全等三角形hl练习题

全等三角形的判定(三)HL【经典例题】例1.如图，B 、E 、F 、C 在同一直线上，AF ⊥BC 于F ，DE ⊥BC 于E ，AB=DC ，BE=CF ，求证：CD AB //例2.已知 如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AD=BC ，求证：AD ∥BC.例3.如图，AD 是△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F ，具有BF=AC ，FD=CD ，试探究BE 与AC 的位置关系.例4.如图，A 、E 、F 、B 四点共线，AC ⊥CE 、BD ⊥DF 、AE=BF 、AC=BD ，求证：△ACF ≌△BDE.ADBABEDFABDCEFA【经典练习】1.如图，在△ABC 和△ABD 中，∠C=∠D=90°，若利用“AAS ”证明△ABC ≌△ABD ，则需要加条件或 ； 若利用“HL ”证明△ABC ≌△ABD ，则需要加条件 或 ．2.如图，在△ABC 中，已知D 是BC 中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，DE ＝DF . 求证：AB=AC3．如图，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，AC ∥DB ，且AC=BD ，那么Rt △AEC ≌Rt △BFD 的理由是（ ）.A ．SSS B. AAS C. SAS D. HL4.已知：如图，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，CF ⊥AD 于F ，且BC ＝DC .你能说明BE 与DF 相等吗？ABCDE F 125.如图，在△ABC 中，AB =AC ，DE 是过点A 的直线，BD ⊥DE 于D ，CE ⊥DE 于E ． （1）若BC 在DE 的同侧（如图①）且AD =CE ，说明：BA ⊥A C ．（2）若BC 在DE 的两侧（如图②）其他条件不变，问AB 与AC 仍垂直吗？若是请予证明，若不是请说明理由．【巩固练习】 基础训练题1．在Rt △ABC 和Rt △DEF 中，∠ACB=∠DFE=︒90，AB=DE ，AC=DF ，那么Rt △ABC 与Rt △DEF（填全等或不全等）2．如图，点C 在∠DAB 的内部，CD ⊥AD 于D ，CB ⊥AB 于B ，CD=CB 那么Rt △ADC ≌Rt △ABC 的理由是（ ）A ．SSS B. ASAC. SASD. HL3．下列说法正确的个数有（ ）.①有一角和一边对应相等的的两个三角形全等； ②有两边对应相等的两个直角三角形全等； ③有两边和一角对应相等的两个直角三角形全等； ④有两角和一边对应相等的两个直角三角形全等. A ．1个B. 2个C. 3个D. 4个4．过等腰△ABC 的顶点A 作底边的垂线，就得到两个全等三角形，其理由是 . 5．如图，△ABC 中，∠C=︒90，AM 平分∠CAB ，CM=20cm ，那么M 到AB 的距离是（ ）cm.6．在△ABC 和△C B A '''中，如果AB=B A ''，∠B=∠B '，AC=C A ''，那么这两个三角形（ ）. A ．全等B. 不一定全等C. 不全等D. 面积相等，但不全等ACDB ┐ ABM C☆7.如果两个三角形中两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是 （ ）A. 相等B. 不相等C. 互余或相等D. 互补或相等8．如图，∠B=∠D=︒90，要证明△ABC 与△ADC 全等， 还需要补充的条件是 .9．如图，在△ABC 中，∠ACB=︒90，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ，求证：DE=AD+BE.10．如图，已知AC ⊥BC ，AD ⊥BD ，AD=BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，那么，CE=DF 吗？谈谈你的理由DBF11．如图，已知AB=AC，AB⊥BD，AC⊥CD，AD，BC相交于点E，求证：（1）CE=BE；（2）CB⊥AD.能力提高题1.如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．（1）求证：MB=MD，ME=MF（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．2.如图，在ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，且DE=DF，试说明AB=AC.A E DC3.如图：BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，BM=AC ，CN=AB 。

学校 班级 姓名____________ ___考试时间__________ ____ 装订线内不要答题 ◆◆装◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆订◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆线◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆学年度八年级数学练习四1.3探索三角形全等的条件（HL ）共五个班:初二班使用，命题人：宋仁帅 2014--一、选择题1．如图，点C 在∠DAB 的内部，CD ⊥AD 于D ，CB ⊥AB 于B，CD=CB 那么Rt △ADC ≌Rt△ABC 的理由是（ ）A ．SSSB. ASAC. SASD. HL2．如图，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，AC ∥DB ，且AC=BD ，那么Rt △AEC ≌Rt△BFC 的理由是（ ）.A ．SSSB. AASC. SASD. HL3．下列说法正确的个数有（ ）.①有一角和一边对应相等的的两个直角三角形全等； ②有两边对应相等的两个直角三角形全等； ③有两边和一角对应相等的两个直角三角形全等； ④有两角和一边对应相等的两个直角三角形全等. A ．1个B. 2个C. 3个D. 4个4．过等腰△ABC 的顶点A 作底面的垂线，就得到两个全等三角形，其理由是 . 5．如图，△ABC 中，∠C=︒90，AM 平分∠CAB ，CM=20cm ，那么M 到AB 的距离是（ ）cm.6．在△ABC 和△C B A '''中，如果AB=B A ''，∠B=∠B '（ ）. A ．全等B. 不一定全等C. 不全等D. 面积相等，但不全等二、填空题7．在Rt △ABC 和Rt △DEF 中，∠ACB=∠DFE=︒90，AB=DE ，AC=DF ，那么Rt △ABC 与 Rt △DEF （填全等或不全等）C BA8．如图，∠B=∠D= 90，要证明△ABC 与△ADC 全等，还需要补充的条件是 . 三、解答题9．已知 如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AB=DC ，求证：AD ∥BC.10．公路上A 、B 两站（视为直线上的两点）相距26km ，C 、D 为两村庄（视为两个点），DA ⊥AB 于点A ，CB ⊥AB 于点B ，已知DA=16km ，BC=10km ，现要在公路AB 上建一个土特产收购站E ，使CD 两村庄到E 站的距离相等，那么E 站应建在距A 站多远才合理？11.如图，AD 是△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F ，具有BF=AC ，FD=CD ，试探究BE 与AC 的位置关系.12.如图，A 、E 、F 、B 四点共线，AC ⊥CE 、BD ⊥DF 、AE=BF 、AC=BD ，求证：△ACF ≌△BDE.B AB DC EF13. 如图，在△ABC 中，∠ACB= 90，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ，求证：DE=AD+BE.14. 如图，已知AC ⊥BC ，AD ⊥BD ，AD=BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，那么，CE=DF 吗？谈谈你的理由！15．如图，已知AB=AC ，AB ⊥BD ，AC ⊥CD ，AD ，BC 相交于点E ， 求证：（1）CE=BE ；（2）CB ⊥AD.ANB16.如图，△ABC 中，D 是BC 上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，E 、F 分别为垂足，且AE=AF ，试说明：DE=DF ，AD 平分∠BAC.17.如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E 、F ，且DE=DF ，试说明AB=AC.18.如图，AB=CD ，DF ⊥AC 于F ，BE ⊥AC 于E ，DF=BE ，求证：AF=CE.19.如图，△ABC 中，∠C=90°，AB=2AC ，M 是AB 的中点，点N 在BC 上，MN ⊥AB 。

用“HL ”证直角三角形全等同步练习含答案基础题基础题知识点1 1 用“用“用“HL HL HL”判定两个三角形全等”判定两个三角形全等”判定两个三角形全等1．如图，∠．如图，∠A A ＝∠D＝＝∠D＝909090°，°，°，AC AC AC＝＝DB DB，则△ABC≌△DCB ，则△ABC≌△DCB 的理由是（的理由是（ ） A ．HL HL B ．ASA C ．AAS D ．SAS2．下列判定两个直角三角形全等的方法中，不正确的是（．下列判定两个直角三角形全等的方法中，不正确的是（ ） A ．两条直角边分别对应相等．两条直角边分别对应相等 B ．斜边和一锐角分别对应相等．斜边和一锐角分别对应相等 C ．斜边和一条直角边分别对应相等．斜边和一条直角边分别对应相等 D ．两个三角形的面积相等．两个三角形的面积相等3．如图所示，△．如图所示，△ABC ABC 中，中，AD AD AD⊥⊥BC 于D ，再添加一个条件，再添加一个条件____________________________________________________________，可使△ABD≌△ACD.，可使△ABD≌△ACD.，可使△ABD≌△ACD.4．如图，小明和小芳以相同的速度分别同时从A ，B 出发，小明沿AC 行走，小芳沿BD 行走，并同时到达C 、D ，若CB⊥AB，CB⊥AB，DA DA DA⊥⊥AB AB，则，则CB 与DA 相等吗？为什么？21世纪教育网版权所有5．已知AD⊥BE，垂足C 是BE 的中点，的中点，AB AB AB＝＝DE DE，请说明，请说明AB∥DE 的理由．的理由．6．如图，∠．如图，∠ACB ACB ACB＝∠CFE＝＝∠CFE＝＝∠CFE＝909090°，°，°，AB AB AB＝＝DE DE，，BC BC＝＝EF EF，求证：，求证：，求证：AD AD AD＝＝CF.知识点2 2 直角三角形全等判定方法的选用直角三角形全等判定方法的选用直角三角形全等判定方法的选用7．在Rt Rt△△ABC 和Rt Rt△△A ′B ′C ′中，∠′中，∠C C ＝∠C′＝＝∠C′＝909090°，如图，那么下列各条件中，不能使°，如图，那么下列各条件中，不能使Rt Rt△△ABC ABC≌≌Rt △A ′B ′C ′的是（′的是（）21教育网A ．AB AB＝A′B′＝＝A′B′＝＝A′B′＝55，BC BC＝B′C′＝＝B′C′＝＝B′C′＝3 3 B ．AB AB＝B′C′＝＝B′C′＝＝B′C′＝55，∠，∠A A ＝∠B′＝＝∠B′＝404040°° C ．AC AC＝A′C′＝＝A′C′＝＝A′C′＝55，BC BC＝B′C′＝＝B′C′＝＝B′C′＝3 3D ．AC AC＝A′C′＝＝A′C′＝＝A′C′＝55，∠，∠A A ＝∠A′＝＝∠A′＝404040°°8．如图，在△．如图，在△ABC ABC 中，点D 是BC 的中点，的中点，DE DE DE⊥⊥AB 于点E ，DF DF⊥⊥AC 于点F ，BE BE＝＝CF.(1)(1)图中有几对全等的三角形？请一一列出；图中有几对全等的三角形？请一一列出；图中有几对全等的三角形？请一一列出；(2)(2)选择一对你认为全等的三角形说明理由．选择一对你认为全等的三角形说明理由．选择一对你认为全等的三角形说明理由． 中档题中档题9．如图，在Rt Rt△△ABC 中，∠中，∠BAC BAC BAC＝＝9090°，°，°，DE DE DE⊥⊥BC BC，，AC AC＝＝6，EC EC＝＝6，∠，∠ACB ACB ACB＝＝6060°，则∠ACD °，则∠ACD 的度数为（的度数为（）A ．4545°°B ．3030°°C ．2020°°D ．1515°°1010．如图，在直角三角形．如图，在直角三角形ABC 中，∠中，∠C C ＝9090°，一条线段°，一条线段PQ PQ＝＝AB AB，点，点P ，Q 两点分别在AC 和AC 的垂线AX 上移动，当AP AP＝＝________________时，才能使△ABC≌△QPA.时，才能使△ABC≌△1111．如图，已知方格纸中是．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1＋∠3＝个相同的正方形，则∠1＋∠3＝________________________．．1212．如图，已知．如图，已知AE AE＝＝DE DE，，AB AB⊥⊥BC BC，，DC DC⊥⊥BC BC，且，且AB AB＝＝EC.EC.求证：求证：求证：BC BC BC＝＝AB AB＋＋DC.1313．如图所示，已知．如图所示，已知AB AB＝＝CD CD，，DE DE⊥⊥AC 于E ，BF BF⊥⊥AC 于F ，且BF BF＝＝DE DE，求证：AB∥CD.，求证：AB∥CD.，求证：AB∥CD.1414．如图，已知．如图，已知AD AD，，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，如果AD AD＝＝AF AF，，AC AC＝＝AE.AE.求证：求证：求证：BC BC BC＝＝BE.综合题综合题1515．已知：点．已知：点O 到△ABC 的两边AB AB，，AC 所在直线的距离相等，且OB OB＝＝OC.(1)(1)如图如图1，若点O 在边BC 上，求证：∠ABO＝∠ACO；上，求证：∠ABO＝∠ACO；(2)(2)如图如图2，若点O 在△ABC 的内部，求证：∠ABO＝∠ACO.的内部，求证：∠ABO＝∠ACO.参考答案参考答案1．A A 2.D 2.D 2.D 3.3.3.答案不唯一，如答案不唯一，如AB AB＝＝AC AC，或，或BD BD＝＝CD 等 4.CB 4.CB＝＝DA.DA.理由：由题意易知理由：由题意易知AC AC＝＝BD. ∵CB⊥AB，∵CB⊥AB，DA DA DA⊥⊥AB AB，， ∴∠∴∠DAB DAB DAB＝∠CBA＝＝∠CBA＝＝∠CBA＝909090°°.在Rt Rt△△DAB 与Rt Rt△△CBA 中，îïíïìBD BD＝＝AC AC，，AB AB＝＝BA BA，， ∴Rt Rt△△DAB DAB≌≌Rt Rt△△CBA(HL)CBA(HL)．． ∴DA＝∴DA＝CB. CB. CB. 5.∵C 是BE 的中点，的中点， ∴BC BC＝＝CE .∵AD⊥BE，.∵AD⊥BE，∴∠∴∠ACB ACB ACB＝∠DCE＝＝∠DCE＝＝∠DCE＝909090°°.在Rt Rt△△ACB 与Rt Rt△△DCE 中，îïíïìAB AB＝＝DE DE，，BC BC＝＝EC EC，，∴Rt Rt△△ACB ACB≌≌Rt Rt△△DCE(HL)DCE(HL)．． ∴∠B＝∠E.∴∠B＝∠E. ∴AB∥DE.∴AB∥DE.6.6.证明：∵∠ACB＝∠CFE＝证明：∵∠ACB＝∠CFE＝证明：∵∠ACB＝∠CFE＝909090°，°，°， ∴∠∴∠ACB ACB ACB＝∠DFE＝＝∠DFE＝＝∠DFE＝909090°°.在Rt Rt△△ACB 和RtRt△△DFE 中，îïíïìAB AB＝＝DE DE，，BC BC＝＝EF EF，，∴Rt Rt△△ACB ACB≌≌Rt Rt△△DFE(HL)DFE(HL)．． ∴AC＝∴AC＝DF. DF.∴AC－∴AC－AF AF AF＝＝DF DF－－AF AF，即，即AD AD＝＝CF. CF. 7.B8．(1)△BDE≌△CDF，△．(1)△BDE≌△CDF，△AED AED AED≌△≌△≌△AFD AFD AFD，△，△，△ABD ABD ABD≌△≌△≌△ACD. ACD. (2)∵DE⊥AB，(2)∵DE⊥AB，DF DF DF⊥⊥AC AC，， ∴△∴△BDE BDE 和△CDF 是直角三角形．是直角三角形． ∵D 是BC 的中点，的中点，∴BD BD＝＝CD. 又∵BE＝又∵BE＝CF CF CF，，∴Rt Rt△△BDE BDE≌≌Rt Rt△△CDF(HL)CDF(HL)．． 9.B 10．CB CB 11.9011.9011.90°° 12.12.证明：∵AB⊥BC，证明：∵AB⊥BC，证明：∵AB⊥BC，DC DC DC⊥⊥BC BC，， ∴∠∴∠B B ＝∠C＝＝∠C＝909090°°.在Rt Rt△△ABE 和Rt Rt△△ECD 中，îïíïìAE AE＝＝ED ED，，AB AB＝＝EC EC，， ∴Rt Rt△△ABE ABE≌≌Rt Rt△△ECD. ∴BE BE＝＝CD. ∵BC＝∵BC＝BE BE BE＋＋EC EC，， ∴BC BC＝＝AB AB＋＋DC. DC.13.13.证明：∵DE⊥AC，证明：∵DE⊥AC，证明：∵DE⊥AC，BF BF BF⊥⊥AC AC，， ∴∠∴∠AFB AFB AFB＝∠CED＝＝∠CED＝＝∠CED＝909090°°.在Rt Rt△△ABF 和Rt Rt△△CDE 中，îïíïìAB AB＝＝CD CD，，BF BF＝＝DE DE，， ∴Rt Rt△△ABF ABF≌≌Rt Rt△△CDE(HL)CDE(HL)．． ∴∠∴∠BAF BAF BAF＝∠DCE.＝∠DCE.＝∠DCE. ∴AB∥CD.∴AB∥CD.14.14.证明：∵证明：∵证明：∵AD AD AD，，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，的高， ∴∠∴∠ADB ADB ADB＝∠AFB＝＝∠AFB＝＝∠AFB＝909090°°. ∵AB AB＝＝AB AB，，AD AD＝＝AF AF，， ∴Rt Rt△△ABD ABD≌≌Rt Rt△△ABF. ∴DB DB＝＝FB.∵AC＝∵AC＝AE AE AE，，AD AD＝＝AF AF，， ∴Rt Rt△△ADC ADC≌≌Rt Rt△△AFE. ∴DC DC＝＝FE.∴DB－∴DB－DC DC DC＝＝FB FB－－FE FE，即，即BC BC＝＝BE. BE.15.15.证明：证明：证明：(1)(1)(1)过点过点O 作OE⊥AB 于E ，作OF⊥AC 于F ，则∠BEO＝∠CFO＝，则∠BEO＝∠CFO＝909090°°. 又∵OB＝又∵OB＝OC OC OC，，OE OE＝＝OF OF，，∴Rt Rt△△BOE BOE≌≌Rt Rt△△COF(HL)COF(HL)．． ∴∠ABO＝∠ACO.∴∠ABO＝∠ACO.(2)(2)过点过点O 分别作OE⊥AB，OE⊥AB，OF OF OF⊥⊥AC AC，，E ，F 分别是垂足，则∠BEO＝∠CFO＝分别是垂足，则∠BEO＝∠CFO＝909090°°. 又∵OB＝又∵OB＝OC OC OC，，OE OE＝＝OF OF，， ∴Rt Rt△△OEB OEB≌≌Rt Rt△△OFC.∴∠∴∠EBO EBO EBO＝∠FCO，即∠ABO＝∠ACO.＝∠FCO，即∠ABO＝∠ACO.＝∠FCO，即∠ABO＝∠ACO.。

11.2 三角形全等的判定(HL)题号一1 二2 三3 四4 五5 六6 七7 八8 得分度的反复训练才能取得跟多的收获，我们设计的试卷主要就是从这点出发，所以从你下载这张试卷开始，就与知识接近了一步。

◆课堂测控测试点斜边，直角边1．如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，由_______可证明△ABD≌△ACD，从而有BD=______，∠B=________．2．下列命题中，正确的是（）A．有两条边分别相等的两个直角三角形全等B．有一条边相等的两个等腰直角三角形全等C．有两条直角边分别相等的两个直角三角形全等D．有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等3．如图，已知AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，DE=BF，求证：AB∥CD．4．（研讨题）“有两边相等的两个直角三角形全等”这个命题对吗？下面是小松、小强、小红三位同学的看法．小松：正确．因为如果两边都为直角边，则夹角是直角，用SAS可以证明它们全等．小强：正确，因为如果其中一边是直角边，另一边是斜边，则可用HL证明它们全等．小红：不正确，如果一个三角形的较长的直角边与较长的直角边相等，•则显而易见两个三角形不全等．请发表你的看法．◆课后测控5．下面说法不正确的是（）A．有一角和一边相等的两个直角三角形全等B．有两直角边对应相等的两个直角三角形全等C．有两角对应相等的两个直角三角形全等D．有一锐角和其对边对应相等的两个直角三角形全等6．如图，AB=AC，AF⊥BC于F，D，E分别为BF，CF的中点，•则图中全等三角形共有（）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对(第6题) (第7题) (第8题)7．如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC，BD交于点O，如果AC=BD，那么下列结论中：①AD=BC；②∠ABC=∠BAD；③∠DAC=∠CBD；④OC=OD，其中正确的有（）A．①②③④ B．①②③ C．①② D．②③8．如图，在Rt△ABC的斜边BC上截取CD=CA，过点D作DE⊥BC交AB于E，则有（）A．DE=DB B．DE=AE C．AE=BE D．AE=BD9．如图，AC=AD，∠C和∠D是直角，将上述条件标注在图中，线段BC和BD相等吗？请说明理由．10．如图，∠BAC=90°，AB=AC，D在AC上，E在BA的延长线上，•BD=CE，BD延长线交CE 于F，求证：BF⊥CE．[注明：图中标注的∠1，∠2能不能给你启发呢？]11．如图，△ABC中，∠B=90°，AD为∠BAC的平分线，DF⊥AC于F，E为AB上一点，且DE=DC．求证：BE=CF．◆拓展测控12．如图，AD，A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，•且AB=A′B′，AD=A′D′，请你补充一个条件使△ABC≌△A′B′C′．答案：1．HL CD ∠C （点拨：AD 为公共的直角边） 2．C （点拨：两条直角边的夹角为直角） 3．证明：在Rt △ABF 和Rt △CDE 中， ,,AB CD BF DE =⎧⎨=⎩∴Rt △ABF ≌Rt △CDE （HL ），∴∠A=∠C ，∴AB ∥CD ．4．小松、小强两学生的回答都片面地理解成这两边是对应的，•即直角边与直角边对应，斜边与斜边对应，故得出了错误的结论，•恰恰命题中漏掉了两个关键字“对应”，就会出现小红同学的分析结果，故小红是正确的，•所以我们一定要重视全等三角形中的“对应”二字．[总结反思]有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 5．C （点拨：C 选项中没有边对应相等）6．D （点拨：图中有△ABF ≌△ACF ，△ABD ≌△ACE ，△ADF ≌△AEF ，△ABE ≌△ACD ） 7．A （点拨：易证：△ABD ≌△BAC ，△AOD ≌△BOC ） 8．B （点拨：连结CE ，则Rt △ACE ≌Rt △DCE ） 9．解：BC=BD ．理由如下： 在Rt △ABC 和Rt △ABD 中，,.AC AD AB AB =⎧⎨=⎩∴Rt △ABC ≌Rt △ABD （HL ），∴BC=BD ．[解题规律]充分利用公共斜边或直角边证明两直角三角形全等．10．证明：∵∠BAC=90°，∴在Rt △ABD 和Rt △ACE 中，,,AB AC BD CE =⎧⎨=⎩∴Rt △ABD ≌Rt △ACE （HL ）．∴∠1=∠2．∵∠2+∠E=90°，∴∠1+∠E=90°，∴∠BFE=90°，即BF⊥CE．[解题方法]结合图形，分析已知条件发现直角三角形全等，得∠1=∠2，再充分利用图中∠2+∠E=90°，从而得到∠1+∠E=90°，这类题目要关注构图的规律．11．证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠FAD．在△ABD和△AFD中，,90,,BAD FADB AFDAD AD∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ABD≌△AFD（AAS），∴BD=DF．在Rt△BDE和Rt△FDC中，,, BD DF DE DC=⎧⎨=⎩∴Rt△BDE≌Rt△FDC（HL），∴BE=CF．[解题方法]分析结论须证△BDE≌△FDC，但还差一条件，为此先证△ABD≌△AFD得到BD=FD，一般地一次三角形全等不能解决问题时，要细致分析，证两次或两次以上的三角形全等．而第一次全等的目的是为证第二次全等服务的．12．可供选择的条件可从以下几条中任选其一：①∠C=∠C′②BC=B′C′③∠BAC=∠B′A′C′④AC=A′C′⑤∠DAC=∠D′A′C′⑥DC=D′C′[解题技巧]这是一道探究题，题目探究△ABC≌△A′B′C′的条件，解题时应先分析已具备什么条件，还缺什么条件，同时联系三角形全等的各种证明方法，•选择出多种满足结论的条件．可以编辑的试卷（可以删除）。

11.2三角形全等的判定（HL）◆随堂检测1. 如图，AC=AD，∠C，∠D是直角，你能说明BC与BD相等吗？2．如图，两根长相等的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面的两个木桩上，两根木桩到旗杆底部的距离相等吗？请说明理由。

3. 如图，已知AD⊥BE,垂足C是BE的中点,AB=DE.求证：AB//DE.◆典例分析CDA B例:已知△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，AC=A′C′，如 AD、A′D′分别是BC、B′C′边上的高，且 AD=A′D′．问△ABC与△A′B′C′是否全等？如果全等，给出证明.如果不全等，请举出反例．错解：这两个三角形全等．证明如下：如图1，在Rt△ABD和 Rt△A′B′D′中，∵AB=A′B′，AD=A′D′∴Rt△ABD≌Rt△A′B′D′.∴BD=B′D′同理可证 DC=D′C′，∴BC=B′C′在△ABC和△A′B′C′中，∵AB=A′B′，AC=A′C′，BC=B′C′，∴△ABC≌△A′B′C′.评析：这两个三角形不一定全等．当这两个三角形均为钝角(或锐角)三角形时全等；若一个是锐角三角形，一个是钝角三角形时就不可能全等．如图2，虽有AB=A′B′，AC=A′C′，但BC≠B′C′，因此这两个三角形不全等．◆课下作业●拓展提高4.把下列说明Rt△ABC≌Rt△DEF的条件或根据补充完整.(1) _______,∠A=∠D ( ASA )(2) AC=DF,________ (SAS)(3) AB=DE,BC=EF ( )(4) AC=DF, ______ ( HL )(5) ∠A=∠D, BC=EF ( )(6) ________,AC=DF ( AAS )5.小明既无圆规，又无量角器，只有一个三角板，他是怎样画角平分线的呢？他的具体做法如下：在已知∠AOB的两边上，分别取OM=ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线交点为P,画射线OP.则OP平分∠AOB。

11．2．4 全等三角形的判定（四）（HL ）一、自主探究 的两个直角三角形全等，简写为“ 斜边直角边 ”或“ ”．1．斜边、直角边公理（HL ）只能用于证明直角三角形的全等，对于其它三角形不适用；2．SSS 、SAS 、ASA 、AAS 适用于任何三角形，包括直角三角形；3．直角三角形ABC 可表示为“Rt △ABC” ．二、例题学习例1．如图，OA PC ⊥于C ，OB PD ⊥于D ，且PD PC =，求证：DPO CPO ∠=∠．例2．如图，AC AB =，AF AE =，EC AE ⊥于E ，FB AF ⊥于F ．求证：21∠=∠．【冲关训练】第一关：1．下列命题中正确的有（ ）①两直角边对应相等的两直角三角形全等；②两锐角对应相等的两直角三角形全等；③斜边和一条直角边对应相等的两直角三角形全等；④一锐角和斜边对应相等的两直角三角形全等．A ．2个B ．3个C ．4个D ．1个2．如图，ABC ∆和EDF ∆中，︒=∠=∠90D B ，E A ∠=∠，点B 、F 、C 、D 在同一条直线上，再增加一个条件，不能判定ABC ∆≌EDF ∆的是（ ）A ．ED AB = B ．EF AC = C ．EF AC //D ．DC BF =3．如图，AC AB =，AC BD ⊥于D ，AB CE ⊥于E ，图中全等三角形的组数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5第二关：4．如图，BD AE ⊥于E ，BD CF ⊥于F ，CD AB =，CF AE =． 求证：CD AB //5．如图，点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，CD AB =，AD EB ⊥， AD FC ⊥，且DF AE =，求证：DE AF =。

直角三角形全等HL【典型例题】例1 如图，B 、E 、F 、C 在同一直线上，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，AB=DC ，BE=CF ，试判断AB 与CD 的位置关系. 例2 已知 如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AB=DC ，求证：AD ∥BC.例3 公路上A 、B 两站（视为直线上的两点）相距26km ，C 、D 为两村庄（视为两个点），DA ⊥AB 于点A ，CB ⊥AB 于点B ，已知DA=16km ，BC=10km ，现要在公路AB 上建一个土特产收购站E ，使CD 两村庄到E 站的距离相等，那么E 站应建在距A 站多远才合理？例4 如图，AD 是△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F ，具有BF=AC ，FD=CD ，试探究BE 与AC 的位置关系. 例5 如图，A 、E 、F 、B 四点共线，AC ⊥CE 、BD ⊥DF 、AE=BF 、AC=BD ，求证：△ACF ≌△BDE.【经典练习】1．在Rt △ABC 和Rt △DEF 中，∠ACB=∠DFE= 90，AB=DE ，AC=DF ，那么Rt △ABC 与Rt △DEF（填全等或不全等）2．如图，点C 在∠DAB 的内部，CD ⊥AD 于D ，CB ⊥AB 于B ，CD=CB 那么Rt △ADC ≌Rt △ABCABBABDCE F的理由是（ ）A ．SSS B. ASA C. SASD. HL3．如图，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，AC ∥DB ，且AC=BD ，那么Rt △AEC ≌Rt △BFC 的理由是（ ）.A ．SSSB. AASC. SASD. HL4．下列说法正确的个数有（ ）.①有一角和一边对应相等的的两个直角三角形全等； ②有两边对应相等的两个直角三角形全等； ③有两边和一角对应相等的两个直角三角形全等； ④有两角和一边对应相等的两个直角三角形全等. A ．1个B. 2个C. 3个D. 4个5．过等腰△ABC 的顶点A 作底面的垂线，就得到两个全等三角形，其理由是 . 6．如图，△ABC 中，∠C=︒90，AM 平分∠CAB ，CM=20cm ，那么M 到AB 的距离是（ ）cm.7．在△ABC 和△C B A '''中，如果AB=B A ''，∠B=∠B '，AC=C A ''，那么这两个三角形（ ）.A ．全等B. 不一定全等C. 不全等D. 面积相等，但不全等8．如图，∠B=∠D=︒90，要证明△ABC 与△ADC 全等，还需要补充的条件是 .9．如图，在△ABC 中，∠ACB=︒90，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ，求证：DE=AD+BE.10．如图，已知AC ⊥BC ，AD ⊥BD ，AD=BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，那么，CE=DF BAADAN吗？谈谈你的理由!11．如图，已知AB=AC ，AB ⊥BD ，AC ⊥CD ，AD ，BC 相交于点E ，求证：（1）CE=BE ；（2）CB ⊥AD.提高题型：1.如图，△ABC 中，D 是BC 上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，E 、F 分别为垂足，且AE=AF ，试说明：DE=DF ，AD 平分∠BAC.2.如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E 、F ，且DE=DF ，试说明AB=AC.3.如图，AB=CD ，DF ⊥AC 于F ，BE ⊥AC 于E ，DF=BE ，求证：AF=CE. AEDBC ABE4.如图，△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，M是AB的中点，点N在BC上，MN⊥AB。

12.2三角形全等的判定HL学校： 班级： 学号： 姓名： 成绩：1 .判断①两条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等 〔 〕 ②有两角分别对应相等的两个直角三角形全等 〔 〕 ③有一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等 〔 〕 ④斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 〔 〕2. 在Rt △ABC 和Rt △AB /C /中，∠C=∠C /=90°，以下条件中能判定Rt △ABC ≌Rt △A /B /C /的个数有〔 〕(1)AC=A /C / ,∠A=∠A / ；〔2〕AC=A /C / ，AB=A /B /；〔3〕AC=A /C / ，BC=B /C / ；〔4〕AB=A /B / ,∠A=∠A/3. 如图在△ABC 与△ADC 中，∠B ＝∠D ＝90°，假设利用“AAS 〞证明△ABC ≌△ADC ，那么需添加条件 或 ；假设利用“HL 〞证明证明△ABC ≌△ADC ，那么需添加条件 或 .4. 如图，AB ⊥AC 于A ，BD ⊥CD 于D ，AC 交BD 于点O ，假设AC=DB ，那么以下结论不正确的选项是〔 〕A.∠A=∠DB.∠ABC ≌∠DCBC.OB=ODD.OA=OD 5. 如下图，△ABC 中，∠BAD=∠CAD，要判断△ABD≌△ACD: (1)根据SAS 还需要添加的最少条件是： (1)根据ASA 还需要添加的最少条件是：(1)根据AAS 还需要添加的最少条件是：(1)根据HL 还需要添加的最少条件是：6． 如下图，∠B=∠ACD,∠ACB=∠D=90°，AC 是△ABC 和△ACD 的公共边。

能否判断△ABC≌△ACD？请说明理由。

A DB COD B CA第3题图 第4题图 第5题图 A DB7.，如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD=CB，求证：△AB D ≌△CDB。

8. 如图，AB=CD ，AE⊥BC，DF⊥BC，CE=BF，求证：AE=DF。

2020—2021八年级上学期专项冲刺卷（人教版）专项12.5 三角形全等的判定（HL ）姓名：___________考号：___________分数：___________（考试时间：100分钟 满分：120分）一、 选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．如图，在ABC 中，BE AC ⊥于点E ，AF 分别交BE ，BC 于点F ，D ，AE BE =，若依据“HL ”说明AEF BEC ≌，则下列所添条件合理的是（ ）A ．EF CE =B ．AFEC ∠=∠ C ．BD AD ⊥ D ．AF BC =【答案】D【分析】 根据“HL ”进行判断即可．【详解】解：由题意得，AEF 和BEC △中，有一组直角边对应相等，即AE BE =缺少斜边对应相等，即AF BC =，故选：D ．【点睛】此题主要考查了“HL ”的应用，熟练掌握直角三角形的判定方法是解答此题的关键．2．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，DE AB ⊥于点D ，BC BD =．如果3cm AC =，那么AE DE +=（ ）A ．2cmB ．4cmC ．3cmD ．5cm【答案】C【分析】通过HL 判定定理可证Rt∆BDE ≅Rt∆BCE ，得到ED=EC ，即可求解．【详解】在Rt BCE 和Rt BDE △中，BC BD =，BE BE =，∴()Rt Rt HL BCE BDE ≌△△， ∴ED EC =，∴3cm AE DE AE EC AC +=+==．故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，注意:直角三角形全等的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，HL ，全等三角形的对应边相等.3．如图，已知在ABC 和DEF 中，AB DE =，BC EF =，下列条件中不能判定ABC DEF △≌△的是（ ）A ．AC DF =B ．B E ∠=∠C ．AB AC ⊥且ED DF ⊥ D ．C F ∠=∠【答案】D【分析】根据三角形全等的判定条件可直接排除选项．【详解】解：A 、若AC DF =，则根据“SSS”可判定ABC DEF △≌△，故不符合题意；B 、若B E ∠=∠，则根据“SAS”可判定ABC DEF △≌△，故不符合题意；C 、若AB AC ⊥且ED DF ⊥，则根据“HL”可判定ABC DEF △≌△，故不符合题意； D 、若C F ∠=∠，则不能判定ABC DEF △≌△，故符合题意；故选D ．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的条件是解题的关键．4．如图，AB BC ⊥，CD BC ⊥，AC BD =，则能证明ABC DCB ≅的判定法是( )A ．SASB ．AASC ．SSSD ．HL【答案】D【分析】 直接证明全等三角形，即可确定判断方法.【详解】解：∵AB BC ⊥，CD BC ⊥，∴ABC 与△DCB 均为直角三角形，又AC DB =，BC CB =，∴()ABC DCB HL ≅,故选：D.【点睛】本题考查全等三角形的判定定理，属于基础题.5．用三角尺画角平分线：如图，先在AOB ∠的两边分别取OM ON =，再分别过点M ，N 作OA ，OB 的垂线，交点为P ．得到OP 平分AOB ∠的依据是（ ）A ．HLB ．SSSC ．SASD ．ASA【答案】A【分析】 利用垂直得到90PMO PNO ∠=∠=，再由OM ON =，OP OP =即可根据HL 证明()HL ≌PMO PNO △△，由此得到答案.【详解】∵PM OA ⊥，PN OB ⊥，∴90PMO PNO ∠=∠=．∵OM ON =，OP OP =，∴()HL ≌PMO PNO △△， ∴POA POB ∠=∠，故选：A ．【点睛】此题考查三角形全等的判定定理：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ，根据题中的已知条件确定对应相等的边或角，由此利用以上五种方法中的任意一种证明两个三角形全等.6．如图，在Rt ABC 和Rt ADE △中，90,,ACB AED AB AD AC AE ∠=∠===，则下列说法不正确的是（ ）A ．BC DE =B ．BAE DAC ∠=∠ C ．OC OE =D ．EAC ABC ∠=∠【答案】D【分析】 根据HL 定理分别证明Rt △ABC ≌Rt △ADE 和Rt △AEO ≌Rt △ACO ，根据全等三角形的性质可判断各选项．【详解】解：解：∵90,,ACB AED AB AD AC AE ∠=∠===，∴Rt △ABC ≌Rt △ADE （HL ）∴BC DE =，∠BAC=∠DAE ，故A 选项正确；∴∠BAC-∠EAC=∠DAE-∠EAC ，即BAE DAC ∠=∠，故B选项正确；连接AO，∵AE=AC，AO=AO，∴Rt△AEO≌Rt△ACO（HL），∴OC OE=，故C选项正确；无法得出EAC ABC∠=∠，故D选项错误；故选：D．【点睛】本题全等三角形的性质与判断．掌握证明直角三角形全等的HL定理是解题关键．7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=5cm，在AC上取一点E使EC=BC，过点E作EF⊥AC，连接CF，使CF=AB，若EF=12cm，则AE的长为（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm【答案】C【分析】根据已知条件证明Rt△ABC≌Rt△FCE，即可求出答案．【详解】∵EF⊥AC，∴∠CEF=90°，在Rt△ABC和Rt△FCE中BC CE BA CF=⎧⎨=⎩，∴Rt△ABC≌Rt△FCE（HL），∴AC=FE=12cm，∵EC=BC=5cm ，∴AE=AC-EC=12-5=7cm ，故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握知识点是解题关键．8．已知，如图AB BD ⊥，ED BD ⊥，AB CD =，AC CE =，则ACE ∠等于（ ）A ．90︒B ．120︒C ．80︒D ．100︒【答案】A【分析】 由题中条件可得Rt △ABC ≌Rt △CDE ，再通过角之间的转化，进而可得出结论．【详解】解：∵AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，∴∠D=∠B=90°，在Rt △ABC 和Rt △CDE 中，AB CD AC CE=⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABC ≌Rt △CDE （HL ），∴∠DCE=∠A ，∵∠B=90°，∴∠BAC+∠ACB=90°，∴∠ECD+∠ACB=90°，∴∠ACE=180°-90°=90°．故选：A ．【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定及性质，解决本题的关键是证明Rt △ABC ≌Rt △CDE ． 9．已知，如图，B 、C 、E 三点在同一条直线上，AC ＝CD ，∠B ＝∠E ＝90°，AB ＝CE ，则不正确的结论是（ ）A ．∠A 与∠D 互为余角B ．∠A ＝∠2C ．△ABC ≌△CEDD ．∠1＝∠2【答案】D【分析】 根据HL 证Rt ABC Rt CED ≌，根据全等三角形的性质即可求出答案.【详解】∵∠B ＝∠E ＝90°，∴在Rt ABC 和Rt CED 中AC CD AB CE =⎧⎨=⎩， ∴Rt ABC Rt CED ≌（HL ），故C 正确，∴∠A ＝∠2，∠1＝∠D ，∵∠1+∠A ＝90°，∴∠A+∠D ＝90°，∠1+∠2＝90°，∴∠A 与∠D 互为余角，故A 、B 正确；D 错误，故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，关键是推出Rt ABC Rt CED ≌．10．如图，AC DF =，AC BC ⊥，DF DE ⊥，且AE BF =，70A ∠=︒，那么DEF ∠的度数是（ ）A ．10︒B ．20︒C ．30D ．40︒【答案】B【解析】【分析】 首先求出AB=FE ，利用HL 证明Rt △ACB ≌Rt △FDE ，得到70F A ∠=∠=︒，然后根据直角三角形两锐角互余得出答案.【详解】解：∵AE BF =，∴AB=FE ，∵AC BC ⊥，DF DE ⊥，∴在Rt △ACB 和Rt △FDE 中，AB FE AC DF=⎧⎨=⎩， ∴Rt △ACB ≌Rt △FDE （HL ），∴70F A ∠=∠=︒，∴907020DEF ∠=︒-︒=︒，故选：B.【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质以及直角三角形两锐角互余的性质，正确寻找证明三角形全等的条件是解题关键.11．如图，在ABC ∆中，90,︒∠=C D 是AC 上一点，DE AB ⊥于点E ，BE BC =连接BD ，若AC=8cm ，则AD DE +等于（ ）A ．6cmB ．7cmC ．8cmD ．9cm【答案】C【分析】 根据已知条件证明BCD BED ≅，证明DC=DE 即可；【详解】∵DE AB ⊥，∴90DEB ∠=︒，在Rt BCD 和Rt BED 中，()()已知公共边BE BC BD BD ⎧=⎪⎨=⎪⎩， ∴BCD BED ≅，∴DC=DE ，又∵AC=8cm ，∴8+=AD DE cm ．故答案选C ．【点睛】本题主要考查了三角形的全等，准确利用HL 定理是解题的关键．12．如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，两个滑梯的倾斜角ABC ∠和DFE ∠之间的关系是（ ）A ．ABC DFE ∠=∠B ．ABC DFE ∠>∠ C ．100ABC DFE ∠+∠=︒D ．90∠+∠=︒ABC DFE【答案】D【分析】根据HL 定理判定()≌Rt ABC Rt DEF HL ，即可得到结果；【详解】由题意可知BC FE =，AC DF =，AC AB ⊥，DE DF ⊥，ABC ∴与DEF 为直角三角形．∴在Rt ABC 与Rt DEF △中，BC EF AC DF=⎧⎨=⎩，()Rt ABC Rt DEF HL ∴≌，ACB DFE ∴∠=∠．90ABC ACB ∠∠=︒＋，90ABC DFE ∴∠+∠=︒．故选D ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，准确理解是解题的关键．二、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，D 为BC 上一点，连接AD ，过D 点作DE AB ⊥，且DE DC =．若5AB =，3AC =，则EB =__．【答案】2【分析】先根据HL 证明ADE ADC ∆≅∆，得出AE =AC =3，再根据BE =AB -AE 即可得出答案．【详解】解：∵90C ∠=︒，DE AB ⊥，在Rt ADE ∆和Rt ADC ∆中，AD AD DE DC=⎧⎨=⎩， Rt ADE Rt ADC(HL)∴∆≅∆，3AC AE ∴==，2BE AB AE ∴=-=，故答案为2．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握三角形的判定方法是解题的关键．14．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，D 为BC 上一点，连接AD ，过D 点作DE ⊥AB ，且DE =DC ．若AB =5，AC =3，则EB =____．【答案】2【分析】先证明△AED ≌△ACD 得到AE=AC=3，最后根据线段的和差即可解答．【详解】解：∵∠C =90°，DE ⊥AB ，∴△AED 和△ACD 都是直角三角形，在Rt △AED 和Rt △ACD 中，DE=DC,AD=AD ，∴△AED ≌△ACD （HL ），∴AE=AC=3，∴BE=AB-AC=5-3=2．故填：2．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，掌握运用HL 证明三角形全等是解答本题的关键． 15．如图，点D 在BC 上，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ，BD ＝CF ，BE ＝CD ．若∠AFD ＝145°，则∠EDF ＝_____．【答案】55°【分析】由∠AFD ＝145°可求得∠CFD=35°，证明Rt △BDE ≌△Rt △CFD ，根据对应角相等推知∠BDE=∠CFD=35°，进而可求出∠EDF 的值．【详解】解：∵∠DFC+∠AFD=180°，∠AFD=145°，∴∠CFD=35°．又∵DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，∴∠BED=∠CDF=90°，在Rt △BDE 与△Rt △CFD 中，BE CD BD CF=⎧⎨=⎩， ∴Rt △BDE ≌△Rt △CFD （HL ），∴∠BDE=∠CFD=35°，∴∠EDF =180°-90°-35°=55°．故答案是：55°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．16．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，10AC =，5BC =，线段PQ AB =，P ，Q 两点分别在线段AC 和过点A 且垂直于AC 的射线AD 上运动，当AQ =______时，ABC 和PQA △全等．【答案】5或10【分析】分两种情况：当AQ=5时，当AQ=10时，利用全等三角形的判定及性质定理得到结论．【详解】分两种情况：当AQ=5时，∵5BC =，∴AQ=BC ，∵AD ⊥AC ，∴∠QAP=∠ACB=90︒，∵AB=PQ ，∴ABC ≌△PQA （HL ）；当AQ=10时，∵10AC =，∴AQ=AC ，∵AD ⊥AC ，∴∠QAP=∠ACB=90︒，∵AB=PQ ，∴△ABC ≌△QPA ，故答案为：5或10．【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质定理，运用分类思想，动点问题，熟记三角形的判定定理及性质定理是解题的关键．17．如图，//MN PQ ，AB PQ ⊥，点A ，D ，B ，C 分别在直线MN 与PQ 上，点E 在AB 上，7AD BC +=，AD EB =，DE EC =，则AB =________．【答案】7【分析】先根据平行线的性质证出∠DAE=∠EBC=90°，再利用HL 证出Rt ADE ≌Rt BEC △，从而得出AE=BC ，AD=BE ，然后利用等量代换即可求出结论．【详解】解：∵AB PQ ⊥，∴∠EBC=90°∵//MN PQ∴∠DAE=180°－∠EBC=90°∴∠DAE=∠EBC在Rt ADE 和Rt BEC △中AD EB DE EC =⎧⎨=⎩∴Rt ADE ≌Rt BEC △∴AE=BC ，AD=BE∴AB=AE ＋BE=BC ＋AD=7故答案为：7．【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质和平行线的性质，掌握全等三角形的判定及性质和平行线的性质是解题关键．18．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，DE ⊥AB 于D ，BC ＝BD ，若AC ＝4cm ，则AE +DE ＝_____．【答案】4cm【分析】根据题意由条件可证明Rt △CBE ≌Rt △DBE ，则可求得DE ＝EC ，可求得答案．【详解】解：∵DE ⊥AB ，∠C ＝90°，∴∠C ＝∠BDE ＝90°，在Rt △CBE 和Rt △DBE 中BE BE BC BD =⎧⎨=⎩∴Rt △CBE ≌Rt △DBE （HL ），∴CE ＝DE ，∴AE+DE ＝AE+CE ＝AC ＝4cm ，故答案为：4cm ．【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，证得Rt △CBE ≌Rt △DBE 得到CE ＝DE 是解题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19．如图，点C 、D 、E 、F 在同一条直线上，90A B ︒∠=∠=，AC BF =，CD EF =，AE 与BD 相交于点O ．（1）求证：EA DB =；（2）若55C ︒∠=，求∠BOE 的度数．【答案】（1）见解析；（2）70︒．【分析】（1）先证出CE FD =，再用HL 证明Rt ACE △≌Rt BFD ，即可得出结论；（2）先由直角三角形的性质得35AEC ︒∠=，再由全等三角形的性质得35AEC BDF ︒∠=∠=，然后由三角形的外角性质即可得出答案．【详解】（1）证明：CD EF =，∴CD DE EF DE +=+，即CE FD =，90A B ︒∠=∠=，∴ACE 和BFD △是直角三角形，在Rt ACE △和Rt BFD 中，CE FD AC BF =⎧⎨=⎩， ∴Rt ACE △≌()Rt BFD HL ，∴EA DB =；（2）解：90A ︒∠=，55C ︒∠=，∴905535AEC ︒︒︒∠=-=，由（1）得：Rt ACE △≌Rt BFD ，∴35AEC BDF ︒∠=∠=，∴70BOE AEC BDF ︒∠=∠+∠=．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形外角性质，熟练掌握用HL 定理证明两个直角三角形全等是解题的关键．20．已知：如图，AB =CD ，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，E ，F 是垂足，DE =BF ．求证：（1）AE =CF ；（2）AB ∥CD ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）利用HL 定理即可证明△ABF ≌△CDE ，证明AF =CE ，据此即可得到AE =CF ；（2）根据△ABF ≌△CDE 即可证得∠A =∠C ，然后利用平行线的判定定理证明．【详解】证明：（1）∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，∴∠DEC =∠BF A =90°，∴在Rt △ABF 和Rt △CDE 中，AB CD DE BF =⎧⎨=⎩， ∴△ABF ≌△CDE （HL ）；∴AF =CE ，即AF -EF =CE -EF∴AE =CF ；（2）∵△ABF ≌△CDE ，∴∠A =∠C ，∴CD ∥AB ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的判定，正确证明△ABF ≌△CDE 是关键． 21．如图，已知AE BD =，AC BC ⊥，DF EF ，垂足分别为点C ，F ，且BC EF =．（1）求证：ABC ≌DEH △；（2）求证：//AC DF ．【答案】（1）见详解；（2）见详解．【分析】（1）根据HL 证明两个三角形全等即可．（2）利用全等三角形的性质证明∠A=∠D 即可解决问题．【详解】（1）证明：∵AC BC ⊥，DF EF ，∴90C F ∠=∠=︒，∵AE BD =，∴AB DE =，∵BC EF =，∴Rt ABC △≌Rt DEF △（HL ）．（2）∵ABC ≌DEF ，∴A D ∠=∠，∴//AC DF ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22．已知：如图，BE CD ⊥于点E ，BE DE =，BC DA =．（1）求证：BCE DAE △△≌（2）判断DF 与BC 的位置关系，并说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）DF BC ⊥，理由见解析【分析】（1）根据HL 即可证得；（2）根据（1）中全等可得B D ∠=∠，易证90D C ∠+∠=，即可证得．【详解】证明（1）∵BE DE =，BC DA =∴()BCE DAE HL △△≌（2）位置关系：DF BC ⊥BCE DAE △△≌B D ∴∠=∠BE CD ⊥90B C ∴∠+∠=90D C ∴∠+∠=90CFD ∴∠=DF BC ∴⊥【点睛】本题考查全等三角形证明方法，掌握HL 是解题的关键．23．如图，在ABC 中，,90,AB CB ABC F ︒=∠=为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE CF =．（1）求证：Rt ABE Rt CBF ≌；（2）若22CAE ︒∠=，求ACF ∠的度数．【答案】（1）见解析；（2）=68ACF ∠︒【分析】（1）根据旋转全等模型容易找到Rt ABE ∆和Rt CBF ∆全等的条件，从而可以证明Rt ABE Rt CBF ∆≅∆；（2）由Rt ABC ∆是等腰直角三角形易求45BCA BAC ∠=∠=︒，23EAB ∠=︒，根据Rt ABE Rt CBF ∆≅∆得23EAB FCB ∠=∠=︒，再由ACF FCB BCA ∠=∠+∠即可求.【详解】（1）证明：90ABC ∠=︒，90ABE CBF ∴∠=∠=︒，在Rt ABE ∆和Rt CBF ∆中，AB CB AE CF =⎧⎨=⎩， Rt ABE Rt CBF(HL)∴∆≅∆；（2）AB CB =，90ABC ∠=︒，45BCA BAC ∴∠=∠=︒，又∵22CAE ∠=︒，CAB CAE EAB ∠=∠+∠，23EAB ∴∠=︒，Rt ABE Rt CBF ∆≅∆，EAB FCB ∴∠=∠，23FCB ∴∠=︒，234568ACF FCB BCA ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，即68ACF ∠=︒．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是明确题意，找出所要证明结论需要的条件． 24．如图，在ABC 中，C 90∠=︒，DE AB ⊥于点D ，DB BC =．（1）证明：BCE BDE ．（2）求证：AC AE DE =+．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）利用HL 可证明Rt △BCE ≌Rt △BDE ；（2）根据Rt △BCE ≌Rt △BDE 可得DE=CE ，从而可得AC=AE+CE=AE+DE ．【详解】解：（1）∵DE ⊥AB ，∴∠EDB=∠C=90°，在Rt △BCE 和Rt △BDE 中，BC BD BE BE=⎧⎨=⎩， ∴Rt △BCE ≌Rt △BDE （HL ）；（2）∵Rt △BCE ≌Rt △BDE ，∴CE=DE ，∴AC=AE+CE=AE+DE ．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质，证得Rt △BCE ≌Rt △BDE 是本题解题的关键．。