南安一中2015~2016学年度上学期期中考高三数学理科答题纸

南安一中2015～2016学年度上学期期中考高二·理科（历史）科试卷本试卷考试内容为：必修二1~3单元。

分第I卷（选择题）和第II卷，共8页，满分１００分，考试时间9０分钟。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名．准考证号填写在答题纸上。

2．考生作答时，请将答案答在答题纸上，在本试卷上答题无效。

按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。

3．答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整．笔迹清楚（英语科选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号）。

4．保持答题纸纸面清洁，不破损。

考试结束后，将本试卷自行保存，答题纸交回。

5．……第I卷（选择题共60分）一．选择题：本大题共30小题，每小题2分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有1项符合题目要求。

1. 孔子、孟子、董仲舒、程颐、朱熹、等人思想的共同点是（）A．“仁” B．“天人感应”Ｃ．“理”Ｄ．“格物致知”2.下列战国时期百家争鸣的主张中，反映了当时社会发展趋势的是A．民贵君轻 B．兼爱尚贤 C. 无为而治 D. 中央集权3.董仲舒的下列主张中，最符合汉武帝当时需要的是（）A．三纲五常 B．以德为主，以刑辅德Ｃ．Ｄ．天人感应，君权神授4．儒家思想成为中国正统思想，始于（）A．春秋战国时期 B．汉代Ｃ．盛唐时期 D．宋代5.右面是明代丁云鹏《三教图》能体现图片中情景的思想是（）A．先秦儒学 B．董仲舒的汉儒学Ｃ．宋明理学Ｄ．明末清初民主启蒙思潮6．明朝后期的李贽“离经叛道”，自称异端，向正统思想的挑战，文艺复兴时期的薄伽丘在《十日谈》中抨击封建道德和教会的禁欲思想，二者本质上反映（）A．资产阶级反封建的要求 B．封建君主专制统治的腐朽和没落Ｃ．资本主义萌芽时期个性解放的要求 D．城市商品经济发展市民对通俗文化的要求7．明清之际三位进步思想家的思想实质是儒家思想在新的历史条件下的活跃，他们使儒家思想更趋实事求是，与国计民生靠得更近，由此形成什么思想（）A．经世致用思想 B．君主批判思想Ｃ．自由平等思想D．重农抑商思想8．培根指出：“印刷术、火药、指南针曾改变了整个世界，变化如此之大，以至没有一个帝国，没有一个学派，没有一个显赫有名的人物，能比这三种发明在人类事业中产生更大的力量和影响。

福建省南安第一中学2015-2016学年高二上学期期末考试理数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1．()⎰=-201dx x （ ） A ．1- B ．1 错误！未找到引用源。

C ．0 D ．22．复数i i4334-+()为虚数单位i 的共轭复数对应的点位于复平面内（ ）A ．第一象限B ．第二象限错误！未找到引用源。

C ．第三象限D ．第四象限错误！未找到引用源。

3．如果复数222(32)z a a a a i =+-+-+为纯虚数，那么实数a 的值为（ ）A ．2-B ．1 错误！未找到引用源。

C ．2D ．21-或4．函数23)(23++=x ax x f ，若4)1(=-'f ，则a 的值等于( )A ．193B ．163 错误！未找到引用源。

C ．133D ．1035．下列函数求导运算正确的个数为( )①()e x x 3log 33='；②()2ln 1log 2x x ='③()x x e e ='；④x x ='⎪⎭⎫ ⎝⎛ln 1；⑤1)(+='⋅x x e e x A ．1 B ．2 错误！未找到引用源。

C ．3 D ．46．设函数()y f x =的图像如右图，则导函数'()y f x =的图像可能是下图中的( )7．如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2,AA 1=1,则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为（ ）B. C. D. 8．若直线kx y =与曲线3232y x x x =-+相切，则k 的值为（ ）A ．23B ．230或 错误！未找到引用源。

C ．2或41- D ．2 9．若函数1ln 21)(2+-=x x x f 在其定义域内的一个子区间)1,1(+-k k 内不是单调函数，则实数k 的取值范围 （ ）A ．[)+∞,1B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡23,1C ．[)2,1+D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,23 10．若120()2(),f x x f x dx =+⎰则10()f x dx =⎰（ ） A. 1- B.13- C.13D.1 11．平面几何中，若△ABC 的内切圆半径为r ，其三边长分别为,,,c b a 则△ABC 的面积r c b a S ⋅++=)(21。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作南安一中2016-2017学年度高三上学期期初考试数学（文）科试卷一．选择题：（本大题共12小题，每小题5 分，满分60分）1．若全集{}2,1,0,1-=U ，{}22<∈=x Z x A ，则=A C U A.{}2 B.{}2,0 C.{}2,1- D.{}2,0,1-2．命题“∃,∈x R 使210+<x ”的否定是A ．若,∈x R 则210+<xB ．2,10∃∈+≥x x RC ．2,10∀∈+<x x RD ．2,10∀∈+≥x x R3．已知条件p ：220+->x x ，条件q ：>x a ，若q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围可以是A ．1≥aB ．1a >C ．1≥-aD ． 2a ≤-4、已知函数()f x =4log ,03,0x x x x >⎧⎨≤⎩，则1[()]16f f = A ．19B ．19-C ．9D ．9- 5.下列式子中成立的是A.6log 4log 4.04.0<B.5.34.301.101.1>C.3.03.04.35.3<D. 7log 6log 67< 6、设()4x f x e x =+-，则函数()f x 的零点所在区间为A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)7．函数)65(log )(221+-=x x x f 的单调递减区间为A ．5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()3,+∞C ．5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ． (),2-∞ 8.设0.133,lg(sin 2),log 22a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是 A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．b c a >> 9．已知函数32,2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是A ．(1,1)-B ．(0,1)C ．(0,1]D ．(1,0)-10. 已知函数()2ln x f x x x=-，则函数()y f x =的大致图像为（ ）11.已知函数()f x 的定义域为R ，其导函数()f x '的图象如图所示，则对于任意12,x x ∈R （12x x ≠），下列结论中正确的是（ ）① ()0f x <恒成立；② 1212()[()()]0x x f x f x --<；③ 1212()[()()]0x x f x f x -->；④ 1212()()()22x x f x f x f >++； ⑤ 1212()()()22x x f x f x f <++． A . ②⑤ B . ①③④ C . ②④ D . ③⑤12. 已知()f x 为定义在(0,)+∞上的可导函数,且()'()f x xf x >恒成立,则不等式0)()1(2>-x f xf x 的解集为（ ）． A ． (0,1) B ．(1,2) C ．(1,)+∞ D ．(2,)+∞二．填空题：（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）第11题图13. 函数()()21log 2=-f x x 的定义域为____________． 14．已知函数()f x ＝232,1,,1,x x x ax x +<⎧⎨+≥⎩若((0))f f ＝4a ，则实数a ＝ 15.已知函数32()3f x x ax x =--在区间[1,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是 ．16.设()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，()-2=0f ，当0x >时，()()0xf x f x '->，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是 .三．解答题：（本大题共6小题，满分74分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知集合}.02|{},,116|{2<--=∈>+=m x x x B R x x x A (Ⅰ)当m =3时，求；()R A C B ； (Ⅱ)若}41|{<<-=x x B A ，求实数m 的值.18.设p ：实数x 满足22430x ax a -+<，q ：实数x 满足31x -<．（1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；（2）若其中0a >且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19. 求函数31()443f x x x =-+在[0,3]上的最大值与最小值.20．已知函数2()ln ()f x x ax a R x=-+∈. (Ⅰ)当1a =时,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程;(Ⅱ)若函数()y f x =在定义域内存在两个极值点，求a 的取值范围.21．设函数x e x x f 221)(=. （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若当[]2,2-∈x 时，不等式m x f <)(恒成立，求实数m 的取值范围.22. 已知函数2()2ln f x ax x =-。

福建省泉州市南安三中2015-2016学年高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．若集合A={x｜0≤x＜1},B=｛x｜x2＜2x}，则A∩B=（)A．{x|0＜x＜1} B．｛x|0≤x＜1｝C．{x|0＜x≤1｝D．｛x｜0≤x≤1}2．复数z满足z•i=3﹣i，则在复平面内,复数z对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．下列命题中正确的结论个数是(）①“p且q为真"是“p或q为真”的必要不充分条件②命题“若ab=0，则a=0或b=0”的否命题是“若ab≠0，则a≠0且b≠0"③∃x0∈R，使．A．0 B．1 C．2 D．34．已知向量=(1，2），=（1，0），=（3，4）．若λ为实数，(+λ）∥,则λ=(）A．B．C．1 D．25．在等差数列{a n}中,a9=，则数列{a n｝的前11项和S11等于（）A．24 B．48 C．66 D．1326．已知等于（)A．B．C．D．7．已知a是实数，则函数f（x)=1+asinax的图象不可能是（）A．B．C．D．8．下列函数中，既是奇函数又在区间［﹣2，2]上单调递增的是（）A．f（x）=sinx B．f(x）=a x+a﹣x（a＞0,a≠1）C．f(x）=ln D．f(x）=a x﹣a﹣x，（a＞0，a≠1)9．已知数列｛a n}通项a n=10n（n∈N＊)，,则数列{b n｝前n项和为(）A．B．C．D．10．直线y=与曲线y=2sin(x+）cos（x﹣)在y轴右侧的交点自左向右依次记为M1,M2,M3,…，则|等于（)A．6πB．7πC．12πD．13π11．已知函数f（x）=的值域是［0,2］，则实数a的取值范围是（)A．（0,1］B．[1，]C．[1，2]D．［，2]12．已知函数f（x）=（b∈R)．若存在x∈［，2］,使得f(x）+xf′（x）＞0，则实数b的取值范围是（）A．(﹣∞，) B．（﹣∞,）C．（﹣∞，3) D．（﹣∞，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．求曲线所围成图形的面积．14．设f（x)=lg（10x+1)+ax是偶函数，g(x）=是奇函数，那么a+b的值为．15．已知点P是边长为4的正三角形ABC的边BC上的中点，则•（+）=．16．已知y=sinx+cosx，给出以下四个命题：①若x∈[0，π]，则；②直线是函数y=sinx+cosx图象的一条对称轴;③在区间上函数y=sinx+cosx是增函数;④函数y=sinx+cosx的图象可由的图象向右平移个单位而得到．其中正确命题的序号为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知等比数列{a n}满足2a1+a3=3a2，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n｝的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n+log2，S n=b1+b2+…b n，求使S n﹣2n+1+47＜0 成立的正整数n的最小值．18．在用“五点法”画函数f（x）=Asinx(ωx+φ）（ω＞0，｜φ|＜)在某一周期内的图象时，列表并填人了部分数据，如表：ωx+φ0 π2πx ①2π②5π③Asin（ωx+φ）0 2 ④﹣2 0（1）请将上表中①②③④处数据补充完整，并直接写出函数f（x)的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再将所得图象向左平移π个单位，得到y=g（x）的图象，求g(x）在z∈［﹣2π,2π］时的单调递增区间．19．若函数在点P(2,f(2）)处的切线为．（1）求函数f(x)的解析式；(2）讨论方程f（x）=k实数解的个数．20．如图，在△ABC中,∠ACB为钝角，AB=2,BC=．D为AC延长线上一点,且CD=+1．（Ⅰ)求∠BCD的大小；（Ⅱ）求BD的长及△ABC的面积．21．已知数列｛a n｝的前n项和为S n，且S n=﹣1(n∈N＊）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ）在数列｛b n}中，b1=5，b n+1=b n+a n，求数列｛log9（b n﹣4）｝的前n项和T n．22．已知函数f(x）=（2﹣a）lnx++2ax（a≤0）．（Ⅰ）当a=0时，求f（x)的极值；(Ⅱ）当a＜0时，讨论f（x)的单调性;（Ⅲ）若对任意的a∈（﹣3,﹣2），x1，x2∈［1，3]，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f(x2）｜成立，求实数m的取值范围．2015-2016学年福建省泉州市南安三中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．若集合A={x｜0≤x＜1}，B=｛x｜x2＜2x}，则A∩B=(）A．｛x｜0＜x＜1} B．｛x|0≤x＜1} C．{x|0＜x≤1} D．｛x｜0≤x≤1}【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中的不等式变形得:x（x﹣2)＜0，解得:0＜x＜2，即B={x|0＜x＜2｝，∵A={x|0≤x＜1｝，∴A∩B=｛x｜0＜x＜1}．故选：A．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．复数z满足z•i=3﹣i，则在复平面内,复数z对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【解答】解:由z•i=3﹣i，得，∴复数z对应的点的坐标为(﹣1，﹣3），位于第三象限．故选：C．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．下列命题中正确的结论个数是(）①“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件②命题“若ab=0,则a=0或b=0"的否命题是“若ab≠0，则a≠0且b≠0”③∃x0∈R,使．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【专题】证明题．【分析】根据复合命题真假判断的真值表，可判断①的真假；根据否定命题即否定条件,也否定结论,及“p或q”的否定是“￢p且￢q"，可判断②；判断方程x2+2x+3=0根的个数，可判断③，进而可得答案【解答】解:①中，“p且q为真命题”⇒p，q都为真命题，⇒“p或q为真命题”，反之“p或q为真命题”时,⇒p，q至少一个为真命题，不一定⇒“p且q为真命题”，故“p且q为真”是“p或q为真”的充分不必要条件，故①错误；②中命题“若ab=0，则a=0或b=0"的否命题是“若ab≠0，则a≠0且b≠0”,故②正确；③方程x2+2x+3=0的△=4﹣12＜0，故方程无实数根，命题③错误；综上所述，三个命题中正确的命题个数为1．故选B【点评】本题考查的知识点是复合命题真假判断的真值表，四种命题，特称命题，难度不大，属于基础题型．4．已知向量=（1，2)，=（1，0），=（3，4）．若λ为实数，（+λ）∥,则λ=(）A．B．C．1 D．2【考点】平面向量共线(平行）的坐标表示．【专题】平面向量及应用．【分析】根据所给的两个向量的坐标,写出要用的+λ向量的坐标，根据两个向量平行,写出两个向量平行的坐标表示形式，得到关于λ的方程，解方程即可．【解答】解:∵向量=(1，2），=（1，0），=（3，4）．∴=（1+λ,2）∵（+λ)∥，∴4（1+λ）﹣6=0,∴故选B．【点评】本题考查两个向量平行的坐标表示，考查两个向量坐标形式的加减数乘运算，考查方程思想的应用，是一个基础题．5．在等差数列{a n｝中，a9=，则数列｛a n｝的前11项和S11等于(）A．24 B．48 C．66 D．132【考点】数列的求和．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】根据数列｛a n}为等差数列,a9=,可求得a6,利用等差数列的性质即可求得数列{a n｝的前11项和S11．【解答】解：∵列{a n}为等差数列，设其公差为d，∵a9=，∴a1+8d=(a1+11d）+6，∴a1+5d=12,即a6=12．∴数列{a n｝的前11项和S11=a1+a2+…+a11=（a1+a11)+（a2+a10）+…+（a5+a7)+a6=11a6=132．故选D．【点评】本题考查数列的求和，着重考查等差数列的通项公式，求得a6的值是关键，考查综合应用等差数列的性质解决问题的能力，属于中档题．6．已知等于（)A．B．C．D．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】计算题；转化思想；数学模型法；三角函数的求值．【分析】利用平方关系化弦为切，代入tanα=2求值．【解答】解：∵tanα=2，∴====．故选：A．【点评】本题考查同角三角函数基本关系式的应用，关键是化弦为切，是基础题．7．已知a是实数，则函数f(x）=1+asinax的图象不可能是(）A．B．C．D．【考点】正弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】函数f（x）=1+asinax的图象是一个正弦曲线型的图，其振幅为|a｜，周期为，周期与振幅成反比，从这个方向观察四个图象．【解答】解：对于振幅大于1时，三角函数的周期为：，∵|a|＞1,∴T＜2π，而D不符合要求，它的振幅大于1,但周期反而大于了2π．对于选项A,a＜1，T＞2π,满足函数与图象的对应关系，故选D．【点评】由于函数的解析式中只含有一个参数，这个参数影响振幅和周期,故振幅与周期相互制约,这是本题的关键．8．下列函数中,既是奇函数又在区间［﹣2，2]上单调递增的是(）A．f（x）=sinx B．f（x)=a x+a﹣x（a＞0，a≠1）C．f（x）=ln D．f(x）=a x﹣a﹣x，（a＞0,a≠1）【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【专题】证明题；函数思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】分别判断四个答案中是否满足既是奇函数又在［﹣2，2]上单调递增，易得到答案【解答】解：A．sinx在［]上单调递减;B．f（0）=2≠0,∴f（x）不是奇函数；C．f（﹣x)=ln=﹣ln=﹣f（x），∴f（x）是奇函数，设x1，x2∈［﹣2，2]，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=ln﹣ln=ln，∵x1＜x2，∴3+x1＜3+x2，3﹣x2＜3﹣x1，∴＜1，∴ln＜0，∴f（x1)﹣f(x2）＜0,即f(x1)＜f（x2）,∴f(x）在区间[﹣2，2］上单调递增,D．f′(x）=（a x+a﹣x）lna；∴0＜a＜1时，lna＜0，f′（x）＜0;∴f（x）单调递减．故选:C．【点评】(1）若奇函数经过原点，则必有f（0）=0，这个关系式大大简化了解题过程，要注意在解题中使用．（2）对于给出具体解析式的函数，判断或证明其在某区间上的单调性问题,可以结合定义（基本步骤为取点、作差或作商、变形、判断）求解．可导函数则可以利用导数解之．（3)运用函数的单调性是求最值（或值域)的常用方法之一，特别对于抽象函数，更值得关注．9．已知数列｛a n}通项a n=10n(n∈N*），，则数列{b n｝前n项和为（）A．B．C．D．【考点】数列的求和．【专题】计算题；转化思想;消元法；等差数列与等比数列．【分析】通过数列｛a n}通项公式及对数运算法则，裂项可知b n=（﹣）,进而并项相加即得结论．【解答】解：∵数列{a n}通项a n=10n（n∈N*），,∴b n==(﹣）,∴数列｛b n｝前n项和为（1﹣+﹣+…+﹣）=（1+﹣﹣），故选：C．【点评】本题考查数列的通项及前n项和，利用裂项相消法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．10．直线y=与曲线y=2sin(x+）cos（x﹣）在y轴右侧的交点自左向右依次记为M1，M2，M3，…，则|等于（）A．6πB．7πC．12πD．13π【考点】三角函数中的恒等变换应用．【专题】函数思想;综合法；三角函数的图像与性质．【分析】利用三角函数的诱导公式与二倍角的正弦可知y=sin2x，依题意可求得M1，M2,M3，…M13的坐标，从而可求||的值．【解答】解：∵y=2sin(x+）cos（x﹣)=2cosxsinx=sin2x,∴由题意得:sin2x=，∴2x=2kπ+或2x=2kπ+,∴x=kπ+或x=kπ+,k∈Z，∵正弦曲线y=sin2x与直线y=在y轴右侧的交点自左向右依次记为M1，M2，M3，…，∴得M1（，0）,M2(,0)，M3(π+），M4(π+）,…M13（6π+，0),∴=（6π，0），∴||=6π．故选A．【点评】本题考查了函数的零点与方程根的关系，着重考查正弦函数的性质，求得M1，M13的坐标是关键，属于中档题．11．已知函数f（x)=的值域是[0，2]，则实数a的取值范围是（)A．(0，1］B．［1,］C．[1，2］D．[，2］【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；数形结合；函数的性质及应用．【分析】画出函数的图象，令y=2求出临界值,结合图象，即可得到a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x)=的图象如下图所示：∵函数f（x）的值域是[0,2］,∴1∈[0，a]，即a≥1,又由当y=2时,x3﹣3x=0，x=（0，﹣舍去），∴a∴a的取值范围是[1,]．故选:B．【点评】本题考查分段函数及运用,考查函数的单调性及应用，考查数形结合的数学思想，是一道中档题．12．已知函数f（x）=（b∈R）．若存在x∈[，2］,使得f（x)+xf′（x）＞0,则实数b的取值范围是（）A．（﹣∞,）B．（﹣∞，）C．(﹣∞，3) D．（﹣∞，）【考点】导数的运算．【专题】导数的综合应用．【分析】求导函数，确定函数的单调性，进而可得函数的最大值，故可求实数a的取值范围．【解答】解：∵f（x）=f（x)=，x＞0,∴f′（x）==，∴f(x)+xf′（x)=﹣=,∵存在x∈[，2]，使得f（x)+xf′(x)＞0，∴1+2x（x﹣b）＞0∴b＜x+，设g（x)=x+，∴b＜g（x)max，∴g′（x）=1﹣=，当g′（x）=0时，解的x=，当g′（x）＞0时,即＜x≤2时，函数单调递增，当g′(x）＜0时，即≤x＜2时，函数单调递减,∴当x=2时，函数g（x）取最大值，最大值为g（2）=2+=∴b＜，故选:B．【点评】本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，考查函数的最值,属于中档题．二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．求曲线所围成图形的面积．【考点】定积分．【分析】先由解的x的值，再利用定积分即可求得面积．【解答】解：由，解得x=0，1．∴曲线所围成图形的面积===．故答案是．【点评】利用定积分求图形的面积是通法,一定要熟练掌握其方法步骤．14．设f(x）=lg（10x+1)+ax是偶函数,g（x）=是奇函数,那么a+b的值为．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题．【分析】由题意可得f（﹣x）=f（x)对任意的x都成立,代入整理可求a，由g（x)=是奇函数，结合奇函数的性质可知g（0）=0,代入可求b，从而可求a+b【解答】解:∵f（x）=lg（10x+1）+ax是偶函数∴f（﹣x）=f（x）对任意的x都成立∴lg(10x+1)+ax=lg（10﹣x+1）﹣ax∴=lg（10x+1）﹣x∴（2a+1)x=0∴2a+1=0即∵g(x）=是奇函数∴g(0）=1﹣b=0∴b=1∴故答案为:【点评】本题主要考查了奇偶函数的定义的应用，解题中要善于利用奇函数的性质f（0）=0(0在该函数的定义域内）可以简化基本运算．15．已知点P是边长为4的正三角形ABC的边BC上的中点，则•(+）=24．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】整体思想；向量法;平面向量及应用．【分析】由中点的向量表示形式可得=（+）,再由向量数量积的定义和性质，化简整理即可得到所求值．【解答】解:由P为边长为4的正三角形ABC的边BC上的中点，可得=（+），•=|｜•｜｜•cosA=4×4×=8，则•(+）=（+）2=（2+2+2•)=×（16+16+16）=24．故答案为:24．【点评】本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量的中点的表示形式，以及运算能力,属于基础题．16．已知y=sinx+cosx，给出以下四个命题：①若x∈[0，π]，则;②直线是函数y=sinx+cosx图象的一条对称轴；③在区间上函数y=sinx+cosx是增函数；④函数y=sinx+cosx的图象可由的图象向右平移个单位而得到．其中正确命题的序号为②④．【考点】函数y=Asin(ωx+φ）的图象变换；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性；正弦函数的对称性．【专题】计算题；综合题．【分析】函数y=sinx+cosx化为sin（x+）,然后分别求解①②③④，判断它们的正误，即可得到选项．【解答】解:函数y=sinx+cosx=sin(x+）,x∈［0，π］，y∈［﹣1．，］①错误;直线是函数y=sinx+cosx图象的一条对称轴，②正确;在区间上函数y=sinx+cosx是减函数，③不正确;④函数y=sinx+cosx的图象可由的图象向右平移个单位而得到．正确;故答案为:②④【点评】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，正弦函数的定义域和值域，正弦函数的单调性,正弦函数的对称性，考查分析问题解决问题的能力，是基础题．三、解答题:本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知等比数列｛a n｝满足2a1+a3=3a2，且a3+2是a2，a4的等差中项．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n+log2，S n=b1+b2+…b n，求使S n﹣2n+1+47＜0 成立的正整数n的最小值．【考点】等差数列与等比数列的综合；等比数列的通项公式;数列与不等式的综合．【专题】综合题．【分析】（Ⅰ)设等比数列｛a n｝的首项为a1，公比为q，根据2a1+a3=3a2，且a3+2是a2，a4的等差中项，建立方程组,从而可求数列｛a n}的通项公式；（Ⅱ）=2n﹣n，求出S n=b1+b2+…b n，再利用，建立不等式，即可求得使成立的正整数n的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列｛a n}的首项为a1,公比为q，依题意，∵2a1+a3=3a2,且a3+2是a2，a4的等差中项∴由①得q2﹣3q+2=0,解得q=1或q=2．当q=1时，不合题意舍；当q=2时，代入（2）得a1=2，所以a n=2n．…．…（6分）（Ⅱ) =2n﹣n．…．…（7分）所以S n=b1+b2+…b n=(2+22++2n)﹣（1+2+…+n)=2n+1﹣2﹣﹣n2…．…（10分）因为，所以2n+1﹣2﹣﹣n2﹣2n+1+47＜0，即n2+n﹣90＞0，解得n＞9或n＜﹣10．…．…（12分)故使成立的正整数n的最小值为10．…．（13分)【点评】本题考查等比数列的通项，考查数列的通项与求和，考查解不等式,解题的关键是确定数列的通项与和,属于中档题．18．在用“五点法”画函数f（x）=Asinx(ωx+φ)（ω＞0,|φ｜＜）在某一周期内的图象时,列表并填人了部分数据，如表:ωx+φ0 π2πx ①2π②5π③Asin(ωx+φ）0 2 ④﹣2 0（1)请将上表中①②③④处数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；（2)将y=f(x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再将所得图象向左平移π个单位，得到y=g(x）的图象,求g（x）在z∈[﹣2π，2π］时的单调递增区间．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换;正弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（1）根据用五点法作函数f(x)=Asinx（ωx+φ）的图象,求得表中①②③④处数据,并直接写出函数f（x）的解析式．(2）由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x)=2sin（x+)，再根据整弦函数的单调性求得g（x）在z∈［﹣2π,2π]时的单调递增区间．【解答】解：(1）由表格可得A=2，再根据ω•2π+φ=,ω•5π+φ=，求得ω=，φ=﹣，令x﹣=0，求得x=故①为．令x﹣=π，求得x=，Asin0=0，故②为，④为0．令x﹣=2π，求得x=，故③为．函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（x﹣）,(2）将y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到y=2sin（x﹣)，再将所得图象向左平移π个单位，得到y=g（x）=2sin［（x+π）﹣]=2sin（x+)的图象．由2kπ﹣≤x+≤2kπ+，求得4kπ﹣≤x≤4kπ+，k∈Z，故g（x）在z∈[﹣2π，2π］时的单调递增区间为[﹣，］．【点评】本题主要考查用五点法作函数f(x)=Asinx(ωx+φ）的图象，y=Asin(ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题．19．若函数在点P（2，f（2))处的切线为．（1)求函数f（x）的解析式；（2）讨论方程f（x）=k实数解的个数．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】综合题；转化思想;分类法；导数的概念及应用．【分析】（1）求得函数的导数,求得切线的斜率和切点，解方程可得a，b，进而得到f（x）的解析式；（2）求出f（x）的导数，求得单调区间和极值，结合图象，即可得到方程解的情况．【解答】解:（1)∵函数，f'（x）=x2+2ax﹣b，根据题意得f'（2)=4，即4a﹣b=0，又，即有+4a﹣2b+4=8﹣,解得，∴；（2）∵,∴f’（x)=x2+x﹣2=(x+2）(x﹣1），令f’（x)＞0解得x＜﹣2或x＞1,f’（x）＜0解得﹣2＜x＜1，即有f（x）的增区间为（﹣∞，﹣2），（1，+∞），减区间为（﹣2，1)，即有x=1处取得极小值，且为，x=﹣2处取得极大值,且为．则当k＜或k＞时，方程k=f（x）有一个解；当k=或k=时，方程k=f（x）有两个解；当＜k＜时,方程k=f（x）有三个解．【点评】本题考查导数的运用:求切线的斜率和单调区间、极值，考查数形结合的思想方法，以及运算能力，属于中档题．20．如图,在△ABC中，∠ACB为钝角，AB=2，BC=．D为AC延长线上一点，且CD=+1．（Ⅰ）求∠BCD的大小;（Ⅱ）求BD的长及△ABC的面积．【考点】余弦定理的应用．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ)利用正弦定理求出∠BCD的正弦函数值，然后求出角的大小；（Ⅱ）在△BCD中,由余弦定理可求BD的长，然后求出AC的长，即可求解△ABC的面积．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ)在△ABC中,因为，,由正弦定理可得，即,所以．因为∠ACB为钝角，所以．所以．…（6分）（Ⅱ）在△BCD中，由余弦定理可知BD2=CB2+DC2﹣2CB•DC•cos∠BCD,即，整理得BD=2．在△ABC中，由余弦定理可知BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cosA，即，整理得．解得．因为∠ACB为钝角，所以AC＜AB=2．所以．所以△ABC的面积．…．（13分)【点评】本题考查余弦定理的应用，解三角形，考查基本知识的应用．21．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=﹣1(n∈N*)．(Ⅰ）求数列｛a n}的通项公式；（Ⅱ）在数列｛b n｝中,b1=5，b n+1=b n+a n，求数列｛log9（b n﹣4）｝的前n项和T n．【考点】数列的求和;数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（I）利用递推公式、等比数列的前n项和公式即可得出．（II）利用“累加求和”、等比数列与等差数列的前n项和公式、对数的运算性质即可得出．【解答】解:（I）∵S n=﹣1（n∈N*）,∴当n=1时,a1=﹣1,解得a1=2．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣，化为：a n=3a n﹣1．∴数列｛a n}是等比数列，首项为2,公比为3．∴a n=2•3n﹣1．（II）∵b n+1=b n+a n，∴b n+1﹣b n=2×3n﹣1．∴b n=（b n﹣b n﹣1）+（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+（b2﹣b1）+b1=2×(3n﹣2+3n﹣3+…+3+1）+5=2×+5=3n﹣1+4．∴log9(b n﹣4）==．∴数列{log9（b n﹣4）}的前n项和T n==．【点评】本题考查了递推关系的应用、“累加求和”、等比数列与等差数列的前n项和公式、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22．已知函数f（x）=（2﹣a）lnx++2ax（a≤0)．(Ⅰ)当a=0时，求f(x）的极值；（Ⅱ）当a＜0时，讨论f（x)的单调性；（Ⅲ）若对任意的a∈（﹣3，﹣2)，x1,x2∈［1，3]，恒有(m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）｜成立，求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）当a=0时,f（x）=2lnx+，求导，令f′(x）=0，解方程，分析导数的变化情况，确定函数的极值；（Ⅱ）当a＜0时，求导，对导数因式分解,比较两根的大小,确定函数f(x)单调区间;(Ⅲ）若对任意a∈(﹣3，﹣2）及x1，x2∈[1，3］，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）｜成立，求函数f（x）的最大值和最小值，解不等式，可求实数m的取值范围．【解答】解:（Ⅰ）依题意知f（x）的定义域为（0，+∞)，当a=0时，f（x）=2lnx+，f′（x）=﹣=，令f′（x）=0,解得x=，当0＜x＜时，f′（x）＜0；当x≥时，f′(x)＞0又∵f（)=2ln=2﹣2ln2∴f（x）的极小值为2﹣2ln2，无极大值．（Ⅱ)f′（x）=﹣+2a=,当a＜﹣2时,﹣＜，令f′（x）＜0 得0＜x＜﹣或x＞，令f′（x）＞0 得﹣＜x＜;当﹣2＜a＜0时，得﹣＞，令f′（x)＜0 得0＜x＜或x＞﹣，令f′(x）＞0 得＜x＜﹣；当a=﹣2时，f′（x)=﹣≤0，综上所述，当a＜﹣2时f（x）,的递减区间为（0，﹣）和（，+∞),递增区间为(﹣，）；当a=﹣2时，f（x）在（0，+∞）单调递减；当﹣2＜a＜0时,f（x）的递减区间为（0，)和（﹣，+∞），递增区间为（，﹣)．（Ⅲ）由（Ⅱ）可知,当a∈（﹣3,﹣2）时,f（x）在区间［1，3]上单调递减，当x=1时，f（x）取最大值；当x=3时，f（x）取最小值；|f(x1）﹣f(x2）｜≤f（1）﹣f（3）=（1+2a）﹣[（2﹣a）ln3++6a]=﹣4a+（a﹣2）ln3，∵（m+ln3）a﹣ln3＞｜f（x1）﹣f（x2）｜恒成立，∴（m+ln3）a﹣2ln3＞﹣4a+(a﹣2）ln3整理得ma＞﹣4a，∵a＜0，∴m＜﹣4恒成立，∵﹣3＜a＜﹣2，∴﹣＜﹣4＜﹣，∴m≤﹣．【点评】考查利用导数研究函数的极值、单调性和最值问题，在求函数的单调区间时，体现了分类讨论的思想方法；恒成立问题,转化为函数的最值问题，体现了转化的思想．属难题．。

2014-2015学年福建省泉州市南安一中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，B={3，4，5}，图中阴影部分所表示的集合为（）A．{3}B．{1，2}C．{4，5}D．{1，2，3，4，5}2．（5分）在复平面上，复数z=对应点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）函数f（x）=log2x+x﹣4的零点所在的区间是（）A． B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）4．（5分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积等于（）A．12πcm2B．15πcm2C．24πcm2D．30πcm25．（5分）“m=1”是“直线mx+y+2=0与直线x+my﹣1=0相互平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若α⊥β，l∥α，则l⊥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若l⊥α，l⊥β，则α∥β7．（5分）设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则+的最小值（）A．2 B．C．4 D．88．（5分）已知函数f（x）=log a（x+b）的大致图象如图，其中a，b为常数，则函数g（x）=a x+b的大致图象是（）A． B．C．D．9．（5分）已知向量，均为单位向量，若它们的夹角是60°，则|﹣3|等于（）A．3 B．2 C． D．10．（5分）已知，则的值是（）A．B．C．D．11．（5分）设曲线y=x n+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，则x1•x2•…•x n的值为（）A．B． C． D．112．（5分）定义运算：=a1b2﹣a2b1，将函数的图象向左平移t（t＞0）个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则t的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分．13．（4分）若等差数列{a n}的前5项之和S5=25，且a2=3，则a6=．14．（4分）已知实数x，y满足，则Z=2x+3y的最小值是．15．（4分）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC 的面积为，则b=．16．（4分）在一次研究性学习中小李同学发现，以下几个式子的值都等于同一个常数M：①sin213°+cos217°﹣sin 13°cos 17°=M；②sin215°+cos215°﹣sin 15°cos 15°=M；③sin218°+cos212°﹣sin 18°cos 12°=M；④sin2（﹣18°）+cos248°﹣sin（﹣18°）cos 48°=M；⑤sin2（﹣25°）+cos255°﹣sin（﹣25°）cos 55°=M；请计算出M值，并将该同学的发现推广为一个三角恒等式．．三、解答题：本大题6小题，满分74分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（12分）已知三棱柱ADF﹣BCE中，DF⊥平面ABCD，AD=DC，G是DF的中点（Ⅰ）求证：BF∥平面ACG；（Ⅱ）求证：平面ACG⊥平面BDF．18．（12分）已知直线l与直线x+y﹣2=0垂直，且过点（2，1）（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）若圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l被该圆所截得的弦长为，求圆C的标准方程．19．（12分）已知，且f（x）=．（I）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若（a+2c）cosB=﹣bcosA 成立，求f（A）的取值范围．20．（12分）等差数列{a n}的各项均为正数，a1=3，前n项和为S n，{b n}为等比数列，b1=1，且b2S2=64，b3S3=960．（1）求a n与b n；（2）求和：．21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC=PD=2，E为PC的中点，CB=3CG（Ⅰ）求证：PC⊥BC；（Ⅱ）求三棱锥C﹣DEG的体积；（Ⅲ）AD边上是否存在一点M，使得PA∥平面MEG．若存在，求AM的长；若不存在，说明理由．22．（14分）已知函数f（x）=ax﹣（2a﹣1）lnx+b．（Ⅰ）若f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=x，求实数a、b的值；（Ⅱ）当a＞0时，讨论f（x）的单调性；（Ⅲ）当a=1时，f（x）在区间上恰有一个零点，求实数b的取值范围．2014-2015学年福建省泉州市南安一中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，B={3，4，5}，图中阴影部分所表示的集合为（）A．{3}B．{1，2}C．{4，5}D．{1，2，3，4，5}【解答】解：图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合A中，但不在集合B 中．由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（C U B）∩A，又全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，B={3，4，5}，∵C U B={1，2}，∴（C U B）∩A={1，2}．则图中阴影部分表示的集合是：{1，2}．故选：B．2．（5分）在复平面上，复数z=对应点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：z==2﹣i，对应的点位（2，﹣1），在第四象限．故选：D．3．（5分）函数f（x）=log2x+x﹣4的零点所在的区间是（）A． B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【解答】解：∵连续函数f（x）=log2x+x﹣4在（0，+∞）上单调递增∵f（2）=﹣1＜0，f（3）=log23﹣1＞0∴f（x）=log2x+x﹣4的零点所在的区间为（2，3）故选：C．4．（5分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积等于（）A．12πcm2B．15πcm2C．24πcm2D．30πcm2【解答】解：该几何体为圆锥，故其表面积为S=5×6×π+π×32=24π，故选：C．5．（5分）“m=1”是“直线mx+y+2=0与直线x+my﹣1=0相互平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：m=1时，直线mx+y+2=0与直线x+my﹣1=0相互平行，是充分条件，若直线mx+y+2=0与直线x+my﹣1=0相互平行，则m=±1，不是必要条件，故选：A．6．（5分）设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若α⊥β，l∥α，则l⊥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若l⊥α，l⊥β，则α∥β【解答】解：若l∥α，l∥β，则α与β相交或平行，故A错误；若α⊥β，l∥α，则l与β相交、平行或l⊂β，故B错误；若α⊥β，l∥α，则l与β相交、平行或l⊂β，故C错误；若l⊥α，l⊥β，则由平面与平面平行的判定定理知α∥β，故D正确．故选：D．7．（5分）设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则+的最小值（）A．2 B．C．4 D．8【解答】解：∵a＞0，b＞0，是3a与3b的等比中项，∴，化为3a+b=3，化为a+b=1．则+=（a+b）=2+=4，当且仅当a=b=时取等号，∴+的最小值是4．故选：C．8．（5分）已知函数f（x）=log a（x+b）的大致图象如图，其中a，b为常数，则函数g（x）=a x+b的大致图象是（）A． B．C．D．【解答】解：由函数f（x）=log a（x+b）的图象为减函数可知0＜a＜1，f（x）=log a（x+b）的图象由f（x）=log a x向左平移可知0＜b＜1，故函数g（x）=a x+b的大致图象是B故选：B．9．（5分）已知向量，均为单位向量，若它们的夹角是60°，则|﹣3|等于（）A．3 B．2 C． D．【解答】解：∵向量，均为单位向量，且夹角是60°，∴|﹣3|====故选：D．10．（5分）已知，则的值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵cos（α﹣）+sinα=cosα+sinα=，∴cosα+sinα=，∴sin（α﹣）=sinαcos﹣cosαsin=﹣（cosα+sinα）=﹣．故选：D．11．（5分）设曲线y=x n+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，则x1•x2•…•x n的值为（）A．B． C． D．1【解答】解：对y=x n+1（n∈N*）求导得y′=（n+1）x n，令x=1得在点（1，1）处的切线的斜率k=n+1，在点（1，1）处的切线方程为y﹣1=k（x n﹣1）=（n+1）（x n﹣1），不妨设y=0，则x1•x2•x3…•x n=××，故选：B．12．（5分）定义运算：=a1b2﹣a2b1，将函数的图象向左平移t（t＞0）个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则t的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵定义运算：=a1b2﹣a2b1，∴函数==2=2sin（2x+）．∴函数f（x）的图象向左平移t（t＞0）个单位，所得函数解析式为：g（x）=2sin[2（x+t）+]．∵g（x）=2sin[2（x+t）+]为奇函数，∴g（﹣x）=﹣g（x），∴，k∈Z．∴，k∈Z．∵t＞0，∴t的最小值为．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分．13．（4分）若等差数列{a n}的前5项之和S5=25，且a2=3，则a6=11．【解答】解：等差数列{a n}的前5项之和S5=25，∴S5===5a3=25，∴a3=5，又∵a2=3，∴公差d=5﹣3=2，∴a6=a3+3d=5+3×2=11故答案为：1114．（4分）已知实数x，y满足，则Z=2x+3y的最小值是9．【解答】解：易判断公共区域为三角形区域，如图所示：三个顶点坐标为A（3，7）、B（3，1）、C（6，4），将B（3，1）代入z=2x+3y得到最大值为9．故答案为：9．15．（4分）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，则b=．=acsinB，△ABC的面积为，a=3，B=，【解答】解：∵S△ABC∴×3c×=，即c=1，∴a=3，c=1，cosB=，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=9+1﹣3=7，则b=．故答案为：16．（4分）在一次研究性学习中小李同学发现，以下几个式子的值都等于同一个常数M：①sin213°+cos217°﹣sin 13°cos 17°=M；②sin215°+cos215°﹣sin 15°cos 15°=M；③sin218°+cos212°﹣sin 18°cos 12°=M；④sin2（﹣18°）+cos248°﹣sin（﹣18°）cos 48°=M；⑤sin2（﹣25°）+cos255°﹣sin（﹣25°）cos 55°=M；请计算出M值，并将该同学的发现推广为一个三角恒等式．sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinα•cos（30°﹣α）=．【解答】解：由②得常数为，所以由归纳推理可得推广为一般规律的等式：sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sin α•cos （30°﹣α）=．故答案为：sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sin α•cos（30°﹣α）=．三、解答题：本大题6小题，满分74分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（12分）已知三棱柱ADF﹣BCE中，DF⊥平面ABCD，AD=DC，G是DF的中点（Ⅰ）求证：BF∥平面ACG；（Ⅱ）求证：平面ACG⊥平面BDF．【解答】证明：（Ⅰ）设AC、BD相交于点O，连结OG，∵AD=DC∴ABCD为菱形，∴O为BD的中点，∵G是FD的中点，∴OG∥BF；又∵OG⊂平面AGCBF⊄平面AGC，∴BF∥平面ACG…（6分）（Ⅱ）∵ABCD为菱形，∴AC⊥BD，又∵DF⊥平面ABCDAC⊂平面ABCD，∴DF⊥AC；又∵BD∩DF=DBD、DF⊂平面BDF，∴AC⊥平面BDF，又∵AC⊂平面ACG，∴平面ACG⊥平面BDF．…（12分）18．（12分）已知直线l与直线x+y﹣2=0垂直，且过点（2，1）（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）若圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l被该圆所截得的弦长为，求圆C的标准方程．【解答】解：（Ⅰ）∵l与x+y﹣2=0垂直，∴斜率k l=1；∵l过点（2，1），∴l的方程y﹣1=（x﹣2），即y=x﹣1．（Ⅱ）设圆的标准方程为（x﹣a）2+y2=r2，由题意可得，解得：a=3，r=2，可得圆的标准方程为（x﹣3）2+y2=4．19．（12分）已知，且f（x）=．（I）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若（a+2c）cosB=﹣bcosA 成立，求f（A）的取值范围．【解答】解：（I）f（x）==2cos2x+2sinxcosx=2sin（2x+）+1，故函数的周期为π．令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，可得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈z，故函数的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z．（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得（sinA+2sinC）cosB=﹣sinBcosA，即sinAcosB+2sinCcosB=﹣sinBcosA，sinAcosB+sinBcosA=﹣2sinCcosB，即sin（A+B）=﹣2sinCcosB，∴cosB=﹣，B=，∴f（A）=2sin（2A+）+1．由于0＜A＜，∴＜2A+＜，＜sin（2A+）≤1，2＜f（A）≤3，故f（A）的取值范围为（2，3]．20．（12分）等差数列{a n}的各项均为正数，a1=3，前n项和为S n，{b n}为等比数列，b1=1，且b2S2=64，b3S3=960．（1）求a n与b n；（2）求和：．【解答】解：（1）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则d为正整数，a n=3+（n ﹣1）d，b n=q n﹣1依题意有①解得，或（舍去）故a n=3+2（n﹣1）=2n+1，b n=8n﹣1（2）S n=3+5+…+（2n+1）=n（n+2）∴===21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC=PD=2，E为PC的中点，CB=3CG（Ⅰ）求证：PC⊥BC；（Ⅱ）求三棱锥C﹣DEG的体积；（Ⅲ）AD边上是否存在一点M，使得PA∥平面MEG．若存在，求AM的长；若不存在，说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC又∵ABCD是正方形∴BC⊥CD∵PD∩CD=D∴BC⊥平面PCD…（3分）又∵PC⊂面PBC（Ⅱ）解：∵BC⊥平面PCD，∴GC是三棱锥G﹣DEC的高…（5分）∵E是PC的中点，∴…（6分）∴…（8分）（Ⅲ）解：连结AC，取AC中点O，连结EO，GO，延长GO交AD于点M，则PA∥平面MEG…（9分）下面证明之∵E为PC的中点，O是AC的中点，∴EO∥PA，…（10分）又∵EO⊂平面MEG，PA⊄平面MEG∴PA∥平面MEG…（11分）在正方形ABCD中，∵O是AC的中点，∴△OCG≌△OAM，∴，∴所求AM的长为．…（12分）22．（14分）已知函数f（x）=ax﹣（2a﹣1）lnx+b．（Ⅰ）若f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=x，求实数a、b的值；（Ⅱ）当a＞0时，讨论f（x）的单调性；（Ⅲ）当a=1时，f（x）在区间上恰有一个零点，求实数b的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）…（1分）依题意，…（2分）（Ⅱ）f（x）的定义域为（0，+∞），=①当时，恒有f'（x）＞0故f（x）的单调递增区间为（0，+∞）…（5分）②当时，，令f'（x）=0得，，…（6分）f（x）及f'（x）的值变化情况如下表：…（8分）故f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为…（9分）（Ⅲ）当a=1时，f（x）=x﹣lnx+b，由（Ⅱ）知，f（x）在（0，1）为减函数，在（1，+∞）为增函数，∴f（x）的最小值为f（1）=1+b．…（10分）∵，f（e）=e﹣1+b，∴即：…（11分），∵f（x）在区间上恰有一个零点，∴即：…（13分）解得：b=﹣1或…（14分）赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nna a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,mm m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aMM N N-=③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数图象定义域 (0,)+∞值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x O(1,0)xO (1,0)。

2014-2015学年福建省泉州市南安一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．（5分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i2．（5分）已知向量=（1，1），=（3，m），∥（+），则m=（）A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．33．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A．2 B．C．D．34．（5分）设a=log32，b=ln2，c=5，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．c＜a＜b5．（5分）设f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，f（x+2）=﹣f（x），当0≤x ≤1时，f（x）=x，则f（7.5）等于（）A．0.5 B．﹣0.5 C．1.5 D．﹣1.56．（5分）下列关于命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“a=2”是“函数f（x）=log a x在区间（0，+∞）上为增函数”的充分不必要条件C．若命题P：∃n∈N，2n＞1000，则￢P：∀n∈N，2n≤1000D．命题“∃x∈（﹣∞，0），2x＜3x”是真命题7．（5分）函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．8．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（其中A＞0，|ω|＜）的图象如图所示，为得到g（x）=sin3x的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度9．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中为真命题的个数（）①若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β；②若α⊥β，m⊄α，m⊥β，则m∥α；③若m⊥β，m⊂α，则α⊥β；④若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个10．（5分）已知函数y=f（x）对任意的x满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式成立的是（）A．f（0）＞f（） B．f（0）＜2f（）C．f（﹣）D．f（）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．11．（4分）设数列{a n}是等差数列，a1+a2+a3=﹣24，a19=26，则此数列{a n}前20项和等于．12．（4分）如图，已知幂函数y=x a的图象过点P（2，4），则图中阴影部分的面积等于．13．（4分）若△ABC的面积为，BC=2，C=60°，则角A为．14．（4分）已知，若对任意x1∈[0，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是．15．（4分）已知P是函数y=f（x）（x∈[m，n]）图象上的任意一点，M，N该图象的两个端点，点Q满足=，•=0（其中0＜λ＜1，为x轴上的单位向量），若||≤T （T为常数）在区间[m，n]上恒成立，则称y=f（x）在区间[m，n]上具有“T级线性逼近”．现有函数：①y=x+1；②y=；③y=x2；④y=x3．则在区间[1，2]上具有“级线性逼近”的函数的是（填写符合题意的所有序号）．三、解答题：本大题共5小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（13分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=2a n﹣1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n=a n﹣n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．17．（13分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．（Ⅰ）求证：A1B∥平面ADC1；（Ⅱ）求平面ADC1与ABA1所成二面角的平面角的正弦值．18．（13分）已知函数f（x）=sin2x﹣2cos2x+m的图象经过点（，0）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及最大值；（Ⅱ）若f（）=，α∈（0，），求sinα的值．19．（13分）已知=（sinx，2cosx），=（2cosx，﹣cosx），函数f（x）=﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和对称轴的方程；（Ⅱ）设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，f（A）=0，求b+c 的取值范围．20．（14分）已知函数f（x）=x+alnx在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，函数g（x）=f（x）+x2﹣bx．（1）求实数a的值；（2）若函数g（x）存在单调递减区间，求实数b的取值范围；（3）设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若b≥，求g（x1）﹣g （x2）的最小值．【选修4-2：矩阵与变换】21．（7分）已知矩阵A=（）的两个特征值为6和1，（Ⅰ）求a，b的值（Ⅱ）求矩阵A﹣1．【选修4-4：坐标系与参数方程】22．（7分）在平面直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为（θ为参数，r＞0），以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为=1，（Ⅰ）写出圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）若圆C上的点到直线l的最大距离为3，求半径r的值．【选修4-5：不等式选讲】23．选修4﹣2：矩阵与变换若a，b，c为正实数且满足a+2b+3c=6，（1）求abc的最大值；（2）求++的最大值．2014-2015学年福建省泉州市南安一中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．（5分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i【解答】解：∵复数z满足（3+4i）z=25，则z====3﹣4i，故选：A．2．（5分）已知向量=（1，1），=（3，m），∥（+），则m=（）A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．3【解答】解：因为向量=（1，1），，所以=（4，1+m）；又，所以1×（1+m）﹣1×4=0，解得m=3．故选：D．3．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A．2 B．C．D．3【解答】解：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：V==3⇒x=3．故选：D．4．（5分）设a=log32，b=ln2，c=5，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．c＜a＜b【解答】解：∵1=lne＞b=ln2＞a=log32＞log31=0，，∴a＜b＜c．故选：A．5．（5分）设f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，f（x+2）=﹣f（x），当0≤x ≤1时，f（x）=x，则f（7.5）等于（）A．0.5 B．﹣0.5 C．1.5 D．﹣1.5【解答】解：∵f（x+2）=﹣f（x），∴可得f（x+4）=f（x），∵f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x）．∴故f（7.5）=f（﹣0.5）=﹣f（0.5）=﹣0.5．故选：B．6．（5分）下列关于命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“a=2”是“函数f（x）=log a x在区间（0，+∞）上为增函数”的充分不必要条件C．若命题P：∃n∈N，2n＞1000，则￢P：∀n∈N，2n≤1000D．命题“∃x∈（﹣∞，0），2x＜3x”是真命题【解答】解：因为命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，所以A正确；由a=2能得到函数f（x）=log a x在区间（0，+∞）上为增函数，反之，函数f（x）=log a x在区间（0，+∞）上为增函数，a不一定大于2，所以“a=2”是“函数f（x）=log a x在区间（0，+∞）上为增函数”的充分不必要条件，所以选项B正确；命题P：∃n∈N，2n＞1000，的否定为￢P：∀n∈N，2n≤1000，所以选项C正确；因为当x＜0时恒有2x＞3x，所以命题“∃x∈（﹣∞，0），2x＜3x”为假命题，所以D不正确．故选：D．7．（5分）函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：函数的定义域为{x|x≠0}，排除A．当x→﹣∞时，y→+∞，排除B，当x→+∞时，x3＜3x﹣1，此时y→0，排除D，故选：C．8．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（其中A＞0，|ω|＜）的图象如图所示，为得到g（x）=sin3x的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【解答】解：∵选项只与平移有关，没有改变函数图象的形状，故ω=3，又函数的图象的第二个点是（，0）∴3×φ=π于是，∴函数的图形要向右平移个单位，故选：B．9．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中为真命题的个数（）①若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β；②若α⊥β，m⊄α，m⊥β，则m∥α；③若m⊥β，m⊂α，则α⊥β；④若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】解：①若m⊥α，m∥n，n∥β，则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故①正确；②若α⊥β，m⊄α，m⊥β，则由直线与平面平行的判定定理得m∥α，故②正确；③若m⊥β，m⊂α，则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故③正确；④若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n相交、平行或异面，故④错误．故选：D．10．（5分）已知函数y=f（x）对任意的x满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式成立的是（）A．f（0）＞f（） B．f（0）＜2f（）C．f（﹣）D．f（）【解答】解：构造函数g（x）=，则g′（x）==，∵对任意的x∈（﹣，）满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0，∴g′（x）＞0，即函数g（x）在x∈（﹣，）单调递增，∵g（0）＜g（），即＜，∴f（0）＜f（），故A错误，∵g（0）＜g（），即＜，∴f（0）＜2f（）．故B正确．∵g（﹣）＜g（﹣），即＜，∴f（﹣）＜f（﹣），故C错误．∵g（）＞g（），即＞，∴f（）＞f（），故D错误，故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．11．（4分）设数列{a n}是等差数列，a1+a2+a3=﹣24，a19=26，则此数列{a n}前20项和等于180．【解答】解：由等差数列的性质可得：a1+a2+a3=3a2=﹣24，即a2=﹣8，故a2+a19=﹣8+26=18，由等差数列的求和公式可得：数列{a n}前20项和S20==10（a1+a20）=10（a2+a19）=10×18=180．故答案为：18012．（4分）如图，已知幂函数y=x a的图象过点P（2，4），则图中阴影部分的面积等于．【解答】解：∵幂函数y=x a的图象过点P（2，4），∴4=2a，∴a=2∴幂函数为y=x2，∴阴影部分的面积等于x2dx==故选答案为．13．（4分）若△ABC的面积为，BC=2，C=60°，则角A为30°．【解答】解：∵三角形面积为2，BC=a=2，C=60°，=absinC=×2×b×=2，即b=4，∴S△ABC∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=4+16﹣8=12，即c=2，∴由正弦定理=得：sinA===，∵a＜c，∴A＜C，∴A=30°．故答案为：30°14．（4分）已知，若对任意x1∈[0，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是m．【解答】解：若对任意x1∈[0，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）成立成立只需f（x）min≥g（x）min，∵x1∈[0，2]，f（x）=x2∈[0，4]，即f（x）min=0x2∈[1，2]，g（x）=∈[，]∴g（x）min=∴0∴m故答案为：m15．（4分）已知P是函数y=f（x）（x∈[m，n]）图象上的任意一点，M，N该图象的两个端点，点Q满足=，•=0（其中0＜λ＜1，为x轴上的单位向量），若||≤T （T为常数）在区间[m，n]上恒成立，则称y=f（x）在区间[m，n]上具有“T级线性逼近”．现有函数：①y=x+1；②y=；③y=x2；④y=x3．则在区间[1，2]上具有“级线性逼近”的函数的是①②③（填写符合题意的所有序号）．【解答】解：①M（1，2），N（2，3），设，μ∈[0，1]，则P（1+μ，2+μ）．∵点Q满足=，•=0（其中0＜λ＜1，为x轴上的单位向量），∴Q（1+λ，2+λ），∴μ﹣λ=0．∴=，∴||≤在区间[1，2]上恒成立，即y=x+1在区间[1，2]上具有“级线性逼近”的函数．同理可得②③在区间[1，2]上具有“级线性逼近”的函数．故答案为：①②③．三、解答题：本大题共5小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（13分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=2a n﹣1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n=a n﹣n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）∵S n=2a n﹣1，令n=1，解得a1=1．（2分）∵S n=2a n﹣1，∴…（3分）两式相减得a n=2a n﹣1，…（5分）∴{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，…（6分）∴．…（7分）（Ⅱ）解：∵b n=a n﹣n，，…（8分）=（20+21+…+2n﹣1）﹣（1+2+…+n）…（10分）=…（13分）（说明：等比求和正确得（2分），等差求和正确得1分）17．（13分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．（Ⅰ）求证：A1B∥平面ADC1；（Ⅱ）求平面ADC1与ABA1所成二面角的平面角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：连接A1C，交C1A于E，则E为A1C的中点，又点D是BC 的中点，所以DE∥A1B，…（3分）又DE⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，故A1B∥平面ADC1．…（5分）（Ⅱ）解：如图建立空间直角坐标系A﹣xyz，则A（0，0，0），C（0，2，0），D（1，1，0），C1（0，2，4），…（6分）=（0，2，0）是平面ABA1的一个法向量，…（7分）设平面ADC1的法向量=（x，y，z）．∵=（1，1，0），=（0，2，4），∴．取z=1，得y=﹣2，x=2∴平面ADC1的法向量=（2，﹣2，1），…（9分）平面ADC1与ABA1所成的二面角为θ，∴|cosθ|=||=．…（11分）从而sinθ=，即平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值为…（13分）18．（13分）已知函数f（x）=sin2x﹣2cos2x+m的图象经过点（，0）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及最大值；（Ⅱ）若f（）=，α∈（0，），求sinα的值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sin2x﹣cos2x﹣1+m，∴f（）=sin﹣cos﹣1+m=m﹣1=0，即m=1，∴f（x）=sin（2x﹣），∴当2x﹣=+2kπ，即x=+kπ，k∈Z时，f（x）取最大值；（Ⅱ）f（）=sin（α﹣）=，∴sin（α﹣）=，∵α∈（0，），∴α﹣∈（﹣，），∴cos（α﹣）==，∴sinα=sin[（α﹣）+]=[sin（α﹣）+cos（α﹣）]=×（+）=．19．（13分）已知=（sinx，2cosx），=（2cosx，﹣cosx），函数f（x）=﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和对称轴的方程；（Ⅱ）设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，f（A）=0，求b+c 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得==．…（2分）故f（x）的最小正周期为π，…（3分）由（k∈Z）得对称轴的方程为．…（4分）（Ⅱ）由f（A）=0得，即，∵，∴，∴，…（6分）由正弦定理得=…（8分）∵，∴，∴，∴b+c的取值范围为（1，2]．…（10分）20．（14分）已知函数f（x）=x+alnx在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，函数g（x）=f（x）+x2﹣bx．（1）求实数a的值；（2）若函数g（x）存在单调递减区间，求实数b的取值范围；（3）设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若b≥，求g（x1）﹣g （x2）的最小值．【解答】解：（1）∵f（x）=x+alnx，∴f′（x）=1+，∵f（x）在x=1处的切线l与直线x+2y=0垂直，∴k=f′（x）|x=1=1+a=2，解得a=1．（2）∵g（x）=lnx+﹣（b﹣1）x，∴g′（x）=，x＞0，由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，即x++1﹣b＜0有解，∵定义域x＞0，∴x+≥2，x+＜b﹣1有解，只需要x+的最小值小于b﹣1，∴2＜b﹣1，解得实数b的取值范围是{b|b＞3}．（3）∵g（x）=lnx+﹣（b﹣1）x，∴g′（x）==0，∴x1+x2=b﹣1，x1x2=1∴g（x1）﹣g（x2）=ln﹣（﹣）∵0＜x1＜x2，∴设t=，0＜t＜1，令h（t）=lnt﹣（t﹣），0＜t＜1，则h′（t）=﹣＜0，∴h（t）在（0，1）上单调递减，又∵b≥，∴（b﹣1）2≥，∵0＜t＜1，∴4t2﹣17t+4≥0，∴0＜t≤，h（t）≥h（）=﹣2ln2，故所求的最小值为﹣2ln2．【选修4-2：矩阵与变换】21．（7分）已知矩阵A=（）的两个特征值为6和1，（Ⅰ）求a，b的值（Ⅱ）求矩阵A﹣1．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴矩阵A的特征多项式为：=λ2﹣（b+3）λ+3b﹣2a．∵矩阵的两个特征值为6和1，∴1和6是方程f（λ）=0的两个根．即：λ2﹣（b+3）λ+3b﹣2a=0．∴由韦达定理有，∴．（Ⅱ）∵A=，∴detA=3×4﹣2×3=6，∴A﹣1==．【选修4-4：坐标系与参数方程】22．（7分）在平面直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为（θ为参数，r＞0），以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为=1，（Ⅰ）写出圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）若圆C上的点到直线l的最大距离为3，求半径r的值．【解答】解：（Ⅰ）由圆C 的参数方程为（θ为参数，r ＞0），利用sin 2θ+cos 2θ=1可得圆C 的普通方程为：，由直线l 的极坐标方程为=1，展开为=1，∴直线l 的直角坐标方程为：x +y ﹣=0．（Ⅱ）圆C 的圆心C到l 的距离d==2，圆C 上的点到l 的距离的最大值为d +r=3． ∴r=1．【选修4-5：不等式选讲】23．选修4﹣2：矩阵与变换若a ，b ，c 为正实数且满足a +2b +3c=6， （1）求abc 的最大值； （2）求++的最大值．【解答】解：（1）∵6=a +2b +3c ≥3，∴abc ≤当且仅当a=2b=3c 即a=2，b=1，c=时等号成立， ∴abc 的最大值为；（2）由柯西不等式，∵×1+×1+×1≤=3，当且仅当a +1=2b +1=3c +1即a=2，b=1，c=时等号成立， ∴++的最大值为3．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n 是偶数时，正数a 的正的n表示，负的n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a NaN =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质定义域 (0,)+∞值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<变化对图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x O(1,0)xO (1,0)。

南安一中2015～2016学年度上学期期中考高三数学理科参考答案一．选择题：（1）B 【解析】 ∵(1)2i z i -=，∴211iz i i==-+-，∴ z 对应的点为(1,1)-，在第二象限． （2）B 【解析】(1,)A =+∞，(,0)(3,)B =-∞⋃+∞， [0,3]R C B =，()(1,3]R A C B ⋂=， 选B ． （3）B 【解析】∵0x <，∴0x ->，3()()ln(1)f x x x -=--+，∴3()()l n (1)f x f x x x =-=++（4）A 【解析】由三角形中大边对大角和正弦定理，sin sin A B a b A B >⇔>⇔>．故选A（5）D 【解析】θ终边在12y x =上，1tan 2θ=，故22222211cos sin 1tan 34cos 21cos sin 1tan 514θθθθθθθ---====+++． （6）A 【解析】0.4log 80<，113231222<<<，23423log 8log 22==，故b c a <<．故选A ．（7）B 【解析】()x f 关于⎪⎭⎫⎝⎛03，π对称，又周期22T ππ==，∴对称轴是342T T x k π=++，即7122k x ππ=+，Z k ∈，当0k =时，712x π=．故选B ． （8）A 【解析】函数图象过原点，所以D 排除；当0x <时函数是负数，C 函数原点左侧为正数，所以C 排除；B 函数有无数多个零点，且所以B 排除，而A 都满足，故选A ．（9）C 【解析】设M 为BC 中点，1|||2OB OC -= ∴ ||||CB AM =，∴ABC ∆为直角三角形．故选C （10）D 【解析】 由4sin(21)y x =-和y x =两图象在[2,4]无交点．故选D ．（11）B 则13R =⋅，即a =，2h R =，故正三棱柱的体积2)2V R =⋅=∴ 1R =，故球的体积为34433V R ππ==球，故选B ． （12）B其中SA ⊥底面ABCD ，,AD AB BC AB ⊥⊥，1AD =，2SA AB BC ===，经计算知最长棱为SC =B ．二．填空题：（13）2- 【解析】根据题意有(3)()f x f x +=-，从而求得函数是周期函数，且周期为6，所以(2015)(1)(1)2f f f =-=-=，所以(1)f 2=-．（14） 2 【解析】2121|22|d (22)d (22)d 2x x x x x x -=-+-=⎰⎰⎰．（15）[6,)+∞ 【解析】三棱柱的侧面积随侧棱与底面的夹角的增加而减小，当且仅当三棱柱是正三棱柱时，侧面积最小为6，故侧面积的取值范围是[6,)+∞． （16）1c = 【解析】由22cos1)cos 1cos()cos 2A CB AC B B +=⇔++=- 即 cos 452o B B =⇔=，又60o A =，∴ 75o C =，sin 45sin 75o ob c==∴ 2,1b c ==， 但2b =时，则原题设为：2,45oa b B ==，可求得A 有两个值60,120o o ，不合题意，舍去．1c =时，经检验，符合题意．三．解答题：（17）【解析】 （Ⅰ） 33sin 3cos sin a AC C b B==， 3sin cos sin 3sin 3sin()3sin cos 3sin cos B C B C A B C B C C B ∴==+=+， sin 3sin cos B C C B =， ∵sin 0C ≠3cos B B =, 即 tan B = ∴ 3B π=． …… 6分（Ⅱ）由11sin 222DBC S BC BD B BD Λ=⋅⋅=⋅⋅⋅， ∴ 1BD =， …… 8分 CS∴ 在DBC ∆中，22212cos 4122132CD BC BD BC BD B =+-⋅⋅=+-⋅⋅⋅=， …… 10分 ∴AD CD = ∴1c AB AD BD ==+． …… 12分（18）【解析】 由底面ABCD 为菱形且60oABC ∠=，∴ABC ∆，ADC ∆是等边三角形，取DC 中点O ，有,OA DC OP DC ⊥⊥，∴POA ∠为二面角P CD A --的平面角， ∴90oPOA ∠=．分别以,,OA OC OP 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系如图，则(0,1,0),(0,1,0)A P D B C -． …… 3分（Ⅰ）由M 为PB中点，M∴DM =PA = 0,PA DM PA DC ∴==∴ PA ⊥DM …… 6分（Ⅱ）由(0,2,0)DC =，0PA DC ⋅= ，∴PA ⊥DC ，∴ 平面DCM的法向量可取PA =…… 9分(0,1,PC =， 设直线PC 与平面DCM 所成角为θ，则sin |cos ,|||4||||PC PA PC PA PC PA θ⋅=<>===． …… 12分（19）【解析】 （Ⅰ）当1a =时，1()1e x x f x -=-，2'()ex xf x -=， ∴ 切线斜率1(1)ek f '==，又切点(1,1)-， ∴ 切线方程为11(1)e y x +=- 即 e e 10x y ---=． ……… 5分 （Ⅱ）11()01e ex xx x f x a a --=⇔=⇔=，记1()e x x g x -=由2'()0e xxg x -=> 得 2x <， ∴()g x 的情况如下表：又 x →-∞时，()g x →-∞；x →+∞max 2e 若()f x 没有零点，即()yg x =的图像与直线y a =无公共点， 由图像知a 的取值范围是21ea >． ………… 10分 （Ⅲ）∵0a ≠，若()f x 恰有一个零点，则a 的取值范围是0a <或21ea =． …… 12分（20）【解析】 ∵11A D CC ⊥，且D 为中点，∴ 111AC AC AC ==， 又 11,2BC AB BA ===，∴ 1,CB BA CB BA ⊥⊥，又 1BA BA B ⋂=，∴CB ⊥平面11ABB A ，取1AA 中点F ，则1BF AA ⊥，即1,,BC BF BB 两两互相垂直，以B 为原点，1,,BB BF BC 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系如图， …… 3分 ∴1111(2,0,0),(0,0,1),((2,0,1),(1,0,1),(2B C A A C D M - …… 4分 （Ⅰ）设平面ABC 的法向量为(,,)x y z =m ，则0BA x ⋅=-=m ，0BC z ⋅== m ，1A取,0)=m ， ∵ 1(,2MD = ，00MD ⋅=+= m ，∴ MD ⊥m ，又MD ⊄平面ABC ， ∴直线MD ∥平面ABC ． …… 7分（Ⅱ）设平面1ACA 的法向量为111(,,)x y z =n ，1(1,(2,0,0)AC AA ==，1110AC x z ⋅=+= m ，110AA x ⋅== m ， 取=n ， …… 9分又由（Ⅰ）知平面ABC 的法向量为,0)=m ，设二面角1B AC A --为θ，…… 10分 ∵ 二面角1B AC A --为锐角，∴11cos ||||||224θ⋅===⋅⋅m n m n ，∴ 二面角1B AC A --的余弦值为14． ………… 12分（21）【解析】 （Ⅰ）令e e ()()2ln 2F x g x x x x =-+=-+， ∴221e e ()x F x x x x-'=-=， 由()0e F x x '>⇒> ∴ ()F x 在(0,e]递减，在[e,)+∞递增， ∴ min e ()(e)ln e 20e F x F ==-+= ∴()0F x ≥ 即 e()2g x x≥-成立． …… 5分 （Ⅱ） 记()()()xxh x f x f x ax e eax -=---=--， ∴ ()0h x ≥在[0,)+∞恒成立，()e xxh x ea -'=+-， ∵ ()e 0x x h x e -''=->，∴ ()h x '在[0,)+∞递增， 又(0)2h a '=-， …… 7分 ∴ ① 当 2a ≤时，()0h x '≥成立， 即()h x 在[0,)+∞递增， 则()(0)0h x h ≥=，即 ()()f x f x ax --≥成立； …… 9分 ② 当2a >时，∵()h x '在[0,)+∞递增，且min ()20h x a '=-<， ∴ 必存在(0,)t ∈+∞使得()0h t '=．则(0,)x t ∈时，()0h t '<，即 (0,)x t ∈时，()(0)0h t h <=与()0h x ≥在[0,)+∞恒成立矛盾，故2a >舍去． 综上，实数a 的取值范围是2a ≤． …… 12分（22）解析略（23）【解析】（Ⅰ）由xρ=∴曲线C（Ⅱ）曲线C的参数方程为xy⎧⎪⎨⎪⎩∴设(cos)Pαα||2cos,||PQ QRα=-∴矩形周长2||2|PQ=+∴当3πα=（24）【解析】（Ⅰ）|()|5g x<∴212x-<-<即13x-<<，∴不等式的解为13x-<<．……4分（Ⅱ）对任意2x R∈，都有1x R∈，使得12()()f xg x=成立，∴{|()}{|()}y y g x y y f x=⊆=，……6分又()|2||24||(2)(24)||4|f x x a x x a x a=-++≥--+=+，……8分()|1|33g x x=-+≥，∴|4|3a+≤解得71a-≤≤-，∴实数a的取值范围是71a-≤≤-……10分。

南安一中2015～2016学年度上学期期末考高一数学科试卷考试内容为：必修2。

分第I 卷和第II 卷，共4页，满分１５０分，考试时间１２０分钟。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上。

2．考生作答时，请将答案答在答题纸上，在本试卷上答题无效。

按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。

3．答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

4．保持答题纸纸面清洁，不破损。

考试结束后，将本试卷自行保存，答题纸交回。

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

1．球的半径扩大为原来的2倍，则其表面积扩大为原来的 （ ） A ．2倍 B ．4倍 C ．6倍 D ．8倍 2．直线02=+-y x 的倾斜角的大小是 （ ） A ．30° B ．45° C ．90° D ．135° 3. 直线072=-+y x 与直线052=-+y x 的交点是 （ ） A ．(3,1)-B ．(3,1)-C ．(3,1)--D ．(3,1)4．一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是 （ ） A ．2＋2 B.1＋22 C.2＋22D ．1＋ 25．圆0162:221=+--+y x y x C 与圆0124:222=++++y x y x C 的公切线有且仅有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条6．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，M 、N 分别为棱BC 和棱1CC 的中点，则异面直线AC 和MN 所成的角为 （ ） A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒7．已知,m n 是两条不重合的直线, ,αβ是不重合的平面, 下面四个命题中 正确的是 （ ）A. 若n m n m ⊥⊂⊂,,βα，则βα⊥B.若n m m ⊥,//α，则α⊥nC. 若,m m αβ⊥⊥, 则α∥βD. 若,m n m β⊥⊥,则n ∥β 8．已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形， 则该三棱锥的侧视图可能为 （ ）9. 直线l 过点P (－1,2)且与以点M (－3，－2)、N (4,0)为端点的线段恒相交，则l 的斜率取值范围是 （ ）A ．[－25，5]B ．[－25，0)∪(0,2]C ．(－∞，－25]∪[5，＋∞)D ．(－∞，－25]∪[2，＋∞)10．直线1+=kx y 与圆()41)2(22=-+-y x 相交于P 、Q 两点。

2014-2015学年福建省泉州市南安市诗山中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）设集合A={x||x|＞1}，B={x|x2﹣x﹣2＜0}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|1＜x＜2}C．{x|﹣1＜x＜2}D．{x|x＜2}2．（5分）函数的定义域是（）A．B．C．D．3．（5分）已知α为第二象限角，，则sin2α=（）A．B．C．D．4．（5分）函数f（x）=sin（x﹣）的图象的一条对称轴是（）A．x=B．x=C．x=﹣D．x=﹣5．（5分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A．B．C．y=tanx D．6．（5分）已知△ABC中，a=4，b=4，B=60°，则角A等于（）A．30°B．45°C．135° D．45°或135°7．（5分）已知=（）A．3 B．1 C．D．8．（5分）下列函数中，图象的一部分如图所示的是（）A．B．C．D．9．（5分）函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为（）A． B．C．0 D．10．（5分）给出下列命题：①函数y=cos是奇函数；②存在实数α，使得sin α+cos α=；③若α、β是第一象限角且α＜β，则tan α＜tan β；④x=是函数y=sin的一条对称轴方程；⑤函数y=sin的图象关于点成中心对称图形．其中正确的序号为（）A．①③B．②④C．①④D．④⑤二、填空题（每小题4分，共20分）11．（4分）在△ABC中，A=45°，B=30°，b=2，则a边的值为．12．（4分）不等式log2（2x﹣4）≤1的解集为．13．（4分）函数y=3sin（2x+）的最小正周期为．14．（4分）在△ABC中，若B=30°，AB=2，AC=2，求△ABC的面积．15．（4分）若函数f（x）=有极值，则实数a的取值范围是．三、解答题（共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（13分）已知．（1）求tanα的值；（2）求的值．17．（13分）已知a＞0，设命题p：函数y=a x在R上单调递增；命题q：不等式ax2﹣ax+1＞0对∀x∈R恒成立．若p且q为假，p或q为真，求a的取值范围．18．（13分）已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx+a，且．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的值域．19．（13分）已知向量，设函数．（1）求f（x）的最小正周期与单调递减区间；（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若f（A）=4，b=1，△ABC 的面积为，求a的值．20．（14分）已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=f（x）+ax﹣6lnx，其中a∈R （1）当a=1时，判断f（x）的单调性；（2）若g（x）在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围；（3）设函数h（x）=x2﹣mx+4，当a=2时，若∃x1∈（0，1），∀x2∈[1，2]，总有g（x1）≥h（x2）成立，求实数m的取值范围．选修4-2：矩阵与变换21．（7分）已知矩阵A=，B=．①计算AB；②若矩阵B把直线l：x+y+2=0变为直线l′，求直线l′的方程．选修4-4：极坐标与参数方程22．（7分）在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ，直线l的参数方程为：（t为参数），两曲线相交于M，N两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若P（﹣2，﹣4），求|PM|+|PN|的值．2014-2015学年福建省泉州市南安市诗山中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）设集合A={x||x|＞1}，B={x|x2﹣x﹣2＜0}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|1＜x＜2}C．{x|﹣1＜x＜2}D．{x|x＜2}【解答】解：由|x|＞1得，x＞1或x＜﹣1，则A={x|x＞1或x＜﹣1}，由x2﹣x﹣2＜0得，﹣1＜x＜2，则B={x|﹣1＜x＜2}，所以A∩B={x|1＜x＜2}，故选：B．2．（5分）函数的定义域是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意得，，解得x＞，则函数的定义域是，故选：C．3．（5分）已知α为第二象限角，，则sin2α=（）A．B．C．D．【解答】解：因为α为第二象限角，，所以cosα=﹣=﹣．所以sin2α=2sinαcosα==．故选：A．4．（5分）函数f（x）=sin（x﹣）的图象的一条对称轴是（）A．x=B．x=C．x=﹣D．x=﹣【解答】解：由题意，令x﹣=kπ+，k∈z得x=kπ+，k∈z是函数f（x）=sin（x﹣）的图象对称轴方程令k=﹣1，得x=﹣故选：C．5．（5分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A．B．C．y=tanx D．【解答】解：对于选项A，是一个反比例函数，其在定义域内是奇函数，但在整个定义域内不是单调函数，故A不对；对于选项B，判断其是奇函数，但在其定义域内有增有减，故B不正确；对于选项C，函数y=tanx的图象为一段一段的曲线，在整个定义域上不是单调函数，故C不正确．对于选项D，的定义域为﹣1＜x＜1，且为奇函数，令，则，所以在定义域上为减函数．故D 正确；由上分析知，选项D是正确的．故选：D．6．（5分）已知△ABC中，a=4，b=4，B=60°，则角A等于（）A．30°B．45°C．135° D．45°或135°【解答】解：∵△ABC中，a=4，b=4，B=60°，∴由正弦定理，得sinA==∵A为三角形的内角，且边a＜b∴A=45°（135°舍去）故选：B．7．（5分）已知=（）A．3 B．1 C．D．【解答】解：∵tanθ=2，∴===，故选：C．8．（5分）下列函数中，图象的一部分如图所示的是（）A．B．C．D．【解答】解：从图象看出，T=，所以函数的最小正周期为π，函数应为y=sin2x向左平移了个单位，即=，故选：D．9．（5分）函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为（）A． B．C．0 D．【解答】解：令y=f（x）=sin（2x+φ），则f （x +）=sin [2（x +）+φ]=sin （2x ++φ），∵f （x +）为偶函数，∴+φ=kπ+，∴φ=kπ+，k ∈Z ，∴当k=0时，φ=．故φ的一个可能的值为．故选：B ．10．（5分）给出下列命题：①函数y=cos 是奇函数；②存在实数α，使得sin α+cos α=；③若α、β是第一象限角且α＜β，则tan α＜tan β；④x=是函数y=sin的一条对称轴方程；⑤函数y=sin的图象关于点成中心对称图形．其中正确的序号为（ ）A ．①③B ．②④C ．①④D ．④⑤ 【解答】解：①函数y=cos =﹣sin 是奇函数； ②由sinα+cosα=sin （）的最大值为，因为＜，所以不存在实数α，使得sinα+cosα=；③α，β是第一象限角且α＜β．例如：45°＜30°+360°， 但tan45°＞tan （30°+360°），即tanα＜tanβ不成立； ④把x=代入y=sin （2x +）=sin=﹣1，所以x=是函数y=sin （2x +）的一条对称轴；⑤把x=代入函数y=sin=sin=1，所以点不是函数y=sin的对称中心．综上所述，只有①④正确． 故选：C ．二、填空题（每小题4分，共20分）11．（4分）在△ABC中，A=45°，B=30°，b=2，则a边的值为2．【解答】解：∵A=45°，B=30°，b=2，∴由正弦定理=得：a===2．故答案为：212．（4分）不等式log2（2x﹣4）≤1的解集为（2，3] ．【解答】解：不等式log2（2x﹣4）≤1即log2（2x﹣4）≤log22，0＜2x﹣4≤2，解得2＜x≤3，故不等式log2（2x﹣4）≤1的解集是（2，3]故答案为：（2，3]13．（4分）函数y=3sin（2x+）的最小正周期为π．【解答】解：∵函数表达式为y=3sin（2x+），∴ω=2，可得最小正周期T=||=||=π故答案为：π14．（4分）在△ABC中，若B=30°，AB=2，AC=2，求△ABC的面积或2．【解答】解：在△ABC中，设BC=x，由余弦定理可得4=12+x2﹣4xcos30°，x2﹣6x+8=0，∴x=2，或x=4．当x=2 时，△ABC的面积为=×2•x•=，当x=4 时，△ABC的面积为=×2•x•=2，故答案为或2．15．（4分）若函数f（x）=有极值，则实数a的取值范围是．【解答】解：∵f（x）=，∴f′（x）=x2﹣（a+1）x+a2，∵函数f（x）=有极值，∴f′（x）=x2﹣（a+1）x+a2，有两个不相等的实数解，∴△＞0，即（a+1）2﹣4a2＞0，解得﹣，∴a∈．故答案为．三、解答题（共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（13分）已知．（1）求tanα的值；（2）求的值．【解答】解：（1）∵，∴===．（2）====tan（β﹣α）===．17．（13分）已知a＞0，设命题p：函数y=a x在R上单调递增；命题q：不等式ax2﹣ax+1＞0对∀x∈R恒成立．若p且q为假，p或q为真，求a的取值范围．【解答】解：∵y=a x在R上单调递增，∴a＞1；又不等式ax2﹣ax+1＞0对∀x∈R恒成立，∴△＜0，即a2﹣4a＜0，∴0＜a＜4，∴q：0＜a＜4．而命题p且q为假，p或q为真，那么p、q中有且只有一个为真，一个为假．①若p真，q假，则a≥4；②若p假，q真，则0＜a≤1．所以a的取值范围为（0，1]∪[4，+∞）．18．（13分）已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx+a，且．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的值域．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴解关于a的方程可得a=1．（Ⅱ）化简可得==．∵，∴，∴，∴，∴函数f（x）的值域为19．（13分）已知向量，设函数．（1）求f（x）的最小正周期与单调递减区间；（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若f（A）=4，b=1，△ABC 的面积为，求a的值．【解答】解：（1）∵，∴===∴令∴∴f（x）的单调区间为，k∈Z．（2）由f（A）=4得∴又∵A为△ABC的内角∴∴∴∵∴∴c=2∴∴20．（14分）已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=f（x）+ax﹣6lnx，其中a∈R （1）当a=1时，判断f（x）的单调性；（2）若g（x）在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围；（3）设函数h（x）=x2﹣mx+4，当a=2时，若∃x1∈（0，1），∀x2∈[1，2]，总有g（x1）≥h（x2）成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=lnx﹣，∴f′（x）=+=，x＞0．∵x＞0，∴f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．（2）∵f（x）=lnx﹣，g（x）=f（x）+ax﹣6lnx，a＞0．∴g（x）=ax﹣﹣5lnx，x＞0∴g′（x）=a+﹣=，若g′（x）＞0，可得ax2﹣5x+a＞0，在x＞0上成立，∴a＞=，∵≤=（x=1时等号成立），∴a≥．（3）当a=2时，g（x）=2x﹣﹣5lnx，h（x）=x2﹣mx+4=（x﹣）2+4﹣，∃x1∈（0，1），∀x2∈[1，2]，总有g（x1）≥h（x2）成立，∴要求g（x）的最大值，大于h（x）的最大值即可，g′（x）==，令g′（x）=0，解得x1=，x2=2，当0＜x＜，或x＞2时，g′（x）＞0，g（x）为增函数；当＜x＜2时，g′（x）＜0，g（x）为减函数；∵x1∈（0，1），∴g（x）在x=处取得极大值，也是最大值，∴g（x）max=g（）=1﹣4+5ln2=5ln2﹣3，∵h（x）=x2﹣mx+4=（x﹣）2+4﹣，若m≤3，h max（x）=h（2）=4﹣2m+4=8﹣2m，∴5ln2﹣3≥8﹣2m，∴m≥，∵＞3，故m不存在；若m＞3时，h max（x）=h（1）=5﹣m，∴5ln2﹣3≥5﹣m，∴m≥8﹣5ln2，实数m的取值范围：m≥8﹣5ln2；选修4-2：矩阵与变换21．（7分）已知矩阵A=，B=．①计算AB；②若矩阵B把直线l：x+y+2=0变为直线l′，求直线l′的方程．【解答】解：①由题意，AB==②任取直线l：x+y+2=0上一点P（x，y）经矩阵B变换后点为P′（x′，y′），则有从而代入x+y+2=0得x′+3y′+2=0∴直线l'的方程x+3y+2=0．选修4-4：极坐标与参数方程22．（7分）在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ，直线l的参数方程为：（t为参数），两曲线相交于M，N两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若P（﹣2，﹣4），求|PM|+|PN|的值．【解答】解：（Ⅰ）根据x=ρcosθ、y=ρsinθ，求得曲线C的直角坐标方程为y2=4x，用代入法消去参数求得直线l的普通方程x﹣y﹣2=0．（Ⅱ）直线l 的参数方程为：（t 为参数），代入y 2=4x ，得到，设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，则 t 1+t 2=12，t 1•t 2=48，∴|PM |+|PN |=|t 1+t 2|=．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,mn m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 （4）指数函数 图象定义域 R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< 变化对 图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．x(0,1)O1y =x(0,1)O 1y =③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数。