圆柱圆锥圆台

1.1.3圆柱、圆锥、 圆台和球
观察下面的几何体与多面体有什么不同。
一.旋转体的概念
由一个平面图形绕着一条直线旋转产生的 曲面所围成的几何体叫做旋转体，这条直线 叫做旋转体的轴。比如常见的旋转体有圆柱、 圆锥、圆台和球.
知识探究（一）：圆柱的结构特征
思考1：如图所示的空间几何体叫做圆 柱，那么圆柱是怎样形成的呢？
A A
C
B
C
B
D
探究 问题：侧面都是等边三角形的棱锥不可能是（ D
A. 三棱锥 B. 四棱锥 C.五棱锥 D.六棱锥
）
问题1：有两个面互相平行， 其余各面都是四边形的几何体是 棱柱吗？ 答：不一定是．如右图所 示，不是棱柱． 问题2：有两个面互相平行， 其余各面都是平行四边形的几 何体是棱柱吗？ 答：不一定是．如右图所 示，不是棱柱．
思考2：以直角三角形的一条直角边所在 直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面 所围成的旋转体叫做圆锥，那么如何定 义圆锥的轴、底面、侧面、母线？
顶点
轴 母线
底面
侧面
母线
旋转轴叫做圆锥的轴，垂直于轴的边旋转 而成的圆面叫做圆锥的底面，斜边旋转而 成的曲面叫做圆锥的侧面，斜边在旋转中 的任何位置叫做圆锥侧面的母线.
母线
母线
底面
思考3：平行于圆柱底面的截面，经过 圆柱任意两条母线的截面分别是什么图 形？
思考4：经过圆柱的轴的截面称为轴截面， 你能说出圆柱的轴截面有哪些基本特征 吗？
知识探究（三）：圆锥的结构特征
思考1：将一个直角三角形以它的一条直 角边为轴旋转一周，那么其余两边旋转 形成的面所围成的旋转体是一个什么样 的空间图形？
上底面
侧面
母线
轴
下底面

解：当球内切于正方体时用料最省 此时棱长＝直径＝5cm
答：至少要用纸150cm2
练习
解析 设球 O 的半径为 r，则圆柱的底面半径为 r， 高为 2r，所以VV12＝π43rπ2·r23r＝32.
三、课堂小结:
1.圆柱、圆锥、圆台的表面积公式
1).圆柱 2).圆锥
S 2r 2 rl
S r 2 rl
如果圆台的上、下底面半径分别为ｒ和Ｒ，母线长为l，你能计算它的
表面积吗？
r O’
RO
圆台的侧面展开图是扇环
x x
r 'O’
rO
xl r x r' l rr' x r'
xl 1 r 1 x r'
x r' l r r'
∵圆台侧面展开图是一个扇环
S侧面积
1 2
2 r( x
l)
1 2
2 r
'
x
r( x l ) r ' x rx rl r ' x
A
B
D
C
A1 D1
B1 C1
变式 球的内接长方体的长、宽、高分别为3、2、 3 ,求此球体的表面积 和体积。
分析：长方体内接于球，则由球和长方体都是中心对称图形可知，它们 中心重合，则长方体对角线与球的直径相等。
内切球问题
例题3 把直径为5cm钢球放入一个正方体的有盖纸盒中,至少要用多少纸? 分析：用料最省时,球与正方体有什么位置关系? 球内切于正方体
解：一个浮标的表面积为
2π×0.15×0.6 + 4π×0.152 =0.8478(m2) 所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料
0.8478×0.5×1000 =423.9(kg).

【解题提示】把PEFQ的体积表示出来.由于△EFQ中，EF=1，Q到EF的距离为侧面的对角线长，故选择△EFQ为底面.点P到△EFQ的距离，即是点P到对角面A1B1CD的距离.
【解析】选D.S△EFQ= ×1×2 = 点P到平面EFQ的距离为 z， VP-EFQ= S△EFQ·h= z. 因此体积只与z有关，而与x,y无关.
C
B
D
A
E
（2009·山东高考）一空间几何 体的三视图如图所示，则该几何体 的体积为（ ） 2π+2 4π+2 2π+ 4π+
PART THREE
知能巩固提高
一、选择题（每题5分，共15分） 1.(2010·北京高考)如图，正方体ABCD- A1B1C1D1的棱长为2，动点E、F在棱A1B1 上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若 EF=1，A1E=x，DQ=y， DP=z（x,y,z大 于零），则四面体PEFQ的体积（ ） (A)与x,y，z都有关 (B)与x有关，与y,z无关 (C)与y有关，与x,z无关 (D)与z有关，与x,y无关
(5分)在正方体的八个顶点中，有四个顶点恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与此正四面体的表面积之比为 （ ） (B) (C) (D)
【解析】选A.如图，设正方体的棱长为a, 则正四面体A—B1D1C的所有棱长均为 a. 正方体的表面积S1=6a2, 正四面体的表面积S2=4× ×( a)2 =2 a2. ∴S1∶S2=6a2∶2 a2= ∶1.
三、解答题（6题12分，7题13分，共25分） 6.(2010·南阳高一检测)如图，一个圆锥的 底面半径为2 cm,高为6 cm，在其中有一个高 为x cm的内接圆柱. （1）试用x表示圆柱的侧面； （2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大？

似三角形的性质得
3 r 3 l 4r
解得l=9.
所以，圆台的母线长为9cm.
例2. 我国首都北京靠近北纬40度。
求北纬40度纬线的长度约为多少千米 （地球半径约为6370千米）?
解：如图，设A是北纬40°圈上一点，AK 是它的半径，所以 OK⊥AK，
设c是北纬40°的纬线长， 因为∠OAK= ∠AOB = 40°，
3．表示方法：用表示它的轴的字母表示， 如圆柱OO’ .
4．有关性质： （1）用平行于底面的平面去截，截面都 是圆。 （2）圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是 全等的矩形、全等的等腰三角形、全等的 等腰梯形；
5.侧面展开图：
（1）圆柱的侧面展开图是矩形。 （2）圆锥的侧面展开图是扇形. （3）圆台的侧面展开图是扇环.
所以 c=2π·AK=2π·OA·cos∠OAK =2π·OA·cos40° ≈2×3.1416×6370×0.7660 ≈3.066×104(km)，
即北纬40°的纬线长约为3.066×104km.
练习： 1、圆柱的轴截面是正方形，它的面
h
积为9 ,求圆柱的高与底面的周长。
(h=3， c=2πr=3π)
即O到截面圆心O1的距离；
（4）大圆与小圆：球面被经过球心的平面截 得的圆叫做球的大圆， 被不经过球心的平面截得的圆叫做球 的
小圆；
5．球面距离：在球面
上，两点之间的最短距
离就是经过这两点的大
A
圆在这两点间的一段劣
弧的长度。这个弧长叫 B
做两点的球面距离。
O
三．旋转体的概念
由一个平面图形绕着一条直线旋转产生的 曲面所围成的几何体叫做旋转体，这条直线 叫做旋转体的轴。比如常见的旋转体有圆柱、 圆锥、圆台和球.

AA’’
叫做圆柱的侧面。
母
（4）无论旋转到什么位置,不垂直于轴 线
的边都叫做圆柱的母线。
O’ B’
A
O
B
矩 形
轴 侧 面 底面
3
2.圆柱的表示：用表示它的轴的字母表示，如圆柱OO1。
3.圆柱与棱柱统称为柱体。
O
柱
体
棱 柱 圆 柱
侧
面
O1
母 线
轴
底面
4
二、圆锥的结构特征 1.定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，
1.1.6旋转体的结构特征
——圆柱、圆锥、圆台、球
1
旋转一周。。。
矩形
直角三角形
直角梯形
半圆
圆柱
圆锥
圆台
球
2
一、圆柱的结构特征
圆柱O定1义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，
其余三边旋转形成的曲面所围成的旋转体叫做圆柱。
（1）旋转轴叫做圆柱的轴。
（2） 垂直于轴的边旋转而成的圆面叫
O
做圆柱的底面。
（3）平行于轴的边旋转而成的曲面
B
O
E
O
16 C
题型一、旋转体的概念
例 下列叙述中正确的是____③____．(填序号)
①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥； ②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台； ③圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台； ④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．
[解题过程] ①中以直角三角形的直角边为轴旋 转所得的旋转体是圆锥，以斜边为轴旋转所得的旋 转体是两个圆锥的组合体．故①不正确． ②中以直角梯形中垂直于底边的腰为轴旋转所得 的旋转体是圆台，以不垂直底边的腰为轴旋转所得 的旋转体是圆柱和圆锥的组合体，故②不正确． ③正确．

(2)半径和球心是球的关键要素，把握住这两点，计算球的表
面积或体积的相关题目也就易如反掌了．
跟踪训练
1. (1)两个球的半径相差1，表面积之差为28π，则它们的
364
体积和为________；
3
设大、小两球半径分别为R，r，则由题意可得
− =1
R＝4
42 − 4 2 = 28
r＝3
∵棱长为a，∴BE＝
3
2
3
a× ＝ a.
2
3
3
∴在Rt△ABE中，AE＝
2
−
2
3
＝
6
a.
3
设球心为O，半径为R，则(AE－R)2＋BE2＝R2，
∴R＝
6
6 2
3
a，∴S球＝4π×( a) ＝ πa2.
4
4
2
2. 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个
球面上，则该球的表面积为( B )
∴R＝2.
4
3
∴V＝ πR3＝
32
.
3
5．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个
半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这
时容器中水的深度．
由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面．
根据切线的性质知，当球在容器内时，水深CP为3r，水面的半径AC
3
2
12
总结提升
1.正方体的内切球
球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的

2
半径为r1＝ ，过在一个平面上的四个切点作截面如图．
总结提升
2．长方体的外接球

3．掌握它们侧面积的计算公式，能综合应用这些公式计算有关图形的面积， 提高学生综合应用知识的能力。
完整版ppt
1
(三)德育渗透点
1．圆柱、圆锥、圆台的形成是通过平面图形的旋转而得到，即通过运动的 形式来给出定义．教学过程要结合实际注意培养学生掌握运用运动变化的观 点来分析问题．
2．圆柱、圆锥及圆台的共同属性是，都由平面多边形旋转而得到，因此平 面图形之间的关系决定了它们之间的关系．教学过程要注意培养学生抓住它 们的内在联系来把握它们的变化，帮助学生树立联系变化的辩证唯物主义观 点．
二、教学重点、难点、疑点及解决办法
1．教学重点：圆柱、圆锥、圆台的概念、性质及侧面积公式．
2．教学难点：圆柱、圆锥、圆台的直观图的画法．
3．教学疑点：直观图为什么用正等测法，而不用斜二测法，通过比较让学 生明白用正等测法的便利．
三、课时安排
2课时．
完整版ppt
2
四、教与学的过程设计
第一课时 圆柱、圆锥、圆台的概念、性质及直观图的画法
完整版ppt
6
例1 把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径是1∶4，母线长 是10cm，求圆锥的母线长．
分析：如图2-28，△O'OA是圆锥轴截面的一半，则直角梯形COAB是圆台 轴截面的一半，由BC∥AO易得O'B∶O'A=BC∶AO=1∶4
(具体解答请同学们阅读课本)
师：(小结)．注意“还台于锥”以及利用平行式相似来解决问题．
的任意一对相垂直的直径变为椭圆的一对直径(它们称为椭圆的共扼直
径)．既然圆的直观图是椭圆，为方便起见，今后我们可以直接用椭圆模板或
椭圆的近似画法来画．
完整版ppt
8
例3 一个圆锥的底面半径是1.6cm，在它的内部有一个底面半径为0.7cm， 高为1.5cm的内接圆柱，画出它们的直观图．

求圆锥的侧面积。
导学
探索新知
圆台的表面积
S 表面积 S上底面积 S下底面积 S 侧面积
2
2

S上底 =πr ，S下底 =πr .
r O′
l
r
O
(r′、r分别是上、下底面
半径，l是母线长)
圆台的侧面展开图是扇环
导学
圆台的表面积
探索新知
x
2πr
x
2πr
O′ r
l
O
r
(r′、r分别是上、
8.3.2 圆柱、圆锥、圆台表面积和体积
预学
棱柱、棱锥、棱台的表面积：围成它们的各个面的
面积的和，即侧面积+底面积
那你认为圆柱、圆锥、圆台的表面积又是怎样的呢？
S
O'
r O
l
O'
l
r O
r'
l
rO
圆柱、圆锥、圆台的表面积是围成它们的各个面的
面积和,即 S 表 S 底 S 侧
导学
探索新知
1、 圆柱、圆锥、圆台表面积
圆锥的表面积
探索新知
S 表面积 S 底面积 S 侧面积
S底 =πr
S
l
2πr
2
1
扇形的面积公式 ： S扇形 = lr
2
(r是扇ห้องสมุดไป่ตู้所在圆半径，l是弧长)
r
O
(r是底面半径，l是
母线长)
S圆锥 =πr +πrl πr (r l )
2
互学
例题讲解
例1、将一个边长分别为4π，8π的矩形卷成一个圆
圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为 (

12345
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单： (1)圆柱、圆锥、圆台的结构特征. (2)球的结构特征. (3)复杂空间图形的结构特征. 2.方法归纳：分类讨论、转化与化归. 3.常见误区：同一平面图形以不同的轴旋转形成的旋转体一般是不 同的.
4 课时对点练
PART FOUR
基础巩固
√B.圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都
可以构成直角三角形 C.在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线
√D.圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的
解析 由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知BD正确，AC错误.
二、复杂的空间图形的结构特征
例2 请描述如图所示的空间图形是如何形成的.
知识点二 球
球
定义
相关概念
图形及表示
半圆绕着它的直径所在 的直线旋转一周所形成 球心：半圆的 圆心， 球 的曲面叫作球面，球面 半径：半圆的 半径， 围成的空间图形叫作球 直径：半圆的_直__径__
如图可记作：球O 体，简称球
知识点三 旋转面与旋转体
一条平面曲线绕它所在平面内的 一条定直线 旋转所形成的曲面叫作旋 转面，封闭的旋转面围成的空间图形称为 旋转体 .圆柱、圆锥、圆台和 球都是特殊的旋转体.
反思 感悟
(1)判断简单旋转体结构特征的方法 ①明确由哪个平面图形旋转而成； ②明确旋转轴是哪条直线. (2)简单旋转体的轴截面及其应用 ①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋 转体结构特征的关键量； ②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图 形的转化思想.
跟踪训练1 (多选)下列说法，正确的是 A.圆柱的母线与它的轴可以不平行

二、圆柱、圆锥与圆台的性质 名称
平行于底面的截面
圆 全等的矩形 等腰三角形 等腰梯形
轴截面
侧面积
S圆柱侧＝cl 2rl
1 S 侧 cl r l 2
1 1 V圆锥＝ Sh r 2 h 3 3
1 S 侧 (c c' )l (r r ' ) l 2
全面积
体积
画法：第一步：以点o作为原点，按正等轴侧画法画出ｘ轴、ｙ轴、 ｚ轴． z
o ｘ ｙ
第二步：画底面．以原点o作为圆心，在原来的圆上画上一些与直径 平行的弦，相应地画一些与ｙ轴平行的线段，其长度等于对应的弦长，而 且使ｘ轴平分这些弦．然后把这些弦的端点用一条光滑曲线联结起来，便 得到圆锥的底面的直观图．
9.13 圆柱、圆锥与圆台
一、概念：
1.圆柱的概念
• 圆柱：以矩形的一边所在的直线为轴，其余三边绕 这根轴旋转一周形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.
2.圆锥的概念
圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴，其 余两边绕这根轴旋转一周形成的曲面所围成的几何体叫圆 锥．
3.圆台的概念
圆台：直角梯形垂直于底边的腰所在直线为轴，其余三 边绕这根轴旋转一周形成的曲面所围成的几何体叫圆台．
第三步：在ｚ轴上取一点S使 so 2.5cm
第四步：从点S作圆锥侧面的左右现两条对称的母线，如图．
z
s
s
o
o
x y
第五步：把看得见的线用实线，被遮档的线挡的线改为虚线，把x轴、y 轴、z轴在圆锥外面的部分擦掉．
课堂练习：
课堂小结：
P178 1、2
1. 旋转体的概念 2. 旋转体的主要性质 3. 用正等轴测画法画旋转体的 直观图．

19
课堂精炼
【训练 3】
π
如图所示，在梯形 ABCD 中，∠ABC＝ ，AD∥BC，BC＝2AD
2
＝2AB＝2，将梯形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的
几何体的体积为(
5
A. π
3
4
B. π
3
2
C. π
3
)
D.2π
解析
由题意，旋转而成的几何体是圆柱，挖去一个圆
锥(如图)，
又 BD＝A1D·tan 60°＝3 3，∴R＋r＝3 3，
∴R＝2 3，r＝ 3，又 h＝3，
1
1
2
2
∴V 圆台＝ πh(R ＋Rr＋r )＝ π×3×[(2 3)2＋
3
3
2 3× 3＋( 3)2]＝21π.
∴圆台的体积为 21π.
答案
10
21π
关于旋转体面积、体积等计
算问题，一般重点考察几何
体的轴截面，将立体问题平
面积与两底面积之和
题型二
求圆柱、圆锥、圆台的体积
数 学
7
知识梳理
2.柱体、锥体、台体的体积公式
V 柱体＝ sh (S 为底面面积，h 为柱体高)；
V 锥体＝

sh

(S 为底面面积，h 为锥体高)；
1
V 台体＝ (S′＋ S′S＋S)h(S′，S 分别为上、下底面面积，h 为台体高).
3
8
课堂精讲
8.3.2 第一课时 圆柱、圆
锥、圆台的表面积和体积
数 学
1
题型一
求圆柱、圆锥、圆台的表面积
数 学
2
知识梳理
1.圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积

底面
圆锥的底部是一个圆面， 称为底面。
圆锥的定义与基本元素
01
02
03
04
侧面
连接底面和顶点的曲面，称为 侧面。
母线
连接底面和顶点的线段，称为 母线。
轴
通过底面的圆心与顶点连接的 直线，称为轴。
顶点
圆锥顶部的点，称为顶点。
圆锥的侧面展开图
侧面展开图是一个扇形，扇形的半径 等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于 圆锥底面的周长。
认为圆柱、圆锥、圆台的定义只是简 单地描述了它们的形状，而忽略了它 们是由平面曲线（圆）绕固定直线 （轴）旋转而成的立体几何图形。
误区二
对于圆柱、圆锥、圆台的定义中涉及 的术语理解不准确，如“母线”、“ 轴”、“底面”等。
关于公式应用的误区
误区一
在应用圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积公式时3
圆台的几何特征
圆台的定义与基本元素
定义
圆台是由一个大的圆平面（下底）和一个小的 圆平面（上底）以及连接两圆的侧面所围成的
几何体。
01
下底
较大的圆形平面。
03
高
上底和下底之间的垂直距离。
05
02
上底
较小的圆形平面。
04
侧面
连接上底和下底的曲面。
06
母线
连接上底和下底边缘的线段。
圆台的侧面展开图
圆柱的体积公式
V = πr^2h，其中r为底面半径，h为高。 体积等于底面积乘以高。
典型例题解析
例题1
已知圆柱的底面半径为3，高为4，求圆柱的表面积和体积。
解析
根据公式S = 2πr^2 + 2πrh和V = πr^2h，代入r = 3，h = 4，即可求出表面积和体积。

垂直于侧棱并与每条 侧棱都相交的截面 经过旋转轴的截面 过高的中点平行于 底面的截面
轴截面
中截面
棱柱、棱锥、棱台 圆柱、圆锥、圆台
七、小结
一、常见旋转体—圆柱、圆锥、圆台由来及相关概念
用表示轴的字母来表示 二、圆柱、圆锥、圆台的表示法：
三、圆柱、圆锥、圆台的性质： 性质1：平行于底面的截面都是圆 性质2：圆柱的轴截面是全等的矩形 圆锥的轴截面是全等的等腰三角形 圆锥的轴截面是全等的等腰梯形
说明：在解题过程中，如果问题都集中在某个截 面上，为了直观起见，不妨将该截面移出来单独研究， 这种将立体问题转化为平面问题的方法在今后应用极为 广泛，必须牢牢掌握并能熟练运用。
回顾小结
•
•
（1）圆柱、圆锥、圆台和球的概念
（2）运动变化、类比联想的观点
•
（3）分解复杂的组合体
课外作业
1.请同学们课后找一找生活中具有圆柱、圆锥、 圆台和球几何结构特征的实物.
O S
O’
O
O
O
记作：
记作：
记作：
圆柱O’O
圆锥SO
圆台O’O
四、圆柱、圆锥、圆台的性质
性质1： 平行于底面的截面都是圆,
过旋转轴的截面 称为旋转体的轴截面 定 义：
性质2：圆柱的轴截面是 全等的 矩形 圆锥的轴截面是 全等的 等腰三角形 圆台的轴截面是 全等的 等腰梯形 S
O’
O’
O
O
O
建构数学
∵⊙Ｏ’ ∥ ⊙O ∴O’A’ ∥OA
＝ ∴⊿ O’SA’O’ A’ ︰OA SA’ ︰SA （∴ ∽⊿ SAO ）
即： x ：4x ＝ (y－10)︰ y 4 (y－10) ＝ y y ＝

(l 32 (5 1) 2 5)
h
l
圆柱、圆锥、圆台的平行于底的截面是什么图形？ 它的面积的大小与底面面积有什么关系？
求证：平行于圆锥底面的截面 与底面的面积比，等于顶点到 截面的距离与圆锥高的平方比 证明：由相似三角形的性质得
s
r
o1
r so1 R so r 2 so12 2 2 R so S截 r 2 so12 2 2 S底 R so
o R
例： 把一个圆锥截成圆台，已知 圆台上、下底面半径分别是1：4， 母线长是10cm,求圆锥的母线长。
x 4x
解：设圆锥的母线长为y，圆台的 上、下底面半径分别是x、4x，
由相似三角形的性质得，
y 10 x y 4x
10
即 4( y 10) y
3y=40
40 y (cm ) 3 40 即圆锥母线长为 cm . 3
3、圆柱、圆锥、圆台的母线、底面半径与高的关系？ 作业：P209 习题2 1，5
圆柱、圆锥、圆台
名 称 侧 面 展 开 图 圆柱 圆锥 圆台
c l l
c/
l
c
c
侧 面 积
ห้องสมุดไป่ตู้
S侧=cl=2πrl
S侧=
1 cl 2
=πrl
S侧=
1 (c c / )l 2
=π(r+r/)l
设圆台的母线长为l，上、下底面的周长
为c/、c，半径分别是r/、r,求圆台的侧面积 解：S圆台侧 1 c(l x) 1 c / x
r
/
x c/ c
l
2 2 1 [cl (c c / ) x]. 2
⑴
r

例析
例2 如右图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径， 求球与圆
柱的体积之比.
解:（1）设球的半径为R，则圆柱的底面半径
为R，高为2R.
4 3
因为 V球
R ,V 圆柱
R2 2R 2 R3
3
所以 V球 : V圆柱
2
3
问题：球的表面积与圆柱的侧面积之比呢？
R O
练习
题型一：圆柱、圆锥、圆台的表面积
例1.(1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为1 ，2 ，过直线1 2 的平面截该圆
）
2.若圆柱的底面圆的直径与圆柱的高相等，则圆柱的侧面展开图是正方形. （
答案：√，×.
辨析2：若圆柱的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为(
A.2
答案：D.
B.3
C.
D.4
).
）
新知探索
割 圆 术
早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推
导圆的面积公式而发明了“倍边法割圆术”.
他用加倍的方式不断增加圆内接正多边形的
∴ = 5，∴ = × (2 + 6) × 5 + × 22 + × 62 = 40 + 4 + 36 = 80.
练习
题型二：圆柱、圆锥、圆台的体积
例2.(1)若一个圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，则圆柱与圆锥的体积
之比是(
).
A.1
B.1：2
C. 3：2
D.3：4
的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，则圆台的体
积为_____.
解：设上、下底面半径，母线长分别为，，.
作1 ⊥ 于点，则1 = 3，∠1 = 60°.
又∠1 = 90°，∴∠1 = 60°，∴ =

矩形的一边 所在直线
以直角三角形 的一条直角边 所在直线
以直角梯形的直角 腰所在直线
以半圆的直 径所在直线
[典例 1] 下列说法正确的是
()
A．圆锥的底面是圆面，侧面是曲面
B．用一张扇形的纸片可以卷成一个圆锥
C．一个物体上、下两个面是相等的圆面，那么它一定是一个圆柱
D．球面上四个不同的点一定不在同一平面内
解：因为△ABC 为等边三角形， 所以 BC＝6，所以 l＝2π×3＝6π. 根据底面圆的周长等于展开后扇形的弧长，得：6α＝6π. 故 α＝π，则 ∠B′AC＝π2， 所以 B′P＝ 36＋9＝3 5(m)， 所以小猫所经过的最短路程是 3 5 m.
∴dd11＋ －dd22＝ ＝13， 此方程组无解．
分析以上解题过程是否正确，若不正确，你能找出错因吗？
提示：平行截面有两种情况：在球心的两侧或同侧，以上解答漏掉一种情况． 正解如下： (1)平行截面在球心的同侧时，如图． 由(d1－d2)(d1＋d2)＝3.又 d1－d2＝1， ∴d1＋d2＝3.∴dd11＋ －dd22＝ ＝31， ， 解得dd12＝ ＝21， . ∴R＝ r21＋d21＝ 5＋4＝3，即球的半径等于 3. (2)同错解．故所求球的半径等于 3.
【对点练清】 1．若将本例选项 B 中的平面图形旋转一周，试说出它形成的几何体的结构特征．
解：①是直角三角形，旋转后形成圆锥；②是直角梯形，旋转 后形成圆台；③是矩形，旋转后形成圆柱，所以旋转后形成的 几何体如图所示．通过观察可知，该几何体是由一个圆锥、一 个圆台和一个圆柱自上而下拼接而成的．
2．描述下列几何体的结构特征．
2.如图所示，有一个底面半径为 1，高为 2 的圆柱体，在 A 点 处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱表面由 A 点爬到 B 点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？ 解：把圆柱的侧面沿 AB 剪开，然后展开成为平面图 形——矩形，如图所示，连接 AB′，则 AB′即为 蚂蚁爬行的最短距离． ∵AA′为底面圆的周长，∴AA′＝2π×1＝2π. 又 AB＝A′B′＝2， ∴AB′＝ A′B′2＋AA′2＝ 4＋2π2＝2 1＋π2， 即蚂蚁爬行的最短距离为 2 1＋π2.