第二十章一次函数知识点整理

第二十章一次函数专题20.3 一次函数的应用（第1课时）基础巩固一、单选题（共6小题）1.一辆货车与客车都从A地出发经过B地再到C地，总路程200千米，货车到B地卸货后再去C地，客车到B地部分旅客下车后再到C地，货车比客车晚出发10分钟，则以下4种说法：①货车与客车同时到达B地；②货车在卸货前后速度不变；③客车到B地之前的速度为20千米/时；④货车比客车早5分钟到达C地；4种说法中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【分析】①由函数图可以得出货车到达B地用时30分钟，客车到达B地用时40分钟，根据货车比客车晚出发10分钟就可以得出货车与客车同时到达B地；②分别求出货车卸货前后的速度并作比较就可以得出结论；③由路程÷时间＝速度就可以得出结论；④由函数图象可以得出货车到达C地的时间是80分钟，客车到达C地的时间是85分钟就可以得出，但是客车先出发了10分钟，故货车比客车晚5分钟到达C地．【解答】解：①函数图可以得出货车到达B地用时30分钟，客车到达B地用时40分钟，∵车比客车晚出发10分钟，∴货车与客车同时到达B地．故正确②货车在卸货前的速度为：80÷0.5＝160千米/时，货车在卸货后的速度为：120÷0.5＝240千米/时．∵160≠240，∴货车在卸货前后速度不相等．故错误；③客车到B地之前的速度为：80÷＝120千米/时≠20千米/时．故错误；④由函数图象可以得出货车到达C地所有时间是80分钟，客车到达C地所用时间是85分钟，∵客车先出发了10分钟，∴货车是客车出发90分钟后到达的C地，∴货车比客车晚5分钟到达C地．故错误．故选：A．【知识点】一次函数的应用2.一个有进水管和出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8min内既进水又出水，而后只出水不进水，直到水全部排出．假设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（L）与时间x（min）之间的关系如图所示，则下列说法错误的是（）A．每分钟的进水量为5升B．每分钟的出水量为3.75升C．OB的解析式为y＝5x（0≤x≤4）D．当x＝16时水全部排出【答案】D【分析】根据题意和函数图象可以求得每分钟的进水量和出水量，从而可以解答本题．【解答】解：由题意可得，每分钟的进水量为：20÷4＝5（L），∴OB的解析式为y＝5x（0≤x≤4）；每分钟的出水量为：[5×8﹣（30﹣20）]÷8＝3.75（L），30÷3.75＝8（min），8+12＝20（min），∴当x＝20时水全部排出．故选：D．【知识点】一次函数的应用3.甲乙两车从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y与时刻t的对应关系如图所示，则下列结论错误的是（）A．甲车的平均速度为60km/hB．乙车的平均速度为100km/hC．乙车比甲车先到B城D．乙车比甲车先出发1h【答案】D【分析】根据图象逐项分析判断即可．【解答】解：由图象知：A．甲车的平均速度为＝60km/h，故A选项不合题意；B．乙车的平均速度为＝100km/h，故B选项不合题意；C．甲10时到达B城，乙9时到达B城，所以乙比甲先到B城，故C选项不合题意；D．甲5时出发，乙6时出发，所以乙比甲晚出发1h，故此选项错误，故选：D．【知识点】一次函数的应用4.如图，表示甲、乙两人以相同路线前往离学校12千米的地方参加植树活动．甲、乙两人前往目的地所行驶的路程S（千米）随时间t（分）变化的函数图象，则每分钟乙比甲多行驶的路程是（）A．0.5千米B．1千米C．1.5千米D．2千米【答案】A【分析】分别根据甲、乙的图象计算出各自的速度即可求出每分钟乙比甲多行驶的路程．【解答】解：由甲的图象可知甲的速度为：12÷24＝0.5千米/分，由乙的图象可知乙的速度为：12÷（18﹣6）＝1千米/分，所以每分钟乙比甲多行驶的路程是0.5千米．故选：A．【知识点】一次函数的应用5.小明和小亮在同一条笔直的跑道上进行500米匀速跑步训练，他们从同一地点出发，先到达终点的人原地休息，已知小明先出发2秒，在跑步的过程中，小明和小亮的距离y（米）与小亮出发的时间x（秒）之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（）A．小明的速度是4米/秒B．小亮出发100秒时到达终点C．小明出发125秒时到达了终点D．小亮出发20秒时，小亮在小明前方10米【答案】D【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：由图可得，小明的速度为8÷2＝4（米/秒），故选项A正确；小亮出发100秒时到达终点，故选项B正确；小明出发500÷4＝125秒时到达终点，故选项C正确；小亮出发20秒时，小明走的路程是8+4×20＝88（米），小亮走的路程是500÷100×20＝100（米），此时小亮在小明前方100﹣88＝12米处，故选项D错误；故选：D．【知识点】一次函数的应用6.某市体育馆将举办明星足球赛，为此体育馆推出两种团体购票方案（设购票张数为x张，购票总价为y元）．方案一：购票总价由图中的折线OAB所表示的函数关系确定；方案二：提供8000元赞助后，每张票的票价为50元．则两种方案购票总价相同时，x的值为（）A．80B．120C．160D．200【答案】D【分析】根据题意，可以分别求得方案一和方案二对应的函数解析式，然后令它们的函数值相等，即可得到两种方案购票总价相同时，x的值．【解答】解：设OA段对应的函数解析式为y＝kx，12000＝100k，得k＝120，即OA段对应的函数解析式为y＝120x，设AB段对应的函数解析式为y＝ax+b，，得，即AB段对应的函数解析式为y＝60x+6000，由题意可得，方案二中y与x的函数关系式为y＝50x+8000，令50x+8000＝120x，得x＝，∵x为整数，∴x＝应舍去，令60x+6000＝50x+8000，得x＝200，即当x＝200时，两种方案购票总价相同，故选：D．【知识点】一次函数的应用二、填空题（共8小题）7.我国很多城市水资源缺乏，为了加强居民的节水意识，某自来水公司采取分段收费标准，某市居民月交水费y（元）与用水量x（吨）之间的关系如图所示，若某户居民4月份用水20吨，则应交水费元．【答案】44【分析】根据函数图象中的数据，可以求得超出10吨水时，每吨水的价格，从而可以计算出某户居民4月份用水20吨，则应交水费多少元．【解答】解：由图象可知，超出10吨的部分，每吨水的价格是（31﹣18）÷（15﹣10）＝2.6（元），当用水20吨时，应交水费：18+（20﹣10）×2.6＝44（元），故答案为：44．【知识点】一次函数的应用8.某衬衣定价为100元时，每月可卖出2000件，受成本影响，该衬衣需涨价，已知价格每上涨10元，销售量便减少50件．那么，每月售出衬衣的总件数y（件）与衬衣价格x（元）之间的关系式为．【答案】y=-5x+2500【分析】根据某衬衣定价为100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨10元，销售量便减少50件，即可得到月售出衬衣的总件数y（件）与衬衣价格x（元）之间的关系式．【解答】解：由题意可得，y＝2000﹣×50＝﹣5x+2500，故答案为：y＝﹣5x+2500．【知识点】一次函数的应用9.空气中传播的速度y（m/s）与气温x（℃）之间的关系式为y＝x+331；当x＝22℃时，某人看到烟花燃放5s后才听到声音，则此人与燃放烟花所在地的距离为m．【答案】1721【分析】根据题意，可以求得当x＝22℃时，对应速度y的值，然后根据路程＝速度×时间，即可得到当x ＝22℃时，某人看到烟花燃放5s后才听到声音，则此人与燃放烟花所在地的距离．【解答】解：当x＝22时，y＝×22+331＝344.2，则当x＝22℃时，某人看到烟花燃放5s后才听到声音，则此人与燃放烟花所在地的距离为：344.2×5＝1721（m），故答案为：1721．【知识点】一次函数的应用10.上海市居民用户燃气收费标准如表：年用气量（立方米）每立方米价格（元）第一档0﹣﹣﹣310 3.00第二档310（含）﹣﹣﹣520（含） 3.30第三档520以上 4.20某居民用户用气量在第一档，那么该用户每年燃气费y（元）与年用气量x（立方米）的函数关系式是．【答案】y=3x（0≤x＜310）【分析】根据该居民用户用气量在第一档，利用“总价＝单价×数量．”即可求出该用户每年燃气费y（元）与年用气量x（立方米）的函数关系式．【解答】解：根据题意得第一档燃气收费标准为3.00（元/立方米），∴该用户每年燃气费y（元）与年用气量x（立方米）的函数关系式是y＝3x（0≤x＜310）．故答案为：y＝3x（0≤x＜310）．【知识点】一次函数的应用11.“赛龙舟”是我国的一个传统运动项目．某天，甲乙两队在一个笔直的湖面进行“赛龙舟”比赛，全程300米．两队同时出发，刚出发，乙队就以明显优势领先，甲队发现形式不利，迅速调整比赛状态，把速度提升了，并以提升后的速度赛完全程，假设乙队全程是匀速比赛状态，甲队提速前和提速后也分别是匀速运动，甲、乙两队之间的距离y（米）与乙队行驶x（秒）之间的关系如图所示，则甲队到达终点时，乙队离终点还有米．【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以先求出乙的速度，再根据图象中的数据，可以求出甲开始的速度，从而可以得到甲提速后的速度，再根据图象中的数据，可以得到甲到达终点的时间，从而可人计算出甲队到达终点时，乙队离终点的距离．【解答】解：由图可得，乙队的速度为300÷100＝3（米/秒），设甲队开始的速度为a米/秒，15（3﹣a）＝（45﹣15）×[a（1+）﹣3]，解得a＝2，∴甲队提速后的速度为2×（1+）＝3.5（米/秒），∴甲队到达终点用的时间为：15+（300﹣15×2）÷3.5＝15+＝15+77＝92（秒），∴甲队到达终点时，乙队离终点还有3×（100﹣92）＝3×7＝3×＝（米），故答案为：．【知识点】一次函数的应用12.开学前夕，某服装厂接到为一所学校加工校服的任务，要求5天内加工完220套校服，服装厂安排甲、乙两车间共同完成加工任务，乙车间加工中途停工一段时间维修设备，然后改变加工效率继续加工，直到与甲车间同时完成加工任务为止，设甲乙两车间各自加工校服数量y（套）与甲车间加工时间x（天）之间的关系如图①所示；未加工校服w（套）与甲加工时间x（天）之间的关系如图②所示，请结合图象回答下列问题：（1）甲车间每天加工校服套；（2）乙车间维修设备后，乙车间加工校服数量y（套）与x（天）之间函数关系式是．【答案】【第1空】20【第2空】y=35x-55【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据，可以计算出甲车间每天加工校服数量；（2）根据函数图象中的数据，可以计算出乙车间维修设备后，乙车间加工校服数量y（套）与x（天）之间函数关系式．【解答】解：（1）由图①可得，甲车间每天加工校服：（220﹣120）÷5＝100÷5＝20（套），故答案为：20；（2）由图象可得，a＝（220﹣185）﹣20＝35﹣20＝15，设乙车间维修设备后，乙车间加工校服数量y（套）与x（天）之间函数关系式是y＝kx+b，∵点（2，15），（5，120）在函数y＝kx+b的图象上，∴，解得，即乙车间维修设备后，乙车间加工校服数量y（套）与x（天）之间函数关系式是y＝35x﹣55，故答案为：y＝35x﹣55．【知识点】一次函数的应用13.某市出租车计费办法如图所示，如果小张在该市乘坐出租车行驶了10千米，那么小张需要支付的车费为元．【答案】30.8【分析】设超过3千米的函数解析式为y＝kx+b，根据题意列出方程组，利用待定系数法求得解析式，然后把x＝10代入即可求得．【解答】解：由图象可知，出租车的起步价是14元，在3千米内只收起步价，设超过3千米的函数解析式为y＝kx+b，则，解得，∴超过3千米时（x＞3）所需费用y与x之间的函数关系式是y＝2.4x+6.8，∴出租车行驶了10千米则y＝2.4×10+6.8＝30.8（元），故答案为30.8．【知识点】一次函数的应用14.为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费的方法收费，每月收取水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数关系如图所示．按上述分段收费标准，小明家三、四月份分别交水费29元和18元，则四月份比三月份节约用水吨．【答案】4【分析】分别利用待定系数法求出y＝2x（0≤x＜10），y＝3x﹣10（x＞10），然后把y＝29和y＝18代入对应的函数关系式中求出对应的自变量x的值，再求差即可．【解答】解：设0≤x＜10的函数解析式为y＝mx，把（10，20）代入y＝kx得20＝10m，解得m＝2，所以y＝2x（0≤x＜10），把y＝18代入y＝2x，得x＝9，即四月份用了9吨水，设x＞10的函数解析式为y＝kx+b，把（10，20）和（20，50）代入y＝kx+b得，解得，所以y＝3x﹣10（x＞10），当y＝29时，把y＝29代入y＝3x﹣10得3x﹣10＝29，解得x＝13，即三月份用了13吨水，13﹣9＝4（吨），即四月份比三月份节约用水4吨．故答案为：4．【知识点】一次函数的应用拓展提升三、解答题（共6小题）15.甲、乙两人开车匀速从同一地点到距离出发地480千米处的景点旅游，甲出发半小时后，乙以每小时80千米的速度沿同一路线行驶，两车分别到达目的地后停止．甲、乙两车之间的距离y（千米）与甲车行驶的时间x（小时）之间的函数关系如图所示．（1）甲行驶的速度是千米/小时．（2）求乙车追上甲车后，y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）求甲车出发多长时间两车相距75千米．【答案】60【分析】（1）根据题意结合图象列式计算即可；（2）分别求出相应线段的两个端点的坐标，再运用待定系数法解答即可；（3）把y＝80代入（2）的结论解答即可．【解答】解：（1）甲行驶的速度为：30÷0.5＝60（千米/小时），故答案为：60．（2）如图所示：设甲出发x小时后被乙追上，根据题意得：60x＝80（x﹣0.5），解得x＝2，即甲出发2小时后被乙追上，∴点A的坐标为（2，0），480÷80+0.5＝6.5（时），即点B的坐标为（6.5，90），设AB的解析式为y＝kx+b，由点A，B的坐标可得：，解得，所以AB的解析式为y＝20x﹣40（2≤x≤6.5）；（3）根据题意得20x﹣40＝75或60x＝480﹣75，解得x＝或答：甲车出发小时或小时两车相距75千米．【知识点】一次函数的应用16.某种动物的身高y（dm）是其腿长x（dm）的一次函数．当动物的腿长为6dm时，身高为45.5dm；当动物的腿长为14dm时，身高为105.5dm．（1）写出y与x之间的关系式；（2）当该动物腿长10dm时，其身高为多少？【分析】（1）根据题意，可以先设出y与x的函数关系式为y＝kx+b，然后再根据当动物的腿长为6dm时，身高为45.5dm；当动物的腿长为14dm时，身高为105.5dm，即可求得该函数的解析式；（2）将x＝10代入（1）中的函数解析式，即可得到相应的身高．【解答】解：（1）设y与x之间的关系式为y＝kx+b，，得，即y与x之间的关系式是y＝7.5x+0.5；（2）当x＝10时，y＝7.5×10+0.5＝75.5，答：当该动物腿长10dm时，其身高为75.5dm．【知识点】一次函数的应用17.某市推出电脑上网包月制，每月收取费用y（元）与上网时间x（小时）的函数关系如图所示．其中BA是线段，且BA∥x轴，AC是射线．（1）当x≥30时，求y与x之间的函数关系式；（2）若小李4月份上网35小时，他应付多少元的上网费用？【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以得到当x≥30时，y与x之间的函数关系式；（2）将x＝35代入（1）中的函数解析式，即可求得小李4月份上网35小时，他应付多少元的上网费用．【解答】解：（1）设当x≥30时，y与x之间的函数关系式是y＝kx+b，，解得，，即当x≥30时，y与x之间的函数关系式是y＝3x﹣30；（2）当x＝35时，y＝3×35﹣30＝105﹣30＝75，即小李4月份上网35小时，他应付75元的上网费用．【知识点】一次函数的应用18.表示汽车性能的参数有很多，例如：长宽高、轴距、排量、功率、扭矩、转速、百公里油耗等等．为了了解某种车的耗油量，某专业检测人员对这种车在高速公路上做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，制成下表：汽车行驶时间t（h）0123…邮箱剩余油量Q（L）100948882…①根据上表可知，每小时耗油升；②根据上表的数据，写出用Q与t的关系式：；③汽车油箱中剩余油量为55L，则汽车行驶了小时．【答案】【第1空】6【第2空】Q=100-6t【第3空】7.5【分析】①根据表中数据即可得到结论；②由表格可知，开始油箱中的油为100L，每行驶1小时，油量减少6L，据此可得t与Q的关系式；③求汽车油箱中剩余油量为55L，则汽车行使了多少小时即是求当Q＝55时，t的值．【解答】解：（1）据上表可知，每小时耗油100﹣94＝6 升；（2）关键题意得：Q＝100﹣6t；（3）当Q＝55时，55＝100﹣6t，6t＝45，t＝7.5．答：汽车行使了7.5小时．故答案为：①6；②Q＝100﹣6t；③7.5．【知识点】一次函数的应用19.某地长途汽车客运公规定旅客可随携带一定质量的行李，如果超过规定需要购买行李票，行李票费用y元是行李质量xkg的一次函数，如图所示．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）求旅客最多可免费携带行李的质量是多少？【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式解答；（2）令y＝0时求出x的值即可．【解答】解：（1）由图可知，函数图象经过点（60，6），（80，10），所以，，解得；所以解析式为：y＝0.2x﹣6；（2）令y＝0，则0.2x﹣6＝0，解得x＝30，所以，旅客最多可免费携带行李的质量为30kg．【知识点】一次函数的应用20.为了迎接疫情彻底结束后的购物高峰，某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：运动鞋价格甲乙进价（元/双）m m﹣20售价（元/双）240160已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同．（1）求m的值；（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润＝售价﹣进价）不少于21700元，且甲种运动鞋的数量不超过100双，问该专卖店共有几种进货方案？（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？【分析】（1）用总价除以单价表示出购进鞋的数量，根据两种鞋的数量相等列出方程求解即可；（2）设购进甲种运动鞋x双，表示出乙种运动鞋（200﹣x）双，然后根据总利润列出一元一次不等式组，求出不等式组的解集后，再根据鞋的双数是正整数解答；（3）设总利润为W，根据总利润等于两种鞋的利润之和列式整理，然后根据一次函数的增减性分情况讨论求解即可．【解答】解：（1）依题意得，，整理得，3000（m﹣20）＝2400m，解得m＝100，经检验，m＝100是原分式方程的解，所以，m＝100；（2）设购进甲种运动鞋x双，则乙种运动鞋（200﹣x）双，根据题意得，，解得95≤x≤100，∵x是正整数，100﹣95+1＝6，∴共有6种方案；（3）设总利润为W，则W＝（240﹣100﹣a）x+80（200﹣x）＝（60﹣a）x+16000（95≤x≤100），①当50＜a＜60时，60﹣a＞0，W随x的增大而增大，所以，当x＝100时，W有最大值，W最大＝22000﹣100a，即此时应购进甲种运动鞋100双，购进乙种运动鞋100双；②当a＝60时，60﹣a＝0，W＝16000，（2）中所有方案获利都一样；W最大＝16000；③当60＜a＜70时，60﹣a＜0，W随x的增大而减小，所以，当x＝95时，W有最大值，W最大＝21700﹣92a；即此时应购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双．【知识点】一次函数的应用、一元一次不等式的应用、分式方程的应用。

第二十一章 一次函数总复习【基础知识汇总】1、正比例函数：一般表达式y=kx （k 为常数且k ≠0）；图像为过（0，0）与（1，k ）的一条直线2、一次函数：一般表达式y=kx+b （k 、b 为常数，且k ≠0）；图像是一条经过（0，k b -）与（0，b ）的直线。

其中（0，kb -）为直线与x 轴交点，（0，b ）为直线与y 轴交点。

对一次函数（包括正比例函数）的基本要求：必须为整式函数，自变量项的系数k 不为0，自变量的最高指数为1。

3、一次函数图像与坐标轴围成的三角形的面积：如右图所示： S △AOB=2OBOA ⋅=2b kb ⋅- 4、k 、b 与图像所在象限及增减性：k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限 b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限⇔⎩⎨⎧>>00b k 直线经过第一、二、三象限 ⇔⎩⎨⎧<>00b k 直线经过第一、三、四象限⇔⎩⎨⎧><0b k 直线经过第一、二、四象限 ⇔⎩⎨⎧<<0b k 直线经过第二、三、四象限增减性： k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小.b>0 b<0 b=0k>0经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限 经过第一、三象限图象从左到右上升，y 随x 的增大而增大k<0经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限 经过第二、四象限图象从左到右下降，y 随x 的增大而减小5、倾斜度：|k|越大，图象越接近于y 轴；|k|越小，图象越接近于x 轴.若两直线k 值相同，则两直线平行。

6、图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx 的图象向上平移b 个单位；当b<0时，将直线y=kx 的图象向下平移b 个单位 7、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；（2）将x 、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程； （3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式。

第二十章一次函数专题20.3 一次函数的应用（第2课时）基础巩固一、单选题（共6小题）1.已知弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数关系如图所示，则弹簧不挂物体时的长度为（）A．12cm B．11cm C．10cm D．9cm【答案】A【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以求得弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数关系式，然后将x＝0代入函数解析式求出相应的y的值，即可得到弹簧不挂物体时的长度，本题得以解决．【解答】解：设弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数关系式为y＝kx+b，∵该函数经过点（6，15），（20，22），∴，解得，即弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数关系式为y＝0.5x+12，当x＝0时，y＝12，即弹簧不挂物体时的长度为12cm，故选：A．【知识点】一次函数的应用2.如图，甲、乙两同学从A地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B地，他们离出发地的距离为S（km）和行驶时间t（h）之间的函数关系的图象如图所示，则下列结论错误的是（）A．A、B两地相距18kmB．甲在途中停留了0.5小时C．全程行驶时间乙比甲少用了1小时D．乙出发后0.5小时追上甲【答案】C【分析】利用函数图象，直接得出A、B两地的距离，还可得到甲出发0.5小时后停留了0.5小时；根据图象即可得出甲乙两人在全程所花的时间；根据图象中的信息可得乙出发后0.5小时追上甲．【解答】解：A．由图可得，s为18千米，即A、B两地的距离是18千米，故A选项不合题意；B．甲在0.5小时至1小时之间，S没有变化，说明甲在途中停留了0.5小时，故B选项不合题意；C．由图可得，甲行驶的时间为2小时，乙行驶的时间为1.5小时，所以全程乙比甲少用了0.5小时，故C选项符合题意；D．图中P点的实际意义是：甲，乙相遇，此时乙出发了0.5小时，故D选项不合题意．故选：C．【知识点】一次函数的应用3.一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车均匀速行驶并同时出发，设普通列车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），如图中的折线表示y与x之间的函数关系，下列说法：①动车的速度是270千米/小时；②点B的实际意义是两车出发后3小时相遇；③甲、乙两地相距1000千米；④普通列车从乙地到达甲地时间是9小时，其中不正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：①普通列车的速度是（千米/小时），设动车的速度为x千米/小时，根据题意，得：3x+3×＝1000，解得：x＝250，动车的速度为250千米/小时，故①错误；②如图，出发后3小时，两车之间的距离为0，可知点B的实际意义是两车出发后3小时相遇，故②正确；③由x＝0时，y＝1000知，甲地和乙地相距1000千米，故③正确；④由图象知x＝t时，动车到达乙地，∴x＝12时，普通列车到达甲地，即普通列车到达终点共需12小时，故④错误；故选：B．【知识点】一次函数的应用4.甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人之间的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，给出以下结论中错误的是（）A．乙的速度为5米/秒B．乙出发8秒钟将甲追上C．当乙到终点时，甲距离终点还有96米D．a对应的值为123【答案】C【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断出各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：由图象可得，乙的速度为：500÷100＝5（米/秒），故选项A正确；甲的速度为：8÷2＝4（米/秒），设乙出发x秒将追上甲，5x＝8+4x，得x＝8，故选项B正确；当乙到终点时，甲距离终点还有：500﹣（100+2）×4＝92（米），故选项C错误；a＝500÷4﹣2＝125﹣2＝123，故选项D正确；故选：C．【知识点】一次函数的应用5.如图，购买一种苹果，付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买5千克这种苹果比分五次每次购买1千克这种苹果可节省（）A．4 元B．5 元C．6 元D．7 元【答案】C【分析】利用待定系数法可分别求得直线OA、AB的函数解析式，再分别求得两种方式所需费用，即可求得答案．【解答】解：由图象可知A（2，20），B（4，36），设直线OA解析式为y＝kx，则2k＝20，解得k＝10，∴直线OA解析式为y＝10x（0≤x≤2），∴买1千克时，付款金额为y＝10×1，∴分五次购买1千克所需要费用为50元，设直线AB解析式为y＝tx+b，∴，解得，∴直线AB解析式为y＝8x+4（x＞2），∴当x＝5时，y＝44，即一次购买5千克所需费用为44元，∵50﹣44＝6，∴一次购买5千克这种苹果比分五次每次购买1千克这种苹果可节省6元，故选：C．【知识点】一次函数的应用6.甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人之间的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，给出以下结论：①a＝8；②b＝92；③c＝123．其中正确的是（）A．②③B．①②③C．①②D．①③【答案】B【分析】易得乙出发时，两人相距8m，除以时间2即为甲的速度；由于出现两人距离为0的情况，那么乙的速度较快．乙100s跑完总路程500可得乙的速度，进而求得100s时两人相距的距离可得b的值，同法求得两人距离为0时，相应的时间，让两人相距的距离除以甲的速度，再加上100即为c的值．【解答】解：甲的速度为：8÷2＝4（米/秒）；乙的速度为：500÷100＝5（米/秒）；b＝5×100﹣4×（100+2）＝92（米）；5a﹣4×（a+2）＝0，解得a＝8，c＝100+92÷4＝123（秒），∴正确的有①②③．故选：B．【知识点】一次函数的应用二、填空题（共8小题）7.某音像社对外出租的光盘的收费方法是：每张光盘出租后的头两天，每天收0.8元，以后每天收0.5元，那么一张光盘在出租后n天（n≥2）应收租金元．【答案】（0.5n+0.6）【分析】先求出出租后的头两天的租金，然后用“n﹣2”求出超出两天的天数，进而求出超出两天后的租金，然后用“头两天的租金+超出两天后的租金”解答即可．【解答】解：当租了n天（n≥2），则应收钱数：0.8×2+（n﹣2）×0.5，＝1.6+0.5n﹣1，＝0.5n+0.6（元）．答：共收租金（0.5n+0.6）元．故答案为：（0.5n+0.6）．【知识点】根据实际问题列一次函数关系式8.一个有进水管和出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8min内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（L）与时间x（min）之间的关系如图所示，则每分钟的出水量为L．【答案】3.75【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以先求出进水量，然后再根据图象中的数据，即可求得出水量，本题得以解决．【解答】解：由图象可得，每分钟的进水量为：20÷4＝5（L），每分钟的出水量为：5﹣（30﹣20）÷（12﹣4）＝5﹣10÷8＝5﹣1.25＝3.75（L），故答案为：3.75．【知识点】一次函数的应用9.如图，弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的关系是一次函数，则弹簧不挂物体时的长度为cm．【答案】12【分析】根据函数图象中的数据，可以计算出弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数关式，然后令x＝0求出相应的y的值，即可解答本题．【解答】解：设弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数关系式为y＝kx+b，，解得，，即弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数关系式为y＝0.5x+12，当x＝0时，y＝12，即弹簧不挂物体时的长度为12cm，故答案为：12．【知识点】一次函数的应用10.一列高铁列车从甲地匀速驶往乙地，一列特快列车从乙地匀速驶往甲地，两车同时出发，设特快列车行驶的时间为x（单位：时），特快列车与高铁列车之间的距离为y（单位：千米），y与x之间的函数关系如图所示，则图中线段CD所表示的y与x之间的函数关系式是．【答案】y=100x【分析】由函数图象可以直接得出甲、乙两地之间的距离为1200千米；先由条件可以得出高铁列车走完全程的时间，就可以求出高铁列车的速度，进而求出特快列车的速度而得出C的坐标，由待定系数法求出结论．【解答】解：由函数图象得：甲、乙两地之间的距离为1200千米，高铁列车速度为：1200÷12＝100（千米/时），高铁列车+特快列车＝1200÷3＝400（千米/时），特快列车＝400﹣100＝300（千米/时），特快列车走完全程时间为1200÷300＝4（小时），特快列车到达时高铁列车与特快列车相距4×100＝400千米，∴C（4，400）．设y CD＝kx+b（k≠0，k、b为常数），把（4，400），（12，1200）代入y CD＝kx+b中，有，解得，∴y＝100x．故答案为：y＝100x【知识点】一次函数的应用11.中国电信公司最近推出无线市话的收费标准如下：前3min（不足3min按3min计）收费0.2元，3min后每分钟收费0.1元，则通话一次的时间x（min）（x＞3）与这次通话费用y（元）之间的关系式﹣．【答案】y=0.1x-0.1【分析】根据：“话费＝三分钟以内的基本话费0.2+超过3分钟的时间×0.1”，把相关数值代入即可求解．【解答】解：根据题意可知：超过3分钟的话费为0.1×（x﹣3），则通话时间x分钟（x＞3）与通话费用y之间的函数关系是：y＝0.2+0.1（x﹣3）＝0.1x﹣0.1．故答案为：y＝0.1x﹣0.1【知识点】一次函数的应用12.已知声音在空气中传播的速度y（m/s）与气温x（℃）之间有这样的关系：y＝x+331．当声音的传播速度为343m/s时，则气温为℃．【答案】20【分析】把y＝343代入y＝x+331求出x即可．【解答】解：当y＝343时，即：343＝x+331．解得：x＝20，故答案为：20．【知识点】一次函数的应用13.一出租车油箱内剩余油42L，一般行驶一小时耗油7L，则该车油箱内剩余油量y（L）和行驶时间x（时）之间的函数关系式是（不写自变量取值范围）．【答案】y=42-7x【分析】根据剩余油量＝原有油量﹣用油量即可得出该车油箱内剩余油量y（L）和行驶时间x（时）之间的函数关系式．【解答】解：根据“剩余油量＝原有油量﹣用油量”可得：y＝42﹣7x．故答案为：y＝42﹣7x．【知识点】一次函数的应用14.某汽车生产厂对其生产的A型汽车进行油耗试验：匀速行驶的汽车在行驶过程中，油箱的剩余油量y（升）与行驶时间（小时）之间的关系如下表；t（小时）0123…y（升）100928476…由表格中y与t的关系可知，当汽车行驶小时，油箱的剩余油量为28升．【答案】9【分析】由表格可知，开始油箱中的油为100L，每行驶1小时，油量减少8L，据此可得y与t的关系式．【解答】解：由题意可得：y＝100﹣8t，当y＝28时，28＝100﹣8t解得：t＝9．故答案为：9．【知识点】一次函数的应用拓展提升三、解答题（共6小题）15.疫情过后地摊经济迅速兴起，小李以每千克2元的价格购进某种水果若干千克，销售一部分后，根据市场行情降价销售，销售额y（元）与销售量x（千克）之间的关系如图所示．（1）求降价后销售额y（元）与销售量x（千克）之间的函数表达式；（2）当销售量为多少千克时，小李销售此种水果的利润为150元？【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以得到降价后销售额y（元）与销售量x（千克）之间的函数表达式；（2）根据（1）中的函数关系式和题意，可以列出相应的方程，从而可以得到当销售量为多少千克时，小李销售此种水果的利润为150元．【解答】解：（1）设降价后销售额y（元）与销售量x（千克）之间的函数表达式是y＝kx+b，∵AB段过点（40，160），（80，260），∴，解得，，即降价后销售额y（元）与销售量x（千克）之间的函数表达式是y＝2.5x+60（x＞40）；（2）设当销售量为a千克时，小李销售此种水果的利润为150元，2.5a+60﹣2a＝150，解得，a＝180，答：当销售量为180千克时，小李销售此种水果的利润为150元．【知识点】一次函数的应用16.如图的图象反映的过程是：张明从家乘坐公交车去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后步行回家．图中x表示时间，y表示张明离家的距离，根据图象回答下列问题：（1）体育场到张明家的距离是千米，张明从体育场走到文具店用了分钟；（2）求直线DE的解析式．【答案】【第1空】2.5【第2空】15【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以写出体育场到张明家的距离和张明从体育场走到文具店用了多少分钟；（2）根据函数图象中的数据，可以求得直线DE的解析式．【解答】解：（1）由图象可得，体育场到张明家的距离是2.5千米，张明从体育场走到文具店用了45﹣30＝15（分钟），故答案为：2.5，15；（2）设直线DE的解析式为y＝kx+b，∵直线DE过点D（65，1.5），E（80，0），∴，解得，，即直线DE的解析式为y＝﹣x+8．【知识点】一次函数的应用17.如图的图象表示斑马和长颈鹿的奔跑情况．根据图象回答问题：（1）斑马的奔跑路程与奔跑时间是否成正比例？长颈鹿呢？（2）斑马和长颈鹿10分钟各跑多少千米？（3）斑马跑得快还是长颈鹿跑得快？第15分钟它们相距多少千米？【分析】（1）根据正比例的定义判断即可；（2）根据图象的点解答即可；（3）根据图象解答即可．【解答】解：（1）斑马的奔跑路程与奔跑时间成正比例；长颈鹿的奔跑路程与奔跑时间成正比例；（2）斑马10分钟跑12千米；长颈10分钟跑8千米；（3）由图象可知，斑马跑得快；第15分钟它们相距为：18﹣12＝6（km）．【知识点】一次函数的应用18.某商店销售一种成本为每千克30元的产品，据市场调查分析，若按每千克40元销售，一个月能出售500千克，当销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种情况，请解答以下问题：（1）设销售单价定为每千克x元（x≥40），月销售量为y千克，求y与x之间的函数关系式；（2）该商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？【分析】（1）根据月销售量＝500﹣10×（销售单价﹣40），即可得出y与x之间的函数关系式；（2）先由月销售成本不超过10000元，得出月销售量不超过10000÷30＝千克．再根据月销售利润达到8000元列出方程，进而求解即可．【解答】解：（1）根据题意得：y＝500﹣（x﹣40）×10＝﹣10x+900；（2）由于月销售成本不超过10000元，所以月销售量不超过10000÷30＝（千克）．根据题意得：（x﹣30）（﹣10x+900）＝8000，解得：x1＝50，x2＝70．当x1＝50时，﹣10×50+900＝400＞，舍去；当x2＝70时，﹣10×70+900＝200＜，符合题意．故销售单价定为70元．【知识点】一次函数的应用、一元二次方程的应用19.某水果市场销售一种香蕉．甲店的香蕉价格为4元/kg；乙店的香蕉价格为5元/kg，若一次购买6kg以上，超过6kg部分的价格打7折．（1）设购买香蕉xkg，付款金额y元，分别就两店的付款金额写出y关于x的函数解析式；（2）到哪家店购买香蕉更省钱？请说明理由．【分析】（1）根据题意列出函数关系式即可求出答案．（2）根据函数关系以及x的取值范围即可列出不等式进行判断．【解答】解：（1）甲商店：y＝4x乙商店：y＝．（2）当x＜6时，此时甲商店比较省钱，当x≥6时，令4x＝30+3.5（x﹣6），解得：x＝18，此时甲乙商店的费用一样，当x＜18时，此时甲商店比较省钱，当x＞18时，此时乙商店比较省钱．【知识点】一元一次不等式的应用、一次函数的应用20.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按拟定的价格进行试销，通过对5天的试销情况进行统计，得到如下数据：单价（元/件）3034384042销量（件）4032242016（1）通过对上面表格中的数据进行分析，发现销量y（件）与单价x（元/件）之间存在一次函数关系，求y关于x的函数关系式（不需要写出函数自变量的取值范围）；（2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然存在（1）中的关系，且该产品的成本是20元/件．为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少？（3）在（2）的条件下，为保证产品在实际试销中销售量不得低于30件，且工厂获得利润不得低于400元，请直接写出单价x的取值范围．【分析】（1）设y＝kx+b，根据表中数据，利用待定系数法求解可得；（2）设工厂获得的利润为w元，根据：“总利润＝每件利润×销售量”，列函数解析式并配方可得其最值情况；（3）根据销售量≥30件、获得的利润≥400元列不等式组，解不等式组可得．【解答】解：（1）设y＝kx+b，将x＝30、y＝40，x＝34、y＝32，代入y＝kx+b，得：，解得：，∴y关于x的函数关系式为：y＝﹣2x+100；（2）设定价为x元时，工厂获得的利润为w元，则w＝（x﹣20）•y＝﹣2x2+140x﹣2000＝﹣2（x﹣35）2+450∴当x＝35时，w的最大值为450元．（3）根据题意得：，解得：30≤x≤35．【知识点】一次函数的应用。

第二十章一次函数专题20.2 一次函数的图像与性质（第2课时）基础巩固一、单选题（共6小题）1.如图，直线y1＝x+b与y2＝kx﹣1相交于点P，若点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集是（）A．x≥﹣1B．x＞﹣1C．x≤﹣1D．x＜﹣1【答案】B【分析】观察函数图象得到当x＞﹣1时，函数y＝x+b的图象都在y＝kx﹣1的图象上方，所以不等式x+b ＞kx﹣1的解集为x＞﹣1．【解答】解：当x＞﹣1时，x+b＞kx﹣1，即不等式x+b＞kx﹣1的解集为x＞﹣1．故选：B．【知识点】一次函数与一元一次不等式2.下列四个函数中，y随x的增大而减小的是（）A．y＝3x B．y＝1+2x C．y＝1﹣2x D．y＝﹣1+x【答案】C【分析】根据k小于零时，y随x的增大而减小，可得答案．【解答】解：A、k＝3＞0，y随x的增大而增大，故A不符合题意；B、k＝2＞0，y随x的增大而增大，故B不符合题意；C、k＝﹣2＜0，y随x的增大而减小，故C符合题意；D、k＝1＞0，y随x的增大而增大，故C不符合题意；故选：C．【知识点】一次函数的性质、正比例函数的性质3.正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随着x增大而减小，则一次函数y＝x+k的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据自正比例函数的性质得到k＜0，然后根据一次函数的性质得到一次函数y＝x+k的图象经过第一、三、四象限．【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，∴k＜0，∵一次函数y＝x+k的一次项系数大于0，常数项小于0，∴一次函数y＝x+k的图象经过第一、三、四象限，故选：D．【知识点】正比例函数的性质、一次函数的性质、一次函数的图象4.如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点（﹣3，0），则（）A．b＜0B．方程kx+b＝0的解是x＝﹣3C．k＜0D．y随x的减小而增大【答案】B【分析】利用函数图象和一次函数的性质得到k＞0，b＞0，y随x的增大而增大，则可对A、C、D选项进行判断；利用自变量为﹣3对应的函数值为0可对B选项进行判断．【解答】解：∵一次函数图象经过第一、二、三象限，∴k＞0，b＞0，y随x的增大而增大，所以A、C、D选项错误；∵一次函数y＝kx+b的图象经过点（﹣3，0），∴x＝﹣3时，y＝0，即x＝﹣3为方程kx+b＝0的解，所以B选项正确．故选：B．【知识点】一次函数图象与系数的关系、一次函数与一元一次方程5.在直角坐标系中，点A（2，﹣3）、B（4，3）、C（5，a）在同一条直线上，则a的值是（）A．﹣6B．6C．6或3D．6或﹣6【答案】B【分析】根据点A，B的坐标，利用待定系数法可求出直线AB的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出a的值．【解答】解：设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0）．将A（2，﹣3），B（4，3）代入y＝kx+b得：，解得：，∴直线AB的解析式为y＝3x﹣9．当x＝5时，y＝3×5﹣9＝6，∴a＝6．故选：B．【知识点】一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式6.若直线y＝kx+3与直线y＝2x+b关于直线x＝1对称，则k、b值分别为（）A．k＝2、b＝﹣3B．k＝﹣2、b＝﹣3C．k＝﹣2、b＝1D．k＝﹣2、b＝﹣1【答案】D【分析】先求出一次函数y＝kx+3与y轴交点关于直线x＝1的对称点，得到b的值，再求出一次函数y＝2x+b与y轴交点关于直线x＝1的对称点，代入一次函数y＝kx+3，求出k的值即可．【解答】解：∵一次函数y＝kx+3与y轴交点为（0，3），∴点（0，3）关于直线x＝1的对称点为（2，3），代入直线y＝2x+b，可得4+b＝3，解得b＝﹣1，一次函数y＝2x﹣1与y轴交点为（0，﹣1），（0，﹣1）关于直线x＝1的对称点为（2，﹣1），代入直线y＝kx+3，可得2k+3＝﹣1，解得k＝﹣2．故选：D．【知识点】一次函数图象与几何变换二、填空题（共8小题）7.如图两条相交直线y1与y2的图象如图所示，当x时，y1＜y2．【答案】＞a【分析】观察函数图象，找出一次函数y1在y2的图象下方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：观察图象得：当x＞a时，y1＜y2；故答案为＞a．【知识点】一次函数与一元一次不等式8.已知一次函数y＝2x+b和y＝kx﹣3（k≠0）的图象相交于点P（4，﹣6），则二元一次方程组的解是．【分析】两个一次函数的交点坐标为P（4，﹣6），那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解．【解答】解：∵一次函数y＝2x+b和y＝kx﹣3（k≠0）的图象交于点P（4，﹣6），∴点P（4，﹣6）满足二元一次方程组，∴方程组的解是．故答案为．【知识点】一次函数与二元一次方程（组）9.若关于x的一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣1，0），则方程k（x+2）+b＝0的解为．【答案】-3【分析】把点A（﹣1，0）代入y＝kx+b，求得b＝k，所以方程变为k（x+2）+k＝0，即可求得方程的解．【解答】解：∵关于x的一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣1，0），∴﹣k+b＝0，∴b＝k，∴方程k（x+2）+b＝0化为方程k（x+2）+k＝0，∴k（x+3）＝0，∴x＝﹣3．故答案为﹣3．【知识点】一次函数与一元一次方程10.点P（a，b）在函数y＝3x+2的图象上，则代数式3a﹣b+1的值等于．【答案】-1【分析】把P（a，b）代入一次函数解析式得到b＝3a+2，然后把b＝3a+2代入3a﹣b+1后进行整式的加减运算即可．【解答】解：∵点P（a，b）在函数y＝3x+2的图象上，∴b＝3a+2，∴3a﹣b+1＝3a﹣（3a+2）+1＝3a﹣3a﹣2+1＝﹣1．故答案为﹣1．【知识点】一次函数图象上点的坐标特征11.如图，将直线OA向上平移2个单位长度，则平移后的直线的表达式为．【答案】y=2x+2【分析】利用待定系数法确定直线OA解析式，然后根据平移规律填空．【解答】解：设直线OA的解析式为：y＝kx，把（1，2）代入，得k＝2，则直线OA解析式是：y＝2x．将其上平移2个单位长度，则平移后的直线的表达式为：y＝2x+2．故答案是：y＝2x+2．【知识点】一次函数图象与几何变换12.点P为直线y＝x+2上的任意一点，O为原点，则OP的最小值为．【分析】设直线y＝x+2与y轴交于点A，与x轴交于点B，过点O作直线AB的垂线，垂足为点P，此时线段OP最小，分别将x＝0、y＝0代入一次函数解析式中求出与之对应的y、x值，进而即可得出OA、OB的长度，利用勾股定理即可得出AB的长度，再利用面积法即可求出OP的长度．【解答】解：设直线y＝x+2与y轴交于点A，与x轴交于点B，过点O作直线AB的垂线，垂足为点P，此时线段OP最小．当x＝0时，y＝2，∴点A（0，2），∴OA＝2；当y＝0时，求得x＝﹣2，∴点B（﹣2，0），∴OB＝2，∴AB＝2．∴OP＝＝＝．故答案为．【知识点】一次函数图象上点的坐标特征、垂线段最短13.已知：a、b、c是三个非负数，并且满足3a+2b+c＝6，2a+b﹣3c＝1，设m＝3a+b﹣7c，设s为m的最大值，则s的值为．【分析】先把c看作已知数，分别用c表示出a和b，让a≥0，b≥0列式求出c的取值范围，再求得m用c表示的形式，结合c的取值范围即可求得s的值．【解答】解：3a+2b+c＝6，2a+b﹣3c＝1，解得a＝7c﹣4，b＝9﹣11c；∵a≥0、b≥0，∴7c﹣4≥0，9﹣11c≥0，∴≤c≤．∵m＝3a+b﹣7c＝3c﹣3，∴m随c的增大而增大，∵c≤．∴当c取最大值，m有最大值，∴m的最大值为s＝3×﹣3＝﹣．故答案为﹣．【知识点】解三元一次方程组、一次函数的性质14.已知y是x的函数，其函数图象经过（1，2），并且当x＞0时，y随x的增大而减小．请写出一个满足上述条件的函数表达式：﹣．【答案】y=-x+3【分析】答案不唯一，根据已知写出一个即可．【解答】解：答案不唯一，如：y＝﹣x+3，故答案为：y＝﹣x+3．【知识点】反比例函数的性质、正比例函数的性质、一次函数的性质拓展提升三、解答题（共6小题）15.已知y＝y1+y2，且y1与x成反比例，y2与x﹣2成正比例，当x＝1时，y＝1；当x＝﹣3时，y＝13，求：（1）y与x之间的函数解析式；（2）当x＝3时，求y的值．【分析】（1）根据题意分别设出y1，y2，代入y＝y1+y2，表示出y与x的解析式，将已知两对值代入求出k 与b的值，确定出解析式；（2）将x＝3代入计算即可求出值．【解答】解：（1）根据题意设y1＝，y2＝b（x﹣2），即y＝y1+y2＝+b（x﹣2），将x＝1时，y＝1；x＝﹣3时，y＝13分别代入得：，解得：k＝﹣，b＝﹣，则y＝﹣﹣（x﹣2）；（2）当x＝3时，y＝﹣﹣＝﹣3．【知识点】待定系数法求一次函数解析式、一次函数的性质16.已知点（﹣4，2）在正比例函数y＝kx的图象上．（1）求该正比例函数的解析式；（2）若点（﹣1，m）在该函数的图象上，求出m的值．【分析】（1）把（﹣4，2）代入正比例函数y＝kx即可得出k的值；（2）把点（﹣1，m）代入y＝kx的图象上，即可求出m的值；【解答】解：（1）∵点（﹣4，2）在正比例函数y＝kx的图象上，∴﹣4k＝2，∴k＝﹣；∴该正比例函数的解析式为y＝﹣x；（2）∵点（﹣1，m）在函数y＝﹣x的图象上，∴m＝﹣×（﹣1），∴m＝．【知识点】一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求正比例函数解析式17.小颖根据学习函数的经验，对函数y＝|x﹣1|+1进行探讨．x…﹣2﹣101234…y…4321234…（1）若点A（m，6）和点B（b，6）是该函数图象上的两点，则a+b＝．（2）在平面直角型标系中画出以上表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象；（3）由图象可知，函数y＝|x﹣1|+1的最小值是；（4）由图象可知，当y≤4时，x的取值范围是．【答案】【第1空】2【第2空】1【第3空】-2≤x≤4【分析】（1）把y＝6代入＝|x﹣1|+1，即可求出a、b的值；（2）画出该函数的图象即可；（3）观察函数图象，可知函数的最小值；（4）根据图象即可求出当y≤4时，x的取值范围．【解答】解：（1）把y＝6代入＝|x﹣1|+1，得6＝|x﹣1|+1，解得x＝﹣4或6，∵A（﹣4，6），B（6，6）为该函数图象上不同的两点，∴a＝﹣4，b＝6，∴a+b＝2．故答案为2；（2）该函数的图象如图：（3）该函数的最小值为1；故答案为1；（4）∵y＝4时，则4＝|x﹣1|+1，解得，x＝﹣2或x＝4，由图象可知，当y≤4时，x的取值范围是﹣2≤x≤4．故答案为﹣2≤x≤4．【知识点】一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象18.已知直线y＝kx+b经过点（2，3）和（﹣4，1），求该直线的表达式．【分析】把点（2，3）和（﹣4，1）代入一次函数的解析式，列出方程组，解方程组便可求出其解析式．【解答】解：∵直线y＝kx+b经过点（2，3）和（﹣4，1），∴，解得．故该直线的解析式为y＝x+．【知识点】一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式19.已知直线a过点M（﹣1，﹣4.5），N（1，﹣1.5）．（1）求此直线的函数解析式；（2）求出此函数图象与x轴、y轴的交点A，B的坐标；（3）若直线a与b相交于点P（4，n），a，b与x轴围成的△P AC的面积为6，求出点C的坐标．【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）在解析式中令x＝0求得y，即可求得与y轴的交点坐标，在解析式中令y＝0，求得x的值，即可求得与x轴的交点坐标；（3）设C的横坐标是m，利用三角形的面积公式即可得到关于m的方程，即可求解．【解答】解：（1）设直线a的解析式为y＝kx+b，把M（﹣1，﹣4.5），N（1，﹣1.5）代入得：，解得：，则直线解析式为y＝1.5x﹣3；（2）令x＝0，得到y＝﹣3；令y＝0，得到x＝2，则A（2，0），B（0，﹣3）；（3）把P（4，n）代入y＝1.5x﹣3得：n＝3，即P（4，3），设C的横坐标是m，∵a，b与x轴围成的△P AC的面积为6，∴|m﹣2|×3＝6，解得：m＝﹣2，或m＝6．则C的坐标是：（﹣2，0）或（6，0）．【知识点】待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征20.已知直线y＝kx+b（k≠0）过点（1，2）（1）填空：b＝（用含k代数式表示）；（2）将此直线向下平移2个单位，设平移后的直线交x于点A，交y于点B，x轴上另有点C（1+k，0），使得△ABC的面积为2，求k值；（3）当1≤x≤3，函数值y总大于零，求k取值范围．【答案】2-k【分析】（1）把点（1，2）代入y＝kx+b（k≠0），得出k+b＝2，即b＝2﹣k；（2）把b＝2﹣k代入y＝kx+b，得y＝kx+2﹣k，根据上加下减的平移规律得出向下平移2个单位所得直线的解析式为y＝kx﹣k，求出A（1，0），B（0，﹣k），根据△ABC的面积为2列出方程k2＝2，解方程即可；（3）依题意，分两种情况讨论：ⅰ）当k＞0时，y随x增大而增大，得出k+2﹣k＝2＞0；ⅱ）当k＜0时，y随x增大而减小，得出3k+2﹣k＝2k+2＞0；分别解不等式即可．【解答】解：（1）∵直线y＝kx+b（k≠0）过点（1，2），∴k+b＝2，∴b＝2﹣k．故答案为2﹣k；（2）由（1）可得y＝kx+2﹣k，向下平移2个单位所得直线的解析式为y＝kx﹣k，令x＝0，得y＝﹣k，令y＝0，得x＝1，∴A（1，0），B（0，﹣k），∵C（1+k，0），∴AC＝|1+k﹣1|＝|k|，∴S△ABC＝AC•|y B|＝|k|•|﹣k|＝k2，∴k2＝2，解得k＝±2；（3）依题意，当自变量x在1≤x≤3变化时，函数值y的最小值大于0．分两种情况：ⅰ）当k＞0时，y随x增大而增大，∴当x＝1时，y有最小值，最小值为k+2﹣k＝2＞0，∴当k＞0时，函数值总大于0；ⅱ）当k＜0时，y随x增大而减小，∴当x＝3时，y有最小值，最小值为3k+2﹣k＝2k+2，由2k+2＞0得k＞﹣1，∴﹣1＜k＜0．综上，当k＞0或﹣1＜k＜0时，函数值y总大于0．【知识点】一次函数图象与几何变换、一次函数图象上点的坐标特征。

上海沪教版八年级数学上下册知识点梳理 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】上海市沪教版八年级数学上下册知识点梳理第十六章 二次根式第一节 二次根式的概念和性质二次根式1．二次根式的概念: 式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或0。

2．二次根式的性质 ①⎩⎨⎧≤-≥==)0()0(2a a a a a a ； ②)0()(2≥=a a a ③)0,0(≥≥⋅=b a b a ab ； ④)0,0(>≥=b a ba b a 最简二次根式与同类二次根式1. 被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．2.化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式二次根式的运算1.二次根式的加减:先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并．2.二次根式的乘法:等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即 ).0,0(≥≥=⋅b a ab b a3.二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式．4.二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化．二次根式的运算法则：(c ≥0)=a ≥0,b>0）n =≥0)第十七章 一元二次方程一元二次方程的概念1．只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程2．一般形式y=ax2+bx+c （a ≠0），称为一元二次方程的一般式，ax 叫做二次项,a 是二次项系数；bx 叫做一次项，b 是一次项系数；c 叫做常数项一元二次方程的解法1．特殊的一元二次方程的解法：开平方法，分解因式法2．一般的一元二次方程的解法：配方法、求根公式法3．求根公式2b x a -±=：1222b b x x a a-+--= , = ； △=24b ac -≥0一元二次方程的判别式1．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠：△＞0时，方程有两个不相等的实数根△＝0时，方程有两个相等的实数根△＜0时，方程没有实数根2．反过来说也是成立的一元二次方程的应用1．一般来说，如果二次三项式2ax bx c ++（0a ≠）通过因式分解得2ax bx c ++=12()()a x x x x --；1x 、2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根2．把二次三项式分解因式时；如果24b ac -≥0，那么先用公式法求出方程的两个实数根，再写出分解式如果24b ac -＜0，那么方程没有实数根，那此二次三项式在实数范围内不能分解因式3．实际问题：设，列，解，答第十八章 正比例函数和反比例函数．函数的概念1．在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量2．在某个变化过程中有两个变量，设为x 和y ，如果在变量x 的允许取之范围内，变量y 随变量x 的变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y 叫做变量x 的函数，x 叫做自变量3．表达两个变量之间依赖关系的数学是自称为函数解析式()y f x =4．函数的自变量允许取之的范围，叫做这个函数的定义域；如果变量y 是自变量x 的函数，那么对于x 在定义域内去顶的一个值a ，变量y 的对应值叫做当x=a 时的函数值正比例函数1． 如果两个变量每一组对应值的比是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成正比例2．正比例函数:解析式形如y=kx （k 是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，气质常数k 叫做比例系数；正比例函数的定义域是一切实数3．对于一个函数()y f x =，如果一个图形上任意一点的坐标都满足关系式()y f x =，同时以这个函数解析式所确定的x 与y 的任意一组对应值为坐标的点都在图形上，那么这个图形叫做函数()y f x =的图像4．一般地，正比例函数y kx =(0)k k ≠是常数且的图像时经过原点O （0,0）和点（1，k ）的一条直线，我们把正比例函数y kx =的图像叫做直线y kx =5． 正比例函数y kx =(0)k k ≠是常数且有如下性质：（1）当k ＜0时，正比例函数的图像经过一、三象限，自变量x 的值逐渐增大时，y 的值也随着逐渐增大（2）当k ＜0时 ，正比例函数的图像经过二、四象限，自变量x 的值逐渐增大时，y 的值则随着逐渐减小反比例函数1．如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例2．解析式形如(0)k y k k x=≠是常数,的函数叫做反比例函数，其中k 也叫做反比例系数反比例函数的定义域是不等于零的一切实数3．反比例函数(0)k y k k x=≠是常数,有如下性质： （1）当k ＞0时，函数图像的两支分别在第一、三象限，在每一个象限内，当自变量x 的值逐渐增大时，y 的值则随着逐渐减小（2）当k ＜0时 ，函数图像的两支分别在第二、四象限，在每一个象限内。