊图形，将原图中的关键点与移动后的对应点连接起来，就能准确作出图形．【例3】如图，已知A（-3，-3），B（-2，-1），C（-1，-2）是直角坐标平面上三点．（1）请画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；（2）请写出点B关于y轴对称的点B2的坐标，若将点B2向上平移h个单位，使其落在△A1B1C1内部，指出h的取值范围．【答案】(1)作图见解析；（2）h的取值范围为2＜h＜3.5．解答：（1）△A1B1C1如图所示；（2）点B2的坐标为（2，-1），由图可知，点B2到B1与A1C1的中点的距离分别为2，3.5，所以h的取值范围为2＜h＜3.5．【名师指南】本题考查了利用旋转变换作图，关于y轴对称的点的坐标特征，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．【例4】已知线段CD是由线段AB平移得到的，点A(－1，4)的对应点为C(4，7)，则点B(－4，－1)的对应点D的坐标为( )A．(1，2) B．(2，9)C．(5，3) D．(－9，－4)【答案】A．【名师指南】】本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．【例5】下列四个图案中，属于中心对称图形的是( )【答案】D．考点：中心对称图形．【点睛】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．【例6】在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(－2，1)，B(－4，5)，C(－5，2)．(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；(2)画出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2【答案】(1)作图见解析；（2）作图见解析.解答：（1）△A1B1C1如图所示；（2）△A2B2C2如图所示．考点：作图-旋转变换；作图-轴对称变换．【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．【例7】在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC＝5，BD＝4.则下列结论错误的是( )A．AE∥BC B．∠ADE＝∠BDC C．△BDE是等边三角形 D．△ADE的周长是9【答案】B．【解析】分析：首先由旋转的性质可知∠AED=∠ABC=60°，所以看得AE∥BC，先由△ABC是等边三角形得出AC=AB=BC=5，根据图形旋转的性质得出AE=CD，BD=BE，故可得出AE+AD=AD+CD=AC=5，由∠EBD=60°，BE=BD即可判断出△BDE是等边三角形，故DE=BD=4，故△AED的周长=AE+AD+DE=AC+BD=9，问题得解．【名师指南】】本题考查的是图形旋转的性质及等边三角形的判定与性质，平行线的判定，熟知旋转前、后的图形全等是解答此题的关键．【例8】如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，∠EAF＝45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为．【答案】2.【解析】分析：根据旋转的性质得出∠EAF′=45°，进而得出△FAE≌△EAF′，即可得出EF+EC+FC=FC+CE+EF′=FC+BC+BF′=4，得出正方形边长即可．解答：将△DAF绕点A顺时针旋转90度到△BAF′位置，【名师指南】】此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△FAE≌△EAF′是解题关键．。

第三章图形的平移与旋转专题一：图形的平移知识点一：平移的概念例1：下面2，3，4，5幅图中那幅图是由1平移得到的？例2：在以下现象中，属于平移的是（）①在挡秋千的小朋友；②打气筒打气时，活塞的运动；③钟摆的摆动；④传送带上，瓶装饮料的移动A．①②B．①③C．②③D．②④例3：如图，有a、b、c三户家用电路接入电表，相邻电路的电线等距排列，则三户所用电线（）A a户最长B b户最长C c户最长D三户一样长挑战自我，勇攀高分1.下列那幅图可以通过（1）平移而得？2.下列运动属于平移的是（）A.在冷水加热过程中，小气泡上升为大气泡B.急刹车时，汽车在地面上的滑动C.随手抛出的彩球的运动D.随风飘动的风筝在空中的运动3.用力掷出的铅球运动是平移嘛？知识点二：平移的特点例1：如果三角形ABC沿着北偏东300的方向移动了２cm，那么三角形ABC的一条边AB边上的一点Ｐ向__________移动了__________cm。

例2：火车沿笔直的轨道行驶、缆车沿笔直的索道滑行、火箭升空等物体都是沿着一条直线运动的，那么在运动的过程中这些物体的形状、大小、位置等因素中,哪些没有发生改变?哪些发生了变化?这种运动就叫做什么？挑战自我，勇攀高分1.已知△ABC在平面直角坐标系的位置如图所示，将△ABC向右平移6个单位，则平移后A 点的坐标是（）A、（-2，1）B、（2，1）C、（2，-1）D、（-2，-1）知识点三：平移的性质例1：如图，四边形ABCD平移后得到四边形EFGH，填空（1）CD=______，（2）∠F＝______（3）HE=，（4）∠D=_____，（5）DH=_________。

例2：如图，已知等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝△A C＝4，现将ABC沿CB方向平移到△A′B′C′的位置，若平移距离为3，求△ABC与△A′B′C′的重叠部分的面积。

A A'C C'B B'例3：如图，在△DEC中,DE＝DC,DC+CE＝7CM.沿着射线CE的方向把DE边平移CE/2长,得到线段AB.连接AD和BE.那么ABCD是什么图形？能不能求出它的周长?例4：如图，在△ABC中，D、E是BC边上两点，BD=CE，试说明AB+AC>AD+AE。

2.在下列图形中既是轴对称图形又是巾心对称图形的是（ ）(D)①线段，©角，③等边三角形，©圆，⑤平行四边形，©矩形. A.③④⑥ B.①③⑥ C.④⑤⑥D.①④⑥3.数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，问：它绕着圆心0旋转多少度后和它自身重合？甲同学说: 45乙同学说：60° ;丙同学说：90° ; 丁同学说：135°。

以上四位同学的回答中，错误的是（ A 、甲B 、乙C 、丙D 、丁4.如图，所给的图案由AABC 绕点O 顺时针旋转（ A.450、90（）、135° B. 90°、135（）、）前后的图形组成的。

C.450、9O 0、1350、D.450、1800、225°八下第三章《平移与旋转》3.1知识要点：1. 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。

图形的平移是 指图形整体的平移，平移后的图形与原图形的形状和大小都没有改变，改变的是位置。

2. 对应点、对应线段、对应角3. 决定平移的要素：①图形②移动的方向③移动的距离。

平移的方向：图形上某一点到它对应点的方向，即平移前后对应点的射线方向。

平移的距离：连接一对对应点的线段的长度，即对应点之间的线段的长度。

4. 平移的性质：经过平移，对应点所连线段平行（或在一条直线上）且相等，对应线段平行（或在一条直线上） 且相等，对应角相等。

5. 平移作图的一般步骤：①确定 _______ 和 _____ ，②找出原图形的.③沿一定方向,按一定距离（或根据平 移的性质）通过截取线段的方法找到各个关键点的对应点④按原图的方法依次连结对应点⑤写出结论。

3. 2知识要点：1. 旋转的概念：在平面内，将图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，旋转不改变 图形的大小和形状。

2. 旋转角：任意一对对应点与旋转屮心的连线所成的角都是旋转角。

八年级数学下册第三章《平移和旋转》知识点归纳北师大
版
八年级数学下册第三章《平移和旋转》知识点归纳（北师大版）第三章平移和旋转
一.图形的平移
1.概念：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。

2.性质：（1）平移不改变图形的形状和大小，平移前后图形全等；（2）对应点连线平行或在同一直线上且相等。

（3）对应线段相等，对应角相等。

二.图形的旋转
1.概念：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。

这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。

2.性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等；
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
（3）旋转前、后的图形全等．对应线段相等，对应角相等。

三.中心对称
1.概念：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中
心对称，这个点叫做对称中心，两个图形中的对应点叫做对称点。

2.基本性质：
（1）成中心对称的两个图形具有图形旋转的一切性质。

（2）成中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

3.中心对称图形
概念：把一个图形绕某个点旋转180，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。

中心对称与中心对称图形的区别与联系如果将成中心对称的两个图形看成一个图形，那么这个整体就是中心对称图形；反过来，如果把一个中心对称图形沿着过对称中心的一条直线分成两个图形，那么这两个图形成中心对称。

3图形的平移与旋转（精讲精练）【目标导航】【知识梳理】1.平移：（1）平移的条件：平移的方向、平移的距离（2）平移的性质①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等(连接线段)．对应线段平行且相等。

（或在同一条直线上）（3）平移变换与坐标变化向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y）；向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P （x-a，y）向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b）；向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y-b）3. 旋转：（1）旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．（2）旋转三要素：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．4.中心对称：（1）中心对称的定义把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．（2）中心对称的性质①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．（3）把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．5. 关于原点对称的点的坐标特点（1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P （x ，y ）关于原点O 的对称点是P′（-x ，-y ）．（2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形．注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标．小专题8 特殊三角形中的“手拉手”模型——教材P89T12的变式与应用教材母题：(教材P89复习题T12)如图，△ABC ，△ADE 均是顶角为42°的等腰三角形，BC ，DE 分别是底边，图中的哪两个三角形可以通过怎样的旋转而相互得到？解：∵△ABC ，△ADE 均是顶角为42°的等腰三角形，∴∠BAC ＝∠DAE ＝42°，AB ＝AC ，AD ＝AE.∵∠BAD ＝∠BAC －∠DAC ，∠CAE ＝∠DAE －∠DAC ，∴∠BAD ＝∠CAE.在△ABD 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE ，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE(SAS)．∴△ABD 与△ACE 可通过旋转相互得到，即△ABD 以点A 为旋转中心，逆时针旋转42°，得到△ACE.(1)等腰三角形中的“手拉手”模型如图，已知△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，旋转后有∠BAD ＝∠CAE.连接BD ，CE ，则①△ABD ≌△ACE ；②BD ＝CE ；③直线BD 与直线CE 的夹角等于∠A.(2)等边三角形中的“手拉手”模型如图，已知△ABC和△ADE是等边三角形，旋转后有∠BAD＝∠CAE.连接BD，CE，则①△ABD≌△ACE；②BD＝CE；③直线BD与直线CE的夹角为60°.(3)等腰直角三角形中的“手拉手”模型如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，旋转后有∠BAD＝∠CAE.连接BD，CE，则①△ABD≌△ACE；②BD＝CE；③直线BD与直线CE的夹角为90°.1．两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC.下列说法不正确的是(B)A．△ADC≌△AEB B．△DCE是等腰三角形C．DC＝BE D．DC⊥BE2．如图，在△ABC中，分别以AC，BC为边作等边△ACD和等边△BCE，连接AE，BD 交于点O，则∠AOB的度数为__120°__．3．(2018·绵阳改编)如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB 的顶点A在△ECD的斜边DE上．若AE＝2，AD＝6，则△ABC的面积为2．4．如图，△ABC和△ADE是两个全等的等腰三角形，AB＝AC＝AD＝AE，延长BD，EC 交于点F.(1)求∠BAC与∠F之间的数量关系；(2)求证：△BCF≌△EDF.解：(1)∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE.∵AB＝AC＝AD＝AE，∴△BAD≌△CAE(SAS)．∴∠ACE＝∠ABD. ∵∠ACE＋∠ACF＝180°，∴∠ABD＋∠ACF＝180°. ∴∠F＋∠BAC＝180°.(2)证明：由(1)可知：∠ABD＝∠ACE＝∠AEC.∵∠ABC＝∠AED，∴∠CBF＝∠DEF.∵∠F＝∠F，BC＝ED，∴△BCF≌△EDF(AAS)．5．如图1，两个不全等的等腰Rt △OAB 和等腰Rt △OCD 叠放在一起，并且有公共的直角顶点O.(1)在图1中，线段AC ，BD 的数量关系是相等，直线AC ，BD 的位置关系是垂直；(2)将图1的△OAB 绕点O 顺时针旋转90°，在图2中画出旋转后的△OAB ；(3)将图1中的△OAB 绕点O 顺时针旋转一个锐角，连接AC ，BD 得到图3，这时(1)中的两个结论是否成立？作出判断并说明理由．若△OAB 绕点O 继续旋转更大的角时，(1)中的结论仍然成立吗？作出判断，不必说明理由．解：(2)如图所示．(3)(1)中结论成立，理由如下：∵∠COA ＋∠AOD ＝90°，∠BOD ＋∠AOD ＝90°，∴∠COA ＝∠BOD.又∵OC ＝OD ，OA ＝OB ，∴△COA ≌△DOB(SAS)．∴AC ＝BD.延长CA 交OD 于点H ，交BD 于点E.∵△COA ≌△DOB ，∴∠OCA ＝∠BDO.又∵∠DHE ＝∠CHO ，∴∠CED ＝∠COD ＝90°，即AC ⊥BD.将△OAB 绕点O 继续旋转更大的角时，(1)中的结论仍然成立．6．(1)如图1，在△ABC 和△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠CAB ＝∠DAE ，连接CE ，BD ，求证：CE ＝BD ；(2)如图2，将△ADE 绕着A 点旋转，当点C ，E ，D 在一条直线上时，上述结论是否成立？(3)旋转到图3位置时，上述结论成立吗？(4)旋转到图4位置时，此时点B ，E ，D 在一条直线上，上述结论成立吗？若成立，请就(2)(3)(4)中的一种情况加以证明．,图1) ,图2),图3) ,图4) 解：(1)证明：∵∠CAB ＝∠DAE ，∴∠CAB －∠BAE ＝∠DAE －∠BAE ，即∠CAE ＝∠BAD.在△ACE 和△ABD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AB ，∠CAE ＝∠BAD ，AE ＝AD ，∴△ACE ≌△ABD(SAS)．∴CE ＝BD.(2)、(3)、(4)结论成立．选(4)证明：∵∠CAB ＝∠DAE ，∴∠CAB ＋∠BAE ＝∠DAE ＋∠BAE ，即∠CAE ＝∠BAD. 在△ACE 和△ABD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AB ，∠CAE ＝∠BAD ，AE ＝AD ，∴△ACE ≌△ABD(SAS)． ∴CE ＝BD.。

八年级数学精讲——第三章：图形的平移与旋转【基础知识】1．平移的定义与规律（1）定义：在平面内将一个图形沿某个方向移动一定的距离，•这样的图形运动称为平移．关键：平移不改变图形的形状和大小，也不会改变图形的方向．（2）平移的规律：经过平移，对应线段、对应角分别相等，•对应点所连的线段平行且相等（或共线且相等）．（3）简单作图平移的作图主要关注要点：1．方向，2．距离．整个平移的作图，就象把整个图案的每个特征点放在一套平行的轨道上滑动一样，每个特征点滑过的距离是一样的．2．旋转的定义与规律（1）定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，•这样的图形运动称为旋转．关键：旋转不改变图形的大小和形状，但改变图形的方向．（2）旋转的规律经过旋转，图形上的每一点，都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．（3）简单的旋转作图旋转作图关键有两点：①旋转方向，②旋转角度．主要分四步：边、转、截、连．旋转就象把每个特征点与旋转中心用线连住的风筝，每个点转的角度是相同的，每个点与旋转中心的距离是不会改变的，即对应点与旋转中心距离相等．3．图案的分析与设计首先找到图中的基本图案，然后分析其图案与它的关系，即由它作何种运动变换而形成的，我们主要遇到的变换有：轴对称、平移、旋转．在相似形一章里还会学到图形的放大与缩小等．【典例剖析】1、请你完成下列问题．图形的操作过程（本题中四个长方形的水平方向的边长均为a，•竖直方向的边长均为b）；在图1中，将线段A1A2向右平移1个单位到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1（即阴影部分）；（1）（2）（3）在图2中，将折线A1A2A3向右平移1个单位到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B3B2B1（即阴影部分）．（1）在图3中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移一个单位，•从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影．（2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：S1=_____，S2=_______，S3=_______；（3）联想与探索如图4，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少，并说明你的猜想是正确的．2、如图，有边长为1的等边三角形ABC和顶角为120°的等腰△DBC，•以D为顶点作60°角，两边分别交AB、AC于M、N的三角形，连结MN，试说明△AMN的周长为2．3、如图，小正六边形沿着大正六边形的边缘顺时针滚动，小正六边形的边长是大正六边形边- 1 - / 8- 2 - / 8长的一半，当小正六边形由图①位置滚动到图②位置时，线段OA 绕点O 顺时针转过的角度为 度．4、如图，已知ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=o ，直角EPF ∠的顶点P 是BC中点，两边PE ，PF 分别交AB ，AC 于点E ，F ，给出以下五个结论：①AE CF=②APE CPF ∠=∠③EPF△是等腰直角三角形④EF AP=⑤12AEPFABC S S =四边形△；当EPF ∠在ABC △内绕顶点P 旋转时（点E 不与A ，B 重合），上述结论中始终正确的序号有5、如图，P 是正三角形ABC 内的一点，且68PA PB ==，，10PC =．若将PAC△绕点A 逆时针旋转后，得到P AB '△，则点P 与点P '之间的距离为 ，APB ∠=第4题 第5题变式：△ABC 是等腰直角三角形，BC 是斜边，P 为△ABC 内一点，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后与△ACP /重合，如果AP=3，那么线段P P /的长是多少？6、如图，ABC△中，90301B C AB ∠=∠==o o ，，，将ABC △绕顶点A 旋转180o ，点C 落在C '处，则CC '的长为 。