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圣维南原理及其证明圣维南原理又称为中值定理，是微积分中一个重要的定理。
它是由法国数学家约瑟夫·路易·圣维南于1690年发现并提出的。
该原理主要用于描述实函数的连续性与导数之间的关系，并说明在一定条件下函数在其中一区间上的平均变化率与其中一点上的瞬时变化率之间存在关系。
1.第一中值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在开区间(a,b)上可导（注意不一定连续），则在开区间(a,b)内存在一个点c，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
即函数在区间[a,b]上有一点的导数等于该区间上函数值的平均变化率。
2.第二中值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续且在开区间(a,b)上可微，且f(a)≠f(b)，则在开区间(a,b)内存在一个点c，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
即函数在区间[a,b]上其中一点的导数等于该区间上函数值的平均变化率。
3.第三中值定理：设函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续且在开区间(a,b)上可微，且g'(x)≠0且g(a)≠g(b)，则在开区间(a,b)内存在一个点c，使得[f(b)-f(a)]/g(b)-g(a)]=f'(c)/g'(c)。
即两个函数在区间[a,b]上的斜率之比等于它们在开区间(a,b)内其中一点的导数之比。
对于圣维南原理的证明，需要运用微积分的基本概念和定理。
以下以第一中值定理为例进行证明。
证明：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在开区间(a,b)上可导。
我们定义一个新的函数g(x)=f(x)-[(f(b)-f(a))/(b-a)](x-a)。
1.首先验证函数g(x)在闭区间[a,b]上连续。
由于f(x)在[a,b]上连续，那么f(x)-[(f(b)-f(a))/(b-a)](x-a)也是连续函数。
2.再来验证函数g(x)在开区间(a,b)上可导。
圣维南原理及其证明：历史与评述赵建中云南大学资源、环境与地球科学学院地球物理系，昆明650091 摘要圣维南原理（Saint-Venant’s Principle）是弹性力学的基础性原理，圣维南原理的证明一直是弹性力学重要的研究课题。
本文以圣维南原理研究中最重要的事件为线索，对圣维南原理的发展历史作了综述，对重要的研究工作和结果进行了评论；发表和论证了图平定理不是圣维南原理的数学表达、一般的圣维南原理不成立、修正的圣维南原理可以证明为真等观点；介绍了建立修正的圣维南原理的数学方法；阐述了研究圣维南原理证明问题的意义；目的在于引起对这些有关圣维南原理的基本问题的关注和讨论，促进圣维南原理研究的繁荣和发展。
关键词圣维南原理，历史，图平定理，证明，否证，数学表达，修正，意义中图分类号：0343.2AMS Subject Classifications: 74G50引言弹性力学的圣维南原理已经有一百多年的历史了[1,2]。
早期有关原理有重要的文章[39] 。
波西涅克（Boussinesq）[3]于1885年、勒夫（Love）[4]于1927 年分别发表了圣维南原理的一般性陈述。
然而Mises[5]认为勒夫陈述不清楚并提出修改的陈述，其后的论证既可以看作是对一般的Mises 陈述的否证，又可以看作是对具有特殊条件的Mises 陈述的证明。
Sternberg [6]赞同Mises的修改，他的论证也可以既看作是对Mises 陈述（Sternberg称为圣维南原理的传统陈述）的一般性的否证，又看作是对附加了条件的Mises 陈述的证明。
Truesdell[10]于1959年断言，如果关于等效载荷的圣维南原理为真，它“必须是”线性弹性力学“一般方程的数学推论”。
这就从理性力学的角度提出了圣维南原理的证明问题，圣维南原理被视为一个数学命题，其真理性需要证明。
毫无疑问，圣维南原理的数学证明成了一个学术热点。
为了揭示原理隐秘的内涵，或者说破解原理之谜，学者们花费了巨大的努力。
圣维南原理并说明它的用途圣维南原理（Saint-Venant's principle）是弹性力学中的一个基本原理，也被称为等效自由力原理或诺特尔对偶原理。
它是由法国数学家和工程师阿道夫·圣维南（Adhémar Jean Claude Barréde Saint-Venant）于19世纪中期提出的。
圣维南原理的基本思想是，当对结构施加作用力并达到平衡状态时，结构内部的应力分布在离作用点足够远的地方将变得无关紧要，只保留结构的整体行为。
具体来说，圣维南原理认为结构在受力下，仅在应力集中的区域附近才会出现显著的变形和应力，而在远离这些集中应力区域的地方，结构的变形和应力将逐渐趋于均匀分布，从而使结构产生一个等效的自由体力或力偶。
这种等效力或力偶可以反映出结构的整体行为和响应，用来简化对结构的分析和计算。
圣维南原理的主要用途如下：1. 结构受力分析：在结构力学中，使用圣维南原理可以简化结构的受力分析。
通过将外部作用力转化为等效的自由力或力偶，并结合结构的边界条件和材料性质，可以有效地求解结构的应力、应变和变形等问题。
这对于设计和优化复杂结构的强度和刚度具有重要意义。
2. 结构变形衡量：通过圣维南原理，可以量化结构的变形情况。
根据等效自由力或力偶的大小和方向，可以确定结构的变形形态和位移分布。
这对于工程师评估和控制结构的变形行为，尤其是在弹性阶段的变形情况，非常有帮助。
3. 结构优化设计：圣维南原理可以在结构优化设计中发挥重要作用。
通过分析结构的等效自由力或力偶，可以直观地了解结构的受力特点和存在的问题，从而指导工程师进行合理的结构调整和优化。
这可以使结构更加经济高效，减轻结构在受力中的应力集中和可能的破坏。
4. 材料选择和设计验证：圣维南原理可以帮助工程师选择合适的材料和验证结构的设计安全性。
通过分析结构的等效自由力或力偶，可以评估结构在不同材料参数下的应力分布和变形行为，从而选择适合的材料，并验证结构的安全性和可靠性。
一、题目圣维南原理的理解及其在工程问题中的应用二、涉及到的弹性力学相关概念介绍1855年，圣维南在梁理论研究中提出：若在物体一小部分区域上作用一平衡力系，则此力系对物体内距该力系作用区域较远的部分不产生影响，只在该力系作用的区域附近才引起应力和变形。
这就是著名的圣维南原理。
圣维南原理的一种较为实用的提法是：若作用在物体局部表面上的外力，用一个静力等效的力系（具有相同的主矢和主距）代替，则离此区域较远的部分所受影响可以忽略不计[1]。
三、正文部分1圣维南原理的理解圣维南原理的提出背景求解弹性力学问题就是在给定边界条件下求解偏微分方程。
边界条件不同，问题的解答也不一样。
但是要求出严格满足边界条件的精确解，有时是非常困难的，另外，对于一些实际问题，不能确切的给出面力的分布，只是知道它在某边界上的合理与合力偶的大小。
于是我们会提出一个问题，能不能用一个可解的等效力系来代替它；满足合力、合力偶条件的解是否可以替换它。
这个问题可由圣维南发原理来回答。
凭借生活经验的理解对于圣维南原理的第一种提法：若在物体一小部分区域上作用一平衡力系，则此力系对物体内距该力系作用区域较远的部分不产生影响，只在该力系作用的区域附近才引起应力和变形，可以用一个实例先简单理解。
例如用钳子剪钢丝即使外力大道把钢丝剪断的程度，根据生活经验，钢丝的应力和变形仅局限于潜口附近。
经验表明，这一平衡力系越小，对钢丝其它部分的影响越小[3]。
对于圣维南原理的另一种提法是：若作用在物体局部表面上的外力，用一个静力等效的力系（具有相同的主矢和主距）代替，则离此区域较远的部分所受影响可以忽略不计。
可以这样理解:悬臂梁在端部不沿受集中力作用，基础上增加一对自相平衡的力系。
再减少一对相平衡的力系，根据圣维南原理，仅在小区域那有明显差异，而在该区域之外应力几乎是相同的[1]。
简单应用的理解书上的例子是这样的：如图所示，设有柱形构件，在两端截面的形心受到大小相等而方向相反的拉力F，如图（a），如果把一端或两端的拉力变化为静力等效的力，图（b）或图（c），则只有虚线划出的部分的应力分布有显著的改变，而其余部分所受的影响是可以不计的。
用ANSYS证明圣维南原理一、圣维南原理圣维南原理（Saint-V enant’s Principle）：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。
它也可以这样来陈述：如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主矢量和主矩都等于零），那么，这个面力就只会使得近处产生显著的应力，远处的应力可以不计。
二、证明思路圣维南原理提出至今已有一百多年的历史，虽然还没有确切的数学表示和严格的理论证明，但无数的实际计算和实验测量都证实了它的正确性。
本文将利用ANSYS软件，通过对实例模型的数值分析计算，证明圣维南原理。
本文选择建立一个横截面积相对较小的混凝土柱体作为研究对象，然后对此矩形截面直杆模型进行数值证明。
分别对直杆两端施加集中力，以及与此集中力静力等效的均布载荷。
比较两种情况下其所受的平均应力分布情况，从而利用此结果证明圣维南原理。
三、ANSYS建模及求解1、创建有限元模型。
选择Solid —10 node 92单元类型，弹性模量EX=2.5E9，泊松比PRXY=0.35。
然后创建一个长、宽、高分别为1m，0.05m，0.05m的长方体，并对其进行自由网格划分。
建模及网格划分结果如下图1所示。
图1 矩形截面直杆模型的ANSYS建模与网格划分2、施加载荷并求解。
（1）在长方体一端加上全自由度位移约束，另一端面中心加上F=10KN的集中力作用，求解。
约束及载荷施加结果如图2所示。
图2 集中力及约束施加结果（2）在长方体一端加上全自由度位移约束，另一端面（与集中力作用端面相同）加上与集中力静力等效的P=4000KN的均布载荷作用，求解。
约束及载荷施加结果如图3所示。
图3 均布载荷及约束施加结果3、查看分析结果。
分别生成在长方体端面施加集中力与等效均布载荷情况下，其平均应力分布图以及各节点处平均应力分布变化曲线。
基于有限元法验证圣维南原理圣维南原理（Saint-Venant's principle）是结构力学的基本原理之一，用于描述原点附近一个点的剪力和弯矩与距离原点较远的地方施加的力和力矩之间的关系。
该原理可以通过有限元法进行验证。
有限元法是一种数值分析方法，广泛应用于工程领域。
它将结构划分为许多小的单元，通过计算每个单元的力和位移来近似求解整个结构的行为。
为验证圣维南原理，我们可以通过有限元法建立一个简化的结构模型。
假设我们有一个简单的悬臂梁，其长度为L、截面积为A、杨氏模量为E，并施加一个在距离原点处施加的力F。
首先，我们将梁划分为多个小单元，每个单元的长度为ΔL。
然后，我们根据材料的本构关系以及几何约束条件，建立结构的刚度矩阵和载荷向量。
对于每个单元，我们可以假设其形变是线性的，并利用梁的几何约束条件来推导出局部坐标系与全局坐标系之间的关系。
然后，利用局部坐标系中的应力-应变关系，我们可以得到每个单元的刚度矩阵。
接下来，我们将所有单元的刚度矩阵组装成整个结构的刚度矩阵，并将力向量组装为载荷向量。
根据位移与力的关系，我们可以通过求解线性方程组来得到结构的位移。
最后，我们可以利用得到的位移来计算结构上不同点的剪力和弯矩，并与理论解进行比较。
根据圣维南原理，当距离原点较远的地方施加的力和力矩趋于零时，该点的剪力和弯矩也会趋于零。
通过对模型的计算结果进行分析，我们可以验证圣维南原理。
如果模型中的剪力和弯矩在距离原点较远的地方确实趋于零，那么圣维南原理就得到了验证。
需要注意的是，由于有限元法是一种数值近似方法，验证结果可能会受到一些误差的影响。
因此，在进行验证时，我们需要合理选择模型的划分和参数，并进行适当的误差分析。
总结起来，通过建立一个简化的结构模型，并利用有限元法进行计算和分析，我们可以验证圣维南原理。
这种方法不仅可以验证圣维南原理，还可以用于研究和分析其他结构力学问题。
什么是圣维南原理及如何证明弹塑性力学作业孙嘉粲建筑与土木工程2017级3班学号2170970036Q1：什么是圣维南原理？Q2：为什么需要圣维南原理？Q3：如何证明圣维南原理是正确的？Q1：什么是圣维南原理？答：圣维南原理（Saint Venant’s Principle）是弹性力学的基础性原理，是法国力学家圣维南于1855年提出的。
其内容是：分布于弹性体上一小块面积（或体积）内的荷载所引起的物体中的应力，在离荷载作用区稍远的地方，基本上只同荷载的合力和合力矩有关；荷载的具体分布只影响荷载作用区附近的应力分布。
还有一种等价的提法：如果作用在弹性体某一小块面积（或体积）上的荷载的合力和合力矩都等于零，则在远离荷载作用区的地方，应力就小得几乎等于零。
不少学者研究过圣维南原理的正确性，结果发现，它在大部分实际问题中成立。
因此，圣维南原理中“原理”二字，只是一种习惯提法。
有限元软件的模拟验证了这一点，如图1所示。
==图1 有限元计算得到的柱体在不同应力边界下得到的应力分布图Q2：为什么需要圣维南原理？问题的提出：弹性力学问题的求解是在给定的边界条件下求解基本方程。
使应力分量、应变分量、位移分量完全满足8个基本方程相对容易。
但对于工程实际问题，构件表面面力或者位移是很难满足边界条件要求。
这使得弹性力学解的应用将受到极大的限制。
为了扩大弹性力学解的适用范围，放宽这种限制，圣维南提出了局部影响原理。
圣维南原理的应用：对复杂的力边界，用静力等效的分布面力代替。
有些位移边界不易满足时，也可用静力等效的分布面力代替。
不论在弹性力学中还是在有限元中都广泛灵活的应用圣维南原理来处理和简化边界条件。
值得注意的是：圣维南原理只能适用于一小部分边界（小边界：尺寸相对很小的边界；次要边界：面力分布复杂的小边界）。
对于主要边界，圣维南原理不再适用。
例如对于较长的粱，其端部可以应用圣维南原理，而在粱的侧面，则不能应用。
Q3：如何证明圣维南原理是正确的？见附录1《圣维南原理证明》附录1《圣维南原理证明》1.Boussinesq 的陈述1855年Boussinesq 将圣维南的思想一般化，并冠“Saint-Venant’s Principle ”的名称，其内容为：施于弹性体上的任意平衡力系，如果其作用点限于某个给定的球内，那么该平衡力系在任意一个与球的距离远大于球半径的点上所产生的形变是可以忽略的。
圣维南原理及其证明：历史与评述赵建中云南大学资源、环境与地球科学学院地球物理系，昆明650091 摘要圣维南原理（Saint-Venant’s Principle）是弹性力学的基础性原理，圣维南原理的证明一直是弹性力学重要的研究课题。
本文以圣维南原理研究中最重要的事件为线索，对圣维南原理的发展历史作了综述，对重要的研究工作和结果进行了评论；发表和论证了图平定理不是圣维南原理的数学表达、一般的圣维南原理不成立、修正的圣维南原理可以证明为真等观点；介绍了建立修正的圣维南原理的数学方法；阐述了研究圣维南原理证明问题的意义；目的在于引起对这些有关圣维南原理的基本问题的关注和讨论，促进圣维南原理研究的繁荣和发展。
关键词圣维南原理，历史，图平定理，证明，否证，数学表达，修正，意义中图分类号：0343.2AMS Subject Classifications: 74G50引言弹性力学的圣维南原理已经有一百多年的历史了[1,2]。
早期有关原理有重要的文章[39] 。
波西涅克（Boussinesq）[3]于1885年、勒夫（Love）[4]于1927 年分别发表了圣维南原理的一般性陈述。
然而Mises[5]认为勒夫陈述不清楚并提出修改的陈述，其后的论证既可以看作是对一般的Mises 陈述的否证，又可以看作是对具有特殊条件的Mises 陈述的证明。
Sternberg [6]赞同Mises的修改，他的论证也可以既看作是对Mises 陈述（Sternberg称为圣维南原理的传统陈述）的一般性的否证，又看作是对附加了条件的Mises 陈述的证明。
Truesdell[10]于1959年断言，如果关于等效载荷的圣维南原理为真，它“必须是”线性弹性力学“一般方程的数学推论”。
这就从理性力学的角度提出了圣维南原理的证明问题，圣维南原理被视为一个数学命题，其真理性需要证明。
毫无疑问，圣维南原理的数学证明成了一个学术热点。
为了揭示原理隐秘的内涵，或者说破解原理之谜，学者们花费了巨大的努力。
什么是圣维南原理及如何证明圣维南原理（Saint-Venant's principle），也称为圣维南原则或相似性原理，是结构力学中的基本原理之一、该原理表明，对于一个具有局部载荷的结构，结构在远离载荷作用点的位置的变形和应力分布与载荷的具体位置和形状无关，只取决于结构受力的方式。
圣维南原理的核心思想是，当应用一个局部载荷到一个结构上时，由于结构的刚度和强度特性，载荷引起的变形和应力仅会在载荷附近有显著影响。
远离载荷作用点的区域的变形和应力分布主要由结构整体的特性决定。
这个原理是基于结构足够大且足够均匀的前提条件。
圣维南原理的有效性可以通过数学和实验方法进行证明。
首先，数学证明通常基于假设结构具有良好的连续性和线弹性的特性。
数学证明是通过施加部分载荷到结构上，然后采用弹性力学的理论进行分析，推导出结构在远离载荷作用点的位置的应变和应力。
其中，数学模型的建立需要采用适当的假设和边界条件。
其次，实验是验证圣维南原理的重要方法。
实验可以通过在真实结构和模型中施加不同形式的载荷，然后测量结构的变形和应力分布来进行。
对于较大的结构，实验可通过密集的传感器和位移测量设备进行准确的数据采集和分析。
对于较小的模型，实验可以使用物理模型进行。
通过实验的结果，可以直观地验证圣维南原理的有效性。
需要注意的是，圣维南原理适用于大多数实际工程结构，但在一些情况下可能不适用。
对于高度非线性、非均质、非连续或非弹性的材料和结构，圣维南原理可能不适用。
此外，对于具有复杂几何形状或载荷作用方式的结构，也需要进一步考虑边界条件和结构的详细特性。
总之，圣维南原理是结构力学中的一个重要原理，可以帮助工程师在设计和分析结构时简化计算和分析过程。
该原理可以通过数学和实验方法进行证明，但需要注意对一些特殊情况进行额外考虑。
举例说明圣维南原理应用基本上所有的结构工程师都会使用到圣维南原理。
大多数结构力学教科书都收录了基于该原理的各种公式，但至今尚未对其进行严格证明。
圣维南原理指出，只要载荷的合力正确，那么在远离载荷作用区的地方，载荷的精确分布就不重要。
在本篇文章中，我们将采用有限元分析对圣维南原理进行探究。
圣维南原理的历史1855 年，法国科学家圣维南（Barré de Saint-Venant）发表了一个著名原理，但与其说这是一个严谨的数学命题，不如说是一个观察发现：“如果作用在弹性体一小块表面上的力被作用于同一块表面上的静力等效力系替代，这种替换仅使局部表面产生显著的应力变化，而在比应力变化表面的线性尺寸更远的地方，其影响可忽略不计。
”B. Saint-Venant, Mém. savants étrangers, vol. 14, 1855.圣维南肖像。
图像来源于公有领域，通过 Wikimedia Commons 共享。
在应用力学领域，Boussinesq、Love、von Mises、Toupin 等科学家都对这一原理进行了精准的叙述，并给出了数学证明。
但是对于很多一般性问题，论证圣维南原理具有很大难度，所以对该课题的研究仍在继续（有些论据相当鲜明）。
简单案例：远距离应力分析让我们从一个简单的案例开始：对矩形薄板施加轴向拉力，与载荷作用边相隔一段距离处有一个圆孔。
假如我们要分析孔的应力集中，那么实际的载荷分布有多重要呢？我们对右侧边界施加了三种不同类型的载荷：100 MPa 的恒定轴向应力峰值振幅为 150 MPa 的对称抛物线应力分布等于上述两种载荷工况合力的中心点载荷如下方绘图所示，载荷施加方式不影响孔周围的应力分布。
当然，关键在于孔距离载荷足够远。
三种载荷工况对应的 Von Mises 应力分布。
该场景也可以使用箭头图来绘制主应力。
此图将应力场绘制为通量，从而清晰地展示了应力重新分布的变化。
圣维南原理及其证明：历史与评述赵建中云南大学资源、环境与地球科学学院地球物理系，昆明650091 摘要圣维南原理（Saint-Venant’s Principle）是弹性力学的基础性原理，圣维南原理的证明一直是弹性力学重要的研究课题。
本文以圣维南原理研究中最重要的事件为线索，对圣维南原理的发展历史作了综述，对重要的研究工作和结果进行了评论；发表和论证了图平定理不是圣维南原理的数学表达、一般的圣维南原理不成立、修正的圣维南原理可以证明为真等观点；介绍了建立修正的圣维南原理的数学方法；阐述了研究圣维南原理证明问题的意义；目的在于引起对这些有关圣维南原理的基本问题的关注和讨论，促进圣维南原理研究的繁荣和发展。
关键词圣维南原理，历史，图平定理，证明，否证，数学表达，修正，意义中图分类号：0343.2AMS Subject Classifications: 74G50引言弹性力学的圣维南原理已经有一百多年的历史了[1,2]。
早期有关原理有重要的文章[39] 。
波西涅克（Boussinesq）[3]于1885年、勒夫（Love）[4]于1927 年分别发表了圣维南原理的一般性陈述。
然而Mises[5]认为勒夫陈述不清楚并提出修改的陈述，其后的论证既可以看作是对一般的Mises 陈述的否证，又可以看作是对具有特殊条件的Mises 陈述的证明。
Sternberg [6]赞同Mises的修改，他的论证也可以既看作是对Mises 陈述（Sternberg称为圣维南原理的传统陈述）的一般性的否证，又看作是对附加了条件的Mises 陈述的证明。
Truesdell[10]于1959年断言，如果关于等效载荷的圣维南原理为真，它“必须是”线性弹性力学“一般方程的数学推论”。
这就从理性力学的角度提出了圣维南原理的证明问题，圣维南原理被视为一个数学命题，其真理性需要证明。
毫无疑问，圣维南原理的数学证明成了一个学术热点。
为了揭示原理隐秘的内涵，或者说破解原理之谜，学者们花费了巨大的努力。
圣维南原理
圣维南原理，是由法国数学家雅克·夏尔·圣维南于1800年提
出的一条重要原理。
该原理是数学分析中的基础定理之一，对于解决微积分问题具有重要意义。
圣维南原理可以用于求解函数在闭区间上的极值问题。
它的具体表述是：如果一个函数在闭区间上连续，且在开区间内可导，在区间的两个端点上的函数值符号不同，那么在该闭区间上一定存在至少一个点，使得这个点的导数等于零。
圣维南原理的推导基于罗尔定理，也就是如果一个函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且在闭区间的两个端点上函数值相等，那么在该闭区间上一定存在至少一个点，使得这个点的导数等于零。
圣维南原理则是对罗尔定理的一种推广。
圣维南原理的应用广泛。
在求解极值问题时，可以利用圣维南原理来确定极值点的存在性，并借助导数的符号来判断极大值和极小值。
此外，在实际问题中，圣维南原理也能够帮助我们分析函数的行为，揭示其中隐藏的性质。
总之，圣维南原理是微积分中一条重要原理，它为解决函数的极值问题提供了有效的方法，且具有广泛的应用价值。
通过熟练掌握和灵活运用圣维南原理，我们能够更好地理解和掌握微积分的相关知识。
有限元圣维南原理简述
圣维南原理（Saint Venant ’s Principle ）是弹性力学的基础性原理，是法国力学家圣维南于1855年提出的。
其内容是：分布于弹性体上一小块面积（或体积）内的荷载所引起的物体中的应力，在离荷载作用区稍远的地方，基本上只同荷载的合力和合力矩有关；荷载的具体分布只影响荷载作用区附近的应力分布。
还有一种等价的提法：如果作用在弹性体某一小块面积（或体积）上的荷载的合力和合力矩都等于零，则在远离荷载作用区的地方，应力就小得几乎等于零。
不少学者研究过圣维南原理的正确性，结果发现，它在大部分实际问题中成立。
因此，圣维南原理中“原理”二字，圣维南原理（Saint-Venant ’s Principle ）表述如下：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。
圣维南原理是弹性力学的基础性原理，圣维南原理的证明一直是弹性力学重要的研究课题，在此通过ANSYS 软件工具，进行该原理的证明。
2. ANSYS 证明
当物体一小部分边界上的位移边界条件不能满足时，也可以应用圣维南原理得到用用的解答。
例如，图1，2 所示构建的右端是固定端，则在该构件的右端，有边界条件()0,()0s s u u v v ====。
这就是说，右端固定端的面力，静力等效于经过右端截面形心的力F 。
结果仍然应该是在靠近两端处有显著的误差，而在离两端较远之处，误差是可以不计的。
考虑到在ANSYS 中建立约束条件的可行性，采用具有代表性的进行建模分析。
图1
图2
1) 创建有限元模型——柱形构件
为便于在两端面中心加载，选用四面体单元类型。
由于ANSYS的单元类型是在不断发展和改进的，同样功能的单元，编号大的往往意味着在某些方面有优化或者增强。
在ANSYS 15.0中，选用Solid-Tet-10 node 187单元类型。
根据常用材料属性表，选用弹性较好较为常用的低碳钢，弹性模量取EX=2.0E11，泊松比PRXY=0.25。
为满足小边界条件，使L>>h，创建一个长、宽、高分别为1m，0.01m，0.01m的长方体，并对其进行自由网格划分，SmatSize 取6。
建模及网格划分结果如下图3所示
图3 矩形截面直杆模型的ANSYS建模与网格划分
2、施加载荷并求解。
低碳钢的屈服极限为207MPa，取安全系数S=2时，计算可得，在不发生塑性变形的前提下，在断面可施加的最大力为：
Fmax=
62
*/(207*10*0.01/2)10.35
s A S N KN σ==
1）在柱形构件一端加上全自由度位移约束，另一端面中心加上沿X方向的F=5KN的集中力作用，求解。
约束及载荷施加结果如图4所示。
图4 集中力及约束施加结果
2）在柱形构件一端加上全自由度位移约束，另一端面（与集中力作用端面相同）加上与集中力静力等效的P=5e7N的均布载荷作用，求解。
约束及载荷施加结果如图5所示。
图5 均布载荷及约束施加结果
3、查看分析结果。
1）分别生成在柱形构件端面施加集中力与等效均布载荷情况下，各节点X 方向位移图以及位移分布变化曲线。
如下图所示。
图6 集中力下各节点X方向位移图
图7均布载荷下各节点X方向位移图
2）分别生成在柱形构件端面施加集中力与等效均布载荷情况下，其平均应力分布图以及各节点处平均应力分布变化曲线。
如下图所示。
图8集中力下所得平均应力分布图
图9均布载荷下所得平均应力分布图
图10均布载荷下所得平均应力分布图
在ANSYS后处理中，基于两端面中心的1117号节点和1122号节点，建立贯穿柱形构件中线的路径，并分别将X方向位移数值和平均应力数值映射到所创建的路径上。
数值列表及分布曲线如下所示：
图11集中力下各节点处位移分布变化曲线
图12均布载荷下各节点处位移分布变化曲线
图13集中力下各节点处平均应力分布变化曲线
图14均布载荷下各节点处平均应力分布变化曲线
3) 基于其他有限元模型
同样道理，亦可建立满足一定长宽比的基本的圆柱、圆锥构件等，原理过程与柱形构建一致，在此不复赘述。
三、分析与总结
由图可知，所创建柱形构件在受到集中力及与其等效的均布载荷作用下，
其绝大部分平均应力数值均处于5000Pa左右，而且各节点处应力分布变化情况也基本一致，只在添加约束及受力端面处有明显变化。
故此矩形截面直杆两端受等效应力的实例结果，即验证了圣维南原理的正确性：作用在物体一端（次要边界或是小边界）的荷载，如果只改变应力分布而不改变合成，那么就只会显著改变该端附近的应力，在距离端部较远处相差甚微。
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