【线性系统】传递函数矩阵的零极点 PPT课件

极点影响系统噪声性能
极点的位置也会影响系统的噪声性能，极点靠近虚轴时，系统对噪声的抑制能力较强。
极点对系统稳定性的影响
实数极点影响系统稳定性
实数极点会使得系统函数在某点趋于无穷大，导致系统不稳 定。极点的位置决定了系统稳定的程度和响应速度。
复数极点影响系统稳定性
复数极点会影响系统的频率响应特性，进而影响系统的稳定 性。如果复数极点位于左半平面，则系统稳定；反之，位于 右半平面则不稳定。
零点与系统极点的关系
在复平面内，零点和极点可以影响系统的稳定性，极点的位置更为 关键。
稳定系统中的零点作用
在稳定的系统中，零点可以起到调节系统性能的作用，但不会改变 系统的稳定性。
零点对系统频率响应的影响
零点对低频响应的影响
某些零点的位置会影响系统的低频响应，可能导致低频增益降低 或相位滞后。
零点对高频响应的影响
傅里叶分析
将信号分解为不同频率的正弦波 和余弦波，研究信号的频谱特性 和系统的频率响应。
拉普拉斯变换
将时域函数转换为复平面上的函 数，通过分析系统的传递函数来 研究系统的稳定性、极点和零点 等特性。
Z变换
将离散时间序列转换为复平面上 的函数，通过分析系统的差分方 程来研究离散时间系统的特性。
系统函数与零极点
频率响应分析
零极点分布影响系统的频率响应特性，通过分析零极点 可以预测系统的频率合理设计系统的零极点，可以实现特定的系统性能 指标，如快速响应、低超调量等。
系统函数的零点分析
03
零点对系统性能的影响
零点位置影响系统性能
01
零点位置的不同会导致系统性能的差异，例如系统的幅频特性
极点的定义与性质
定义
极点是系统函数在复平面上具有无穷大 增益的点，即系统函数的分母为零的点。

1
0
T
t
11
惯性环节的实例如下图所示。
R C uc
ur
(a)
在图(a)所示的电路中，输出电压uc与输入电 压ur间的微分方程为
du c T + uc = ur dt
式中T=RC，为电路的时间常数。
12
if uf
Rf
Lf
(b)
在图(b)所示的直流电机的激磁电路中，当 以激磁电压uf为输入量、以激磁电流if为输出量 时，其电路方程为
G (s) = R(s) =
m m −1 1 0
a n s + a n −1 s
n
n −1
+ …… + a1 s + a 0
( 2 − 50 )
可见，传递函数是由系统微分方程经拉氏变换而引出 的。 系统输入、输出及传递函数之间的相互关系可用 下图表示，输出是由输入经过G(s)的传递而得到的， 因此称G(s)为传递函数。因为传递函数是在零初始条 件下定义的，故在初始条件为零时，它才能完全表征 系统的动态性能。
+ (a)
C ic uc
ur n θ
(b)
ur 在图(a)中，因为 i c = i = R
容两端电压，所以有
uc = 1 c
而输出电压uc近似等于电
∫ i c dt =
在图(b)中，以电动机的转速n(转/分)为输入量， 以减速齿轮带动负载运动的轴的角位移θ为输出量， 可得微分方程 1
θ (t ) =
§2-4 线性系统的传递函数
控制系统的微分方程，是时域中描述系统动态性 能的数学模型，求解微分方程可以得到在给定外界作 用及初始条件下系统的输出响应，并可通过响应曲线 直观地反映出系统的动态过程。但系统的参数或结构 形式有变化，微分方程及其解都会同时变化，不便于 对系统进行分析与研究。 根据求解微分方程的拉氏变换法，可以得到系统 的另一种数学模型——传递函数。它不仅可以表征系 统的动态特性，而且可以方便地研究系统的参数或结 构的变化对系统性能所产生的影响。在经典控制理论 中广泛应用的根轨迹法和频率法，就是在传递函数基 础上建立起来的。

p1 p2 1
极点：
p3
2
j
j
p4
2
j
s1 0
-j
零点：
s2 s3
1 1
j j
s4
只要知道H(s)在s平面中零极点分布
h(t)波形的特性
17
H(s)在s平面中零极点分布特点： 1. 若系统为实系统，则H(s)的零极点为复数零极点必然成
对地出现。 2. H(s)的零点数和极点数必然相等。
53零极点分布与系统的频率响应特性的关系51系统函数与冲激响应52零极点分布与时域响应特性54典型系统的频响特性55全通系统与最小相位系统56模拟滤波器的基本概念与设计方法57系统模拟及信号流图58系统的稳定性51系统函数与冲激响应511系统函数的定义设系统的n阶微分方程为
第5章 连续时间系统的s域分析
H (s)
p3
j
p1
X (s)
K1,2
Eme j
j2 Z ( j01)
p4 p2
Z(
j01)
Z (s) s j01
R
j
(01L
1 01C
)
Z ( j01) e j
K3,4
Em 01
L
j
2
d
(
2 01
2 d
j d 2
j2 d )
34
(4) 求各响应分量
H (s)
I (s) K1 K2 K3 K4
28
5.2.3 自由响应与强迫响应、暂态响应与稳态响应
Y(s) H(s)X (s)
m
设：
(s zj )
u
(s zl )
H (s)
j 1 n
,

例2-5 试列写下图所示速度控制系统的微分方程。
R1
ui
R1
R2 R1
K1 u1 C
R2
K2 u2
功率 放大
ua
器
SM
m

负
载
ut TG
R1
ui
R1
R2 R1
K1 u1 C
R2
K2 u2
功率 放大
ua
器
SM
m
负 载
ut TG
解 控制系统的被控对象是电动机（带负载），系统的输
出量是转速 ，输入量是电压 ui ，控制系统由给定电
例2-1 图中是由电阻R、电感L和电容C组成的RLC无源网络， 试列写以 ui (t) 为输入量， 以 u0 (t) 为输出量的网络微分方程。
i(t)
ui (t) L
R C u0 (t)
i(t)
ui (t) L
R C u0 (t)
解 设回路电流为 i(，t) 由基尔霍夫定律可写出回路方程为
di(t) 1

dc(t) dt
c(t)
f
(t)
当 f (t) f1(t) 时，上述方程的解为 c1(t) ；
当 f (t) f2 (t) 时， 其解为 c2 (t) 。 如果 f (t) f1(t) f 2(t) ，容易验证，方程的解必为 c(t) c1(t) c2 (t) 这就是可叠加性。 而当 f (t) Af1(t) 时 ，式中A为常数，则方程的解必为 c(t) Ac1(t) 这就是齐次性（或称均匀性)。

u0
(t)

ui
(t)
该网络的数学模型是一个二阶线性常微分方程。

信号与线性系统
三、通过系统函数表达式作出系统模拟图
H s Y Fs s b 1 n a b n n 1 1 s s 1 1 a b 1 1 s s n n 1 1 a b 0 0 s s n n
令m=n并不失一般性！
YsHsFsNsD Fss
设一个中间变量
X
s
p2
j
p4 j0
Tel:22896276
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信号与线性系统
三、零点、极点与频域特性的关系 如果系统函数在s平面右半面没有极点，那么，系统的频 率特性就可以由下式确定：
HjHssj
m
m
szi
jzi
HsH0
i1 n
HjH0
i1 n
spj
jpj
j1
j1
E-mail:lynwindsent@
L-1
httet tsin0ttet sin0tt
系统函数极点为 p 1 0
p2
p 3 j 0
p 4 j 0
返回
E-mail:lynwindsent@
Tel:22896276
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j
信号与线性系统
j
p1 0
j
p3 j0
E-mail:lynwindsent@
系统函数也是系统冲击响应的象函数：
Hs htestdt
0
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信号与线性系统
如果激励信号是指数信号est，则系统响应为：
yt h e st d e sth e s d H se st

1)
,
(
s

1)(
( s
s 1)2 2)2 (
s

1)
,
(
s
2(s 1)( s
2)(s 1) 2)2 (s
1)
分母的首1最大公因式为(s-1)，故z(s)=s-1，G(s)的零点为-1。
几点讨论：
（1）传递函数矩阵G(s)在复平面上的同一点出现零、极点时， 可以不形成对消。例
三. 传递函数矩阵的零极点的性质
1. 关于极点
SISO系统：考虑具有正则传递函数g(s)及不可简约实现
—{A,b,c,d}的单变量系统
定理：数是g(s)的极点的充分必要条件是，存在一个初 始状态 x0 ，使得系统的零输入响应
y(t) ret , t 0, r为非零常数
证明： 必要性：由是g(s)的极点
s2
G(s)


s

3
0

0

1

s 2
（2）由定义3可知，传递函数矩阵G(s)的极点，必是它的某一 元素的极点；反之，G(s)的某个元素的极点，也是G(s)的极 点。“一致性”
（3）对零点，不存在如（2）所述的“一致性”，尽管有时相 同。
（4）若s=是G(s)的零点，则必有
y(t) ret
是g(s)的极点》》 是A的特征值
设v是与相关联的特征向量，即
（ I-A）v=0
则（sI-A)v=(sI-A)v-(I-A)v=(s- )v
v 1 (sI A)v
s 系统输出 y(s) c(sI A)1 x(0)
取x(0) v,
c(sI A)1v cv 1

(e)
(f)
信号与系统
五．零极点与系统频率响应的关系
解：对应系统的幅频特性为
j
H ( )
0

0
H ( )

j
0

0

信号与系统
五．零极点与系统频率响应的关系
j
H ( )
0
j

0
H ( )

0

0

信号与系统
五．零极点与系统频率响应的关系
j
H ( )
0

0

j
H ( )
0
sj r 1 n r
m
m
k 1
k
j p
k 1
r1 n
r
k
系统的相频特性为
( ) arg j z arg j p
r 1 r k 1 k
m
n
令 有
j r j z N e r r
j k j p M e k k
信号与系统
5.7.2 系统零极点与冲激响应模式的关系
j
几种典型情况
jω 0
α
O
α

jω0
信号与系统
5.7.2 系统零极点与冲激响应模式的关系
p j 对时域响应特性关系如下
s) 总体来说，系统函数 H (极点
（1）极点的实部 决定了时域响应指数衰减或增长的快慢， 离虚轴越远，指数衰减或增长越快，所以称为衰减因子， ，响应为衰减形式，若 0 响应振幅为常数。 0 若 （2）极点的虚部 ，响应为增长形式，若 0 ，
m
将
j z r j pk 都看作是两矢量之差，

0 0 1u 1 0
1 2 0 0 0 y x 0 0 0 1 1
系统阶次为n＝5
所以多输入多输出系统的状态空间表达式不仅系数矩阵不 同，而且阶数也可 Nhomakorabea不一样。
5
关于实现的基本性质 1、实现的不唯一性，一个传递函数阵可以对应不同维数的实 现，即使是相同维数的实现，也不只有一种实现； 2、对于每一个传递函数阵一定存在一个维数最小的实现； 3、实现问题的物理本质是对于一个具有“黑箱”形式的真实系 统，在状态空间领域内寻找一个外部等价的假象结构 任务： 如何有规律的建立规范形式？ 如何判断所建立的状态空间表达式的阶次为最小阶次？
2 , 0 p , 0 u1 2 ,n 1 p , n 1 u p
y( s ) 0 0 1x d u
由单输入单输出系统的能观测标准型推广而来，系统一 定能观测，但不一定能控。
15
例：求G2(s)的能观测型实现 解：首先化为严格真分式
11
1,n1 s n 1 1, 0 对G ˆ ( s )作串联分解，引入中间变量z ˆ ( s) 1 G D(s) q ,n1 s n 1 q , 0 1 z ( s ) u ( s) n 1 1,n1 s 1, 0 D( s) y( s ) z(s) d u(s) ( n 1) x z , x z x z n 1 1 2 n q ,n1 s q , 0
取出G(s)的第j列
g j ( s ) g1 j ( s ) g qj ( s )


T
1 T n1 j ( s ) nqj ( s ) d j (s)

u0
(t)

ui
(t)
该网络的数学模型是一个二阶线性常微分方程。
（两个储能元件）
LC
d
2u0 (t) dt 2

RC
du0 (t) dt

u0
(t)

ui
(t)
讨论：
比较两个例题的时域表达式的形式
T1T2
d
2u0 (t) dt 2

(T1
T2
T3)
du0 (t) dt

u0
(t)

ui
(t)
系统，这在下面将要介绍的弹簧质量阻尼器系统中可以得
到更进一步的证实。
另外，对无源网络来说，电感、电容的个数决定了微 分方程的阶次。
例2-3 图为一弹簧阻尼系统，当外力F(t)作用于系统 时，系统将产生运动。试列写外力F(t)与位移y(t)之
间的微分方程。
解 弹簧和阻尼器有相应的弹簧阻力F1(t)和粘性
2-1 控制系统的时域数学模型
本节着重研究描述线性、定常、集总参量（对应非线 性，时变、分布参量）控制系统的微分方程的建立和求解 方法。（理想建模） 本节内容： 1.线性元件的微分方程 2.控制系统微分方程的建立 3.线性系统的基本特性 4.线性定常微分方程的求解 5.非线性微分方程的线性化 6.运动的模态
L d (t) C i(t)dt Ri(t) ui (t)
u0
(t)

1 C

i(t)dt
消去中间变量 i(t) ，便得到描述网络输入输出关系的
微分方程为
LC
d
2u0 (t) dt 2

RC
du0 (t) dt

•等 效 变 换 证 明 推 导
R(s)
G1(s) C1(s)
C(s)
G2(s) C2(s)
C(s) =[G1(s) G2(s)]R(s)
C(s) R(s)
=G1(s)
G2(s)
.
并联结构的等效变换图
两个并联的方框可
R(s)
G1(s) C1(s)
以合并为一个方框， 合并后方框的传递
C(s) 函数等于两个方框
二指输入信号作用于系统之前系统是静止的，
即t= 0 时 ，系统的输出量及各阶导数为零。
许多情况下传递函数是能完全反映系统的动 态性能的 。
.
一、传递函数的概念与定义
Ur(s)
G(s)
Uc(s)
G ( s ) = U c( s ) U r( s )
.
二、关于传递函数的几点说明
• 传递函数仅适用于线性定常系统，否则无法用拉 氏变换导出；
.
系统各元部件的动态结构图(4)
e(s)=r(s)c(s)
Mm(s)=CmIa(s)
Us(s)=Kse(s)
Ua(s)=KaUs(s) Ua(s)=RaIa(s)LasIa(s)
Eb(s)
Eb(s)=Kbsm(s)
Js2 m (s)=M mfsm (s)
c (s) = 1i m(s)
r (s)
e (s) K s Us(s) c (s)
式中：T为时间常数， 为阻尼系数。
⑦二阶微分环节，传递函数为
G(s)=2s22s1
式中： 为时间常数， 为阻尼系数
此外，还经常遇到一种延迟环节，设延迟时间
为 ，该环节的传递函数为：
G(s) =es
.