绝对值(2)

2.3 绝对值学习目标1．会借助数轴，理解绝对值和相反数的概念。

2．知道| a|的含义以及互为相反数的两个数在数轴上的位置关系。

3．会求一个数的绝对值和相反数，能用绝对值比较两个负数的大小。

知识详解1．相反数（1）相反数的定义像4和－4,3和－3,2.5和－2.5等这样只有符号不同的两个数，我们称其中一个数是另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数，特别地，0的相反数是0。

相反数的理解：①相反数“只有符号不同”，即符号相反，数字相同，不能误理解为“只要符号不同”就行，例如：－1与2符号不同，但不是互为相反数②相反数是成对出现的，不能单独存在．例如，5是－5的相反数，－5也是5的相反数③0的相反数为0是相反数定义的重要组成部分。

（2）相反数的求法求一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“－”号，就表示这个数的相反数。

一个有理数a，它的相反数是多少呢?有理数a的相反数是－a.这里a可以表示任意一个数，可以是正数，可以是0，可以是负数，还可以是一个式子．比如：当a＝2时，－a＝－2,2与－2是互为相反数；当a＝－1时，－a＝－(－1)，因为－1的相反数是1，所以－(－1)＝1；当a＝m＋n时，－a＝－(m ＋n)，所以m＋n的相反数是－(m＋n)．（3）相反数的几何意义一对相反数在数轴上对应的点，位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。

2．绝对值（1）绝对值的几何定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值。

①绝对值是一个数在数轴上的对应点离开原点的长度，如图中，点－4距离原点4个单位长度，则－4的绝对值就是4②绝对值是一个距离。

（2）绝对值的表示方法一个数a的绝对值记作|a|，读作a的绝对值．如，＋4的绝对值记作|＋4|，－8的绝对值记作|－8|。

（3）绝对值的代数意义①一个正数的绝对值是它本身；②一个负数的绝对值是它的相反数；③0的绝对值是0。

用式子表示为：|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，a>0，0，a ＝0，－a ，a<0.3．绝对值的性质（1）数轴上表示某个数的点到原点的距离越近，它的绝对值就越小，到原点的距离越远，它的绝对值就越大。

第4讲绝对值（2）
绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题．
一、典型例题分析
例1已知x＜-3，化简：｜3+｜2-｜1+x｜｜｜．
例2若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值．
例3化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜．
二、专项练习
练习1.已知y=｜2x+6｜+｜x-1｜-4｜x+1｜，求y的最大值．
练习2.设a＜b＜c＜d，求｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜+｜x-d｜的最小值．
练习3.若2x+｜4-5x｜+｜1-3x｜+4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值．
三、巩固练习
1．x是什么实数时，下列等式成立：
(1)｜(x-2)+(x-4)｜=｜x-2｜+｜x-4｜；
(2)｜(7x+6)(3x-5)｜=(7x+6)(3x-5)．
2．化简下列各式：
(2)｜x+5｜+｜x-7｜+｜x+10｜．
3．已知y=｜x+3｜+｜x-2｜-｜3x-9｜，求y的最大值．
4．设T=｜x-p｜+｜x-15｜+｜x-p-15｜，其中0＜p＜15，对于满足p≤x≤15的x来说，T的最小值是多少？
5．不相等的有理数a，b，c在数轴上的对应点分别为A，B，C，如果｜a-b｜+｜b-c｜=｜a-c｜，那么B点应为( )．
(1)在A，C点的右边；
(2)在A，C点的左边；
(3)在A，C点之间；
(4)以上三种情况都有可能．。

4
【解析】(1)化简，得-(-1)=1，因为正数大于0， 所以1>0，即-(-1)>0. (2)化简，得-(+3)=-3，因为正数大于负数，所以-3<2， 即-(+3)<2.
(3)化简，得-(+ 4 )=- 4 ,-|- 3 |=- 3 .这是两个负数比较大小,
5 5
4 4
先求它们的绝对值.
|- 4 |= 4 = 16 ，|- 3 |= 3 = 15 .
20
5
5
20
因为 5 > 4 ,即|- 1 |>|- 1 |，所以- 1 ＜- 1 .
20 20
4
5
4
5
【想一想错在哪？】比较大小：- 2 与- 3 .
5 7
提示：错在两个负数比较大小时，绝对值大的那个负数大，应 为绝对值大的反而小.
2.比较下列各对数的大小： (1)-(-1)和0. (2)-(+3)和2. (3)-(+ 4 )和-|- 3 |.
1.2.4 绝 对 值
第2课时
（1）一个正数的绝对值是它本身；
（2）零的绝对值是零； （3）一个负数的绝对值是它的相反数。
a 即：︱a︱= 0
-a
(a＞0) (a=0)
(a＜0)
1、
3 ＝
-3
0.27 ＝
+0.27
26 ＝
a 8
- 26
- 24＝
-8或 8
- 24
观察下图给出的未来一周中每天的最高气温和最低气温，其
中最低的是___℃，最高的是__℃，将这 -4 9 14个温度按从低到高的
顺序排列为________________________________. -4<-3<-2<-1<0<1<2<3<4<5<6<7<8<9

§2.3绝对值〔2〕二、教学目标1、使学生进一步掌握绝对值概念；2、使学生掌握利用绝对值比较两个负数的大小；3、注意培养学生的推时论证能力 三、教学重点和难点负数大小比较 四、教学手段现代课堂教学手段 五、教学方法启发式教学 六、教学过程〔一〕、从学生原有认知结构提出问题1、计算：|+15|；|-31|；|0| 2、计算：|21-31|;|-21-31|.3、比较-(-5)和-|-5|，+(-5)和+|-5|的大小4、哪个数的绝对值等于0?等于31?等于-1? 5、绝对值小于3的数有哪些?绝对值小于3的整数有哪几个? 6、a ，b 所表示的数如以下列图，求|a|，|b|，|a+b|，|b-a| 7、假设|a|+|b-1|=0，求a ，b这一组题从不同角度提出问题，以使学生进一步掌握绝对值概念 解：1、|+15|=15，|-31|=31，|0|=0让学生口答这样做的依据 2、|21-31|=|61|=61|，|-21-31=-〔-21-31〕。

说明：“| |〞有两重作用，即绝对值和括号3、因为-(-5)=5，-|-5|=-5，5＞-5， 所以-(-5)＞-|-5|。

这里需讲清一个问题，即-(-5)和-|-5|的读法，让学生熟悉，-(-5)读作-5的相反数，-|-5|读作-5绝对值的相反数因为+(-5)=-5，+|-5|=，-5＜5， 所以+(-5)＜+|-5|4、0的绝对值等于0，±31的绝对值等于31，没有什么数的绝对值等于-1(为什么?)用符号语言表示应为：|0|=0，|+31|=31|，|-31|=31。

这里应再次强调绝对值是数轴上的点与原点的距离，并指出距离是非负量5、绝对值小于3的数是从-3到3中间的所有的有理数，有无数多个；但绝对值小于3的整数只有五个：-2，-1，0，1，2用符号语言表示应为：因为|x|＜3，所以-3＜x ＜3如果x 是整数，那么x=-2，-1，0，1，26、由数轴上a 、b 的位置可以知道a ＜0，b ＞0，且|a|＜|b| 所以|a|=-a ，|b|=b ，|a+b|=a+b ，|b-a|=b-a 7、假设a+b=0，那么a ，b 互为相反数或a ，b 都是0，因为绝对值非负，所以只有|a|=0，|b-1|=0，由绝对值意义得a=0，b-1=0用符号语言表示应为：因为|a|+|b-1|=0，所以a=0，b-1=0， 所以a=0，b=1〔二〕、师生共同探索利用绝对值比较负数大小的法那么 利用数轴我们已经会比较有理数的大小由上面数轴，我们可以知道c ＜b ＜a ，其中b ，c 都是负数，它们的绝对值哪个大?显然c ＞b 引导学生得出结论：两个负数，绝对值大的反而小这样以后在比较负数大小时就不必每次再画数轴了 〔三〕、运用举例 变式练习 例1 比较-421与-|—3|的大小 例2 a ＞b ＞0，比较a ，-a ，b ，-b 的大小 例3 比较-32与-43的大小 课堂练习1、比较以下每对数的大小：32与52；|2|与36；-61与112；73-与52-2、比较以下每对数的大小： -107与-103；-21与-31；-51与-201；-21与-32〔四〕、小结先由学生表达比较有理数大小的两种方法——利用数轴比较大小；利用绝对值比较大小，然后教师引导学生得出：比较两个有理数的大小，实际上是由符号与绝对值两方面来确定学习了绝对值以后，就可以不必利用数轴来比较两个有理数的大小了 七、练习设计1、判断以下各式是否正确：(1)|-01|＜|-001|； (2)|-31|＜41； (3) 32＜43-； (4)81＞-712、比较以下每对数的大小：(1)-85与-83；(2)-113与-0273；(3)-73与-94；(4)- 65与-1110；(5)- 32与-53；(6)- 97与-1193、写出绝对值大于3而小于8的所有整数4、你能说出符合以下条件的字母表示什么数吗? (1)|a|=a ； (2)|a|=-a ； (3)xx =-1； (4)a ＞-a ；(5)|a|≥a ； (6)-y ＞0； (7)-a ＜0； (8)a+b=05假设|a+1|+|b-a|=0，求a ，b 八、板书设计2．3绝对值〔2〕〔一〕知识回忆 〔三〕例题解析 〔五〕课堂小结例1、例2〔二〕观察发现 〔四〕课堂练习 练习设计九、教学后记在传授知识的同时，一定要重视学科根本思想方法的教学关于这一点，布鲁纳有过精彩的论述他指出，掌握数学思想和方法可以使数学更容易理解和更容易记忆，更重要的是领会数学思想和方法是通向迁移大道的“光明之路〞，如果把数学思想和方法学好了，在数学思想和方法的指导下运用数学方法驾驭数学知识，就能培养学生的数学能力不但使数学学习变得容易，而且会使得别的学科容易学习显然，按照布鲁纳的观点，数学教学就不能就知识论知识，而是要使学生掌握数学最根本的东西，用数学思想和方法统摄具体知识，具体解决问题的方法，逐步形成和开展数学能力为了使学生掌握必要的数学思想和方法，需要在教学中结合内容逐步渗透，而不能脱离内窬形式地传授本课中，我们有意识地突出“分类讨论〞这一数学思想方法，以期使学生对此有一个初步的认识与了解平行四边形的性质总体说明〔1〕本节的主要内容包含平行四边形的性质。

学科：数学 教学内容：绝对值【基础知识精讲】1．给出一个数，能求出它的绝对值． 2．会利用绝对值比较两个负数的大小．【重点难点解析】 明确绝对值的意义一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与原点的距离，这就是绝对值的几何意义，即表示数a 的点是P ，则一定是|a|=OP ．绝对值的代数定义是：设a 为有理数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(||a a a a a a即一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值为0，注意对于任何有理数a ，都有0||≥a ，在今后的学习中很重要．A ．重点、难点提示B ．考点指要绝对值是初中数学的一个重要内容，也是中考的必考内容之一。

一个数的绝对值与这个数的关系：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

比较两个负数的大小，可利用绝对值比较，也可以利用数轴比较。

【难题巧解点拨】例1 求下列各数的绝对值： －32，53+，0，－2.1 解：32|32|=-，5353=+，|0|=0，|－2.1|=2.1。

例2 比较下列各组数的大小：（1）－1与0 （2）－1与－2 （3）32-与－2.1 解：（1）因为－1在数轴上的对应点在0在数轴上的对应点的左边，所以－1<0。

（2）因为|－1|=1，|－2|=2，1<2，所以－2<－1。

（3）在为3232=-，|－2.1|=2.1，1.232<，所以321.2-<-。

（两个负数的比较，转化成了它们的绝对值的大小的比较，即两个正数的大小的比较，这就是化归转化的思想）注：比较两个有理数的大小，还可以应用数轴比较，这样较直观。

方便，同学们不妨试一试。

例3 已知a>b>0，试比较－a 与－b 的大小。

解法一：因为a>b>0，所以－a<0，－b<0， 而|－a|=a ，|－b|=b ，又a>b ，所以－a<－b 。

绝对值基础练习（2）附答案1、判断题：⑴、|-a|=|a|.⑵、-|0|=0.⑶、|-3|=-3.⑷、-(-5)›-|-5|.⑸、如果a=4,那么|a|=4.⑹、如果|a|=4,那么a=4.⑺、任何一个有理数的绝对值都是正数.⑻、绝对值小于3的整数有2, 1, 0.⑼、-a一定小于0.⑽、如果|a|=|b|,那么a=b.⑾、绝对值等于本身的数是正数.⑿、只有1的倒数等于它本身.⒀、若|-X|=5，则X=-5.⒁、数轴上原点两旁的点所表示的两个数是互为相反数.⒂、一个数的绝对值等于它的相反数，那么这个数一定是负数.2、填空题：⑴、当a_____0时，-a›0;⑵、当a_____0时，‹0;⑶、当a_____0时，-›0;⑷、当a_____0时，|a|›0;⑸、当a_____0时，-a›a;⑹、当a_____0时，-a=a;⑺、当a‹0时，|a|=______;⑻、绝对值小于4的整数有_____________________________；⑼、如果m‹n‹0,那么|m|____|n|;⑽、当k+3=0时，|k|=_____;⑾、若a、b都是负数，且|a|›|b|,则a____b;⑿、|m-2|=1,则m=_________;⒀、若|x|=x,则x=________;⒁、倒数和绝对值都等于它本身的数是__________;⒂、有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则|a|=___;|b|=____;⒃、-2的相反数是_______，倒数是______，绝对值是_______；⒄、绝对值小于10的整数有_____个，其中最小的一个是_____；⒅、一个数的绝对值的相反数是-0.04，这个数是_______；⒆、若a、b互为相反数，则|a|____|b|;⒇、若|a|=|b|,则a和b的关系为__________.3、选择题：⑴、下列说法中，错误的是_____A．+5的绝对值等于5 B.绝对值等于5 的数是5C．-5的绝对值是5 D.+5、-5的绝对值相等⑵、如果|a|=||,那么a与b之间的关系是A.a与b互为倒数Ｂ．ａ与ｂ互为相反数Ｃ．ａ〮ｂ＝－１Ｄ．ａ〮ｂ＝１或ａ〮ｂ＝－１⑶、绝对值最小的有理数是_______A．1 B.0 C.-1 D.不存在⑷、如果a+b=0,下列格式不一定成立的是_______A．a= B.|a|=|b| C.a=-b D.a⑸、如果a,那么_______A．|a|‹0 B.-(-a)›0 C.|a|›0 D.-a‹0⑹、有理数a、b在数轴上的对应点的位置，分别在原点的两旁，那么|a|与|b|之间的大小关系是_______A．|a|›|b| B.|a|‹|b| C.|a|=|b| D.无法确定⑺、下列说法正确的是________A．一个数的相反数一定是负数 B.两个符号不同的数叫互为相反数C．|-(+x)|=x D.-|-2|=-2⑻、绝对值最小的整数是_______A．-1 B.1 C.0 D.不存在⑼、下列比较大小正确的是_______A． B.-(-21)‹+(-21) C.-|-10|›8 D.-|-7|=-(-)⑽、绝对值小于3的负数的个数有______A.2B.3C.4D.无数⑾、若a、b为有理数，那么下列结论中一定正确的是_____A．若a‹b,则|a|‹|b| B.若a›b,则|a|›|b|C.若a=b,则|a|=|b|D.若a≠b,则|a|≠|b|4、计算下列各题：⑴、|-8|-|-5| ⑵、（-3）+|-3| ⑶、|-9|（+5）D、15|-3|5、填表a12-a -5 7 + -(0.1)|a| 0 126、比较下列各组数的大小：⑴、-3与-；⑵、-0.5与|-2.5|；⑶、0与-|-9|; ⑷、|-3.5|与-3.57、把下列各数用“‹”连接起来：⑴、5，0，|-3|，-3，|-|，-（-8），-;⑵、1，-，0，-6；⑶、|-5|，-6，-（-5），-（-10），-|-10|⑷（|+|）（-）=-10，求Ｏ、，其中O和表示整数.8、比较下列各组数的大小：⑴、-（-9）与-（-8）；⑵、|-|与50 ⑶、-与-3.14 ⑷、-与-0.273答案：1.⑴、√⑵、√⑶、×⑷、√⑸、√⑹、×⑺、×⑻、×⑼、×⑽、×⑾、×⑿、×⒀、×⒁、×⒂、×2.⑴‹⑵‹⑶‹⑷≠⑸‹⑹= ⑺-a ⑻±1，±2，±3，0⑼、＞⑽3 ⑾‹⑿3或1 ⒀≧0 ⒁1 ⒂-a、b ⒃2 ⒄19 -9 ⒅±0.04 ⒆⒇相等或互为相反数3.⑴B ⑵D ⑶B ⑷A ⑸C ⑹D ⑺D ⑻C ⑼A ⑽D ⑾C4.⑴3 ⑵0 ⑶45 ⑷55a 5 0 -7 - 0.1-a - 0 -12|a| 5 7 0.16.⑴‹⑵‹⑶›⑷›7.⑴‹-3‹0‹|-|‹|-3|‹5‹-（-8）；⑵-6‹-5‹0‹1；⑶-|-10|‹-6‹-|-5|‹|-5|‹-（-10）；⑷5，5，1或1，1，5或-1，-1，5或-5，-5， 18.⑴›⑵‹⑶‹⑷›。

1.2.4 绝 对 值(2)
你能比较的大小：- 2 与 - 3 .
5
7
1、把这些数在数轴上表示出来，那么它们的各点在数轴 上的顺序是怎样的？ 2、观察图中给出的未来一周中每天的最高气温和最低气 温，其中最低的是___℃，最高的是__℃.
【总结】
1.正数_大__于__0，0大__于___负数，正数大__于___负数. 2.两个负数，绝对值大的反而_小__.
(3)-(+ 4 )和-|- 3 |.
5
4
【归纳】含有括号(或绝对值符号)的有理数的大小比较 (1)比较含有括号(或绝对值符号)的有理数的大小时,先将原数 进行化简. (2)确定属于“正数与正数，正数与负数，正数与0，负数与0， 负数与负数”中的哪一类. (3)根据相应的法则进行大小比较.
题组二：借助数轴比较有理数的大小
1.有理数a,b在数轴上的位置如图所示，那么a,b,a,-b的大小关系是( )
A.a>b>-b>-a C.-b>a>b>-a
B.-a<b<-b<a D.-a<-b<a<b
2.已知a，b是不为0的有理数，且|a|=-a，|b|=b,|a|>|b|， 那么用数轴上的点来表示a,b时，正确的是( )
3.有理数m,n在数轴上的位置如图所示, 比较大小:-m______-n.
(2)-(+0.01)与0.
(3)-(-4 3 )与-(+ 3 ).
5
7
(4)- 1 与- 1 .
45
【思路点拨】化简符号→归类→运用法则进行比较.
【总结归纳】有理数大小的比较 1.在有理数中，任取两个数，有五种情况： (1)两个正数.(2)正数和零.(3)零和负数.(4)正数和负数.(5)两个 负数. 2.应用法则：(1)两个正数比较大小，绝对值大的数大.(2)正数大 于零，零大于负数.(3)两个负数比较大小，先分别求出两个数的 绝对值，并比较绝对值的大小，再根据“两个负数，绝对值大的 反而小”进行比较.

课前展示：
-5 -5 -4
-3
-2
-1
0
1
2
3
绝对值：在数轴上一个数所对应的点与 1、一个数的绝对值是2，则这个数为 原点之间的距离。 _____ 注意：任何有理数的绝对值都不是负数。 2、 求下列各数的绝对值： 口答：（每人5分） -7.8 ， -21， + ， 0， 1、一个数的绝对值为36，则这个数 以下同学到旁边黑板展示： 为—— 王小艺、石润蕾、宋雪娜 2、若︱m︱=3,则m=———— 注意：（1）标明小组（2）字要写的大一些（3）尽量靠
3
因为- 5在–1左边,所以 - 5﹤ - 1 ； -2.7 -5 -4 -3 -2 -1
5 6
0
1
2
3
5 5 因为- 2.7在 - 6 的左边，所以- 2.7﹤ - 6
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
绝对值小于3的正整数有——
解题思路：
1、先在数轴上找到绝对值等于3的点所对应的数， 即到原点的距离为3的点。
上写
正数的绝对值是它本身;
求下列各数的绝对值：
负数的绝对值是它的相反数; . -21， + ， 0， -7.8
解:
0的绝对值是0.
︱0︱=0 ；
︱-21︱=21 ；
︱ + 4 ︱= 4
9
9
；
任何一个有理数的绝对值都是正数或0
口答： （1）一个数的绝对值是它本身,那么这个数 想一想： 正数或0 一定是__________. 一个数的绝对值与这个数有什么关系 （2）一个数的绝对值是它的相反数,那么这 ? 负数或0 个数一定是__________.

第五讲 绝对值（二）例1.如果c b a ,,是非零有理数，求ccb b a a ++的值. 解析： 由于c b a ,,的取值各有两种情况，所以去掉a ，b ，c 的绝对值情况，共要考虑八种情况.根据对称性，则只要考虑 c b a ,,全正、一负二正、一正二负、全负的四种情况.解：（1）当c b a ,,都是正数时，ccb b a a ++=3111=++； （2）当c b a ,,都是负数时，ccb b a a ++=3)1()1(1-=-+-+-； （3）当c b a ,,为一负二正时，ccb b a a ++=1111=++-； （4）当c b a ,,为一正二负时，ccb b a a ++1)1()1(1-=-+-+=. 综上所述，ccb b a a ++的值为1±或3±.例2. 已知b 为正整数，且b a ,满足142=+-b a ，求b a 的值.解：因为b 为正整数，042≥-a ，由条件，得⎩⎨⎧=-=0421a b ， 即⎩⎨⎧==21a b所以2=ba .例3. 若02≤≤-a ，化简.22-++a a解析；利用绝对值的代数定义进行化简.解；202,02,02<-≤-≥+∴≤≤-a a a则 4)2()2(22=--+=+++a a a a例4. 化简325-++x x .解析：化简本题的关键是去掉两个绝对值符号.只去掉一个绝对值很容易，但为了同时去掉两个绝对值符号，先找到5+x 的零点5-和32-x 的零点23这两个点，这两个点恰好将数轴分为三个部分，我们就分这三种情况进行讨论.解：当5-<x 时，原式=23)32()5(--=--+-x x x.当235<≤-x 时， 原式=8)32()5(+-=--+x x x .当23≥x 时， 原式=23)32()5(+=-++x x x综上所述，原式=⎪⎩⎪⎨⎧++---,23,8,23x x x例5. 若,b a b a +=-试求b a 、应满足什么关系。

1.2.4绝对值（2）：有理数比较大小：（1）利用数轴比较大小：右边的大于左边（2）正数＞0.0＞负数，正数＞负数；负数与负数比较，绝对值大的反而小。

自主学习二：1.阅读p12页总结判断有理数大小的方法。

例1：比较下列数的大小。

（1）—0.7和—70 （2）8-09和（3）43和（4）—（—6）和—|—6|（5）7887—和—（6）56-，45-，115-练一练：比较下列各数的大小。

（1）—9.1和—9.099 （2）—8和|—8| （3）—|—3.2| 和—（+3.2）（4）5768—和—1．在7，-6，-14，0，-23，0.01中，绝对值小于1的数是________． 2．绝对值最小的有理数是_______，绝对值最小的负整数是________．3.│-2005│的倒数是________．4．（1）表示负数的点都在原点______侧；绝对值越大的负数，•表示它离原点就越________，因此，两个负数，绝对值大的反而_______；（2）大于-2且小于7的整数是______，其中偶数是_______．（3）相反数大于-3的正整数是________．（4）绝对值大于2且小于7的整数有_______．5. 绝对值小于π的整数有______________________6. 当0a >时，a ＝_________，当0a <时，a ＝_________，7. 如果3a >，则3a -＝__________，3a -＝___________.8. 若1xx =，则x 是_______数；若1xx =-，则x 是_______（选填“正”或“负”）数；9．设a 是最大负整数的相反数，b 是最小自然数，•c•是绝对值最小的有理数，•则a 、b 、c 三个数的和为（ ）A ．1B ．0C ．-1D ．210．下列判断，正确的是（ ）A ．若│a │=│b │，则a=bB ．若│a │>│b │，则a>bC ．若│a │<│b │，则a<bD ．若a=b ，则│a │=│b │11.设a 是实数，则|a|－a 的值（ ）A 、可以是负数B 、不可能是负数C 、必是正数D 、可以是正数也可以是负数12.如果甲数的绝对值大于乙数的绝对值，那么 （ ）A 、甲数必定大于乙数B 、甲数必定小于乙数C 、甲、乙两数一定异号D 、甲、乙两数的大小，要根据具体值确定13.在有理数-π，0，│-（-313）│，-│+1000│，-（-5）中最大的数是（ ） A ．0 B ．-（-5） C ．-│+1000│ D ．-π14. 比较-0.5，-15，0.5的大小，应有（ ）A ．-15>-0.5>0.5 B ．0.5>-15>-0.5 C ．-0.5>-15>0.5 D ．0.5>-0.5>-15 15. 2--的倒数是（ ）A 、2 B 、12 C 、12- D 、－2 16. 若a 与2互为相反数，则|a ＋2|等于( )A 、0B 、－2C 、2D 、417. 实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，那么化简|a-b|-a 的结果是A 、2a-bB 、bC 、-bD 、-2a+b18．把-3.5，│-2│，-1.5，0的绝对值，313，-3.5•的相反数按从大到小的顺序排列起来．19．比较下列各组数的大小．（1）-34与-0.76； （2）-310与-311； （3）-313与-3310；（4）-│-3.5│与-[-（-3.5）]． （5）-（-5）与-│-5│； （6）-（+3）与0；（7）-45与-│-34│； （8）-π与-│3.14│．自主探究：（针对性练习）1.已知420x y -++=，求x ，y 的值b O a2.（信息处理题）已知a b 、互为相反数，c d 、互为倒数，m 的绝对值等于2，求2a b m cd a b c++-++的值.3.(章节内知识点综合题)有理数a b c 、、在数轴上的位置如图所示，化简0a b c -+--0b ac4.已知有理数a 为正数，b 、c 为负数，且│c │>│b │>│a │，用“<”把a 、b 、•c 、-a 、-b 、-c 连接起来．5.．设a=20022003，b=20032004，c=20042005，比较a ，b ，c 的大小．（提示：用整数1分别减去a ，b ，c ）6．比较-58与0.626363．7．设a=-19199191，b=-1991，试比较a ，b 的大小．8.（课标创新题）已知a b c 、、都是有理数，且满足a b c a b c ++＝1，求代数式：6abc abc-的值.自我检测：一、填空题1．一个数a 与原点的距离叫做该数的_______．2．若a<0，b<0，且│a │>│b │，那么a ，b 的大小关系是________．3．－|－76|=_______，－（－76）=_______，－|+31|=_______，－（+31）=_______， +|－（21）| =_______，+（－21）=_______． 4．_______的倒数是它本身，_______的绝对值是它本身．5．a+b=0，则a 与b_______．6．若|x|=51，则x 的相反数是_______． 7．若|m －1|=m －1，则m_______1．若|m －1|>m －1，则m_______1．若|x|=|－4|，则x=_______．若|－x|=|21 |，则x=_______． 二、选择题1．|x|=2，则这个数是（ ）A ．2B ．2和－2C ．－2D ．以上都错2．|21a|=－21a ，则a 一定是（ ） A ．负数 B ．正数 C ．非正数 D ．非负数3．一个数在数轴上对应点到原点的距离为m ，则这个数为（ ）A ．－mB ．mC ．±mD ．2m4．如果一个数的绝对值等于这个数的相反数，那么这个数是（ ）A ．正数B ．负数C ．正数、零D ．负数、零5．下列说法中，正确的是（ ）A ．一个有理数的绝对值不小于它自身B ．若两个有理数的绝对值相等，则这两个数相等C ．若两个有理数的绝对值相等，则这两个数互为相反数D ．－a 的绝对值等于a三、判断题1．若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等．（ ）2．若两个数相等，则这两个数的绝对值也相等．（ ）3．若x<y<0，则|x|<|y|． （ ）四、解答题1．若|x －2|+|y+3|+|z －5|=0，计算：x ，y ，z 的值．2．若2<a<4，化简|2－a|+|a －4|．3.（1）对于式子|x|+13，当x等于什么值时，有最小值？最小值是多少？（2）对于式子2-|x|，当x等于什么值时，有最大值？最大值是多少。

1.2.4 绝对值第1课时绝对值【教学目标】（一）知识技能1.使学生掌握有理数的绝对值概念及表示方法。

2.使学生熟练掌握有理数绝对值的求法和有关计算问题。

（二）过程方法1.在绝对值概念形成的过程中，渗透数形结合等思想方法，并注意培养学生的概括能力。

2.能根据一个数的绝对值表示“距离”，初步理解绝对值的概念。

3.给出一个数，能求它的绝对值。

（三）情感态度从上节课学的相反数到本节的绝对值，使学生感知数学知识具有普遍的联系性。

教学重点给出一个数会求它的绝对值。

教学难点绝对值的几何意义，代数定义的导出；负数的绝对值是它的相反数。

【情景引入】问题：两辆汽车，第一辆沿公路向东行驶了5千米，第二辆向西行驶了4千米．为了表示行驶的方向(规定向东为正)和所在位置，分别记作+5千米和-4千米．这样，利用有理数就可以明确表示每辆汽车在公路上的位置了．我们知道，出租汽车是计程收费的，这时我们只需要考虑汽车行驶的距离，不需要考虑方向．当不考虑方向时，两辆汽车行驶的距离就可以记为5千米和4千米(在图上标出距离)．这里的5叫做+5的绝对值，4叫做-4的绝对值．【教学过程】1．绝对值的定义：我们把在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值)。

记作|a|。

例如，在数轴上表示数―6与表示数6的点与原点的距离都是6，所以―6和6的绝对值都是6，记作|―6|=|6|=6。

同样可知|―4|=4，|+1.7|=1.7。

2．试一试：你能从中发现什么规律? 由绝对值的意义，我们可以知道：1= ，|+8.2|= ；(2)|0|= ；(1)|+2|= ，5(3)|―3|= ，|―0.2|= ，|―8.2|= 。

概括：通过对具体数的绝对值的讨论，并注意观察在原点右边的点表示的数（正数）的绝对值有什么特点？在原点左边的点表示的数（负数）的绝对值又有什么特点？由学生分类讨论，归纳出数a的绝对值的一般规律：（1）一个正数的绝对值是它本身；（2）0的绝对值是0；（3）一个负数的绝对值是它的相反数。

绝对值（一）【预习引领】两辆汽车从同一处O 出发,分别向东、西方行驶10km,到达A 、B 两处． （1）它们的行驶路线相同吗 （2）它们行驶路程的远近相同吗 答:（1）不相同；(2)相同.【要点梳理】知识点一:绝对值的意义1.绝对值的几何意义：一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作a ，读作：a 的绝对值.例1 利用数轴求下列各数的绝对值. （1）2+，15，5.3； （2）0；（3）5-，2.3-，312. 答:(1)2+=2;51=51; 5.3=5.3； (2) 0=0;(3) 5-=5; 2.3-=; 312=312. 2.绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.例2 直接写出下列各数的绝对值.6，8-， 3.9-，52，10，0，6-，8，3.9，52-，10-答: 6=6, 8-=8, 9.3-=,25=25;10=10; 0=0;6-=6, 8=8, 9.3=, 25-=25;10-=10; 0=0;小结：（1）对任一个有理数，绝对值只能为正数或0，不可能为负数，即0a ≥. （2）两个互为相反数的绝对值 ，绝对值相等的两个数 . （3）绝对值为正数的有理数有 类，它们 ；绝对值为0的有理数是 .答:(2)相等,相等或互为相反数.(3)两，正数与负数；0； 例3 判断下列说法哪些是正确的： （1）符号相反的数互为相反数；（2）符号相反且绝对值相等的两个数互为相反数； （3）一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠右； （4）不相等的两个数，其绝对值也不相等； （5）绝对值最小的有理数是0． 答案：（2）（5）知识点二：绝对值的求法()()(),00,0,0a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩例4 求下列各数的绝对值：162-，1325-，3π-，2． 答案：216-=216；21535321-=-；33-=-ππ；2=2; 例5 填空：（1）绝对值小于4的正整数有 .（2）绝对值大于2而小于5的所有整数是 . （3）如果一个数的绝对值是13，那么这个数是 ． （4）若x x =-，则x 为 数.答案：（1）3，2，1；（2）±3，±4；（3）±13；（4）负数与0； 例6 计算下列各式： ⑴52---⑵30.7724-÷ 答：（1）原式=5－2=3；（2）原式=÷432=；☆例8 ⑴若0a b +=，则a = ，b = .⑵若73120x y -+-=， 则x = ，y = . 答案：（1）0，0；（2）7，4；【课堂操练】1.152-的绝对值是 ，0的绝对值是 ，绝对值为2的数是 . 1. 215，0，±2；2. 1.5-= ,10-= ,2+= , 2.5-+= .，10，2，－；3.⑴一个数的绝对值和相反数都是它本身，这个数是 ； ⑵绝对值小于3.2的整数有 ； ⑶123-的相反数是 ，绝对值是 ； ⑷ 使5=x 成立的x 的值是 .3.（1）0；（2）3，2，1，0，－1，－2，－3；（3）4.在数轴上到数3所表示的点距离为5的点所表示的数是 . 或－2；5.绝对值相等的两个数在数轴上对应的两点之间的距离为6，则这两个数为 . 5．3与－3；6.若0m >，则m m += ； 若0m <，则m m += ； 若0m =，则m m += . 6．2m ，0，0；7. （2011北京市，1，4分）34-的绝对值是( ) A ．43- B ．43 C ．34- D ． 348．（2011浙江丽水，4，3分）有四包真空小包装火腿，每包以标准克数(450克)为基数，超过的克数记作正数，不足的克数记作负数，以下数据是记录结果，其中表示实际克数最接近标准克数的是（ ） A ．＋2B ．－3C ．＋3D ．＋49.若1aa=，则a （ ） A ．是正数或负数；B ．是正数； C ．是有理数； D ．是正整数. 9．B10.计算下列各题: ⑴216-+-;⑵20082008--.10．（1）原式=21+6=27；（2）原式=2008－2008=0； ☆11．若73120x y -+-=，求x 、y 的值.11．由题意可知，x －7=0，3y －12=0，解得：x=7；y=4；12.某摩托车配件厂生产一批圆形的橡胶垫，从中抽取6件进行比较，比标准直径长的毫米记作正数，比标准直径短的毫米记作负数，检查记录如下表：（1）找出哪个些零件的质量相对好一些，用绝对值的知识加以解释.（2）若规定与标准直径相差不超过为合格品，则6件产品中有几件是不合格品12．（1）第4个；绝对值越小，说明此配件与标准配件越接近；（2）第1个与第5个不合格，所以共有2件是不合格的产品；【课后盘点】1. （2011浙江省舟山，1，3分）－6的绝对值是（ ） A. －6 C.61 D.－61 1．B2.一个有理数的相反数与自身的绝对值的 和 （ ） A ．可能是负数； B ．必是正数； C ．必为非负数； D ．必为0. 2．C3．式子3π--等于 （ ） A ．3π- B ．3π+ C.3π- D ．3π-- 3．C4.某运动员在东西走向的公路上练习跑步，跑步情况记录如下：（向东为正，单位：米）1000，－1200，1100，－800，1400，则该运动员跑步的总路程为 （ ） A ．1500米 B ．5500米 C ．4500米 D ．3700米 4．B5．绝对值等于本身的数是 （ ） A ．正数 B ．负数 C ．非负数 D ．非正数 5．C6．下列结论中，正确的是 （ ） A ．a +一定是正数 B ．a +和a -一定不相等 C ．a 和a --互为相反数 D ．()a +-和a --一定相等 6．C7．代数式33+-x 的最小值是 （ ） A ．0 B ．2 D ．5 7．C8．下列结论中，正确的是 （ ） A ．0a --<B ．若a b =-，则a b = C. 0a >D ．若a 、b 互为相反数，则1ab=- 8．B9.若a a =，则a 为 数； 若a a =-，则a 为 数. 9．非负数；非正数；10.当4a <时，4a -= . 10．4－a ；11. （2011湖南常德，1，3分）2______.-= 11．212.若53x -=，则x = ； 若4m -=-，则m = ；12．8或2；4或－4；13．若1a >，则1a -= ，21a -= ； 若1a <，则1a -= ，1a --= . 13．a －1，2a －1；1－a ，a －1； 14.若110a b ++-=，则a b += . 14．0； 15.计算： ⑴9322-⨯+ ⑵37148-÷- 15．（1）原式=⨯3229=24；（2）原式=87143÷=52； 16.已知30x =，4y =-，求3x y -. 16．3x y -=30－3×4=18； 17.已知2340a b c -+-+-=，求23a b c ++的值.17．由题意可得，a=2，b=3，c=4，则23a b c ++=2+2×3+3×4=20；18.正式的足球比赛，对所用足球的质量有严格规定，下面是6个足球的检测结果.（用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数） －25，+10，－20，+30，+15，－40请指出哪个足球的质量好一些，并用绝对值的知识说明原因. 18．第二个。

5．一个数的绝对值是 ，那么这个数为______．
6．当 时， ；当 时， ．
8．绝对值等于其相反数的数一定是…………………………………………………〖 〗
A．负数B．正数C．负数或零D．正数或零
【自主检测】
2． 的绝对值是______；绝对值等于 的数是______，它们互为________．
3．在数轴上，绝对值为4，且在原点左边的点表示的有理数为________．
二、选择题
1．|x|=2，则这个数是（ ）
A．2B．2和－2 C．－2 D．以上都错
2．| a|=－ a，则a一定是（ ）
A．负数B．正数 C．非正数 D．非负数
3．一个数在数轴上对应点到原点的距离为m，则这个数为（ ）
A．－mB．m C．±mD．2m
4．如果一个数的绝对值等于这个数的相反数，那么这个数是（ ）
9． 某企业生产瓶装食用调和油，根据质量要求，净含量(不含包装)可以有0.002L误差．现抽查6瓶食用调和油，超过规定净含量的升数记作正数，不足规定净含量的升数记作负数．检查结果如下表：
+0.0018
-0.0023
+0.0025
-0.0015
+0.0012
+0.0010
请用绝对值知识说明：
(1)哪几瓶是合乎要求的(即在误差范围内的)?
A．正数B．负数 C．正数、零D．负数、零
5．下列说法中，正确的是（ ）
A．一个有理数的绝对值不小于它自身
B．若两个有理数的绝对值相等，则这两个数相等
C．若两个有理数的绝对值相等，则这两个数互为相反数
D．－a的绝对值等于a
三、判断题
1．若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等．（ ）

§1.2.4 绝对值（2）授课时间： 班级： 姓名： 教学目标：1.从几何、代数两个角度正确体会绝对值的意义；2.会求已知数的绝对值；3.会利用绝对值比较两个负数的大小。

教学重点：利用数轴比较有理数的大小．教学难点：两个负数比较大小．一、回顾引入：1、化简：________1.0=-，________1003=，________7.0=。

2、比较大小： 5 3，2.5 0，32 43， 【阅读思考】1、阅读P12问题：这七天中每天的最低气温按从低到高排列为________________________________________________________________________。

2、在数轴上表示出这些气温数，发现从低到高的气温排列顺序在数轴上是 排列的。

总结：数学中规定：在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从_______________的顺序，即左边的数_______右边的数。

思考：（1）正数、0、负数这三类数，它们之间有什么大小关系？（2）两个负数之间如何比较大小？二、归纳概括：有理数大小的比较方法：1、运用数轴： 。

2、运用法则：法则（1） ；（2）练习：比较大小：5____3 －2___3 －1_____－3 3____0 －4________0三、课堂试一试：例1、：比较下列各对数的大小（1）－(－1)和－(+2)； （2）－(－0.3)和|－13| ； （3） 73218--和练习：比较下列各对数的大小（1）—3和—5； （2） —2.5和—∣—2.25∣（3）23-与34- （4）－54与－43例2、有理数b a ,在数轴上的位置如何所示，试比较b a b a --,,,的大小，并用“>”将它们连接起来。

（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与绝对值相关的实际问题，如数轴上两点间的距离。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。如在数轴上移动点，观察其绝对值的变化。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
此外，在总结回顾环节，我尝试让学生用自己的话来总结绝对值的概念和性质，以便了解他们对知识点的掌握程度。从学生的回答来看，大部分学生对绝对值的理解较为深刻，但仍有个别学生存在误区。针对这个问题，我计划在课后进行个别辅导，帮助他们巩固知识点。
最后，我认为在本节课中，教学难点和重点的把握还有待提高。在今后的教学中，我将更加关注学生的需求，及时调整教学策略，使他们在掌握绝对值知识的同时，提高解决问题的能力。
解决方法：通过数轴上点的对称性，以及具体数值的运算，引导学生推导出绝对值的性质。
（3）绝对值在数轴上的应用：在解决数轴上两点间距离的问题时，学生可能难以将绝对值与实际应用结合起来。
解决方法：通过示例和练习，让学生将绝对值与数轴上的实际距离联系起来，提高解题能力。
（4）绝对值运算的顺序：在涉及多层绝对值时，如||a||，学生可能不清楚运算顺序。
5.练习绝对值相关的运算Hale Waihona Puke 提高解题技巧。二、核心素养目标
《数学》七年级上册第三章第一节：绝对值。
1.培养学生的数感和符号意识，理解绝对值在数学表达和问题解决中的重要作用。
2.提升学生运用数学语言进行描述、分析和解决问题的能力，特别是在绝对值相关情境中。
3.培养学生的逻辑推理能力，通过绝对值的性质探究，形成严密的数学思维。
1.讨论主题：学生将围绕“绝对值在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。