D8_1向量及运算

高等数学教材向量高等数学教材——向量一、向量的概念及基本性质在高等数学中，向量是一种具有大小和方向的几何量。

它是由起点和终点确定的有向线段，通常用有字母上方带箭头表示，如⃗AB。

1. 向量的定义向量的定义是：若平面上两个点A和B确定了有向线段⃗AB，则称⃗AB为向量。

向量既有大小也有方向，是一个有序数对。

2. 向量的基本性质（1）向量的模长向量的模长代表向量的大小，用两点之间的距离表示。

若有向线段⃗AB，则向量⃗AB的模长记作|⃗AB|或AB，表示点A和点B之间的距离。

（2）向量的方向角向量的方向角是与x轴正向所成的角度，一般用α或θ表示。

方向角的范围在0到360度之间，且相同向量的方向角可以有多个。

（3）向量的相等对于两个向量⃗AB和⃗CD，若所夹角度相同且模长相等，即|⃗AB|=|⃗CD|且⃗⃗AB=⃗⃗CD，则称两个向量相等。

二、向量的基本运算向量的基本运算包括加法、减法和数乘。

1. 向量的加法向量的加法是将两个向量的起点连接起来，然后连接两个终点，构成一个新的向量。

向量的加法满足平行四边形法则，即⃗⃗ABD=⃗⃗CAB，⃗AD=⃗AB+⃗BD。

2. 向量的减法向量的减法是将减去的向量的起点与被减去的向量的终点连接起来，构成一个新的向量。

向量的减法可以转化为向量的加法，即⃗AB-⃗⃗CD=⃗AB+(-⃗CD)。

3. 向量的数乘向量的数乘是将向量的模长与标量做乘法，得到一个新的向量，方向与原向量相同（若标量为正）或相反（若标量为负）。

即k⃗AB=(|k|)⃗AB。

三、向量的数量积和向量积1. 向量的数量积向量的数量积是将两个向量的模长与夹角进行乘法运算，得到一个标量。

向量的数量积的计算公式为：⃗AB·⃗CD=|⃗AB||⃗CD|cos⃗⃗A B⃗CD。

2. 向量的向量积向量的向量积是用来求两个向量所确定的平行四边形的面积，也是一个向量。

向量的向量积的计算公式为：⃗AB×⃗CD=|⃗AB||⃗CD|sin⃗⃗A B⃗CDn，其中n为垂直于⃗AB和⃗CD所在平面的单位法向量。

向量内积运算法则向量内积是线性代数中的重要概念，它在物理学、工程学、计算机科学等领域都有着广泛的应用。

在本文中，我们将探讨向量内积的运算法则，包括定义、性质和应用。

1. 定义。

在二维空间中，我们可以将两个向量表示为：\(\vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}\)。

\(\vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}\)。

这两个向量的内积可以表示为：\(\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2\)。

在三维空间中，向量的内积可以表示为：\(\vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix}\)。

\(\vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{pmatrix}\)。

这两个向量的内积可以表示为：\(\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3\)。

一般地，对于n维空间中的向量，其内积可以表示为：\(\vec{a} \cdot \vec{b} = \sum_{i=1}^{n} a_ib_i\)。

2. 性质。

向量内积具有以下性质：交换律，\(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot\vec{a}\)。

分配律，\(\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}\)。

数乘结合律，\(k(\vec{a} \cdot \vec{b}) = (k\vec{a})\cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot (k\vec{b})\)。

这些性质使得向量内积在实际应用中具有很大的灵活性，可以方便地进行运算和推导。

向量高数知识点总结一、向量的概念向量是指既有大小又有方向的量。

在数学上，向量可以用有序数对表示，这个有序数对就是向量的坐标表示。

例如，一个二维向量可以表示为(a,b)，其中a和b分别代表向量在x轴和y轴上的分量；一个三维向量可以表示为(a,b,c)，类似地，a、b、c分别代表向量在x、y、z轴上的分量。

在物理学中，向量的概念也是非常重要的，比如力、速度等都是向量。

二、向量的基本运算1. 向量的加法向量的加法是指两个向量相加的运算。

如果有两个向量a和b，它们的加法运算可以表示为a+b，即将a和b的对应分量相加得到新的向量。

2. 向量的数乘向量的数乘是指一个向量与一个标量相乘的运算。

如果有一个向量a和一个实数k，它们的数乘运算可以表示为ka，即将a的每个分量都乘以k得到新的向量。

3. 向量的减法向量的减法可以通过向量的加法和数乘来表示，即a-b = a+(-1)*b。

三、线性相关与线性无关1. 线性相关如果存在不全为零的实数k1、k2、...、kn，使得向量组中的向量v1、v2、...、vn满足关系式k1*v1+k2*v2+...+kn*vn=0，那么称向量组v1、v2、...、vn是线性相关的。

这就意味着向量组中的某一个向量可以表示为其他向量的线性组合。

2. 线性无关如果向量组中的向量v1、v2、...、vn不是线性相关的，即不存在不全为零的实数k1、k2、...、kn，使得k1*v1+k2*v2+...+kn*vn=0，那么称向量组v1、v2、...、vn是线性无关的。

线性相关与线性无关是线性代数中非常重要的概念，它和矩阵的秩有关系，而矩阵的秩又在模型拟合、降维处理等领域有着重要的应用。

四、向量的线性组合和向量空间1. 向量的线性组合如果有向量组v1、v2、...、vn和实数k1、k2、...、kn，那么k1*v1+k2*v2+...+kn*vn就是向量v1、v2、...、vn的线性组合。

线性组合可以用来表示向量的线性关系，它在数学建模中有着重要的应用。

注意：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量a r 与b r 不共线时，a r +b r 的方向不同向，且|a r +b r |<|a r |+|b r |;（3）当a r 与b r 同向时，则a r +b r 、a r 、b r 同向，且|a r +b r |=|a r |+|b r |；当a r 与b r 反向时，若|a r |>|b r |,则a r +b r 的方向与a r 相同，且|a r +b r |=|a r |-|b r |，若|a r |<|b r |,则a r +b r 的方向与b r 相同，且|a r +b r |=|b r |-|a r |.2、向量加法的交换律：a r +b r =b r +a r3．向量加法的结合律：(a r +b r ) +c r =a r + (b r +c r )证：知识点二 向量的减法1．用“相反向量”定义向量的减法：“相反向量”的定义： 记作 规定：零向量的相反向量仍是零向量-(-a r ) = a r任一向量与它的相反向量的和是零向量a r + (-a r ) =0r如果a r 、b r 互为相反向量，则a r = -b r , b r = -a r , a r + b r = 0r向量减法的定义：向量a r 加上的b r 相反向量，叫做a r 与b r 的差，即：a r - b r = a r + (-b r )2．用加法的逆运算定义向量的减法：3．求作差向量：已知向量a r 、b r ，求作向量∵(a r -b r ) + b r = a r + (-b r ) + b r = a r +0r = a r减法的三角形法则作法：在平面内取一点O ， 作OA u u u r = a r , OB uuu r = b r , 则BA u u u r = a r - b r即a r - b r 可以表示为从向量b r 的终点指向向量a r 的终点向量知识点三 向量的数乘运算 1、定义：实数λ与向量a ρ的积是一个 ，这种运算叫做向量的数乘，记作： ，其长度与方向规定如下：（1）|λa ρ|=|λ||a ρ| （2）λ>0时λa ρ与a ρ方向相同；λ<0时λa ρ与a ρ方向相反；λ=0时λa ρ=02、运算定律 结合律：λ(μa ρ)=第一分配律：(λ+μ)a ρ= 第二分配律：λ(a ρ+b ρ)=3、向量共线定理。

向量坐标运算公式总结在数学和物理学中，向量是一个具有大小和方向的量，常用于描述物体的位置、速度和力等相关概念。

而对向量进行运算，是解决许多实际问题的关键步骤之一。

本文将总结一些常用的向量坐标运算公式，帮助读者更好地理解和应用向量运算。

1. 向量的表示在二维坐标系中，一个向量可以用一个有序数对表示，如(a, b)。

表示向量的时候，通常以x轴和y轴分量的形式给出。

在三维坐标系中，一个向量可以用一个有序数组表示，如(a, b, c)。

2. 向量的加法向量的加法是指将两个向量相加，得到一个新的向量。

对于二维向量(a, b)和(c, d)，它们的加法运算规则如下：(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)3. 向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量，得到一个新的向量。

对于二维向量(a, b)和(c, d)，它们的减法运算规则如下：(a, b) - (c, d) = (a - c, b - d)4. 向量的数量乘法向量的数量乘法是指将一个向量与一个标量相乘，得到一个新的向量。

对于二维向量(a, b)和实数k，它们的数量乘法运算规则如下：k(a, b) = (ka, kb)5. 内积（点乘）内积（点乘）是指将两个向量相乘后再求和的运算。

对于二维向量(a, b)和(c, d)，它们的内积运算规则如下：(a, b)·(c, d) = ac + bd6. 外积（叉乘）外积（叉乘）是向量间的一种运算，用于产生一个新的向量。

外积只适用于三维向量。

对于三维向量(a, b, c)和(d, e, f)，它们的外积运算规则如下：(a, b, c) × (d, e, f) = (bf - ce, cd - af, ae - bd)7. 向量的模向量的模是指向量的长度或大小。

对于二维向量(a, b)，它的模定义为：| (a, b) | = √(a² + b²)8. 向量的单位向量单位向量是指模为1的向量。

高中数学必修4《平面向量的线性运算》教案一、教学目标1.理解向量的加、减、数乘运算及其物理意义。

2.掌握平面向量的线性运算方法。

3.能够应用向量的线性运算解决实际问题。

二、教学重点平面向量的线性运算。

三、教学难点向量线性运算一个实际问题的解决。

四、教学方法讲授法，示范法，练习法，问题解决法。

五、教学工具黑板、多媒体投影仪等。

六、教学过程1.引入教师引导学生回忆已学过的向量概念以及向量的模、方向和共面等概念。

2.新课讲解（1）向量加法。

如果 $\vec {AB}$ 和 $\vec {BC}$ 表示两个向量，那么它们的和为 $\vec {AB} + \vec {BC} = \vec {AC}$，如图所示：向量和的性质：①结合律：$(\vec a+\vec b)+\vec c=\vec a+(\vec b+\vec c)$②交换律：$\vec a+\vec b=\vec b+\vec a$③零向量的性质：$\vec a+\vec 0=\vec a$（2）向量减法。

如果 $\vec {AB}$ 和 $\vec {AC}$ 表示两个向量，那么它们的差为 $\vec {AB}-\vec {AC} = \vec {CB}$，如图所示：向量差的性质：$\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$（3）向量数乘。

如果 $\vec a$ 表示一个向量，$\lambda$ 表示一个标量，那么$\vec a$ 与 $\lambda$ 的积为 $\lambda \vec a$，如图所示：向量数乘的性质：①交换律：$\lambda \vec a=\vec a \lambda$②系数倍数的分配律：$(k+l)\vec a=k\vec a+l\vec a$③数乘的分配律：$k(\vec a+\vec b)=k\vec a+k\vec b$（4）向量共线和平行。

向量 $\vec a$ 和 $\vec b$ 共线的充要条件是 $\vec a = \lambda \vec b (\lambda \in R)$；向量 $\vec a$ 和 $\vec b$ 平行的充要条件是 $\vec a \times \vec b =\vec 0$（叉乘得到的是一个向量，如果结果为 $\vec 0$ 说明它们是平行的），或者 $\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\cdot|\vec b|$。

向量的加减运算向量的加减运算是向量运算中的基本运算之一，其实现的基本思想是将相应位置的分量进行加减运算，从而得到一个新的向量。

本文将对向量的加减运算进行详细的阐述，以便读者更好地理解向量运算的基本概念和应用。

一、定义向量的加减运算是指两个向量分别按照相应位置的分量进行加减运算，得到一个新的向量的过程。

设向量A=(a1,a2,…,an)和向量B=(b1,b2,…,bn)，则这两个向量的和定义为：A+B=(a1+b1,a2+b2,…,an+bn)向量的差定义为：A-B=(a1-b1,a2-b2,…,an-bn)其中，n表示向量的维数，a1,a2,…,an和b1,b2,…,bn分别表示向量A和向量B的相应位置的分量。

二、性质1、交换律：A+B=B+A，A-B≠B-A。

2、结合律：(A+B)+C=A+(B+C)，(A-B)-C=A-(B+C)。

3、向量的加法具有可减性质：A+B=C，则A=C-B。

三、几何意义向量的加减运算在几何上也有很重要的意义。

在平面直角坐标系中，我们可以将一个向量表示为从原点指向平面上某一点的箭头。

对于两个向量A和B，它们的加法A+B 表示从原点出发分别沿着A和B的方向行进，得到的结果向量。

对于向量的减法A-B，则其几何意义为：先将向量B 沿着原向量A的方向平移，使起始点与A的起始点重合，然后以B的终点为终点，从起始点向后连接箭头，得到的结果向量。

四、应用向量的加减运算在许多科学领域都有着广泛的应用。

以下列举几个例子：1、物理学中，向量的加减运算可以用来求解质点的轨迹、速度、加速度等物理量。

2、计算机图形学中，向量的加减运算可以用来实现三维变换、光线跟踪、模拟物理等功能。

3、信号处理中，向量的加减运算可以用来计算信号的平均值、方差等统计量。

4、工程学中，向量的加减运算可以用来求解矩阵运算、拟合数据等问题。

五、总结向量的加减运算是向量运算中的基本运算之一，其实现的基本思想是将相应位置的分量进行加减运算，从而得到一个新的向量。

人教版一年级数学教案认识向量和向量的运算引言：在数学领域，向量和向量的运算是一个重要的概念，在一年级的数学教学中，正确地理解和应用向量和向量的运算对于学生的数学学习和思维能力的培养至关重要。

本文将从认识向量的概念，介绍向量的表示方法，讲解向量的加法和减法运算，以及探讨向量运算在实际问题中的应用等方面，帮助学生建立正确的向量概念和运算技巧。

一、认识向量向量是数学中一个重要的概念，它用来描述有方向和大小的物理量。

在平面直角坐标系中，向量可以用有序数组表示，即(v1, v2)，其中v1和v2分别表示向量在x和y方向上的分量。

二、向量的表示方法1. 箭头表示法：我们可以用一条带有箭头的线段来表示向量，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。

2. 分量表示法：向量的分量表示了向量在x和y方向上的大小。

例如，向量A可以表示为(Ax, Ay)，其中Ax表示向量在x方向上的分量，Ay表示向量在y方向上的分量。

三、向量的加法和减法运算向量的加法和减法运算可以用来计算多个向量之间的关系。

1. 向量的加法向量的加法定义为：若有向量A=(Ax, Ay)和向量B=(Bx, By)，则A和B的和向量C=(Ax+Bx, Ay+By)。

例如：已知向量A=(2,3)和向量B=(4,1)，求向量C=A+B的值。

解：根据向量的加法定义，C=(2+4, 3+1)=(6,4)。

2. 向量的减法向量的减法定义为：若有向量A=(Ax, Ay)和向量B=(Bx, By)，则A减B的差向量D=(Ax-Bx, Ay-By)。

例如：已知向量A=(5,7)和向量B=(2,3)，求向量D=A-B的值。

解：根据向量的减法定义，D=(5-2, 7-3)=(3,4)。

四、向量运算在实际问题中的应用向量运算在实际问题中有着广泛的应用，例如：1. 位移、速度和加速度的计算：位移、速度和加速度都是描述物体运动的向量量，通过对向量的加法和减法运算，可以计算物体的位移、速度和加速度。