直线的方程与两条直线的位置关系

直线与方程一、基础知识梳理知识点1：直线的倾斜角与斜率（1）倾斜角：一条直线向上的方向与X 轴的 所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范围为（2）斜率：当直线的倾斜角不是900时，则称倾斜角的 为该直线的斜率，即k=t a n α注记：所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率.（当α=900时， k 不存在）（3）过两点p 1(x 1,y 1),p 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式：k=t a n 1212x x y y --=α（当x 1＝x 2时，k 不存在，此时直线的倾斜角为900）.知识点2：直线的方程直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x 轴）的直线；两点式不能表示平行或重合两坐标轴的直线；截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线。

二、易错知识梳理1、忽视截距为零【易错题1】求经过点（2,1）且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 2、忽视与x 轴平行的情况 【易错题2】已知直线过（1,2）、（2，b ），求直线方程. 3、忽视斜率不存在的情况【易错题3】已知直线l 过点P （1,2）且与以A(-2,-3)、B （3,0）为端点的线段相交，求直线l 的斜率的取值范围. 三、考点类型剖析题型一 斜率与倾斜角的关系例1、 已知过点Ｐ（１－ａ，１＋ａ）和Ｑ（３，２ａ） 的直线的倾斜角为钝角，则实数 a 的取值范围为归纳小结：任意一条直线都有唯一确定倾斜角，但斜率未必都存在. )000,180⎡∂∈⎣，k R ∈，)000,90⎡∂∈⎣，(0,)k ∈+∞；00(90,180)∂∈(,0)k ∈-∞. 题型二 三点共线问题例2、 求证A （1,5），B （0,2），C （2,8）三点共线.变式训练：（浙江高考）已知a>0，若平面内三点A （1,-a ），B （2, 2a ），C （3, 3a ）共线，则a=题型三 待定系数法求直线方程例3、 过点P(1,3)的直线分别与两坐标轴交于A,B 两点，若P 为中点，求直线的方程.变式训练：一条直线过点A （-2,3），并且与两坐标轴围成三角形的面积为1，求此直线方程. 题型四 直线方程的应用问题例4、如右图所示一条光线从点A （3,2）发出，经x 轴反射，通过B(-1,6),求入射光线与反射光线所在的直线方程.变式训练1：已知直线120mx ny ++=在x 轴，y 轴截距分别为-3和-4，求m,n 的值. 变式训练2：已知点A(2,5)与点B(4，-7)，试在y 轴上求一点P,使得PA PB +的值最小. 四、知能达标训练基础训练1、过点P (－2, m )和Q (m , 4)的直线斜率等于1，那么m 的值等于 （ ） A 、1或3 B 、4 C 、1 D 、1或42、在直角坐标系中，直线y= -3x+1的倾斜角为（ ）A 、0120B 、-030C 、060D 、- 060 3、过点(-3, 0)和点(-4,3)的倾斜角是（ ）A 、030B 、0150C 、060D 、0120 4、如图，直线l 1、l 2、l 3的斜率分别是k 1、k 2、k 3，则有（ ） A 、k 1<k 2<k 3 B 、k 3<k 1<k 2 C 、k 3<k 2<k 1 D 、k 1<k 3<k 25．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ）A ．045,1 B ．0135,1- C ．090，不存在 D ．0180，不存在3、过两点（-1，1）和（3，9）的直线，在x 轴上的截距是（ ） A 、32-B 、23- C 、25 D 、23、过点(5,2),且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍的直线方程是（ ） A 、2x+y-12=0 B 、2x+y-12=0 或2x-5y=0 C 、x-2y-1=0 D 、x+2y-9=0或2x-5y=0 7、若直线ax+by+c=0在第一、二、三象限，则（ ）A 、ab>0，bc>0B 、ab>0，bc<0C 、 ab<0，bc>0D 、 ab<0，bc<0 8、把直线l 的一般式260x y -+=化为斜截式，求出直线l 的斜率以及与两坐标轴的截距.综合训练1．直线13kx y k -+=，当k 变动时，所有直线都通过定点（ ） A ．(0,0) B ．(0,1)C ．(3,1)D ．(2,1)2．已知点(2,3),(3,2)A B --，若直线l 过点(1,1)P 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ） A ．34k ≥B ．324k ≤≤ C ．324k k ≥≤或 D ．2k ≤ 3．已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为___________________; 若3l 与1l 关于x 轴对称，则3l 的方程为___________________;若4l 与1l 关于x y =对称，则4l 的方程为________________;5．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ）A ．045,1 B ．0135,1- C ．090，不存在 D ．0180，不存在6．若方程014)()32(22=+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则实数m 满足（ ） A ．0≠m B ．23-≠m C ．1≠m D ．1≠m ，23-≠m ，0≠m 7、已知ABC ∆的三个顶点是A （3，-4），B （0，3），C （-6，0），求它的三条边所在的直线方程。

两条直线的位置关系判断方法设平面上两条直线的方程分别为11112222:0,:0l a x b y c l a x b y c ++=++= 一．行列式法记系数行列式为1122,a b D a b =和相交⇔0D ≠ 1221b a b a ≠⇔1l 和2l 平行⇔0,0x D D =≠或0,0y D D =≠和重合⇔0===x y D D D二．比值法和相交()0b ,a 22≠； 和垂直⇔0b a b a 2211=+；和平行()0c ,b ,a 222≠；和重合()0c ,b ,a 222≠ 三．斜率法111222:y 0.:y 0l k x b l k x b =+==+=（条件：两直线斜率都存在，则可化成点斜式） 12l l ⇔与相交21k k ≠ ；2121b b k k ≠=，2121b b k k ==，；-1.=21k k ;特别提醒：在具体判断两条直线的位置关系时，先考虑比值法，但要注意前提条件(分母不为零)；再考虑斜率法，但也有条件(两条直线的斜率都存在)，最后选择行列式(无条件)； 注：（1）两直线平行是它们的法向量（方向向量）平行的充分非必要条件；（2）两直线垂直是它们的法向量（方向向量）垂直的充要条件；（3）两条直线平行⇔它们的斜率均存在且相等或者均不存在；（4）两条直线垂直⇔他们的斜率均存在且乘积为-1，或者一个存在另一个不存在；1122,x c b D c b -=-1122y a c D a c -=-1l 2l 1l 2l 1l 2l ⇔2121b b a a ≠1l 2l 1l 2l ⇔212121c c b b a a ≠=1l 2l ⇔212121c c b b a a ==12l l ⇔与平行12l l ⇔与重合12l l ⇔与垂直例题分析1.下列命题中正确的是……………………………………………………………………（ B ）A.平行的两条直线的斜率一定相等B.平行的两条直线倾斜角相等C.两直线平行的充要条件是斜率相等D.两直线平行是他们在y 轴上截距不相等的充分条件分析：A.两条直线斜率均不存在时也是平行,此时斜率不存在；C.”斜率相等”是”两直线平行”的既不充分也不必要条件；D.既不充分也不必要条件，因为两条直线斜率均不存在时也是平行，此时不存在y 轴上的截距，反之显然不成立；2、若l 1与l 2为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为a 1，a 2，斜率分别为k 1，k 2，则下列命题（1）若l 1∥l 2，则斜率k 1=k 2； （2）若斜率k 1=k 2，则l 1∥l 2；（3）若l 1∥l 2，则倾斜角a 1=a 2；（4）若倾斜角a 1=a 2，则l 1∥l 2；其中正确命题的个数是…………………………………………………………………（ C ）A ．1B ．2C ．3D ．4分析：(2)(3)(4)对，此时要注意已知条件l1与l 2为两条不重合的直线3、已知两条不重合的直线l 1，l 2的倾斜角分别为α1，α2，给出如下四个命题： ∥若sin α1=sinα2，则l 1∥l 2∥若cos α1=cosα2，则l 1∥l 2∥若l 1∥l 2，则tan α1•tanα2=﹣1∥若l 1∥l 2，则sin α1sinα2+cosα1cosα2=0其中真命题是…………………………………………………………………………（ B ）A ．①③B ．②④C ．②③D ．①②③④分析：①sin α1=sin α2， 可知α1=α2 或α1 +α2 =π，因为倾斜角α1，α2的范围[)π0，，所以不一定推出；②cos α1=cos α2 ,可知 α1=α2 ，因为倾斜角α1,α2的范围[)π0，，所以可以推出；③如果成立的话，必须斜率存在，可是α1=π，α2 =2π，致使斜率不存在； ④若两条直线斜率都存在时，显然成立，若两条直线斜率有一个不存在时也成立，下证，不妨设α1=π，α2 =2π，此时也成立； 4、已知直线06y )2k (x 3:l 1=++-与直线02y )3k 2(kx :l 2=+-+，记3k 2k )2k (3D -+-=.”0D =”是”两条直线1l 与直线2l 平行”的…………………………… ( A ) A ．充分不必要条件； B ．必要不充分条件 ； C ．充要条件; D ．既不充分也不必要条件5、若直线1:l 22+=+x ay a 与直线2:l 1+=+ax y a 不重合，则12l l ∥的充要条件( C ）A. 1a =-；B. 12=a ； C. 1a =； D. 1a =或1a =-. 分析：法1：比值法，此时要保证分母不为零，故讨论当0a =时，1:2=l x ；2:1=l y ，此时垂直，不满足条件，舍去当1a -=时，1:0-=l x y ；2:0-=l y x ，此时重合，舍去当10a -，≠时，12122111+⇔=≠⇔=+a a l l a a a ∥ 法2.())1a (1a 2D );1a (2a D ,a 1D y x 2+-=+-=-=）（1a =⇔类似也可以用斜率法，此时只需要讨论0a =和0a ≠两种情况6、直线,01by x :l ,01y ax :l 21=-+=++则1ba -=是21l l ⊥的………………………………（ A ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 分析：⇔⊥21l l 0b a =+7、“a=2”是”直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的…………………………………………（ C ）A.充分不必要条件;B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件分析：(比值法:先观察有没有一条直线方程前面的系数是不是均为零，若有就把其作为分母) 直线ax+2y=0平行于直线x+y=1⇔ 10121a ≠=2a =⇔ 8.已知直线()01m 4y )m m (x )3m m 2(:l 221=---+-+与直线()R a 03y )1a (x 2:l 2∈=+--(1)m 为___1m ≠且98m ≠-__时，21l l 与相交；(2)m 为__6- __时，21l l 与垂直；分析：直线方程含有参数m ，故必须保证这个方程表示的是直线（y ,x 前面的系数不全为零),故1≠m(1)21l l 与相交⇔98≠-m ; (2)21l l 与垂直⇔6=-m9、已知直线()R ααsin x y :l 1∈=和直线c x 2y :l 2+=，则下列关于直线21l ,l 关系判断正确的有____.③____①．通过平移可以重合；②不可能垂直；③可能与x 轴围成直角三角形；分析：①如果两条直线平移之后可以重合，就必须满足斜率相同，可是2αsin ≠ ②如果两条直线垂直就必须斜率之积等于-1，此时12αsin -=⋅，6π5α= ③由第②问中，可知这两条直线有可能垂直，故可能与x 轴围成直角三角形，因为只要有一个角是直角就可以啦；10、若直线l 1：2x+（m+1）y+4=0与直线l 2：mx+3y ﹣2=0平行，则m 的值为（ C ）A ．﹣2B ．﹣3C ．2或﹣3D ．﹣2或﹣3分析：同第5题11、已知P 1（a 1，b 1）与P 2（a 2，b 2）是直线y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组的解的情况是…………………………………………（ B ）故下面只需要先判断1221b a b a -是否为0证： 因为 P 1（a 1，b 1）与P 2（a 2，b 2）是直线y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点并且直线y=kx+1的斜率存在，∥k=，即a 1≠a 2，并且b 1=ka 1+1，b 2=ka 2+1，∴a 2b 1﹣a 1b 2=a 2 (ka 1+1)-a 1 (ka 2+1)=ka 1a 2﹣ka 1a 2+a 2﹣a 1=a 2﹣a 1∥方程组有唯一解．。

直线方程和两条直线的位置关系（1）直线的倾斜角定义：把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角叫直线的倾斜角。

特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 0。

因此，倾斜角的取值范围是),0[π. （2）直线的斜率①定义：过两点))(,(),,(212211x x y x Q y x P ≠直线PQ 的斜率为：=k 1212x x y y --.若21x x =时，直线PQ 的斜率不存在，注意：(1)斜率公式与两点的顺序无关；（2）对于不垂直于x 轴的直线，直线的斜率是确定的，与所选择的直线上的两点位置无关；（3）与x 轴垂直的直线，它的斜率不存在，倾斜角为.90②倾斜角与斜率的关系：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切等于这条直线的斜率。

即tan [0,).k ααπ=∈，当)90,0[ ∈α时，0≥k ；当)180,90(0 ∈α时，0<k ； 当90=α时，k 不存在。

注意：任何直线都有倾斜角，但不是任何直线都有斜率.牢记：αtan =k 的关系图（利用关系图可以由倾斜角的范围求斜率的范围，也可由斜率的范围求倾斜角的范围） （3）直线方程名称 方程适用范围 点斜式 )(11x x k y y -=-不含垂直于x 轴的直线 斜截式 b kx y +=不含垂直于x 轴的直线 两点式112121y y x x y y x x --=-- 不含垂直于坐标轴的直线截距式1x y a b+= 不含垂直于坐标轴的直线和过原点的直线一般式0=++C By Ax适用任何直线注意：特殊的方程如：垂直于x 轴的直线：a x =（a 为常数）； 垂直于y 轴的直线：b y =（b 为常数）. 例1.直线过点，若直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程为 答：x y 2=或.06=++y x 2.已知直线过点)10,5(P ,且原点到它的距离为5,则直线的方程为 答：5=x 或.02543=+-y x（4）两条直线的交点一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组1112220A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩. 若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.（5）熟记公式①),(),,(222111y x P y x P 的距离22122121)()(y y x x P P -+-=，中点M)2,2(2121y y x x ++ ②),(00y x P 到直线0=++C By Ax 的距离为=d 2200BA C By Ax +++.③两条平行直线0,021=++=++C By Ax C By Ax 的距离=d .2221BA C C +-（6）两条直线的位置关系l (2,4)P --l l l21,l l 的斜率都不存在时，21//l l ；②如果21,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，21l l ⊥. ③结论：与两平行直线0:,0:2211=++=++C By Ax l C By Ax l 等距离的直线方程是.0221=+++C C By Ax （7）直线系方程①与直线0=++C By Ax 平行的直线方程可设为)(011C C C By Ax ≠=++，垂直的直线方程可设为01=+-C Ay Bx .②b x y +=2表示一组平行的直线；2+=kx y 表示一组共点的直线，过定点)2,0(. （8）注意点1.求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在进行分类讨论.2.在用截距式时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需分类讨论.3.在判断两直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在.若两条直线都有斜率，可根据结论判断；若直线无斜率时，要单独考虑.4.在运用两平行直线间的距离公式时，一定要注意将两方程中的y x ,系数化为对应相等.（9）对称问题1.点),(111y x P 关于点),(00y x P 对称的点),(222y x P 坐标满足⎩⎨⎧-=-=10210222y y y x x x .2．若点00(,)P x y 关于直线:0l Ax By C ++=对称，设对称点是00(,)Q x y ''，则线段PQ 的中点在直线l 上且直线PQ l ⊥，由此可得一方程组0000000022()1x x y y A B C y y A x x B ''++⎧⨯+⨯+=⎪⎪⎨'-⎪⨯-=-'-⎪⎩，解这个方程组得：00,x y ''的值，从而求得对称点的坐标.3.若直线:0l Ax By C ++=关于点00(,)P x y 对称，由于对称直线必与直线:0l Ax By C ++=平行，故可设对称直线为0:0l Ax By C '++=.在直线:0l Ax By C ++=上取一点),,(111y x P 求得）111,(y x P 关于00(,)P x y 的对称点),,(222y x P 把2P 的坐标代入0:0l Ax By C '++=中求得.0C4．若直线:0l Ax By C ++=关于直线0000:0l A x B y C ++=对称，若两直线相交，先联立方程组求出交点坐标，再在直线:0l Ax By C ++=上取一点，求出这点关于直线0l 对称的点的坐标，再由两点式便可得直线l 关于直线0l 对称的直线的方程．注：光的入射反射问题和角平分线问题都和对称性有光.例（1）点)2,1(A 关于点)0,3(的对称点坐标是__________答：)2(5-，（2）点)0,4(P 关于直线02145=++y x 的对称点的坐标是__________答：)8,6(-- （3）直线0132:=+-y x l 关于点)2,1(--A 对称的直线'l 的方程是__________答：0932=--y x . （4）直线042:1=-+y x l 关于直线0143:=-+y x l 对称直线2l 的方程是__________答：.016112=++y x。

一次函数、直线和方程的关系在初中数学学习中，直线、一次函数和方程组是三大重要的学习章节，这三者之间，并不是孤立的，他们存在着息息相关、密不可分的关系。

比如，直线L 的表达式是一次函数 y=kx+b 的形式，方程组1x+b 1 的表达式也可以看成是两个一次函数组 y=k 2x+b 2成的，直线 L 的位置关系又是由方程组的解决定的。

三者之间的具体关系见下表：（两条直线：L 1 : y=k 1x+b 1 L 2 : y=k 2x+b 2）了解了三者之间的关系，就可以利用他们解决很多问题。

1、在同一直角坐标内，分别作出一次函数 y=2x+3与y=2x-3 的图像，这两个图像______交点，（填“有”或“没有”）由此可知，方程组 y=2x+3 的解的情况是y=2x-32、在同一直角坐标系内分别做出一次函数y=2x-2与2y=4x-4的图像，这两个图像的关系是，由此可知方程组的解的情况是3、若一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2的图像没有交点，则方程组x- y= -b1的解的情况是（）1x- y +b2=02A有无数组解 B有两组解 C 只有一组解 D无解4、如果一次函数y=3x+6与y=2x-4的交点坐标为（ a,b），则x=a 是方程组（）的解。

y=bA y=3x+6B 3x+6+ y=0C 3x- y=-6 D2x+ y= -42x-4- y=02x-y-4=02x- y=45、显然方程组x+y=2 没有解，由此一次函数y=2-x与y=3/2-x2x+2y=3的图像必定是（）A重合 B平行 C相交 D 无法判断只要掌握了以上三者之间的关系，解决这类问题，就会轻易二举了。

直线方程与两直线的位置关系【知识点】【1】. 直线斜率的概念：（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。

当直线和x 轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0º。

因此，直线的倾斜角α的取值范围是0º≤α＜180º。

（2）直线的斜率：倾斜角α≠90º的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k 表示，即k=tan α(α≠90º)。

（3）直线的方向向量：设F 1(x 1，y 1)、F 2(x 2，y 2)是直线上不同的两点，则向量21F F =( x 2- x 1，y 2- y 1)称为直线的方向向量。

向量21121F F x x -=(1，1212x x y y --)=(1，k)也是该直线的方向向量，k 是直线斜率。

（4）求直线斜率的方法：①定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90º，则斜率k=tan α②公式法：已知直线过两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，且x 1≠x 2，则斜率k=1212x x y y -- ③方向向量法：若a =(m ，n)为直线的方向向量，则直线的斜率为k=mn 说明：平面直角坐标系内，每一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都有斜率。

【2】. 直线方程的几种形式：（1）点斜式：）（11x x k y y -=-，其特例是：b kx y +=（斜截式）；（2）两点式：121121x x x x y y y y --=--，其特例是：1=+b y a x （截距式）； （3）一般式：0=++C By Ax （A 、B 不同时为0）说明：使用直线方程时，要注意限制条件。

如点斜式的使用条件是直线必须存在斜率；截距式的使用条件是两截距都存在且不为0；两点式的使用条件是直线不与x 轴垂直，也不与y 轴垂直。

行()1112222220A B CA B CA B CÛ=¹¹。

3） 对于特殊情况（直线平行于x 轴或垂直于x 轴时需要单独讨论）轴时需要单独讨论） 3.相交：如果两条直线斜率不同那么必然相交与一点。

相交：如果两条直线斜率不同那么必然相交与一点。

1）斜截式：111:l y k x b =+与直线222:l y k x b =+相交12k k Û¹2）一般式：直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=相交1221A B A B Û¹ 3）对于特殊情况（如果一条直线有斜率，而另一条直线没有斜率，那么这两条直线相交）。

例1：已知直线()212:260,:110l ax y l x a y a ++=+-+-=，求适合下列条件的a的取值范围。

的取值范围。

1）1l 与2l 相交；相交； 2）12//l l ； 3）1l 与2l 重合。

重合。

两条直线位置关系以及点到直线距离公式两条直线位置关系以及点到直线距离公式一、两条直线相交、平行、重合条件一、两条直线相交、平行、重合条件1. 重合：如何两条直线重合，那么化简之后的重合：如何两条直线重合，那么化简之后的方程方程是相同的，具体为：是相同的，具体为：1） 斜截式：直线111:l y k x b =+与直线222:l y k x b =+重合1212,k k b b Û==。

2） 一般式：直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=重合()1112222220A B C A B C A B C Û==¹。

3） 对于特殊情况（直线平行于x 轴或垂直于x 轴时需要单独讨论）。

2．平行：如果两条．平行：如果两条直线斜率直线斜率相同或垂直于x 轴，并且不重合，那么这两条直线就是平行的。