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实验报告
一、实验目的
解初值问题各种方法比较。
二、实验题目
给定初值问题
⎪⎩⎪⎨⎧=≤<+=,
0)1(,21y x xe x y dx dy x ， 其精确解为)(e e x y x -=，按
（1）改进欧拉法，步长01.0,1.0==h h ；
（2）四阶标准龙格-库塔法，步长1.0=h ；
求在节点)10,...,2,1(1.01=+=k k x k 处的数值解及其误差，比较各个方法的优缺点。
三、实验原理
改进欧拉法程序，四阶标准龙格-库塔法程序。
四、实验内容及结果
五、实验结果分析
实验2中改进欧拉法和四阶标准龙格-库塔法的比较：
结果的第一个ans是x的值与对应的y的值，第二个ans是精确解x的对应值y，第三个ans 是与精确值的误差百分数。
通过误差百分数的比较，可以明显的发现改进欧拉法比四阶标准龙格-库塔法更精确。
Function t_charpt1_1%数值试验1.1 病态问题%输入：[0 20]之间的扰动项及小的扰动常数%输出：加扰动后得到的全部根Result=inputdlg({ 请输‘入扰动项：在[0 20]之间的整数:'}, ' charpt1_1 ',1 '{ ‘19'});Numb=str2num(char(result));if ((Numb>20)|(Numb<0))errordlg( 请输‘入正确的扰动项：[0 20]之间的整数!' );return;endresult= inputdlg({ 请输‘入(0 1)之间的扰动常数： '}, ' charpt1_1 ',1,{ ‘ 0.00001 '});ess=str2num(char(result));ve=zeros(1,21); ve(21-Numb)=ess;root=roots(poly(1:20)+ve);disp([对扰动项’，num2str(Numb)加扰动’，num2str(ess得到的全部根为：’]); disp(num2str(root));function charpt3%数值实验三：含“实验3.1 ”和“实验3.2 ” %子函数调用：dlsa%输入：实验选择%输出：原函数及求得的相应插值多项式的函数的图像以及参数alph 和误差rresult=inputdlg({ 请选择‘实验，若选 3.1，请输入1，否则输入2：' }，' charpt_3 ' ，1，{ ‘ 1' });Nb=str2num(char(result));if(Nb~=1&(Nb~=2)errordlg( 实验选‘择错误！ '；))return;endx0=-1：0.5：2 y0=[-4.447 -0.452 0.551 0.048 -0.447 0.549 4.552];n=3;%n 为拟合阶次if(Nb==1) alph=polyfit(x0，y0，n);y=polyval(alph，x0); r=(y0-y)*(y0- y) '平;%方误差x=-1：0.01：2;y=polyval(alph，x);plot(x，y， -'');kxlabel( ‘ x' );ylabel( ‘ y0*a-'nd)p; loyfit.yhold on;plot(x，y， -'');ktitle( 离散‘数据的多项式拟合 ' );grid on;else result=inpurdlg({ 请输入‘权向量w:'}, ' charpt_3,1,{ ‘[1 1 1 1 1 1 1] '});w=str2num(char(result));[a,b,c,alph,r]=dlsa(x0,y0,w,n);enddisp([ 平‘方误差:' ,sprint( ‘ %g,r ' )]);disp([ 参‘数alph: ' ,sprint(t ' ‘,al%ph)])% ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- function[a,b,c,alph,r]=dlsa(x,y,w,n)%功能：用正交化方法对离散数据作多项式最小二乘拟合。
微分方程求解方法微分方程是数学中的一个重要概念，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
微分方程求解是通过已知条件找到满足方程的未知函数的过程。
根据方程的类型和性质，有多种解法可供选择。
一、可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程形式为dy/dx = f(x)g(y)，可以通过变量的分离和积分的方法进行求解。
具体步骤如下：1. 将方程变形为dy/g(y) = f(x)dx。
2. 对两边同时积分，得到∫(1/g(y))dy = ∫f(x)dx。
3.求出积分的表达式，然后求解原方程。
二、一阶线性微分方程一阶线性微分方程的一般形式为dy/dx + P(x)y = Q(x)，可通过线性变换和积分的方法进行求解。
具体步骤如下：1. 通过线性变换将方程变为dy/dx + yP(x) = Q(x)P(x)。
2. 确定积分因子μ(x) = e∫P(x)dx。
3. 将原方程两边同时乘以μ(x)，并进行化简得到d(yμ(x))/dx = Q(x)μ(x)。
4. 对等式两边同时积分得到∫d(yμ(x))/dx dx = ∫Q(x)μ(x)dx。
5.求出积分的表达式，然后求解原方程。
三、二阶线性齐次微分方程二阶线性齐次微分方程的一般形式为d²y/dx² + p(x)dy/dx + q(x)y = 0，可以通过特征根法求解。
具体步骤如下：1. 假设解的形式为y = e^(mx)。
2. 将形式代入原方程，得到特征方程m² + pm + q = 0。
3.求解特征方程得到特征根m₁和m₂。
4.根据特征根的情况，得到相应的通解。
四、二阶线性非齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程的一般形式为d²y/dx² + p(x)dy/dx +q(x)y = f(x)，可以通过常数变易法求解。
具体步骤如下：1.假设原方程的特解为y=u(x)，将其代入原方程，得到关于u和它的导数的代数方程。
2.根据原方程的非齐次项f(x)的形式，设定特解的形式。
华科数理方程总结数理方程（Mathematical Equations）是数学中一个重要的研究领域，它涉及到数学方程的建立、求解和分析。
华中科技大学（HUST）是中国一所著名的综合性大学，在数理方程的研究方面也具有较高的声誉。
本文将对华科数理方程的研究进行总结。
首先，华科数理方程的研究内容非常丰富，包括常微分方程、偏微分方程、差分方程等不同类型的方程。
其中，常微分方程是研究关于未知函数的导数的方程，它在自然科学、工程技术等领域中具有广泛的应用。
华科数学院的研究人员在常微分方程的理论和应用方面具有深厚的研究基础，他们通过对方程的性质、解的存在性和稳定性等进行研究，为相关领域的发展提供了理论支持。
其次，华科数理方程的研究方法多样化，不仅包括数值方法、解析方法，还包括动力学系统理论、变分法、集合拓扑等方法。
数值方法是一种通过数值计算来求解方程的方法，它可以有效地解决一些复杂的方程。
华科数学院的研究人员在数值方法方面取得了显著的成果，他们开发了一系列高效、精确的数值算法，解决了多个实际问题。
除此之外，华科数学院还注重理论的推导和分析，通过对方程的特征和性质进行研究，进一步提高了方程的解析求解能力。
另外，华科数理方程的研究还涉及到一些具体的应用领域，如物理学、生物学、计算机科学等。
数学在这些领域中起着重要的作用，数理方程的研究为相关领域的发展提供了理论支持和实际解决方案。
华科数学院的研究人员不仅注重理论的研究，还积极参与到实际问题的解决中，以理论指导实践，为社会经济发展做出贡献。
华科数理方程的研究在国内外学术界享有很高的声誉。
华科数学院的研究成果在国内外学术期刊上发表，得到了同行的广泛认可。
华科数学院与国内外多个知名学府和科研机构合作，开展联合研究和学术交流，促进了数理方程研究的进一步发展。
总之，华科数理方程的研究涵盖了常微分方程、偏微分方程、差分方程等不同类型的方程，采用了多种研究方法，包括数值方法、解析方法、动力学系统理论、变分法、集合拓扑等。
《计算机数学基础》数值部分第五单元辅导14 常微分方程的数值解法一、重点内容 1. 欧拉公式：),...,,,(),()(1-210=⎩⎨⎧+=+=≈01+1+n k kh x x y x hf y y x y kk k k k k局部截断误差是O (h 2)。
2. 改进欧拉公式：预报－校正公式：⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(1111k k k k k k k k k k y x f y x f hy y y x hf y y 校正值预报值即 ))],(,(),([211k k k k k k k k y x hf y x f y x f hy y +++=++ 或表成平均的形式：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+21=+=+=1+1+)(),(),(c p k p k k c k k k p y y y y x hf y y y x hf y y改进欧拉法的局部截断误差是O (h 3)3. 龙格－库塔法二阶龙格－库塔法的局部截断误差是O (h 3) 三阶龙格－库塔法的局部截断误差是O (h 4) 四阶龙格−库塔法公式： )22(643211κκκκ++++=+hy y k k其中 κ1=f (x k ,y k )；κ2=f (x n +12h ，y k +21h κ1)；κ3=f (x k +12h ，y n +21h κ2)；κ4=f (x k +h ，y k +h κ3)四阶龙格－库塔法的局部截断误差是O (h 5)。
二、实例例1 用欧拉法解初值问题⎩⎨⎧1=060≤≤0--='2)().(y x xy y y ，取步长h =0.2。
计算过程保留4位小数。
解h =0.2, f (x )=－y －xy 2。
首先建立欧拉迭代格式),,)((.),(210=-420=--=+=21+k y x y y hx hy y y x hf y y k k k kk k k k k k k当k =0，x 1=0.2时，已知x 0=0,y 0=1，有y (0.2)≈y 1=0.2×1(4－0×1)＝0.8000当k ＝1，x 2=0.4时，已知x 1=0.2, y 1=0.8，有 y (0.4)≈y 2=0.2×0.8×(4－0.2×0.8)＝0.614 4 当k =2，x 3=0.6时，已知x 2=0.4,y 2=0.6144，有 y (0.6)≈y 3=0.2×0.6144×(4－0.4×0.4613)＝0.8000例2 用欧拉预报－校正公式求解初值问题⎩⎨⎧1=10=++'2)(sin y x y y y ，取步长h =0.2,计算y (0.2),y (0.4)的近似值，计算过程保留5位小数。
华中科技大学数值分析实验报告系、年级学号姓名类别硕士指导老师路志宏2013年4月13日实验 4.1实验目的：复化求积公式计算定积分实验题目：数值计算下列各式右端定积分的近似值3221(1)ln 2ln 321dx x -=--⎰121(2)41dx x π=+⎰102(3)3ln 3xdx=⎰221(4)xe xe dx =⎰实验要求：（1） 若用复化梯形公式、复化Simpson 公式和复化Gauss-Legendre I 型公式做计算，要求绝对误差限为71*102ε-=，分别利用它们的余项对每种算法做出步长的事前估计。
（2） 分别用复化梯形公式、复化Simpson 公式和复化Gauss-Legendre I 型公式作计算。
（3） 将计算结果与精确解作比较，并比较各种算法的计算量。
一、事前误差估计3221(1)ln 2ln 321dxx -=--⎰ 令 21()1f x x =- 则有2(2)234(31)()(1)x fx x -+=-(4)552424()(1)(1)fx x x =-+-故(2)52max ()27f x =(4)5808max ()243f x =由题中精度要求，可知对于复化梯形求积公式有22''()(32)52()()121227n b a h R f h f ηε--=-≤≤得步长h=5.582*10-4对于复化Simpson 求积公式有44(4)()(32)5808()()28802880243n b a h R f h f ηε--=-≤≤得步长h=0.04975对于复化Gauss-Legendre I 型求积公式有44(4)()(32)5808()()43204320243n b a h R f h f ηε--=≤≤得步长h=0.05494对于(2)~(4)，其步长可以仿上加以确定，此处不再赘述，结果一并列表如下：二、利用求积公式进行计算利用上述求积公式进行计算，结果如下表：三、将计算结果与精确解作比较，并比较各种算法的计算量由上表中的误差分析可知，利用题目所要求的复化求积公式运算的结果均在误差限以内，精度满足要求。
