截长补短法例题

截长补短经典例题
1.问题：一个长方形的长是宽的2倍，如果长减少4厘米，宽增加6厘米，那么面积就会增加18平方厘米。

请问原来的长方形的长和宽各是多少厘米？
解：设原来的长方形的宽为X厘米，那么长为2x厘米。

根据题意，我们可以得到一个方程：
(x+6)*(2x-4)=2x^2+18
解这个方程，我们得到：
2x2-4x+12x-24=2x2+18
IOx=42
X=4.2
所以原来长方形的宽为4.2厘米，长为4.2*2=8.4厘米。

2.问题：一个圆的半径是另一个圆半径的2倍，如果大圆的面积比小圆的面积大16兀平方厘米，那么大圆和小圆的半径各是多少厘米？(兀取
3.14)
解：设小圆的半径为r厘米，那么大圆的半径为2r厘米。

根据题意，我们可以得到一个方程：
π*(2r)^2一n*r^2=16π
解这个方程，我们得到：
3.14*(4r^2-r^2)=16π
3.14*3/2=16π
3/2=16
r^2=5.3333（保留四位小数）
所以小圆的半径约为2.3厘米，大圆的半径约为4.6厘米。

几何专题02 辅助线之截长补短一、 知识导航截长：在长边截取一条与某一短边相等的线段，再证明剩下的线段长度与另一短边相等。

例：如图，在AB 上截取AD AC=补短：通过延长或是旋转等方式使两短边拼接在一起，然后证明与长边相等。

例：延长AC 至点D ，使得AD AB=D CB A二、 典型例题题型一 截长补短证明线段（角）和差关系例1 已知：如图，在△ABC 中，∠1=∠2，∠B =2∠C ．求证：AB BD AC +=．变式训练1 已知：在ABC △中，AB CD BD =-，AD BC ⊥，求证：2B C∠=∠例2 在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠ABC+∠ADC ＝180°，E 、F 分别是边BC ，CD 上的两点，且∠EAF＝G F E C B D A A DBCE FG FE C B D A A D B C EF 12∠BAD ，求证：BE+DF ＝EF ．变式训练2 正方形ABCD 中，点E 在CD 延长线上，点F 在BC 延长线上，45EAF ∠=︒，求证：EF BF DE=-题型二 截长补短探究线段长度关系例3 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ．点D 是边BC 下方一点，∠BDC =90°，探索三条线段DA 、DB 、DC 之间的等量关系，并证明你的结论．变式训练3 在四边形ABDC 中，180B C ∠+∠=︒，DB DC =，120BDC ∠=︒，以D 为顶点作EDF ∠为60︒角，角的两边分别交AB ，AC 于E ，F 两点，连接EF ，请直接写出线段BE ，CF ，EF 之间的数量关系．GAB DC E F FEC D BA三、 巩固练习1. 正方形ABCD 中，已知AB=3，点E ，F 分别在BC 、CD 上，且∠BAE=30°，∠DAF=15°，求△AEF 的面积.2. 如图，在ΔABC 中，AB ＞AC ，∠1=∠2，P 为AD 上任意一点．求证：AB AC PB PC ->-．截长补短方法归纳总结：线段间的和差倍分，就把几条线段间的数量关系转为两条线段的等量关系．但凡出现了线段的和差关系时，一定要尝试一下用截长补短的方法来进行处理，但不是每一个和差关系的题目都可以同时使用截长法和补短法，有时截长法能更加便捷的解决问题，而有时补短法又优于截长法，这都是需要根据具体的题目取选择具体的方法的。

1.在解决几何问题时，截长补短法常用于：A.证明线段相等B.证明角度相等（答案）C.计算面积D.求解体积2.下列哪个图形问题最适合使用截长补短法来解决？A.求解圆的半径B.证明两个三角形全等（答案）C.计算长方体的表面积D.求解一次方程的根3.使用截长补短法时，通常需要：A.添加辅助线来构造相似图形B.延长或截取线段来构造等长线段（答案）C.使用勾股定理D.计算图形的周长4.在三角形ABC中，AB > AC，为了证明某条线段与AB相等，可以使用截长补短法，下列哪个步骤是正确的？A.延长AC至D，使得CD = ABB.截取AB的一部分，使其与AC相等（答案）C.在三角形外部构造一个与三角形ABC全等的三角形D.计算三角形ABC的面积5.截长补短法在解决哪类问题时特别有用？A.代数方程求解B.图形面积计算C.线段长度比较和证明（答案）D.体积计算6.下列哪个不是截长补短法的常见应用？A.证明线段和差关系B.构造平行线来证明角度相等C.通过截取和延长来构造等边三角形（答案，这更多是等边三角形的性质或构造法，不是截长补短法的直接应用）D.利用线段的相等关系来证明三角形的全等7.在使用截长补短法时，如果延长了某条线段，通常是为了：A.增加图形的面积B.构造一个与已知线段相等的线段（答案）C.改变图形的形状D.计算图形的周长8.下列哪个步骤是使用截长补短法证明线段相等时的常见策略？A.延长较短的线段至与较长线段相等B.计算两条线段的长度差C.通过截取较长线段的一部分来构造与较短线段相等的线段（答案）D.使用三角形的相似性质。

截长补短法例题(可以直接使用，可编辑优秀版资料，欢迎下载）截长补短法例1. 已知，如图1-1，在四边形ABCD 中，BC ＞AB ，AD =DC ，BD 平分∠ABC .求证：∠BAD +∠BCD =180°.分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现.证明：过点D 作DE 垂直BA 的延长线于点E ，作DF ⊥BC 于点F ，如图1-2∵BD 平分∠ABC ，∴DE =DF ，在Rt △ADE 与Rt △CDF 中，⎩⎨⎧==CD AD DF DE ∴Rt △ADE ≌Rt △CDF (HL ),∴∠DAE =∠DCF .又∠BAD +∠DAE =180°，∴∠BAD +∠DCF =180°，即∠BAD +∠BCD =180°F E D C B A 图1-2 A B C D图1-1例2. 已知，如图3-1，∠1=∠2，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于点D ，AB +BC =2BD .求证：∠BAP +∠BCP =180°.分析：与例1相类似，证两个角的和是180°，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明∠BCP =∠EAP ，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造.证明：过点P 作PE 垂直BA 的延长线于点E ，如图3-2∵∠1=∠2，且PD ⊥BC ，∴PE =PD ，在Rt △BPE 与Rt △BPD 中，⎩⎨⎧==BP BP PD PE ∴Rt △BPE ≌Rt △BPD (HL ),∴BE =BD .∵AB +BC =2BD ，∴AB +BD +DC =BD +BE ，∴AB +DC =BE即DC =BE -AB =AE .在Rt △APE 与Rt △CPD 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DC AE PDC PEA PD PEA B C D P 12N图3-1P 12NA B C D E 图3-2AD B CE 图2-1 ∴Rt △APE ≌Rt △CPD (SAS),∴∠PAE =∠PCD又∵∠BAP +∠PAE =180°,∴∠BAP +∠BCP =180°例3. 如图2-1，AD ∥BC ，点E 在线段AB 上，∠ADE =∠CDE ，∠DCE =∠ECB .求证：CD =AD +BC .分析：结论是CD =AD +BC ，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD 上截取CF =CB ，只要再证DF =DA 即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的.证明：在CD 上截取CF =BC ，如图2-2在△FCE 与△BCE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CE CE BCE FCE CB CF∴△FCE ≌△BCE （SAS ）,∴∠2=∠1.又∵AD ∥BC ，∴∠ADC +∠BCD =180°，∴∠DCE +∠CDE =90°，∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4. 在△FDE 与△ADE 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠43DEDE ADE FDE ∴△FDE ≌△ADE （ASA ），∴DF =DA ，∵CD =DF +CF ，∴CD =AD +BC .例4. 已知：如图4-1，在△ABC 中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2. 求证：AB =AC +CD .分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC 至E 使CE =CD ，或在AB 上截取AF =AC .证明：方法一（补短法）延长AC 到E ，使DC =CE ，则∠CDE ＝∠CED ，如图4-2 AD B CEF 1234图2-2D C B A 12图4-1 ED CB A 12图4-2∴∠ACB ＝2∠E ，∵∠ACB ＝2∠B ，∴∠B ＝∠E ，在△ABD 与△AED 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠AD AD E B 21∴△ABD ≌△AED （AAS ）,∴AB =AE .又AE =AC+CE =AC +DC ，∴AB =AC +DC .方法二（截长法）在AB 上截取AF =AC ，如图4-3在△AFD 与△ACD 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AD AD AC AF 21∴△AFD ≌△ACD （SAS ）,∴DF =DC ，∠AFD ＝∠ACD . 又∵∠ACB ＝2∠B ，∴∠FDB ＝∠B ，∴FD =FB .∵AB =AF +FB =AC +FD ，∴AB =AC +CD .F D C B A 12图4-3超重和失重 问题超重和失重是两个很重要的物理现象。

截长补短法例1.已知，如图1-1，在四边形ABCD 中，BC ＞AB ，AD =DC ，BD 平分∠ABC .求证：∠BAD +∠BCD =180°.分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现.证明：过点D 作DE 垂直BA 的延长线于点E ，作DF ⊥BC 于点F ，如图1-2∵BD 平分∠ABC ，∴DE =DF ，在Rt △ADE 与Rt △CDF 中，⎩⎨⎧==CDAD DFDE ∴Rt △ADE ≌Rt △CDF (HL ),∴∠DAE =∠DCF .又∠BAD +∠DAE =180°，∴∠BAD +∠DCF =180°，即∠BAD +∠BCD =180°例2.已知，如图3-1，∠1=∠2，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于点D ，AB +BC =2BD .求证：∠BAP +∠BCP =180°.分析：与例1相类似，证两个角的和是180°，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明∠BCP =∠EAP ，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造.证明：过点P 作PE 垂直BA 的延长线于点E ，如图3-2∵∠1=∠2，且PD ⊥BC ，∴PE =PD ，在Rt △BPE 与Rt △BPD 中，⎩⎨⎧==BPBP PD PE ∴Rt △BPE ≌Rt △BPD (HL ),∴BE =BD .∵AB +BC =2BD ，∴AB +BD +DC =BD +BE ，∴AB +DC =BE 即DC =BE -AB =AE .FEDCBA图1-2ABCDP12N图3-1P12NABCD E 图3-2ABC D图1-1ADBCE图2-1在Rt △APE 与Rt △CPD 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DC AE PDC PEA PD PE ∴Rt △APE ≌Rt △CPD (SAS),∴∠PAE =∠PCD 又∵∠BAP +∠PAE =180°,∴∠BAP +∠BCP =180°例3.如图2-1，AD ∥BC ，点E 在线段AB 上，∠ADE =∠CDE ，∠DCE =∠ECB .求证：CD =AD +BC .分析：结论是CD =AD +BC ，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD 上截取CF =CB ，只要再证DF =DA 即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的.证明：在CD 上截取CF =BC ，如图2-2在△FCE 与△BCE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CE CE BCE FCE CB CF ∴△FCE ≌△BCE （SAS ）,∴∠2=∠1.又∵AD ∥BC ，∴∠ADC +∠BCD =180°，∴∠DCE +∠CDE =90°，∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4.在△FDE 与△ADE 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠43DE DE ADE FDE ∴△FDE ≌△ADE （ASA ），∴DF =DA ，∵CD =DF +CF ，∴CD =AD +BC .ADB CE F1234图2-2例4.已知：如图4-1，在△ABC 中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2.求证：AB =AC +CD .分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC 至E 使CE =CD ，或在AB 上截取AF =AC .证明：方法一（补短法）延长AC 到E ，使DC =CE ，则∠CDE ＝∠CED ，如图4-2∴∠ACB ＝2∠E ，∵∠ACB ＝2∠B ，∴∠B ＝∠E ，在△ABD 与△AED 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠AD AD E B 21∴△ABD ≌△AED （AAS ）,∴AB =AE .又AE =AC+CE =AC +DC ，∴AB =AC +DC .方法二（截长法）在AB 上截取AF =AC ，如图4-3在△AFD 与△ACD 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AD AD AC AF 21∴△AFD ≌△ACD （SAS ）,∴DF =DC ，∠AFD ＝∠ACD .又∵∠ACB ＝2∠B ，∴∠FDB ＝∠B ，∴FD =FB .∵AB =AF +FB =AC +FD ，∴AB =AC +CD .DCB A 12图4-1EDCBA12图4-2FDCBA 12图4-3。

以下是一个截长补短模型的例题：
问题：
某学生想要评估自己在数学课程上的成绩表现。

他在过去的五个学期中取得了如下成绩：78、82、90、85和88。

他希望使用截长补短模型来预测他未来一学期的数学成绩。

解答：
截长补短模型是一种用于预测和估计未来值的统计模型，基于已有的数据趋势来进行预测。

在这个例子中，我们可以使用截长补短模型来预测学生未来一学期的数学成绩。

首先，我们需要计算这五个学期成绩的平均值，作为基准线：
(78 + 82 + 90 + 85 + 88) / 5 = 84.6
接下来，我们计算与平均值的差异，即每个学期成绩与平均值的差值：
78 - 84.6 = -6.6
82 - 84.6 = -2.6
90 - 84.6 = 5.4
85 - 84.6 = 0.4
88 - 84.6 = 3.4
然后，我们根据差值的趋势来预测未来一学期成绩。

在这里，我们看到负值意味着低于平均值，正值意味着高于平均值。

因为差值有一定的波动，我们可以假设这个波动会继续。

根据过去五个学期的波动情况，我们可以做出以下预测：
-6.6 + (-2.6) + 5.4 + 0.4 + 3.4 = -0.6
因此，我们预测学生未来一学期的数学成绩将大约在平均值左右，即84.6左右。

需要注意的是，截长补短模型只是一种基于过去数据的预测方法，结果并不一定准确。

实际的成绩可能会受到其他因素的影响，如学习态度、教学质量等。

因此，这个预测结果仅供参考，学生仍需根据自身情况和努力来提高学习成绩。