互易定理补充例题

green互易定理
摘要：
1.互易定理的定义
2.互易定理的性质
3.互易定理的应用
4.互易定理的举例
正文：
一、互易定理的定义
互易定理，又称为绿色互易定理，是数论中的一个重要定理。

它主要研究的是两个数的乘积与它们的和或差的关系。

具体来说，如果两个整数a 和b 的乘积与它们的和或差的余数相同，那么这两个整数就满足互易定理。

用公式表示就是：如果a*b ≡a + b (mod n) 或者a*b ≡a - b (mod n)，其中n 是一个正整数，那么a 和b 就是满足互易定理的数。

二、互易定理的性质
1.对称性：如果a 和b 满足互易定理，那么b 和a 也满足互易定理。

2.传递性：如果a 和b 满足互易定理，b 和c 也满足互易定理，那么
a 和c 也满足互易定理。

3.齐次性：如果a 和b 满足互易定理，那么ka 和kb 也满足互易定理（其中k 是一个整数）。

三、互易定理的应用
互易定理在数论中有广泛的应用，特别是在中国剩余定理和模运算中。

通过利用互易定理，我们可以解决许多在模运算中的问题，如求解模方程、求解
同余方程等。

四、互易定理的举例
举例来说，我们取a=3，b=4，n=5。

根据互易定理的公式，我们有3*4 ≡3 + 4 (mod 5) 或者3*4 ≡3 - 4 (mod 5)。

计算可得，3*4 ≡1 (mod 5)，3 + 4 ≡1 (mod 5)，3 - 4 ≡1 (mod 5)。

因此，3 和4 满足互易定理。

总的来说，互易定理是数论中一个重要的定理，它具有很好的性质和广泛的应用。

电路考研复习大纲(第一部分)1.电路考研复习大纲第一部分、直流电路一、基本概念和基本定律1、电压、电流的参考方向电压、电流任意指定的方向。

电路中所标的电压、电流方向都是参考方向。

关联参考：当电流的参考方向从参考电压的正极流入时，为关联参考，否则为非关联参考2、功率若电压、电流取关联参考，,若电压、电流取非关联参考，,，吸收功率，为负载；，发出功率，为电源。

3、基尔霍夫定律KCL KVL在集总电路中，不管是线性元件，还是非线性元件，是时变元件还是非时变元件，KCL、KVL都适应。

4、等效变换端口向外部有两个引出端扭且两个端扭上的电流同一电流，这样两个端扭即构成电路的一个端口。

相应电路即为一端口电路。

等效电路如果两个一端口电路和内部结构和参数完全不同，但它们有相同的端口关系，则两个一端口电路和外部电路是等效的。

电路等效变换在保持端口关系不变情况下，把电路变换为，或电路变换为。

（1）电阻等效变换①电阻串、并联两个电阻的并联的等效电阻和分流公式②等效变换（特别是三个相等电阻情况）（2）电源等效变换①几个电压源串联可以等效成一个电压源；几个电流源并联可以等效成一个电流源。

②电压源等效为电流源电流源等效为电压源注意：①电压源的方向与电流源的方向是相反的。

②电源等效变换时控制量不能消失。

5、回路（网孔）电流法以假想的回路（网孔）电流为变量列方程求解的方法。

在列方程时应注意：（1）回路（网孔）电流方程的标准形式（以三个回路为例）式中为第回路的自电阻，为第回路与第个回路的互电阻。

为第回路（网孔）上的电压源的电压的代数和。

（2）自电阻为正；互电阻：当两个回路（网孔）电流方向相同时，为正；当两个回路（网孔）电流方向相反时，为负；当两个回路（网孔）不相邻，或相邻但没有公共电阻时，为0。

(3) 回路（网孔）上电压源电压的正负：电压源的电压与回路（网孔）电流方向相同时，取负值；相反时，取正值。

(4)受控源可以作为独立电源处理，控制量应用回路（网孔）电流来表示。

高中数学专题1.1.2-1.1.3 四种命题、四种命题间的相互关系练习（含解析）新人教A版选修2-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学专题1.1.2-1.1.3 四种命题、四种命题间的相互关系练习（含解析）新人教A版选修2-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学专题1.1.2-1.1.3 四种命题、四种命题间的相互关系练习（含解析）新人教A版选修2-1的全部内容。

四种命题、四种命题间的相互关系一、选择题1．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素"是假命题,那么下列命题中真命题的个数为（）①M中的元素都不是P的元素;②M中有不属于P的元素；③M中有属于P的元素；④M中的元素不都是P的元素．A．1 B．2C．3 D．4［答案] B［解析］由于“M⊆P"为假命题，故M中至少有一个元素不属于P,∴②④正确．M中可能有属于P的元素，也可能都不是P的元素,故①③错误,选B。

2．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，p的逆命题为t，则s是t的( ）A．逆否命题B．逆命题C．否命题D．原命题［答案] C3．已知命题p：“若a>b〉0，则错误!a〈错误!b＋1”，则命题p及它的逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数为( ）A．0 B．1C．2 D．4［答案] C[解析] 对于命题p，当a>b>0时，有错误!a<错误!b，则必有错误!a<错误!b＋1，因此原命题正确,逆否命题也正确；但当错误!a〈错误!b＋1时，得错误!a〈错误!错误!，即a〉错误!〉0,此时不一定有a>b〉0，因此逆命题不正确，则命题p的否命题也不正确．因此一共有2个正确命题，故选C. 学科网二、填空题4．下列命题：①“若xy＝1,则x、y互为倒数”的逆命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题;③“梯形不是平行四边形”的逆否命题;④“若ac2＞bc2，则a＞b"的逆命题．其中是真命题的是________（填序号）．解析：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“x、y互为倒数，则xy＝1",是真命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；③“梯形不是平行四边形"本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题;④“若ac2＞bc2，则a＞b"的逆命题是“若a＞b,则ac2＞bc2”，是假命题．所以真命题是①②③.答案：①②③5．有下列四个命题:①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的否命题;②“若x＞y，则x2＞y2”的逆否命题;③“对顶角相等”的逆命题．其中真命题的个数是________．解析：①真命题,②③为假命题答案：1三、解答题6．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断其真假．(1)如果两圆外切,那么两圆心距等于两圆半径之和；（2）平面内，两条平行直线不相交．学科网高考一轮复习微课视频手机观看地址：http：//x kw。

[学业水平训练]1．命题“若a ∉A ，则b ∈B ”的逆命题是( )A ．若a ∉A ，则b ∉B B ．若a ∈A ，则b ∉BC ．若b ∈B ，则a ∉AD ．若b ∉B ，则a ∉A解析：选C.“若p ，则q ”的逆命题是“若q ，则p ”，所以本题的逆命题是“若b ∈B ，则a ∉A ”．2．已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是( )A ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2＜3B ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2＜3C ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2≥3D ．若a 2＋b 2＋c 2≥3，则a ＋b ＋c ＝3解析：选A.由于一个命题的否命题既否定条件又否定结论，因此原命题的否命题为“若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2＜3”．3．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( ) A ．若α≠π4，则tan α≠1 B ．若α＝π4，则tan α≠1 C ．若tan α≠1，则α≠π4 D ．若tan α≠1，则α＝π4解析：选C.命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”． 4．若命题p 的逆命题是q ，命题q 的否命题是x ，则x 是p 的( )A ．逆命题B ．否命题C ．逆否命题D ．以上判断都不正确解析：选C.根据四种命题的关系，结合具体的例子可知，命题p 与命题x 是互为逆否命题．5．命题“对于正数a ，若a ＞1，则lg a ＞0”及其逆命题、否命题、逆否命题四种命题中真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选D.原命题“对于正数a ，若a ＞1，则lg a ＞0”是真命题；逆命题“对于正数a ，若lg a ＞0，则a ＞1”是真命题；否命题”对于正数a ，若a ≤1，则lg a ≤0”是真命题；逆否命题“对于正数a ，若lg a ≤0，则a ≤1”是真命题．6．命题“若m ＞1，则mx 2－2x ＋1＝0无实根”的等价命题是________________． 解析：原命题的等价命题是其逆否命题，由定义可知其逆否命题为：“若mx 2－2x ＋1＝0有实根，则m ≤1”．答案：若mx 2－2x ＋1＝0有实根，则m ≤17．已知命题“若m －1＜x ＜m ＋1，则1＜x ＜2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是________．解析：由已知得，若1＜x ＜2成立，则m －1＜x ＜m ＋1也成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1，m ＋1≥2， ∴1≤m ≤2.答案：[1,2]8．在命题“若数列{a n }是等比数列，则a n ≠0”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．解析：原命题为真命题，故其逆否命题为真命题，它的逆命题与否命题均为假命题．答案：29．写出命题“已知集合A ，B ，若A ∪B ≠B ，则A 不是B 的子集．”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．解：逆命题：已知集合A ，B ，若A 不是B 的子集，则A ∪B ≠B ，真命题；否命题：已知集合A ，B ，若A ∪B ＝B ，则A ⊆B ，真命题．逆否命题：已知集合A ，B ，若A ⊆B ，则A ∪B ＝B ，真命题．10．已知命题p ：“若ac ≥0，则二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0无解”．(1)写出命题p 的否命题；(2)判断命题p 的否命题的真假．解：(1)命题p 的否命题为：“若ac ＜0，则二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0有解”．(2)命题p 的否命题是真命题．判断如下：因为ac ＜0，所以－ac ＞0⇒Δ＝b 2－4ac ＞0⇒二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根⇒ax 2＋bx ＋c ＞0有解， 所以该命题是真命题．[高考水平训练]1．下列四个命题：①“若xy ＝0，则x ＝0且y ＝0”的逆命题；②“正方形是矩形”的否命题；③若“ac 2＞bc 2，则a ＞b ”的逆命题；④若m ＞2，则不等式x 2－2x ＋m ＞0.其中真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C.命题①的逆命题是“若x ＝0且y ＝0，则xy ＝0”，为真命题；命题②的否命题是“若一个四边形不是正方形，则它不是矩形”，为假命题；命题③的逆命题是“若a ＞b ，则ac 2＞bc 2”，为假命题；命题④为真命题，当m ＞2时，方程x 2－2x ＋m ＝0的判别式Δ＜0，对应二次函数图象开口向上且与x 轴无交点，所以函数值恒大于0.2．给出以下命题：①“正多边形都相似”的逆命题；②“若m ＞0，则x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题．其中为真命题的是________．解析：①逆命题是“若两个多边形相似，则这两个多边形为正多边形”．假命题． ②∵Δ＝1＋4m ，若m ＞0，则Δ＞0，∴x 2＋x －m ＝0有实根，即原命题为真命题．∴逆否命题也为真命题．答案：②3．若方程x 2＋2px －q ＝0(p ，q 是实数)没有实数根，则p ＋q ＜14. (1)判断上述命题的真假，并说明理由．(2)试写出上述命题的逆命题，并判断真假，说明理由．解：(1)上述命题是真命题．由题意，得方程的判别式Δ＝4p 2＋4q ＜0，得q ＜－p 2，∴p ＋q ＜p －p 2＝－(p －12)2＋14≤14，∴p ＋q ＜14. (2)逆命题：如果p ，q 是实数，p ＋q ＜14，则方程x 2＋2px －q ＝0没有实数根．逆命题是假命题，如当p ＝1，q ＝－1时，p ＋q ＜14，但原方程有实数根x ＝－1. 4．证明：若a 2－4b 2－2a ＋1≠0，则a ≠2b ＋1.证明：“若a 2－4b 2－2a ＋1≠0，则a ≠2b ＋1”的逆否命题为“若a ＝2b ＋1，则a 2－4b 2－2a ＋1＝0”．∵a ＝2b ＋1，∴a 2－4b 2－2a ＋1＝(2b ＋1)2－4b 2－2(2b ＋1)＋1＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1＝0∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，结论正确．。

1. 如图所示，六个开关闭合的概率都是1/2，且相互独立，求灯亮的概率4条支路从上到下依次是1、2、3、41、4断路的概率是：1-1/4=3/42、3断路的概率是：1/2因此灯不亮的概率是：3/4 * 3/4 * 1/2 * 1/2=9/64因此灯亮的概率是：1-9/64=55/642. 已知电路有四个开关，每个开关独立工作，且闭合的概率为1/2，求灯亮的概率(1/2)^4=1/16追问两个串联，再与另两个并联回答将就看下面的图：从下往上看，第一个开关闭合概率0.5=1/2当第一个开关断开时，第二个开关闭合概率0.5：0.5*（1-0.5）=1/4下面两个开关都断开时上面两个开关同时闭合的概率0.25：0.25*（1-0.5- 0.5*（1-0.5））=1/161/2+1/4+1/16=13/163.答案C4.甲袋有8个白球，4个红球，乙袋有6个白球，6个红球，从每袋任取一个球，问取得同色球的概率是多少？共有12×12=144种不同等可能结果，其中取得同色球有12×6=72种不同结果所以P(取得同色球)=72÷144=0.5 5.在放有5个红球，4个绿球，3个白球的袋中，任取3个球，取出的全是同色球的概率是一共有12个球取出的同颜色有三种情况：3个红球或3个绿球或3个白球取出三个绿球的概率为C4,3/C12,3=1/55C4，3表示从4个绿球中取3个，C12，3表示从12个球中取3个取出三个红球概率为C5，3/C12，3=1/22取出三个白球概率为C3，3/C12，3=1/220所以取出三个球同色的概率为三种情况概率相加为1/55+1/22+1/220=3/446.。

相似易错题1、已知矩形ABCD中，AB＝1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD＝（）2、如果一个直角三角形的两条边长分别为6和8，另一个与它相似的直角三角形的边长分别为3、4、x，则x=？3、如图,BD是三角形ABC的角平分线,DE平行于BC,E在AB上,AE=4,BC=8,求DE的长4、已知点D是AB边的中点,AF平行BC,CG：GA=3：1,BC=8,则AF=?5、如图，△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于G．求证：。

6、已知正方形ABCD的边长=2，AE=BE，MN=1，线段MN的两端分别在CB和CD上滑动，当CM=？时，△ADE与△MNC相似7、如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）若BD=3，CE=2，求△ABC的边长．8、如图：已知AB⊥DB于B点，CD⊥DB于D点，AB=6，CD=4，BD=14，在DB上取一点P，使以CDP为顶点的三角形与以PBA为顶点的三角形相似，求DP的长9、如图,点M是△ABC内一点,过点M分别作直线平行于△ABC的各边,所形成的三个小三角形△1,△2,△3,的面积分别是4，9和49,则△ABC的面积是多少?10、将三角形纸片△ABC按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB=AC=6，BC=8，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度=？11、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．把△ABC绕AB边上的点D顺时针旋转90°得到△A′B′C′，A′C′交AB于点E．若AD=BE，求△A′DE的面积12、如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE：EC=2：3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，（1）S△DEF：S△EBF：S△ABF=？（2）如果S△DEF=4，求S平行四边形ABCD=？14、如图矩形纸片ABCD，AB＝5cm，BC＝10cm，CD上有一点E，ED＝2cm，AD上有一点P，PD＝3cm，过P作PF⊥AD交BC于F，将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，则PQ的长是多少？15、如图，在△ABC中，AE：EB=2：3，EF∥BC，S△AEF:S△16、如图，正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直．（1）求证：Rt△ABM∽Rt△MCN；（2）若MN的延长线交正方形外角平分线CP于点P，当点M在BC边上如图位置时，请你在AB边上找到一点H，使得AH=MC，连接HM，进而判断AM与PM的大小关系，并说明理由；（3）若BM=1，则梯形ABCN的面积为（）；设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y 与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN的面积最大，并求出最大面积；（4）当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN，求此时BM的值．。

互易定理的应用互易定理，又称反比例定理，是一种数学定理，由欧几里得发现，也有可能是希腊数学家勒比里安提出。

它表明两个变量总是存在反比例关系，即当一个增加时，另一个就会减少，反之亦然。

本文将针对互易定理的定义及其在人们日常生活中的应用作出介绍。

首先，从数学上来说，互易定理的定义如下：若x和y是两个正数，且x y，则有 x / y = y / x 。

互易定理是一种对称定理，即把变量换位置，结果依旧不变。

它可以被用来计算一个变量的值，当另一个变量的值已知时，例如将2/4用互易定理处理，可得出4/2=2。

其次，在日常生活中，互易定理常常被用来计算金融类的问题，例如汇率的计算，人们可以根据以美元（USD）为基准计价的汇率，把其他货币的汇率折算成美元，再将美元的汇率折算回原货币，从而得出原货币的汇率。

此外，在物理上，互易定理也得到了广泛的应用。

常见的例子是摩擦力和摩擦系数之间的关系，即F=μ*N，其中F为摩擦力，N为物体表面接触的部分产生的压力，而μ则为摩擦系数。

很显然，当N增大时，F也会增大，但μ则同时减小，由此可见，F和μ之间也存在反比例关系，这正是互易定理的应用。

最后，互易定理还可以应用于流体力学和化学，例如比重的换算，在一个未知液体的情况下，可以根据比重的反比例关系，通过测定出一个熟悉的液体的比重，从而估算出未知液体的比重。

在生物学方面，同样可以利用互易定理，比如减肥的过程，当体重减少时，体质指数（BMI）会相应减少，反之亦然，因此可直观地看出二者之间存在反比例关系，同样是互易定理的应用。

综上所述，互易定理是一个十分有用的定理，其应用领域涉及到金融、物理、化学以及生物等多种领域。

本文综述了互易定理的定义及其应用，希望能够对读者有所帮助。

概率论与数理统计互易定理
概率论与数理统计是现代数学中的两门重要学科，其中互易定理
是其中一个非常重要的定理。

它是基于数学的对称性原理而得出的一
系列定理，被广泛应用于许多不同的领域。

互易定理基于概率论中两类随机变量之间的不确定性关系建立。

具体来说，它将一个随机变量的信息（即它的期望值）与另一个随机
变量的信息互换，同时保持了总体的不确定性水平。

在很多实际应用中，互易定理为我们提供了一种令人信服的方式来比较不同的随机变
量之间的不确定性。

互易定理可以分为两大类：对称性互易定理和正交性互易定理。

对称性互易定理适用于具有特定对称性的随机变量，其中典型的例子
是均匀分布。

正交性互易定理适用于满足正交条件的随机变量，其典
型例子是正交函数系列和傅里叶分析。

互易定理在很多领域中都有广泛的应用。

在信息论中，它被用来
证明码字的最大熵性质。

在通信领域，它是设计调制方案的关键工具。

在图像处理和压缩方面，它用于描述不同变量之间的依赖性，并用于
压缩算法中。

除了在实际应用方面的应用，互易定理也具有非常大的理论意义。

它是概率论和数理统计中的重要定理之一，为研究随机变量的性质和
特征提供了重要的工具。

总之，互易定理是概率论与数理统计中非常根本的定理之一。

它被广泛地应用于实际问题的解决中，并促进了理论研究。

掌握互易定理将有助于我们更好地理解随机变量之间的不确定性关系，并能够更加高效地解决各种实际问题。

3.4 互易定理1. 互易定理的内容互易定理：对于一个线性电阻网络而言，如果只有一个激励和一个响应，那么当激励与响应互换位置后，激励与响应的比值保持不变。

这里的激励指电压源或电流源，响应指电压或电流。

互易定理的示意图如图1所示。

u 1i 2u 2i 1212u u i i =图1 互易定理示意图根据互易定理和图1，1212(u u i i =激励）（互换位置后的激励）（响应）（互换位置后的响应） （1）由式（1）可以看出，如果激励（电压源电压）相同，则互换位置后的响应（电流）也相同。

这是互易定理的一种特殊情况。

由互易定理的内容可以看出，互易定理是很难自己想象出来的。

由于互易定理很难想象，要证明互易定理自然也是一件非常困难的事情。

不过，为了令人信服，下面我们来证明一下互易定理。

2. 互易定理的证明在证明互易定理之前，需要先证明两个定理和一个定理推论，即特勒根定理1、特勒根定理2和特勒根定理2推论。

特勒根定理1的内容是，任意一个电路，如果每一条支路的电流参考方向都是从电压参考方向的正极流入，则所有支路的电压电流乘积加起来一定等于零。

电压电流乘积就是功率，可见特勒根定理1的物理含义就是任何一个电路总的功率为零，也就是发出功率等于吸收功率，即功率守恒。

下面我们来证明特勒根定理1。

假设任意一个电路总计有b 条支路，n 个结点，第p 、q 个结点之间的电压记为pq u ，电流记为pq i ，则1111111111111()02222bn n n n n n nnk kpq pq p q pq p pq q pq k p q p q p q q p u i u i u u i u i u i ===========−=−=∑∑∑∑∑∑∑∑∑ （2）由式（2）即证明了特勒根定理1。

式（2）乍一看很难理解，下面对其中的细节进行解释。

式（2）中第一个等号是将支路电压电流乘积之和转化为结点与结点之间电压与电流乘积之和。

互换性总复习题互换性是数学中一个重要的概念，涉及数学中的代数运算和关系。

掌握互换性的概念和应用，对于解题和理解数学概念是非常关键的。

为了帮助大家巩固对互换性的理解，下面将给出一些互换性的总复习题，供大家练习和巩固知识。

1. 互换性的定义是什么？为什么互换性在数学中如此重要？2. 证明以下运算的互换性：a) 加法：a + b = b + ab) 乘法：a × b = b × ac) 减法：a - b ≠ b - ad) 除法：a ÷ b ≠ b ÷ a3. 互换律在代数运算中的应用如何？4. 当变量与常数进行运算时，互换性是否成立？举例说明。

5. 互换律能否应用在其他数学领域？举例说明。

6. 与互换性相对的概念是什么？它们之间有何区别？7. 证明以下关系运算的互换性：a) 相等关系：a = b ↔ b = ab) 大于关系：a > b ≠ b > ac) 小于关系：a < b ≠ b < ad) 不等关系：a ≠ b ↔ b ≠ a8. 互换性是否对于所有数都成立？为什么？9. 使用互换性给出以下运算的等价关系：a) 2 + 3 + 4 = 4 + 3 + 2b) 2 × 3 × 4 = 4 × 3 × 2c) 2 - 3 ≠ 3 - 2d) 2 ÷ 3 ≠ 3 ÷ 210. 互换性对于解方程有何影响？11. 互换性是否适用于所有数学概念？为什么？12. 提供一个实际应用中使用互换性的例子。

通过完成所有这些练习题，相信你将能更深入地理解互换性在数学中的意义和应用。

熟练掌握互换性的概念和原则将有助于提高解题能力，并在数学学习中做到更加灵活和准确。

因此，不妨花一些时间来练习和巩固对互换性的理解，相信这将对你的数学学习大有帮助！。

格林互易定理在电磁学计算中的应⽤收稿⽇期:2004 03 01作者简介:李奎春(1947-),男,辽宁本溪市⼈,副教授,主要从事师范教育教学研究. 教学研究格林互易定理在电磁学计算中的应⽤李奎春(本溪冶专,辽宁本溪117022)摘要:应⽤格林互易定理计算接地导体上的感应电荷.关键词:定理;导体;电荷中图分类号:O442 ⽂献标识码:A ⽂章编号:1008-5688(2004)01-0010-01在电磁学的理论研究中,求解导体系中接地导体上的感应电荷通常采⽤的⽅法是很繁琐的,如果我们能够掌握格林互易定理,并利⽤它去求解接地导体上的感应电荷和感应电荷引起的电势,这类问题将变得⾮常简单.1 格林互易定理导体系的电容理论研究的是在线性介质内导体系的电量和电势的关系.所谓线性介质是指电位移⽮量D 与场强E 成线性关系,在这⾥表现为导体系的电量与电势成线性关系,即:Q i = N j =1C ij u j (i =1,2,3, ,N ),u i = N j =1P ij Q j (i =1,2,3, ,N ),式中C ij 为电容系数,即第j 个导体具有单位电势时在第i 个导体上感应电荷的电量;P ij 为电势系数,即第j 个导体具有单位电量时在第i 个导体上引起电势.C ij ,P ij 的⼤⼩与导体系中各导体的⼤⼩、形状、相对位置及周围介质的性质有关;与各导体的电量与电势⽆关.这样导体系可以取各种各样的的电势和电量系列,因⽽导体系可以有不同的组态,⽐如:导体系的各导体电势分别是u 1,u 2, ,u N ;导体系的各导体电量分别为Q 1,Q 2, ,Q N ;这叫第⼀组态.再使导体系的各导体电势分别是u *1,u *2, ,u *N ;导体系的各导体电量分别是Q *1,Q *2,Q *N ;这叫第⼆组态.格林互易定理的内容:导体系的任意两组态之间,满⾜以下关系 N i =1Q i u *i = N i =1Q *i u i ,上式即为导体系的格林互易定理.2 格林互易定理的应⽤在使⽤格林互易定理时,关键在于找出导体系的任意两个组态,要计算导体系在某个组态时,其中⼀个接地导体上的感应电荷可以设想该导体系在空间排列不变的条件下处于另⼀组⾮常简单的组态,将导体系在这两种组态时的电量与电势代⼊格林互易定理,就可以求出导体系中,该接地导体上所带的感应电(下转17页)荷.下⾯举例对此⽅法作具体说明.例1 如图1所⽰,计算点电荷q附近接地导体球上的感应电荷.此题应⽤格林互易定理求解⽐⽤电象法简单容易.解设想点电荷q 是⼀个⾮常⼩的带电导体,这样它与接地导体球构成了⼀个导体系,设Q 为接地导体的感应电荷第⼀组态(图1A),Q 1=q ,Q 2=Q ,u 1(q 处的电势),u 2=0;第6卷第1期2004年3⽉辽宁师专学报Journal of Liaoning Teachers C ollege Vol 6No 1Mar 20044 2 有害的离⼼运动要努⼒克服当外⼒减⼩时,需要减⼩向⼼⼒,以满⾜新的平衡状态,避免离⼼现象的发⽣.可以通过减⼩速率或增⼤半径的⽅法.如:在冰雪路⾯上车类要转慢弯、转⼤弯,⽽不是转急弯、转⼩弯.当向⼼⼒变⼤时,需要增⼤外⼒,同样满⾜新的平衡状态,避免离⼼现象的发⽣.如:乘车时扶好把⼿、系好安全带便达到了这个⽬的.总之,要有效地利⽤或克服离⼼现象,必须弄清其产⽣的本质原因及条件,以便有的放⽮,这才是本⽂的最终⽬的所在.(责任编辑吴中华,王巍)(上接10页)第⼆组态(图1B),Q *1=0,Q *2=Q *,u *1=Q *4 ,u *2=Q *4 R,应⽤格林互易定理Q 1u *1+Q 2u *2=Q *1u 1+Q *2u 2得q Q *4 +Q Q *4 =0,u 1+Q * 0=0,求出接地导体的感应电荷为Q =-Rq .例2 计算点电荷q 的两侧平⾏接地的导体板上的电荷(图2A).解设两个接地导体板上的感应电荷为Q 1,Q 2,Q 3=q ;电势分别分u 1=0,u 2=0,u 3;第⼆组态如图2B,d 1与d 2之间⽆点电荷q ,电量分别为Q *1=Q *,Q *2=-Q *,Q *3=0;电势分别是:u *1=Q * 0S(d 1+d 2);u *2=0,u *3=Q * 0Sd 2应⽤格林互易定理Q 1u *1+Q 2u *2+Q 3u *3=Q *1u 1+Q *2u 2+Q *3u 3,代⼊Q 1Q * 0S(d 1+d 2)+q Q *q 0S d 2=0,所以Q 1=-d 2d 1+d 2q ,同样⽅法可求出Q 2=-d 1d 1+d 2q .下⾯我们再应⽤格林互易定理求解⼀个⽐较复杂的问题.例3 如图3所⽰,⼀个半径为a 的接地导体球,被半径为b 的同⼼电介质球层所包围,电介质的介电常数为 ,在距球⼼为d (d >0)处放⼀点电荷q ,求球⾯上感应电荷.解第⼀组态:球内的感应电荷⽤Q 1表⽰,Q 1=Q 2=q ;u 1=0,u 2=u ;第⼆组态:假设球不接地,本⾝带电荷Q *1,d 处⽆点电荷q则Q *1产⽣的电场E *1=Q *14 r 2,电势为u *1=Q *14 r +C 1(a r b ),u * 1=Q *14 0r +C 2(r b ),在r =b 处,u *1=u * 1即Q *14 b +C1=Q *14 b +C 2;当r 时,u * 1=0,得c 2=0,c 1=Q *14 b (1 0-1 ),则r =a 球的电位u *1=Q *14 +Q *14 b (1 0-1 ),距离球⼼d 处电位,u *1=Q *14 0d;Q *1,Q *2=0;应⽤格林互易定理得Q 1u *1+Q 2u *2=Q *1u 1+Q *2u ,代⼊得Q 1Q *14 +Q *14 b (1 0-1 )+q Q *14 0d =Q *1 0+0 u 2解得Q 1=- bq d ( 0b + a - 0a ).以上例题说明应⽤格林互易定理计算接地导体上的感应电荷及电势等问题确实给我们带来很⼤⽅便.(责任编辑吴中华,王巍)关亚男关于离⼼运动的分析17。

高等数学1 互易定理互易定理是高等数学中的一个重要定理，它描述了傅里叶变换中频域和时域之间的相互转换关系。

这个定理的英文名称为Parseval's theorem，它是由法国数学家马塞尔·艾伯特·亨利·亚当·巴特朗·德·亨利·瓦耶·傅里叶提出的。

互易定理在信号处理、图像处理、通信系统等领域中有着广泛的应用。

互易定理的表述如下：若f(x)和F(k)是一维函数，它们之间的傅里叶变换和逆变换分别为F(k)和f(x)，则有以下等式成立：∫[−∞,+∞] f(x) ^2 dx = ∫[−∞,+∞] F(k) ^2 dk其中，f(x) ^2表示函数f(x)的绝对值的平方，F(k) ^2表示函数F(k)的绝对值的平方，∫表示积分运算。

这个定理的物理意义是，信号的能量在频域和时域之间是保持不变的。

在时域，信号的能量是由每个点的振幅的平方和所有点的总和得出的。

而在频域中，信号的能量则是由每个频率成分的幅度的平方和所有频率成分的总和得出的。

互易定理的证明可以通过傅里叶变换的定义和逆变换的定义进行推导。

首先，根据傅里叶变换的定义，有：F(k) = ∫[−∞,+∞] f(x)e^(-2πikx) dx然后，将F(k)代入互易定理的等式中，得到：∫[−∞,+∞] f(x) ^2 dx = ∫[−∞,+∞] ∫[−∞,+∞] f(t)e^(-2πikt) dt ^2 dk 接下来，根据复数的模平方公式，可以将上式展开：∫[−∞,+∞] f(x) ^2 dx = ∫[−∞,+∞] ∫[−∞,+∞] f(t)e^(-2πikt) dt ^2 dk= ∫[−∞,+∞] (∫[−∞,+∞] f(t)e^(-2πikx) dt)(∫[−∞,+∞]f(u)e^(-2πiku) du) dk接着，可以将两个积分项进行展开和交换顺序，得到：∫[−∞,+∞] f(x) ^2 dx = ∫[−∞,+∞] (∫[−∞,+∞] f(t)f(u)e^(-2πik(x-u)) dtdk) du= ∫[−∞,+∞] (∫[−∞,+∞] f(t)f(u)e^(-2πik(u-x)) dudk) dx= ∫[−∞,+∞] ∫[−∞,+∞] f(u)e^(-2πiku) du ^2 dx最后，根据傅里叶逆变换的定义，将上式中的积分项变为f(x)，得到：∫[−∞,+∞] f(x) ^2 dx = ∫[−∞,+∞] f(u) ^2 du由此可见，互易定理被证明成立。

概率论判断题36个经典反例1. 独立性和无关性是等价的，它们可以互换使用。

2. P(A ∩ B) = P(A) × P(B)，这个公式适用于所有事件 A 和 B。

3. P(A U B) = P(A) + P(B)，这个公式适用于所有事件 A 和 B。

4. P(A|B) = P(B|A)，条件概率具有对称性。

5. P(A|B ∩ C) = P(A|B) + P(A|C)，条件概率具有分配律。

6. 如果事件 A 和事件 B 独立，那么事件 A 和事件 B 的补集也是独立的。

7. 如果事件A 和事件B 独立，那么它们的和与积也是独立的。

8. 如果事件 A 发生，那么事件 A 发生的概率是 1。

9. 如果事件 A 发生，那么它的补集不可能发生。

10. 如果事件 A 和事件 B 互斥，那么它们的交集是空集，即P(A ∩ B) = 0。

11. 如果事件 A 和事件 B 互斥，那么它们的并集等于它们的和。

12. 如果 A 和 B 独立，那么 A 和 B 的补集也是独立的。

13. 如果 A 和 B 独立，那么 A 和 B 的所有子集的交集的概率都等于 P(A) × P(B)。

14. 如果 A 和 B 独立，那么 A 的补集和 B 的补集也是独立的。

15. 如果 A 和 B 独立，那么 A 的子集和 B 的子集的交集的概率都等于 P(A) × P(B)。

16. 如果 A 和 B 独立，那么 A 的小于等于 b 的子集和 B 的小于等于 c 的子集的交集的概率都等于 P(A) × P(B) × P(C)。

17. 如果 A 和 B 是互斥的，那么他们是不可能同时发生的。

18. 如果 A 和 B 不可能同时发生，那么它们是互斥的。

19. 如果 A 和 B 相对独立，那么 A 的发生不会影响 B 的发生。

20. A 发生的概率加上 A 不发生的概率等于 1。

21. 同时包含 m 个单元素的 A 和 n 个单元素的 B 的并集中，元素数量最少的是其中一个。

互易定理例题
题目：某运动员在800m比赛中获得了最佳成绩2分0.25秒，请按
照交换定理算出在400米比赛中的最佳成绩。

答案：根据交换定理，在800米比赛中获得最佳成绩2分0.25秒，而
要在400米比赛中获得最佳成绩，只需要将本次800米比赛的最佳成
绩缩小一倍，即1分0.125秒即可。

交换定理，又称为了克罗森定理，是给出了800米和400米比赛时，
如何计算其最佳成绩的定理，其核心思想是根据在800米比赛中的最
佳成绩，来得出在400米比赛中的最佳成绩，具体计算是将800米比
赛的最佳成绩缩小一倍。

交换定理的优点在于，它提供了一种以简单的方式比较800米和400
米比赛的最佳成绩的计算方法，而不用进行复杂的计算。

它不仅可用
于比赛成绩，也可以用来计算运动员之前成绩与现在成绩之间的差距，或者根据个人比赛中最佳成绩来衡量比赛水平。

交换定理是在实践中要求运动员改进比赛水平的一个有效工具，它使
用户可以准确地了解并分析其在比赛中的最佳成绩，以及对比赛结果
本身的表现。

通过对比赛将结果进行比较，可以帮助运动员了解其表
现和努力的程度，并找出可改进之处，以便取得更好的比赛表现。

进
行有效的分析让运动员能够及时调整训练计划，并获得有效的训练效果。

1.1.2四种命题间的相互关系一、选择题1．命题“若A∪B＝A，则A∩B＝B”的否命题是()A．若A∪B≠A，则A∩B≠BB．若A∩B≠B，则A∪B≠AC．若A∪B＝A，则A∩B≠BD．若A∪B≠A，则A∩B＝B解析：命题“若A∪B＝A，则A∩B＝B”的否命题是“若A∪B≠A，则A∩B≠B”．故选A．答案：A2．已知命题p：垂直于平面α内无数条直线的直线l垂直于平面α，q是p 的否命题，下面结论正确的是()A．p真，q真B．p假，q假C．p真，q假D．p假，q真解析：当直线l垂直平面内无数条互相平行的直线时，直线与平面不一定垂直，故p假，p的逆命题为真，所以它的否命题q也为真．答案：D3．命题p的逆命题是q，命题p的逆否命题是r，则q是r的()A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．以上判断都不对解析：特殊化：假设命题p为：“若a>b，则a2>b2”，则命题q为：“若a2>b2，则a>b”．命题r为：“若a2≤b2，则a≤b”．因此知，q是r的否命题．答案：B4．有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③若“b≤0，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；④“若A∪B＝B，则A⊇B”的逆否命题．其中真命题是()A．①②B．②③C．①③D．③④解析：写出相应的命题后并判断真假．①“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”为真命题；②“不相似的三角形的周长不相等”为假命题；③“若方程x2－2bx＋b2＋b＝0没有实根，则b>0”为真命题；④因为“A∪B＝B，则A⊇B”是假命题，所以它的逆否命题也是假命题．答案：C5．设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是()A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0解析：一个命题的逆否命题是将这个命题的条件和结论交换，同时加以否定，结合选项知，应选D．答案：D二、填空题6．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________．解析：根据甲和丙的回答推测乙没有去过B城市，又知乙没有去过C城市，故乙去过A城市．答案：A7．命题“已知不共线的向量e 1，e 2，若λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0”的等价命题为__________________________，是________(填“真”或“假”)命题．解析：因为原命题与逆否命题等价，所以只要写出已知命题的逆否命题即可．已知命题的逆否命题为“已知不共线的向量e 1，e 2，若λ，μ不同时为0，则λe 1＋μe 2≠0”是真命题．答案：已知不共线的向量e 1，e 2，若λ，μ不同时为0，则λe 1＋μe 2≠0 真8．下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；②若一个四边形对角互补，则它内接于圆；③正方形的四条边相等；④对角不互补的四边形不内接于圆；⑤圆内接四边形对角互补；⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________．(填序号)答案：②⑤，③⑥ ①⑥，②④ ①③，④⑤三、解答题9．若方程x 2＋2ax －b ＝0(a ，b ∈R )没有实数根，则a ＋b <14. (1)判断上述命题的真假，并说明理由；(2)试写出上述命题的逆命题，并判断真假，并说明理由．解：(1)∵x 2＋2ax －b ＝0没有实数根，∴Δ＝(2a )2－4×1×(－b )＝4a 2＋4b <0，即b <－a 2.∴a ＋b <a －a 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14≤14. ∴a ＋b <14.故原命题是真命题．(2)逆命题为：若a ，b ∈R ，a ＋b <14，则方程x 2＋2ax －b ＝0没有实根，该命题是假命题．如当a ＝1，b ＝－1时，方程有实数根x ＝－1.10．(2019·天水高二月考)求证：若p 2＋q 2＝2，则p ＋q ≤2.证明：“若p 2＋q 2＝2，则p ＋q ≤2”的逆否命题为“若p ＋q >2，则p 2＋q 2≠2”．现证明逆否命题为真．∵p＋q>2，∴(p＋q)2>4.∴p2＋q2＋2pq>4.∵2pq≤p2＋q2，∴p2＋q2＋2pq≤2(p2＋q2)，∴2(p2＋q2)>4，∴p2＋q2>2，即p2＋q2≠2.。

高等数学a2互易定理高等数学中的互易定理是一个非常重要且有指导意义的定理，它在多个领域中都有着广泛的应用。

互易定理的发现和应用源远流长，为我们理解数学中的对称性提供了重要的工具。

互易定理最早可以追溯到19世纪初，当时的数学家开始对线性代数和傅里叶级数进行系统的研究。

互易定理的核心思想是基于一个重要的观点：如果我们能够将一个函数表示为一组基函数的线性组合，那么我们也可以通过对该函数应用基函数集的变换来得到这个函数的系数。

在数学中，基函数可以是一组正交函数，它们在给定积分范围内彼此正交，即它们的内积为零。

一个著名的例子是傅里叶级数，其中正弦和余弦函数构成了一组正交函数。

互易定理告诉我们，如果我们将一个函数表示为这组正交函数的线性组合，那么我们可以通过对这个函数进行一些操作，如积分或求导，来获得该函数在原正交函数组中的系数。

互易定理的具体表述是，如果f(x)和g(x)是在一个给定区间上的两个连续函数，并且f(x)和g(x)在该区间上的积分绝对收敛，那么这两个函数在该区间上的内积等于它们在该区间上的傅里叶级数系数的乘积之和。

换句话说，如果我们对两个函数进行内积运算，那么这个内积的结果等于这两个函数在傅里叶级数中对应系数的乘积之和。

互易定理在物理学领域有着广泛的应用，特别是在量子力学中。

量子力学中，我们经常需要对波函数进行操作和计算。

互易定理可以帮助我们在不同表示之间切换，使得我们可以更好地理解和解释量子力学中的现象。

此外，互易定理还在信号处理和图像处理领域有着重要的应用。

利用互易定理，我们可以通过对信号或图像进行傅里叶变换来分析它们的频谱和特征。

这为我们设计和优化信号和图像处理算法提供了有力的工具。

总结来说，互易定理是一项非常重要且有指导意义的数学定理。

它在线性代数、傅里叶分析、物理学以及信号和图像处理等领域中都有着广泛的应用。

掌握互易定理的概念和应用，将为我们在这些领域中更好地理解和解决问题提供帮助。

2024成都中考数学第一轮专题复习微专题对角互补模型知识精练1.问题呈现：已知等边△ABC边BC的中点为D，∠EDF＝120°，且点E，F分别在AB，AC上，现要探究线段BE，CF与BC之间的数量关系．【特例研究】(1)如图①，当DE⊥AB，DF⊥AC时，请直接写出BE，CF与BC之间的数量关系：________；【类比探究】(2)如图②，当∠DEB≠∠DFC时，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明过程，若不成立，请说明理由；【拓展应用】(3)若等边△ABC的边长为4，当∠FDC＝45°时，求BE的长和此时△BDE的面积．图①图②第1题图2.如图，在矩形ABCD中，AB＝43，AD＝4，点P为对角线AC上的一个动点(不与点A，C重合)，连接PD，过点P作PE⊥PD，交直线AB于点E.(1)如图①，求证：PD＝3PE；(2)如图②，当点P为AC的中点时，连接DE，求证：DE⊥AC；(3)如图③，若P A平分∠DPE，求PE的长．图①图②图③第2题图参考答案与解析1.解：(1)BE ＋CF ＝12BC ；(2)成立．证明：如解图①，分别过点D 作DG ⊥AB 于点G ，DH ⊥AC 于点H ，∵∠B ＝∠C ，∠BGD ＝∠CHD ＝90°，BD ＝CD ，∴△BDG ≌△CDH (AAS)，∴BG ＝CH ，DG ＝DH .∵∠A ＝60°，∠DGA ＝∠DHA ＝90°，∴∠GDH ＝120°.∵∠EDF ＝120°，∴∠EDG ＝∠FDH ，∴△DGE ≌△DHF (ASA)，∴EG ＝FH ，DE ＝DF ，∴CF ＋BE ＝CH ＋FH ＋BE ＝CH ＋EG ＋BE ＝CH ＋BG .由(1)可得，CH ＋BG ＝12(CD ＋BD )＝12BC ，∴BE ＋CF ＝12BC ，即(1)中结论仍然成立；第1题解图①(3)如解图②，分别过点D 作DG ⊥AB 于点G ，DH ⊥AC 于点H ，过点F 作FM ⊥BC 于点M .∵点D 是线段BC 的中点，∴BD ＝CD ＝12BC ＝2.∵∠FDM ＝45°，∴DM ＝FM .∵∠FCM ＝60°，∴CM ＝33FM .∵CD ＝DM ＋CM ＝FM ＋33FM ＝2，∴FM ＝3－3，∴CM ＝3－1，CF ＝2CM ＝23－2.由(2)可知，BE ＝12BC －CF ＝2－(23－2)＝4－23，∵DG ＝DH ＝32CD ＝3，∴S △BDE ＝12BE ·DG ＝23－3.第1题解图②2.(1)证明：如解图①，分别过点P 作PM ⊥AD 于点M ，PN ⊥AB 于点N .∵四边形ABCD 是矩形，∴∠MAN ＝90°，∴四边形PMAN 是矩形，∴∠MPN ＝90°＝∠DPE ，∴∠DPM ＋∠MPE ＝∠MPE ＋∠EPN ，∴∠DPM ＝∠EPN .∵∠DMP ＝∠PNE ，∴△DPM ∽△EPN ，∴∠PDA ＝∠PEB ，DP EP ＝PM PN ＝AN PN .∵PN ∥BC ，∴AN AB ＝PN BC，∴AN PN ＝AB BC＝3，∴DP EP ＝3，即PD ＝3PE ；第2题解图①(2)证明：∵P 是AC 的中点，∠ADC ＝90°，∴DP ＝AP ＝PC .∵tan ∠DAC ＝DC AD ＝3，∴∠DAC ＝60°，∴△ADP 是等边三角形，∴AD ＝DP .在Rt △DAE 和Rt △DPE 中，DA ＝DPDE ＝DE ，∴Rt △DAE ≌Rt △DPE (HL)，∴∠ADE ＝∠PDE ，∴DE ⊥AC ；(3)解：如解图②，过点D 作DF ⊥AC 于点F ，∵∠DAC ＝60°，∴DF ＝32AD ＝23.∵PA 平分∠DPE ，PE ⊥PD ，∴∠DPA ＝∠APE ＝45°，∴△DFP 是等腰直角三角形，且DF ＝FP ，∴DP ＝2DF ＝26.由(1)得DP ＝3PE ，∴PE ＝22.第2题解图②。