基本不等式及应用
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基本不等式及应用
一、考纲要求:
1.了解基本不等式的证明过程.
2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
3.了解证明不等式的基本方法——综合法.
(1)a 2+b 2≥2ab (a ,b ∈R) (2)ab ≤(a +b 2
)2(a ,b ∈R) (3)a 2+b 22≥(a +b 2)2(a ,b ∈R) (4)b a +a b
≥2(a ,b 同号且不为零) 上述四个不等式等号成立的条件都是a =b.
四、算术平均数与几何平均数
设a>0,b>0,则a ,b 的算术平均数为a +b 2
,几何平均数为ab ,基本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
四个“平均数”的大小关系;a ,b ∈R+
: 当且仅当a =
b 时取等号.
五、利用基本不等式求最值:设x ,y 都是正数. (1)如果积xy 是定值P ,那么当x =y 时和x +y 有最小值2P.
(2)如果和x +y 是定值S ,那么当x =y 时积xy
有最大值14
S 2. 强调:1、在使用“和为常数,积有最大值”和“积为常数,和有最小值”这两个结论时,应把握三点:“一正、二定、三相等、四最值”.当条件不完全具备时,应创造条件.
正:两项必须都是正数;
定:求两项和的最小值,它们的积应为定值;求两项积的最大值,它们的和应为定值。
等:等号成立的条件必须存在.
2、当利用基本不等式求最大(小)值等号取不到时,如何处理?(若最值取不到可考虑函数的单调性.)
想一想:错在哪里? +≤≤2a b ≤+2ab a b
1.已知函数,求函数的最小值和此时x 的取值.x x x f 1)(+=1:()22112.f x x x x x x =+≥===±解当且仅当即时函数取到最小值2.已知函数,求函数的最小值.)2(23)(>-+=x x x x f 3()2223326f x x x x x x x =+≥->⎧⎪=⎨=⎪-⎩解:当且仅当即时,函数的最小值是
3、已知两正数x ,y 满足x +y =1,则z =(x +1x )(y +1y )的最小值为________. 解一:因为对a>0,恒有a +1a ≥2,从而z =(x +1x )(y +1y
)≥4,所以z 的最小值是4. 解二:z =2+x 2y 2-2xy xy =(2xy +xy)-2≥22xy
·xy -2=2(2-1),所以z 的最小值是2(2-1). 【错因分析】 错解一和错解二的错误原因是等号成立的条件不具备,因此使用基本不等式一定要验证等号成立的条件,只有等号成立时,所求出的最值才是正确的.
【正确解答】 z =(x +1x )(y +1y )=xy +1xy +y x +x y =xy +1xy +x +y 2-2xy xy =2xy
+xy -2, 令t =xy ,则0 有最小值334,所以当x =y =12时z 有最小值254 . 误区警示: (1)在利用基本不等式求最值(值域)时,过多地关注形式上的满足,极容易忽视符号和等号成立条件的 满足,这是造成解题失误的重要原因.如函数y =1+2x +3x (x<0)有最大值1-26而不是有最小值1+2 6. (2)当多次使用基本不等式时,一定要注意每次是否都能保证等号成立,并且要注意取等号条件的一致性,否则就会出错. 课堂纠错补练: 若0 的最小值为________. 解析:令sinx =t,0 在(0,1]单调递减,∴t =1时y min =5. 答案:5 考点1 利用基本不等式证明不等式 1.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况,其实质就是从已知的不等式入手,借助不等式性质和基本不等式,经过逐步的逻辑推理,最后推得所证问题,其特征是“由因导果”. 2.证明不等式时要注意灵活变形,多次利用基本不等式时,注意每次等号是否都成立.同时也要注意应用基本不等式的变形形式. 例1:(1)已知c b a ,,均为正数,求证:)(2 22222c b a abc a c c b b a ++≥++ (2)已知c b a ,,为不全相等的正数,求证:abc a c ac c b bc b a ab 6)()()(>+++++ (3)已知a>0,b>0,a +b =1,求证:1a +1b ≥4. 【证明】 (1)∵a>0,b>0,a +b =1, ∴1a +1b =a +b a +a +b b =2+b a +a b ≥2+2b a ·a b =4(当且仅当a =b =12 时等号成立). ∴1a +1b ≥4.∴原不等式成立. 练习:已知a 、b 、c 为正实数,且a +b +c =1,求证:(1a -1)(1b -1)(1c -1)≥8. 证明:∵a 、b 、c 均为正实数,且a +b +c =1, ∴(1a -1)(1b -1)(1c -1) = 1-a 1-b 1-c abc =b +c a +c a + b ab c ≥2bc ·2ac ·2ab abc =8. 当且仅当a =b =c =13 时取等号. 考点2 利用基本不等式求最值 (1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧,而拆与凑的目标在于使等号成立,且每项为正值,必要时需出现积为定值或和为定值. (2)当多次使用基本不等式时,一定要注意每次是否能保证等号成立,并且要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错,因此在利用基本不等式处理问题时,列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤,而且也是检验转换是否有误的一种方法. 例4: (1)设0 【分析】 由和或积为定值从而利用基本不等式求最值,然后确定取得最值的条件 【解】 (1)∵0 ∴y =x 4-2x =2·x 2-x ≤2·x +2-x 2 =2, 当且仅当x =2-x 即x =1时取等号, ∴当x =1时,函数y =x 4-2x 的最大值是 2. (2) x>0,求f(x)=12x +3x 的最小值; (3)已知:x>0,y>0.且2x+5y=20,求 xy 的最大值.