夹半角的模型(教学材料)

半角模型互动精讲【知识梳理】半角模型（内夹补短，外夹截长；先证小全等，再证大全等。

）1、90°夹45°（1）内夹（90°角完全包含45°角）（2）外夹（90°角不完全包含45°角）2、120°夹60°（1）内夹（120°角完全包含60°角）（2）外夹（120°角不完全包含60°角）【例题精讲】例1、正方形ABCD中，M，N分别是直线CB、DC上的动点，∠MAN=45°。

（1）当∠MAN交边CB、DC于点M、N（如图①）时，线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明；（2）当∠MAN分别交边CB，DC的延长线于点M/N时（如图②），线段BM，DN和MN之间的又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明。

例2、在等边△ABC 的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，D 为△ABC 外一点，且∠MDN=60°,∠BDC=120°,BD=DC. 探究：当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系及△AMN 的周长Q 与等边△ABC 的周长L 的关系．（I ）如图1，当点M 、N 边AB 、AC 上，且DM=DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是 ； 此时=LQ； （II ）如图2，点M 、N 边AB 、AC 上，且当DM ≠DN 时，猜想（I ）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（III ） 如图3，当M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时，若AN=x ，则Q= （用x 、L 表示）．【课堂练习】1、如图，正方形ABCD中，E和F分别是边BC和CD上的点，AG⊥EF于G，若∠EAF＝45°，求证：AG＝AD。

2、已知：△ABC是等边三角形，△BDC是等腰三角形，其中∠BDC=120°，过点D作∠EDF=60°，分别交AB于E，交AC于F，连接EF．（1）若BE=CF，求证：①△DEF是等边三角形；②BE+CF=EF．（2）若BE≠CF，即E、F分别是线段AB，AC上任意一点，BE+CF=EF还会成立吗？请说明理由．课堂检测1、（1）如图1、在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF=60°，探究图中的线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系（2）如图2，在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠B+∠ADC=180°，且∠EAF=21∠BAD ，探究图中的线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系（1）延长FD 至G,使得GD=BE,再连接AG2、如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为BC、DC边上的点，且满足DF＋BE=EF。

八年级·十一短期课·特色课程数学第1讲夹半角模型是八年级几类重点全等模型的一种，在考试中常以解答题出现，重点考察学生对全等模型的认识以及对模型辅助线中截长补短的掌握，另外当半角的位置发生改变时，结论也会有所不同，需要学生在考试中注意区分。

夹半角模型知识点睛考点说明 TIPS【例1】已知△ABC 为等边三角形，△BCD 为等腰三角形，∠BDC=120°，E 、F 分别为AB 和AC 上任一点，且∠EDF=60°，DG ⊥EF ，求证：△BED ≌△GED ．【巩固】正方形ABCD ，M 在CB 延长线上，N 在DC 延长线上，45MAN ∠=︒． 结论：⑴ MN DN BM =-；⑵ AH AB =.ABMC HND夹半角模型基本性质【变式】如图1，E 为边长为1的正方形ABCD 中CD 边上的一动点（不含点C 、D ），以BE 为边作图中所示的正方形BEFG ． (1) 求∠ADF 的度数．(2) 如图2，若BF 交AD 于点H ，连接EH ，求证：HB 平分∠AHE ．【例2】已知：点O 为正方形ABCD 的对角线AC 的中点，点M 、N 分别在直线AD 、CD 上， 45MON =∠.(1)如图1，点M 在AD 的延长线上，点N 在CD 上，求证：MN =DM +CN ；（2）如图2，点M 在边AD 上，点N 在边CD 上，其他条件不变，问MN 、DM 、CN 之间有怎样的数量关系？为什么？图1图2M【巩固】已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ADC=120°．将一块足够大的三角尺MNB的30°角顶点与四边形顶点B重合，当三角尺的30°角（∠MBN）绕着点B旋转时，它的两边分别交边AD，DC所在直线于E，F．（1）当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如题图1），请直接写出AE，CF，EF之间的数量关系．（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时（如题图2），（1）中的结论是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．（3）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时（如题图3和题图4），请分别直接写出线段AE，CF，EF之间的数量关系．【变式】如图1，四边形ABCD，将顶点为A的∠EAF绕着顶点A顺时针旋转，角的一条边与DC的延长线交于点F，角的另一边与CB的延长线交于点E，连接EF．（1）如果四边形ABCD为正方形，当∠EAF=45°时，有EF=DF-BE．请你思考如何证明这个结论（只需思考，不必写出证明过程）；（2）如图2，如果在四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，当∠EAF=12∠BAD时，EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？请写出它们之间的关系式（只需写出结论）；（3）如图3，如果在四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC与∠ADC互补，当∠EAF=12∠BAD时，EF与DF、BE之间有怎样的数学关系？请写出它们之间的关系式并给予证明；【例3】如图1，点A 、D 在y 轴正半轴上，点B 、C 分别在x 轴上，CD 平分∠ACB 与y 轴交于D 点，∠CAO=90°﹣∠BDO ． （1）求证：AC=BC ；（2）如图2，点C 的坐标为（4，0），点E 为AC 上一点，且∠DEA=∠DBO ，求BC+EC 的长；（3）在（1）中，过D 作DF ⊥AC 于F 点，点H 为FC 上一动点，点G 为OC 上一动点，（如图3），当H 在FC 上移动、点G 点在OC 上移动时，始终满足∠GDH=∠GDO+∠FDH ，试判断FH 、GH 、OG 这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明．坐标系中的夹半角模型【巩固】如图，在平面直角坐标系中，△AOB 为等腰直角三角形，A （4，4），过点A 作y 轴的垂线交y 轴于E ，F 为x 轴负半轴上一点，G 在EF 的延长线上，以EG 为直角边作等腰Rt △EGH ，过A 作x 轴垂线交EH 于点M ，连FM ，等式OFFMAM -=1是否成立？若成立，请证明：若不成立，说明理由.【变式】如图所示，在平面直角坐标系中，A 点坐标为(－2，2) (1) 如图(1)，在△ABO 为等腰直角三角形，求B 点坐标 (2) 如图(1)，在(1)的条件下，分别以AB 和OB 为边作等边△ABC 和等边△OBD ，连结OC ，求∠COB 的度数(3) 如图(2)，过点A 作AM ⊥y 轴于点M ，点E 为x 轴正半轴上一点，K 为ME 延长线上一点，以MK 为直角边作等腰直角三角形MKJ ，∠MKJ ＝90°，过点A 作AN ⊥x 轴交MJ 于点N ，连结EN ．则：①NE OE AN +的值不变；② NEOEAN -的值不变，其中有且只有一个结论正确，请判断出正确的结论，并加以证明和求出其值【例4】如图1，等腰直角△ACO在平面直角坐标系中，C的坐标为（﹣1，3）．（1）求A的坐标．（2）如图2过A点作AE⊥AC，点F在AC上，若∠FEO=∠COE，求∠EOF的度数．（3）如图3过点C作CN⊥y轴于点N，M为AO的中点，连CM，连MN，求MN的长．【巩固】如图：在平面直角坐标系中，A（0，4），B（-4,0），D为线段OB上一动点，以AD为直角边，D为直角顶点在第二象限作等腰直角三角形ADE。

《旋转的应用—半角模型》教学设计【教学目标】结合数学课程标准和学科德育一体化要求，围绕“目标—--评价—--教学”一致性原则，确定本课教学目标如下：半角模型的特点，掌握用旋转的方法解决半角问题的一般思路和方法。

2．在解决问题的过程中体会旋转的作用，归纳总结解决半角模型问题的基本方法。

3. 通过讨论交流、合作探究等活动，积累数学活动经验，培养数学学科的严谨思维和理性精神。

【教学重点】明确半角模型的特点，掌握用旋转的方法解决半角问题的一般思路和方法。

【教学难点】在解决问题的过程中体会旋转的作用，归纳总结解决半角模型问题的基本方法。

【教学过程】之前,我们学习过图形的变换主要有哪些形式?平移、旋转和轴对称。

其中旋转式我们解决几何问题的一大利器。

今天我们就来探究如何利用旋转来解决半角模型问题（板书课题）。

教学目标1、认识半角模型，能在复杂的图形当中找到半角模型；2、会利用旋转的知识解决半角模型的相关问题。

知识回顾△ABC为等边三角形，D是△ABC内一点，将△ABD经过逆时针旋转后到△ACP位置，则旋转中是，旋转角等于°AD与AP的夹角是°△ADP是三角形。

设计意图：同学们通过这道题的练习，熟悉旋转的性质，为后续的探究夯实基础。

典例探究在正方形ABCD中，E、F分别是CB、DC上的点，且∠EAF=45°，探究BE、FD、EF三条线段的数量关系。

（1）大胆猜测，独立思考，找出解决问题的方法。

（2）小组讨论，各抒己见，让思维撞击出火花。

（3）集体讨论，质疑问难，探讨解决问题的方案。

（4）几何画板演示旋转的意义所在，教师语言要注意引导半角模型的特点。

设计意图：教育本质是一棵树摇动另一棵树,一朵云推动另一朵云,一个灵魂唤醒另一个灵魂。

通过个人探究、小组讨论和集体讨论，激发学生对问题的深入思考。

几何画板的动态演示直观的展示了旋转的过程中，变与不变的量，变与不变的关系，加深学生对利用旋转解半角模型题目的认知。

初中半角模型教案模板一、教学目标1. 让学生理解半角模型的概念及应用。

2. 培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。

3. 提高学生对数学的兴趣，培养学生的创新思维。

二、教学内容1. 半角模型的定义及性质2. 半角模型的应用3. 相关练习题三、教学重点与难点1. 半角模型的定义和性质2. 半角模型在实际问题中的应用四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究半角模型的性质和应用。

2. 利用几何画板软件，动态展示半角模型的变换过程，增强学生的直观感受。

3. 案例教学法，分析实际问题，引导学生运用半角模型解决问题。

五、教学步骤1. 导入新课1.1 教师通过展示一些实际问题，引导学生思考如何利用几何知识解决这些问题。

1.2 学生尝试分析问题，发现问题的解决关键在于理解半角模型。

2. 讲解半角模型2.1 教师给出半角模型的定义，并解释其性质。

2.2 学生通过几何画板软件，动态观察半角模型的变换过程，加深对半角模型的理解。

3. 应用半角模型解决问题3.1 教师展示几个与半角模型相关的实际问题，引导学生运用半角模型解决问题。

3.2 学生独立解决这些问题，并在课堂上分享解题思路和方法。

4. 巩固练习4.1 教师布置一些有关半角模型的练习题，让学生巩固所学知识。

4.2 学生独立完成练习题，教师进行点评和指导。

5. 总结与拓展5.1 教师引导学生总结本节课所学内容，加深对半角模型的理解。

5.2 学生结合自己的生活实际，思考半角模型在生活中的应用。

5.3 教师提出一些拓展问题，激发学生的创新思维。

六、教学评价1. 学生对半角模型的理解和掌握程度。

2. 学生运用半角模型解决实际问题的能力。

3. 学生在课堂上的参与度和合作意识。

七、教学反思教师在课后要对课堂教学进行反思，分析学生的学习情况，针对性地调整教学方法和解题策略，以提高教学效果。

同时，关注学生的学习兴趣和需求，不断丰富教学内容，提高教学质量。

《旋转的应用—半角模型》教学设计一、教学目标：1、 知识与技能：理解掌握“半角”模型，明确符合旋转类型题的两个特征；2、 过程与方法：用心经历探究模型演变过程，体会“从特殊到一般”、“分类”、“化归”的研究思想，发展学生观察、比较、分析、推理能力；3、 情感、态度与价值观：通过自我学习与合作交流，明确辅助线的构造原理，进一步培养学生综合运用知识解决问题的能力。

教学重点、难点：重点: “半角”模型的辨别及灵活应用。

难点: ：辅助线的添加及说明能力。

二、教学流程：（一）常规积累：如图将AC ，AE 顺时针旋转90o ，∠BAC=900，∠EAF=450将会得到哪些相等的角？请写出来 ：设计意图：半角模型, ∠BAC=900，∠EAF=450通过旋转，将另一个半角的的两部分拼在一起，即∠DAF=∠CAE+∠BAF=450从而构造出一对等角，即∠DAF=∠EAF 为本节课的学习奠定了基础。

（二）典例解析在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，连接EF.求证：DE+BF=EF1、先让学生在学案上独立完成，然后小组交流讨论，2、让学生讲解思路，互相补充，用多种方法解答。

3、让学生择优选择一种方法整理证明过程，找一名中等生板演证明过程。

其他同学点评错误。

（三）变式训练1、如图，在四边形ABCD中，2∠EAF=∠BADAB=AD，∠B=∠D＝90° BF、DE、EF三条线段之间的数量关系是否仍然成立,请证明本题是对典例解析题目的变式，由旋转角是90度变为任意∠DAB先让学生在学案上独立完成，然后小组交流讨论，找一名同学板演解题过程。

师生共同点评纠错。

B AE2、如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB=90°,AC=BC ，点D 、E 在斜边AB 上，且∠DCE=45°,探究BE 、DE 、AD 三条线段之间的数量关系.由上面的旋转后第三边在一直线上变为垂直关系，结论的和差关系变为 勾股数关系.让学生在投影仪下展示辅助线的作法，并说明解题思路。

初中几何半角模型教案教案标题：初中几何半角模型教案教案目标：1. 理解半角的概念和性质。

2. 掌握使用半角模型解决几何问题的方法。

3. 培养学生的空间想象力和几何思维能力。

教学重点：1. 半角的概念和性质。

2. 半角模型的应用。

教学难点：1. 运用半角模型解决几何问题。

2. 提高学生的空间想象力和几何思维能力。

教学准备：1. 教师准备好黑板、白板、彩色粉笔、半角模型等教具。

2. 学生准备好几何工具、练习册等学习材料。

教学过程：Step 1：引入1. 教师用彩色粉笔在黑板上绘制一个直角三角形ABC，角A为直角，边AB为横坐标轴，边AC为纵坐标轴。

2. 教师解释什么是半角，并引导学生观察直角三角形ABC中的半角，即角B和角C。

3. 教师提问学生，半角的度数是多少？（答案：45度）Step 2：概念讲解1. 教师在黑板上绘制一个正方形DEFG，边DE平行于边FG。

2. 教师解释正方形DEFG中的半角模型，即将正方形沿对角线DG对折，形成的两个直角三角形。

3. 教师引导学生观察半角模型中的角度关系，并解释半角模型的性质：两个直角三角形的半角是相等的。

Step 3：应用练习1. 教师提供一些几何问题，要求学生使用半角模型解决。

2. 学生独立思考并解答问题，教师适时给予指导和帮助。

3. 学生展示自己的解题过程和答案，教师进行点评和讲解。

Step 4：拓展练习1. 教师提供更复杂的几何问题，要求学生通过运用半角模型解决。

2. 学生分组合作解题，教师在小组之间进行巡回指导和帮助。

3. 学生展示解题过程和答案，教师进行综合点评和总结。

Step 5：归纳总结1. 教师带领学生回顾本节课所学的内容，总结半角的概念和性质。

2. 教师强调半角模型在解决几何问题中的重要性，并鼓励学生在以后的学习中积极运用。

3. 教师布置相关的练习作业，巩固学生的学习成果。

教学延伸：1. 学生可以自行寻找更多与半角模型相关的几何问题，并进行解答和讨论。

初中数学半角模型教案教学目标：1. 理解半角模型的概念和特点；2. 学会运用半角模型解决相关几何问题；3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

教学重点：1. 半角模型的概念和特点；2. 运用半角模型解决几何问题。

教学难点：1. 半角模型的理解和运用；2. 解决相关几何问题。

教学准备：1. 教师准备半角模型的相关例题和练习题；2. 学生准备笔记本和文具。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师通过PPT展示半角模型的图片，引导学生观察和思考；2. 学生分享对半角模型的理解和认识。

二、新课讲解（15分钟）1. 教师讲解半角模型的概念和特点，引导学生理解和掌握；2. 教师通过例题演示如何运用半角模型解决几何问题；3. 学生跟随教师一起解答例题，巩固理解和掌握半角模型的运用。

三、课堂练习（15分钟）1. 教师给出一些有关半角模型的问题，让学生独立解答；2. 学生展示解答过程和答案，教师进行点评和指导。

四、总结和反思（5分钟）1. 教师引导学生总结半角模型的概念和特点；2. 学生分享自己在解决问题时的经验和困惑；3. 教师给出建议和指导，帮助学生进一步提高解决问题的能力。

五、课后作业（5分钟）1. 教师布置一些有关半角模型的练习题，让学生巩固所学知识；2. 学生完成作业，教师进行批改和反馈。

教学反思：本节课通过讲解和练习，让学生掌握了半角模型的概念和特点，并能运用半角模型解决相关几何问题。

在教学过程中，教师注意引导学生观察和思考，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

同时，通过课堂练习和课后作业，让学生进一步巩固所学知识，提高解决问题的能力。

在今后的教学中，教师还需注意以下几点：1. 针对不同学生的学习情况，给予个别化的指导和帮助，提高学生的学习效果；2. 增加一些拓展练习，让学生更好地理解和运用半角模型；3. 结合其他几何模型，让学生综合运用所学知识解决问题。

综上所述，本节课的教学目标是让学生理解和掌握半角模型的概念和特点，学会运用半角模型解决相关几何问题。