含参一元二次不等式解法及简单恒成立分析

含参数的一元二次不等式的解法含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122>+++x a ax分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项系数进行分类讨论。

解：∵()044222>+=-+=∆a a a解得方程 ()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=aa a x 24222++--=∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21|x x 当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22例2 解不等式()00652≠>+-a a ax ax分析 因为0≠a ，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数的正负。

解 ()()032)65(2>--=+-x x a x x a Θ∴当0>a 时，解集为{}32|><x x x 或；当0<a 时，解集为{}32|<<x x变式：解关于x 的不等式1、0)2)(2(>--ax x ； 3、ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a ∈R) 二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆； 例3 解不等式042>++ax x分析 本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。

解：∵162-=∆a∴当()4,4-∈a 即0<∆时，解集为R ； 当4±=a 即Δ＝0时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈2a x R x x 且；当4>a 或4-<a 即0>∆,此时两根分别为21621-+-=a a x ，21622---=a a x ，显然21x x >,∴不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或例4 解不等式()()R m x x m ∈≥+-+014122解 因,012>+m ()()2223414)4(m m -=+--=∆所以当3±=m ，即0=∆时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21|x x ； 当33<<-m ，即0>∆时，解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+--+-+>1321322222m m x m m x x 〈或； 当33>-<m m 或，即0<∆时，解集为R 。

含参一元二次不等式的解法与恒成立问题
一元二次不等式是几何、代数以及统计学等领域中使用最广泛的不等式之一，其解法和恒成立问题也是学习和研究的重要内容。

首先，要理解含参一元二次不等式的解法，我们需要对一元二次方程有所了解。

一元二次不等式也可以表示为一元二次方程形式，也可以将一元二次方程化为一元二次不等式形式。

一元二次方程有一般形式ax^2 + bx + c = 0,其中a,b,c均为实数，且a≠0，这个方程有两个实根，如果a,b,c满足一定条件，那么解得的方程式可以写作
x^2+px+q≥0,其中p为常数，q为常数。

在求解含参一元二次不等式的时候，要先化成一元二次方程的形式，然后根据首项系数是正还是负，分两种情况讨论，如果ax^2为正，那么此一元二次不等式在实数集上有解，只要保证满足一定条件即可；若ax^2为负，则含参一元二次不等式可以分离，而只要满足条件就必定存在解。

当求解不等式的恒成立问题时，一般的思路是先将不等式的非负部分和负部分分开，求解其左右两边的值，例如：若有ax^2+bx+c≥0，可先将其分解为ax^2+c≥0和bx≥0，然后求解其左右两边的值，根据不等式的性质，求解其两个值，确定其恒成立条件。

总之，一元二次不等式的解法及其恒成立问题是学习和研究中重要的内容，也是大家常用的不等式之一。

要正确求解，首先要正确分离不等式，然后根据不等式的性质确定相应的恒成立条件。

含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ;例1 解不等式：()0122>+++x a ax分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项系数进行分类讨论。

解：∵()044222>+=-+=∆a a a解得方程()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=aa a x 24222++--=∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧->21|x x当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22练习1 解不等式()00652≠>+-a a ax ax二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆；例2 解不等式042>++ax x分析 本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。

解：∵162-=∆a ∴当()4,4-∈a 即0<∆时，解集为R ；当4±=a 即Δ＝0时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈2a xR x x 且； 当4>a 或4-<a 即>∆,此时两根分别为21621-+-=a a x ，21622---=a a x ，显然21x x >, ∴不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或练习2 解不等式()()R m x x m∈≥+-+014122三、按方程2=++c bx ax 的根21,x x 的大小来分类，即212121,,x x x x x x <=<；例3 解不等式)0( 01)1(2≠<++-a x aa x分析：此不等式可以分解为：()0)1(<--ax a x ，故对应的方程必有两解。

一元二次不等式含参数的恒成立问题一元二次不等式，听起来有点高深，对吧？这玩意儿就是形如 ( ax^2 + bx + c > 0 ) 的式子，咱们今天就来聊聊这东西是咋回事，尤其是当里面有个参数的时候。

这可不是简单的数学问题，常常让人觉得像是在解谜。

不过别担心，咱们就当是在拆礼物，看看里面藏着什么。

什么叫“恒成立”呢？打个比方，恒成立就像是你家里的冰箱，不管你是夏天还是冬天，打开都是凉的。

就像这个不等式，无论参数怎么变，它的结果总是满足我们的条件。

想象一下，如果你是个做饭的高手，常常需要调整配方，但总能做出好吃的菜，那就是恒成立的感觉了。

可是，问题来了，怎么才能保证这个不等式在参数变动的情况下，依然能“保持冰箱的温度”呢？咱们先说说这个一元二次不等式的基本形态。

它的图像是个抛物线，像个微笑的脸，如果开口向上，那就是快乐的象征。

如果开口向下，那可得小心了，可能是要掉眼泪。

要是我们想要它“始终微笑”，就得确保它的判别式大于零，或者为零，这样才能让它的根要么没有，要么只有一个，不然它可会出现“烦恼”的地方。

说到这里，可能有人问，参数到底是什么鬼？想象一下，这就像是给冰淇淋添加不同的口味。

有时候是巧克力，有时候是草莓，这样你的冰淇淋总是新鲜的。

如果参数能控制不等式的根，那你就得仔细分析了。

比如说，如果 ( a > 0 )，那这条抛物线一定是向上的，对吧？而如果 ( a < 0 )，那就要小心咯，可能会“翻车”。

有个小技巧，咱们可以考虑它的顶点。

顶点的坐标就像是那颗糖果的心，甜得让人开心。

顶点的 ( x ) 坐标是 ( frac{b{2a )，然后代入这个 ( x ) 值，算出 ( y ) 的值，这样就能知道这条抛物线的最高或最低点。

如果这个点的值大于零，那就说明不等式是恒成立的。

这可真是个“万无一失”的法宝！再来聊聊这种不等式的解法。

有时会用到一些不等式性质，就像是教你怎么调味。

比如说，CauchySchwarz 不等式，听起来高大上，其实就是在告诉你，合理搭配就能获得最优结果。

一元二次不等式恒成立与能成立问题5大题型命题趋势不等式是高考数学的重要内容。

其中，“含参不等式恒成立与能成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多、综合性强、解法灵活等特点备受高考命题者的青睐。

另一方面，在解决这类数学问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维灵活性、创造性都有这独到的作用。

一元二次不等式应用广泛，考察灵活，高考复习过程要注重知识与方法的灵活运用。

满分技巧一、一元二次不等式在实数集上的恒成立1.不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立⇔a=b=0c>0或a>0△<02.不等式ax2+bx+c<0对任意实数x恒成立⇔a=b=0c<0或a<0△<0【注意】对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方．二、一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题求解方法方法一：若f x >0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f x >0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)；方法二：转化为函数值域问题，即已知函数f x 的值域为m,n，则f x ≥a恒成立⇒f x min≥a，即m ≥a；f x ≤a恒成立⇒f x min≤a，即n≤a.三、给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数.即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解。

四、常见不等式恒成立及有解问题的函数处理方法不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下：1.对任意的x∈m,n，a>f x 恒成立⇒a>f x max；若存在x∈m,n，a>f x 有解⇒a>f x min；公众号：高中数学最新试题若对任意x∈m,n，a>f x 无解⇒a≤f x min.2.对任意的x∈m,n，a<f x 恒成立⇒a<f x min；若存在x∈m,n，a<f x 有解⇒a<f x max；若对任意x∈m,n，a<f x 无解⇒a≥f x max.热点题型解读【题型1一元二次不等式在实数集上的恒成立问题】【例1】(2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测)使得不等式x2-ax+1>0对∀x∈R恒成立的一个充分不必要条件是()A.0<a<2B.0<a≤2C.a<2D.a>-2【答案】A【解析】由不等式x2-ax+1>0对∀x∈R恒成立，得Δ<0，即-a2-4<0，解得-2<a<2， 从选项可知0<a<2是-2<a<2的充分不必要条件，故选：A.【变式1-1】(2022秋·山东·高三山东省实验中学校考阶段练习)已知命题“∃x∈R，使4x2+a-1x+ 1≤0”是假命题，则实数a的取值范围是()A.(-∞,-3)B.(-5,3)C.(5,+∞)D.(-3,5)【答案】D【解析】因为命题“∃x∈R，使4x2+a-1x+1≤0”是假命题，所以，命题“∀x∈R，4x2+a-1x+1>0”是真命题，所以，Δ=(a-1)2-16<0，解得-3<a<5，故实数a的取值范围是(-3,5)．故选：D.【变式1-2】(2023·全国·高三专题练习)若命题“关于x 的不等式2mx 2+4mx +m -1<0对一切实数x 恒成立”是假命题，则实数m 的取值范围是____________．【答案】m ≤-1或m >0【解析】若命题是真命题：当m =0时，2mx 2+4mx +m -1<0，可化为-1<0，成立；当m ≠0时，m <0Δ=16m 2-8m m -1 <0 ，解得-1<m <0综合得当-1<m ≤0时，关于x 的不等式2mx 2+4mx +m -1<0对一切实数x 恒成立是真命题，若命题“关于x 的不等式2mx 2+4mx +m -1<0对一切实数x 恒成立”是假命题则m ≤-1或m >0【变式1-3】(2022秋·广西钦州·高三校考阶段练习)已知关于x 的不等式x +kx-k >0恒成立，则实数k 的取值范围是_____________．【答案】[0,4)【解析】x +kx -k >0，即x -k x +k >0(x >0)，令t =x >0，则t 2-kt +k >0(t >0)恒成立．所以k 2≤002-k ×0+k ≥0或k 2>0Δ=-k 2-4k <0,解得0≤k <4，故实数k 的取值范围是[0,4)．【变式1-4】(2022秋·山东聊城·高三山东聊城一中校考期末)关于x 的不等式a 2-16 x 2-(a -4)x -1≥0的解集为∅，则实数a 的取值范围为_________．【答案】a ∣-125<a ≤4 【解析】当a =4时，不等式可化为-1≥0，无解，满足题意；当a =-4时，不等式化为8x -1≥0，解得x ≥18，不符合题意，舍去；当a ≠±4时，要使得不等式a 2-16 x 2-(a -4)x -1≥0的解集为∅，则a 2-16<0,Δ=a -4 2+4a 2-16 <0, 解得-125<a <4．综上，实数a 的取值范围是a ∣-125<a ≤4 ．【题型2一元二次不等式在某区间上的恒成立问题】公众号：高中数学最新试题【例2】(2022秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第三十一中学校考开学考试)已知不等式-2x 2+bx +c >0的解集x -1<x <3 ，若对任意-1≤x ≤0，不等式-2x 2+bx +c +t ≤4恒成立．则t 的取值范围是__________．【答案】t ≤-2【解析】由题设，b 2=2且-c 2=-3，可得b =4,c =6，所以-2x 2+4x +2+t ≤0在-1≤x ≤0上恒成立，而f (x )=-2x 2+4x +2+t 在(-∞,1)上递增，故只需f (0)=2+t ≤0即可，所以t ≤-2.【变式2-1】(2022秋·山东青岛·高三统考期中)已知关于x 的不等式ax 2+(1-3a )x +2≥0的解集为A ，设B ={-1,1}，B ⊆A ，则实数a 的取值范围为()A.-32≤a ≤14B.-14≤a ≤32C.a ≤-14D.a ≥32【答案】B【解析】由题意，a (x 2-3x )+x +2≥0在B ={-1,1}上恒成立，所以4a +1≥03-2a ≥0，可得-14≤a ≤32.故选：B【变式2-2】(2022秋·河南·高三期末)已知a >0，b ∈R ，若x >0时，关于x 的不等式ax -2 x2+bx -5 ≥0恒成立，则b +4a的最小值为()A.2B.25C.43D.32【答案】B【解析】设y =ax -2(x >0)，y =x 2+bx -5(x >0)，因为a >0，所以当0<x <2a时，y =ax -2<0；当x =2a时，y =ax -2=0；当x >2a时，y =ax -2>0；由不等式(ax -2)x 2+bx -5 ≥0恒成立，得：ax -2≤0x 2+bx -5≤0 或ax -2≥0x 2+bx -5≥0 ，即当0<x ≤2a时，x 2+bx -5≤0恒成立，当x ≥2a时，x 2+bx -5≥0恒成立，所以当x =2a 时，y =x 2+bx -5=0，则4a2+2b a -5=0，即b =5a 2-2a ，则当a>0时，b+4a=5a2-2a+4a=5a2+2a≥25a2×2a=25，当且仅当5a2=2a，即a=255时等号成立，所以b+4a的最小值为2 5.故选：B.【变式2-3】(2022秋·广西钦州·高三校考阶段练习)已知函数f x =ax2+x+a，不等式f x <5的解集为-3 2，1．(1)求a的值；(2)若f x >mx在x∈0,5上恒成立，求m的取值范围．【答案】(1)a=2；(2){m|m<5}．【解析】(1)f x =ax2+x+a<5的解集为-3 2，1，即ax2+x+a-5<0的解集为-3 2，1，∴a>0-32+1=-1a-32×1=a-5a，解得a=2；(2)由(Ⅰ)可得f x =2x2+x+2，∵f x >mx在x∈0，5上恒成立，即2x2+1-mx+2>0恒成立，令h x =2x2+1-mx+2，则h x >0在0，5上恒成立，有m-14≤0h0 =2>0或0<m-14≤5m-12-2×2×4<0或m-14>5h5 =52+51-m>0，解得m≤1或1<m<5或m∈∅，综上可得m的范围为{m|m<5}．【变式2-4】(2021秋·陕西西安·高三校考阶段练习)已知二次函数f x 满足f2 =-1，f-1=-1，且f x 的最大值是8.(1)试确定该二次函数的解析式；(2)f x >2x+k在区间-3,1上恒成立，试求k的取值范围.【答案】(1)f x =-4x2+4x+7；(2)k的取值范围为-∞,-35.【解析】(1)由f(2)=f(-1)，得x=2-12=12为二次函数的对称轴，因函数f(x)的最大值为8，所以可设f x =a x-1 22+8 ，公众号：高中数学最新试题又因f (2)=94a +8=-1，所以a =-4，因此f x =-4x 2+4x +7.(2)由(1)不等式f x >2x +k ，可化为-4x 2+4x +7>2x +k ，所以k <-4x 2+2x +7，因为f x >2x +k 在区间-3,1 上恒成立，所以k <-4x 2+2x +7在区间-3,1 上恒成立，故k <-4x 2+2x +7 min ，其中x ∈-3,1 ，又函数y =-4x 2+2x +7=-4x -142+294，又当x =-3时，y =-35，当x =1时，y =5，所以函数y =-4x 2+2x +7在-3,1 上的最小值为-35，所以k <-35，所以k 的取值范围为-∞,-35 .【题型3给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题】【例3】(2021·吉林松原·校考三模)若不等式x 2-ax ≥16-3x -4a 对任意a ∈-2,4 成立，则x 的取值范围为()A.-∞,-8 ∪3,+∞B.-∞,0 ∪1,+∞C.-8,6D.0,3【答案】A【解析】由题得不等式(x -4)a -x 2-3x +16≤0对任意a ∈-2,4 成立，所以(x -4)(-2)-x 2-3x +16≤0(x -4)4-x 2-3x +16≤0 ，即-x 2-5x +24≤0-x 2+x ≤0，解之得x ≥3或x ≤-8.故选：A【变式3-1】(2022秋·湖北襄阳·高三校考阶段练习)若命题“∃a ∈-1,3 ,ax 2-2a -1 x +3-a <0”为假命题，则实数x 的取值范围为()A.-1,4B.0,53C.-1,0 ∪53,4D.-1,0 ∪53,4【答案】C【解析】命题“∃a ∈-1,3 ,ax 2-2a -1 x +3-a <0”为假命题，其否定为真命题，即“∀a ∈-1,3 ,ax 2-2a -1 x +3-a ≥0”为真命题．令g (a )=ax 2-2ax +x +3-a =(x 2-2x -1)a +x +3≥0，则g (-1)≥0g (3)≥0 ，即-x 2+3x +4≥03x 2-5x ≥0 ，解得-1≤x ≤4x ≥53或x ≤0 ，所以实数x 的取值范围为-1,0 ∪53,4.故选：C 【变式3-2】(2022秋·广东深圳·高三深圳中学校考阶段练习)已知当-1≤a ≤1时，x 2+a -4 x +4-2a >0恒成立，则实数x 的取值范围是()A.-∞,3B.-∞,1∪ 3,+∞C.-∞,1D.-∞,1 ∪3,+∞【答案】D【解析】x 2+a -4 x +4-2a >0恒成立，即x -2 a +x 2-4x +4>0，对任意得a ∈-1,1 恒成立，令f a =x -2 a +x 2-4x +4，a ∈-1,1 ，当x =2时，f a =0，不符题意，故x ≠2，当x >2时，函数f a 在a ∈-1,1 上递增，则f a min =f -1 =-x +2+x 2-4x +4>0，解得x >3或x <2(舍去)，当x <2时，函数f a 在a ∈-1,1 上递减，则f a min =f 1 =x -2+x 2-4x +4>0，解得x <1或x >2(舍去)，综上所述，实数x 的取值范围是-∞,1 ∪3,+∞ .故选：D .【变式3-3】(2023·全国·高三专题练习)当a ∈2,3 时，不等式ax 2-x +1-a ≤0恒成立，求x 的取值范围．【答案】-12,1 ．【解析】由题意不等式ax 2-x +1-a ≤0对a ∈2,3 恒成立，可设f (a )=(x 2-1)a +(-x +1)，a ∈2,3 ，则f (a )是关于a 的一次函数，要使题意成立只需f (2)≤0f (3)≤0，即2x 2-x -1≤03x 2-x -2≤0 ，解2x 2-x -1≤0，即2x +1 x -1 ≤0得-12≤x ≤1，解3x 2-x -2≤0，即3x +2 x -1 ≤0得-23≤x ≤1，所以原不等式的解集为-12,1 ，所以x 的取值范围是-12,1．【变式3-4】(2021·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考开学考试)设函数f x =mx 2-mx -1．(1)若对于x ∈-2,2 ，f x <-m +5恒成立，求m 的取值范围；(2)若对于m ∈-2,2 ，f x <-m +5恒成立，求x 的取值范围．【答案】(1)-∞,67；(2)-1,2 【解析】(1)若对于x ∈-2,2 ，f x <-m +5恒成立，即mx 2-mx +m -6<0对于x ∈-2,2 恒成立，即m <6x 2-x +1对于x ∈-2,2 恒成立．公众号：高中数学最新试题令h x =6x 2-x +1=6x -12 2+34，x ∈-2,2 ，则h x min =h (-2)=6254+34=67，故m <67，所以m 的取值范围为-∞,67．(2)对于m ∈-2,2 ，f x <-m +5恒成立，即mx 2-mx -1<-m +5恒成立，故m x 2-x +1 -6<0恒成立，令g m =m x 2-x +1 -6，则g -2 =-2x 2-x +1 -6<0g 2 =2x 2-x +1 -6<0 ，解得-1<x <2，所以x 的取值范围为-1,2 ．【题型4一元二次不等式在实数集上的有解问题】【例4】(2023·全国·高三专题练习)若存在实数x ，使得mx 2-m -2 x +m <0成立，则实数m 的取值范围为()A.-∞,2B.-∞,0 ∪13,32C.-∞,23D.-∞,1 【答案】C【解析】①当m =0时，不等式化为2x <0，解得：x <0，符合题意；②当m >0时，y =mx 2-m -2 x +m 为开口方向向上的二次函数，只需Δ=m -2 2-4m 2=-3m 2-4m +4>0，即0<m <23；③当m <0时，y =mx 2-m -2 x +m 为开口方向向下的二次函数，则必存在实数x ，使得mx 2-m -2 x +m <0成立；综上所述：实数m 的取值范围为-∞,23.故选：C .【变式4-1】(2022秋·广西钦州·高三校考阶段练习)若关于x 的不等式a 2-4 x 2+a +2 x -1≥0的解集不为空集，则实数a 的取值范围为()A.-2,65B.-2,65C.(-∞,-2)∪65,+∞ D.(-∞,-2]∪65,+∞【答案】C【解析】根据题意，分两种情况讨论：①当a 2-4=0时，即a =±2，若a=2时，原不等式为4x-1≥0，解可得：x≥1 4，则不等式的解集为x x≥1 4，不是空集；若a=-2时，原不等式为-1≥0，无解，不符合题意；②当a2-4≠0时，即a≠±2，若(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集是空集，则有a2-4<0Δ=(a+2)2+4(a2-4)<0，解得-2<a<65，则当不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集不为空集时，有a<-2或a≥65且a≠2，综合可得：实数a的取值范围为(-∞,-2)∪65,+∞；故选：C．【变式4-2】(2023·全国·高三专题练习)若关于x的不等式ax2-(a+2)x+94<0有解，则实数a的取值范围是____．【答案】(-∞,1)∪(4,+∞)【解答】当a=0时，不等式为-2x+94<0有解，故a=0，满足题意；当a>0时，若不等式ax2-(a+2)x+94<0有解，则满足Δ=(a+2)2-4a⋅94>0，解得a<1或a>4；当a<0时，此时对应的函数的图象开口向下，此时不等式ax2-(a+2)x+94<0总是有解，所以a<0，综上可得，实数a的取值范围是(-∞,1)∪(4,+∞).【变式4-3】(2022·全国·高三专题练习)若关于x的不等式ax2+2x+1<0有实数解，则a的取值范围是_____．【答案】-∞,1【解析】当a=0时，不等式为2x+1<0有实数解，所以a=0符合题意；当a<0时，不等式对应的二次函数开口向下，所以不等式ax2+2x+1<0有实数解，符合题意；当a>0时，要使不等式ax2+2x+1<0有实数解，则需满足Δ=4-4a>0，可得a<1，所以0<a<1，综上所述：a的取值范围是-∞,1，公众号：高中数学最新试题【题型5一元二次不等式在某区间上的有解问题】【例5】(2022·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测)若关于x 的不等式x 2-6x +2-a >0在区间0,5 内有解，则实数a 的取值范围是()．A.2,+∞B.-∞,5C.-∞,-3D.-∞,2【答案】D【解析】不等式x 2-6x +2-a >0在区间0,5 内有解，仅需(x 2-6x +2)max >a 即可，令f (x )=x 2-6x +2，因为f (x )的对称轴为x =--62×1=3，f (0)=2，f (5)=-3，所以由一元二次函数的图像和性质的得(x 2-6x +2)max =2，所以a <2，故选：D【变式5-1】(2023·全国·高三专题练习)已知关于x 的不等式mx 2-6x +3m <0在0，2 上有解，则实数m 的取值范围是()A.-∞，3B.-∞，127C.3，+∞D.127，+∞ 【答案】A【解析】由题意得，mx 2-6x +3m <0，x ∈0，2 ，即m <6xx 2+3，故问题转化为m <6xx 2+3在0，2 上有解，设g (x )=6x x 2+3，则g (x )=6x x 2+3=6x +3x ，x ∈0，2 ，对于x +3x≥23，当且仅当x =3∈(0,2]时取等号，则g (x )max =623=3，故m <3，故选：A【变式5-2】(2022·全国·高三专题练习)命题p :∃x ∈{x |1≤x ≤9}，x 2-ax +36≤0，若p 是真命题，则实数a 的取值范围为()A.a ≥37 B.a ≥13C.a ≥12D.a ≤13【答案】C【解析】∵命题p :∃x ∈{x |1≤x ≤9}，使x 2-ax +36≤0为真命题，即∃x ∈{x |1≤x ≤9}，使x 2-ax +36≤0成立，即a ≥x +36x能成立设f (x )=x +36x ，则f (x )=x +36x≥2x ⋅36x =12，当且仅当x =36x，即x =6时，取等号，即f (x )min =12，∴a ≥12，故a的取值范围是a≥12．故选：C．【变式5-3】(2022秋·北京·高三统考阶段练习)若存在x∈[0,1]，有x2+(1-a)x+3-a>0成立，则实数a的取值范围是__________.【答案】-∞,3【解析】将原不等式参数分离可得a<x2+x+3x+1，设f x =x2+x+3x+1，已知存在x∈[0,1]，有x2+(1-a)x+3-a>0成立，则a<f x max，令t=x+1，则f x =t-12+t-1+3t=t2-t+3t=t+3t-1，t∈1,2，由对勾函数知f x 在1,3上单调递减，在3,2上单调递增，f1 =1+31-1=3，f2 =2+32-1=52，所以f x max=f1 =3，即a<3.【变式5-4】(2023·全国·高三专题练习)已知命题“∃x∈[-1,1]，-x02+3x0+a>0”为真命题，则实数a 的取值范围是______．【答案】-2,+∞【解析】因为命题“∃x∈[-1,1]，-x02+3x0+a>0”为真命题则∃x∈[-1,1]，a>x2-3x有解，设f(x)=x2-3x，则f(x)=x2-3x=x-3 22-94，当x∈[-1,1]时，f(x)单调递减，所以-2≤f(x)≤4，所以a>-2.【变式5-5】(2022·全国·高三专题练习)设f x 为奇函数，g x 为偶函数，对于任意x∈R均有f x + 2g x =mx-4.若f x -x2+2g x ≥0在x∈0,+∞上有解，则实数m的取值范围是_____ _.【答案】m≥4【解析】由题设，f x -x2+2g x =mx-4-x2≥0，即x2-mx+4≤0在x∈0,+∞上有解，对于y=x2-mx+4，开口向上且对称轴为x=m2，Δ=m2-16，y|x=0=4，∴Δ≥0m2>0，可得m≥4.公众号：高中数学最新试题限时检测(建议用时：60分钟)1.(2022·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测)已知命题P:∀x∈R，x2-2x+m>0，则满足命题P为真命题的一个充分条件是()A.m>2B.m<0C.m<1D.m≥1【答案】A【解析】∵命题P为真命题，∴不等式x2-2x+m>0在R上恒成立，∴△=4-4m<0，解得m>1，对于A，m>2⇒m>1，∴m>2 是m>1的充分条件，∴m>2 是命题P为真命题的充分条件，选项A正确；对于B，m<0推不出m>1，∴m<0不是m>1的充分条件，∴m<0不是命题P为真命题的充分条件，选项B不正确；对于C，m<1推不出m>1，∴m<1不是m>1的充分条件，∴m<1不是命题P为真命题的充分条件，选项C不正确对于D，m≥1推不出m>1，∴m≥1不是m>1的充分条件，∴m≥1不是命题P为真命题的充分条件，选项D不正确.故选：A.2.(2022秋·北京大兴·高三统考期中)若命题“∃x∈R，x2+2x+m≤0”是真命题，则实数m的取值范围是()A.m<1B.m≤1C.m>1D.m≥1【答案】B【解析】由题可知，不等式x2+2x+m≤0在实数范围内有解，等价于方程x2+2x+m=0有实数解，即△=4-4m≥0，解得m≤1.故选：B.3.(2022秋·全国·高三校联考阶段练习)设m∈R，则“m>-34”是“不等式x2-x+m+1≥0在R上恒成立”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由不等式x2-x+m+1≥0在R上恒成立，得△=-1 2-4m +1 ≤0，解得m ≥-34．所以“m >-34”是“不等式x 2-x +m +1≥0在R 上恒成立”的充分不必要条件．故选：A 4.(2022秋·宁夏银川·高三校考期中)已知命题P :∀x ∈R ，x 2-x +a >0，若-P 是假命题，则实数a 的取值范围是()A.-∞,14B.14,12C.14,+∞D.12,+∞【答案】C【解析】已知命题P :∀x ∈R ，x 2-x +a >0，若-P 是假命题，则不等式x 2-x +a >0在R 上恒成立，∴△=1-4m <0，解得a >14.因此，实数a 的取值范围是14,+∞.故选：C .5.(2022秋·河南·高三校联考阶段练习)设函数f x =2ax 2-ax ，命题“∃x ∈0,1 ，f x ≤-a +3”是假命题，则实数a 的取值范围为()A.-∞,3B.3,+∞C.247,+∞D.32,+∞【答案】C【解析】因为命题“∃x ∈0,1 ，f x ≤-a +3”是假命题，所以∃x ∈0,1 ，f x >-a +3是真命题，又f x >-a +3可化为2ax 2-ax >-a +3，即a 2x 2-x +1 >3，当x ∈0,1 时，2x 2-x +1∈78,2，所以m >32x 2-x +1在x ∈0,1 上恒成立，所以m >32x 2-x +1 max其中,x ∈0,1 ，当x =14时2x 2-x +1有最小值为78，此时32x 2-x +1有最大值为247，所以m >247，故实数m 的取值范围是247,+∞ ，故选：C 6.(2023·全国·高三专题练习)若对任意的x ∈-1,0 ,-2x 2+4x +2+m ≥0恒成立，则m 的取值范围是()A.4,+∞B.2,+∞C.-∞,4D.-∞,2【答案】A【解析】因为对任意的x ∈-1,0 ,-2x 2+4x +2+m ≥0恒成立，所以对任意的x ∈-1,0 ,m ≥2x 2-4x -2恒成立，公众号：高中数学最新试题因为当x ∈-1,0 ，y =2x -1 2-4∈-2,4 ，所以m ≥2x 2-4x -2 max =4，x ∈-1,0 ，即m 的取值范围是4,+∞ ，故选：A7.(2021秋·河南南阳·高三南阳中学校考阶段练习)设函数f x =mx 2-mx -1，若对于任意的x ∈x |1≤x ≤3 ，f x <-m +4恒成立，则实数m 的取值范围为()A.m <57B.0≤m <57C.m <0或0<m <57D.m ≤0【答案】A【解析】若对于任意的x ∈x |1≤x ≤3 ，f x <-m +4恒成立,即可知：mx 2-mx +m -5<0在x ∈x |1≤x ≤3 上恒成立,令g x =mx 2-mx +m -5，对称轴为x =12.当m =0时，-5<0恒成立，当m <0时，有g x 开口向下且在1,3 上单调递减，在1,3 上g x max =g 1 =m -5<0，得m <5，故有m <0.当m >0时，有g x 开口向上且在1,3 上单调递增在1,3 上g x max =g 3 =7m -5<0，∴0<m <57综上，实数m 的取值范围为m <57，故选：A .8.(2022秋·湖南邵阳·高三统考期中)设函数f x =x 2+2ax +a 2-2a +3，若对于任意的x ∈R ，不等式f f x ≥0恒成立，则实数a 的取值范围是()A.a ≥32B.a ≤2C.32<a ≤2 D.a ≤32【答案】B【解析】∵f x =x 2+2ax +a 2-2a +3=x +a 2-2a +3，即开口向上且f x ∈-2a +3,+∞ ，由f f x ≥0恒成立，即f x ≥0在-2a +3,+∞ 上恒成立，∴当-2a +3≥0时，即a ≤32，由二次函数的性质，f x ≥0显然成立；当a >32时，y =f x 有两个零点，则只需满足-a ≤-2a +3f -2a +3 ≥0，解得a ≤2，故32<a ≤2；综上，a 的取值范围是a ≤2.故选：B9.(2022秋·辽宁鞍山·高三校联考期中)设a ∈R ，，若关于x 的不等式x 2-ax +1≥0在1≤x ≤2上有解，则()A.a ≤2B.a ≥2C.a ≤52D.a ≥52【答案】C【解析】由x 2-ax +1≥0在1≤x ≤2上有解，得x 2+1x≥a 在1≤x ≤2上有解，则a ≤x 2+1x max ，由于x 2+1x =x +1x ，而x +1x 在1≤x ≤2单调递增，故当x =2时，x +1x 取最大值为52，故a ≤52，故选：C 10.(2023·全国·高三专题练习)已知命题“∃x 0∈R ，4x 02+a -2 x 0+14≤0”是真命题，则实数a 的取值范围()A.-∞,0B.0,4C.4,+∞D.-∞,0 ⋃4,+∞【答案】D【解析】由题意，命题∃x 0∈R ，4x 02+a -2 x 0+14≤”是真命题故△=a -2 2-4×4×14=a 2-4a ≥0，解得a ≥4或a ≤0.则实数a 的取值范围是-∞,0 ⋃4,+∞ 故选：D .11.(2022·全国·高三专题练习)已知关于x 的不等式-x 2+4x ≥a 2-3a 在R 上有解，则实数a 的取值范围是()A.a |-1≤a ≤4B.a |-1<a <4C.a |a ≥4或a ≤-1D.a |-4≤a ≤1【答案】A【解析】因为关于x 的不等式-x 2+4x ≥a 2-3a 在R 上有解，即x 2-4x +a 2-3a ≤0在R 上有解，只需y =x 2-4x +a 2-3a 的图象与x 轴有公共点，所以△=-4 2-4×a 2-3a ≥0，即a 2-3a -4≤0，所以a -4 a +1 ≤0，解得：-1≤a ≤4，所以实数a 的取值范围是a |-1≤a ≤4 ，故选：A .12.(2022·全国·高三专题练习)若关于x 的不等式x 2+ax -2>0在区间1,5 上有解，则实数a 的取值范围为()A.-235,+∞ B.-235,1C.1,+∞D.-∞,-235公众号：高中数学最新试题【答案】A【解析】关于x的不等式x2+ax-2>0在区间1,5上有解，ax>2-x2在x∈1,5上有解，即a>2x-x在x∈1,5上成立；设函数f x =2x-x，x∈1,5，∴f x 在x∈1,5上是单调减函数，又f1 =2-1=1，f5 =25-5=-235所以f x 的值域为-23 5,1，要a>2x-x在x∈1,5上有解，则a>-235，即实数a的取值范围为-235,+∞．故选：A．13.(2021秋·江苏徐州·高三统考阶段练习)若存在实数x，使得关于x的不等式ax2-4x+a-3<0成立，则实数a的取值范围是______.【答案】a<4【解析】a<3时，若x=0，则不等式为a-3<0，不等式成立，满足题意，a≥3时，在在x使得不等式ax2-4x+a-3<0成立，则△=16-4a a-3>0，∴3≤a<4．综上，a<4．14.(2021·全国·高三专题练习)已知函数x2-x,x≤02x,x>0.若存在x∈R使得关于x的不等式f x ≤ax-1成立，则实数a的取值范围是________.【答案】-∞,-3⋃-1,+∞【解析】由题意，当x=0时，不等式f x ≤ax-1可化为0≤-1显然不成立；当x<0时，不等式f x ≤ax-1可化为x2-x+1≤ax，所以a≤x+1x-1，又当x<0时，x+1x=--x+-1x≤-2，当且仅当-x=-1x，即x=-1时，等号成立；当x>0时，不等式f x ≤ax-1可化为2x+1≤ax，即a≥1x+2x=1x+12-1≥-1；因为存在x∈R使得关于x的不等式f x ≤ax-1成立，所以，只需a≤-2-1=-3或a≥-1.15.(2020·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测)若命题：“存在整数x使不等式kx-k2-4x-4<0成立”是假命题，则实数k 的取值范围是____________.【答案】1,4【解析】设不等式kx -k 2-4 x -4 <0的解集为A，当k =0时，不等式kx -k 2-4 x -4 <0化为x >4，存在整数x 使不等式成立，所以此时不满足题意，所以k ≠0；当k >0时，原不等式化为x -k +4kx -4 <0，因为k +4k ≥2k ⋅4k =4,当且仅当k =4k即k =2时取等号，所以A =x |4<x <k +4k ，要使命题：“存在整数x 使不等式kx -k 2-4 x -4 <0成立”是假命题，则需4≤k +4k≤5，解得1≤k ≤4；当k <0时，原不等式化为x -k +4kx -4 >0，而k +4k =--k +4-k ≤-2-k ⋅4-k =-4，当且仅当-k =4-k即k =-2时取等号，所以A =-∞,k +4k∪4,+∞ ,所以存在整数x 使不等式kx -k 2-4 x -4 <0成立，所以k <0不合题意.综上可知，实数k 的取值范围是1,4 .16.(2022秋·江苏连云港·高三校考开学考试)ax 2-2x +1≥0,∀x >0恒成立，则实数a 的取值范围是_________ .【答案】1,+∞【解析】由ax 2-2x +1≥0,∀x >0恒成立，可得，a ≥2x -1x2对∀x >0恒成立，令y =2x -1x2，则y =1-1x -1 2,1x >0 当1x=1时，y max =1，所以a ≥y max =1.17.(2021·全国·高三专题练习)若不等式x 2-2>mx 对满足m ≤1的一切实数m 都成立，则x 的取值范围是___________【答案】x <-2或x >2【解析】因为x 2-2>mx ，所以mx -x 2+2<0令f m =mx -x 2+2，即f m <0在m ≤1恒成立，即-1≤m ≤1时f m <0恒成立，公众号：高中数学最新试题所以f1 <0f-1<0，即x-x2+2<0-x-x2+2<0，解x-x2+2<0得x>2或x<-1；解-x-x2+2<0得x>1或x<-2，所以原不等式组的解集为x∈-∞,-2∪2,+∞18.(2023·全国·高三专题练习)若不等式-x2+t2-2at+1≥0对任意x∈-1,1及a∈-1,1恒成立，则实数t的取值范围是__________．【答案】-∞,-2∪0 ∪2,+∞【解析】由题意得t2-2at+1≥x2对任意x∈-1,1及a∈-1,1恒成立，所以t2-2at+1≥1对任意a∈-1,1恒成立，即t2-2at≥0对a∈-1,1恒成立，令g a =t2-2at=-2at+t2，则g a 是关于a的一次函数，所以只需g1 ≥0g-1≥0，即t2-2t≥0t2+2t≥0，解得t≥2或t≤-2或t=0，所以实数t的取值范围是-∞,-2∪0 ∪2,+∞。

Җ㊀山东㊀管成芳㊀王㊀鹿㊀㊀涉及含参数的一元二次不等式问题是一元二次不等式中的一个重点与难点．常见的题型主要包括含参数的一元二次不等式的求解以及恒成立问题等,由于参数的存在,使得问题变得更为复杂．如何把握含参数的一元二次不等式的实质,结合相应的题型对参数进行有效分类㊁巧妙分离,这是破解此类问题比较常见的两类技巧与策略．１㊀巧分类巧分类是破解含参一元二次不等式问题的首选策略．当参数位于一元二次不等式的某些特殊位置时,根据位置特征会发现,其分类标准有一定规律,正确巧妙分类,可以有效提高此类含参一元二次不等式的破解能力．例１㊀求解关于x 的不等式:a x ２－(a ＋１)x ＋１＜０(a ɪR )．当a ＝０时,原不等式可化为－x ＋１＜０,即x ＞１．当a ʂ０时,原不等式可化为a (x －１)(x －１a)＜０,若a ＜０,则原不等式可化为(x －１)(x －１a )＞０,由于１a ＜０＜１,故解得x ＜１a 或x ＞１;若a ＞０,则原不等式可化为(x －１)(x －１a)＜０,所以当a ＞１时,有１a ＜１,故解得１a ＜x ＜１;当a ＝１时,则有１a ＝１,此时不等式无解;当０＜a ＜１时,则有１a＞１,故解得１＜x ＜１a．综上可得:当a ＜０时,不等式解集为{x |x ＜１a或x ＞１};当a ＝０时,解集为{x |x ＞１};当０＜a ＜１时,解集为{x |１＜x ＜１a};当a ＝１时,解集为∅;当a ＞１时,解集为{x |１a＜x ＜１}．若一元二次不等式的一次项或常数项系数含有参数时,可直接根据一元二次不等式方程的判别式或相应的根进行讨论．而一元二次不等式的二次项系数含有参数时,就需要对参数是否为零进行分类讨论,而当参数不为零时又要根据一元二次不等式相应的方程的判别式或相应的根进一步讨论．２㊀妙分离妙分离也是破解含参的一元二次不等式问题的一大常见策略．巧妙分离相应的参数,结合不等式恒成立的性质加以合理转化,往往是有效解决此类问题的关键所在．例２㊀已知不等式x ２＋p x ＋１＞２x ＋p ．(１)如果当|p|ɤ２时不等式恒成立,求x 的取值范围;(２)如果当２ɤx ɤ４时不等式恒成立,求p 的取值范围．(１)不等式可转化为(x －１)p ＋x ２－２x ＋１＞０,当x ＝１时,(x －１)p ＋x ２－２x ＋１＝０,不等式不成立,必有x ʂ１．当x ʂ１时,令f (p )＝(x －１)p ＋x ２－２x ＋１,则f (p )的图象是一条直线．又因为|p |ɤ２,结合一次函数的单调性可得f (－２)＞０,f (２)＞０,{即(x －１)(x －３)＞０,(x －１)(x ＋１)＞０,{解得x ＜－１或x ＞３,故x 的取值范围是{x |x ＜－１或x ＞３}．(２)不等式可转化为(x －１)p ＞－x ２＋２x －１,由于２ɤx ɤ４,则知x －１＞０,可得p ＞－x ２＋２x －１x －１＝１－x ,当２ɤx ɤ４时恒成立,所以p ＞(１－x )m a x ＝－１,于是p ＞－１,故p 的取值范围是{p |p ＞－１}．在解决一元二次不等式中的恒成立问题时,经常采取分离参数法,借助性质f (x )ȡa ,x ɪD 恒成立⇔f m i n (x )ȡa ,x ɪD 恒成立;f (x )ɤa ,x ɪD 恒成立⇔f m a x (x )ɤa ,x ɪD 恒成立 等进行合理有效转化,进而达到破解问题的目的．综上所述,在破解含参的一元二次不等式问题时,应根据题目条件合理巧分类㊁适当妙分离,并综合利用函数㊁不等式的相关性质加以分析与处理,从而达到巧妙转化㊁正确求解的目的．(作者单位:山东省淄博市临淄中学)０１。