倒推法解题

第12讲倒推法解题讲义专题简析倒推法解题是从最后的结果出发，运用加和减、乘和除之间的互逆关系，从后往前一步一步地推算，直到找到最初的数据，这种方法又常被称为“还原法”。

适合用倒推法解题的数学问题常满足以下条件：已知最后的结果和到达最后结果时的每一步具体的过程。

例1、筑路队修一段路，第一天修了全长的又100米，第二天修了余下的，还剩500米。

这段公路全长多少米?练习：1、一堆煤，上午运走，下午运的比余下的还多6吨，最后剩下14吨还没有运走。

这堆煤原有多少吨?2、用拖拉机耕一块地，第一天耕了这块地的又2公顷，第二天耕的比余下的多3公顷，还剩下35公顷没有耕。

这块地共有多少公顷?3、一批水泥，第一天用去多1吨，第二天用去余下的少2吨，还剩下16吨。

原来这批水泥有多少吨?例2、王大伯屋后有一棵桃树。

他孙子每天从树上摘下一些桃子和邻居的小伙伴分着吃，第一天摘下桃子总个数的合，以后8天分别摘下当天树上现有桃子的、、、…、，摘了9天，树上还留下10个桃子。

树上原来有多少个桃子?练习：1、把一根绳子对半剪开，再取其中一段对半剪开，这样剪了四次，剩下的正好是1米。

这根绳子原来长多少米?2、《九章算术》中有一道题:“今有人持米出三关，外关三而取一，中关五而取一，内关七而取一，余米五斗。

问持米几何?”题意是：有人背米过关卡，经过外关时，用全部米的纳税，过中关时用所余米的纳税，经过内关时用再余米的纳税，最后还剩下5斗米。

这个人原来背多少斗米出关?3、仓库里存粮若干吨，第一次运出总数的又4吨，第二次运出余下的又3吨，第三次运出余下的又5吨，最后还剩下12吨。

这个仓库原有粮食多少吨?例3、有甲、乙两桶油，从甲桶中倒出的油给乙桶后，又从乙桶中倒出的油给甲桶，这时两桶油各有24千克，原来甲、乙两个桶中各有油多少千克?练习：1、小华拿出自己画片张数的给小强，小强再从自己现有的画片张数中拿出给小华，这时两人各有画片12张。

原来两人各有画片多少张？2、甲、乙两人各有人民币若干元，甲拿出自己所有钱的给乙后，乙又拿出现在自己所有钱的给甲，这时他们各有90元。

倒推法解题 F12-1提示有些应用题如果按照一般方法，顺着题目的条件一步一步地列出算式求解，过程比较繁琐。

所以解题时，我们可以从最后的结果出发，运用加与减、乘与除之间的互逆关系，从后到前一步一步的推算，这种思考问题的方法叫倒推法。

举例1 筑路队修一段路，第一天修了全长的51又100米，第二天修了余下的72，还剩500米，这段公路全长多少米？【创造力思维】从“还剩500米”入手倒着往前推，它占余下的（1－72）＝75，第一天修后还剩下（500÷75）＝700米，如果第一天正好修全长的51，还余下（700＋100）＝800米，这800米占全长的（1－51）＝54，这段路全长是（800÷54）＝1000米。

列式为： [500÷（1－72）＋100]÷（1－51）＝1000（米） 答：这段路全长1000米。

快练11.一堆煤，上午运走72，下午运的比余下的31还多6吨，最后剩下14吨还没有运走，这堆煤原有多少吨？2.用拖拉机耕一块地，第一天耕了这块地的31又2公顷，第二天耕的比余下的21多3公顷，还剩下35公顷，这块地共有多少公顷？3.一批水泥，第一天用去了21多1吨，第二天用去了余下的31少2吨，还剩下16吨，原来这批水泥有多少吨？举例2王大伯屋后有一棵桃树，他调皮的孙子每天从树上摘下一些桃子和邻居的小伙 伴分着吃，第一天摘下了桃子总个数的101，以后8天分别摘下当天树上现有桃子的91，81，71，……，31，21，摘了9天，树上还留下10个桃子，树上原来有多少个桃子？ 【创造力思维】从树上还留下10个桃子入手倒着往前推，它占第8天后余下的1－21＝21，第8天后余下10÷（1－21）=20个，这20个占第7天后余下的1－31＝32，第7天后余下20÷（1－31）＝30个。

依此类推 10÷（1－21）÷（1－31）÷（1－41）÷（1－51）÷（1－61）÷（1－71）÷（1－81）÷（1－91）÷（1－101） ＝10×2×23×34×45×56×67×78×89×910 ＝100（个）答：树上原来有100个桃子。

数学倒推法的解题技巧数学倒推法是一种常用的解题技巧，它通常被用于解决需要逆向思维的问题。

该方法的基本思想是从问题的结果逆推回问题的起始点，通过分析问题中的各个因素和条件，逐步推导出正确的答案。

在实际应用中，数学倒推法可以帮助我们更加深入地理解问题，从而更加准确地解决问题。

以下是一些常见的数学倒推法的解题技巧：1. 确定问题的终点：在使用数学倒推法解题时，首先需要明确问题中需要求解的终点，即最终的结果。

只有明确了问题的终点，才能够从结果中逆推回问题的起始点。

2. 确定逆推方向：在确定问题的终点后，需要根据问题的具体情况确定逆推的方向。

有些问题需要从终点向前逆推，有些问题需要从前面的条件向后逆推。

在逆推方向确定后，我们就可以开始逐步推导出正确的答案。

3. 分析问题中的条件：在使用数学倒推法解题时，需要对问题中的各个条件进行分析和综合。

通过对条件的分析，我们可以找出问题中的规律和关系，从而更加准确地推导出答案。

4. 确定逆推的步骤：在逆推过程中，需要根据问题的具体情况确定逆推的步骤。

有些问题需要逐步推导，有些问题可以直接得到答案。

在逆推的过程中，需要注意每一步的正确性和逻辑性，避免出现错误。

5. 检验答案的正确性：在使用数学倒推法解题后，需要对答案的正确性进行检验。

这可以通过反向验证和多种方法的比较来实现。

只有在经过严密的验证后，我们才能够确定答案的正确性。

总之，数学倒推法是一种重要的解题技巧，它可以帮助我们更加深入地理解问题，从而更加准确地解决问题。

在使用这种方法时，需要注意逆推方向的确定、条件的分析、逆推步骤的确定和答案的验证等问题，避免出现错误。

第12讲 倒推法解题一、知识要点有些应用题如果按照一般方法，顺着题目的条件一步一步地列出算式求解，过程比较繁琐。

所以，解题时，我们可以从最后的结果出发，运用加与减、乘与除之间的互逆关系，从后到前一步一步地推算，这种思考问题的方法叫倒推法。

二、精讲精练【例题1】一本文艺书，小明第一天看了全书的31，第二天看了余下的53，还剩下48页，这本书共有多少页？练习1：１、某班少先队员参加劳动，其中73的人打扫礼堂，剩下队员中的85打扫操场，还剩12人打扫教室，这个班共有多少名少先队员？２、一辆汽车从甲地出发，第一天走了全程的83，第二天走了余下的32，第三天走了250千米到达乙地。

甲、乙两地间的路程是多少千米？３、把一堆苹果分给四个人，甲拿走了其中的61，乙拿走了余下的52，丙拿走这时所剩的43，丁拿走最后剩下的15个，这堆苹果共有多少个？【例题2】筑路队修一段路，第一天修了全长的51又100米，第二天修了余下的72，还剩500米，这段公路全长多少米？练习2：１、一堆煤，上午运走72，下午运的比余下的31还多6吨，最后剩下14吨还没有运走，这堆煤原有多少吨？２、用拖拉机耕一块地，第一天耕了这块地的31又2公顷，第二天耕的比余下的21多3公顷，还剩下35公顷，这块地共有多少公顷？３、一批水泥，第一天用去了21多1吨，第二天用去了余下31少2吨，还剩下16吨，原来这批水泥有多少吨？【例题3】有甲、乙两桶油，从甲桶中倒出31给乙桶后，又从乙桶中倒出51给甲桶，这时两桶油各有24千克，原来甲、乙两个桶中各有多少千克油？练习3：１、小华拿出自己的画片的51给小强，小强再从自己现有的画片中拿出41给小华，这时两人各有画片12张，原来两人各有画片多少张？２、甲、乙两人各有人民币若干元，甲拿出51给乙后，乙又拿出41给甲，这时他们各有90元，他们原来各有多少元？【例题4】甲、乙、丙三人共有人民币168元，第一次甲拿出与乙相同的钱数给乙；第二次乙拿出与丙相同的钱数给丙；第三次丙拿出与这时甲相同的钱数给甲。

?页
第二天第一天剩下60页余下的2
5全书的1
3?米
第三次用去19米
第二次用去的
第一次用去的最后剩下5米8米2米
余下的一半全长的一半倒推法解题
【本讲要点】
倒推法是指题目中只交代了发展过程和最后结果，要求最初状态的一类应用
题。

这既是重要的数学思想方法，也是培养我们数学思维必不可少的方面。

这一讲我们要学会用画线段图、列表法等解决较复杂的倒推法问题。

【例题与分析】
例1一本童话，小张第一天看了全书的13，第二天看了余下的2
5，还剩下
60页，这本书共有多少页？
思路分析：我们把线段图与倒推法结合起来，先画出线段图。

从图中可以看出，“剩下60页”占余下的1－25＝35。

第一天看后还剩下60÷35
＝100（页），又因为第一天看了全书的13
，那么这100页就占全书的1－13＝23，所以这本书共有100÷23
＝150（页）。

48÷（1－35）÷（1－13
）＝100÷23
=150（页）
答：这本书共有150页。

例2 一根绳子，第一次用去全长的一半多2米，第二次用去余下的一半少8米，第三次用去19米，最后还剩下5米，这根绳子原来有多少米？
思路分析：我们把线段图与倒推法结合起来，先画出线段图。

从图上可以看出，最后剩下的5米和第三次用去的19米合起来就是用完两次以后剩下的米数，用这个米数减去8米就得到第一次用后余下米数的一半，
乘以2就得到第一次用后余下的米数。

第一次用后余下的米数加上
2米就是整根绳子长度的一半，再乘2就得到绳子的全长。

倒推法解题一、考点、热点回顾用倒推法解题，就是根据题目的叙述过程，从最后结果入手，采用倒推的方法，逐步找到题目的答案，采用倒推法解题时，原来加的用减，原来减的用加，原来乘的用除，原来除的用乘。

二、典型例题例1、某农妇有一筐鸡蛋，第一次卖出一半又半个，第二次卖出余下的一半又半个，第三次又卖出余下的一半又半个，这是筐里还剩下1个鸡蛋，问：筐里原来有多少个鸡蛋？例2、一瓶酒精，第一次倒出1/3，然后又倒回瓶中40克，第二次倒出瓶中剩下酒精的5/9，第三次倒出180克，瓶中还剩下60克，原来瓶中有多少克酒精？例3、一只猴子偷吃桃子，第一天偷吃了树上桃子的1/10，以后的8天每天偷吃当天树上的1/9,1/8,1/7，…，1/2，这时树上还剩下10个桃子，问：树上原来有多少个桃子？例4、甲、乙二人分16个苹果，分完后，甲将自己所得苹果数的1/3分给了乙，乙又将自己苹果数的1/3还给甲，最后甲又将自己现有苹果数的1/3分给了乙，这时两人苹果数恰好相等，问：最初甲分得多少个苹果？三、课堂练习1、有一堆桃子，第一只猴子拿走了这堆桃子的一半多半个，第二只猴子又拿走了剩下桃子的一半多半个，第三只猴子也拿走了剩下桃子的一半多半个，桃子正好被拿完，问：这堆桃子原来有几个？2、工地上有一堆沙子，第一次用去这堆沙子的一半多0.5吨，第二次用去剩下沙子的一半多0.5吨，第三次又用去剩下沙子的一半多0.5吨，这时工地上还有20吨沙子，工地上原来有多少吨沙子？3、小明的存钱盒中有一些钱，小明每次用去盒中钱数的一半多1元，这样一共用了5次，盒中还剩下4元钱，小明的存钱盒中原来有多少元？4、一瓶橘子汁，第一次倒出1/3后又倒回瓶中50克，第二次倒出瓶中剩下橘子汁的2/5，第三次倒出150克，这时瓶中还剩下120克，原来瓶中有橘子汁多少克？5、修一段公路，第一次修了全长的1/2多2千米，第二天修了余下的1/2少1千米，这时还剩下20千米没有修，这段公路长多少千米？6、一堆西瓜，第一次卖出总个数的1/4又6个，第二次又卖出余下的1/3又4个，第三次卖出余下的1/2又3个，这时正好卖完，这堆西瓜原来有多少个？7、一只猴子偷吃桃子，第一天偷吃了树上桃子的1/10，以后的8天每天偷吃当天树上的1/9,1/8,1/7，…，1/2，这时树上还剩下15个桃子，问：树上原来有多少个桃子？8、水缸中盛有满满的一缸水，妈妈第一天用去了缸中水的1/4，第二天用去了缸中水的1/3，第三天用去了缸中水的1/5，这时缸中还有水20千克，这缸水原来有多少千克？9、三位渔民在河中打了一些鱼，第一位渔民拿走了总数的1/5，第二位渔民拿走了剩下鱼的1/3，第三位渔民拿走了第二位渔民拿走后剩下的1/2，这时还剩下12条鱼，这三位渔民一共打了多少条鱼？10、甲、乙各有若干元钱，甲拿出1/5分给乙后，乙拿出现有钱的1/4给甲，这时他们各有180元钱，他们原来各有多少钱？11、A、B、C三个桶中各装有一些水，先将A桶中1/3的水倒入B桶，再将B桶中现有水的1/5倒入C桶，最后将C桶中现有水的1/7倒回A桶，这时三个桶中的水都是12升，问：三个桶中原来各有水多少升？12、三堆苹果共有48个，先从第一堆中拿出与第二堆个数相同的苹果放入第二堆，再从第二堆中拿出与第三堆个数相同的苹果放入第三堆，最后从第三堆中拿出与这时第一堆个数相同的苹果放入第一堆，结果三堆苹果个数完全相等，问：原来三堆苹果各有多少个？四、课后作业1、山顶上有棵橘子树，一只猴子偷吃橘子，它第一天偷吃了1/10，以后8天分别偷吃了当天现有橘子的1/9,1/8,1/7，…，1/2，偷吃了9天后，树上还留下了4个橘子，问：树上原有多少个橘子？2、筐子里有一些苹果，第一个人拿了苹果数的一半多半个，第二个人拿了第一个人拿后剩下苹果数的一半多半个，第三个人拿了第二个人拿后剩下苹果数的一半多半个，第四个人拿了第三个人拿后剩下的一半多半个，这时筐子里的苹果恰好拿完，且每个人拿到的苹果树都是整数个，问：原来筐子里一共有多少个苹果？3、袋中有若干个球，小明每次拿出其中的一半再放回1个球，一共这样做了5次，袋中还有3个球，问：袋中原来有多少个球？4、甲、乙两人各有若干元钱，甲拿出1/6给乙后，乙又拿出现有钱数的1/5给甲，这是他们各有240元，两人原来各有多少元？5、将48个苹果分给甲、乙两个小朋友，分完后，甲将自己所得苹果数的1/3分给乙，然后乙又将自己现有的苹果数的1/3还给甲，最后甲又将自己现有苹果数的1/3给了乙，这时两人苹果数恰好相等，问：最初甲分得多少个苹果？6、甲、乙、丙三人共有若干枚棋子，甲先拿出自己棋子数的1/2平分给乙、丙，然后乙拿出自己现有棋子数的1/3平分给甲、丙，最后丙把自己现有棋子数的1/4平分给甲、乙，这时三人的棋子数恰好相等，问：他们三人至少共有多少棋子？。

倒推法解题【知识点】有些应用题如果按照一般方法, 顺着题目的要求一步一步地列出算式求解, 过程比较繁琐, 量与量之间的关系也不好找。

对于这种类型的应用题, 解题时, 我们可以从最后的结果出发, 运用加与减、乘与除之间的互逆关系, 从后往前一步一步推算, 这种思考问题的方法就叫倒推法。

运用这种方法, 反向倒推过去, 反而易于解决问题。

【练习题】1. 张大爷提篮去卖蛋, 第一次卖了全部的一半又半个, 第二次卖了余下的一半又半个, 第三次卖了第二次余下的一半又半个, 第四次卖了第三次余下的一半又半个。

这时, 鸡蛋都卖完了。

问张大爷篮中原来有鸡蛋多少个？（15）2.三只猴子去吃篮里的桃子, 第一只猴子吃了, 第二只猴子吃了剩下的, 第三只猴子吃了第二只剩下的, 最后篮子里还剩下6只桃子。

原有桃子多少只？（18）3.一捆电线, 第一次用去全长的一半多3米, 第二次用去余下的一半少10米, 第三次用去15米, 最后还剩7米。

这捆电线原有多少米？（54）4.修一段路, 第一天修全路的还多2千米, 第二天修余下的少1千米, 第三天修余下的还多1千米, 这样还剩下20千米没有修完, 求公路的全长？（85）5.一只猴子偷吃桃子, 它第一天偷吃了树上桃子的, 以后的8天每天偷吃树上桃子的、、……, 这时树上还剩下10个桃子。

问树上原来有多少个桃子？（100）6. 甲、乙二人分16个苹果, 分完后, 甲将自己所得苹果数的分给了乙, 乙又将自己现有苹果数的还给甲；最后甲又将自己现有苹果数的给了乙, 这时两人苹果数恰好相等。

问: 最初甲分得几个苹果？（15）一瓶酒精, 第一次倒出, 然后倒回瓶中40克, 第二次倒出瓶中剩下酒精的, 第三次倒出180克, 瓶中还剩下60克。

问原来瓶中有酒精多少克？（750）8、甲、乙、丙三人共有人民币168元, 第一次甲拿出与乙相等的钱给乙；第二次乙拿出与丙相等的钱给丙；第三次丙拿出与甲相等的钱给甲, 这时, 三人的钱刚好相等。

例1马小虎在读一个小数时，由于看丢了小数点，结果读成了四万零八十，不过原来的小数要读出两个“零”。

你知道原来的小数是多少吗？根据“马小虎看丢了小数点后读作四万零八十”，可把看丢了小数点后的数写作40080。

由于这个数原本是一个小数，如果将小数点点在4的右下角，则读作四点零零八零，此时读出了3个零，不符合题意；如果将小数点点在左起第1个0的右下角，则读作四十点零八零，正好读出两个零，可见原来的小数是40.080。

例2一个小数的小数点先向右移动三位、再向左移动两位后是30.6，这个小数是多少？根据此小数的小数点“再向左移动两位后是30.6”，可知它的小数点向左移动两位前是30.6×100＝3060；再根据此小数的小数点“先向右移动三位”，可知它的小数点向右移动三位前是3060÷1000＝3.06。

运用倒推法解题□封国云小朋友，当题中已知现在的情况、要知道原来的情况时，我们可以采用倒推法来解决问题，即从题目的结果出发，一步步倒着推理，抽丝剥茧，直到问题解决。

下面，我们一起试着运用倒推法来解决“小数的意义和性质”中的几个问题。

19根据此小数的小数点“先向右移动三位”，可知这个小数乘了1000；再根据它的小数点“再向左移动两位”，可知这个小数又除以了100，总体上看，这个小数乘了1000÷100＝10。

而它乘了10后是30.6，则原来这个小数是30.6÷10＝3.06。

例3一个三位小数精确到十分位后得到的近似数是6.8，则这个三位小数最大是多少，最小是多少？求小数的近似数时，通常用“四舍五入法”。

题中是一个三位小数，我们可以用□.□□□表示。

精确到十分位，就是要保留一位小数，必须看它的百分位满不满5：如果它的百分位满5，就必须向十分位进1，8－1＝7，可见此时这个小数的十分位是7，则它的个位是6，因此这个小数可能是6.7□□；如果它的百分位不满5，直接舍去尾数，此时这个小数的十分位必定是8，个位是6，因此这个小数也可能是6.8□□，可见在“四舍”的情况下，这个小数最大；在“五入”的情况下，这个小数最小。

倒推法解题知识要点运用倒推法（还原法）解题的相应的“逆运算”是指：加法用减法还原，减法用加法还原，乘法用除法还原，除法用乘法还原，并且原来是加（减）几，还原时应为减（加）几，原来是乘（除）以几，还原时应为除（乘）以几。

对于一些比较复杂的还原问题，要学会列表，借助表格倒推，既能理清数量关系，又便于验算。

例1．某数加上6，乘以6，减去6，除以6，最后结果等于6，求某数。

解答：（6×6＋6）÷6－6=1例2．一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩7米，这捆电线原有多少米？解答：[（7+15－10）×2+3]=54（米）例3．小明在计算一道加法计算时，把一个加数个位上的1看作7，把一个加数十位上的8看作3，这样所得的和是1955，原来两数相加的正确答案是多少？解答：1995＋50－6=1999例4．袋子里装着若干个乒乓球，小明每次拿出其中的一半再放回一个球，这样共拿了5次，袋子里还有5个球。

袋中原有多少个乒乓球？解答：例5．甲、乙、丙三人各有小球若干个，甲先拿出自己的小球的一部分给乙和丙，使乙、丙每人的小球数增加一倍；然后乙也把自己的小球的一部分分给甲丙，使甲和丙每人的小球数增加一倍；最后丙也把自己小球的一部分分给甲和乙，使甲和乙每人的小球数增加一倍。

这时甲乙丙都有48个小球。

原来甲乙丙各有小球多少个？解答：习题：1.一位老人说，把我的年龄加上12，再用4除，再减去15后乘以10，恰好是100岁。

这位老人现在有多少岁？解答：（100÷10+15）×4－12=88(岁)2.百货商店出售手机，上午售出总数的一半多20部，下午售出剩下的一半多15部，还剩下75部。

商店原有手机多少部？解答：[(75+15)×2+20]×2=400（部）3.做一道减法算式，把减数的个位1看作3，把被减数十位上的2看作了5，这样结果等于200，差应该是多少？解答：200+（3－1）－（50－20）=1724.甲、乙、丙、丁四人共有画片80张，甲给乙13张，乙给丙18张，丙给丁16张，丁给甲2张后，四人画片张数相等。