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第三章 流体运动学
•流体的运动要素：凡表征流体运动的各种物理量， 如质量、表面力、速度、加速度、密度、动量、能 量等，都称为流体的运动要素。
•流体运动学：研究流体运动的规律（不涉及作用力 ），极其在工程中的应用；研究运动要素随时间和 空间的变化，并建立它们之间的关系式。
第一节描述流体流动的两种方法
（4）
（5）
将（4）式代入（5）式积分，可得 （6） x=F1(c1,c2,c3,t) c1,c2,c3是积分 y= F2(c1,c2,c3,t) 积出的常数 z= F3(c1,c2,c3,t) 据拉格朗日法，当t＝t0时，x=a，y=b，z=c，则： a=F1(c1,c2,c3,t0) （7） b= F2(c1,c2,c3,t0) c= F3(c1,c2,c3,t0) 所以 c1=Φ1(a,b,c,t0) c2= Φ2(a,b,c,t0) （8） c3= Φ3(a,b,c,t0)
u x a, b, c, t 2 xa, b, c, t ax t t 2 u y a, b, c, t 2 y a, b, c, t ay t t 2 u z a, b, c, t 2 z a, b, c, t az t t 2
y y a, b, c, t
取 t=t0 时，以每个质点的空间坐标位置为 （a，b，c）作为区别该质点的标识，称为拉格朗日变数。
速度和加速度
xa, b, c, t ux t y a, b, c, t uy t z a, b, c, t uz t
则：
dx dy dz ux u y uz
——证毕。
流线的绘制方法：
采用微元长切线方法
例1： 已知一平面流场，其分速度为：
ky ux 2 x y2
求流线形状。 解：流线微分方程
uy
kx x2 y 2
uz 0
dx dy ux u y
将速度方程代入微分方程:
dx dy y x
解得:
x2 y 2 C
例2：
已知一拉格朗日描述：
x ae t y be t
求 (1) 迹线 （2）速度和加速度的欧拉描述； （3）流线方程。 解：（1）消去参数t，可得迹线方程
将速度方程代入微分方程:
xy ab
解得:
x2 y 2 C
（2）依据速度的定义
a A1e t0 t 0 1 b A2 e t0 t 0 1 c A3
则：
a t0 1 e t0 b t0 1 A2 e t0 A3 C A1
代入
x A1e t t 1 y A2 e t t 1 z A3
得：
x ux aet t y uy bet t
x ae t t y be
由速度可得加速度的表达式
u x aet t u y ay bet t ax
上述式中消去a，b,可得速度和加速度得欧拉描述:
u x aet x u y bet y
P’点流体速度为: u p' u x dx, y dy, z dz , t dt 流体速度差为: du u x dx, y dy , z dz , t dt u x, y , z , t
u u u u dt dx dy dz t x y z
各分量：
ax
u x u u u ux x u y x uz x t x y z
u y t ux u y x uy u y y uz u y z
ay
az
u z u u u ux z u y z uz z t x y z
——这就是迹线微分方程式。
例：设有一流场，其表达式为：
dx xt dt dy y t dt dz 0 dt
求此流场的迹线方程。 解：首先对以上三式积分(换元法)：
x A1e t t 1 y A2 e t t 1 z A3
t＝t0 时 x＝a y＝b z＝c
四、有效断面、流量和平均流速 1、有效断面：流束或总流上，垂直于流线的断面。 2、流量：单位时间内流过有效断面的流体量。
Q udA
A
（1）
（2）
G dG udA
A A
G Q
（3）
3、断面平均流速V
vA udA Q
A
udA Q v
A
A
A
（4） 单位：m/s
将（8）式代入（6）式就可得到拉格朗日表达式
x=x(a,b,c,t) y=y(a,b,c,t) z=z(a,b,c,t)
由此看来，两种方法具有互换性。因此，都可采用。 采用欧拉法便于直接运用场论分析问题,对加速度，在欧 拉法中它是流速的一阶导数，在拉格朗日法中，是轨迹的 二阶导数，数学处理上欧拉法较方便。所以，采用欧拉法 研究问题。
1、dt 时间内流出与流入微元 体的质量之差Δm
a x aet x a y bet y
（3）流线方程为
dx dy x y
积分可得流线方程：
xy C
[例3]不定常流场的迹线与流线
已知：给定的二元流动速度场为：
ux x t,
uy y t
求： （1）t = 1时过（1,1）点的质点的迹线； （2）过（1,1）点的流线方程。
du u dt u dx u dy u dz dt t dt x dt y dt z dt u u u u ux uy uz t x y z
加速度定义:
因为质点在流场内是连续的，则加速度
du u a (u )u dt t
过（1,1）点有 流线方程：
c1 (1 t ) 2
( x t )(y t ) (1 t )2
三、流管、流束、总流
图 3－8 流管
流管
流束和总流
图 3－9 流束和总流
1、流管：由许多流线围成的管子 2、流束：充满在流管内的流体 3、总流：流束的总和 4、微小流束：断面为无穷小的流束 5、流管的特性： 流管内外无流体质点交换 稳定流时，其形状不随时变而变
1 Au1dt 2 A2u2dt 1
可压缩流体沿微小流束稳定流的连 续性方程。
1u1dA1 2u2dA2
总流的连续性方程
图 3－9 流束和总流
A1
1u1dA1
A2
2 u 2 dA21V1 A1Fra bibliotek 2V2 A2
三、空间运动的连续性方程
介绍直角坐标中的连续性方程。
第四节 连续性方程
一、系统与控制体 1.流体质点的变化 2.形状和位置随时间的变化 3.作用力、能量和质量交换 流体的连续性方程是质量守恒定律的一个特殊形式 dt时间内流入与流出控制体的质量之差等于其内部的质量增加 量（变化量） 增量＝流入质量－流出质量
二、一元流动连续性方程
假设：流体的运动是连续的一元流动
第二节 流动的分类
（1）按流动介质分： （2）按流动状态分：
（3）按流动空间坐标数分：
一、稳定流动和不稳定流动 即定常流场内的流动和非定常流场内的流动。
二、一元、二元和三元流动（自学）
第三节 流体运动学的基本概念
1、迹线：某质点在一段时间内所经过的路线。 迹线特点：每个质点都有一个运动轨迹，所以迹线是 一簇曲线，且只随质点不同而异，与时间无关。 迹线方程：可由“欧拉法”与“拉格朗日法”互换求出。
解： (1) 迹线方程组为
dx x t, dt
由上两式分别积分可得
dy y t dt
x c1et t 1,
t=1时，过质点（1,1）可得，
y c2e t t 1
3 c1 , e
c2 e
（2）流线方程为
积分可得
dx dy t 1 1
( x t )(y t ) c1
a t0 1 t e t 1 t0 e b t 0 1 t y e t 1 t0 e z C x
——这就是流场中的迹线方程簇。
2、流线
某一瞬时流场中的一条曲线，其上各质点 的运动方向均与曲线相切。 流线的特性： （1）不稳定流时，流线的空间方位形状随 时间变化；
拉格朗日方法的优点：
描述各个质点在不同时间参量变化，流体运动轨迹上各
流动参量的变化。
拉格朗日方法的缺点：
不便于研究整个流场的特性。
拉格朗日方法的适用情况： 流体的振动、波动和多相流问题。
二、欧拉法Eulerian method 研究整个流场内不同位置上的流体质点的流动参量
随时间的变化。
欧拉法又称流场法。 空间坐标（x，y，z）称为欧拉变数。 速度表达式为：
（3）
把（2）式代入（3）式就可得到欧拉法表示的流动 参量表达式。
欧拉法
拉格朗日法
由欧拉法： ux=ux（x,y,z,t）
uy=uy（x,y,z,t）
uz=uz（x,y,z,t） 而由拉格朗日法：
xa, b, c, t x ux t t y a, b, c, t y uy t t u z a, b, c, t z z t t
迹线求法： 拉格朗日法： 欧拉法： x=x(a,b,c,t) y=y(a,b,c,t) z=z(a,b,c,t)
ux=ux（x,y,z,t）
uy=uy（x,y,z,t）
uz=uz（x,y,z,t） 但
dx ux dt
uy
dy dt
uz
dz dt
则
dx dy dz dt ux u y uz
