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信号与系统上机实验2连续LTI 系统的时域分析一、实验目的1、 熟悉连续LTI 系统在典型信号激励下的响应及其特性2、 熟悉连续LTI 系统单位冲激响应的求解方法3、 重点掌握卷积计算连续时间系统的零状态响应4、 熟悉MATLAB 相关函数的调用格式极其作用5、 会用MATLAB 对系统进行时域分析二、实验原理连续时间线性非时变系统（LTI ）可以用如下的线性常系数微分方程来描述：()(1)()(1)110110()()...a y'(t)a y(t)()()...b f'(t)b f(t)n n m m n n m m a y t a y t b f t b f t ----++++=++++其中m n ≥，系统的初始条件为：n 1y(0),y'(0),y"(0),...y (0)-。
系统的响应一般分为两个部分，即由当前输入所产生的响应（零状态响应）和由历史输入（初始状态）所产生的响应（零输入响应）。
可以用MATLAB 确定系统的各种响应，如冲激响应、阶跃响应、零状态响应、全响应等。
涉及到的函数有：impulse （冲激响应）、step （阶跃响应）、roots （零状态响应）、lsim （零输入响应）等。
根据系统的单位冲激响应，利用卷积计算的方法，也可以计算任意输入状态下系统的零状态响应。
设一个线性零状态系统，已知系统的单位冲击响应为h(t)，当系统的激励信号为f(t)时，系统的零状态响应为：()()()()()zs y t f h t d f t h d ττττττ∞∞-∞-∞=-=-⎰⎰，也可以简单记为：()()*()zs y t f t h t =由于计算机采用的是数值计算，因此系统的零状态响应也可以用离散序列卷积和近似为：(k)()()()*()zs n y f n h k n T f k h k ∞=-∞=-=∑，式中(k)zs y 、()f k 、()h k 分别对应以T 为时间间隔对连续时间信号(t)zs y 、(t)f 、(t)h 进行采样得到的离散序列。
信号与系统——连续时间系统的分析方法1、根据KCL，KVL及UI关系列出回路方程2、化简方程得出响应与激厉间的关系式（原方程）一、经典法：1、求齐次解：特征方程——特征根——含参齐次解，t>=0+。
2、求特解：将激励方程代入得自由项。
根据自由项高特解形式。
将所设特解代入原方程待系数得特解。
3、含参全解：含参齐次解+特解。
4、待定系数：法1：（时域法）根据电路基础知识得出响应及导数初始值代入含参全解得出参数值。
法2、（冲激函数匹配法）设激励为KU（t)，并求其导数，根据原方程右端形式依次从高向低求响应及各阶导数，从而得出响应及各阶导数的初始值，代入含参全解待定系数求参数。
法３、（奇异函数平衡法）对含参全解求各阶导数并代入原方程，待定系数求参数。
5、完全解：齐次解+特解。
二、双零法：1、零输入：令激励为0，求齐次方程。
<将初始储能看成激励源>特征方程—特征根—含参齐次解—待定系数—零输入zi。
2、零状态：初始值为0，求完全解。
(1）含参齐次解：特征方程—特征根—含参齐次解。
（2）特解：（3）含参全解：含参齐次解+特解。
（4）待定系数：法1、（时域法）法2、（冲激函数匹配法）法3、（奇异函数平衡法）法4、（卷积法）————————————————————————————————————————————————————三、变换域法：法1：写出时域方程，经ＬＴ变换得出S域方程，从而得出S域响应，再经LT逆变换得出时域响应。
法2：S域模型，S域方程，S域响应，经LT逆变换得出时域响应。
信号与系统实验二连续LTI 系统的时域分析————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2实验二 连续LTI 系统的时域分析一. 实验目的1. 加深对线性时不变系统中零状态响应概念的理解，掌握其求解方法；2. 掌握求解给定连续系统的冲激响应和阶跃响应的方法。
二. 实验原理1.连续系统零状态响应的数值解线性时不变 (LTI) 连续时间系统用常系数线性微分方程进行描述，系统的零状态响应就是在系统初始状态为零条件下微分方程的解。
MATLAB 控制系统工具箱提供了一个lism 函数来求解连续时间系统的零状态响应，其调用格式为y = lism(sys,f,t)其中t 表示计算系统响应的时间抽样点向量，f 是系统输入信号向量，sys 是LTI 系统模型，用来表示微分方程、状态方程。
在求解微分方程时，微分方程的LTI 系统模型sys 要借助MATLAB 中的tf 函数来获得，其调用格式为sys = tf(b,a)其中a 、b 分别为微分方程左端和右端各项的系统向量。
例如系统方程 (3)(2)(1)(2)(1)2210210()()()()()()()a y t a y t a y t a y t b f t b f t b f t +++=++该方程左边、右边的系数向量分别为3210[,,,]a a a a a =，210[,,]b b b b =。
例1：描述某线性时不变系统的方程为"()4'()4()'()3()y t y t y t f t f t ++=+试求：当()()tf t e t ε-=时，系统的零状态响应()zs y t 。
解：实现所要求运算的m 文件如下，a = [1 4 4]; %将y （t ）各阶导数的系数放在向量a 中b = [1 3]; %将f （t ）各阶导数的系数放在向量b 中sys = tf(b, a); %求系统模型systd = 0.01; %定义时间间隔t = 0 : td : 10; %定义时间向量f = exp(-t); %将f （t ）表示出来y = lsim(sys, f, t); %求系统的零状态响应plot(t, y); %绘出零状态响应的波形xlabel('t(sec)'); %给出x 坐标的标签ylabel('y(t)'); %给出y 坐标的标签grid on %在图上显示方格程序运行结果见图1。
(2) 冲激响应h (t )；（4) 系统的完全响应y (t ) ；)(zi t y (1) 系统的零输入响应；(3) 系统的零状态响应；（5) 判断系统是否稳定。
[例]描述某连续时间LTI 系统的微分方程为激励信号x (t )=u (t )，初始状态y (0-)=1，y ’(0-)=2 。
试求:解：(1)系统的零输入响应y zi (t )特征根为31-=s 42-=s ，34zi 12()e e t t y t K K --=+-≥0t ，1)0(21=+=-K K y 243)0('21=--=-K K y 代入初始状态，K 1=6, K 2= －5特征方程01272=++s s34zi ()6e 5e ,0t t y t t ---=-≥[例]描述某连续时间LTI 系统的微分方程为激励信号x (t )=u (t )，初始状态y (0-)=1，y ’(0-)=2 。
解：)()e e ()(43t u B A t h t t --+=)()e e ()(43t u t h t t ---=(2)系统的冲激响应h (t )利用冲激平衡法，设h (t )的形式为)()(12)('7)("t t h t h t h δ=++代入，)()(12)('7)("t t h t h t h δ=++求得待定系数A =1，B =－1。
可得冲激响应为[例]描述某连续时间LTI 系统的微分方程为激励信号x (t )=u (t )，初始状态y (0-)=1，y ’(0-)=2 。
解：(3)系统的零状态响应)(*)()(zs t h t x t y =)()e e (*)(43t u t u t t ---=)()e 41e 31121(43t u t t --+-=[例]描述某连续时间LTI 系统的微分方程为激励信号x (t )=u (t )，初始状态y (0-)=1，y ’(0-)=2。
实验二 连续LTI 系统目的学习利用lsim 求解连续LTI 系统。
相关知识MATLAB 函数lsim函数lsim 能用于如下微分方程表征的连续时间因果LTI 系统的输出进行仿真∑∑===Mm mmmNk kkkdtt x dbdtt y da)()( （2.1）为了利用lsim ，系数k a 和m b 必须被存入MATLAB 的向量a 和b 中，并且序号在k 和m 上以降次存入。
将（2.1）式用向量a 和b 重新写成∑∑==-+=-+Mm mmNk kkdtt x dm Mb dtt y dk N a 0)()1()()1( （2.2）向量a 必须包含N+1个元素，可以用对a 补零的办法来处理系数k a 为零的那些系数。
向量b 也必须包含M+1个元素。
然后执行 >> y=lsim(b,a,x,t);就可仿真出由向量x 和t 所给出的输入信号时，（2.1）式所描述的系统的响应。
例：由下列一阶微分方程所描述的因果LTI 系统：)()(21)(t x t y dtt dy +-= （2.3）该系统的单位阶跃响应可仿真计算如下： >> t=[0:10];>> x=ones(1,length(t)); >> b=1;>> a=[1 0.5];>> y=lsim(b,a,x,t);>> plot(t,y);其响应为：图中真正代表的阶跃响应为)()eut y t-)(t1(2=（2.4）-impluse和step可以用于计算连续LTI系统的单位冲激和单位阶跃响应。
如上例，可执行>> t=[0:10];>> b=1;>> a=[1 0.5];>> s=step(b,a,t);>> h=impulse(b,a,t);将会分别在s和h中得到单位阶跃和单位冲激响应。
基本题1．利用lsim 计算由下面微分方程描述的因果LTI 系统，对输入)2()(-=t u t x 的响应，并作图。
实验三连续时间LTI系统分析姓名学号班级通信一班一、实验目的（一）掌握使用Matlab进行连续系统时域分析的方法1、学会使用符号法求解连续系统的零输入响应和零状态响应2、学会使用数值法求解连续系统的零状态响应3、学会求解连续系统的冲激响应和阶跃响应（二）掌握使用Matlab进行连续时间LTI系统的频率特性及频域分析方法1、学会运用MATLAB分析连续系统地频率特性2、学会运用MATLAB进行连续系统的频域分析（三）掌握使用Matlab进行连续时间LTI系统s域分析的方法1、学会运用MATLAB求拉普拉斯变换（LT）2、学会运用MATLAB求拉普拉斯反变换（ILT）3、学会在MATLAB环境下进行连续时间LTI系统s域分析二、实验原理及实例分析（一）连续系统时域分析（详细请参见实验指导第二部分的第5章相关部分）（二）连续时间LTI系统的频率特性及频域分析（详细请参见实验指导第二部分的第8章相关部分）（三）拉普拉斯变换及连续时间系统的s域分析（详细请参见实验指导第二部分的第10、11章相关部分）三、实验过程（一）熟悉三部分相关内容原理（二）完成作业已知某系统的微分方程如下：)(3)()(2)(3)(t e t e t r t r t r +'=+'+''其中，)(t e 为激励，)(t r 为响应。
1、用MATLAB 命令求出并画出2)0(,1)0(),()(3='==---r r t u e t e t 时系统的零状态响应和零输入响应（零状态响应分别使用符号法和数值法求解，零输入响应只使用符号法求解）；>> eq='D2y+3*Dy+2*y=0';>> cond='y(0)=1,Dy(0)=2';>> yzi = dsolve(eq,cond);yzi = simplify(yzi);>> eq1 = 'D2y+3*Dy+2*y=Dx+3*x';eq2 = 'x= exp(-3*t)*Heaviside(t)';cond = 'y(-0.01)=0,Dy(-0.001)=0';yzs = dsolve(eq1,eq2,cond);yzs = simplify(yzs.y)yzs =heaviside(t)*(-exp(-2*t)+exp(-t))>> yt = simplify(yzi+yzs)yt =-3*exp(-2*t)+4*exp(-t)-exp(-2*t)*heaviside(t)+exp(-t)*heaviside(t)>> subplot(3,1,1);>> ezplot(yzi,[0,8]);grid on;>> title ('rzi');>> subplot(3,1,2);>> ezplot(yzs,[0,8]);>> grid on;>> title('rzs');>> subplot(3,1,3);>> ezplot(yt,[0,8]);grid on;>> title('完全响应')sys = tf([1,3],[1,3,2]);t = ts:dt:te;f = exp(-3*t).*uCT(t);y = lsim(sys,f,t);plot(t,y),grid on;axis([0,8,-0.02,0.27]);xlable('Time(sec)'),ylable('y(t)'); title('零状态响应')2、)(3)()(2)(3)(t e t e t r t r t r +'=+'+''2)0(,1)0(),()(3='==---r r t u e t e t使用MATLAB 命令求出并画出系统的冲激响应和阶跃响应（数值法）；用卷积积分法求系统的零状态响应并与（1）中结果进行比较；t = 0:0.001:4;sys = tf([1,3],[1,3,2]);h = impulse(sys,t);g = step(sys,t);subplot(2,1,1);plot(t,h),grid on;xlable('Time(sec)'),ylable('h(t)');title('冲激响应');subplot(2,1,2);plot(t,g),grid on;xlable('Time(sec)'),ylable('g(t)');title ('阶跃响应')_dt = 0.01;t1 = 0:dt:8;f1=exp(-3*t1);t2 = t1;sys = tf([1,3],[1,3,2]);f2 = impulse(sys,t2);[t,f]= ctsconv(f1,f2,t1,t2,dt)function[f,t] = ctsconv(f1,f2,t1,t2,dt)f = conv(f1,f2);f = f*dt;ts = min(t1)+min(t2);te = max(t1)+max(t2);t = ts:dt:te;subplot(1,1,1)plot(t,f);grid on;axis([min(t),max(t),min(f)-abs(min(f)*0.2),max(f)+abs(max(f)*0.2)]); title('卷积结果')3、)(3)()(2)(3)(t e t e t r t r t r +'=+'+''使用MATLAB 命令求出并画出此系统的幅频特性和相频特性；使用频域分析法求解系统的零状态响应并与（1）中结果进行比较；>> w = -3*pi:0.01:3*pi;b = [1,3];a = [1,3,2];H = freqs(b,a,w);subplot(2,1,1);plot(w,abs(H)),grid on;xlabel('\omega(rad/s)'),ylabel('|H(\omega)|');title ('H(w)的幅频特性');subplot(2,1,2);plot(w,angle(H)),grid on;xlabel('\omega(rad/s)'),ylabel('\phi(\omega)');title('H(w)的相频特性')H = sym('1/(i^2*w^2+3*i*w+2)'); H= simplify(ifourier(H)); subplot(3,1,1);ezplot(H,[0,8]),grid on;title('零状态响应')4、)(3)()(2)(3)(t e t e t r t r t r +'=+'+''使用MATLAB 命令求出并画出t t e 2cos )(=时系统的稳态响应；t = 0:0.1:20;w = 2;H = (j*w+3)/(j^2*w^2+3*j*w+2);f = cos(2*t);y = abs(H)*cos(w*t+angle(H));subplot(2,1,1);plot(t,f);grid on;ylabel('f(t)'),xlabel('Time(s)');title('输入信号的波形');subplot(2,1,2);plot(t,y);grid on;ylabel('y(t)'),xlabel('Time(sec)');title('稳态响应的波形')5、)(3)()(2)(3)(t e t e t r t r t r +'=+'+''若已知条件同（1），借助MATLAB 符号数学工具箱实现拉普拉斯正反变换的方法求出并画出2)0(,1)0(),()(3='==---r r t u e t e t 时系统的零状态响应和零输入响应，并与（1）的结果进行比较。
实验三 连续时间LTI 系统的频域分析一、实验目的1、掌握系统频率响应特性的概念及其物理意义;2、掌握系统频率响应特性的计算方法与特性曲线的绘制方法,理解具有不同频率响应特性的滤波器对信号的滤波作用;3、学习与掌握幅度特性、相位特性以及群延时的物理意义;4、掌握用MA TLAB 语言进行系统频响特性分析的方法。
基本要求:掌握LTI 连续与离散时间系统的频域数学模型与频域数学模型的MATLAB 描述方法,深刻理解LTI 系统的频率响应特性的物理意义,理解滤波与滤波器的概念,掌握利用MATLAB 计算与绘制LTI 系统频率响应特性曲线中的编程。
二、实验原理及方法1 连续时间LTI 系统的频率响应所谓频率特性,也称为频率响应特性,简称频率响应(Frequency response),就是指系统在正弦信号激励下的稳态响应随频率变化的情况,包括响应的幅度随频率的变化情况与响应的相位随频率的变化情况两个方面。
上图中x(t)、y(t)分别为系统的时域激励信号与响应信号,h(t)就是系统的单位冲激响应,它们三者之间的关系为:)(*)()(t h t x t y =,由傅里叶变换的时域卷积定理可得到:)()()(ωωωj H j X j Y =3、1或者: )()()(ωωωj X j Y j H =3、2)(ωj H 为系统的频域数学模型,它实际上就就是系统的单位冲激响应h(t)的傅里叶变换。
即⎰∞∞--=dt e t h j H tj ωω)()( 3、3由于H(j ω)实际上就是系统单位冲激响应h(t)的傅里叶变换,如果h(t)就是收敛的,或者说就是绝对可积(Absolutly integrabel)的话,那么H(j ω)一定存在,而且H(j ω)通常就是复数,因此,也可以表示成复数的不同表达形式。
在研究系统的频率响应时,更多的就是把它表示成极坐标形式:)()()(ωϕωωj ej H j H = 3、4上式中,)j (ωH 称为幅度频率相应(Magnitude response),反映信号经过系统之后,信号各频率分量的幅度发生变化的情况,)(ωϕ称为相位特性(Phase response),反映信号经过系统后,信号各频率分量在相位上发生变换的情况。
