数学论文。徐敏侠 (8)
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2023年8月上半月㊀教材点击㊀㊀㊀㊀第三定义创设,轨迹性质应用基于几道教材习题的探究◉江苏省吴江平望中学㊀潘妙妙㊀㊀摘要:基于教材中同类型的三道例(习)题,通过反思,发展思维,类比拓展,结合相应的逻辑推理与数学运算,得到 有心圆锥曲线 背景下过中心的弦两端点与异于端点的动点连线的斜率之积为常数的轨迹问题,总结规律,挖掘本质,链接高考,指导数学教学与数学学习.关键词:圆锥曲线;椭圆;双曲线;直线;斜率㊀㊀苏联数学教育家奥加涅相说过: 必须重视很多习题潜在着进一步扩展其数学功能㊁发展功能和教育功能的可行性. 特别是高中数学教材,是高中数学教学与学习的根源所在,也是高考命题的背景与根基.认真钻研教材,领悟教材的意图与内涵,对教学资源进行必要的整合与拓展是高中数学教学与学习的关键所在.1源于教材例题㊀[普通高中数学必修一(人教A 版)第三章3.1椭圆 中第108页例3]㊀设A ,B 两点的坐标分别是(-5,0),(5,0).直线AM ,B M 相交于点M ,且它们的斜率之积是-49,求点M 的轨迹方程.以上例题对应的答案:点M 的轨迹方程为x 225+y 21009=1(x ʂʃ5).探究㊀[普通高中数学必修一(人教版A 版)第三章 3.2双曲线 中第121页 探究 ]点A ,B 的坐标分别是(-5,0),(5,0),直线AM ,B M 相交于点M ,且它们的斜率之积是49,试求点M 的轨迹方程,并由点M 的轨迹方程判断轨迹的形状,与3.1例3比较,你有什么发现以上探究对应的部分答案为:点M 的轨迹方程为x 225-y 21009=1(x ʂʃ5).习题㊀[普通高中数学必修一(人教A 版)第三章 圆锥曲线的方程 中第146页复习参考题第11题]已知әA B C 的两个顶点A ,B 的坐标分别是(-5,0),(5,0),且A C ,B C 所在直线的斜率之积等于m (m ʂ0),求顶点C 的轨迹.以上习题的答案:轨迹方程为x 225-y 225m=1(x ʂʃ5),当m <-1或-1<m <0时,对应轨迹为除A ,B 两点外的椭圆;当m >0时,对应轨迹为除A ,B 两点外的双曲线;当m =-1时,对应轨迹为除A ,B 两点外的圆.以上三道例(习)题研究的都是:平面上异于两定点的动点,其与两定点所构成的直线的斜率之积等于非零常数,根据常数取值的变化情况,对应的轨迹为椭圆(或双曲线)问题.而不同问题中具体常数的取值情况,与对应的轨迹(椭圆或双曲线)之间存在何种关系或对应联系呢其是否与圆的方程之间存在某种关系?是否与初中学习过的涉及圆的圆周角定理㊁圆的垂径定理等存在某种关系?2探究拓展以上展示的是求动点轨迹方程的问题,而问题实质与背景就是椭圆(或双曲线)的 第三定义 ,以及与之对应的轨迹方程和相应的性质问题等.2.1第三定义椭圆(或双曲线)第三定义:平面内与两个定点A (-a ,0),B (a ,0)连线的斜率的乘积等于常数e 2-1的点的轨迹叫做椭圆(或双曲线).其中两个定点A (-a ,0),B (a ,0)分别为椭圆(或双曲线)的顶点.当常数e 2-1小于0且不等于-1时,对应动点的轨迹为椭圆;当常数e 2-1大于0时,对应动点的轨迹为双曲线.2.2轨迹问题定理1㊀与两定点A (-a ,0),B (a ,0)连线的斜71Copyright ©博看网. All Rights Reserved.教材点击2023年8月上半月㊀㊀㊀率的乘积为定值l (l ʂ0)的动点P 的轨迹为有心圆锥曲线(其中除两定点A ,B 外),其对应的轨迹方程为x 2a 2-y 2a 2=l (x ʂʃa ).(1)若l <-1或-1<l <0,则动点P 的轨迹为椭圆(除A ,B 两点外);(2)若l >0,则动点P 的轨迹为双曲线(除A ,B 两点外);(3)若l =-1,则动点P 的轨迹为圆(除A ,B 两点外).2.3性质问题定理2㊀已知A ,B 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上关于坐标原点O 对称的两个点,若M 是该椭圆上异于点A ,B 的任意动点,则AM ,B M 所在直线的斜率之积为定值,且k A M k B M =e 2-1=-b 2a2.定理3㊀若A ,B 是双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)上关于坐标原点对称的两个点,M 是该双曲线上异于点A ,B 的任意动点,则AM ,B M 所在直线的斜率之积为定值,且k A M k B M =e 2-1=b 2a2.推论1㊀(圆周角定理的推广)若A B 为有心圆锥曲线 (圆e =0,椭圆0<e <1,双曲线e >1)的 直径 (过对称中心的弦),M 为曲线上异于点A ,B 的任意动点,则k A M k B M =e 2-1.推论2㊀(圆的垂径定理的推广)若M 为 有心圆锥曲线 (圆e =0,椭圆0<e <1,双曲线e >1)的弦A B 的中点,其中弦A B 不过曲线中心O 且不平行于对称轴,则k A B k O M =e 2-1.3链接高考高考真题1㊀(2022年高考数学全国甲卷理科10)椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左顶点为A ,点P ,Q 均在C 上,且关于y 轴对称.若直线A P ,A Q 的斜率之积为14,则C 的离心率为(㊀㊀).A.32㊀㊀㊀㊀B .22㊀㊀㊀㊀C .12㊀㊀㊀㊀D.13解析:设Q 关于x 轴的对应点为M ,则k A Pk A Q =-k A P k A M .由定理2,可得k A P k A M =e 2-1=-14.结合0<e <1,解得e =32.故选择答案:A .高考真题2㊀(2022年高考数学新高考Ⅱ卷 16)已知椭圆x26+y 23=1,直线l 与椭圆在第一象限交于A ,B两点,与x 轴,y 轴分别交于M ,N 两点,且|M A |=|N B |,|M N |=23,则直线l 的方程为㊀㊀㊀㊀.解析:设直线l 的方程为x m +yn=1(m >0,n >0),则M (m ,0),N (0,n ).取线段A B 的中点E ,由|M A |=|N B |,可知点E 是线段MN 的中点,即E (m 2,n 2).由推论2,可得k O E k A B =e 2-1=-b 2a2=-12,则有-n m n m =-12,即m 2=2n 2.又|MN |=23,即m 2+n 2=12,解得m =22,n =2.所以直线l 的方程为x 22+y 2=1,即x +2y -22=0.故填答案:x +2y -22=0.点评:高考题常常源于教材而高于教材,是在高中数学教材的基础上合理创设,并进一步加以变式拓展与能力提升,很好地考查学生的 四基 落实情况,以及数学能力与数学品质.4教学启示4.1回归教材,深挖内涵教材中的例(习)题等,都是不同时期背景下教学与研究的精华与积累,具有很好的示范与引领作用.新高考命题方针下,更多的高考真题都出自高中数学教材中的例(习)题,借助教材中例(习)题加以背景创设㊁情境改编㊁变式应用㊁拓展提升等,并进一步综合此类例(习)题的背景㊁知识㊁思想㊁方法㊁技巧与策略等,既源于教材,又高于教材,充分体现了传承与发展.4.2以本 为 本 ,提升能力在高中数学教学中,回归教材,以其为蓝本,以本 为 本 ,吃准吃透,链接教材前后相关知识,合理并正确构建起高中数学相关知识的网络体系与知识框架,不断挖掘数学知识的本源与内涵,渗透数学思想方法和核心素养,让平时的数学教学真正为高考提供有效的动力与能力支持,全面提升学生数学能力,促其养成良好的数学品质与习惯.Z81Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
初中数学函数教学中技术辅助培养学生模型思维的实践与探讨周华健1㊀游健明2㊀黄月玲1(1.福建省南平市政和县石屯中学ꎬ福建南平353601ꎻ2.福建省南平市第九中学ꎬ福建南平353001)摘㊀要:为培养学生的模型思维ꎬ文章探讨了技术辅助在初中数学函数教学中的应用.通过使用数字工具和计算机软件ꎬ教师可以更有效地引导学生理解函数的概念ꎬ并促使学生在解决实际问题时运用模型思维.通过教学实践的案例分析ꎬ强调了技术辅助在数学教学中的重要性ꎬ讨论了如何最大化发挥技术辅助的作用ꎬ切实提升学生的数学核心素养.关键词:初中数学ꎻ函数教学ꎻ模型思维ꎻ技术辅助ꎻ核心素养中图分类号:G632㊀㊀㊀文献标识码:A㊀㊀㊀文章编号:1008-0333(2024)08-0067-03收稿日期:2023-12-15作者简介:周华健(1976.7 )ꎬ男ꎬ福建省南平人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事初中数学教学研究ꎻ游健明(1976.4 )ꎬ男ꎬ福建省南平人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事初中数学教学研究ꎻ黄月玲(1976.10 )ꎬ女ꎬ福建省南平人ꎬ本科ꎬ中学二级教师ꎬ从事初中数学教学研究.㊀㊀函数是初中数学课程内容的重要组成部分ꎬ它是数学中最基础的概念之一ꎬ不仅是高中和大学数学的基础ꎬ而且在日常生活中具有广泛的应用[1].在初中数学教学中ꎬ如何更好地学习这一概念ꎬ是初中数学教师值得思考的问题.1技术辅助在初中数学函数教学中的应用函数在初中数学教学中扮演着至关重要的角色.然而ꎬ抽象的数学概念和复杂的符号往往会使学生感到困惑[2].为了更好地帮助学生理解和应用函数概念ꎬ教师可以借助技术辅助工具和计算机软件开展教学ꎬ努力提高教学效果.1.1数学工具的应用在初中数学函数教学中ꎬ数字工具是教师和学生的重要助手ꎬ它们不仅能够极大地简化计算过程ꎬ还能提供可视化手段ꎬ有助于学生更好地理解和掌握函数的概念ꎬ从而提高课堂教学效果.㊀数学计算器是一个强大的数学工具ꎬ学生借助其能够计算函数值.通过输入不同的自变量值ꎬ可以迅速获得相应的函数值ꎬ这对理解函数的性质非常重要.例如ꎬ在学习 一次函数 时ꎬ学生可以通过逐步改变x的值ꎬ计算并观察对应的y值ꎬ从而形成一次函数的图象.这种实时反馈有助于学生更深入地理解函数的性质.图形计算器是另一个重要的数学工具ꎬ它具有绘制函数图象的能力[3].通过输入函数表达式ꎬ学生可以立即获得函数的图象.从而直观地观察函数的图形特征.通过与图形的互动ꎬ学生可以更深入地探索函数的性质.1.2计算机软件的应用在初中数学函数教学中ꎬ计算机软件发挥着重要作用ꎬ为学生学习提供了丰富多样的工具和资源ꎬ有助于学生更深入地理解和应用函数的概念.761.2.1MicrosoftExcelMicrosoftExcel是一款功能强大的电子表格软件ꎬ它在初中数学函数教学中有着广泛的应用.教师可以教导学生如何使用Excel解决以下数学问题:一是计算函数值.学生可以使用Excel的公式功能计算函数在不同自变量值下的输出结果ꎬ从而更好地理解函数的性质和变化规律.通过创建一个包含函数表达式的单元格ꎬ并在其他单元格中输入不同的自变量值ꎬ学生可以轻松地获取相应的函数值.二是可视化数据.Excel可以用于创建图表ꎬ如散点图㊁线图和柱状图ꎬ以可视化数学函数的特性.学生可以通过绘制这些图表观察函数的变化趋势㊁极值点和零点ꎬ从而更深入地理解函数的图形特征.三是成本分析和数据拟合.教师可以通过示范和指导ꎬ教导学生如何在Excel中进行成本分析㊁数据拟合和回归分析等实际问题的解决.1.2.2数学建模工具在初中数学教学中ꎬ教师可以选择数学建模工具ꎬ为学生提供了一个交互式学习平台.例如ꎬGeoGebra就是一款功能强大的数学建模工具.这类工具有以下应用:一是可视化函数关系.Geo ̄Gebra等数学建模工具允许学生可视化函数之间的关系.学生可以绘制多个函数的图象ꎬ并观察它们之间的交点㊁切线等特性ꎬ从而更好地理解函数之间的相互作用.二是数学实验.这些工具允许学生进行动态数学实验ꎬ改变函数的参数并观察结果.1.2.3编程环境一些编程环境如Python和MATLAB可以用于创建数学模型和解决复杂的数学问题.学生可以通过编写简单的程序理解函数的性质和应用.一是创建数学模型.学生可以使用编程语言创建数学模型ꎬ例如ꎬ建立一个模拟函数的变化过程的程序.这有助于将函数概念与实际问题相结合.二是解决数学问题.编程环境为学生提供了解决复杂数学问题的工具.学生可以编写算法求解函数的极值㊁方程的根等问题ꎬ从而提高数学问题解决能力.1.3利用技术辅助提高教学效果在函数教学中ꎬ充分利用数字工具和计算机软件可以显著提高教学效果.通过这些工具ꎬ教师能够创造更具互动性和实用性的教育环境ꎬ从而激发学生的学习兴趣ꎬ使函数教学更富吸引力和有效性.1.3.1增加互动性数学工具和计算机软件的应用为教学增加了互动性.学生可以积极参与到函数学习中ꎬ通过互动操作㊁实时反馈和自主探索深入学习函数的性质.例如ꎬ学生可以使用图形计算器绘制函数图象ꎬ并在图象上标出特定点ꎬ这种互动过程有助于学生更好地理解函数的性质和图形特征.1.3.2提高学习动力利用技术辅助工具ꎬ学生通常对数学函数教学产生更大的兴趣和动力.数学工具和计算机软件提供了新颖的学习方式ꎬ使学生能够从不同角度和多个维度来理解函数概念.这种学习方式与传统的纸和铅笔方法相比ꎬ更具吸引力ꎬ激发了学生对数学的热情.学生在互动和探索中感到乐趣ꎬ因此会更积极地参与课堂活动.1.3.3更容易理解和应用数学函数的概念通过数学工具和计算机软件ꎬ学生可以更直观地理解和应用数学函数的概念.例如ꎬ在使用图形计算器时ꎬ学生可以观察到函数图象的变化ꎬ直观地理解函数的斜率㊁零点和极值点.这种可视化的学习方式有助于学生更深入地理解抽象的数学概念ꎬ并将其应用到实际问题中.2培养学生的模型思维模型思维是数学教学的重要目标.它涉及将数学概念应用于解决实际问题的能力ꎬ是培养学生创造性思考和问题解决能力的关键.通过技术辅助ꎬ教师可以引导学生建立数学模型ꎬ将抽象的数学概念与实际情境相结合ꎬ从而培养模型思维.2.1模型思维的重要性模型思维不仅在数学领域中有着广泛的应用ꎬ还在日常生活中发挥着重要作用.通过建立数学模型ꎬ学生能够将数学知识应用于解决复杂的实际问题.这种能力不仅有助于学生更好地理解数学概念ꎬ还使学生具备了解决现实生活问题的能力ꎬ提高了学生的综合素质.862.2技术辅助的作用技术辅助在培养学生的模型思维方面具有巨大的潜力.通过数字工具㊁计算机软件和互联网资源ꎬ教师可以创造丰富的实际问题情境ꎬ激发学生将数学概念应用于这些情境中的能力.技术辅助在培养模型思维方面发挥着重要作用.2.2.1实际问题建模通过技术辅助ꎬ教师可以引导学生面对复杂的实际问题ꎬ如经济问题㊁环境问题或社会问题ꎬ并指导学生如何将这些问题建模为数学问题.这个过程将抽象的数学概念与现实情境相结合ꎬ为学生提供了将数学知识应用于实际问题的框架.例如ꎬ学生可以使用函数来建立成本㊁收入和利润之间的关系模型ꎬ从而在实际情境中进行经济分析.2.2.2数学实验和数据分析计算机软件和数学建模工具为学生提供了进行数学实验和数据分析的机会.学生可以使用这些工具探索各种参数㊁变化和情境ꎬ从而更深入地理解数学模型.例如ꎬ学生可以使用数学建模工具模拟物理过程㊁人口增长或生态系统变化ꎬ然后观察模型的输出结果ꎬ推断可能的趋势和影响.这种实验性学习过程培养了学生的探索精神和科学思维.通过分析实验数据ꎬ学生可以验证模型的准确性ꎬ并改进模型以更好地反映实际情况.3实际教学案例分析为了更具体地展示技术辅助如何帮助培养学生的模型思维ꎬ以下是一个实际的教学案例ꎬ演示了如何使用电子表格软件计算汽车租赁费用.这个案例不仅涉及函数的概念ꎬ还培养了学生在不同情境下应用数学知识的能力ꎬ以及构建数学模型的技能.案例㊀汽车租赁费用计算在这个案例中ꎬ学生将学习如何使用函数来计算汽车租赁费用.租车公司通常会根据租车的基本费用㊁每公里的费用和租期计算费用.通过构建一个函数模型ꎬ学生可以输入这些参数值ꎬ并使用电子表格自动计算总费用.教师首先介绍租车费用计算的情境ꎬ并提供实际的租车价格表和费率.学生需要明白租车费用如何与租期㊁行驶里程和基本费用相关联.然后ꎬ师生一起建立数学模型ꎬ该模型表示租车费用与租期㊁行驶里程和基本费用之间的关系.模型可以用以下函数表示:F(xꎬyꎬz)=ax+by+czꎬ其中F表示总费用ꎬx表示租期(天数)ꎬy表示行驶里程(公里)ꎬz表示基本费用ꎬa㊁b㊁c是对应的费率.使用电子表格计算费用:学生使用MicrosoftEx ̄cel电子表格软件ꎬ创建一个表格ꎬ其中包括列用于输入租期㊁行驶里程和基本费用.通过在电子表格中设置公式ꎬ学生可以自动计算租期的总费用.接着ꎬ学生可以使用这个电子表格来实际计算不同租赁情境下的费用.学生可以尝试不同的参数值ꎬ如不同的租期㊁行驶里程和基本费用ꎬ以查看费用如何变化.这有助于学生理解模型的影响因素ꎬ培养学生的模型思维.最后ꎬ教师与学生一起分析计算结果ꎬ讨论模型的应用和局限性.通过这个案例ꎬ学生不仅学会了如何使用函数建立数学模型ꎬ还培养了学生运用数学知识解决实际问题的能力.学生通过使用电子表格软件自动计算费用ꎬ获得了实际计算经验.4结束语在初中数学函数教学中ꎬ技术辅助可以有效培养学生的模型思维ꎬ使学生能够将数学概念应用于解决实际问题.通过数字工具和计算机软件ꎬ教师可以提供更具互动性和实用性的学习体验ꎬ从而增强学生的数学素养和解决问题的能力.因此ꎬ在初中数学函数教学中ꎬ教师应广泛采用技术辅助手段ꎬ不断提高学生学习效果ꎬ进而提升学生的数学核心素养.参考文献:[1]周镠.初中数学函数教学中学生解决问题能力培养刍谈[J].新课程ꎬ2020(6):202. [2]张金娣.初中数学函数教学有效性探析[J].考试周刊ꎬ2019(72):104-105.[3]尹丹. 借助计算器观察函数递增的快慢 教学设计[J].上海中学数学ꎬ2014(4):45-47.[责任编辑:李㊀璟]96。
【论文摘要】:数学是思维的科学,被称为“思维的体操”,是培养思维的重要载体。
思维活动是最重要、最有潜力、成本最低的活动,是数学课堂活动之魂。
数学教学不仅要教给学生数学知识,更主要在于启发诱导学生,向学生充分展现这些数学知识被发现,被解决的思维过程。
提高学生的思维能力,是数学教育的基本目标之一,也是数学教育的一场变革,是数学教学要“让学生的数学思维自然地流淌”。
【关键词】:数学思维能力思维品质培养有人认为思维活动是传统的课堂活动,其实,新课程比以往更强调学生思维的发掘。
新课标强调数学应重视从学生的生活经验和已有知识中学习和理解数学,使他们体会到数学就在身边,数学和现实生活是密切联系的。
数学课上不是教给学生多少知识,而是要教给他们思维的方法,开发他们脑中未被开发的脑细胞,从而提高学生思维能力和创新能力。
一、学生思维受阻的原因在数学教学过程中,学生的思维能力是我们教学活动的重要组成部分。
然而我们经常会遇到:面对一个具体的数学问题,学生经过思考和讨论,仍然暴露出思维的不流畅或思维的层次仍处于比较初级阶段的问题,也就是思维障碍,给思维训练带来很多困难,不利于提高学生学习数学的思维品质,阻碍了学生学习能力的发挥。
常听学生反映“课听得懂,书看得懂,题目不会解。
”这就是没有学会思维。
根据个人经验,参考有关资料,我认为学生思维受阻的主要原因有以下几点:1、数学思想方法缺乏。
由于学习方法的缺乏而严重制约学生的有效思维的状况在现实教学中是普遍存在的。
来看华东师大二附中的一则调查:重点中学的学生尚且如此,一般学校可想而知。
2、思维惰性造成思维模糊。
学生在遇到难题时,只有很少一部分学生会选择继续思考,大部分学生则要么等老师讲解,要么问老师或同学,要么放一边等以后再解决。
思维指向模糊主要表现在对关键信息感知把握不准,思维指向性模糊,出现思维的惰性。
观察只停滞在感知表象中,即使撞上关键信息,也不能加工形成有价值的反馈信息,致使思路受阻,从而懒于动脑,久而久之,养成了思维的惰性。
学生推理能力在小学数学中的教学创新优秀获奖科研论文《义务教育数学课程标准(2011年版)》中指出:“推理是数学的基本思维方式,也是人学习和生活经常使用的思维方式,推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中。
”在数学课堂中,培养学生的推理能力和推理意识,既有助于帮助他们形成有理有据的良好习惯,也有助于他们掌握科学的思维方法,促进已有知识、经验、技能的有效迁移学习,提高学习效率。
所以在当前的小学数学教学中,对学生推理能力的培养很重要。
但目前小学生在进行数学的学习中普遍存在推理能力不强的现象。
对这种现象需要利用不同的教学方式进行创新,对学生的推理能力和专业性的思维导向进行正确引导,有效地进行学生基础能力的掌握和提升。
一、小学数学现阶段学生推理能力的状况(一)缺乏推理能力的意识目前小学数学教学中普遍比较缺乏学生的推理能力的发展,大多数教师的课堂教学中很少会有涉及,所以造成学生普遍缺乏推理能力的现象。
在新课标改革之后,对小学生的基本要求中就对学生的推理能力做出新的要求。
要求学生能掌握基本的逻辑能力、思维能力以及相应的推理能力,保证整个学习过程中能自己进行相关的推理能力的掌握和应用。
目前小学生的推理能力需要进行不断提升和整理。
小学数学的推理能力的发展现状处于比较缺乏相关能力的培养的状态,在进行教学的过程中,大部分教师会利用推理的方法进行讲授,但对学生推理能力的培养比较缺乏,不会进行刻意地培养。
造成学生的推理能力比较低下,不能完全掌握基本的推理方法,完成推理能力的应用。
(二)推理能力的教学利用缺乏在进行小学数学的教学中,还是固于以往那种传统的教学模式,进行教学的目的是进行知识点的掌握,对学生的能力评估基本就是利用考试的形式进行,主要是评估学生学习的理论知识的掌握,对基本能力的培养往往会忽视。
所以造成学生相应能力比较低下。
目前小学数学的教学中基本都是对学生基本能力的培养,通过授课的方式完成学生能力的培养。
在小学数学的知识体系基本包括以下几个部分:首先是空间与图形,这一部分存在简单的推理问题,都是基本的图形的认识和相关轨迹的学习;其次是数与代数,这一部分涉及的推理比较多,主要是针对数据进行计算和整理;再次就是统计和概率,对生活中的概率进行简单的认识和利用,这一部分涉及的推理比较少。
例谈生动渗透数学思想方法的教学内容提要:数学思想是数学的灵魂,是形成数学能力、意识的桥梁.但是,数学思想具有高度抽象性,学生往往不易理解.教学中教师如何运用恰当的方法渗透数学思想,让学生更好地理解和运用数学思想呢? 本文借助教学中的几个片段, 从运用熟悉的典故、幽默的语言、形象的比喻、名人名言等方法谈数学思想的生动渗透.关键词:数学思想 方法 渗透有专家指出:“作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了,唯有深深铭记在头脑中的是数学的精神、数学的思想、研究方法等,这些随时随地发生作用,使人们终身受益.”可见,数学思想是数学的灵魂,它是数学知识、技能、方法的本质体现,是形成数学能力、意识的桥梁.然而,数学思想具有高度抽象性,它隐含在数学知识体系中,好多学生对其学习感到枯燥乏味.笔者在教学中发现:教师若能通过恰当的方法渗透数学思想,化抽象为形象,化深奥为通俗,化呆板为鲜活.这既能加深学生对数学思想的理解,又能激发学生的学习兴趣.一.运用熟悉的典故渗透数学思想在许多耳熟能详的历史典故中,蕴涵着十分深邃的数学思想.教师若能将它们适时地运用于教学,定能使学生加深对数学思想的理解,启迪学生思维,迸发学习热情,可谓达到知、情并进的效果.片段1:浙教版七年级(下)4.3解二元一次方程组(代入消元法)题:解方程组⎩⎨⎧-==-1132y x x y[1] 解该方程组的基本思路是通过代入消元,化二元为一元.在消元的过程中,蕴涵的就是转换的数学思想,为了使学生更好地体验这一思想,笔者运用“曹冲称象”的历史典故组织教学.师:下面老师请大家欣赏一小段木偶剧.[好奇心使学生瞬间热情起来,充满期待.多媒体播放(约2分钟):曹冲称象的木偶剧,学生看得津津有味.]师:刚才的短剧,大家都很熟悉吧.生:(齐声)曹冲称象.师:对啊!你知道曹冲是怎么称出大象重量的呢?生:曹冲是用石头的重量来替换大象的重量.师:你真是好眼力!那么,我们能否从短剧中得到启发,求出下面这个方程组的解?投影题目:解方程组⎩⎨⎧-==-1132y x x y (此时,学生个个像小曹冲,都在认真地思考).生1:我用(y-1)来替换x,就可以解出方程组.(师生共同完成解方程组)师:大家还能有其他的替换方法吗?(学生思考片刻)生2:用(x+1)替换y,也可以解出方程组.生3:我用312x +也能替换y. 生4:还可以用213y -来替换x. ……学生在典故欣赏中,不仅激发了学生的学习兴趣,而且通过感悟启发、尝试运用的过程,自然也就理解、运用了转换的数学思想,从学生对代入消元的不同变式中,可以发现学生理解了转换思想的本质含义:两个表面不同的式子用“=”相连,就说明两个式子是等量的或等价的,是同一事物的两个不同形态,它们之间是可以相互转换的.这样也就轻松达到教学目的.片段2:浙教版八年级(上) 2.6阅读材料《从勾股定理到图形面积关系的拓展》题:我们知道勾股定理也可以表述为:分别以直角三角形两条直角边为边长的两个正方.如图(甲),s 1+s 2=s 3问题:(1)如果以直角三角形的三条边a,b,c 为边,向外分别作正三角形,那么是否存在s 1+s 2=s 3呢?如图(乙).师生共同完成该问题后,教师接着问: (2)类似地,上述结果是否适合其他图形?好多学生从图(甲)、(乙)中得到启发,画出如图(丙)、(丁)等图形,并模仿问题(1)的解答过程,顺利完成了所得图形的推理,得到结论:s 1+s 2=s 3.师:根据以上问题,你发现了什么结论?B E B B (甲) (乙) (丙) (丁)学生充分想象,相互完善后,师生共同得出结论(《几何原本》第六卷命题31):“在一个直角三角形中,在斜边上所画的任何图形的面积,等于在两条直角边上所画的与其相似的图形的面积之和.” [2]师:大家真不简单!其实,我们得到这个结论,就蕴涵着一种数学思想---类比思想.(学生茫然)师:同学们知道锯子是谁发明的吗?生:鲁班!师:鲁班是历史上著名的能工巧匠.有一次,鲁班的手不慎被一片小草割破,他惊奇地发现,小草叶子的边沿布满了密集的小齿,原来是这些小齿把他的手划破了,于是他便产生了联想,发明了锯子.这里他运用的就是“类比思想”[3].事实上,许多发明家的创造发明都是利用了“类比思想”.教师接着介绍类比思想.生:噢!(众生恍然大悟)……可以说,这些精彩的典故,学生并不陌生,将它们适时地引入我们的课堂,不仅有助于学生对数学思想的理解,还有助于激发学生的学习兴趣,增强民族自豪感,真是“一石二鸟”.二.运用幽默的语言渗透数学思想苏联著名教育家维特洛夫指出:“教育家最主要的,也是第一位的助手是幽默.”幽默可以打破课堂的沉闷,活跃课堂气氛;幽默可以开启学生的智慧,提高思维质量.教师若能运用幽默的语言,能使学生愉悦地接受数学思想,达到事半功倍的效果.片段3:浙教版七年级(下) 6.3用乘法公式分解因式[4]题:分解因式:(2x+y)2-6(2x+y)+9该题需用整体的数学思想进行因式分解.但在初学因式分解时,好多学生会习惯地把整体展开,为了使学生更加深刻地理解整体思想,教师特意让一学生上台板演,学生板演如下:原式= 4x 2+4xy+y 2-12x-6y+9=……(学生最后无计可施).师点评:“怎么样,没办法了吧.你真是大胆噢,居然连‘炸弹’也敢拆!”(学生哄堂大笑). ……由于老师把(2x+y)2这一整体的展开,幽默地说成是拆“炸弹”,学生感到轻松有趣.当然,学生对“整体思想”的记忆也就鲜活、深刻了.片段4:试卷分析 A BCE题:如图,正方形ABCD 中,E 是BC 边上的一点,以E 为圆心、EC 为半径的半圆与以A 为圆心,AB 为半径的圆弧外切,则Sin ∠BAE 的值为( )(A) 43 (B) 34 (C) 45 (D) 35本题结合了正方形、圆、直角三角形等基本图形,学生似曾相识,但由于题目缺少已知量,好多学生无从下手.解决该问题需要学生具有方程思想,有构建方程的意识与方法,寻求到两圆半径的关系.为此,笔者作如下启发:师:Sin ∠BAE 的值等于哪个比值?生1: Sin ∠BAE=BE AE师:可我们不知道BE 、AE 的长度,但从图中可以发现AE 、BE 都与哪些量有关?生2:AE 、BE 都与两圆的半径有关.师:看来,如果我们知道两圆半径的关系,问题就好办了.可怎样才能找到两圆半径的关系呢?(思考后,有学生举手)生3:可以设大圆、小圆的半径分别为R 、r.得方程(R-r)2+R 2=(R+r)2.解得:R=4r,问题顺利解决……师:刚才,我们是借助什么“工具”解决问题的?生:借助方程.师:正是“方程”帮了我们的忙,方程可是我们解决问题非常有用的“工具”.(师略停,模仿某广告语)“方程真是妙,谁用谁知道!”(学生哈哈大笑)一句改编的“广告词”,逗得学生开怀一笑,让学生更为深切地领悟到“方程思想”的地位和作用,也增强了学生运用“方程”解题的意识.笔者还惊喜地发现:从此,学生在运用了方程思想解决问题后,总会意犹未尽地来一句:方程真是妙,谁用谁知道!可见,课堂教学中使用一些幽默的语言,不仅不会损害数学思想的准确性,反而有助于学生对数学思想的理解与掌握.三.运用形象的比喻渗透数学思想心理学研究表明,一般中学生的思维正处于从形象思维向抽象思维过渡,他们对很多抽象的数学模型、概念、图形性质及数学思想的认识还限于表面的理解.因此,教学中教师可通过恰当的比喻,形象直观地渗透数学思想.片段5:九年级复习课题:已知,如图①在Rt △PMN 中,∠P=90°,PM=PN ,MN=8cm,矩形ABCD 的长和宽分别为8cm 和2cm,点C 和点M 重合,BC 和MN 在一条直线上,令Rt △PMN 不动,矩形ABCD 沿MN 所在的直线向右以每秒1cm 的速度移动(如图②),直到C 点与N 点重合为止.设移动x 秒后,矩形ABCD 与Rt △PMN 重叠部分的面积为y(cm 2),求y 与x 之间的函数关系式.该题属于典型的运动问题,解决此类问题关键在于“以静制动”,把“动态”问题用“静态”的方法进行分析,需采用分类讨论的数学思想.但学生对于“怎样分?”和“为什么要这样分?”都深感棘手.为此,笔者在教学中采用学生比较熟悉的抓拍“照片”进行比喻.师:矩形ABCD 在运动过程中,它与Rt △PMN 重叠部分的图形会一样吗?生:不一样师:请你根据重叠部分图形的变化,抓拍几张精彩“照片”?(此言一出,学生兴趣盎然).教师让一学生板演他所拍到的“照片”(画草图如下).师:说说你为什么要拍这几张照片?生:我认为,矩形ABCD 在运动过程中,它与Rt △PMN 重叠部分的图形只有这四种不同的形状,所以就拍了这四张照片(众生笑).……一个形象的比喻掀去了分类讨论思想神秘的“面纱”,让学生生动直观地体会到此类问题“怎样分类和为什么要这样分类”.学生也就轻松接受了分类讨论思想不重不漏的原则.形象比喻将数学思想化抽象为形象,融数学于生活,这既加深学生对数学思想的理解,降低了学习的难度,又大大激发学生学习的兴趣,增强学好数学的信心.四.运用名人名言渗透数学思想 ① ② ④ ⑤③ ⑥有些数学家的名人名言本身就是一种数学思想的精辟概括,它揭示了数学思想的本质.教学中,教师若能恰到好处地运用数学家的名人名言,将有助于学生领悟数学思想.片段6:浙教版八年级(下) 5.1四边形内角和[5]题:探索四边形内角和为360°.笔者发现学生在探索过程中,存在以下多种方法.师:同学们真会探索!居然有这么多办法求四边形的内角和.那么,以上各种方法都用到了一个大家非常熟悉的什么性质呢?(学生思考后,争相举手)生:都用到了“三角形的内角和为180°”.师:看来,探求“四边形的内角和”,我们就把它转化为“三角形的内角和”.这就是数学中的“化归思想”.接着,笔者引用苏联数学家雅若夫斯卡娅的一句话:“解题——就是意味着把所有要解决的问题转化为已经解决过的问题”.一句名言对“化归思想”作出了精辟的解释.再如: 在渗透数形结合思想时,有意识地将抽象的数学语言与直观的几何图形有机的结合起来.使抽象思维与形象思维相融合,往往能使我们尽快找到解题途径和简化解题过程.要掌握数形结合的思想,必须熟悉图象的特征及性质,并做到“胸中有图,见数(式)联形.教学时结合我国数学家华罗庚的名言:“数形结合无限好,割裂分开万事休”“数无形时少直观,形无数时难入微”.让学生更深刻理解了数与形的辨证关系,揭示了数与形之间的本质联系.[5]类似这样的“名人名言”还有很多, 教学中教师恰当引用它们,既能让学生感受名言的魅力,又能更清晰、深刻地渗透数学思想.事实上,只要我们细心观察、善于积累,就会给学生提供很多与数学思想相联系的素材.我们巧妙运用这些素材渗透数学思想,可以改变数学思想严肃的“面孔”,可以使学生头脑中朦胧的数学思想清晰化,隐性的数学思想显性化,从而深化学生对数学思想方法的认识,同时还可以进一步促进学生养成自觉运用数学思想方法来观察问题、分析问题和解决问题的习惯.参考文献[1] 范良火等.义务教育课程标准实验教科书(浙教版七下).浙江教育出版社[2] 范良火等.义务教育课程标准实验教科书(浙教版八上).浙江教育出版社[3] 张伟.数学思想方法应讲得生动些[J]. 中小学数学,2008.4[4] 范良火等.义务教育课程标准实验教科书(浙教版七下).浙江教育出版社[5] 席欣力.谈谈教学口语[J].中小学数学,2005.1-2。
关于如何做好中学中差生转化的思考所谓差生,是指在德、智、体各方面或其中一方面落后于教育目标所规定的要求指标的差等生。
然而,在教育实践中,绝大多数人眼里认为文化课程落后就是差生。
差生在社会、学校、家庭中往往被排斥到一种不公平的处境中。
一差生的形成主要受以下各因素的影响。
首先,分数竞争机制对差生的排斥。
现行的升学杠杆只有考试,考分的多少象是一种无形的网,它给人造成一种假象,就是文化课考试成绩差,这个学生就几乎被全盘否定,在个别教师和家长眼里,就是朽木不可雕,以致产生偏见,使自尊心很强的差生就会感到无地自容,难免造成心理和感情上的痛苦与折磨,以至于对未来失去信心,对前途不抱什么希望。
对于初中生来说,还未形成正确的、健康的人生观、价值观,在这关键时期,这些学生对学习失去信心,很容易受社会消极因素的引诱而走入人生误区。
学校的教育,既要高一级学校输送各级各类优秀学生,又要向社会各行各业培养合格人才。
因此,教育教学工作,既要实施分数选拔机制,又要把它控制在一定的程度上,既要培养尖端人才,又要不伤害大多数的学生,把他们造就成符合社会主义国家教育方针的一代新人。
其次,教学过程的实施对差生的排斥。
教学过程是教育工作的载体,是学校实现自我功能的最基本组成部分。
目前教学过程从某种程度上讲,越来越严重地脱离学
生实际,使差生不能通过教学过程产生良性转变。
在有些教师眼里,宁给优生吃奶粉,不给差生吃窝头。
这样做只能使教学与教育过程中对差生排斥现象越来越严重。
因听不懂课使差生不愿呆在教室里,出现逃学或消极上课的现象。
另外,教学管理的偏差对差生产生的排斥
教学管理面对的是全体学生,如何使差生转变到教育方针规定的目标上来,管理就要科学、规范,要因人制宜。
而现今的教学管理中,自行设定升学指标,进行纵横评比,学生考分与老师奖金挂钩,这样,学生、2、教师、学校的视线都集中到分数上来,产生的问题是排斥差生,使班主任怕带差生,分班时不愿要差生,转学时不愿收差生,使差生提前毕业,甚至采取各种手段使差生转学,以致使个别差生提前到社会上游荡,造成一些社会问题。
二差生的类型及转化
根据近几年担任中学班主任工作和教学工作的实践,对差生的心理素质、智力活动、个性心理特征等方面进行综合分析,归结为以下几种类型,并分别采取相应的措施。
1 偏激型差生——个性刚强好动、浮躁易怒
这一类型差生容易与人产生矛盾,对老师的批评教育不易接受,容易产生顶撞、报复现象。
转变这些差生,重在沟通,沟通是师生之间增进了解和信任的双向活动,教师在这一活动中起着主导作用,只有用“爱心”才能感化他们。
“爱的力量是无穷的”,
学生在师爱的沐浴下,轻松快乐地学习、生活。
即使他们违反了纪律,老师在进行严厉批评时,也要动之以情,晓之以理,要让他明白:老师是关心你、爱护你的,是为你着想才如此严格要求的。
要让他们理解老师的苦心,正是老师的爱,才使得这“良药”不苦口,“忠言”不逆耳。
当然在转化过程中,还必须有耐心,做到细心,才有精诚所至、金石为开,春天播下师爱的种子,秋天必能结出尊师的硕果。
2 孤僻型差生——个性孤僻,沉默寡言,自尊心强
要教育转化这类学生,除了进行深入了解、耐心细致的进行思想教育外,还要抓住一切机会,给他们提供一切可能施展才华的机会,比如评选“全班之最”,如“最有礼貌的人”、“最热心肠的人”、“最讲卫生的人”、“最诚实的人”、“进步最快的人”等等,使每个同学都有机会得到全班之最,使后进生体会到我是有用之才的自豪。
当他们有了一定的进步时,教师要及时给予肯定和鼓励,并指出继续努力的方向和达到目的的方法,从而一步步转变过来。
3 敏感型差生——个性脆弱,患得患失,多愁善感,情绪变化无常。
对这类差生要从以下三个方面入手:第一、热情指导。
教师可以从生活上关怀入手,通过生活指导,打开其心扉,打消他们心中的各种疑虑及杂念,使学生在心灵上产生对教师的信任,能够和教师讲心理话。
第二、积极鼓励。
如安排其当卫生委员、文
娱委员,甚至课代表等,在工作中要增强他们完成任务的信心,定期帮助检查,及时总结表扬,对其缺点和问题不宜在大庭广众之下批评,须经过个别谈话,启发他们提高认识。
第三、加强鞭策。
针对这类学生情绪变化不稳定,当他们挨批评、受打击时,会产生自卑感,经过老师和同学的帮助,有了一定的进步时,又容易产生骄傲自满的情绪,应适时地加以引导。
4 、迟钝型差生——个性温和、思维迟钝,不善言辞、健忘
教育这类学生,首先要态度和蔼,给予他们温暖,鼓足他们的勇气:其次要耐心辅导,要立足于长期耐心的帮助,并抓好家访,根据学生的具体表现,及时与家长沟通,向家长建议家庭教育应注意方法,要定期检查督促,不打骂学生,不给过多的压力,不几讽,创造一个良好愉快的家庭学习环境。
5 顽皮型差生——个性刚强,好动、固执,敢于冒险。
对这类学生的教育要深入了解,掌握第一手材料,并学会宽容。
宽容是指他们犯了错误之后,让时间和事实证明他们的错误,而不得在他们没有认识到错误的时候,强按他的脖子认错。
即学生犯了错误,可以先放一放,不要忙着批评,在他们承认错误后再进行严格要求,根据他们犯错误的大小和认识错误态度的好坏,给予必要的处理,最后再进行正确引导,使他们下决心改正错误、转变认识。
宽容能使学生理解你、爱戴你、尊敬你,从心灵深处受到启发,才会达到良好的效果。
任何教育都伴随着感情,真诚是打动人心的最有力的情感力量。
在与后进生的接触中,要让他们感觉到老师是在关心他、爱护他,不是戴着有色眼睛看人,而是以一颗平常心视之。
另外,教师还要运用教育学、心理学知识,提高差生遭受挫折的承受力,克服自卑感,增强自信心,才能使转化工作行之有效,为社会培养出“四有”新人。