高考数学一轮复习专题07指数与指数函数(含解析)

知识点一：根式的概念一般地，如果一个数的n 次方等于a ()*∈>N n n ,1，那么这个数叫做a 的n 次方根， 即： 若 ，则 叫做 的n 次方根， ()*∈>N n n ,1 ①n n a ）（= ②n n a = 1. 给出下列各式：①√a n n =a ；②√a √a =a 34(a >0)； ③√−33=√(−3)26.其中正确的是 2. 求下列各式的值：(1)√(−8)33; (2)√(−10)2; (3)√(3−π)44; (4)√(a −b)2．知识点二：指数的性质当a >0，b >0时(m ,n ∈R)，有=m n a =-n a =-m na =n m a a =n m a a =n m a ）（ =n ab ）（ 3. 求值：(214)12−(−9.6)0−(338)−23+1.5−2+[(−5)4]14；4. 化简：(a 23−1−12−12⋅b 13√565. (1)√(3−π)44+(0.008) 13−(0.25) 12×(√2)−4(2)(√23×√3)6+(√2√2) 43−4×(1649) −12−√24×80.25−(−2009)06. 已知a 12+a −12=3，求下列各式的值(写出过程)：(附：a 3+b 3=(a +b)(a 2−ab +b 2))1-+a a (2)a 2+a −2 (3)a 32+a −32 （4）1--a a7.已知a12+a−12=3，求a32+a−32的值．知识点三：指数函数的定义一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数定义域是．8.函数2y a a a=-+是指数函数，求a(33)x知识点四：指数函数的性质9.已知指数函数f(x)=(2a−1)x在(−∞,+∞)内是增函数，则实数a的取值范围是，则a的值是_______10.函数ƒ(x)=a x(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a211. 下列各式比较大小正确的是：1.72.3______ 1.74 ； 0.6−1______ 0.62； 1.70.3______ 0.92.30.8−0.1______ 1.250.212. 已知a =(13)−1.1,b =π0,c =30.9，则a ，b ，c 三者的大小关系是() A. c <b <a B. c <a <b C. b <a <c D. b <c <a13. 已知a =(35)25，b =(25)35，c =(25)25，则（ ） A. a <b <c B. c <b <a C. c <a <b D. b <c <a14. （多选）设函数f(x)=2x ，对于任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，下列命题中正确的是( )A. f(x 1⋅x 2)=f(x 1)+f(x 2)B. f(x 1+x 2)=f(x 1)⋅f(x 2)C.f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0 D. f(x 1+x 22)<f(x 1)+f(x 2)215. 不等式3−x 2+2x >13x+4的解集为________16. 求不等式a 2x 7＞a 4x 1（a ＞0，且a ≠1）中x 的取值范围。

3.3 指数运算及指数函数（精讲）（提升版）思维导图考点一 指数运算【例1-1】（2022·江西）化简()()()146230.2534162232242820229-=⎛⎫⨯⨯+-⨯-⨯+- ⎪⎝⎭___.【答案】214【解析】原式＝4611111332332244432232242212234⎛⎫⎛⎫⨯⨯+⨯-⨯-⨯+=⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋2－3－2＋1＝214.故答案为：214.【例1-2】（2022·江苏）化简：3216824111111111111222222=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭________．【答案】63122-【解析】原式32168421111111111111122222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++⨯-⨯ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭321246821111111111112222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++⨯-⨯ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 43218461111111111222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⨯-⨯ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 3216881111111122222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⨯-⨯ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 3216161111112222⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⨯-⨯ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 32321111222⎛⎫⎛⎫=+⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭考点呈现例题剖析641122⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭ 63122=-故答案为：63122-﹒ 【一隅三反】1．（2022·河南） 2103ln 23341985()16π125log 32lg 4lg e 278--++++_____．【答案】194【解析】原式=ln log lg lg lg e ⎛⎫⨯- ⎪⨯⎝⎭⎛⎫=-+--++-+ ⎪⎝⎭82313432584321215432()lg lg lg lg =-+--+++-+29121532532842 =-+--++=911921518424. 故答案为：194. 2．（2022·全国·高三专题练习）131.5-×76⎛⎫- ⎪⎝⎭0＋80.254232362323⎛⎫⎪⎝⎭=____________ 【答案】110【解析】原式＝113132334422()2223210811033⎛⎫+⨯+⨯=+= ⎪⎝⎭－.故答案为：1103．（2021·江苏省）已知4log 3x =，则332222x xx x--++的值为___________．【答案】73【解析】因为4log 3x =，所以43,23x x ==所以3322222222(222222)(212)17212(2)1(2)3133x x x x xx x x x x x x x x --------+-+++==++=-+=-+=. 故答案为：73考点二 单调性【例2-1】（2021·安徽）函数242()e 2e x x f x --=-的单调递增区间为（ ） A ．[2,)+∞B ．[1,)+∞C ．[0,)+∞D ．[2,)-+∞【答案】A【解析】令2e (0)x t t -=>，则原函数可化为22y t t =-，该函数在[1,)t ∈+∞上单调递增， 又2e x t -=在R 上单调递增，当2x =时，1t =，故242()e 2e x x f x --=-在[2,)x ∈+∞上单调递增，故选：A. 【例2-2】（2021·北京市）已知函数()1x f x e -＝|在区间[),a +∞上是增函数，则实数a 的取值范围是_____. 【答案】[)1,+∞【解析】由x y e =的图象向右平移1个单位，可得()1x f x e =﹣的图象，因为xy e =是偶函数，且在[)0,+∞上单调递增，所以函数()f x 在[)1,+∞上单调递增，因为函数()1x f x e-＝|在区间[),a +∞上是增函数，所以[)[),1,a +∞⊆+∞，解得1a ≥，所以实数a 的取值范围是[)1,+∞.故答案为：[)1,+∞.【例2-3】（2022·河南省）已知函数()()23,1,111,1248x xa x x f x a x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫⎛⎫-⋅+-<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩满足对任意的实数12,x x ，且12x x ≠，都有()()21120f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[)1,+∞B ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．23,34⎛⎤⎥⎝⎦D ．3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】因为对任意的实数12,x x ，且12x x ≠，都有()()21120f x f x x x ->-成立，所以，对任意的实数12,x x ，且12x x ≠，()()12120f x f x x x -<-，即函数()f x 是R 上的减函数．因为()()23,1,111,1248x xa x x f x a x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫⎛⎫-⋅+-<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩， 令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，12t >，要使()118142xxf x a ⎛⎫=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭⋅- ⎪⎝⎭在(),1-∞上单调递减，所以，218y t at =--在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．另一方面，函数()23,1y a x x =-≥为减函数，所以，230122112328a a a a ⎧⎪-<⎪⎪≤⎨⎪⎪-≤-+⎪⎩，解得314a ≤≤，所以实数a 的取值范围是3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选：D ． 【一隅三反】1．（2022·辽宁沈阳）已知函数||||()x x f x e e -=-，则函数()f x （ ） A ．是偶函数，且在(0,)+∞上单调递增 B ．是奇函数，且在(0,)+∞上单调递减 C ．是奇函数，且在(0,)+∞上单调递增 D ．是偶函数，且在(0,)+∞上单调递减 【答案】A【解析】∵ ||||()x x f x e e -=-∴||||||||()()x x x x f x e e e e f x -----=-=-=，∴ 函数||||()x x f x e e -=-为偶函数，当(0,)x ∈+∞时，1()=x x x xf x e e e e -=--， ∵ 函数x y e =在(0,)+∞上单调递增，函数1xy e =在(0,)+∞上单调递减， ∴()x x f x e e -=-在(0,)+∞上单调递增，即函数||||()x x f x e e -=-在(0,)+∞上单调递增.故选：A.2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数,0()(3)4,0x a x f x a x a x ⎧<=⎨-+≥⎩满足对任意x 1≠x 2，都有(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]<0成立，则a 的取值范围为（ ） A ．1(0,]4B ．(0，1)C ．1[,1)4D ．(0，3)【答案】A【解析】因对任意x 1≠x 2，都有(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]<0成立，不妨令x 1<x 2，则f (x 1)>f (x 2)，于是可得f (x )为R 上的减函数，则函数x y a =在(,0)-∞上是减函数，有01a <<， 函数(3)4y a x a =-+在[0,)+∞上是减函数，有30a -<，即3a <， 并且满足：0(0)a f ≥，即41a ≤，解和14a ≤，综上得104a <≤， 所以a 的取值范围为1(0,]4.故选：A3．（2022·上海奉贤区致远高级中学高三开学考试）函数331xx ay =++在()0+∞，内单调递增，则实数a 的取值范围是__________. 【答案】(],4-∞【解析】当0a <时，在0,上，()3x f x =单调递增，()31x a g x =+单调递增，即331xx a y =++单调递增，符合题意； 当0a =时，3x y =在0,内单调递增，符合题意；当0a >时，311(31)1213131x xx x a a y a =++-≥+⋅=++， 11a ≤，04a <≤时，等号不成立，此时y 在0,内单调递增，符合题意；11a >，4a >时，若当且仅当3log (1)x a =时等号成立，此时y 在()3og (),l 1a ∞+内单调递增，不符合题意.综上，有(],4a ∈-∞时，函数331xx ay =++在0,内单调递增.故答案为：(],4-∞.考点三 最值（值域）【例3-1】（2022·北京·高三专题练习）已知函数()1424x x f x +=-+，[]1,1x ∈-，则函数()y f x =的值域为（ ）．A ．[)3,+∞B ．[]3,4C ．133,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】依题意，函数()2)(2224x xf x =-⨯+，[]1,1x ∈-，令2x t =，则2x t =在[]1,1x ∈-上单调递增，即122t ≤≤，于是有2224(1)3y t t t =-+=-+，当1t =时，min 3y =，此时0x =，min ()3f x =， 当2t =时，max 4y =，此时1x =，max ()4f x =，所以函数()y f x =的值域为[]3,4.故选：B【例3-2】（2022·北京）已知函数()1,0,2,0x x f x x a x ⎧<⎪=⎨⎪-≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．0a < B ．0a >C ．1a ≤D ．1a ≥【答案】D【解析】函数()1,0,2,0x x f x x a x ⎧<⎪=⎨⎪-≥⎩，当0x <时，由反比例函数的性质得：()(),0f x ∈-∞； 当0x ≥时，由指数函数的性质得：()[1,)f x a ∈-∞因为函数()1,0,2,0x x f x xa x ⎧<⎪=⎨⎪-≥⎩的值域为R ，所以10a -≤，解得 1a ≥，故选；D 【一隅三反】1．（2022·宁夏）已知()242,01,0x x m x f x x x x +⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩的最小值为2，则m 的取值范围为（ ） A ．(],3-∞ B ．(],5-∞ C ．[)3,+∞ D ．[)5,+∞【答案】D【解析】当0x >时，11()2f x x x x x=+≥⋅， 又因为()242,01,0x x m x f x x x x +⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩的最小值为2，所以需要当0x ≤时，()2f x ≥ 恒成立， 所以2422x x m +-+≥在(],0x ∈-∞恒成立，所以2422+x x m +≥-+在(],0x ∈-∞恒成立， 即()2+4222x x m ⨯≥-+在(],0x ∈-∞恒成立，令2x t = ，则01t <≤，原式转化为2+42m t t ≥-⨯+在(]0,1t ∈恒成立， 2()2+4g t t t =-⨯+是二次函数，开口向下，对称轴为直线2t =，所以在(]0,1t ∈上()g t 最大值为(1)5g =，所以5m ≥，故选：D.2．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数211(0)()2(0)x x f x x x x ⎧-++≤=⎨->⎩，则函数()12f x y -=在区间[](),220t t t +-≤≤上的最小值的取值范围是（ ） A ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．11,42⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】作出()f x 的图象，如图，结合函数图象可知：当21t -≤<-时，2min ()(2)2f x f t t t =+=+，当10t -≤≤时，min ()(1)1f x f ==-. 所以函数221min2,211,104t t t y t +-⎧-≤<-⎪=⎨-≤≤⎪⎩，而21t -≤<-时，22211t t -<+-≤-，所以22111242t t +-<≤， 综上，11,42y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故选：D3．（2021·河南）若函数12()42x x f x a -=-+[0,)+∞，则实数a 的取值范围是（ ） A ．12⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．[0,)+∞【答案】C 【解析】因为()1221114221222x x x a a a --+=-+-≥-，且()f x 的值域为[0,)+∞，所以102a -≤，解得12a ≤.故选：C. 4．（2022·全国·高三专题练习）已知1a >，则函数2||||1()22x x g x a a =++的值域为（ ） A ．7,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．[2,)+∞C ．72,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．72,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】函数2||||1()22x x g x a a =++是R 上偶函数，因1a >，即函数x y a =在R 上单调递增， 而R x ∈，||0x ≥，令||x a t =，则1t ≥，因此，原函数化为：2122y t t =++，显然2122y t t =++在[1,)t ∈+∞上单调递增，则当1t =时，2min 1711222y =⨯++=，所以函数2||||1()22x x g x a a =++的值域为7[,)2+∞.故选：A 5．（2022·河南焦作·二模（理））已知函数121()()2x x f x a a ++=∈+R 为奇函数，且()y f x =的图象和函数()2x g x m =+的图象交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点M 在直线14y =上，则()g x 的值域为（ ） A ．(2,)-+∞ B ．(1,)-+∞ C ．(1,)+∞ D ．(2,)+∞【答案】B【解析】因为()f x 为奇函数，所以(1)(1)f f -=-，即111111212122a a--++++=-++，解得2a =-， 经检验121()22x x f x ++=-为奇函数，定义域为(,0)(0,)-∞+∞，符合题意.联立121222x x x y y m +⎧+=⎪-⎨⎪=+⎩，消去2x 得到关于y 的二次方程22(23)10y m y m -++-=，()()22212384444144002m m m m m ⎛⎫∆=+--=++=++> ⎪⎝⎭，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1232y y m +=+，因为AB 的中点M 的纵坐标为14，所以3122m +=，解得1m =-.所以()12x g x =-+，所以()g x 的值域为(1,)-+∞.故选：B考点四 指数式比较大小【例4-1】（2022·河南焦作）若32a =，26b=，38c =，a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a c b << B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b a c <<【答案】A【解析】因为32a =，所以33273282a ==， 因为26b=，所以22log 6log 42b =>=，因为38c =，所以33log 8log 92c =<=，同时333log 8log 272>=，所以a c b <<.故选：A ．【例4-2】（2022·江西·二模（理））设 1.3e 7,4 1.14,2ln1.1a b c =-==，则( ) A ．a b c << B ．a c b << C ．b a c << D ．c a b <<【答案】B【解析】∵()21.32.633e e e 3=<<，23(27)283=>， 1.3e 7∴<0a ∴<； ()4 1.142ln1.122 1.12ln1.1b c -=-=-，令()22ln f x x x =-，∴()11x f x x x -==' ∴当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；∴()min ()10f x f ==，∴()1.10f >，即 1.12ln1.10->，c b ∴<， 又2ln1.12ln10c =>=，∴a c b <<．故选：B ． 【一隅三反】1．（2022·河南洛阳）已知108a =，99b =，810c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b c a >> B ．b a c >> C ．a c b >> D ．a b c >>【答案】D【解析】构造()()18ln f x x x =-，8x ≥，()18ln 1f x x x+'=--， ()18ln 1f x x x+'=--在[)8,+∞时为减函数，且()295558ln81ln8ln e 204444f =-+-=-<-=-<'， 所以()18ln 10f x x x=-+-<'在[)8,+∞恒成立，故()()18ln f x x x =-在[)8,+∞上单调递减， 所以()()()8910f f f >>，即10ln89ln98ln10>>，所以10988910>>，即a b c >>.故选：D 2．（2022·河南）已知20212022a =，20222021b =，ln 2c =，则（ ） A ．log log a b c c > B ．log log c c a b > C ．c c a b < D ．a b c c <【答案】D【解析】20212021log 2022log 20211a =>=，2022202220220log 1log 2021log 20221b =<=<=， 0ln1ln 2lne 1c =<=<=，即01c <<，所以，log log 10a a c <=，log log 10b b c >=，则log log a b c c <，即A 错误；a b >，01c <<，所以，log log c c a b <，c c a b >，a b c c <，即BC 都错误，D 正确.故选：D.3．（2022·江苏苏州）已知11e 2,e ,x y z ππ===，则,,x y z 的大小关系为（ ） A ．x y z >> B ．x z y >> C ．y x z >> D ．y z x >>【答案】D【解析】由11e 2,e ,x y z ππ===，得111ln ln 2,ln e,ln 2e x y z ππ===，令()()ln 0x f x x x =>，则()()21ln 0xf x x x-'=>，当0e x <<时，()0f x '>，当e x >时，()0f x '<，所以函数()f x 在()0,e 上递增，在[)e,+∞上递减， 又因11ln ln 2ln 424x ==，e 34,<<且[)e,3,4e,∈+∞，所以()()()e 34f f f >>，即ln ln ln y z x >>，所以y z x >>.故选：D.考点五 解不等式【例5-1】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()22x xf x -=-，则不等式()()220f x f x x +->的解集为（ ）A ．()0,1B ．()3,0-C ．()(),10,-∞-⋃+∞D ．()(),03,-∞+∞【答案】C【解析】函数()22x x f x -=-定义域为R ，()22()x x f x f x --=-=-，则函数()f x 是奇函数，是R 上增函数，()()()222)0(2f x f x x f f x x x +->-⇔->，于是得22x x x ->-，解得1x <-或0x >，所以所求不等式的解集是()(),10,-∞-⋃+∞.故选：C【例5-2】（2022·浙江·舟山中学）已知函数()()()2101102x x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-+<⎪ ⎪⎝⎭⎩，若[]2,2x t t ∀∈-+都有()()220f x f t x +-≥成立，则实数t 的取值范围是（ ）A ．1t ≥或2t ≤-B ．1t ≥C ．2t ≥或1t ≤-D ．2t ≥【答案】D【解析】当0x >时，则0x -<，()()11212-⎛⎫-=-+=-+=- ⎪⎝⎭xx f x f x ，当0x <时，则0x ->，()()12112-⎛⎫-=-=-=- ⎪⎝⎭xx f x f x ，()00210=-=f ，所以()f x 为奇函数，因为0x >时()21xf x =-为增函数，又()f x 为奇函数，()f x 为x ∈R 上单调递增函数， ()f x 的图象如下，由()()220f x f t x +-≥得()()()2222≥--=-+f x f t x f t x ，所以22≥-+x t x ，即2≤x t 在[]2,2x t t ∀∈-+都成立，即2222⎧+≤⎨-<+⎩t t t t ，解得2t ≥.故选：D.【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）已知()231xf x a =-+（a 为常数）为奇函数，则满足()()1f x f >的实数x 的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B ．(),1-∞C ．()1,-+∞D ．(),1-∞-【答案】A【解析】因为函数()31x f x a =+为奇函数，所以22()()03131x x f x f x a a -+-=-+-=++，223203113xx xa ⋅--=++，得1a =所以()2131x f x =-+， 任取12x x >，则1233x x >，则()()()()()12122112121233222211031331313131x x x x x x x x f x f x +-⎛⎫⎛⎫-=---=-=> ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭， 所以，()()12f x f x >，则函数()f x 为R 上的增函数，由()()1f x f >，解得1x >.故选：A. 2．（2021·山东）已知函数()22121x f x x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，若对任意的[]3,3m ∈-，都有()()10f ma f a m +-+≥恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[)1,2,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦ B ．(][),11,-∞-+∞C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]1,2【答案】C【解析】对任意的x ∈R ，210x +>，所以，函数()f x 的定义域为R ，由()22212()12121-⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭xx x x f x x ， 可得()()()()2221112212122111222x x xx x x x x x x x f x f x -⎛⎫- ⎪-⎝⎭-====-+++， 可知函数()f x 为奇函数，又由()00f =，当0x ≥时，函数()2g x x =和()22112121x x x h x -=-=++单调递增， 任取120x x >≥，则()()120g x g x >≥，()()120h x h x >≥，可得()()()()11220g x h x g x h x >≥，即()()12f x f x >，所以，函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，则函数()f x 在(],0-∞上单调递增， 由于函数()f x 在R 上连续，则函数()f x 在R 上的增函数，由()()10f ma f a m +-+≥，有()()()11f ma f a m f m a ≥--+=--， 有1≥--ma m a ，可得()110m a a -++≥，由题意可知，不等式()110m a a -++≥对任意的[]3,3m ∈-恒成立， 有()()31103110a a a a ⎧-++≥⎪⎨--++≥⎪⎩，解得122a ≤≤．故选：C.3．（2022·全国·高三专题练习）设()22021120211x x f x x -=++，则()231124a f a f a a⎛⎫+>+++ ⎪⎝⎭的解集为（ ） A ．4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()4,0,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭C ．()0,∞+D ．(),0-∞【答案】B【解析】()22021120211x x f x x -=++的定义域为R. 因为()112211202112021111212021120211a a a a f a a a a ++++--+=++=+++++， 112212222111122202110211420211202121aa a aa f a a a ++++--⎛⎫⎛⎫=+=+++ ⎪ ⎪++⎭+⎝⎝⎭+所以()231124a f a f a a ⎛⎫+>+++ ⎪⎝⎭可化为：11121220211202112021120211a a a a ++++-->++ 令()2021120211x x g x -=+，即()112a g a g ⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭. 下面判断()2021120211x x g x -=+的单调性和奇偶性.因为()()20211120212021120211x xx x g x g x -----===-++，所以()2021120211x x g x -=+为奇函数；而()2021120212212021120211211021x x x x x g x --===-++++，因为2021x y =在R 上为增函数， 所以()g x 在R 上单调递增.所以()112a g a g ⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭可化为：112a a +>+，即112a a +>+或112a a ⎛⎫+<-+ ⎪⎝⎭， 解得：0a >或43a <-.所以原不等式的解集为()4,0,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭.故选：B考点六 定点【例6】（2022·新疆阿勒泰）函数11x y a -=+图象过定点A ，点A 在直线()31,0mx ny m n +=>>上，则121m n+-最小值为___________. 【答案】92【解析】当1x =时，012y a =+=，11x y a -∴=+过定点()1,2A ， 又点A 在直线3mx ny +=上，23∴+=m n ，即()122m n -+=， 1m >，0n >，10m ∴->，()()()21121121212512121m n m n m n m n m n -⎛⎫⎛⎫∴+=+-+=++≥ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭()2112952212m n m n ⎛- +⋅= -⎝（当且仅当()2121m n m n -=-，即53m =，23n =时取等号），121m n∴+-的最小值为92.故答案为：92.【一隅三反】1．（2022·内蒙古）函数log (3)1(01)a y x a a =-+>≠且的图象恒过定点P ，若点P 在直线10mx ny +-=上，其中0mn >，则11+m n的最小值为___________. 【答案】9【解析】∵log a y x =恒过定点()1,0， ∴log (3)1a y x =-+过定点()4,1P ∴410m n +-=，即41m n +=， ∴11m n +=()114m n m n ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭45n m m n=++≥9， 当且仅当414m n n m m n +=⎧⎪⎨=⎪⎩即1613m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时等号成立，∴所以11+m n的最小值为9， 故答案为：9.2．（2022·云南）函数11(0,1)x y a a a -=+>≠恒过定点P ，则()2ln f x mx x x =+在P 点处的切线方程为_____. 【答案】530x y --=【解析】∵函数11(0,1)x y a a a -=+>≠， 令10x -=，得1,2x y ==，即定点()1,2P ，又()2ln f x mx x x =+，∴2m =，()22ln f x x x x =+，∴()4ln 1f x x x '=++，()1415f '=+=，∴()2ln f x mx x x =+在P 点处的切线方程为()251y x -=-，即530x y --=.故答案为：530x y --=.3．（2022·全国·高三专题练习）已知直线方程1(0,0)x ya b a b+=>>经过指数函数11x y e -=+的定点，则2ab a b ++的最小值______________. 【答案】16【解析】指数函数11x y e -=+的定点为(1,2)， 因为直线方程1(0,0)x ya b a b +=>>定点(1,2)，所以121a b+=，即2a b ab +=则()1222(2)22ab a b a b a b a b ⎛⎫++=⨯+=⨯+⋅+ ⎪⎝⎭442422416b a b a a b a b ⎛⎫⎛⎫⨯++≥⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当4b aa b=即2,4a b ==时取得最小值. 故答案为：16。

专题07幂函数与二次函数最新考纲1.了解幂函数的概念．2.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，12y x的图象，了解它们的变化情况．3.理解并掌握二次函数的定义，图象及性质．4.能用二次函数，方程，不等式之间的关系解决简单问题.基础知识融会贯通1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质函数特征性质y＝x y＝x2y＝x3y＝12x y＝x－1定义域R R R[0，＋∞){x|x∈R，且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R，且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n )． 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点． (2)二次函数的图象和性质【知识拓展】1．幂函数的图象和性质(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性．(2)幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． (3)当α＞0时，y ＝x α在[0，＋∞)上为增函数； 当α＜0时，y ＝x α在(0，＋∞)上为减函数．2．若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则当⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0时恒有f (x )>0，当⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0时，恒有f (x )<0.重点难点突破【题型一】幂函数的图象和性质 【典型例题】下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（ ）A．①，②y＝x2，③，④y＝x﹣1B．①y＝x3，②y＝x2，③，④y＝x﹣1C．①y＝x2，②y＝x3，③，④y＝x﹣1D．①，②，③y＝x2，④y＝x﹣1【解答】解：②的图象关于y轴对称，②应为偶函数，故排除选项C，D①由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除A故选：B．【再练一题】已知点（2，8）在幂函数f（x）＝x n图象上，设，则a，b，c的大小关系是（）A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a【解答】解：点（2，8）在幂函数f（x）＝x n图象上，∴f（2）＝2n＝8，解得n＝3，∴f（x）＝x3，设，∴a＝[（）0.3]3＝（）0.9＜（）0＝1，b＝[（）0.2]3＝（）0.6＞（）0＝1，c＝（）3＜（log1）3＝0，∴a，b，c的大小关系是b＞a＞c．故选：A．思维升华 (1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．【题型二】求二次函数的解析式【典型例题】已知二次函数f（x）＝ax2+（b﹣2）x+3，且﹣1.3是函数f（x）的零点．（1）求f（x）解析式，并解不等式f（x）≤3；（2）若g（x）＝f（sin x），求函数g（x）的值域．【解答】解：（1）由题意得，∴f（x）＝﹣x2+2x+3，∴﹣x2+2x+3≤3，即x2﹣2x≥0，∴{x|x≤0或x≥2}，（2）令t＝sin x∈[﹣1，1]，g（t）＝﹣t2+2t+3＝﹣（t﹣1）2+4∈[0，4]，∴g（x）∈[0，4]．【再练一题】已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）＝f（2）＝3．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在区间[2a，a+1]上是单调函数，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由已知，设f（x）＝a（x﹣1）2+1，由f（0）＝3，得a＝2，故f（x）＝2x2﹣4x+3；（2）二次函数的对称轴为x＝1，2a＜a+1，即a＜1，当对称轴在区间的左侧时，函数f（x）在区间[2a，a+1]上单调递增，即2a≥1解得a；当对称轴在区间的右侧时，函数f（x）在区间[2a，a+1]上单调递减，即a+1≤1解得a≤0，综上，实数a的取值范围为（﹣∞，0]∪[，1）．思维升华求二次函数解析式的方法【题型三】二次函数的图象和性质命题点1 二次函数的图象【典型例题】已知A，B分别为函数f（x）＝x2+2x+1和函数g（x）1图象上的两点，则|AB|的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：由于函数g（x）1与函数y＝x2+2x+1（x≥﹣1）关于y＝x对称，又由函数f（x）与g（x）的图象可知，当A，B最近时，点A应在函数y＝x2+2x+1（x＞﹣1）上，则|AB|的最小值为函数f（x）或g（x）图象上的点到直线y＝x距离最小值的2倍，由g'（x）l，得x，y1，g（x）图象上的点到直线y＝x距离最小值即为点（，）到直线y＝x的距离，其值为，则|AB|的最小值为，故选：B．【再练一题】设函数f（x）当x∈[，]时，恒有f（x+a）＜f（x），则实数a的取值范围是（）A．（，）B．（﹣1，）C．（，0）D．（，]【解答】解：a＝0时，显然不符题意；当x∈[，]时，恒有f（x+a）＜f（x），即为f（x）的图象恒在f（x+a）的图象之上，则a＜0，即f（x）的图象右移．故A，B错；画出函数f（x）（a＜0）的图象，当x时，f（）＝﹣a•；而f（x+a），则x时，由﹣a（a）2+a a•，解得a（舍去），随着f（x+a）的图象左移至f（x）的过程中，均有f（x）的图象恒在f（x+a）的图象上，则a的范围是（，0），故选：C．命题点2 二次函数的单调性【典型例题】已知函数f（x）＝x2+|x+1﹣a|，其中a为实常数（Ⅰ）判断f（x）在[，]上的单调性（Ⅱ）若存在x∈R，使不等式f（x）≤2|x﹣a|成立，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）＝x2+|x+1﹣a|，其中a为实常数；∴当x≥a﹣1时，f（x）＝x2+x+1﹣a，它的图象是抛物线的一部分，对称轴是x，若a，则a﹣1，∴在x时，f（x）是增函数，∴f（x）在[，]上单调递增；若a，则a，∴f（x）在[a﹣1，]上是增函数；当x＜a﹣1时，f（x）＝x2﹣x﹣1+a，它的图象是抛物线的一部分，对称轴是x，若a，则a﹣1，∴在x时，f（x）是减函数，∴f（x）在[，]上单调递减；若a，则a﹣1，∴f（x）在[，a﹣1]上是减函数；综上，a时，f（x）在[，]上是增函数；a时，f（x）在[a﹣1，]上是增函数，在[，a﹣1]上是减函数；a时，f（x）在[，]上是减函数；（Ⅱ）先求使不等式f（x）＞2|x﹣a|对x∈R恒成立时a的取值范围；①当x≤a﹣1时，不等式化为x2﹣x﹣1+a＞2（a﹣x），即x2+x﹣1＞a，∴a；若a﹣1，即a，则a相矛盾；若a﹣1，即a，则a＜（a﹣1）2+（a﹣1）﹣1，即a2﹣2a﹣1＞0，解得a＞1或a＜1，∴a＜1；②当a﹣1＜x≤a时，不等式化为x2+x+1﹣a＞2（a﹣x），即x2+3x+1＞3a，∴3a；若a﹣1a，即a；若a﹣1，即a，∴3a≤（a﹣1）2+3（a﹣1）+1，即a2﹣2a﹣1≥0，解得a≥1或a≤1；结合条件及①得，a≤1；若a，3a＜a2+3a+1恒成立；综上，a＜1；③当x＞a时，不等式化为x2+x+1﹣a＞2（x﹣a），即a2﹣x+1＞﹣a；a，得﹣a，即a，结合②得a＜1；∴使不等式f（x）＞2|x﹣a|对任意x∈R恒成立的a的取值范围是a＜1，∴本题所求的a的取值范围是a≥1或a．【再练一题】已知函数f（x）＝ax2﹣|x|+2a﹣1（a为实常数）．（1）若a＝1，求f（x）的单调区间；（2）若a＞0，设f（x）在区间[1，2]的最小值为g（a），求g（a）的表达式；（3）设，若函数h（x）在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）a＝1，f（x）＝x2﹣|x|+1∴f（x）的单调增区间为（），（，0）；f（x）的单调减区间为（），（）（2）由于a＞0，当x∈[1，2]时，①若，即，则f（x）在[1，2]为增函数g（a）＝f（1）＝3a﹣2②若，即，③若，即时，f（x）在[1，2]上是减函数：g（a）＝f（2）＝6a﹣3．综上可得（3）在区间[1，2]上任取x1、x2，则（*）∵h（x）在[1，2]上是增函数∴h（x2）﹣h（x1）＞0∴（*）可转化为ax1x2﹣（2a﹣1）＞0对任意x1、x2∈[1，2]且x1＜x2都成立，即ax1x2＞2a﹣1①当a＝0时，上式显然成立②a＞0，，由1＜x1x2＜4得，解得0＜a≤1③a＜0，，由1＜x1x2＜4得，，得所以实数a的取值范围是命题点3 二次函数的最值【典型例题】【解答】解：（1）当1时，函数y＝2x2﹣2ax+3在区间[﹣1，1]上是增函数，故当x＝﹣1时，函数取得最小值是f（﹣1）＝2a+5．当﹣11时，由于函数y＝2x2﹣2ax+3对称轴是x，故当x时，函数在区间[﹣1，1]上取得最小值是f（）＝3．当1时，函数y＝2x2﹣2ax+3在区间[﹣1，1]上是减函数，故当x＝1时，函数取得最小值是f（1）＝5﹣2a．综上可得f（a）．（2）当﹣2≤a≤0时，f（a）＝3在[﹣2，0]上是增函数，由复合函数的单调性可得函数φ（a）＝log0.5f（a）在[﹣2，0]上是减函数．同理可得，数φ（a）＝log0.5f（a）在[0，2]上是增函数．【再练一题】已知函数f（x）＝log2x的定义域是[2，16]．设g（x）＝f（2x）﹣[f（x）]2．（1）求函数g（x）的解析式及定义域；（2）求函数g（x）的最值．【解答】解：（1）由题意可得g（x），且，进一步得：，且定义域为【2，8】，（2）令t＝log2x，则t∈[1，3]，h（t）＝﹣t2+t+1，∵h（t）在【1，3】递减∴h（t）的值域为【h（3），h（1）】，即【﹣5，1】，∴当x＝8时，g（x）有最小值﹣5，当x＝2时，g（x）有最大值1．命题点4 二次函数中的恒成立问题【典型例题】不等式x2+a|x|+4≥0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围为（）A．[0，+∞）B．[﹣4，+∞）C．[﹣4，4] D．（﹣∞，﹣4]【解答】解：f（x）＝x2+a|x|+4为偶函数；当a≥0，x＞0时，函数化为f（x）＝x2+ax+4，对称轴x＜0，f（0）＝4＞0，不等式恒成立；当a＜0时，x＞0时，函数化为f（x）＝x2+ax+4，可得△＝a2﹣16≤0显然成立解得﹣4≤a＜0，综上a∈[﹣4，+∞）．故选：B．【再练一题】已知对∀a∈（﹣∞，0），∀x∈（0，+∞），不等式x2+（3﹣a）x+3﹣2a2＜ke x成立，则实数k的取值范围为（）A．（3，+∞）B．[3，+∞）C．（4，+∞）D．[4，+∞）【解答】解：由不等式x2+（3﹣a）x+3﹣2a2＜ke x成立，即成立，令f（x），则f′（x）令f′（x）＝0，可得：x1＝2a﹣1，x2＝﹣a，∵a∈（﹣∞，0），∴x1＝2a﹣1＜0，x2＝﹣a＞0∵x∈（0，+∞），∴当x∈（0，﹣a），f′（x）＞0，则f（x）在x∈（0，﹣a）单调递增∴当x∈（﹣a，+∞），f′（x）＜0，则f（x）在x∈（﹣a，+∞）单调递减当x＝﹣a时，f（x）取得最大值为f（﹣a）k，即f（a）k，∵a∈（﹣∞，0），f（a）＜f（0）≤k．即k≥3．故选：B．思维升华解决二次函数图象与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)．(3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域．基础知识训练1．若，则A．B．C．D．【答案】B【解析】由得：则指数函数单调性可知：由幂函数单调性可知：综上所述：本题正确选项：2．用b，表示a，b，c三个数中的最小值设函数，则函数的最大值为A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】如图所示：则的最大值为交点的纵坐标，由，得即当时，．故选：B．3．已知，则x等于A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，可知，可得，即，所以，解得．故选：A．4．三个数a＝cos，b＝lg，c之间的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】Da＝cos∈（0，1），b＝lg0，c1，∴b＜a＜c．故选：D．5．在同一直角坐标系中，的图像可能是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为的图象为过点的递增的指数函数图象，故排除选项；的图象为过点的递减的函数图象，故排除选项，故选B．6．函数的图像必经过点（）A．（0,2）B．（4,3）C．（4,2）D．（2,3）【答案】B【解析】令，所以，因此函数过点（4,3）.故选B7．函数在区间上的最小值是A． B． C． D．4【答案】B【解析】结合指数函数的性质可知在该区间单调递减,故当取到最小值,为,故选B.8．函数的单调递减区间是( )A． B． C． D．【解析】设t＝x2﹣2x﹣3，则函数在（﹣∞，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增．因为函数在定义域上为减函数，所以由复合函数的单调性性质可知，此函数的单调递减区间是（1，+∞）．故选：D．9．不等式的解集是( )A． B． C． D．【答案】D【解析】因为y＝2x在R上是增函数，，所以2x﹣7<4x﹣1，即x>﹣3所以不等式的解集是{x|x>﹣3}，故选D.10．如图，在四个图形中，二次函数与指数函数的图像只可能是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】根据指数函数y＝（）x可知a，b同号且不相等，则二次函数y＝ax2+bx的对称轴0可排除B与D，又二次函数，当x=0时，y=0，而A中，x=0时，y<0，故A不正确．故选C．11．若函数的最大值为2，则实数的值为（）A．-1 B．-2 C．-3 D．-4【答案】A【解析】解：函数f（x）＝3﹣|x|﹣m是偶函数，x＞0时，函数是减函数，函数的最大值为：1﹣m＝2，解得m＝﹣1．故选：A．12．已知，若对任意，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵g（x）＝﹣2，当x<时,恒成立，当x≥时，g（x）≥0，又∵∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0，∴f（x）＝m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x≥时恒成立，即m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x≥时恒成立，则二次函数y＝m（x﹣2m）（x+m+3）图象开口只能向下，且与x轴交点都在（，0）的左侧，∴，即，解得＜m＜0，∴实数m的取值范围是：（，0）．故选C．13．计算______．【答案】8【解析】．故答案为：8．14．函数的值域是_____．【答案】【解析】因为单调递增，所以的值域为，∴的值域为（﹣1，+∞）故答案为：（﹣1，+∞）．15．某品牌笔记本电脑的成本不断降低，若每隔4年价格就降低，则现在价格为8100元的笔记本电脑，12年后的价格将降为__________元．【答案】2400【解析】12年后的价格可降为81002400元．故答案为2400．16．函数的图象恒过定点, 点在幂函数的图象上，则=____.【答案】27【解析】当时，函数，故，设幂函数，则，解得，故.17．已知定义在R上的函数f（x）=3x．（1）若f（x）=8，求x的值；（2）对于任意的x∈[0，2]，[f（x）-3]•3x+13-m≥0恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）x=2（2）m≤【解析】（1）f（x）=3x=8，即（3x）2-8•3x-9=0，解得：x=2；（2）原式转化为[f（x）-3]3x+13≥m，令g（x）=[f（x）-3]3x+13=（3x）2-3•3x+4，令t=3x，由x∈[0，2]，则t∈[1，9]，故y=t2-3t+4，当t=时，y取最小值，故m≤．18．已知奇函数的定义域为[-1,1]，当时，。