《等比数列》必修优秀课件

是
三、等比中项
如果在 a 与 b 中间插入一个数 G ，使 a, G, b 成等比数列， 那么称这个数 G 为 a 与 b 的等比中项．
2 G ab ． a , b 即 G ab （ 同号）或
（1）只有两个同号的非零常数才有等比中项， G ab 0
2
（2）等比中项有两个值， G ab
（3）在等比数列中，若 m n p q ，则 am an a p aq ．
四、等比数列的性质
（4）若 {an } ， {bn } 均为等比数列，则 {an bn } ， {k an } (k 0) ，
1 1 { } 仍为等比数列，公比分别为 q1 q2 ， q1 ， ． an q1
32
a15 例 7、在等比数列 {an } 中， a5 a11 3, a3 a13 4 ，则 （ C ） a5
（A） 3
1 （B） 3
1 （C） 3 或 3
1 （D） 3 或 3
例 8、等差数列 an 中， d 0 ，且 a1 , a3 , a9 成等比数列，
a1 a3 a9 求 的值. a2 a4 a10
an 数列的公比，公比通常用字母 q 表示 q 0 ，即 q (q 0) ． an 1
（4） 0 q 1 时，当 a1 0 ， {an } 递减； a1 0 ， {an } 递增；
q 1 时，当 a1 0 ， {an } 递增； a1 0 ， {an } 递减；
类比思想
an am
an am qnm
例 1、在等比数列 {an } 中
1 （1） a1 ， q 3 ，求 a5 ． 2
（2） a7 512 ， q 2 ，求 a1 ．

字母q
表示(q. ≠0)
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2.等比数列定义的符号语言:
(q为常数，且q≠0 ；n∈N*)
[或
(q为常数，且q≠0 ；n≥2且n∈N*) ]
第8页，共42页。
练习
判断下列各组数列中哪些是等比数列，哪些
不是？如果是，写出首项a1和公比q, 如果不
是，说明理由。
(1) 1，3，9，27，… 是 a1=1, q=3
1.等差数列：银行利息按单利计算（利息没有利息） 本利和=本金×（1+利率×存期）
例如：存入10000元，利率为0.72%
存期 第一年 第二年 第三年 第四年
年初本金 10000 10000 10000 10000
年末本利和（元） 10000×（1+0.725×1） 10000×（1+0.725×2） 10000×（1+0.725×3） 10000×（1+0.725×4）
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等比数列的通项公式：叠乘法
a2 a3 a4 a5 ...... an an qn1
a1 a2 a3 a4
an1 a1
an a1q n1
等比数列注： （1）等比数列的首项不为0；
（2）等比数列的每一项都不为0，即 an 0
（3） q=1时，{an}为常数列；
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4.等比数列的通项公式：
以a1为首项，q为公比的等比数列{an}的通项
公式为： 5.等比数列通项公式的推广：
6.等比数列的公比公式：
7.等比数列通项公式的应用：知三求一
第17页，共42页。

解：设原来的三个数是 ：a, aq, aq 2
则必有(a2qaq
a 4)2
(aq 2 a(aq
32) 2 32)
① ②
由①得q 4a 2 a
代入②得a 2，q 5或a 2，q 13 9
故原来的三个数是：2,20,50或 2，26，338 99 9
例2、已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1. 1)求证数列{an+1}是等比数列; 2)求an的表达式
解：设首项为a1，公比为q，则有
a1 a1
q q
2 3
12 18
解得
q
3 2 ,a1
16 3
an
32 9
(
3 2
)
n，a
2
8
例2、在等比数列{an}中，已知a3=20，a6=160， 求an.
解：设等比数列{an}的公比为q,由题意得
aa11qq52
20 160
解得
q 2 a1 5
因此，an=5×2n-1
(二)等比数列的通项公式 由定义可知：
a2 q，a3 q，a4 q，，an1 q，an q
a1
a2
a3
an2
a n1
(n-1个等式)
观察上式，可以把每一个等式的左边 相乘，右边也相乘，等式还成立。
a2 a3 a4 an1 an q q q q
a1 a2 a3
an2 an1
1 q
4、等比数列所有奇数项符号相同； 所有偶数项符号相同。
(五)等比数列的性质
5、若{an },{bn }为项数相同的等比数列 ，则
(1)数列{c
a
n
},
{

02
等比数列的通项公式
等比数列的通项公式推导
01
02
03
定义等比数列
等比数列是一个序列，其 中任意两个相邻项的比值 都相等。
推导通项公式
假设等比数列的首项为 $a_1$，公比为$r$，则第 $n$项$a_n$的通项公式 为$a_n = a_1 times r^{(n-1)}$。
证明通项公式
通过数学归纳法或迭代法 证明通项公式的正确性。
等比数列课件
• 等比数列的定义与性质 • 等比数列的通项公式 • 等比数列的求和公式 • 等比数列的应用 • 习题与解答
01
等比数列的定义与性质
等比数列的定义
总结词
等比数列是一种特殊的数列，其 中任意两个相邻项之间的比值都 相等。
详细描述
等比数列中，任意两个相邻项的 商是常数，这个常数被称为公比 。在等比数列中，每一项都是前 一项与公比的乘积。
举例说明
通过具体的例子来解释等比数列求和公式的推导过程。
等比数列求和公式的应用
解决实际问题
等比数列求和公式在解决实际问题中有着广泛的应用，如金融、工程、物理等 领域。
举例说明
通过具体的例子来展示等比数列求和公式的应用。
等比数列求和公式的变体
等差数列与等比数列的关系
01
等差数列和等比数列是两种不同的数列，但它们之间存在一定
01
第三组数列是等比数列，因为相 邻两项的比值都是1/2。
02
第四组数列也是等比数列，因为 相邻两项的比值都是1/2。
习题二：等比数列的通项公式
01
题目：已知等比数列的首项为 a，公比为q，求第n项的通项
公式。
02
答案与解析

例3 在等比数列{an}中.
②要判(定1每)一已项，知不能有a例2外＝. 4，a5＝－21，求 an；
解 a2＝3a1－2×2＋3＝－4，a3＝3a2－2×3＋3＝－15.
所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，
a q＝4， 题型二 等比数列通项公式的应用
a与b的等比中项有 个，且互为__
解 设等比数列的公比为 q，则 网课结束日，学校见面时。 1 若an＋1＝qan，n∈N*，且q≠0，则{an}是等比数列. a q ＝－ . 对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的比都等于__; 2 (3)数列：-1，-2，-4，-8，-16，…
√C.①②④
解析 ①②显然是等比数列；
由于x可能为0，③不是；
a不能为0，④符合等比数列定义，故④是.
D.①②③④
命题角度2 已知递推公式判断是否为等比数列
例2 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1. (1)证明：数列{an＋1}是等比数列； 证明 ∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1).由a1＝1，知a1＋1≠0，从而an＋1≠0.
(2)－1,1,2,4,8，…； 解 记数列为{an}，显然a1＝－1，a2＝1，a3＝2，…， ∵aa21＝－1≠aa32＝2， ∴此数列不是等比数列. (3)a1，a2，a3，…，an，….
解 当a＝0时，数列为0,0,0，…是常数列，不是等比数列； 当a≠0时，数列为a1，a2，a3，a4，…，an，…， 显然此数列为等比数列，且公比为a.
3.等比数列的通项公式an＝a1qn－1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个 量可求得第四个量.
知识点四 等比数列的类型
思考：等比数列的公比与该数列的类型有关系吗？ (1)数列：1，2，4，8，16，… (2)数列：8,4,2,1, 1 , 1 , 1 ,

等比数列的应用
在数学中的应用
数学建模
等比数列是数学建模中常用的数 学工具，可以用来描述和解决各 种数学问题，如数列求和、数列
极限等。
金融计算
等比数列在金融领域的应用广泛， 如复利计算、贷款还款等，通过等 比数列的公式可以快速准确地计算 出结果。
统计学
在统计学中，等比数列常被用来描 述和预测数据分布，如人口增长、 股票价格波动等。
使用等比数列求和公式可 以大大简化计算过程，提 高计算效率。
推广到其他数列
等比数列求和公式的应用 不仅限于等比数列，还可 以推广到其他类型的数列。
实例解析
实例一
求1,2,4,8,16,...的前n项和。
实例二
求1,3,9,27,81,...的前n项和。
实例三
求2,4,8,16,...的前n项和。
05
通过观察数列1，4，16，64，...可以发现相邻两项的比值分别
为4，4，4，...，所以公比q = 4。
答案2
03
这四项分别为1/3, 2/3, 4/3, 8/3。
答案与解析
• 解析2：已知等比数列的公比为2，前四项和为1，设第一项为a， 则第二项为2a，第三项为4a，第四项为8a。根据等比数列前n 项和公式S_n = a * (q^n - 1) / (q - 1)，代入n=4, q=2, S_4=1，解得a = 1/3。因此这四项分别为1/3, 2/3, 4/3, 8/3。
等比数列公开课课件
• 引言 • 等比数列的定义与性质 • 等比数列的通项公式 • 等比数列的求和公式 • 等比数列的应用 • 习题与解答
01
引言
主题简介
定义
等比数列是一种常见的数列，其中任意两个相邻 项之间的比值是常数。

(3) (4) (5) (6)
公比 q=2 递增数列 公比 q=3 递增数列
1 , x , x , x , x , ( x 0 )
234
公比 d= x
1 公比 q= 递减数列 2
1 1 1 1 , , , , 2 4 8 16
5，5，5，5，5，5，… 1，-1，1，-1，1，…
公比 q=1 非零常数列 公 比q= -1 摆动数列
为0.
等比数列、等差数列定义比较
等比数列：如果一个数列从第2项起，每一项与它 的前一项的比等于同一个常数（指与n无关的数）， 这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数 列的公比，公比通常用字母q表示。 等差数列：如果一个数列从第2项起,每一项与它的 前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫 做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差,公差通 常用字母d来表示.
讨论
已知等比数列 （1） 首项
a n
a1
： 能不能是零？
Why? 不能！！！
（2）公比q能不能是零？
Why? 不能！！！
等比中项
观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个数就会成 为一个等比数列： （1）1，±3 ， 9 （3）-12， ±6 ，-3 （2）-1， ±2 ，-4 （4）1，±1 ，1
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列， 那么G叫做a与b的等比中项。
G ab G ab
2
等比中项与等差中项比较
G ab G ab
2
ab A 2
现给出等差中项的性质 1、在等差数列中，从第二项起,每 一项是相邻两项的等差中项。 2、在等差数列中，数列中的某一项 是与它“等距离”的两项的等差中 项。 你能类比中项的性质吗?可以用数学 式子表示吗?

的 公比 ，通常用字母 q 表示。
二、基础知识讲解
1、等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它
的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫
做等比数列。这个常数就叫做等比数列的公比， 公比
通常用字母 q 表示。 (q≠0) 等比数列的每一
思考：用数学符号语言（递推公式）项怎都样不表为示0等，比即
在等比数列{an}中 （1）an=akqn-k； （2）若m+n=k+l，则am·an =ak·al 在等比数列{an}中，若m+n=k+l，则am·an =ak·al
特别地，若m n 2k(m, n, k N * ), 则aman ak2
例1、在等比数列{an}中，an 0，且a1a9 64， a3 a7 20，求a11。
成等差数列的三个正数之和为15，若这三个数分别 加上1，3，9后又成等比数列，求这三个数。
一、复习回顾 1、等比数列的定义： 或
2、等比数列的通项公式： an=a1qn-1 3、等比数列的性质： ①an=a1qn-1=akqn-k；
a1q2 12 ①
a1，公比是
q，那么
设
a1q3 18 ②
把②的两边分别除以①的两边，得
q
3
③
把③代入①，得
a1
6 3
2
方
程列
思 想
因此，a2
a1q
16 3
3 2
8
求
二、基础知识讲解
3、等比数列的通项公式： an=a1qn-1
练习2：在等比数列{an}中，
（1）a1=3，an=192，q=2，求n；n=7
a3 a7 20，求a11。
解：依题意可得

a1 a2 a3 an1
化简得到 an a1qn1(n ≥ 2) ．
累乘法
又 a1 a1q0 a1q11 ，这就是说，当 n 1 时上式也成立．因此，
首项为 a1，公比为 q 的等比数列 {an}的通项公式为an a1qn1 ．
二、探究新知
探究： 类似于等差数列与一次函数的关系，等比数列可以与哪
(1) 3，9，15，21，27，33；
(2) 4，-8，16，-32，-128. q 2
(3)
1 3
，1，
6
1 9
，112
，1
15
，1
18
；
(4) 1，1.1，1.21，1.331，1.4641； q 1.1
课堂练习
思考 第(2)组与第(4)组数列，相邻三项有什么规律？ (2) 4，-8，16，-32，64，-128；
成等比数列．
同理由于 成等比数列．
a9 a5
q4 ，a5 a1
q4
，所以
a5 a1
a9 ．于是 a5
a1 ，a5 ，a9
1. 已知数列{an}是等比数列，a3 ，a5 ，a7 ，是否成 等比数列？为什么？ a1 ，a5 ，a9 呢？
解：设{an}的公比为 q ，则 a3 a1q2 ，a5 a1q4 ，a7 a1q6 ， 由于 a52 (a1q4 )2 a12q8 ，a3 a7 a1q2 a1q6 a12q8 ， 所以 a52 a3 a7 .于是 a3 ，a5 ，a7 成等比数列．
一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都 等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数
列的公比，公比通常用字母 q 表示(显然 q 0)．

an 数列的公比，公比通常用字母 q 表示 q 0 ，即 q (q 0) ． an 1
（4） 0 q 1 时，当 a1 0 ， {an } 递减； a1 0 ， {an } 递增；
q 1 时，当 a1 0 ， {an } 递增； a1 0 ， {an } 递减；
例 3、等比数列 an 中， a4 , a12 是方程 x 20 x 16 0 的两个根，
2
则 a4 与 a12 的等比中项为( C ) （A） 4 （B） 4 （C） 4 （D） 16
例 4、在各项都为正数的等比数列 {an } 中， a6 a10 a3 a5 41 ，
an （5）欲证等比数列，只需证 q (n 2) ， an1
还需说明 a1 0 ， q 0 ．
二、等比数列的通项公式
an q an 1
叠乘法
a2 q a1 a3 q a2 a4 q a3
不完全归纳法
a2 a1 q
a3 a2 q a1 q2
a4 a3 q a1 q3
（3）在等比数列中，若 m n p q ，则 am an a p aq ．
四、等比数列的性质
（4）若 {an } ， {bn } 均为等比数列，则 {an bn } ， {k an } (k 0) ，
1 1 { } 仍为等比数列，公比分别为 q1 q2 ， q1 ， ． an q1
a4 a8 4 ，则 a4 a8 （ B ）
（A） 6 （B） 7 （C） 8 （D） 9
四、等比数列的性质
（1）在一个等比数列中，从第 2 项起，每一项（有穷数列 的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项， 即 an an1 an1 (n 2) ．