(完整word版)余弦定理及其应用

余弦定理的证明及其应用首先，我们根据向量的加法，得到等式a+b=ca=c-ba2=(c-b)2a2=b2+c2-2·b·ca2=b2+c2-2|b|·|c|·cosA （向量的数量积）a2=b2+c2-2bc·cosA得证其实余弦定理和勾股定理一样，都有很多种证明方法，但是最常用的还是这两种其实是我不会余弦定理的应用讲完了证明，我们来看看余弦定理的应用洛谷p2625 豪华游轮题目描述（这里不是向量…）有一条豪华游轮（其实就是条小木船），这种船可以执行4种指令：right X : 其中X是一个1到719的整数，这个命令使得船顺时针转动X度。

left X : 其中X是一个1到719的整数，这个命令使得船逆时针转动X度。

forward X : 其中X是一个整数（1到1000），使得船向正前方前进X的距离。

backward X : 其中X是一个整数（1到1000），使得船向正后方前进X的距离。

随意的写出了n个命令，找出一个种排列命令的方法，使得船最终到达的位置距离起点尽可能的远。

输入输出格式输入格式：第一行一个整数n(1 <= n <= 50)，表示给出的命令数。

接下来n行，每行表示一个命令。

输出格式:一个浮点数，它能走的最远距离，四舍五入到小数点后6位。

这道题我们看到之后很快就能够反映出来，这个地方需要做一个贪心因为多次拐弯肯定比一次的要近，所以我们让forward走完，然后尽量转180度，然后把backward走完，这时候起点和终点之间的距离就是要算的答案了那么我们怎么来算他能最多转多少度才能让这个度数和180度的差最小呢？我们可以运用背包的思想f[i][j]表示前i个转圈的指令，能不能转到j度，转移其实很简单，大概是这样的：for(int i=1,i<=anglecnt;i++)for(intj=0;j<=360;j++){if(f[i-1][j]){f[i][j]=true;f[i][(j+angle[i]+360)%360]=true;}}那好了，我们现在知道了旋转角度，知道了两边的边长，那么我们就可以使用余弦定理了啊printf("%.6lf\n",sqrt(a*a+b*b-2*a*b*cos(degree*pi/180)));这里运用的是弧度制，如果不理解的话可以上网去搜一搜全代码大概是这样的# include<cstdio># include<algorithm>#include<cstring># include<cmath># include<climits># define Rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)# define_Rep(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)usingnamespacestd;constint N=55;constdouble pi=3.;intn,go,back,angle[N],a,b,degree=INT_MAX;boolf[N][1005];chars[N];intmain(){scanf("%d",&n);Rep(i,1,n){intx;scanf("%s%d",s,&x);if(s[0]=='f') a+=x;if(s[0]=='b') b+=-x;if(s[0]=='l') angle[++angle[0]]=x;if(s[0]=='r') angle[++angle[0]]=-x;}f[0][0]=true;Rep(i,1,angle[0])Rep(j,0,360){if(f[i -1][j]){f[i][j]=true;f[i][(j+angle[i]+360)%360]=true;}}Rep(i,0,360)if( f[angle[0]][i]) degree=min(degree,abs(180-i));printf("%.6lf\n",sqrt(a*a+b*b-2*a*b*cos(degree*pi/180)));return0;}。

余弦定理在生活中的应用一、余弦定理内容回顾1. 对于三角形ABC，设a、b、c分别为角A、B、C所对的边，则余弦定理有以下三种形式：- a^2=b^2+c^2-2bccos A- b^2=a^2+c^2-2accos B- c^2=a^2+b^2-2abcos C2. 余弦定理的作用- 已知三角形的两边及其夹角，可以求出第三边。

- 已知三角形的三边，可以求出三角形的三个角。

二、在测量中的应用1. 测量不可到达两点间的距离- 例：A、B两点被一个池塘隔开，无法直接测量它们之间的距离。

我们可以在池塘外选一点C，测得AC = m米，BC=n米，∠ ACB=θ。

- 根据余弦定理AB^2=AC^2+BC^2-2AC· BC·cos∠ ACB，即AB=√(m^2)+n^{2-2mncosθ}。

这样就可以计算出A、B两点间的距离。

2. 测量建筑物的高度- 假设要测量一座大楼的高度h。

在大楼底部的水平地面上选一点A，在距离A 点d米的地方再选一点B，然后测量出∠ BAC=α，∠ ABC = β。

- 设大楼高度h对应的边为BC，根据三角形内角和为180^∘，可得∠ACB=180^∘-α-β。

- 在 ABC中，已知AB = d，根据正弦定理(AB)/(sin∠ ACB)=(BC)/(sin∠BAC)，可求出BC的长度。

再根据h = BCsinβ求出大楼的高度。

这里正弦定理求出BC的过程中，若先求出sin∠ ACB=sin(α + β)，在计算BC时可能会涉及到较为复杂的三角函数运算。

如果我们用余弦定理，先根据AC^2=AB^2+BC^2-2AB· BC·cos∠ABC，设AC = x，则x^2=d^2+BC^2-2d· BC·cosβ，再结合(h)/(x)=tanα，联立方程求解h，有时会更简便。

三、在导航中的应用1. 飞机航线规划- 飞机从机场A飞往机场B，由于风向等因素，飞机实际飞行的路线是一个三角形的路径。

初中余弦定理及其应用知识点余弦定理是初中数学中的一个重要定理，用于解决不规则三角形中的角度和边长关系问题。

通过理解和运用余弦定理，我们可以解决很多实际问题，如测量无法直接测量的距离、计算航海中的航线等。

本文将介绍余弦定理的概念和公式，并且讨论其在实际应用中的一些知识点。

概述余弦定理是三角形中的一个关键定理，用于计算三角形中的边长和角度关系。

对于任意三角形ABC，设边a、b、c的对应的角分别为A、B、C，则余弦定理可以表示为：c² = a² + b² - 2ab·cosCb² = a² + c² - 2ac·cosBa² = b² + c² - 2bc·cosA通过这个定理，我们可以计算出未知边长或角度，解决各种复杂的三角形问题。

应用示例1. 确定未知边长如果我们已知一个三角形的两个边长和它们之间的夹角，可以使用余弦定理来计算第三条边的长度。

例如，已知一个三角形的两个边长分别为5cm和7cm，夹角为60°，我们可以使用余弦定理来计算第三条边的长度：c² = 5² + 7² - 2×5×7×cos60°，计算结果为c² = 54，因此c≈7.35cm。

2. 计算夹角如果我们已知一个三角形的三条边长，可以使用余弦定理来计算任意一个角的大小。

例如，已知一个三角形的三条边长分别为3cm、4cm和5cm，我们可以使用余弦定理来计算角A的大小：cosA = (4² + 5² -3²) / (2×4×5)，计算结果为cosA = 0.6，因此角A的大小为cos^(-1)(0.6)≈53.13°。

3. 判断三角形的形状通过余弦定理，我们可以判断一个三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形。

1、1、 2 余弦定理一、【学习目标】1．掌握余弦定理的两种表示形式及其推导过程；2．会用余弦定理解决详细问题；3．经过余弦定理的向量法证明领会向量工具性．【学习成效】：教课目的的给出有益于学生整体的掌握讲堂.二、【教课内容和要求及教课过程】阅读教材第 5—7 页内容，而后回答以下问题（余弦定理）<1>余弦定理及其推导过程？<2>余弦定理及余弦定理的应用？结论：<1>在中，AB、BC、CA的长分别为c、a、b．由向量加法得：<2>余弦定理：三角形任何一边的平方等于其余两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．余弦定理还可作哪些变形呢？[ 理解定理 ]（1）余弦定理的基本作用为：①已知三角形三边求角；②已知两边和它们的夹角，求第三边。

[ 例题剖析 ]例1评论：五个量中两边及夹角求其余两个量。

例 2 评论：已知三边求三角。

【学习成效】：学生简单理解和掌握。

三、【练习与稳固】依据今日所学习的内容，达成以下练习练习一：教材第 8 页练习第1、 2 题四、【作业】教材第 10 页练习第3---4题.五、【小结】（1）余弦定理合用任何三角形。

（2）余弦定理的作用：已知两边及两边夹角求第三边；已知三边求三角；判断三角形形状。

（ 3）由余弦定理可知六、【教课反省】本节课要点理解余弦定理的运用.要求记着定理。

习题优选一、选择题1．在中，已知角则角 A 的值是（）A．15°B．75°C．105°D．75°或 15°2．中，则此三角形有（）A．一解 B ．两解 C ．无解 D ．不确立3．若是（）A．等边三角形B．有一内角是30°C．等腰直角三角形D．有一内角是30°的等腰三角形4．在中，已知则AD长为（）A．B．C．D．5．在，面积，则BC长为（）A．B．75 C ．51D．496．钝角的三边长为连续自然数，则这三边长为（）A． 1、2、3、B．2、3、4C． 3、 4、5D． 4、 5、67．在中，，则A等于（）A．60°B．45° C ．120°D．30°8．在中，，则三角形的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．等腰三角形 D ．等边三角形9．在中，，则等于（）A．B．C．D．10．在中，，则的值为（）A．B．C．D．11．在中，三边与面积S的关系式为则角C为（）A．30°B．45°C．60°D．90°12．在中，是的（）A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件二、填空题13．在中，，则14．若的三个内角成等差数列，且最大边为最小边的 2 倍，则三内角之比为 ________。

余弦定理及正弦定理的应用余弦定理和正弦定理是解决三角形相关问题的重要工具。

它们被广泛应用于测量、导航、工程等领域。

下面将分别介绍余弦定理和正弦定理，并说明它们在实际应用中的具体运用。

一、余弦定理余弦定理描述了一个三角形的边与夹角之间的关系。

对于任意一个三角形 ABC，其边长分别为 a、b、c，对应的夹角分别为 A、B、C。

根据余弦定理，可以得到以下等式：a² = b² + c² - 2bc * cosAb² = a² + c² - 2ac * cosBc² = a² + b² - 2ab * cosC余弦定理可以用于解决以下问题：1. 测量三角形边长：如果已知三角形的两个边长和它们之间的夹角，可以利用余弦定理计算出第三条边的长度。

2. 计算三角形的夹角：如果已知三角形的三条边长，可以利用余弦定理的逆运算求解三个夹角的大小。

3. 解决航海导航问题：根据已知的方位角和航程，可以利用余弦定理计算船只的坐标位置。

二、正弦定理正弦定理描述了三角形边与其对应角的正弦值之间的关系。

对于任意一个三角形 ABC，其边长分别为 a、b、c，对应的夹角分别为 A、B、C。

根据正弦定理，可以得到以下等式：a/sinA = b/sinB = c/sinC正弦定理可以用于解决以下问题：1. 求解三角形的面积：如果已知三角形的两边和它们之间的夹角，可以利用正弦定理求解三角形的面积。

2. 判定三角形类型：根据三边的长度和正弦定理，可以判断三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形。

3. 解决建筑工程问题：在建筑测量中，需利用正弦定理计算高度、距离等未知量。

综上所述，余弦定理和正弦定理是解决三角形相关问题的重要工具。

通过运用这些定理，我们可以计算三角形的边长、夹角，求解三角形的面积，判断三角形的类型等。

在测量、导航、工程等领域，都离不开这两个定理的应用。

计算余弦定理余弦定理是三角学中的重要定理，用于计算三角形的边长或角度。

它可以帮助我们解决许多与三角形相关的问题。

下面，我们将详细介绍余弦定理以及其应用。

余弦定理的表述如下：在一个三角形ABC中，设边长分别为a，b，c，对应角度分别为A，B，C。

则有以下关系成立：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc * cos Ab^2 = a^2 + c^2 - 2ac * cos Bc^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos C这就是余弦定理的通用表达式。

它可以应用于任意三角形，并且可以用来计算任意一边的长度，只要已知两边的长度和它们之间的夹角。

下面，我们举例说明余弦定理的应用。

假设我们有一个三角形ABC，已知边长AB = 5，AC = 6，夹角BAC = 60°，我们可以使用余弦定理来计算边长BC。

根据余弦定理，我们有：BC^2 = 5^2 + 6^2 - 2 * 5 * 6 * cos 60°BC^2 = 25 + 36 - 60 * cos 60°BC^2 = 61 - 30 = 31BC = √31因此，边长BC的长度为√31。

余弦定理还可以用来计算三角形的角度。

假设我们知道一个三角形的边长分别为3、4、5，我们可以使用余弦定理来计算它的角度。

根据余弦定理，我们有：cos A = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc)cos A = (4^2 + 5^2 - 3^2) / (2 * 4 * 5)cos A = (16 + 25 - 9) / 40cos A = 32 / 40cos A = 0.8通过反余弦函数，我们可以求得角度A的值为cos^(-1)0.8 ≈ 36.87°。

因此，在这个三角形中，角A的大小约为36.87°。

总结一下，余弦定理是一个非常实用的工具，可以用来计算三角形的边长和角度。

它的应用范围十分广泛，不仅仅局限于特定类型的三角形。

余弦定理的变式及其应用举例余弦定理是广为使用的几何学中定理，有着广泛的应用。

一般而言，它定义了在带有三条边的三角形中，两条边的乘积除以它们临边的余弦之乘积等于第三条边的平方（a²=b²+c²-2bc*cosA）。

以下是它最常见的一些变式，以及它们的应用举例。

一、泊松余弦定理泊松余弦定理是余弦定理变式，它定义了在带有四条边的四边形中，相邻连线段的乘积除以它们临边的余弦乘积，加上沿着外围的两条相邻的边的乘积的总和，等于最外面的角的平方（B²=a²+c²+2ac*cosA+2bc*cosB）。

应用举例：用泊松余弦定理解决日常现象。

如，排球比赛的时候，有一张台面的面积是8平方米，它的三个顶点的边长分别是2m,2.5m,2.5m，求台面的最外角的度数。

解：8=2 * 2.5 *cosB+2² *cosA，即cosA=(8-2²*cosB)/2*2.5；A=arccos((8-2²*cosB)/2*2.5)；B=arccos((8-2*2.5*cosA)/2²)；因此，最外角的度数为B=59.33度。

二、Jacobi-Bolyai-Gauss定理Jacobi-Bolyai-Gauss余弦定理是一个多边形余弦定理，它定义了在由M 条边构成的多边形中，相邻两条边的夹角余弦乘积的总和，等于第M 条边与第一条边的余弦乘积的积（cosA1*cosA2+cosA2*cosA3+…+cosAn*cosA1=cosA1*cosAn）。

应用举例：通过Jacobi-Bolyai-Gauss定理，可以解决多边形某一角度的大小问题。

例如，已知正八边形的八个角的余弦分别是x,x,-x,-x,x,x,-x,-x（x > 0），试求第3角的余弦值。

解：设第三角的余弦值为y，则有：x*x+x*(-x) + (-x)*y + y*x = x*x；y*y=2x*x-2x*x=2x*x；因此，第3角的余弦值为y=±√2x*x。

正弦定理和余弦定理的应用【课前回顾】测量中的有关几个术语(2)南偏西α：【课前快练】1.为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A ，B (如图)，要测量A ，B 两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC ，测得BC ＝50 m ，∠ABC ＝105°，∠BCA ＝45°.可以计算出A ，B 两点的距离为( )A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 mD.2522m解析：选A 由题意知∠CAB ＝180°－∠ABC －∠BCA ＝30°， 由正弦定理得AB sin ∠BCA ＝BCsin ∠CAB，所以AB ＝BC ·sin ∠BCAsin ∠CAB＝50×2212＝502(m)．2.要测量底部不能到达的电视塔AB 的高度，在C 点测得塔顶A 的仰角是45°，在D 点测得塔顶A 的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD ＝120°，CD ＝40 m ，则电视塔的高度为( )A ．10 2 mB ．20 mC ．20 3 mD ．40 m解析：选D 设电视塔的高度为x m ，则BC ＝x ，BD ＝3x .在△BCD 中，由余弦定理得3x 2＝x 2＋402－2×40x ×cos 120°，即x 2－20x －800＝0，解得x ＝－20(舍去)或x ＝40.故电视塔的高度为40 m.3．若点A 在点C 的北偏东30°，点B 在点C 的南偏东60°，且AC ＝BC ，则点A 在点B 的________方向上．解析：如图所示，∠ACB ＝90°， 又AC ＝BC ，∴∠CBA ＝45°，而β＝30°， ∴α＝90°－45°－30°＝15°. ∴点A 在点B 的北偏西15°. 答案：北偏西15°考点一 测量高度问题求解高度问题的3个注意点(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．【典型例题】(2018·衡水模拟)如图，为了测量河对岸电视塔CD 的高度，小王在点A 处测得塔顶D 的仰角为30°，塔底C 与A 的连线同河岸成15°角，小王向前走了1 200 m 到达M 处，测得塔底C 与M 的连线同河岸成60°角，则电视塔CD 的高度为________m.[思维路径](结论)求CD →放在△ACD 中求解→在Rt △ACD 中知∠DAC →(关键点)需再知AC →在△ACM 中，易知两角与一边，用正弦定理可解得．解析：在△ACM 中，∠MCA ＝60°－15°＝45°，∠AMC ＝180°－60°＝120°，由正弦定理得AM sin ∠MCA ＝AC sin ∠AMC ，即1 20022＝AC 32，解得AC ＝600 6.在△ACD 中，∵tan ∠DAC ＝DC AC ＝33，∴DC ＝6006×33＝600 2. 答案：600 2【针对训练】(2018·大连大联考)为了测量某新建的信号发射塔AB 的高度，先取与发射塔底部B 在同一水平面内的两个观测点C ，D ，测得∠BDC ＝60°，∠BCD ＝75°，CD ＝40 m ，并在点C 的正上方E 处观测发射塔顶部A 的仰角为30°，且CE ＝1 m ，则发射塔高AB ＝( )A ．(202＋1)mB ．(203＋1)mC ．20 2 mD ．(402＋1) m解析：选A 如图，过点E 作EF ⊥AB ，垂足为F ， 则EF ＝BC ，BF ＝CE ＝1，∠AEF ＝30°. 在△BCD 中，由正弦定理得， BC ＝CD ·sin ∠BDC sin ∠CBD ＝40·sin 60°sin 45°＝20 6.所以EF ＝206，在Rt △AFE 中，AF ＝EF ·tan ∠AEF ＝206×33＝202， 所以AB ＝AF ＋BF ＝202＋1 (m)．考点二 测量距离问题1．测量距离问题，无论题型如何变化，即两点的情况如何，实质都是要求这两点间的距离，无非就是两点所在三角形及其构成元素所知情况不同而已，恰当地画出(找出)适合解决问题的三角形是解题的基础，将已知线段长度和角度转化为要解的三角形的边长和角是解题的关键．2．求距离问题的两个策略(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理． 角度(一) 两点都不可到达1.如图，A ，B 两点在河的同侧，且A ，B 两点均不可到达，要测出A ，B 的距离，测量者可以在河岸边选定两点C ，D ，测得CD ＝a ，同时在C ，D 两点分别测得∠BCA ＝α，∠ACD ＝β，∠CDB ＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC 和△BDC 中，由正弦定理分别计算出AC 和BC ，再在△ABC 中，应用余弦定理计算出AB .若测得CD ＝32km ，∠ADB ＝∠CDB ＝30°，∠ACD ＝60°，∠ACB ＝45°，则A ，B 两点间的距离为________km.解析：∵∠ADC ＝∠ADB ＋∠CDB ＝60°，∠ACD ＝60°， ∴∠DAC ＝60°，∴AC ＝DC ＝32(km)． 在△BCD 中，∠DBC ＝45°， 由正弦定理，得BC ＝DC sin ∠DBC ·sin ∠BDC ＝32sin 45°·sin 30°＝64.在△ABC 中，由余弦定理，得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 45° ＝34＋38－2×32×64×22＝38. ∴AB ＝64(km)．∴A ，B 两点间的距离为64 km. 答案：64角度(二) 两点不相通的距离2.如图所示，要测量一水塘两侧A ，B 两点间的距离，其方法先选定适当的位置C ，用经纬仪测出角α，再分别测出AC ，BC 的长b ，a ，则可求出A ，B 两点间的距离．即AB ＝a 2＋b 2－2ab cos α.若测得CA ＝400 m ，CB ＝600 m ，∠ACB ＝60°，则A ，B 两点的距离为________m.解析：在△ABC 中，由余弦定理得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ，∴AB 2＝4002＋6002－2×400×600cos 60°＝280 000. ∴AB ＝200 7 (m)．即A ，B 两点间的距离为200 7 m. 答案：200 7角度(三) 两点间可视但有一点不可到达3.如图，为了测量两座山峰上P ，Q 两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 3 m 且和P ，Q 两点在同一平面内的路段AB 的两个端点作为观测点，现测得∠PAB ＝90°，∠PAQ ＝∠PBA ＝∠PBQ ＝60°，则P ，Q 两点间的距离为________ m.解析：由已知，得∠QAB ＝∠PAB －∠PAQ ＝30°.又∠PBA ＝∠PBQ ＝60°，∴∠AQB ＝30°，∴AB ＝BQ . 又PB 为公共边，∴△PAB ≌△PQB ，∴PQ ＝PA . 在Rt △PAB 中，AP ＝AB ·tan 60°＝900，故PQ ＝900， ∴P ，Q 两点间的距离为900 m. 答案：900【针对训练】1．已知A ，B 两地间的距离为10 km ，B ，C 两地间的距离为20 km ，现测得∠ABC ＝120°，则A ，C 两地间的距离为( )A ．10 kmB ．10 3 kmC ．10 5 kmD ．107 km解析：选D 由余弦定理可得： AC 2＝AB 2＋CB 2－2AB ×CB ×cos 120° ＝102＋202－2×10×20×⎝⎛⎭⎫－12＝700. ∴AC ＝107(km)．2．一艘船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到达B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为( )A ．15 2 kmB ．30 2 kmC ．45 2 kmD ．60 2 km 解析：选B 作出示意图如图所示，依题意有AB ＝15×4＝60，∠DAC ＝60°，∠CBM ＝15°，∴∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°. 在△AMB 中，由正弦定理，得60sin 45°＝BM sin 30°， 解得BM ＝30 2.考点三 测量角度问题1．注意解决测量角度问题的3事项(1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义． (2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值．(3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．2．掌握解三角形应用题的4步骤【典型例题】游客从某旅游景区的景点A 处至景点C 处有两条线路．线路1是从A 沿直线步行到C ，线路2是先从A 沿直线步行到景点B 处，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的119倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达C 处．经测量，AB ＝1 040 m ，BC ＝500 m ，则sin ∠BAC 等于________．解析：依题意，设乙的速度为x m/s ， 则甲的速度为119x m/s ，因为AB ＝1 040 m ，BC ＝500 m ， 所以AC x ＝1 040＋500119x ，解得AC ＝1 260 m.在△ABC 中，由余弦定理得，cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝1 0402＋1 2602－50022×1 040×1 260＝1213，所以sin ∠BAC ＝1－cos 2∠BAC ＝ 1－⎝⎛⎭⎫12132＝513.答案：513【针对训练】在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile 的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile 的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile 的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．解：如图，设红方侦察艇经过x 小时后在C 处追上蓝方的小艇，则AC ＝14x ，BC ＝10x ，∠ABC ＝120°.根据余弦定理得(14x )2＝122＋(10x )2－240x cos 120°， 解得x ＝2.故AC ＝28，BC ＝20. 根据正弦定理得BC sin α＝ACsin 120°， 所以sin α＝20sin 120°28＝5314. 所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为5314. 【课后演练】1.如图，两座灯塔A 和B 与河岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站南偏西40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东80°D ．南偏西80°解析：选D 由条件及题图可知，∠A ＝∠B ＝40°，又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°，所以∠DBA ＝10°，因此灯塔A 在灯塔B 南偏西80°.2．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )A ．240(3－1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m解析：选C ∵tan 15°＝tan(60°－45°)＝tan 60°－tan 45°1＋tan 60°tan 45°＝2－3，∴BC ＝60tan60°－60tan 15°＝120(3－1)(m)．3.如图，在塔底D 的正西方A 处测得塔顶的仰角为45°，在塔底D 的南偏东60°的B 处测得塔顶的仰角为30°，A ，B 的距离是84 m ，则塔高CD 为( )A ．24 mB ．12 5 mC ．127 mD ．36 m解析：选C 设塔高CD ＝x m ， 则AD ＝x m ，DB ＝3x m.又由题意得∠ADB ＝90°＋60°＝150°， 在△ABD 中，利用余弦定理，得 842＝x 2＋(3x )2－23·x 2cos 150°， 解得x ＝127(负值舍去)，故塔高为127 m.4．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m解析：选A 作出示意图如图所示，设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，在Rt △BCD 中，BC ＝3h ，根据余弦定理得，(3h )2＝h 2＋1002－2·h ·100·cos 60°，即h 2＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，即h ＝50，故水柱的高度是50 m.5．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( )A ．10 2 海里B ．10 3 海里C ．20 3 海里D ．20 2 海里解析：选A 画出示意图如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20海里，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin 30°＝ABsin 45°， 解得BC ＝102(海里)．6.如图，为了测量A ，C 两点间的距离，选取同一平面上B ，D两点，测出四边形ABCD 各边的长度(单位：km)：AB ＝5，BC ＝8，CD ＝3，DA ＝5，且∠B 与∠D 互补，则AC 的长为( )A ．7 kmB ．8 kmC ．9 kmD ．6 km解析：选A 在△ACD 中，由余弦定理得： cos D ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD ＝34－AC 230.在△ABC 中，由余弦定理得： cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝89－AC 280.因为∠B ＋∠D ＝180°，所以cos B ＋cos D ＝0， 即34－AC 230＋89－AC 280＝0，解得AC ＝7.7．海上有A ，B 两个小岛相距10 n mile ，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，那么B 岛和C 岛间的距离是________ n mile.解析：如图，在△ABC 中，AB ＝10，A ＝60°，B ＝75°，C ＝180°－60°－75°＝45°，由正弦定理，得AB sin C ＝BCsin A， 所以BC ＝AB ·sin A sin C ＝10×sin 60°sin 45°＝56(n mile)． 答案：5 68.如图所示，一艘海轮从A 处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20 n mile 的B 处，海轮按北偏西60°的方向航行了30 min 后到达C 处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向上，则海轮的速度为________n mile/min.解析：由已知得∠ACB ＝45°，∠B ＝60°， 由正弦定理得AC sin B ＝ABsin ∠ACB ，所以AC ＝AB ·sin B sin ∠ACB＝20×sin 60°sin 45°＝106，所以海轮航行的速度为10630＝63(n mile/min)．答案：639.某同学骑电动车以24 km/h 的速度沿正北方向的公路行驶，在点A 处测得电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处，测得电视塔S 在电动车的北偏东75°方向上，则点B 与电视塔的距离是________km.解析：如题图，由题意知AB ＝24×1560＝6，在△ABS 中，∠BAS ＝30°，AB ＝6，∠ABS ＝180°－75°＝105°，∴∠ASB ＝45°，由正弦定理知BS sin 30°＝ABsin 45°，∴BS ＝AB ·sin 30°sin 45°＝32(km)．答案：3 210．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.解析：由题意，在△ABC 中，∠BAC ＝30°， ∠ABC ＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°. 又AB ＝600 m ，故由正弦定理得600sin 45°＝BC sin 30°， 解得BC ＝300 2 m. 在Rt △BCD 中，CD ＝BC ·tan 30°＝3002×33＝100 6(m)． 答案：100 611．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行15 km 后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是( )A ．5 kmB ．10 kmC ．5 3 kmD ．5 2 km解析：选C 作出示意图(如图)，点A 为该船开始的位置，点B 为灯塔的位置，点C 为该船后来的位置，所以在△ABC 中，有∠BAC ＝60°－30°＝30°，B ＝120°，AC ＝15，由正弦定理，得15sin 120°＝BC sin 30°，即BC ＝15×1232＝53，即这时船与灯塔的距离是5 3 km.12．地面上有两座相距120 m 的塔，在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为α，在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为α2，且在两塔底连线的中点O 处望两塔塔顶的仰角互为余角，则两塔的高度分别为( )A ．50 m,100 mB ．40 m,90 mC ．40 m,50 mD ．30 m,40 m解析：选B 设高塔高H m ，矮塔高h m ，在O 点望高塔塔顶的仰角为β.则tan α＝H 120，tan α2＝h 120， 根据三角函数的倍角公式有H 120＝2×h 1201－⎝⎛⎭⎫h 1202.① 因为在两塔底连线的中点O 望两塔塔顶的仰角互为余角，所以在O 点望矮塔塔顶的仰角为π2－β， 由tan β＝H 60，tan ⎝⎛⎭⎫π2－β＝h 60， 得H 60＝60h .② 联立①②解得H ＝90，h ＝40.即两座塔的高度分别为40 m,90 m.13.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从O 沿OD 走到D 用了2 min ，从D 沿着DC 走到C 用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min ，则该扇形的半径的长度为( )A ．50 5 mB ．507 mC ．5011 mD ．5019 m解析：选B 设该扇形的半径为r ，连接CO .由题意，得CD ＝150(m)，OD ＝100(m)，∠CDO ＝60°，在△CDO 中，由余弦定理得，CD 2＋OD 2－2CD ·OD ·cos 60°＝OC 2，即1502＋1002－2×150×100×12＝r 2， 解得r ＝507.14.(2018·惠州调研)如图所示，在一个坡度一定的山坡AC 的顶上有一高度为25 m 的建筑物CD ，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A 处测得∠DAC ＝15°，沿山坡前进50 m 到达B 处，又测得∠DBC＝45°，根据以上数据可得cos θ＝________.解析：由∠DAC＝15°，∠DBC＝45°，可得∠DBA＝135°，∠ADB＝30°.在△ABD中，根据正弦定理可得ABsin∠ADB＝BDsin∠BAD，即50sin 30°＝BDsin 15°，所以BD＝100sin 15°＝100×sin(45°－30°)＝25(6－2)．在△BCD中，由正弦定理得CD∠DBC＝BDsin∠BCD，即25sin 45°＝25(6－2)sin∠BCD，解得sin∠BCD＝3－1.所以cos θ＝cos(∠BCD－90°)＝sin∠BCD＝3－1.答案：3－115.(2018·福州质检)如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100 m，汽车从B点到C点历时14 s，则这辆汽车的速度约为______m/s(精确到0.1)．参考数据：2≈1.414，5≈2.236.解析：因为小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，所以∠BAD ＝60°，∠CAD＝45°.设这辆汽车的速度为v m/s，则BC＝14v.在Rt△ADB中，AB＝ADcos∠BAD＝ADcos 60°＝200.在Rt△ADC中，AC＝ADcos∠CAD＝100cos 45°＝100 2.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC，所以(14v)2＝(1002)2＋2002－2×1002×200×cos 135°，所以v＝50107≈22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s.答案：22.616.一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行(23－2)n mile 到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东15°的方向航行4 n mile到达海岛C.(1)求AC的长；(2)如果下次航行直接从A出发到达C，求∠CAB的大小．解：(1)由题意，在△ABC中，∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°，AB＝23－2，BC＝4，根据余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos∠ABC＝(23－2)2＋42＋(23－2)×4＝24，所以AC＝2 6.故AC的长为2 6 n mile.(2)根据正弦定理得，sin∠BAC＝4×3226＝22，所以∠CAB＝45°.17.已知在东西方向上有M，N两座小山，山顶各有一座发射塔A，B，塔顶A，B的海拔高度分别为AM＝100 m和BN＝200 m，一测量车在小山M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了100 3 m后到达点Q，在点Q处测得发射塔顶B处的仰角为θ，且∠BQA＝θ，经测量tan θ＝2，求两发射塔顶A，B之间的距离．解：在Rt△AMP中，∠APM＝30°，AM＝100，∴PM＝100 3.连接QM，在△PQM中，∠QPM＝60°，PQ＝1003，∴△PQM为等边三角形，∴QM＝100 3.在Rt△AMQ中，由AQ2＝AM2＋QM2，得AQ＝200.在Rt△BNQ中，tan θ＝2，BN＝200，∴BQ＝1005，cos θ＝5 5.在△BQA中，BA2＝BQ2＋AQ2－2BQ·AQ cos θ＝(1005)2，∴BA＝100 5.即两发射塔顶A，B之间的距离是100 5 m.18.如图所示，在一条海防警戒线上的点A，B，C处各有一个水声监测点，B，C两点到点A的距离分别为20 km和50 km.某时刻，B收到发自静止目标P的一个声波信号，8 s后A，C同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5 km/s.(1)设A到P的距离为x km，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；(2)求静止目标P到海防警戒线AC的距离．解：(1)依题意，有PA＝PC＝x，PB＝x－1.5×8＝x－12.在△PAB 中，AB ＝20，cos ∠PAB ＝PA 2＋AB 2－PB 22PA ·AB ＝x 2＋202－(x －12)22x ·20＝3x ＋325x. 同理，在△PAC 中，AC ＝50，cos ∠PAC ＝PA 2＋AC 2－PC 22PA ·AC ＝x 2＋502－x 22x ·50＝25x . 因为cos ∠PAB ＝cos ∠PAC ，所以3x ＋325x＝25x ，解得x ＝31. (2)作PD ⊥AC 于点D ，在△ADP 中，由cos ∠PAD ＝2531，得 sin ∠PAD ＝1－cos 2∠PAD ＝42131， 所以PD ＝PA sin ∠PAD ＝31×42131＝421(km)． 故静止目标P 到海防警戒线AC 的距离为421 km.。

余弦定理的应用举例一、余弦定理的应用实例1、三角形中，两个内角的余弦值的乘积等于另外一个角的余弦的平方：如果，在三角形ABC中，有cosA∙cosC=cosB^2，则称这个余弦定理为“半珠定理”。

这是余弦定理的一个特殊情况。

2、求立体角的大小：如果有两个线段，AB和CD的长度，以及两个线段之间的夹角的余弦值是已知的，那么就可以利用余弦定理来求出两个线段之间的夹角的大小，即：cosα=(b^2+c^2-a^2)÷2bc。

3、利用角等式求直线交点：若已知有两个直线AD,BE，它们的斜率是已知的，利用余弦定理，可以求出两条直线的夹角θ，即：cosθ=(k1^2+k2^2-1)÷2k1k2，然后可以利用角等式求出两线段的交点坐标。

4、利用余弦定理解决抛物线问题：抛物线是一类特殊的曲线，它有着特定的飞行轨迹，当物体经过垂点的时候，它的速度大小为零，受力也会变化，那么要想计算出抛物线的轨迹，就可以利用余弦定理来进行计算，即计算出受力大小以及受力角度，从而得出抛物线的轨迹。

5、求平面角的大小：要计算出平面角的大小，需要通过计算正多边形的内角的余弦和，以及计算正多边形内顶点的凸度来计算出平面角的大小，即：cosλ=(x1*x2+y1*y2)÷(|x1|*|x2|+|y1|*|y2|)，其中，x1、y1、x2、y2分别表示两个顶点的横纵坐标。

二、总结从上面可以看出，余弦定理在几何和三角学中有着多种应用，可以用来计算和求解三角形中角、立体角、全平面角的大小，可以用来利用角等式求出两条直线交点的坐标，甚至可以用来求解抛物线的轨迹。

因此，余弦定理在几何和三角学中非常重要，学习时要认真学习，熟练掌握，深入理解，才能运用起来方便、准确。

直角三角形的余弦定理在初中数学中，我们学习了很多关于三角形的定理和公式。

其中一个重要的定理就是直角三角形的余弦定理。

本文将详细介绍直角三角形的余弦定理及其应用。

一、直角三角形的定义直角三角形是指一个角度为90度的三角形。

直角三角形由一个直角和两个锐角组成，其中直角对边为斜边的两倍。

在直角三角形中，斜边是最长的一条边，其余两条边称为直角边。

二、余弦定理余弦定理是描述三角形边长之间的关系的重要定理之一。

对于一个任意的三角形ABC，设边长分别为a，b，c，角A对边a，角B对边b，角C对边c，则余弦定理可以表示为：c² = a² + b² - 2ab * cosC其中，c表示斜边的长度，a和b分别表示直角边的长度，角C表示包含斜边的角度。

三、余弦定理的应用余弦定理在解决与三角形有关的问题时非常有用。

以下是余弦定理的一些应用场景：1. 求解缺失边长：当我们已知一个三角形的两条边长和夹角时，可以使用余弦定理求解第三条边长。

通过变形，我们可以得出以下公式：c = √(a² + b² - 2ab * cosC)2. 求解夹角：当我们已知一个三角形的三条边长时，可以使用余弦定理求解其中一个夹角的大小。

通过变形，我们可以得出以下公式：cosC = (a² + b² - c²) / 2ab通过求解该式，我们可以计算出夹角C的值。

3. 判断三角形类型：余弦定理还可以用来判断三角形的类型。

当一个三角形满足以下条件时，可以判断其为锐角三角形、直角三角形或钝角三角形：- 当c² < a² + b²时，为锐角三角形；- 当c² = a² + b²时，为直角三角形；- 当c² > a² + b²时，为钝角三角形。

四、余弦定理的证明余弦定理的证明可以通过应用勾股定理和正弦定理来实现。

余弦定理的变式及其应用举例
余弦定理是几何学中最有名的定理之一，它定义了一个三角形三边之间的关系。

它可以定义为：在一个任意三角形ABC中，有c2=a2+b2-2*a*b*cos（C），其中
cos（C）表示C角的余弦，a和b分别表示A,B角的邻边长，c表示AB的边长。

余弦定理的变式和其应用有：
（1）余切定理：如果一个任意三角形中，tanC=a/b，则有b2=a2+c2-
2ac*tanC。

（2）余幂函数定理：任意三角形ABC中，有A=c2(a2+b2-c2)/4ab，其中A是
三角形ABC的面积。

（3）变形余弦定理：任意三角形ABC中，有2ab*cos C=a2+b2-c2。

余弦定理的应用非常广泛，比如在航海学、结构力学等领域，都能发挥其重要
作用。

例如：在航海学中，可以运用余弦定理解决“三角游览”的问题，即求出两个由给定的海拔和方位角确定的位置点之间的距离。

同样，余弦定理还可以用来求解在机械结构中外力施加的作用力大小和方向；以及用来估算在航海测量中所未测出的边长。

以上是余弦定理的变式及其应用举例。

总之，余弦定理是几何学中重要的定理，它有着广泛的应用，它不仅可以用来求解三角形的边长，还可以用来求解航海、力学等问题。

1、一艘轮船按照北偏西30度,的方向以每小时45海里的速度航行,一个灯塔M原来在轮船的北偏东10度的方向,经过20分钟后,灯塔在轮船的北偏东70度方向上,求灯塔和轮船原来的距离.现在这样可以用余弦定理了cos60°=(AB^2+BC^2-AC^2）/2AB*BCBC=2a，AC=15，这样肯定能用含有a的式子表示AB然后在左边那个三角形里就能根据勾股定理求出a。

但是我这种算法特别不好算，你再等等，我想一想还有什么办法。

【同步教育信息】一. 本周教学内容：1. 正弦定理和余弦定理应用举例2. 解三角形全章总结教学目的：1. 能够正确运用正弦定理、余弦定理等知识、方法解决一些与测量以及几何计算有关的实际问题。

2. 通过对全章知识的总结提高，帮助学生系统深入地掌握本章知识及典型问题的解决方法。

二. 重点、难点：重点：解斜三角形问题的实际应用；全章知识点的总结归纳。

难点：如何在理解题意的基础上将实际问题数学化。

知识分析：一. 正弦定理和余弦定理应用举例 1. 解三角形应用题的基本思路 （1）建模思想解三角形应用问题时，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出三角形的边角的大小，从而得出实际问题的解。

这种数学建模思想，从实际问题出发，经过抽象概括，把它转化为具体问题中的数学模型，然后通过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实际问题的解，用流程图可表示为：（2）解三角形应用题的基本思路：−−−→−−−−→−−−−→画图解三角形检验、结论实际问题数学问题（解三角形）数学问题的解实际问题的解2. 解三角形应用题常见的几种情况：（1）实际问题经抽象概括，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解。

（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个（或两个以上）三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求出其他三角形中的解，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程，解方程得出所要求的解。

空间形式的余弦定理及其应用
余弦定理是一个古老的数学定理，它的历史可以追溯到古埃及、古希腊时期。

它的定义是：如果一个三角形的两条边长之和大于第三条边，则这三边构成的三角形是可以存在的，并且对应角的 cosθ绝对值是一定的：
cosθ=（两边长度之差的平方）/（两边长度之和的平方 - 三角形最长边的平方）
空间形式的余弦定理就是把余弦定理用在三维空间的情况下。

如果一个三角锥有三条边，那么空间形式的余弦定理就说：
cosθ=（两边长度之差的平方）/（两边长度之和的平方 - 三角锥最长边的平方）
空间形式的余弦定理的实际应用有很多，其中最著名的就是它被用来计算流体的流动率。

施加在一个物体上的力和物体的运动状态有关，而余弦定理就让我们可以有效地计算出这种关系。

此外，空间形式的余弦定理也被用来计算几何形状的形状特征，例如一个多面体的边长和角度。

另外，空间形式的余弦定理还被用来计算视觉图像的失真程度。

此外，它也被用来分析太空噪声来研究太空环境中的信号。

实际上，空间形式的余弦定理应用于几乎所有研究领域，它可以用来计算椭圆形交汇点、空间坐标轴以及固定直角三角形的外积等等。

因此，我们可以说余弦定理在许多数学问题中都有重要应用。

以上就是空间形式的余弦定理以及它的应用，可以看出，这个定
理非常有用，并且可以在多个不同的学科领域中使用。

它的应用范围十分广泛，可以提供无穷的研究和发现机会。

因此，未来这个定理将继续为人类提供无穷的可能性和智慧。

余弦定理及其应用余弦定理是初中数学中较为重要的一个定理，它通常用于求解三角形中某一个角的大小或者某一条边的长度。

本文将分别讲述余弦定理的公式及其推导过程，以及在实际应用中的一些案例。

一、余弦定理的公式余弦定理是在三角形中的任意一条边上，作高，将三角形分成两个直角三角形，然后利用勾股定理及几何证明，得到的著名公式。

其公式为：$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$其中，$c$是三角形中的一条边，$a$和$b$是剩下的两条边，$C$是余弦定理中夹角$c$的对面角。

值得注意的是，当$C=90^\circ$时，余弦定理变为了勾股定理。

当$C$小于$90^\circ$时，$\cos C$为正数；当$C$大于$90^\circ$时，$\cos C$为负数。

这也意味着，当角度较小时，三角形中较长的一条边越长；当角度较大时，三角形中较长的一条边反而越短。

二、余弦定理的推导过程余弦定理的推导过程相对较为复杂，但从中可以体会数学证明的思路和方法。

下面简述一下余弦定理的推导过程。

（1）首先，我们将三角形分成两个直角三角形，并用勾股定理推导出$AC$的长度：$AC^2=AB^2-BC^2$（2）接着，我们利用勾股定理，求出$BD$的长度：$BD^2=AB^2-AE^2$（3）我们可以发现，$BD$与$AC$构成一个平行四边形，因此有$BD=AC$。

（4）从而得到：$BD^2=AC^2-AE^2$代入（2）式，可得：$AB^2-AE^2=AC^2-BC^2$化简后即为余弦定理：$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$三、余弦定理在实际应用中的一些案例1.求解三角形中的某一个角余弦定理可用于求解三角形中的某一个角的大小。

如图所示，在$\triangle ABC$中，已知$c=7$，$a=4$，$b=6$，求$\angle C$的大小。

根据余弦定理，我们有：$7^2=4^2+6^2-2\times 4\times 6\cos C$化简后得：$\cos C=-\frac{1}{12}$根据余弦函数的定义，可知：$\cos C=\frac{\mathrm{adj}}{\mathrm{hyp}}=\frac{AB}{AC}$代入$\cos C=-\frac{1}{12}$即可得到$\angle C$的大小。

余弦定理及其应用实例引言余弦定理是初等几何中的一个重要定理，它可以用来计算三角形中的边长和角度。

该定理建立了三角形的边长和夹角之间的关系，为解决实际问题提供了一个实用的工具。

本文将介绍余弦定理的基本原理及其应用实例。

1. 余弦定理的原理余弦定理是基于三角形的余弦函数关系而得出的。

对于任意三角形ABC，假设边长分别为a, b, c，对应的夹角为A, B, C（夹角和为180°），则余弦定理可以表示为：$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \\cos C$该公式即为余弦定理的基本形式，通过这个公式可以计算任意三角形的边长或夹角。

2. 余弦定理的应用实例实例1：计算三角形的边长假设我们有一个三角形ABC，边长分别为a = 3, b = 4，夹角C = 60°，我们可以利用余弦定理计算边长c。

首先，根据余弦定理的公式，我们有：$c^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \\cdot 3 \\cdot 4 \\cos 60°$通过计算得到：$c^2 = 25 - 24 \\cdot \\frac{1}{2} = 25 - 12 = 13$因此，$c = \\sqrt{13}$，约等于3.61。

实例2：计算三角形的夹角我们继续使用上面的三角形ABC，已知边长分别为a = 3, b = 4，边长c = 5，我们可以利用余弦定理计算夹角C。

根据余弦定理的公式，我们有：$5^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \\cdot 3 \\cdot 4 \\cos C$化简得到：$25 = 25 - 24 \\cdot \\cos C$解方程得到：$\\cos C = 0$因此，夹角C = 90°，这就是一个直角三角形。

实例3：判断三角形类型利用余弦定理，我们还可以判断三角形的类型。

假设有一个三角形ABC，边长分别为a = 5, b = 7，边长c = 9，我们可以通过余弦定理判断其类型。