263实际问题与二次函数(第3课时)精品PPT课件
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九年级数学上册教学课件《实际问题与二次函数(第3课时)》
当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-1, 这时有-1=-0.5(x-2)2+2，解得x1=2- 6 ， x2=2+ 6
这时水面的宽度为x2-x1=2 6， 因此当水面下降1m时,水面宽度增加了(2 6-4)m.
2m l=4m
o
探究新知
22.3 实际问题与二次函数
【思考】“二次函数应用”的思路
回顾 “最大利润”和 “桥梁建筑”解决问题的过程，
（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式； （2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8 米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不 变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的 原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．
解：（1）设抛物线的表达式为y=ax2 .
∵点B（6，﹣5.6）在抛物线的图象上，
∴﹣5.6=36a，a 7 .
45
∴抛物线的表达式为 y
7
x2 .
45
课堂检测
22.3 实际问题与二次函数
（2）现需在抛物线AOB的区域内安装几扇窗户，窗户的底 边在AB上，每扇窗户宽1.5m，高1.6m，相邻窗户之间的间 距均为0.8m，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平 距离至少为0.8m．请计算最多可安装几扇这样的窗户？
探究新知 怎样建立直角坐标系比较简单呢？
以拱顶为原点，抛物线的对称轴 为y轴，建立直角坐标系，如图．
22.3 实际问题与二次函数
从图看出，什么形式的二次函数，它 的图象是这条抛物线呢？
由于顶点坐标系是（0.0），因此 这个二次函数的形式为y ax2.
这时水面的宽度为x2-x1=2 6， 因此当水面下降1m时,水面宽度增加了(2 6-4)m.
2m l=4m
o
探究新知
22.3 实际问题与二次函数
【思考】“二次函数应用”的思路
回顾 “最大利润”和 “桥梁建筑”解决问题的过程，
（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式； （2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8 米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不 变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的 原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．
解：（1）设抛物线的表达式为y=ax2 .
∵点B（6，﹣5.6）在抛物线的图象上，
∴﹣5.6=36a，a 7 .
45
∴抛物线的表达式为 y
7
x2 .
45
课堂检测
22.3 实际问题与二次函数
（2）现需在抛物线AOB的区域内安装几扇窗户，窗户的底 边在AB上，每扇窗户宽1.5m，高1.6m，相邻窗户之间的间 距均为0.8m，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平 距离至少为0.8m．请计算最多可安装几扇这样的窗户？
探究新知 怎样建立直角坐标系比较简单呢？
以拱顶为原点，抛物线的对称轴 为y轴，建立直角坐标系，如图．
22.3 实际问题与二次函数
从图看出，什么形式的二次函数，它 的图象是这条抛物线呢？
由于顶点坐标系是（0.0），因此 这个二次函数的形式为y ax2.
实际问题与二次函数_第三课时-课件
图1
图2
【思路点拨】根据线段的长度写出相关点的坐标，再设出函数的解析 式，把点的坐标代入解析式求出解析式，可以算出EF的宽度。
探究三：利用二次函数解决实际问题的训练
例5.如图1，三孔桥截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同。 正常水位时，大孔水面宽度AB＝20米，顶点M距水面6米（即MO＝6米），小 孔顶点N距水面4.5米（NC＝4.5米）。当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图2 中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF。
探究三：利用二次函数解决实际问题的训练
练习：有一抛物线形拱桥，其最大高度为16米，跨度为40米， 把它的示意图放在如图所示的坐标系中，则抛物线的函数关系 式为__y_____21_5__x_2 __85__x__ 。
解：因为抛物线过点（0，0）和（40，0），
∴ y=ax（x- 40）①
又∵ 函数过点（20，16）代入①得20a（20-40）=16，
探究一：利用二次函数解决抛物线形拱桥问题
重点知识★
活动2 自学互研，生成能力。
完成下列填空：
1.以拱桥的顶点为原点，以经过该点的铅垂线为y轴建立平面直 角坐标系时，可设这条抛物线的关系式为_____y____a_x_2。
2.一座拱桥为抛物线形，其函数解析式为___y____a_x_2_，
当水位线在AB位置时，水面宽4 m，这时水面离桥顶的高度为
设点B（10，n），点D（5，n+3），
n=10²•a=100a，n+3=5²a=25a，
即
n 100a n 3 25a
y 1 x2 25
n 4
解得
a
1 25
（2）∵ 货轮经过拱桥时的横坐标为x=3， ∴ 当x=3时，y 1 9 25 9 （ 4） 3.6 25
新人教版九上《 实际问题与二次函数》ppt课件
∴水面的宽度增加了 2 64m
2020/3/2
y
解：设这条抛物线表示的二次函数为
E(2,2)
ya(x2)22
由抛物线经过点（0，0），可得
(0,0)
●
C0
(4, 0)
●B
a1 2
D
x 所以，这条抛物线的二次函数为：
y1(x2)2 2
当水面下降1m2时，水面的纵坐标为
抛物线形拱桥，当水面在 l时，
活动三：想一想
通过刚才的学习，你知道了用二次函 数知识解决抛物线形建筑问题的一些 经验吗？
2020/3/2
审题，弄清已知和未知 建立适当的直角坐标系 合理的设出二次函数解析式 求出二次函数解析式
利用解析式求解 得出实际问题的答案
2020/3/2
练一练：
有一抛物线型的立交桥拱，这个拱的最大 高度为16米，跨度为40米，若跨度中心M 左，右5米处各垂直竖立一铁柱支撑拱顶， 求铁柱有多高？
问题1.已知某商品的售价是每件60元，每星期可卖出 300件。市场调查反映：如调整价格 ，每涨价1元， 每星期要少卖出10件。已知商品进价为每件40元，该 商品应定价为多少元时，商场能获得最大利润？
问题2.已知某商品的售价是每件60元，每星期可卖出 300件。市场调查反映：如调整价格 ，每降价1元， 每星期要多卖出20件。已知商品进价为每件40元，该 商品应定价为多少元时，商场能获得最大利润？
拱顶离水面2m，水面宽度4m，
y 1
水面下降1m，水面宽度为多少？当 y 1 时， x 6 2
水面宽度增加多少？ 所以，水面下降1m，水面的
宽度为2 6 m.
∴水面的宽度增加了 2 64m 2020/3/2
人教版数学九下《263实际问题与二次函数》精品PPT课件
使利润最大了吗?
归纳小结：
运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值 的一般步骤 : ➢求出函数解析式和自变量的取值范围
➢配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。
➢检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必 须在自变量的取值范围内 。
练一练
某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价 为每箱40元，市场调查发现：若每箱以50 元 销售,平均每天可销售100箱. 价格每箱降低1 元，平均每天多销售25箱 ; 价格每箱升高1 元，平均每天少销售4箱。如何定价才能使得 利润最大？
即 y 10x2 100x 6000 (0≤X≤30)
y 10x2 100x 60值
10 52
100 5
6000
6250
所以，当定价为65元时，利润最大，最大利润为6250元
y\元
6250 6000
05
可以看出，这个函数的
图像是一条抛物线的一
1、求下列二次函数的最大值或最小值：
⑴ y=－x2＋2x－3;
⑵ y=x2＋4x
2、图中所示的二次函数图像的
y
解析式为：
y 2x2 8x 13
⑴若－3≤x≤3，该函数的最
大值、最小值分别为
（ 55 ）、（ 5 ）。
6
⑵又若0≤x≤3，该函数的 最大值、最小值分别为 （ 55 ）、（ 13 ）。
部分，这条抛物线的顶
点是函数图像的最高点，
也就是说当x取顶点坐
标的横坐标时，这个函
数有最大值。由公式可
30
x \ 元 以求出顶点的横坐标.
做一做
在降价的情况下，最大利润是多少？ 请你参考（1）的过程得出答案。
解：设降价x元时利润最大，则每星期可多卖18x件，实
归纳小结：
运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值 的一般步骤 : ➢求出函数解析式和自变量的取值范围
➢配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。
➢检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必 须在自变量的取值范围内 。
练一练
某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价 为每箱40元，市场调查发现：若每箱以50 元 销售,平均每天可销售100箱. 价格每箱降低1 元，平均每天多销售25箱 ; 价格每箱升高1 元，平均每天少销售4箱。如何定价才能使得 利润最大？
即 y 10x2 100x 6000 (0≤X≤30)
y 10x2 100x 60值
10 52
100 5
6000
6250
所以，当定价为65元时，利润最大，最大利润为6250元
y\元
6250 6000
05
可以看出，这个函数的
图像是一条抛物线的一
1、求下列二次函数的最大值或最小值：
⑴ y=－x2＋2x－3;
⑵ y=x2＋4x
2、图中所示的二次函数图像的
y
解析式为：
y 2x2 8x 13
⑴若－3≤x≤3，该函数的最
大值、最小值分别为
（ 55 ）、（ 5 ）。
6
⑵又若0≤x≤3，该函数的 最大值、最小值分别为 （ 55 ）、（ 13 ）。
部分，这条抛物线的顶
点是函数图像的最高点，
也就是说当x取顶点坐
标的横坐标时，这个函
数有最大值。由公式可
30
x \ 元 以求出顶点的横坐标.
做一做
在降价的情况下，最大利润是多少？ 请你参考（1）的过程得出答案。
解：设降价x元时利润最大，则每星期可多卖18x件，实
九年级数学上册课件《实际问题与二次函数》(第3课时)
y O
C A
h
DB x
20 m
4．小结
（1）这节课学习了用什么知识解决哪类问题？ （2）解决问题的一般步骤是什么？应注意哪些问 题？ （3）你学到了哪些思考问题的方法？用函数的思想 方法解决抛物线形拱桥问题应注意什么？
九年级 上册
22.3 实际问题与二次函数 （第3课时）
1．复习利用二次函数解决实际问题的方法
问题1 解决上节课所讲的实际问题时，你用到了什么知识？ 所用知识在解决生活中问题时，还应注意哪些问题？
1．复习利用二次函数解决实际问题的方法
归纳： 1．由于抛物线 y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高） 点，当
x b 2a
时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小（大） 值 y 4ac b2 ． 4a
2．列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际 意义，确定自变量的取值范围；
3．在自变量的取值范围内，求出二次函数的最大 值或最小值.
2．探究“拱桥”问题
问题2 图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 m时，水面 宽 4 m . 水面下降 1 m，水面宽度增加多少？
3．应用新知， 巩固提高来自问题5有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为
20 m，拱顶距离水面 4 m．
（1）如图所示的直角坐标系中，求出这条抛物线表
示的函数的解析式；
（2）设正常水位时桥下的水深为 2 m，为保证过往
船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于 18 m．求水深
超过多少 m 时就会影响过往船只在桥下顺利航行．
2．探究“拱桥”问题
（1）求宽度增加多少需要什么数据？ （2）表示水面宽的线段的端点在哪条曲线上？ （3）如何求这组数据？需要先求什么？ （4）图中还知道什么？ （5）怎样求抛物线对应的函数的解析式？
实际问题与二次函数 初中初三九年级数学教学课件PPT 人教版
归纳小结，布置作业
课后作业：拱桥设计 某桥梁建筑公司需在两山之间的峡谷上架设一
座公路桥，桥下是一条宽100m的河流，河面距所要 架设的公路桥的高度是50m，根据各方面的条件分 析，专家认为抛物线是最好的选择，按照专家的建 议，设计一座横跨峡谷的公路桥.
小组合作，解决问题
小组合作：建立平面直角坐标系，运用所学知识，解决问题. （每个小组建立2种不同的平面直角坐标系）
探究3 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 m，水面宽 4 m. 水面下降 1 m，水面宽度增加多少？
适当建系，优化解题
C
y=－0.5(x-2)2+2
B
D
y=－0.5(x+2)2+2
22.3 实际问题与二次函数 （第3课时）
创设情境，引出问题
复习旧知，做好铺垫
填空：根据所给的函数图象写出它的解析式.
图1：
y
O
x
解析式： y＝ax2(a＜0)
图2：
y
O
x
图3：
y
O
x
形
解析式： y=ax2+k(a＜0) 解析式： y＝ax2+bx+c(a＜0)
数
从形入手，探究问题
探究3 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 m，水 面宽 4 m. 水面下降 1 m，水面宽度增加多少？
巩固训练、拓展思维
某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形 组成，为了牢固起见，每段护栏中需要间距4dm加设一 根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部5dm（如图） ，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ ） A、50m B、100m C、160m D、200m
归纳小结，布置作业 （1）这节课学习了用什么知识、方法解决哪类问题？ （2）解决问题的一般步骤是什么？应注意哪些问题？
《实际问题与二次函数(3)》课件
C
即解析式为：y=-0.5x2+2 A
M
2m
4m
B
（2）水面下降1米，即当y=-1 时 6 6 -0.5x2+2=-1 解得x1=6 x2= 6 CD=︱x1-x2︳=2
水面宽增加 CD-AB=（2 4）米
(-2,0)A
-
y M(0,2) 1m o B (2,0) x D
C
M
2m
A
4m
B
解法二：（1)以抛物线的顶点为原点，以抛物线
C D
20m
B
能否安全通过这座桥？
谈谈你的学习体会 抽象 实际问题 转化 运 数学问题 问题的解决 用 数学知识
解题步骤：
1、分析题意，把实际问题转化为数学问题，根 据已知条件建立适当的平面直角坐标系。 2、选用适当的解析式求解。 3、根据二次函数的解析式解决具体的实际问题。
M(0,2) 1m o B (2,0) x D
M
2m
A
4m
B
解法一：（1）以水面AB所在的直线为x轴，以AB 的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系。 设抛物线的解析式为：y=ax2+k(a≠0) 抛物线过（2，0），（0，2）点 4a+k=0 k=2 a=-0.5 k=2
(-2,0)A
y M(0,2) 1m o B (2,0) x D
1.
b 直线x 对称轴是 2a
， . ，它的
b 4ac b 2 , ，顶点坐标是 2 a 4 a
. 当
a>0时，抛物线开口 上 低 向 ，有最
小
4 ac b 2 4a
点，函数有最 大
值，是
高 当 a<0时，抛物 下
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解：如图，以AB所在的直线为x轴， 以AB的垂直平分线为y轴，建立平面 直角坐标系.
∵AB=4 ∴A(-2,0) B(2,0)
∵OC=4.4 ∴C(0,4.4) 设抛物线所表示的二次函数为
y ax 2 4.4
∵抛物线过A(-2,0)
4a 4.4 0 a 1.1
∴抛物线所Leabharlann 示的二次函数为 y 1.1x2 4.4
例1．某涵洞是抛物线形，它的截面如图所 示，现测得水面宽1．6m，涵洞顶点O到水 面的距离为2．4m，在图中直角坐标系内， 涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？
分析： 如图，以AB的垂直平分线为y轴，以过点
O的y轴的垂线为x轴，建立了直角坐标系．这 时，涵洞所在的抛物线的顶点在原点，对称轴 是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式 是 y ax2 (a 0)．此时只需抛物线上的一个点就 能求出抛物线的函数关系式．
y 1 x2，当水位线在AB位置时，水面宽 25
AB 30米,这时水面离桥顶的高度h是（）
A、5米 B、6米；C、8米；D、9米
y
x
0
h
A
B
如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的
长是8m，宽是2m，抛物线可以用
y
1
x2
4
4
表示.（1）一辆货运卡车高4m，宽2m，它能通过该隧
道吗？（2）如果该隧道内设双行道，那么这辆货运卡
当水面下降1m时,水面的 纵坐标为y=-1,这时有:
1 0.5( x 2 )2 2
x1 2 6 , x2 2 6
∴这时水面的宽度为:
x2 x1 2 6m
∴当水面下降1m时,水面宽度
增加了 ( 2 6 4 )m
返回
练习
河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线型，
建立如图所示的坐标系,其函数的解析式为
如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，
其中AB和AD分别在两直角边上．（1）设矩形的一
y
Ｍ
ＣＮ
Ｄ
ＡＯ
Ｂx
2.一场篮球赛中,球员甲跳起投篮,如图2,已知球 在A处出手时离地面20/9 m,与篮筐中心C的水平 距离是7m,当球运行的水平距离是4 m时,达到最 大高度4m（B处）,设篮球运行的路线为抛物线. 篮筐距地面3m. ①问此球能否投中? ②此时对方球员乙前来盖帽,已知乙跳起后摸到的 最大高度为3.19m,他如何做才能盖帽成功?
3 0.5 x2
x 6
这时水面宽度为 2 6m
∴当水面下降1m时,水面宽度
增加了 ( 2 6 4 )m
返回
解二
如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以抛物线 的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系.
此时,抛物线的顶点为(0,2)
∴可设这条抛物线所表示 的二次函数的解析式为:
y ax2 2
当x 1.2时，y 1.1 1.22 4.4 2.816 2.7
∴汽车能顺利经过大门.
练习
某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所 示，大门地面宽AB=4m，顶部C离地面高度为 4.4m。现有一辆满载货物的汽车欲通过大门， 货物顶部距地面2.8m，装货宽度为2.4m。请判 断这辆汽车能否顺利通过大门．
A
B
解：如图，以AB的垂直平分线为y轴，以过点 O的y轴的垂线为x轴，建立了直角坐标系。
由题意，得点B的坐标为（0.8，-2.4）， 又因为点B在抛物线上，将它的坐标代入
y ax 2 (a 0) ,得
所以 2.4 a 0.82
a 15 4
因此，函数关系式是
y 15 x 2 4
A
B
当拱桥离水面2m时,水面宽4m
即:抛物线过点(2,0)
0 a22 2
a 0.5
∴这条抛物线所表示的二 次函数为:
y 0.5 x 2 2
当水面下降1m时,水面的 纵坐标为y=-1,这时有:
1 0.5 x2 2 x 6
这时水面宽度为 2 6m
∴当水面下降1m时,水面宽度
增加了 ( 2 6 4 )m
继续
解一
如图所示， 以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对y称轴为 轴，
建立平面直角坐标系。 ∴可设这条抛物线所表示 的二次函数的解析式为:
y ax 2
当拱桥离水面2m时,水面宽4m
即抛物线过点(2,-2)
2 a 22
a 0.5
∴这条抛物线所表示的二
次函数为:
y 0.5 x 2
当水面下降1m时,水面的 纵坐标为y=-3,这时有:
返回
解三 如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以其中
的一个交点(如左边的点)为原点，建立平面直角坐标系.
此时,抛物线的顶点为(2,2) ∴可设这条抛物线所表示 的二次函数的解析式为:
y a( x 2 )2 2
∵抛物线过点(0,0)
0 a ( 2 )2 2
a 0.5
∴这条抛物线所表示的二 次函数为: y 0.5( x 2 )2 2
问题2 一个涵洞成抛物线形，它的截面如图,现测 得，当水面宽AB＝1.6 m时，涵洞顶点与水面 的距离为2.4 m．这时，离开水面1.5 m处，涵 洞宽ED是多少？是否会超过1 m？
探究3 图中是抛物线形拱桥，当水面在 L 时，拱
顶离水面2m，水面宽4m，水面下降1m时，水面宽度 增加了多少？
解一 解二 解三
练习 1.有一辆载有长方体体状集装箱的货 车要想通过洞拱横截面为抛物线的隧道，如 图1，已知沿底部宽AB为4m，高OC为3.2m； 集装箱的宽与车的宽相同都是2.4m；集装箱 顶部离地面2.1m。该车能通过隧道吗？请说 明理由.
活动4
练习:有一抛物线拱桥，已知水位在AB位 置时，水面的宽度是 4 6 m，水位上升4 m就 达到警戒线CD，这时水面宽是 4 3米．若洪 水到来时，水位以每小时0.5 m速度上升，求 水过警戒线后几小时淹到拱桥顶端M处．
车是否可以通过？
（1）卡车可以通过.
3
提示：当x=±1时，y =3.75, 3.75＋2>4.
1O
（2）卡车可以通过.
－3 －1
1
3
－1
提示：当x=±2时，y =3, 3＋2>4.
－3
例:某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物, 大门底部宽AB=4m,顶部C离地面的高度为 4.4m,现有载满货物的汽车欲通过大门,货物顶 部距地面2.7m,装货宽度为2.4m.这辆汽车能否 顺利通过大门?若能,请你通过计算加以说明;若 不能,请简要说明理由.