数理经济学-数理经济学本082jok111页PPT文档

x 2 0a2 x2 1 p2
a1 x11/p1 a2x21/ p2
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那么，极值的必要条件为：
x1 0a1 x1 1 p1
x 2 0a2 x2 1 p2
a1 x11/p1 a2x21/ p2
p1x1p2x2M
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那么，极值的必要条件为：
x1 0a1 x1 1 p1
第2讲
第1章:效用函数与需求函数
1
•了解效用函数与需 求函数在实际中的 应用
2
问题1: 什么是经济学？
经济学可以简单地定义如下：利用有限的 资源，合理安排生产，生产的产品在消 费者中进行合理的分配，达到人类现在 与未来的最大满足。 根据以上的定义，学习或者研究数量经 济学的首要任务是：如何用数学公式来 表示人类的满足程度和个人的满足程度。
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练习： 如果人们收入中有60%购工业品， 数量为x, 40%购农业品，数量为y,
写出效用函数的数学表达式。
22
练习：如果人们收入中有60%购工业品，数 量为x, 40%购农业品，数量为y,写出效用函
数的数学表达式。
UAx0.6y0.4
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练 p1x1p2x2M
a1 x11/p1a2x21/ p2
p1x1p2x2M
p1x1a1 1/1 ()p a 1 1 1//1 ( ( 1 )) p a 1 1 2//1 ( ( 1 ))p2 / ( 1)M
p 2x2a 1 1/1 ( )p a 1 1 2//1 ( ( 1 )) p a 2 1 2//1 ( ( 1 ))p 2 / ( 1 )M 30
消费的效用函数
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故事之一：这是一个真实的故事，刊登在光明日报报业集团主办的文摘报， 2019年度2月21日，星期四，第1928期，第3版上面。题目是：“为付女儿学费 父亲买房无家可归”内容大意如下：
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解: 可以根据高等数学当中求极值的方法来 求解以上问题 。 作拉格朗日函数:
a 1 x 1 a 2 x 2 ( M p 1 x 1 p 2 x 2 )
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那么，极值的必要条件为：
x1 0a1x11p1 x 2 0a2x21p2
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那么，极值的必要条件为：
x1 0a1 x1 1 p1
3
衣着
食品 住宅 交通
U 效用函数或生活水平
函数
闲暇 安全 健康 家庭 荣誉
4
x1
…
xn
效用函数
U(x1,,xn)
5
E
U (x)
C
F A
D
B
1
2
3
6
7
U(x1, x2) 0 x1
U(x1, x2) 0 x2
2U(x1, x2) 0 x12
2U(x1, x22
x2
)
0
8
练习： 写出效用函数的数学表 达式并画出等效用线。
32
练习： 若效用函数为：
U [a (C1 ) b (C2 ) ]
支出比例为:
1
p1C1:
p2C2
a1 b
pp12
1
33
练习： 工农业品支出比例的对数值与工农业品价格比
的对数值符合下式，求效用函数表达式。
Lo gpp21C C120.35Logpp1 2
34
练习：工农业品支出比例的对数值与工农业品价格比 的对数值符合下式，求效用函数表达式。
17
效用最大法则: 通过求解消费者效用最大法则， 就可以得到是需求函数的数学表达式。
U(x1,x2) U(x1,x2)
x1 x2
p1
p2
p1x1p2x2M
18
效用最大数学模型
max U A1 a 1x x 2 a 2
a i0 , a i 1
s.t p 1x 1p 2x2M效用最大法则
U(x1,x2) U(x1,x2)
x1 x2
p1
p2
需求函数
p1x1
a1
a1 a2
M
p1x1p2x2M
p1x2
a2 a1 a2
M
19
问题：选择题：
a. 需求函数与效用函数值的大小有关系。 b.需求函数与效用函数值的大小没有关系。 c.需求函数与效用函数值大小的关系不确
定，有时候有关系，有时候没有关系。
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问题：
有人认为，效用函数值的大小不能测量， 所以应该全盘否定西方经济学。 这一句话有没有道理？
x 2 0a2 x2 1 p2
a1 x11/p1 a2x21/ p2
p1x1p2x2M
p1x1a1 1/1 ()p a 1 1 1//1 ( ( 1 )) p a 1 1 2//1 ( ( 1 ))p2 / ( 1)M
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x1 0a1 x1 1 p1
x 2 0a2 x2 1 p2
练习：
若效用函数为：
U [a (C1 ) b (C2 ) ]
求支出比例为多少？
p1C1:p2C2?
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• 利用需求函数表达式可以求出：
p 1 C 1a 1/1 ( )p a 1 1//1 ( ( 1 )) p b 1 1//1 ( ( 1 ))p 2 / ( 1 )M p 2 C 2a 1/1 ( )p b 1 1 //1 ( ( 1 )) p b 2 1//1 ( ( 1 ))p 2 / ( 1 )M
Logpp21C C120.35Logpp1 2
1
Log
p1C p2C2
Log
a b
1
1
Log
p1 p2
1
Log
a
1
0.35
b
1 1
1
0.5, a 1
a 2
100.35
b b
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效用函数的应用：
考虑多个时期消费者最优选择 经济学应用——青年人向银行贷款提前
消费的计算模型 经济学应用——在实际中如何选择跨期
1
12
。 练习：写出效用函数的数学表达式
x
UA[ax by]
1
y
13
。 练习：写出效用函数的数学表达式
x
UA[ax by]
1/0
y
14
。 练习：写出效用函数的数学表达式
x
UA[ax by]
1/0
y
15
问题：请写出效用最大数学模型 与效用最大法则的数学表达式
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效用最大的数学模型
sM.t axpU1x(1x1,px22)x2 M
9
。 练习：写出效用函数的数学表达式
第1种类型：对数线性型、或者柯布——道格拉斯型：
U A 1 a 1 x x n a n a i 0 , a i 1
10
。 练习：写出效用函数的数学表达式
x
UAxayb
y
11
练习：写出效用函数的数学表达式。
第2种类型：不变替代弹性型、或者CES型：
U A [ a 1 x 1 a n x n ]