苏教版必修一第30课《二次函数与一元二次方程》word同步测试

《二次函数与一元二次方程、不等式的应用》同步检测基 础 练1.不等式4x ＋23x －1>0的解集是( ) A .⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|| x>13或x<－12 B .⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|| －12<x<13 C .⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|| x>13 D .⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|| x<－12 2.若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的值的集合是 ( )A ．{a |0<a <4}B ．{a |0≤a <4}C ．{a |0<a ≤4}D ．{a |0≤a ≤4}3.若关于x 的不等式x 2－4x －m ≥0对任意x ∈(0,1]恒成立，则m 的最大值为( ) A ．1 B ．－1 C ．－3 D ．34.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m )的取值范围是( )A ．15≤x ≤30B ．12≤x ≤25C ．10≤x ≤30D ．20≤x ≤305.若关于x 的不等式x －a x ＋1>0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a ＝________. 6.若不等式x 2＋mx ＋1>0的解集为R ，则m 的取值范围是__________．7.解下列分式不等式：(1)x ＋12x －3≤1； (2)2x ＋11－x<0. 8.当a 为何值时，不等式(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解集为R ?能 力 练9.不等式x 2－2x －2x 2＋x ＋1<2的解集为( ) A ．{x |x ≠－2} B ．R C ．∅ D ．{x |x <－2或x >2}10.若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x 的解集为R ，则实数m 的取值范围是( )A．(－2,2) B．(－2,2] C．(－∞，－2)∪[2，＋∞) D．(－∞，2)11.下列结论错误的是( )A.若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2+bx+c>0的解集为RB.不等式ax2+bx+c=0≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ=b2-4ac≤0C.若关于x的不等式ax2+x-1≤0的解集为R，则14 a≤-D.不等式11x>的解集为x<112.对任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是( )A．1<x<3 B．x<1或x>3 C．1<x<2 D．x<1或x>213.在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)．若不等式(x－a)⊗(x＋a)<1对任意的实数x都成立，则a的取值范围是________.14.已知2≤x≤3时，不等式2x2－9x＋a<0恒成立，则a的取值范围为________．15.已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围．16.某地区上年度电价为0.8元/kW·h，年用电量为a kW·h，本年度计划将电价降低到0.55元/kW·h至0.75元/kW·h之间，而用户期望电价为0.4元/kW·h.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)．该地区电力的成本价为0.3元/kW·h.(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；(2)设k＝0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%? 注：收益＝实际用电量×(实际电价－成本价)．【参考答案】1. A 解析：4x ＋23x －1>0⇔(4x ＋2)(3x －1)>0⇔x >13或x <－12，此不等式的解集为1132x x x ⎧⎫><-⎨⎬⎩⎭或. 2.D 解析：a ＝0时符合题意，a >0时，相应二次方程中的Δ＝a 2－4a ≤0，得{a |0<a ≤4}，综上得{a |0≤a ≤4}.3.C 解析：由已知可得m ≤x 2－4x 对一切x ∈(0,1]恒成立，又f (x )＝x 2－4x 在(0,1]上为减函数，∴f (x )min ＝f (1)＝－3，∴m ≤－3.4.C 解析：设矩形的另一边长为y m ，则由三角形相似知，x 40＝40－y 40，∴y ＝40－x ，∵xy ≥300，∴x (40－x )≥300，∴x 2－40x ＋300≤0，∴10≤x ≤30.5. 4解析：x －a x ＋1>0⇔(x ＋1)(x －a )>0 ⇔(x ＋1)(x －4)>0，∴a ＝4. 6.－2<m <2 解析：由题意知，不等式x 2＋mx ＋1>0对应的函数的图象在x 轴的上方，所以Δ＝(m )2－4×1×1<0，所以－2<m <2.7. 解 (1)∵x ＋12x －3≤1，∴x ＋12x －3－1≤0，∴－x ＋42x －3≤0，即x －4x －32≥0.此不等式等价于(x －4)32x ⎛⎫- ⎪⎝⎭≥0且x －32≠0，解得x <32或x ≥4.∴原不等式的解集为342x x x ⎧⎫<≥⎨⎬⎩⎭或. (2)由2x ＋11－x <0得x ＋12x －1>0，此不等式等价于12x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(x －1)>0，解得x <－12或x >1， ∴原不等式的解集为112x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或. 8.解 ①当a 2－1＝0时，a ＝1或－1.若a ＝1，则原不等式为－1<0，恒成立．若a ＝－1，则原不等式为2x －1<0即x <12，不合题意，舍去．②当a 2－1≠0时，即a ≠±1时，原不等式的解集为R 的条件是22(1)4(1)(1)0a a ----<解得－35<a <1.综上a 的取值范围是3,15⎛⎤- ⎥⎝⎦. 9.A 解析：∵x 2＋x ＋1>0恒成立，∴原不等式⇔x 2－2x －2<2x 2＋2x ＋2⇔x 2＋4x ＋4>0⇔(x ＋2)2>0，∴x ≠－2. ∴不等式的解集为{x |x ≠－2}．10.B 解析：∵mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x ， ∴(2－m )x 2＋(4－2m )x ＋4>0.当m ＝2时，4>0，x ∈R ；当m <2时，Δ＝(4－2m )2－16(2－m )<0，解得－2<m <2.此时，x ∈R . 综上所述，－2<m ≤2.11.ABD 解析：A 选项中，只有a >0时才成立；B 选项当a =b =0，c ≤0时也成立；D 选项x 是大于0的.12.B 解析：设g (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，g (a )>0恒成立且a ∈[－1,1]⇔22(1)320(1)560g x x g x x ⎧=-+>⎨-=-+>⎩⇔⎩⎨⎧ x<1或x>2x<2或x>3⇔x <1或x >3.13. －12<a <32解析：根据定义得(x －a )⊗(x ＋a )＝(x －a )[1－(x ＋a )]＝－x 2＋x ＋a 2－a ，又(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意的实数x 都成立，所以x 2－x ＋a ＋1－a 2>0对任意的实数x 都成立，所以Δ<0，即1－4(a ＋1－a 2)<0，解得－12<a <32. 14. a <9 解析：∵当2≤x ≤3时，2x 2－9x ＋a <0恒成立，∴当2≤x ≤3时，a <－2x 2＋9x 恒成立．令y ＝－2x 2＋9x .∵2≤x ≤3，且对称轴方程为x ＝94，∴y min ＝9，∴a <9.∴a 的取值范围为a <9. 15.解 设f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1，根据题意，画出示意图由图分析可得，m 满足不等式组(0)210(1)20(1)420(2)650f m f f m f m =+<⎧⎪-=>⎪⎨=+<⎪⎪=+>⎩解得－56<m <－12.16.解(1)设下调后的电价为x 元/kW ·h ，依题意知，用电量增至k x －0.4＋a，电力部门的收益为y ＝0.4k a x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭(x －0.3)(0.55≤x ≤0.75)． (2)依题意，有0.2(0.3)[(0.80.3)](120%)0.40.550.75a a x a x x ⎧⎛⎫+-≥⨯-+⎪ ⎪-⎝⎭⎨⎪≤≤⎩整理，得⎩⎨⎧ x 2－1.1x ＋0.3≥0，0.55≤x ≤0.75.解此不等式，得0.60≤x ≤0.75.∴当电价最低定为0.60元/kW ·h 时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.。

2.3二次函数与一元二次方程、不等式一、基础巩固1.[探究点一]不等式x+61-x≥0的解集为()A.{x|-6≤x≤1}B.{x|x≥1,或x≤-6}C.{x|-6≤x<1}D.{x|x>1,或x≤-6}2.[探究点一·2023陕西宝鸡质检]若集合A={x|(2x+1)(x-3)<0},B={x|x∈N*,x≤5},则A∩B 等于()A.{1,2,3}B.{1,2}C.{4,5}D.{1,2,3,4,5}3.[探究点一]不等式x2-2x-5>2x的解集是()A.{x|x≥5或x≤-1}B.{x|x>5或x<-1}C.{x|-1<x<5}D.{x|-1≤x≤5}4.[探究点二(角度3)]若不等式ax2+ax+a+3≥0对一切实数x恒成立,则实数a的取值范围是()A.{a|-4<a<0}B.{a|a<-4,或a>0}C.{a|a≥0}D.{a|-4<a≤0}5.[探究点二(角度1)](多选题)不等式ax2+bx+c≥0的解集是{x|-1≤x≤2},对于系数a,b,c,下列结论正确的是()A.a+b=0B.a+b+c>0C.c>0D.b<06.[探究点二(角度2)]二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表:x-3-2-101234y60-4-6-6-406则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是.7.[探究点二(角度3)·2023吉林梅河口期末]若关于x的不等式(m-1)x2+(m-1)x+2>0的解集为R,则实数m的取值范围是.8.[探究点三]某产品的总成本y(单位:万元)与产量x(单位:台)之间的函数关系是y=3000+20x-0.1x2(0<x<240),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是台.二、能力提升9.不等式4x-x2<x的解集是()A.{x|0<x≤2}B.{x|x>2}C.{x|2<x≤4}D.{x|x>0,或x<4}10.若关于x的不等式x2-(m+2)x+2m<0的解集中恰有4个正整数,则实数m的取值范围为()A.{m|6<m≤7}B.{m|6<m<7}C.{m|6≤m<7}D.{m|m>6}11.在R上定义运算“☉”:a☉b=ab+2a+b,则满足x☉(x-2)<0的实数x的取值范围为()A.{x|0<x<2}B.{x|-2<x<1}C.{x|x<-2或x>1}D.{x|-1<x<2}12.(多选题)若不等式ax2+x-(a+1)≥0的解集是{x|-2≤x≤1}的子集,则实数a的取值可以是()A.-1B.0C.-13D.-1213.若1≤x≤2时,不等式x2+mx+m≥0恒成立,则实数m的最小值为.14.在R上定义运算:a b c d=ad-bc.若不等式x-1a-2a+1x≥1对任意实数x恒成立,则实数a的最大值为.15.已知不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1,或x>b}.(1)求a,b的值;(2)解不等式ax2-(ac+b)x+bc<0.16.已知集合A={x|x2-4x+3≤0},B=.若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,给出如下三个条件:①{x|a-1≤x≤a},②{x|a≤x≤a+2},③{x|a≤x≤a+3}.请从中任选一个补充到横线上.若问题中的a存在,求出a的取值范围.17.已知关于x的不等式(kx-k2-4)(x-4)>0的解集为A,其中k∈R.(1)若5∈A,求实数k的取值范围.(2)求不等式的解集A.(3)是否存在实数k,使得上述不等式的解集A中只有有限个整数?若存在,求出使得A中整数个数最少的k的值;若不存在,请说明理由.参考答案1.C解析不等式x+61-x≥0等价于(x+6)(1-x)≥0,1-x≠0,解得-6≤x<1.故解集为{x|-6≤x<1}.2.B解析∵(2x+1)(x-3)<0,∴-12<x<3.又x∈N*且x≤5,则x=1,2.即A∩B={1,2}.3.B解析由x2-2x-5>2x,得x2-4x-5>0,因为方程x2-4x-5=0的两根为-1,5,故不等式x2-4x-5>0的解集为{x|x<-1或x>5}.4.C解析当a=0时,不等式为3≥0,满足题意;当a≠0,需满足a>0,Δ=a2-4a(a+3)≤0,解得a>0.综上,a的取值范围为{a|a≥0}.5.ABC解析由不等式ax2+bx+c≥0的解集是{x|-1≤x≤2}可得a<0,且方程ax2+bx+c=0的两个根为-1,2,所以-b a=-1+2=1>0,所以b=-a,b>0,故A正确,D错误;由c a=-2,则c>0,故C正确;依题意二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,且二次函数的图象与x轴的两个交点横坐标是-1,2,因此当x=1时,y=a+b+c>0,故B正确.故选ABC.6.{x|x<-2,或x>3}解析根据表格可以画出二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)图象的草图如图.由图象得关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|x<-2,或x>3}.7.{m|1≤m<9}解析因为关于x的不等式(m-1)x2+(m-1)x+2>0的解集为R,当m-1=0,即m=1时,不等式化为2>0,显然恒成立,符合题意;当m-1≠0,即m≠1时,则m-1>0,Δ=(m-1)2-8(m-1)<0,解得1<m<9.综上,实数m的取值范围是{m|1≤m<9}.8.150解析依题意得25x≥3000+20x-0.1x2,整理得x2+50x-30000≥0,解得x≥150或x≤-200(舍去).因为0<x<240,所以150≤x<240,即生产者不亏本时的最低产量是150台.9.C解析由题意得x>0,4x-x2≥0,4x-x2<x2,解得2<x≤4,故选C.10.A解析原不等式可化为(x-2)(x-m)<0,若m<2,则解得m<x<2,不等式的解集中不可能有4个正整数;若m=2,则不等式的解集为空集,不合题意;若m>2,则解得2<x<m,所以该不等式的解集中的4个正整数分别是3,4,5,6,所以6<m≤7.故实数m的取值范围是{m|6<m≤7}.11.B解析根据给出的定义得,x☉(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)=x2+x-2=(x+2)(x-1).又x☉(x-2)<0,则(x+2)(x-1)<0,故不等式的解集是{x|-2<x<1}.12.AD解析当a=0时,不等式ax2+x-(a+1)=x-1≥0,解得x≥1,不满足题意;当a≠0时,由于不等式ax2+x-(a+1)≥0的解集是{x|-2≤x≤1}的子集,则a<0,解方程ax2+x-(a+1)=0,即(ax+a+1)(x-1)=0,解得x1=-a+1a,x2=1.由题意可得-2≤-a+1a≤1,解得a≤-12.故AD选项满足题意,BC选项不满足题意.故选AD.13.-12解析令y=x2+mx+m,若1≤x≤2时,不等式x2+mx+m≥0恒成立,则有Δ=m2-4m≤0,或-m2≤1,1+2m≥0或-m2≥2,4+3m≥0,解得m≥-12,实数m的最小值为-12.14.32解析原不等式等价于x(x-1)-(a-2)(a+1)≥1,即x2-x-1≥(a+1)(a-2)对任意x恒成立.因为x2-x-1=x−-54≥-54,所以-54≥a2-a-2,解得-12≤a≤32.15.解(1)因为不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1,或x>b},所以x1=1与x2=b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根,b>1且a>0.由根与系数的关系,得1+b=3a,1×b=2a,解得a=1,b=2.(2)由(1)知不等式ax2-(ac+b)x+bc<0可化为x2-(2+c)x+2c<0,即(x-2)(x-c)<0.当c>2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{x|2<x<c};当c<2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{x|c<x<2};当c=2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为⌀.16.解A={x|x2-4x+3≤0}={x|1≤x≤3},若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,则集合B是集合A的真子集,若选①,B={x|a-1≤x≤a},则a-1≥1,a≤3,解得2≤a≤3,即a的取值范围为{a|2≤a≤3}.若选②,B={x|a≤x≤a+2},则a≥1,a+2≤3,解得a=1,此时A=B,故“x∈A”是“x∈B”的充要条件,不满足题意,故无解.若选③,B={x|a≤x≤a+3},则a≥1,a+3≤3,不等式组无解.即不存在a满足“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件.17.解(1)由题意(5k-k2-4)(5-4)>0,解得1<k<4,所以k的取值范围是{k|1<k<4}.(2)当k=0时,不等式化为x-4<0,A={x|x<4};当k>0时,不等式化为x−k当k>0且k≠2时,因为k+4k>4,所以A=x x<4,或x>k+当k=2时,A={x|x≠4};当k<0时,不等式化为x−k(x-4)<0,A=x k+4k<x<4.(3)存在k=-2满足题意.由(1)知,当k≥0时,A中整数的个数为无限个;当k<0时,A中整数的个数为有限个.因为-k>0,所以k+4k=-(−k)+k=-2时,等号成立,所以当k=-2时,A中整数的个数最少.。

【文库独家】二次函数与一元二次方程同步练习第1题. 抛物线2283y x x =--与x 轴有个交点，因为其判别式24b ac -=0，相应二次方程23280x x -+=的根的情况为 ．答案：0 92-<没有实数根．第2题. 函数22y mx x m =+-（m 是常数）的图像与x 轴的交点个数为（ ）Ａ．0个 Ｂ．1个 Ｃ．2个 Ｄ．1个或2个答案：Ｃ第3题. 关于二次函数2y ax bx c =++的图像有下列命题：①当0c =时，函数的图像经过原点；②当0c >，且函数的图像开口向下时，方程20ax bx c ++=必有两个不相等的实根；③函数图像最高点的纵坐标是244ac b a-；④当0b =时，函数的图像关于y 轴对称． 其中正确命题的个数是（ ）Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个Ｄ．4个答案：Ｃ第4题. 关于x 的方程25mx mx m ++=有两个相等的实数根，则相应二次函数25y mx mx m =++-与x 轴必然相交于点，此时m =．答案：一4第5题. 抛物线2(21)6y x m x m =---与x 轴交于两点1(0)x ，和2(0)x ，，若121249x x x x =++，要使抛物线经过原点，应将它向右平移 个单位．答案：4或9第6题. 关于x 的二次函数22(81)8y mx m x m =+++的图像与x 轴有交点，则m 的范围是（ ）Ａ．116m <-Ｂ．116m -≥且0m ≠ Ｃ．116m =-Ｄ．116m >-且0m ≠ 答案：Ｂ第7题. 已知抛物线21()3y x h k =--+的顶点在抛物线2y x =上，且抛物线在x 轴上截得的线段长是h 和k 的值．答案：21()3y x h k =--+，顶点()h k ，在2y x =上，2h k ∴=，22221122()3333y x h h x hx h ∴=--+=-++．又它与x 轴两交点的距离为12x x a∴-==== 求得2h =±，4k =，即2h =，4k =或2h =-，4k =．第8题. 已知函数22y x mx m =-+-．（1）求证：不论m 为何实数，此二次函数的图像与x 轴都有两个不同交点； （2）若函数y 有最小值54-，求函数表达式．答案：（1）222()4(2)48(2)4m m m m m ∆=---=-+=-+，不论m 为何值时，都有0∆>， 此时二次函数图像与x 轴有两个不同交点． （2）2244(2)5444ac b m m a ---==-，2430m m -+=，1m ∴=或3m =， 所求函数式为21y x x =--或231y x x =-+．第9题. 下图是二次函数2y ax bx c =++的图像，与x 轴交于B ，C 两点，与y 轴交于A 点． （1）根据图像确定a ，b ，c 的符号，并说明理由；（2）如果A 点的坐标为(03)-，，45ABC ∠=，60ACB ∠=，求这个二次函数的函数表达式．答案：（1）抛物线开口向上，0a >；图像的对称轴在y 轴左侧，02ba-<，又0a >， 0b ∴>；图像与y 轴交点在x 轴下方，0c ∴<．0a ∴>，0b >，0c <．（2）(03)A -，，3OA =，45ABC ∠=，60ACB ∠=，3tan OAOB ABC ==∠， 3tan 60OAOC ==(30)B ∴-，，C ．设二次函数式为(3)(ya x x =+-， 把(03)-，代入上式，得3a =，∴所求函数式为2(3)(1)333y x x x x =+=+-．第10题. 已知抛物线222m y x mx =-+与抛物线2234m y x mx =+-在直角坐标系中的位置如图所示，其中一条与x 轴交于A ，B 两点．（1）试判断哪条抛物线经过A ，B 两点，并说明理由； （2）若A ，B 两点到原点的距离AO ，OB 满足条件1123OB OA -=，求经过A ，B 两点的这条抛物线的函数式．答案：（1）抛物线不过原点，0m ≠，令2202m x m x -+=，2221()402m m m ∆=--⨯=-<，222m y x mx =-+∴与x 轴无交点，∴抛物线2234y x mx m =+-经过A ，B 两点．（2）设1(0)A x ，，2(0)B x ，，1x ，2x 是方程22304x mx m +-=的两根12x x m +=-，21234x x m =-，A 在原点左边，B 在原点右边，则1AO x =-，2OB x =．123OB OA 1-=．211123x x ∴+=，121223x x x x +=，22334m m -=-，得2m =，∴所求函数式为223y x x =+-．第11题. 已知二次函数2224y x mx m =-+．（1）求证：当0m ≠时，二次函数的图像与x 轴有两个不同交点；（2）若这个函数的图像与x 轴交点为A ，B ，顶点为C ，且△ABC 的面积为表达式．答案：（1）22222(4)421688m m m m m ∆=--⨯⨯=-=．0m ≠，280m ∴>，∴这个抛物线与x 轴有两个不同交点．（2）设1(0)A x ，，212(0)()B x x x >，，则1x ，2x 是方程22240x mx m -+=两根， 122x x m +=，2122m x x =，21AB x x =-====，C 点纵坐标22224816442c ac b m m y m a --===-⨯， ∴△ABC 中AB 边上的高22h m m =-=．21124222ABCSAB h m m ===，2m =，2m =±， 2284y x x ∴=++或2284y x x =-+．第12题. 如图所示，函数2(2)(5)y k x k =-+-的图像与x 轴只有一个交点，则交点的横坐标0x=．答案：第13题. 已知抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于C 点，与x 轴交于1(0)A x ，，212(0)()B x x x <，两点，顶点M 的纵坐标为4-，若1x ，2x 是方程222(1)70x m x m --+-=的两根，且221210x x +=． （1）求A ，B 两点坐标； （2）求抛物线表达式及点C 坐标；（3）在抛物线上是否存在着点P ，使△PAB 面积等于四边形ACMB 面积的2倍，若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．答案：（1）由122(1)x x m +=-，2127x x m =-，22222121212()24(1)2(7)10x x x x x x m m +=+-=---=，得2m =，11x ∴=-，23x =，(10)A -，，(30)B ，．（2）抛物线过A ，B 两点，其对称轴为1x =，顶点纵坐标为4-，∴抛物线为2(1)4y a x =--．把1x =-，0y =代入得1a =，∴抛物线函数式为223y x x =--，其中(03)C -，． （3）存在着P 点．(10)A -，，(03)C -，，(14)M -，，(30)B ，，∴9ACMB S =四形，18ABPS=，即1182P y AB =．4AB =，9P y ∴=．把9y =代入抛物线方程得11x =，21x =，(1P ∴或(1P +．第14题. 二次函数269y x x =-+-的图像与x 轴的交点坐标为 ．答案：（3，0）第15题. 二次函数25106y x x =-+的图像与x 轴有 个交点． 答案：0第16题. 对于二次函数2135y x x =++，当12x =时，y = ． 答案：11320第17题. 如图是二次函数2246y x x =--的图像，那么方程22460x x --=的两根之和 0．答案：>第18题. 求下列函数的图像与x 轴的交点坐标，并作草图验证． （1）25166y x x =-+； （2）2336y x x =+-．答案：（1）（13，0），（12，0），图略 （2）（1，0），（2-，0），图略第19题. 一元二次方程20ax bx c ++=的两根为1x ，2x ，且214x x +=，点(38)A -，在抛物线2y a x b x c =++上，求点A 关于抛物线的对称轴对称的点的坐标．答案：（1，8-）第20题. 若二次函数2y ax c =+，当x 取1x 、2x （12x x ≠）时，函数值相等，则当x 取12x x +时，函数值为（ ）Ａ．a c + Ｂ．a c - Ｃ．c - Ｄ．c 答案：Ｄ第21题. 下列二次函数中有一个函数的图像与x 轴有两个不同的交点，这个函数是（ ） Ａ．2y x =Ｂ．24y x =+ Ｃ．2325y x x =-+Ｄ．2351y x x =+-答案：Ｄ第22题. 二次函数256y x x =-+与x 轴的交点坐标是（ ）Ａ．（2，0）（3，0） Ｂ．（2-，0）（3-，0） Ｃ．（0，2）（0，3） Ｄ．（0，2-）（0，3-） 答案：A第23题. 试说明一元二次方程2441x x -+=的根与二次函数244y x x =-+的图像的关系，并把方程的根在图象上表示出来．答案：一元二次方程2441x x -+=的根是二次函数244y x x =-+与直线1y =的交点的横坐标，图略．第24题. 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根．210x x +-=答案：1 1.6x ≈-，20.6x ≈第25题. 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根．24834x x --=-答案：1 1.9x ≈，20.1x ≈第26题. 函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么关于x 的一元二次方程230ax bx c ++-=的根的情况是（ ）Ａ．有两个不相等的实数根 Ｂ．有两个异号的实数根 Ｃ．有两个相等的实数根Ｄ．没有实数根答案：Ｃ第27题. 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似值．2530x x --=答案：1 5.5x ≈，20.5x ≈-第28题. 抛物线2321y x x =-+-的图象与坐标轴交点的个数是（ ）Ａ．没有交点Ｂ．只有一个交点 Ｃ．有且只有两个交点Ｄ．有且只有三个交点答案：Ａ第29题. 已知二次函数212y x bx c =-++，关于x 的一元二次方程2102x bx c -++=的两个实 根是1-和5-，则这个二次函数的解析式为答案：215322y x x =---第30题. 已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标(1 3.2)--，及部分图象（如图４所示），由图象可知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别是1 1.3x =和2x = ．答案： 3.3-y。

2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式（一）-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册同步练习（含解析）一、单选题1.不等式9x2+6x+1≤0的解集是()A. {x|x≠−13} B. {x|−13≤x≤13}C. ⌀D. {−13}2.已知集合M={x|−4<x<2}，N={x|x2−x−6<0}，则M∩N=()A. {x|−4<x<3}B. {x|−4<x<−2}C. {x|−2<x<2}D. {x|2<x<3}3.已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则不等式ax2+bx+c>0的解集为()A. {x|x>2}B. {x|x>±2}C. {x|x<−2，或x>2}D. {x|−2<x<2}4.“x>1”是“x2+2x>0”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件5.不等式x2−2x−2x2+x+1<2的解集为()A. {x|x≠−2}B. RC. ⌀D. {x|x<−2，或x>2}6.已知α，β(α<β)是方程(x−a)(x−b)=−2(a<b)的两个根，则α，β，a，b的大小关系是()A. a<α<β<bB. a<α<b<βC. α<a<b<βD. α<a<β<b7.已知不等式ax2−bx−1≥0的解集是{x|−3≤x≤−2}，则不等式x2+bx+a>0的解集是()A. {x |x <−16或x >1} B. {x |x <−1或x >16} C. {x |x <−2或x >3}D. {x |x <−3或x >2}8. 已知不等式x 2+ax +b <0的解集是{x|−1<x <2}，则a +b 等于( )A. −3B. 1C. −1D. 39. 若{x|2<x <3}为x 2+ax +b <0的解集，则bx 2+ax +1>0的解集为( )A. {x|x <2或x >3}B. {x|2<x <3}C. {x|13<x <12}D. {x|x <13或x >12}10. 关于x 的不等式x 2−2ax −8a 2<0的解集为(x 1,x 2)，且x 12−x 22=15，则实数a =( )A. √52B. −√52C. −√52或√52D. −√54或√54二、多选题11. 下列结论错误的是( )A. 若函数y =ax 2+bx +c(a ≠0)对应的方程没有根，则不等式ax 2+bx +c >0的解集为R ；B. 不等式ax 2+bx +c ≤0(a ≠0)在R 上恒成立的条件是a <0且Δ=b 2−4ac ≤0；C. 若关于x 的不等式ax 2+x −1≤0的解集为R ，则a ≤−14； D. 不等式1x >1的解为x <1．12. 下列命题正确的是( )A. 要使关于x 的方程x 2+(a2−1)x +a −2=0的一根比1大且另一根比1小，则a 的取值范围是−2<a <1B. x 2−kx +k −1<0在(1,2)上恒成立，则实数k 的取值范围是k ≥3．C. 关于x 的不等式ax −b >0的解集是(1,+∞)，则关于x 的不等式ax+bx−2>0的解集是(−∞,−1)∪(2,+∞)D. 若不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x |x < −2或x >4}，则abc >0三、填空题13. 已知x =1是不等式k 2x −6kx +8≥0(k ≠0)的解，则k 的取值范围是 ． 14. 已知二次函数y =ax 2+bx +c (x ∈R )的部分对应值如下表：则不等式ax2+bx+c>0的解集是________．>0对一切实数x都成立，则k的取值范围是15.若关于x的不等式2kx2+kx+38_________．16.关于x的不等式−2x2+3x+14≥0的解集是．17.若关于x的不等式ax2+6x−a2<0的解集是(−∞,1)∪(m,+∞)，则实数m=________．18.定义在R上的运算⊕：a⊕b=ab+2a+b，则不等式x⊕(x−2)<0的解集为________．19.若a>1，则关于x的不等式(x−a)(x−1)>0的解集为________．a四、解答题20.已知关于x的不等式ax2+5x−6<0．(1)当a=1时，解不等式．(2)当a=−1时，解不等式．21.已知关于x的不等式−x2+ax+b>0．(1)若该不等式的解集为(−4,2)，求a，b的值．(2)若b=a+1，求此不等式的解集．22.已知关于x的不等式kx2−2x+6k<0．(1)若不等式的解集为{x|2<x<3}，求实数k的值；(2)不等式对x∈R恒成立，求实数k的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】 【分析】本题考查一元二次不等式的解法，属于基础题，可将原不等式化为(3x +1)2≤0，容易解得x =−13，于是可得原不等式的解集． 【解答】解： 根据题意，原不等式可化为(3x +1)2≤0，解得x =−13，于是原不等式的解集为{−13}． 故选D ．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查交集的求法、一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，是基础题． 由题意分别求出集合M ，N ，求出M ∩N 即可．【解答】解：∵M ={x|−4<x <2}，N ={x|x 2−x −6<0}={x|−2<x <3}， ∴M ∩N ={x|−2<x <2}． 故选C ．3.【答案】C【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，属于基础题．由图象可知−2和2是方程ax 2+bx +c =0的两个根，可得a ，b ，c 的关系，再将不等式ax 2+bx +c >0化简然后求解即可． 【解答】解：由题图知，−2和2是方程ax 2+bx +c =0的两个根，且a >0， 所以−ba =0且ca =−4，所以b=0，c=−4a，a>0．不等式ax2+bx+c>0化为ax2−4a>0，即x2−4>0，解得x<−2，或x>2．故选C．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，利用一元二次不等式解法，容易求出“x2+2x>0”等价于“x>0或x<−2”，由此可以判断“x>1”是“x2+2x>0”的充分不必要条件．【解答】解：因为x2+2x>0等价于x(x+2)>0，容易求解该一元二次不等式中变量x的取值范围为x<−2或x>0，因此当x>1时，x2+2x>0成立，所以充分条件成立；当x2+2x>0时，x<−1或x>0，所以必要条件不成立；故本题中“x>1”是“x2+2x>0”的充分不必要条件，于是本题选项为A．5.【答案】A【解析】【分析】本题考查一元二次不等式的解法，属于基础题．由x2+x+1>0恒成立，可得原不等式⇔x2−2x−2<2x2+2x+2，化简求解即可．【解答】解：因为x2+x+1>0恒成立，所以原不等式⇔x2−2x−2<2x2+2x+2⇔x2+4x+4>0⇔(x+2)2>0，所以x≠−2，所以不等式的解集为{x|x≠−2}．6.【答案】A【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象性质，二次函数图象的平移及二次函数的图象与x 轴的交点坐标的特征是解决问题的关键，属中档题．由二次函数图象的特点和平移规律作图可得． 【解答】解：设y =(x −a)(x −b)的大致图象如图所示的抛物线①(黑色)， 它与x 轴的交点坐标的横坐标依次为a 、b ，∴f(x)=(x −a)(x −b)+2是由抛物线①向上平移个单位长度得到的． 如图中的抛物线②(红色)，它与x 轴的交点横坐标分别是α，β，∴由图象得a <α<β<b故选：A ．7.【答案】B【解析】 【分析】本题考查一元二次不等式的解法以及一元二次方程根与系数关系，属基础题． 根据已知可得−3，−2为方程ax 2−bx −1=0的两个根，根据韦达定理求出a ，b ，然后根据一元二次不等式求出结果，属于基础题． 【解答】解：根据已知可得−3，−2为方程ax 2−bx −1=0的两个根，且a <0， 根据韦达定理可得{−3−2=ba−3×(−2)=−1a，解得{a =−16b =56则不等式x 2+bx +a >0为x 2+56x −16>0．解得x >16或x <−1． 故选B ．8.【答案】A【解析】 【分析】本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系，考查一元二次方程根与系数的关系问题，属于基础题．根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用一元二次方程根与系数的关系，求出a 、b 的值，再求a +b 的值． 【解答】解：不等式x 2+ax +b <0的解集是{x|−1<x <2}， ∴方程x 2+ax +b =0的实数根是−1和2， 由韦达定理可知{−1+2=−a1(−1)×2=b 1, 解得：{a =−1b =−2, ∴a +b =−1−2=−3． 故选：A ．9.【答案】D【解析】 【分析】本题主要考查一元二次不等式的解法，根据条件求出a ，b 的值是解决本题的关键，属于基础题．根据不等式的解集得到2，3是对应方程的两个根，利用韦达定理求出a ，b 的值，即可解所求不等式的解． 【解答】解：∵x 2+ax +b <0的解集为{x|2<x <3}， ∴2，3是对应方程x 2+ax +b =0的两个根，∴{2+3=−a2×3=b，解得a=−5，b=6，则bx2+ax+1>0等价为6x2−5x+1>0，即(2x−1)(3x−1)>0，解得x<13或x>12，即不等式的解集为{x|x<13或x>12}．故选D．10.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，培养了学生的转化能力，属于基础题．根据跟与系数的关系，得到关于a的方程解得即可，【解答】解：∵x2−2ax−8a2<0的解集为(x1,x2)，∴x1，x2为方程x2−2ax−8a2=0，∴x1+x2=2a，x1x2=−8a2，又x12−x22=15，∴(x12−x22)2=225，∴[(x1+x2)2−2x1x2]2−4(x1x2)2=225，∴144a4=225∴a2=5 4∴a=±√52，故选：C．11.【答案】AD【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质与一元二次不等式恒成立和有解问题的解法，考查了分式不等式，属于基础题．由一元二次函数的图象、方程和不等式之间的关系能判定A 、B 、C ，由分式不等式能确定选项D ． 【解答】解：对于选项A ，函数不存在零点，若a >0，则解集为R ，若a <0，则解集为空集，故选项A 错误;对于选项B ，不等式可知图像开口向下，说明a <0并且至多与x 轴有一个交点，故，故选项B 正确；对于选项C ，当a =0时，x ⩽1，显然不符合题意，当a ≠0时，由二次函数的图象特点可知{a <0△=1+4a ⩽0，解得a ⩽−14，故选项C 正确；对于选项D ，1x −1=1−x x>0，解得0<x <1，故选项D 错误；故选AD ．12.【答案】ABCD【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的分布，一元二次不等式恒成立问题，一元二次不等式与相应函数和方程的关系等知识点，属于中档题．由一元二次方程根的分步以及二次不等式的解法，结合选项逐一判断即可． 【解答】解：对于A ，要使关于x 的方程x 2+(a 2−1)x +a −2=0的一根比1大且另一根比1小，令f(x)=x 2+(a 2−1)x +a −2，必须f(1)<0， 即12+(a 2−1)+a −2<0，解得−2<a <1，故A 正确，对于B ，x 2−kx +k −1<0在(1,2)上恒成立，令g(x)=x 2−kx +k −1，则{g(1)≤0g(2)≤0, 即{12−k +k −1≤022−2k +k −1≤0, 解得k ≥3，故B 正确，对于C ，关于x 的不等式ax −b >0的解集是(1,+∞)，a =b >0，则关于x 的不等式ax+b x−2>0，等价于(ax +b)(x −2)>0，即a(x +1)(x −2)>0，解得x <−1或x >2，故C 正确，对于D ，若不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x|x <−2或x >4}，则a >0，则函数f(x)=ax 2+bx +c =a(x −4)(x +2)=ax 2−2ax −8a ，∴b =−2a,c =−8a,又a >0，b <0,c <0,∴abc >0，故D 正确．故选ABCD ． 13.【答案】{k|k <0或0<k ≤2或k ≥4}【解析】【分析】本题考查一元二次不等式的解法，属于基础题．把x =1代入不等式，由一元二次不等式的解法求解即可．【解答】解：x=1是不等式k2x−6kx+8≥0(k≠0)的解，则k2−6k+8⩾0,解得k⩽2或k⩾4，又因为k≠0，故答案为{k|k<0或0<k≤2或k≥4}．14.【答案】(−∞,−2)⋃(3,+∞)【解析】【分析】本题考查了一元二次不等式的解法，确定二次函数开口方向和二次方程的解是解题的关键，是基础题．【解答】解：由表知抛物线开口方向向上，与x轴的交点为(−2,0)，(3,0)，则不等式ax2+ bx+c>0的解集是(−∞,−2)⋃(3,+∞)．15.【答案】[0,3)【解析】【分析】对于含参数的一元二次不等式恒成立问题，应结合二次函数图像，考虑二次项系数和判别式的值的符号来求解．【解答】解：当k=0时，不等式显然成立，符合条件；当k≠0时，依据二次函数图像，可知{k>0,△=k2−4×2k×38<0.这时0<k<3．综上所述，k的取值范围是0⩽k<3．故答案为[0,3)．16.【答案】{x|−2⩽x⩽72}【解析】【分析】本题考查一元二次不等式的解法，属于基础题．根据二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的解的对应关系即可求解．【解答】解：因为Δ=32+4×2×14=121>0，方程−2x 2+3x +14=0的两个根是−2和72，所以不等式−2x 2+3x +14≥0的解集是{x |−2⩽x ⩽72}，故答案为{x |−2⩽x ⩽72}．17.【答案】2【解析】【分析】本题考查了一元二次不等式与方程根的关系，属于基础题．由题意得出1，m 是方程ax 2+6x −a 2=0的两根，且a <0;再利用韦达定理列出方程组求解即可．【解答】解：由题意知：1，m 是方程ax 2+6x −a 2=0的两根，且a <0;由韦达定理得：{1+m =−6a m =−a⇒{m =2a =−2或{m =−3a =3(舍去); 故答案为2．18.【答案】{x|−2<x <1}【解析】【分析】本题考查一元二次不等式的解法，由新定义得到一元二次不等式，然后求解即可．【解答】解： x ⊕(x −2)=x (x −2)+2x +(x −2)=x 2+x −2 ，即x 2+x −2<0⇒(x +2)(x −1)<0，解得−2<x <1．19.【答案】{x|x <1a 或x >a}【解析】【分析】本题考查一元二次不等式的解法，由a >1，得到1a <1，然后由一元二次不等式的解法即可求解．【解答】解：因为a >1，所以1a <1，则(x −a)(x −1a )>0的解集为x <1a 或x >a 20.【答案】解：(1)当a =1时，不等式为x 2+5x −6<0，因为Δ>0，方程x 2+5x −6=0的根分别是1和−6，所以不等式x 2+5x −6<0的解集为{x|−6<x <1}(2)当a =−1时，不等式为x 2−5x +6>0，因为Δ>0，方程x 2−5x +6=0的根分别是2和3，所以不等式x 2−5x +6>0的解集为{x|x <2或x >3}【解析】本题考查一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于基础题．(1)利用一元二次不等式的解法即可求解；(2)利用一元二次不等式的解法即可求解21.【答案】解：(1)若关于x 的不等式−x 2+ax +b >0的解集为(−4,2)，所以−4和2是方程−x 2+ax +b =0的根，则{a =2−4−b =2×(−4)， 解得a =−2，b =8．(2)当b =a +1时，−x 2+ax +b >0等价于x 2−ax −b <0即[x −(a +1)](x +1)<0， ①当a +1=−1，即a =−2时，原不等式的解集为⌀， ②当a +1<−1，即a <−2时，原不等式的解集为(a +1,−1)， ③当a +1>−1，即a >−2时，原不等式的解集为(−1,a +1)，综上所述，当a =−2时，此不等式的解集为⌀，当a <−2时，此不等式的解集为(a +1,−1)，当a >−2时，此不等式的解集为(−1,a +1)．【解析】本题考察了一元二次不等式解法和一元二次方程、一元二次函数、一元二次不等式之间的关系以及分类讨论思想，属于中档题．(1)利用根于系数的关系可以建立关于a 、b 的方程组，求解即可；(2)将b =a +1带入不等式，整理得[x −(a +1)](x +1)<0，分类讨论a +1和−1之间的大小关系可求不等式解集；22.【答案】解：(1)由题意知k >0且2和3是方程kx 2−2x +6k =0的两根，所以{k >02k=2+3，解得k =25；(2)由题意，不等式kx 2−2x +6k <0对x ∈R 恒成立，当k =0时，不等式变为−2x <0，不合题意；当k ≠0时，则{k <0Δ=4−24k 2<0，解得k <−√66； 综上，实数k 的取值范围为(−∞,−√66)．【解析】本题考查了一元二次不等式与相应的一元二次方程以及二次函数的对应关系．(1)由已知得2和3是相应方程kx 2−2x +6k =0的两根且k >0，利用根与系数的关系即可得出；(2)分情况讨论：当k =0时，不等式变为−2x <0，不合题意；当k ≠0时，则{k <0Δ=4−24k 2<0，即可求出k 的取值范围．。

1．下列函数的图象与x 只有一个交点的是（ ）A ．223y x x =+-B ．223y x x =++C ．223y x x =-+D ．221y x x =-+2．如图，二次函数2y ax bx c =++的部分图象与x 轴的一个交点的横坐标是3-，顶点坐标为()1,4-，则下列说法正确的是（ ）A ．二次函数图象的对称轴是直线1x =B ．二次函数图象与x 轴的另一个交点的横坐标是2C ．当1x <-时，y 随x 的增大而减小D ．二次函数图象与y 轴的交点的纵坐标是33．如图，二次函数232y ax bx =++的图象与x 轴交于点()1,0A -，()3,0B ，与y 轴交于点C ，若直线BC 的解析式为y mx n =+，则2mx ax bx ³+的解集为（ ）A ．0x <或3x ³B ．0x £或3x >C ．03x <<D ．0x £或3x ³4．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，下列结论：①20a b +=；②0a b c ++>；③方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根；④不等式20ax bx c ++<的解集是03x <<．其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①③B ．②④C ．①③④D ．①②③④5．已知二次函数()20y ax bx c a =++¹的部分图象如图所示，图象经过点()0,2，其对称轴为直线=1x -．下列结论中正确的有（ ）个．①30a c +>②若点()14,y -，()23,y 均在二次函数图象上，则12y y <③关于x 的一元二次方程21ax bx c ++=-有两个相等的实数根④满足22ax bx c ++>的x 的取值范围为20x <<﹣A ．1B ．2C ．3D ．46．如图，抛物线2y ax bx c =++的顶点坐标是()1,m ，若关于x 的一元二次方程240ax bx c ++-=无实数根，则m 的取值范围是 ．7．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ．8．如图，拋物线()240y ax ax c a =-+<与x 轴的一个交点的坐标为()2,0-，则关于x 的方程240ax ax c -+=的解为 ，9．如图，已知抛物线242y x x =-+-和线段MN ，点M 和点N 的坐标分别为()()0,4,5,4，将抛物线向上平移()0k k >个单位长度后与线段MN 仅有一个交点，则k 的取值范围是 ．10．如图，是抛物线21(0)y ax bx c a =++¹图象的一部分，抛物线的顶点坐标是()1,3A ，与x 轴的一个交点()4,0B ，直线2(0)y mx n m =+¹与抛物线交于A ，B 两点 ．①20a b +=；②抛物线与x 轴的另一个交点是()2,0-③方程23ax bx c ++=有两个相等的实数根；④当时14x <<，有21y y <；⑤若221122ax bx ax bx +=+，且12x x ¹；则121x x =+．11．如图，抛物线213442y x x =-++与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，(1)求A ，B ，C 的坐标；(2)直线4:43l y x =-+上有一点(),4D m -，在图中画出直线l 和点D ，并判断四边形ACBD 的形状，说明理由．12．已知抛物线245(0)y ax ax a a =-->与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧）．(1)求抛物线的对称轴及点,A B 的坐标；(2)当36x ££时，y 有最大值为14，求抛物线的解析式；(3)已知点()()1,1,6,56E F a -+，若抛物线245(0)y ax ax a a =-->与线段EF 只有一个公共点，求a 的取值范围．【分析】本题考查抛物线与x 轴的交点，二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a ¹）的交点与一元二次方程20ax bx c ++=根之间的关系，根据各个选项中的函数解析式可以计算出D 的值，然后即可判断与x 轴的交点情况．【详解】选项A 中()2242413160b ac -=-´´-=>，与x 轴有2个交点；选项B 中224241380b ac -=-´´=-<，与x 轴没有交点；选项C 中()224241380b ac -=--´´=-<，与x 轴没有交点；选项D 中()22424110b ac -=--´´=，所以选项D 的函数图象与x 轴只有一个交点，故选：D ．2．D【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数的性质，对称性，增减性判断选项A 、B 、C ，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再求出与y 轴的交点坐标即可判定选项D ．【详解】解∶ ∵二次函数2y ax bx c =++的顶点坐标为()1,4-，∴二次函数图象的对称轴是直线=1x -，故选项A 错误；∵二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴的一个交点的横坐标是3-，对称轴是直线=1x -，∴二次函数图象与x 轴的另一个交点的横坐标是1，故选项B 错误；∵抛物线开口向下， 对称轴是直线=1x -，∴当1x <-时，y 随x 的增大而增大，故选项C 错误；设二次函数解析式为()214y a x =++，把()3,0-代入，得()20314a =-++，解得1a =-，∴()214y x =-++，当0x =时，()20143y =-++=，∴二次函数图象与y 轴的交点的纵坐标是3，故选项D 正确，故选D ．【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数图象与性质，待定系数法求一次函数参数，熟练掌握函数图象与不等式的关系是解题的关键．先由二次函数可求得C 点坐标，代入y mx n =+即可得到32n =，然后由2mx ax bx ³+变形为23322mx ax bx +³++，观察图象即可得到答案．【详解】解：Q 232y ax bx =++与y 轴交于点C ，即0x =时，32y =，30,2C æö\ç÷èø又Q 点C 在直线BC ：y mx n =+上，将30,2C æöç÷èø代入y mx n =+，得32n =\直线BC 的解析式为32y mx =+观察图象可知，当0x <时，直线BC 在抛物线的上面，当03x <<时，直线BC 在抛物线的下面，当3x >时，直线BC 在抛物线的上面，2mx ax bx \³+，即23322mx ax bx +³++观察图象可知，该不等式的解集为：0x £或3x ³．故选：D ．4．A【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据抛物线与x 轴的交点坐标求出对称轴，即可判断①；当1x =时，0y <，即可判断②；由抛物线与x 轴有两个不同的交点即可判断③；由图象可知，当13x -<<时，0y <，即可判断④；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．【详解】解：由图象可得，抛物线与x 轴的交点坐标为()1,0-和()3,0，∴抛物线的对称轴为直线1312x -+==，即12b a-=，∴20a b +=，故①正确；由图象可得，当1x =时，0y <，∴0a b c ++<，故②错误；∵抛物线与x 轴有两个不同的交点，∴方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根，故③正确；由图象可知，当13x -<<时，0y <，∴不等式20ax bx c ++<的解集是13x -<<，故④错误；∴正确的结论为①③，故选：A ．5．A【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的图象上点的坐标特征，抛物线与x 轴的交点，函数与方程的关系，数形结合是解题的关键．依据题意，由图象可得抛物线的对称轴是直线12b x a =-=-，与y 轴的交点为()0,2，当1x =时，0y <，然后逐个选项判断即可得解．【详解】解：由题意，∵抛物线的对称轴是直线12b x a=-=-，∴2b a =．又由图象，可得当1x =时，0y a b c =++<，∴30a c +<，故①错误．∵抛物线的对称轴是直线=1x -，∴点()14,y -到对称轴的距离小于点()23,y 到对称轴的距离，∵抛物线开口向下，∴12y y >，故②错误．由题意，令1y =-，∴抛物线2y ax bx c =++与直线1y =-有两个不同的交点．∴关于x 的一元二次方程21ax bx c ++=-有两个不相等的实数根，故③错误．∵当0x =时，y ＝2，又∵抛物线的对称轴是直线x ＝﹣1，∴当2x =-时，2y =．又抛物线开口向下，∴满足22ax bx c ++>的x 的取值范围为20x -<<，故④正确．故选：A ．6．4m <【分析】本题考查抛物线与直线的交点问题．解题的关键将一元二次方程根的情况转化为抛物线与直线的交点问题，据此列式解答即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程240ax bx c ++-=无实数根，∴抛物线2y ax bx c =++与4y =没有交点，∵抛物线2y ax bx c =++的顶点坐标是()1,m ，∴4m <．故答案为：4m <．7．2k >-##2k-<【分析】本题主要考查了抛物线与x 轴的交点问题，以及数形结合法；根据顶点坐标为()12-，，求出248b ac a -=．根据题意可得()()224448442>0b a c k b ac ak a ak a k --=-+=+=+求值即可．【详解】解：由图象可知：二次函数2y ax bx c =++的顶点坐标为()12-，，∴2424ac b a-=-，即248b ac a -=，∵2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，∴()()224448442>0b ac k b ac ak a ak a k --=-+=+=+∵抛物线开口向上∴0a >∴20k +>∴2k >-．故答案为2k >-．8．122,6x x =-=【分析】由拋物线()240y ax ax c a =-+<，可求出对称轴为2,2b x a=-=根据抛物线与x 轴的一个交点的坐标为()2,0-，可求出另外一个交点()6,0,即可得到关于x 的方程240ax ax c -+=的解，【详解】解：∵拋物线()240y ax ax c a =-+<，∴对称轴为：2,2b x a=-=∵与x 轴的一个交点的坐标为()2,0-∴与x 轴的一个交点的坐标为()6,0,∴关于x 的方程240ax ax c -+=的解为：122, 6.x x =-=故答案为：122, 6.x x =-=【点睛】本题主要考查了二次函数和一元二次方程的关系，求出二次函数的对称轴是解此题的关键．9．611k <£或2k =【分析】本题考查二次函数的性质及图象的平移，由题意可知，将抛物线向上平移()0k k >个单位长度后抛物线为()224222y x x x k =-+-=--++，结合图形，找到临界点：当抛物线顶点恰好平移到线段MN 上，当抛物线经过点()5,4N 时，求出对应k 的值，结合图形即可求解．【详解】()224222y x x x =-+-=--+，将抛物线向上平移()0k k >个单位长度后抛物线为()222y x k =--++，当抛物线顶点恰好平移到线段MN 上，此时，24k +=，可得2k =；当抛物线经过点()0,4M 时，此时()20224k --++=，可得6k =，此时()0,4M 关于对称轴2x =对称的点()4,4M ¢，在线段MN 上，不符合题意；当抛物线经过点()5,4N 时，此时()25224k --++=，可得11k =，此时()5,4N 关于对称轴2x =对称的点()1,4N ¢-，不在线段MN 上，符合题意；结合图形可知，平移后的抛物线与线段MN 仅有一个交点时，2k =或611k <£；故答案为：2k =或611k <£．10．①②③④【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，根据二次函数与方程，不等式的关系及函数的图象和性质求解．【详解】解：由题意得：抛物线的对称轴为直线1x =，\12b a-=，20a b \+=，故①正确；由抛物线的对称性得：()1412--=-，抛物线与x 轴的另一个交点是 ()2,0-，故②正确；Q 抛物线的顶点坐标是()1,3A ，\抛物线与直线3y =只有一个交点方程23ax bx c ++=有两个相等的实数根；故③正确；由图象得：当时14x <<，有21y y <；故④正确；Q 221122ax bx ax bx +=+，且12x x ¹；\1212x x +=\122x x +=，故⑤错误，故答案为：①②③④．11．(1)()2,0A -，()8,0B ，()0,4C ；(2)图见详解，四边形ACBD 是平行四边形．【分析】()1分别将0x =和0y =代入213442y x x =-++即可求解；()2求出D 点坐标后画出图形，再分别计算AC 、BC 、BD 、AD 的长度，根据平行四边形的判定定理即可得解．本题考查的知识点是抛物线与x 轴和y 轴的交点、勾股定理、平行四边形的判定定理，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定．【详解】（1）解：当0y =时，2134042x x -++=，解得8x =或 2x =-,()2,0A \-，()8,0B ，当0x =时，4y =，()0,4C \．（2）解：由213444423x x x -++=-+可得0x =，\抛物线与直线的交点为()0,4C ，Q 点D 在直线l 上，4443m \-+=-，解得6m =，即()6,4D -，如图所示：AC \==BC ==，BD ==，AD ==AC BD \=，BC AD =，\四边形ACBD 是平行四边形．12．(1)2x =，(1,0)(50)A B -，，(2)抛物线的解析式为22810y x x =--(3)a 的取值范围是3a ³【分析】（1）根据2b x a=-求得抛物线的对称轴为2x =，令2450ax ax a --=即可解得,A B 的坐标；（2）根据抛物线对称轴为2x =可得当36x ££时，y 随x 的增大而增大，可得当6x =时，y 取得最大值14，代入抛物线解析式可得2a =，从而可得22810y x x =--；（3）由（1）可知抛物线与x 轴交于点(1,0)(50)A B -，，，可得点(11)E -，在抛物线内侧，根据线段EF 与抛物线只有一个公共交点，可知点F 在抛物线上或者在抛物线下方，将6x =代入245y ax ax a =--可得362457y a a a a =--=，当点F 的纵坐标小于等于7a 时可满足EF 与抛物线只有一个公共交点，即567a a +£，解得3a ³．【详解】（1）解：Q 422a x a-=-=\对称轴为直线2x =令2450ax ax a --=即()2450a x x --=Q 0a >\11x =-，25x =\(1,0)(5,0)A B -，（2）解：Q 抛物线245y ax ax a =--（0a >）的开口向上，对称轴为直线2x =，当36x ££时，y 随x 的增大而增大\当6x =时，y 取得最大值14\把6x =，14y =代入245y ax ax a =--，得3624514a a a --=\2a =\抛物线的解析式为：22810y x x =--（3）解：由（1）可知抛物线与x 轴交于点(1,0)(50)A B -，，故点(11)E -，在抛物线内侧Q 线段EF 与抛物线只有一个交点\点F 在抛物线上或者在抛物线下方将6x =代入245y ax ax a =--，得：362457y a a a a=--=\当点F 的纵坐标小于等于7a 时，EF 与抛物线只有一个交点，即567a a+£解得：3a ³\a 的取值范围是3a ³【点睛】本题考查求二次函数的对称轴，与x 轴的交点坐标，抛物线上的点的坐标，以及根据图形求所含参数的取值问题，解题的关键是熟练掌握二次函数图象的性质和数形结合思想的运用．。

5.4二次函数与一元二次方程同步课时训练一、单选题1．若二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴的交点坐标分别是(,0)m 、(,0)n ，且m n <，图象上有一点(,)M p q 在x 轴下方，对于以下说法：①240b ac ->；②x p =是方程20ax bx c q ++-=的解；③m p n <<；④()()0a p m p n --<，对于以上说法正确的是（ ） A ．①②③④B ．①②④C ．③④D ．①③2．如图，抛物线2y ax =与直线y bx c =+的两个交点坐标分别为(2,4),(1,1)A B -，则关于x 的不等式20ax bx c --≥的解集为（ ）A ．21x -≤≤B ．2x -≤，或1≥xC ．14x ≤≤D ．1x ≤，或4x ≥3．如图是二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的部分图象，使1y ≥-成立的x 的取值范围是（ ）A ．1x ≥-B ．1x ≤-C ．13x -≤≤D ．1x ≤-或3x ≥4．如表是一组二次函数y ＝x 2+x ﹣1的自变量x 与函数值y 的对应值．由上表可知，方程x 2+x ﹣1＝0的一个近似解是（ ）5．抛物线222=++y x x 与y 轴的交点坐标为（ ） A ．（1，0）B ．（0，1）C ．（0，0）D ．（0，2）6．已知抛物线y 1＝x 2+1与双曲线y 2＝kx在同一直角坐标系中的图象如图所示，则当y 1＞y 2时，x 的取值范围是（ ）A ．x ＞1B ．x ＜0C ．x ＜0或x ＞1D ．x ＜0或0＜x ＜17．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴相交于(2,0)-和(4,0)两点，当函数值0y <时，自变量x 的取值范围是（ ）A ．2x <-B ．4x >C ．24x -<<D ．2x <-或4x >8．已知关于x 的二次三项式()()2121m x m x m +--+的值恒为正，则m 的取值范围是（ ） A ．18m >B ．1m >-C ．118m -<<D ．1m 18<<9．如图，将抛物线28y x x =-++图象中x 轴上方的部分沿x 轴翻折到x 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，则新图象与直线8y =-的交点个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．已知二次函数y ＝ax 2﹣4ax +3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，若S △ABC ＝3，则a ＝（ ） A ．12-B ．12C ．﹣1D ．1二、填空题11．若函数y ＝x 2＋2x ﹣b 的图象与坐标轴有三个交点，则b 的取值范围是_____． 12．若关于x 的二次函数223y x x m =-++-的函数值恒为负数，则m 的取值范围为______________．13．已知二次函数y ＝ax 2﹣4ax +c 的图象与x 轴交于A （﹣1，0），B 两点，则点B 的坐标为_____．14．二次函数2y ax bx =+的图象如图，若一元二次方程2ax bx m +=有实数根，则m 的最小值为________15．如图所示，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像与x 轴交于点()3,0，对称轴为直线1x =．则方程20cx bx a ++=的两个根为_____．16．将抛物线()214y x =+-向上平移a 个单位后得到的抛物线恰好与x 轴只有一个交点，则a 的值为_________；三、解答题17．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝mx 2+2mx ﹣3m +2． （1）求抛物线的对称轴；（2）①过点P (0，2)作与x 轴平行的直线，交抛物线于点M ，N ．求点M ，N 的坐标； ②横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如果抛物线和线段MN 围成的封闭区域内（不包括边界）恰有3个整点，求m 的取值范围． 18．二次函数2y x px q +=+的顶点M 是直线12y x =-和直线y x m =+的交点． （1）用含m 的代数式表示顶点M 的坐标；（2）若6m =，且x 满足13t x t -+时，二次函数的最小值为2，求t 的取值范围．（3）试证明：无论m 取任何值，二次函数2y x px q +=+的图象与直线y x m =+总有两个不同的交点．19．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线22y ax x c =-+与直线y kx b =+都经过点(0,3)A -和点(3,0)B ，该抛物线的顶点为C ．（1）求抛物线和直线AB 的解析式； （2）连结,AC BC ，求CAB △的面积． 20．已知抛物线23y x bx =+-（b 是常数）与x 轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ．（1）若点A 坐标为()1,0-，求该抛物线的解析式和顶点坐标；（2）在（1）的条件下，设抛物线的对称轴与x 轴交于点N ，在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使CNP 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的P 点坐标；若不存在，说明理由；（3）在12x -≤≤范围内，二次函数有最小值是-6，求b 的值（直接写出答案即可）．参考答案1．B 2．B 3．C 4．C 5．D 6．C 7．D 8．A 9．D 10．D11．b ＞﹣1且b≠0 12．2m < 13．（5，0） 14．-315．11x =-，213x = 16．417．（1）x =﹣1；（2）①M (﹣3，2)，N (1，2)；②1132m <≤或1123m -<<- 【详解】解：（1）∵抛物线y ＝mx 2+2mx ﹣3m +2． ∴对称轴为直线x ＝﹣22mm＝﹣1； （2）①把y ＝2代入y ＝mx 2+2mx ﹣3m +2得mx 2+2mx ﹣3m +2＝2， 解得x ＝1或﹣3，∴M （﹣3，2）；N （1，2）； ②当抛物线开口向上时，如图1，抛物线和线段MN围成的封闭区域内（不包括边界）恰有3个整点，则封闭区域内（不包括边界）的3个点为（﹣2，1），（﹣1，1），（0，1），将（﹣2，1）代入y＝mx2+2mx﹣3m+2，得到m＝13，将（﹣1，0）代入y＝mx2+2mx﹣3m+2，得到m＝12，结合图象可得11 32m<≤．当抛物线开口向下时，如图2，则封闭区域内（不包括边界）的3个点为（﹣2，3），（﹣1，3），（0，3），将（0，3）代入y＝mx2+2mx﹣3m+2，得到m＝﹣13，将（﹣1，4）代入y＝mx2+2mx﹣3m+2，得到m＝﹣12，结合图象可得11 23m-≤<-．综上，m 的取值范围为1132m <≤或1123m -≤<-．18．（1）2,33m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）73t --；（3）见解析 【详解】解：（1）由题意得12y x y x m ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，解得233m x m y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴2(,)33m mM -； （2）当6m =时，顶点为(4,2)M -，∴抛物线为2(4)2y x =++，函数的最小值为2，x 满足13t x t -+时，二次函数的最小值为2，∴1434t t --⎧⎨+-⎩，解得73t --；（3）2y x px q y x m⎧=++⎨=+⎩，得2(1)0x p x q m +-+-=，△22(1)4()2144p q m p p q m =---=-+-+，抛物线的顶点坐标既可以表示为2(,)33m m M -，又可以表示为24(,)24p q p M --． ∴43p m =，2443q m p =+， ∴224421()421433p p m p m p m m =-+-++=-+-+△，4442142()141333p m m m m m =-+-+=-+-+=△，∴△0>，∴无论m 取任何值，二次函数2y x px q +=+的图象与直线y x m =+总有两个不同的交点．19．（1）y=x 2-2x-3；y=x-3；（2）3【详解】解：（1）把A （0，-3）和B （3，0）代入y=ax 2-2x+c 得3960c a c =-⎧⎨-+=⎩，解得：13a c =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为y=x 2-2x-3；把A （0，-3）和B （3，0）代入y=kx+b 得330b k b =-⎧⎨+=⎩，解得：13k b =⎧⎨=-⎩，∴直线AB 的解析式为y=x-3；（2）过C 点作CD ∥y 轴交AB 于D ，如图， ∵y=x 2-2x-3=（x-1）2-4， ∴C （1，-4），当x=1时，y=x-3=-2，则D （1，-2）， ∴△CAB 的面积=12×3×（-2+4）=3．20．（1）223y x x =--，顶点坐标为()1,4-）；（2）符合条件的点P 存在，点(P ）或(1,或51,3⎛⎫- ⎪⎝⎭或()1,6-；（3）当b =-或4b =时，在12x -≤≤范围内，二次函数有最小值是6- 【详解】解：（1）∵抛物线经过点()1,0A -，∴()2130b ---=，解得，2b =-，则抛物线的解析式为223y x x =--；()222314y x x x =--=--，∴抛物线的顶点坐标为()1,4-）； （2）存在点P ，设()1,P t ， 根据题意得：N （1,0），C （0，-3）则CN ==NP =；PC =∴CNP 为等腰三角形，分三种情况： ①当CN NP =时，210t =，得t =∴点P 的坐标为(）或(1,； ②当PC NP =时，()221+3t t +=，22169t t t +++=，解得，53t =-， ∴点P 的坐标为51,3⎛⎫- ⎪⎝⎭）； ③当PC CN =时，()21310t ++=，()239t +=，解得10t =（舍去），26t =-， ∴点P 的坐标为()1,6-；∴符合条件的点P 存在，点(P ）或(1,或51,3⎛⎫- ⎪⎝⎭或()1,6-．（3）抛物线的对称轴为：x=2b -， ∵抛物线开口向上，当2b-＞2时，x=2时，函数有最小值， 即4+2b-3=-6， 解得，b=72-（舍去）； 当-1≤2b -≤2时，x=2b-时，函数有最小值， 即223642b b --=-，解得，b 1=，b 2=- 当2b-＜-1时，x=-1时，函数有最小值， 即136b --=-， 解得，b=4；当b =-或4b =时，在12x -≤≤范围内，二次函数有最小值是6-．。

高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式专项训练单选题1、若a>0，b>0，则下面结论正确的有（）A．2(a2+b2)≤(a+b)2B．若1a +4b=2，则a+b≥92C．若ab+b2=2，则a+b≥4D．若a+b=1，则ab有最大值12答案：B分析：对于选项ABD利用基本不等式化简整理求解即可判断，对于选项C取特值即可判断即可. 对于选项A：若a>0，b>0，由基本不等式得a2+b2≥2ab，即2(a2+b2)≥(a+b)2，当且仅当a=b时取等号；所以选项A不正确；对于选项B：若a>0，b>0，1 2×(1a+4b)=1，a+b=12×(1a+4b)(a+b)=12(5+ba+4ab)≥12(5+2√ba⋅4ab)=92，当且仅当1a +4b=2且ba=4ab，即a=32,b=3时取等号，所以选项B正确；对于选项C：由a>0，b>0，ab+b2=b(a+b)=2，即a+b=2b，如b=2时，a+b=22=1<4，所以选项C不正确；对于选项D：ab≤(a+b2)2=14，当且仅当a=b=12时取等则ab有最大值14，所以选项D不正确；故选：B2、若不等式2x2+2mx+m4x2+6x+3<1对一切实数x均成立，则实数m的取值范围是（）A ．(1,3)B ．(−∞,1)C ．(−∞,1)∪(3,+∞)D ．(3,+∞) 答案：A分析：因为4x 2+6x +3=4(x +34)2+34>0恒成立，则2x 2+2mx+m 4x 2+6x+3<1恒成立可转化为2x 2+(6−2m )x +(3−m )>0恒成立，则Δ<0，即可解得m 的取值范围 因为4x 2+6x +3=4(x +34)2+34>0恒成立 所以2x 2+2mx+m 4x 2+6x+3<1恒成立⇔2x 2+2mx +m <4x 2+6x +3恒成立 ⇔2x 2+(6−2m )x +(3−m )>0恒成立 故Δ=(6−2m )2−4×2×(3−m )<0 解之得：1<m <3 故选：A3、若不等式ax 2+bx +2>0的解集是{x |−12<x <13}，则ax +b >0的解集为（ ）A ．(−∞,−16)B ．(−∞,16)C ．(−16,+∞)D ．(16,+∞)答案：A分析：利用根于系数的关系先求出a,b ，再解不等式即可. 不等式ax 2+bx +2>0的解集是{x |−12<x <13} 则根据对应方程的韦达定理得到：{(−12)+13=−ba(−12)⋅13=2a ， 解得{a =−12b =−2，则−12x −2>0的解集为(−∞,−16) 故选：A4、不等式|5x −x 2|<6的解集为（ ）A ．{x|x <2,或x >3}B ．{x|−1<x <2,或3<x <6}C ．{x|−1<x <6}D ．{x|2<x <3}答案：B分析：按照绝对值不等式和一元二次不等式求解即可. 解：∵|5x−x2|<6，∴−6<5x−x2<6∴{x 2−5x−6<0x2−5x+6>0⇒{−1<x<6x<2或x>3⇒−1<x<2或3<x<6则不等式的解集为：{x|−1<x<2或3<x<6}故选：B.5、已知x>0，y>0，且x+y=2，则下列结论中正确的是（）A．2x +2y有最小值4B．xy有最小值1C．2x+2y有最大值4D．√x+√y有最小值4答案：A分析：利用基本不等式和不等式的性质逐个分析判断即可解：x>0，y>0，且x+y=2，对于A，2x +2y=12(x+y)(2x+2y)=2+xy+yx≥2+2√xy⋅yx=4，当且仅当x=y=1时取等号，所以A正确，对于B，因为2=x+y≥2√xy，所以xy≤1，当且仅当x=y=1时取等号，即xy有最大值1，所以B错误，对于C，因为2x+2y≥2√2x⋅2y=2√2x+y=4，当且仅当x=y=1时取等号，即2x+2y有最小值4，所以C错误，对于D，因为(√x+√y)2=x+y+2√xy≤2(x+y)=4，当且仅当x=y=1时取等号，即√x+√y有最大值4，所以D错误，故选：A6、已知集合M={x|−4<x<2}，N={x|x2−x−6<0}，则M∩N=A．{x|−4<x<3}B．{x|−4<x<−2}C．{x|−2<x<2}D．{x|2<x<3}答案：C分析：本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．由题意得，M={x|−4<x<2},N={x|−2<x<3}，则M∩N={x|−2<x<2}．故选C．小提示：不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．7、关于x的方程x2+(m−2)x+2m−1=0恰有一根在区间(0,1)内，则实数m的取值范围是（）A．[12,32]B．(12,23]C．[12,2)D．(12,23]∪{6−2√7}答案：D分析：把方程的根转化为二次函数的零点问题，恰有一个零点属于(0,1)，分为三种情况，即可得解. 方程x2+(m-2)x+2m-1=0对应的二次函数设为：f(x)=x2+(m-2)x+2m-1因为方程x2+(m-2)x+2m-1=0恰有一根属于(0,1)，则需要满足：①f(0)⋅f(1)<0，(2m-1)(3m-2)<0，解得：12<m<23；②函数f(x)刚好经过点(0,0)或者(1,0)，另一个零点属于(0,1)，把点(0,0)代入f(x)=x2+(m-2)x+2m-1，解得：m=12，此时方程为x2-32x=0，两根为0，32，而32⋅(0,1)，不合题意，舍去把点(1,0)代入f(x)=x2+(m-2)x+2m-1，解得：m=23，此时方程为3x2-4x+1=0，两根为1，13，而13⋅(0,1)，故符合题意；③函数与x轴只有一个交点，Δ=(m-2)2-8m+4=0，解得m=6±2√7，经检验，当m=6-2√7时满足方程恰有一根在区间 (0,1) 内;综上：实数m的取值范围为(12,23]⋅{6-2√7}故选：D8、已知1a <1b<0，则下列结论正确的是（）A．a<b B．a+b<ab C．|a|>|b|D．ab>b2答案：B分析：结合不等式的性质、差比较法对选项进行分析，从而确定正确选项.因为1a <1b<0，所以b<a<0，故A错误；因为b<a<0，所以a+b<0,ab>0，所以a+b<ab，故B正确；因为b<a<0，所以|a|>|b|不成立，故C错误；ab−b2=b(a−b)，因为b<a<0，所以a−b>0，即ab−b2=b(a−b)<0，所以ab<b2成立，故D错误.故选：B多选题9、若a，b，c∈R，则下列命题正确的是（）A．若ab≠0且a<b，则1a >1bB．若0<a<1，则a2<aC．若a>b>0且c>0，则b+ca+c >baD．a2+b2+1≥2(a−2b−2)答案：BCD分析：由不等式的性质逐一判断即可.解：对于A，当a<0<b时，结论不成立，故A错误；对于B，a2<a等价于a(a−1)<0，又0<a<1，故成立，故B正确；对于C，因为a>b>0且c>0，所以b+ca+c >ba等价于ab+ac>ab+bc，即(a−b)c>0，成立，故C正确；对于D，a2+b2+1≥2(a−2b−2)等价于(a−1)2+(b+2)2≥0，成立，故D正确. 故选：BCD.10、已知正实数a，b满足a+b=ab，则（）A．a+b≥4B．ab≥6C．a+2b≥3+2√2D．ab2+ba2≥1答案：ACD分析：根据特殊值判断B，利用ab⩽(a+b)24判断A，利用换“1”法判断C，变形后利用基本不等式判断D. 对于B，当a=b=2时，满足a+b=ab，此时ab<6，B错误；对于A，ab⩽(a+b)24，则(a+b)24⩾a+b，变形可得a+b⩾4，当且仅当a=b=2时等号成立，A正确；对于C ，a +b =ab ，变形可得1a +1b =1，则有a +2b =(a +2b)(1a +1b )=3+2b a+ab ⩾3+2√2，当且仅当a =2b 时等号成立，C 正确； 对于D ，ab 2+ba 2=a 3+b 3a 2b 2=(a+b)(a 2+b 2−ab)a 2b 2=b a +ab −1⩾2−1=1，当且仅当a =b =2时等号成立，D 正确；故选：ACD11、对任意两个实数a,b ，定义min{a ，b}={a,a ≤b,b,a >b,若f (x )=2−x 2，g (x )=x 2，下列关于函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的说法正确的是（ ） A ．函数F (x )是偶函数 B ．方程F (x )=0有三个解C ．函数F (x )在区间[−1,1]上单调递增D ．函数F (x )有4个单调区间 答案：ABD分析：结合题意作出函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的图象，进而数形结合求解即可.解：根据函数f (x )=2−x 2与g (x )=x 2，，画出函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的图象，如图． 由图象可知，函数F (x )=min {f (x ),g (x )}关于y 轴对称，所以A 项正确； 函数F (x )的图象与x 轴有三个交点，所以方程F (x )=0有三个解，所以B 项正确；函数F (x )在(−∞,−1]上单调递增，在[−1,0]上单调递减，在[0,1]上单调递增，在[1,+∞)上单调递减，所以C 项错误，D 项正确． 故选：ABD填空题12、若不等式kx2+2kx+2<0的解集为空集，则实数k的取值范围是_____．答案：{k|0≤k≤2}分析：分k=0和k>0两种情况讨论，当k>0时需满足Δ≤0，即可得到不等式，解得即可；解：当k=0时，2<0不等式无解，满足题意；当k>0时，Δ=4k2−8k≤0，解得0<k≤2；综上，实数k的取值范围是{k|0≤k≤2}．所以答案是：{k|0≤k≤2}13、已知a,b,a+m均为大于0的实数,给出下列五个论断:①a>b,②a<b,③m>0,④m<0,⑤b+ma+m >ba.以其中的两个论断为条件,余下的论断中选择一个为结论,请你写出一个正确的命题___________. 答案：①③推出⑤(答案不唯一还可以①⑤推出③等)解析：选择两个条件根据不等式性质推出第三个条件即可，答案不唯一.已知a,b,a+m均为大于0的实数,选择①③推出⑤.①a>b，③m>0，则b+ma+m −ba=ab+am−ab−bma(a+m)=am−bma(a+m)=(a−b)ma(a+m)>0，所以b+ma+m >ba.所以答案是：①③推出⑤小提示：此题考查根据不等式的性质比较大小，在已知条件中选择两个条件推出第三个条件，属于开放性试题，对思维能力要求比较高.14、已知不等式ax2+bx+c>0的解集为(2,4)，则不等式cx2+bx+a<0的解集为___________.答案：{x|x>12或x<14}分析：先由不等式ax2+bx+c>0的解集为(2,4)，判断出b=-6a,c=8a,把cx2+bx+a<0化为8x2−6x+ 1>0，即可解得.因为不等式ax2+bx+c>0的解集为(2,4)，所以a<0且2和4是ax2+bx+c=0的两根.所以{2+4=−ba2×4=ca可得：{b=−6ac=8a，所以cx2+bx+a<0可化为：8ax2−6ax+a<0，因为a<0，所以8ax2−6ax+a<0可化为8x2−6x+1>0，即(2x−1)(4x−1)>0，解得：x>12或x<14，所以不等式cx2+bx+a<0的解集为{x|x>12或x<14}.所以答案是：{x|x>12或x<14}.解答题15、回答下列问题：(1)若a>b，且c>d，能否判断a−c与b−d的大小？举例说明．(2)若a>b，且c<d，能否判断a+c与b+d的大小？举例说明．(3)若a>b，且c>d，能否判断ac与bd的大小？举例说明．(4)若a>b，c<d，且c≠0，d≠0，能否判断ac 与bd的大小？举例说明．答案：(1)不能判断，举例见解析(2)不能判断，举例见解析(3)不能判断，举例见解析(4)不能判断，举例见解析分析：因为a,b,c,d的正负不确定，因此可举例说明每个小题中的两式的大小关系不定. （1）不能判断a−c与b−d的大小，举例：取a=5,b=3,c=1,d=0，满足条件a>b，且c>d，此时a−c>b−d；取a=5,b=4,c=3,d=0，满足条件a>b，且c>d，此时a−c<b−d；取a=5,b=4,c=3,d=2，满足条件a>b，且c>d，此时a−c=b−d；（2）不能判断a+c与b+d的大小，举例：取a=5,b=3,c=0,d=1，满足条件a>b，且c<d，此时a+c>b+d；取a=5,b=3,c=2,d=6，满足条件a>b，且c<d，此时a+c<b+d.取a=5,b=3,c=4,d=6，满足条件a>b，且c<d，此时a+c=b+d；（3）不能判断ac与bd的大小，举例：取a=5,b=3,c=1,d=0，满足条件a>b，且c>d，此时ac>bd；取a=5,b=3,c=−3,d=−5，满足条件a>b，且c>d，此时ac=bd；取a=5,b=−3,c=1,d=−2，满足条件a>b，且c>d，此时ac<bd；（4）不能判断ac 与bd的大小举例：取a=6,b=3,c=1,d=2，满足条件a>b，且c<d，此时ac >bd；取a=2,b=1,c=−1,d=2，满足条件a>b，且c<d，此时ac <bd；取a=6,b=3,c=−2,d=−1，满足条件a>b，且c<d，此时ac =bd；。

第二章 一元二次函数、方程和不等式2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（共2课时）（第1课时）一、选择题1．（2019北京高一期中）不等式x(x +2)<3的解集是（ ）． A ．{x|−1<x <3} B ．{x|−3<x <1} C ．{x|x <−1 ，或x >3} D ．{x|x <−3 ，或x >1} 【答案】B【解析】由题意x(x +2)<3，∴x 2+2x −3<0即(x +3)(x −1)<0，解得：−3<x <1， ∴该不等式的解集是{x|−3<x <1}，故选B ．2．（2019全国课时练习）已知集合A ={y|y −2>0},集合B ={x|x 2−2x ≤0},则A ∪B = ( ) A ．[0,+∞) B ．(−∞,2] C ．[0,2)∪(2,+∞) D ．R 【答案】A【解析】∵集合A ={y|y −2>0}，集合B ={x|x 2−2x ≤0}={x|0≤x ≤2}， ∴A ∪B ={x|x ≥0}= [0,+∞)，故选A.3．（2019全国课时练习）不等式2620x x --+≤的解集是（ ）A.21|32x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭B.21|32x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或 C.1|2x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭D.3|2x x ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭【答案】B【解析】22620620(21)(32)0x x x x x x --+≤⇒+-≥⇒-+≥2132或x x ⇒≤-≥．故选B ．4．（2019·安徽高一期中）若关于x 的不等式230ax bx ++>的解集为1(1,)2-，其中,a b 为常数，则不等式230x bx a ++<的解集是（ ） A ．(1,2)- B ．(2,1)-C ．1(,1)2-D ．1(1,)2-【答案】A【解析】由230ax bx ++>解集为11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭可得：()11122311122ba a⎧-=-+=-⎪⎪⎨⎪=-⨯=-⎪⎩解得：63a b =-⎧⎨=-⎩ ∴所求不等式为：23360x x --<，解得：()1,2x ∈- 本题正确选项：A5．（2019天津高一课时练习）在R 上定义运算⊗:a ⊗b =ab +2a +b ，则满足x ⊗(x −2)<0的实数x 的取值范围为（ ） A ．(0,2)B ．(−2,1)C ．(−∞,−2)∪(1,+∞)D ．(−1,2)【答案】B【解析】由定义运算⊙可知不等式x ⊙（x －2）＜0为x(x −2)+2x +x −2<0，解不等式得解集为（－2,1）6．（2019全国高一课时练习）一元二次不等式2kx 2+kx ﹣＜0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围是（ ）A.（﹣3，0）B.（﹣3，0]C.[﹣3，0]D.（﹣∞，﹣3）∪[0，+∞） 【答案】A【解析】由一元二次不等式2kx 2+kx ﹣＜0对一切实数x 都成立，则，解得﹣3＜k ＜0．综上，满足一元二次不等式2kx 2+kx ﹣＜0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是（﹣3，0）． 故选A ． 二、填空题7．（2019全国高三课时练习）不等式220x x +-<的解集为___________． 【答案】()2,1-【解析】不等式220(2)(1)0x x x x +-<⇔+-<的解集为()2,1-.8.（2019广州市培正中学高二课时练习）若关于x 的不等式 −12x 2+2x >mx 的解集是{x|0<x <2}，则实数m 的值是_____________． 【答案】1.【解析】∵不等式−12x 2+2x >mx 的解集为{x|0<x <2}，∴0,2是方程−12x 2+(2−m )x =0的两个根，∴将2代入方程得m =1，∴m =1，故答案为1.9.（2019天津高一课时练习）如果关于x 的不等式5x 2-a≤0的正整数解是1,2,3,4,那么实数a 的取值范围是____. 【答案】[80,125)【解析】由题意知a >0,由5x 2-a ≤0,得−√a5≤x ≤√a5,不等式的正整数解是1,2,3,4,则4≤√a5<5,∴80≤a <125.即实数a 的取值范围是[80,125).10．（2019·全国高一课时练习）当()1,3x ∈时，不等式240x mx -+>恒成立，则实数m 的取值范围是_____________． 【答案】4m <【解析】240x mx -+>，且()1,3x ∈，所以原不等式等价于24x m x+<，不等式恒成立，则24min x m x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，由2444x x x x +=+≥=，当且仅当()21,3x =∈时,24 4minx x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以正确答案为4m <。

苏教版高一上学期数学(必修一)《3.3.2从函数观点看一元二次不等式》同步测试题及答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1.不等式(x-1)(x+3)>0的解集为()A.{x|x>6或x<-3}B.{x|-3<x<6}C.{x|x>1或x<-3}D.{x|-6<x<3}2.下列不等式的解集为R的是()A.-x2+x+1≥0B.x2-2√5x+√5>0C.x2+6x+10>0D.2x2-3x+4<13.设集合A={x|x2-x-2<0},集合B={x|1<x<3},则A∪B=()A.{x|-1<x<3}B.{x|-1<x<1}C.{x|1<x<2}D.{x|2<x<3})>0的解集是 ()4.若0<a<1,则不等式(a-x)(x-1a}A.{x|a<x<1a<x<a}B.{x|1a}C.{x|x>a或x<1a}D.{x|x<a或x>1a},则a+b等于 ()5.若不等式ax2+bx-2>0的解集为{x|-2<x<-14A.-18B.8C.-13D.16.关于x的不等式x2-2ax-3a2<0(a>0)的解集为{x|x1<x<x2},且x2-x1=15,则a=()A.52B.72C.154D.1527.设a,b,c为实数,且4a-4b+c>0,a+2b+c<0,16a-8b+c<0,则 ()A.b2<ac且a>0B.b2>ac且a<0C.b2>ac且a>0D.b2<ac且a<08.(多选题)[2024·杭州重点中学高一期中] 已知一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-2<x<1},则()A.a<0B.c<0C.a+b+c=0D.a-b+2c>09.(多选题)解关于x的不等式ax2+(2-4a)x-8>0,下列说法正确的是()A.当a=0时,不等式的解集为{x|x>4}B.当a>0时,不等式的解集为{x|x>4或x<-2a}C.当a=-12时,不等式的解集为RD.当a=-1时,不等式的解集为{x|2<x<4}二、填空题10.若不等式(x-a)(x-b)<0的解集为{x|1<x<2},则a+b的值为.11.若关于x的不等式ax2-6x+a2<0的非空解集为{x|1<x<m},则m=.12.已知x=1是不等式k2x2-6kx+8≥0(k≠0)的解,则k的取值范围是.三、解答题13.解关于x的不等式x2-(a+a2)x+a3>0.14.已知关于x的不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}.(1)求a ,b 的值;(2)解不等式ax 2-(ac+b )x+bc<0.15.若关于x 的不等式(m+1)x 2-mx+m-1<0的解集为⌀,则实数m 的取值范围是( ) A .m<-1B .m ≥2√33C .m ≥-2√33 D .m ≥2√33或m ≤-2√3316.设0<b<1+a.若关于x 的不等式(x-b )2>(ax )2的整数解恰有3个,求a 的取值范围.参考答案1.C [解析] 解(x-1)(x+3)=0可得x=-3或x=1,所以,不等式(x-1)(x+3)>0的解集为{x|x>1或x<-3}.故选C .2.C [解析] 对于A,-x 2+x+1≥0可化为x 2-x-1≤0,二次函数y=x 2-x-1的图象开口向上,故A 中不等式的解集不为R;对于B,二次函数y=x 2-2√5x+√5的图象开口向上,Δ=(-2√5)2-4×√5>0,故B 中不等式的解集不为R;对于C,二次函数y=x 2+6x+10的图象开口向上,Δ=62-4×10<0,故C 中不等式的解集为R;对于D,不等式2x 2-3x+4<1可化为2x 2-3x+3<0,二次函数y=2x 2-3x+3的图象开口向上,故D 中不等式的解集不为R .故选C .3.A [解析] ∵A={x|-1<x<2},B={x|1<x<3},∴A ∪B={x|-1<x<3},故选A .4.A [解析] 不等式(a-x )(x -1a )>0可化为(x-a )(x -1a )<0,因为0<a<1,所以a<1a ,故解集是{x |a <x <1a}. 5.C [解析] 由题知a<0,-2和-14是方程ax 2+bx-2=0的两根.∴{ a <0,-2+(-14)=-b a ,-2×(-14)=-2a ,∴{a =-4,b =-9.∴a+b=-13. 6.C [解析] 由条件知x 1,x 2为方程x 2-2ax-3a 2=0的两根,所以x 1+x 2=2a ,x 1x 2=-3a 2,故(x 2-x 1)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=(2a )2-4×(-3a 2)=16a 2=152,解得a=±154,又a>0,所以a=154.故选C .7.B [解析] 设y=ax 2+2bx+c (a ≠0),则当x=-2时,y=4a-4b+c>0,当x=1时,y=a+2b+c<0,∴关于x 的方程ax 2+2bx+c=0有两个不同的实根,∴Δ=4b 2-4ac>0,即b 2>ac.又当x=-4时,y=16a-8b+c<0,∴抛物线开口向下,∴a<0.故选B .8.ACD [解析] 不等式ax 2+bx+c>0的解集为{x|-2<x<1},故a<0且{-2+1=-b a ,-2×1=c a ,即{b =a ,c =-2a ,对于选项A,a<0,故A 正确;对于选项B,c=-2a>0,故B 错误;对于选项C,a+b+c=a+a+(-2a )=0,故C 正确;对于选项D,a-b+2c=a-a+2(-2a )=-4a>0,故D 正确.故选ACD .9.ABD [解析] 不等式ax 2+(2-4a )x-8>0可化为(ax+2)(x-4)>0,当a=0时,不等式的解集为{x|x>4},故A 正确;当a>0时,不等式的解集为{x |x >4或x <-2a },故B 正确;当a=-12时,不等式为12x 2-4x+8<0,又Δ=(-4)2-4×12×8=0,所以不等式的解集为空集,故C 错误;当a=-1时,不等式为x 2-6x+8<0,可得不等式的解集为{x|2<x<4},故D 正确.故选ABD .10.3 [解析] 因为不等式(x-a )(x-b )<0的解集为{x|1<x<2},所以1和2为方程(x-a )(x-b )=0的两个根,则有{a =1,b =2或{a =2,b =1.所以a+b=1+2=3,即a+b 的值为3. 11.2 [解析] 因为ax 2-6x+a 2<0的解集为{x|1<x<m }.所以a>0,且1与m 是方程ax 2-6x+a 2=0的根.则{1+m =6a ,m =a ,即1+m=6m .所以m 2+m-6=0,解得m=-3或m=2,当m=-3时,a=m<0(舍去),故m=2. 12.k<0或0<k ≤2或k ≥4 [解析] 由已知得k 2-6k+8≥0,即(k-2)(k-4)≥0,解得k ≤2或k ≥4.又k ≠0,所以k<0或0<k ≤2或k ≥4.13.解:原不等式可化为(x-a )(x-a 2)>0.则方程x 2-(a+a 2)x+a 3=0的两根为x 1=a ,x 2=a 2,由a 2-a=a (a-1)可知①当a<0或a>1时,a 2>a ,∴原不等式的解为x>a 2或x<a.②当0<a<1时,a 2<a ,∴原不等式的解为x>a 或x<a 2.③当a=0时,原不等式为x 2>0,∴x ≠0.④当a=1时,原不等式为(x-1)2>0,∴x ≠1.综上可知:当a<0或a>1时,原不等式的解集为{x|x<a 或x>a 2};当0<a<1时,原不等式的解集为{x|x<a 2或x>a };当a=0时,原不等式的解集为{x|x ≠0};当a=1时,原不等式的解集为{x|x ≠1}.14.解:(1)因为关于x 的不等式ax 2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b },所以1和b 是关于x 的方程ax 2-3x+2=0的两个实数根由根与系数的关系,得{1+b =3a ,1·b =2a ,解得{a =1,b =2. (2)原不等式可化为x 2-(c+2)x+2c<0,即(x-2)(x-c )<0. ①当c>2时,不等式的解集为{x|2<x<c };②当c<2时,不等式的解集为{x|c<x<2};③当c=2时,不等式的解集为⌀.15.B [解析] ①当m+1=0,即m=-1时,不等式化为x-2<0,解得x<2,不满足题意; ②当m+1≠0,即m ≠-1时,由题意得m+1>0且Δ=(-m )2-4(m+1)(m-1)≤0,解得m ≥2√33. 综上,实数m 的取值范围是m ≥2√33. 16.解:原不等式转化为[(1-a )x-b ][(1+a )x-b ]>0.①当a ≤1时,结合不等式解集的形式知不符合题意;②当a>1时,解原不等式可得b 1-a <x<b a+1,由题意知0<b a+1<1,所以要使原不等式的整数解恰有3个,则需-3≤b1-a <-2,整理得2a-2<b ≤3a-3.结合题意b<1+a ,有2a-2<1+a ,所以a<3,从而有1<a<3. 综上,a 的取值范围是1<a<3.。

第二章 一元二次函数、方程和不等式 第3节 二次函数与一元二次方程、不等式一、基础巩固1．（2020·四川省三台中学高一月考）不等式(3)(5)0x x -+>的解集是（ ） A ．{53}x x -<< B ．{|5x x <-或3}x > C ．{35}x x -<< D ．{|3x x <-或5}x >【答案】B【解析】与不等式对应的一元二次函数为：(3)(5)y x x =-+， 如图函数开口向上，与x 轴的交点为：(5,0)-，(3,0)，可得不等式的解集为：{|5x x <-或3}x >.2．（2020·江苏省高一期末）不等式28x >的解集是（ ） A ．(2,22)- B ．(,22)(22,)-∞-⋃+∞ C ．(42,42)-D ．(,42)2,)-∞-⋃+∞【答案】B【解析】由28x >得280x ->，即(22220x x -+>，解得22x <-或2x >(,2)(22,)-∞-⋃+∞. 3．（2020·吉林省实验高一期中）不等式()43x x -<的解集为（ ） A ．{|1x x <或}3x >B ．{0x x <或}4x >C ．{}13x x << D ．{}04x x <<【答案】A【解析】由题：等式()43x x -<化简为：2430x x -+>()()130x x -->解得：1x <或3x >.4．（2020·安徽省怀宁县第二中学高一期中）不等式13()()022≥x x +-的解集是（ ） A ．1{|2x x <-或3}2x > B ．1{|2x x ≤-或3}2x ≥ C ．13{|}22x x -≤≤ D ．13{|}22x x -<<【答案】C【解析】不等式130,22x x ⎛⎫⎛⎫+-≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭可化为130,22x x ⎛⎫⎛⎫+-≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1322x ≤≤∴-， 所以不等式的解集为.13{|}22x x -≤≤ 5．（2020·浙江省高一期末）不等式23210x x +-≤的解集是（ ） A ．11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．(]1,1,3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[)1,1,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦【答案】A【解析】由23210x x +-≤，可得，(1)(31)0+-≤x x ， 所以，113x -≤≤，故选：A 6．（2020·盘锦市第二高级中学高一期末）不等式290x -<的解集为（ ） A ．{}3x x > B ．{}3x x <-C ．{}33x x -<< D ．{3x x <-或}3x >【答案】D【解析】将不等式290x -<变形为290x ->，解此不等式得3x <-或3x >. 因此，不等式290x -<的解集为{3x x <-或}3x >.7．（2020·浙江省高一期末）不等式23100x x --<的解集是（ ） A ．()2,5- B ．()5,2- C ．()(),52,-∞-+∞ D ．()(),25,-∞-+∞【答案】A【解析】解：因为23100x x --<，所以(2)(5)0x x +-< 解得25x -<<，所不等式的解集为{}25x x -<<，故选：A8．（2020·邢台市第二中学高一开学考试）已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=A ．}{43x x -<<B ．}{42x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<【答案】C【解析】由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则{}22M N x x ⋂=-<<．故选C ．9．（2020·元氏县第四中学高一月考）一元二次不等式2260x x +-≥的解集为（ ） A ．(]3,2,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭B ．([)3,2,2⎤-∞-+∞⎥⎦C ．32,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．322⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 【答案】A【解析】原不等式可化为()()2320x x -+≥， 解得，2x -≤，或32x ≥. 10．（2020·浙江省诸暨中学高一期中）关于x 的不等式()()()1101ax x a --<>的解集为（ ） A ．11,a ⎛⎫⎪⎝⎭B ．()1,1,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C ．1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭D ．()1,1,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】方程()()110ax x =--的两根分别为1,1a， 又1a >，所以11a <，故此不等式的解集为1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 11．（2019·天津市双菱中学高一月考）一元二次不等式220ax bx ++>的解集是11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭，则+a b 的值是（ ） A ．10 B ．-10C ．14D ．-14【答案】D【解析】解：根据题意，一元二次不等式220ax bx ++>的解集是11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭， 则方程220ax bx ++=的两根为12-和13， 则有112311223b a a ⎧⎛⎫-+=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-⨯= ⎪⎪⎝⎭⎩，解可得12a =-，2b =-， 则14a b +=-，故选：D ．12．（2020·安徽省六安中学高一期末（理））关于x 的不等式x 2﹣（a +1）x +a ＜0的解集中恰有两个正整数，则实数a 的取值范国是（ ） A ．[2，4） B ．[3，4]C ．（3，4]D ．（3，4）【答案】C【解析】()()()21010x a x a x a x -++<⇔--<，因解集中恰好有两个正整数，可判断解集为()1,x a ∈，两正整数为2,3，故(]3,4a ∈ 13．（2020·吉林省实验高一期末）不等式222221x x x x --<++的解集为 ( )A ．{}2x x ≠- B ．RC ．∅D ．{|2x x <-或}2x >【答案】A【解析】由222221x x x x --<++得：222222442011x x x x x x x x ------=<++++210x x ++>恒成立 2440x x ∴---<又()22442x x x ---=-+ ()220x ∴+> 2x ∴≠-∴不等式222221x x x x --<++的解集为{}2x x ≠- 14．（2020·宁夏回族自治区银川一中高一期末）不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦成立，则a 的最小值为（ ） A ．52B ．52-C ．2D ．2-【答案】B 【解析】记2()1=++f x x ax ，不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦成立，则必须有(0)1011110242f f a =≥⎧⎪⎨⎛⎫=++≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得52a ≥-， 52a =-时，22559()1()2416f x x x x =-+=--，在10,2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，min 1()()02f x f ==，满足题意，∴a 的最小值是52-．15．（2020·浙江省高一期末）不等式210x -<的解集是（ ）A ．()1,1-B ．(),1-∞-C ．(),1-∞D ．()(),11,-∞-+∞【答案】A【解析】解：因为210x -<，所以()()110x x -+<，解得11x -<<，即()1,1x ∈- 故选：A16．（2020·重庆高一期末）若关于x 的一元二次不等式2210ax x ++>的解集为R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞ B ．()0,1C ．(),1-∞D ．()(),00,1-∞【答案】A【解析】由于关于x 的一元二次不等式2210ax x ++>的解集为R ，则0440a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得1a >.因此，实数a 的取值范围是()1,+∞.17．（2020·齐齐哈尔市朝鲜族学校高一期中）不等式250ax x c -+<的解集为11|32x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，则a ，c 的值为（ ） A ．6a =，1c = B ．6a =-，1c =- C ．1a =，6c = D ．1a =-，6c =-【答案】A【解析】不等式250ax x c -+<的解集为11|32x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭， 故不等式对应方程的系数满足：115321132ac a⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，解得6a =，1c =.18．（2020·福建省泰宁第一中学高一月考）不等式220ax bx ++>的解集是11|23x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则-a b 的值为（ ） A ．14 B ．-14C ．10D ．-10【答案】D【解析】不等式220ax bx ++>的解集是11|23x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，可得11,23-是一元二次方程220ax bx ++=的两个实数根，11112,2323b a a∴-+=--⨯=，解得12,2a b =-=-，12(2)10a b ∴-=---=-，故选：D.19．（2020·全国高一）若函数f (x )的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[0，4) B ．(0，4)C ．[4，＋∞)D ．[0,4]【答案】D【解析】由函数f (x )的定义域为一切实数，即210mx mx ++≥在R 上恒成立， 当m =0时，1≥0恒成立； 当m ≠0时，则240m m m >⎧⎨∆=-≤⎩，解得04m <≤. 综上可得04m ≤≤，故选：D .20．（2020·浙江省诸暨中学高一期中）若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<的解集为R ，则a 的取值范围是（ ） A ．2a ≤ B ．22a -<≤ C ．22a -<< D ．2a <【答案】B【解析】当20a -=即2a =时，40-<恒成立，满足题意； 当20a -≠时，不等式2(2)(2)10a x a x ----<的解为一切实数，所以()()220421620a a a -<⎧⎪⎨∆=-+-<⎪⎩，解得22a -<<， 综上可得实数a 的取值范围是22a -<≤，故选：B.21．（2020·霍邱县第二中学高一月考）设一元二次不等式210ax bx ++>的解集为{}|12x x -<<则ab 的值为（ ）A ．1B ．14-C ．4D ．12-【答案】B【解析】由题意可知方程210ax bx ++=的根为1,2-，所以有11212{{114122b a a ab b a -+=-=-∴∴=--⨯==22．（2020·浙江省余姚中学高一期中）已知不等式2440mx mx +-<对任意实数x 恒成立．则m 取值范围是（ ） A ．(－1，0) B ．[－1，0]C ．(,1)(0,)-∞-+∞D ．(－1，0]【答案】D【解析】①若0m =，则40-<成立；②若0m ≠，则2001016160m m m m m <<⎧⎧⇒⎨⎨-<<∆=+<⎩⎩. 综上所述，(1,0]m ∈-.23．（2020·全国高一）若,,m n R ∈且0,m n +>则关于x 的不等式()()0m x n x -+>的解集为（ ） A ．{}x x n x m -或 B ．{}x n x m -<< C ．{}x m x n -<< D ．{}x x m x n -或 【答案】B【解析】()()0m x n x -+>，则()()0x m n x -+<，因为0m n +>，则m n >-,()() 0x m n x -+<的解集为{}|x n x m -<<,选B .24．（2020·全国高一）若方程()2250x m x m +-+-=的两根都大于2，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()(],55,4-∞---B ．(],4-∞-C ．(],2-∞-D ．(]5,4--【答案】D【解析】设()()225f x x m x m =+-+-，由题意得：()()()2245020222m m f m ⎧⎪∆=---≥⎪>⎨⎪-⎪>⎩，解之得实数m 的取值范围为：(]5,4--.25．（2020·全国高一）已知不等式对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数m 的最小值是A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B【解析】解：不等式对任意的正实数x ，y 恒成立，则对任意的正实数x ，y 恒成立，又，，解得或不合题意，舍去，，即正实数m 的最小值是4．26．（多选题）（2019·全国高一课时练习）已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，则a 的值可以是（ ）. A ．6 B ．7 C ．8 D ．9【答案】ABC【解析】设26y x x a =-+，其图像为开口向上，对称轴是3x =的抛物线，如图所示.若关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，因为对称轴为3x =,则2226201610a a ⎧-⨯+≤⎨-⨯+>⎩ 解得58a <≤，.又a ∈Z ，故a 可以为6，7，8.27．（多选题）（2019·辽宁省高一月考）（多选题）已知正数a ，b 满足4a b +=，ab 的最大值为t ，不等式230x x t +-<的解集为M ，则（ ）A ．2t =B ．4t =C ．{}|41M x x =-<<D ．{}|14M x x =-<<【答案】BC【解析】∵正数a ，b 满足4a b +=，∴242+⎛⎫≤= ⎪⎝⎭a b ab ，即ab 的最大值为4t =，当且仅当2a b ==时，取等号.∵2340x x +-<的解集为M ，∴{}|41M x x =-<<.28．（多选题）（2020·江苏省高一期末）对于给定的实数a ，关于实数x 的一元二次不等式()()10a x a x -+>的解集可能为（ ） A ．φB ．()1,a -C ．(),1a -D ．()(),1,a -∞-⋃+∞【答案】ABCD【解析】解：对于一元二次不等式()(1)0a x a x -+>，则0a ≠当0a >时，函数()(1)y a x a x =-+开口向上，与x 轴的交点为a ，1-， 故不等式的解集为()(),1,x a ∈-∞-+∞；当0a <时，函数()(1)y a x a x =-+开口向下， 若1a =-，不等式解集为∅；若10a -<<，不等式的解集为(1,)a -， 若1a <-，不等式的解集为(,1)a -， 综上，ABCD 都成立，故选：ABCD ．29．（多选题）（2020·全国高一课时练习）已知关于x 的方程()230x m x m +-+=,下列结论正确的是( )A ．方程()230x m x m +-+=有实数根的充要条件是{1m m m ∈<，或}9m > B ．方程()230x m x m +-+=有一正一负根的充要条件是{}0m m m ∈< C ．方程()230x m x m +-+=有两正实数根的充要条件是{}01m m m ∈<≤ D ．方程()230x m x m +-+=无实数根的必要条件是{}1m m m ∈> E.当3m =时,方程的两实数根之和为0【答案】BCD【解析】在A 中,由()2340m m ∆=--≥得1m 或9m ≥,故A 错误；在B 中,当0x =时,函数()23y x m x m =+-+的值为m ,由二次函数的图象知,方程有一正一负根的充要条件是{}0m m m ∈<,故B 正确； 在C 中,由题意得()2340,30,0,m m m m ⎧∆=--≥⎪->⎨⎪>⎩解得01m <≤,故C 正确；在D 中,由()2340m m ∆=--<得19m <<,又{}{}191m m m m <<⊆>,故D 正确；在E 中,当3m =时,方程为230x +=,无实数根,故E 错误.30．（多选题）（2020·全国高一课时练习）已知关于x 的不等式23344a x xb ≤-+≤，下列结论正确的是（ ） A ．当1a b <<时，不等式23344a x xb ≤-+≤的解集为∅ B ．当1a =，4b =时，不等式23344a x xb ≤-+≤的解集为{}04x x ≤≤ C ．当2a =时，不等式23344a x xb ≤-+≤的解集可以为{}xc xd ≤≤的形式 D ．不等式23344a x x b ≤-+≤的解集恰好为{}x a x b ≤≤，那么43b = E.不等式23344a x x b ≤-+≤的解集恰好为{}x a x b ≤≤，那么4b a -= 【答案】ABE 【解析】由23344x x b -+≤ 得23121640x x b -+-≤，又1b <，所以()4810b ∆=-<，从而不等式23344a x xb ≤-+≤的解集为∅，故A 正确.当1a =时，不等式23344a x x ≤-+就是2440x x -+≥，解集为R ，当4b =时，不等式23344x x b -+≤就是240x x -≤，解集为{}04x x ≤≤，故B 正确.在同一平面直角坐标系中作出函数()2233342144y x x x =-+=-+的图象及直线y a =和y b =，如图所示.由图知，当2a =时，不等式23344a x x b ≤-+≤的解集为{}{}A C D B x x x x x x x x ≤≤⋃≤≤的形式，故C 错误. 由23344a x x b ≤-+≤的解集为{}x a x b ≤≤， 知min a y ≤，即1a ≤，因此当x a =，x b =时函数值都是b .由当x b =时函数值是b ，得23344b b b -+=，解得43b =或4b =. 当43b =时，由2343443a a b -+==，解得43a =或83a =，不满足1a ≤，不符合题意，故D 错误. 当4b =时，由233444a a b -+==，解得0a =或4a =，0a =满足1a ≤，所以0a =，此时404b a -=-=，故E 正确.故选：ABE二、拓展提升1．（2020·上海高一课时练习）求下列不等式的解集：（1）21202x x -++<； （2）2353x x +≤．【解析】解 （1）原不等式可化为21202x x -->．0∆>，∴方程21202x x --=的解是114x -=，214x +=．所以原不等式的解集是{|x x <或x >． （2）原不等式变形为23503x x -+≤．0∆<，∴方程23503x x -+=无解．所以原不等式的解集是∅．2．（2020·上海高一课时练习）已知m 是常数，解关于x 的不等式：212m x m x -<+.【解析】原不等式可化为()2112m x m +>-. 210m +>，2121m x m ->∴+ 3．（2019·山东省高一月考）甲厂以x 千克/时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每小时可获得利润310051x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭元.要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围. 【解析】由题可知：3200513000x x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭ 化简可得：251430x x --≥ 所以21514305x x x --≥⇒≤-或3x ≥ 又110x ≤≤，所以310x ≤≤ 4．（2020·梅河口市第五中学高一月考）已知关于x 的不等式：()1311a x x +-<-． （1）当1a =时，解该不等式；（2）当a 为任意实数时，解该不等式．【解析】（1）当1a =时，原不等式可化为2311x x -<-即201x x -<-， 故()()210x x --<，所以12x <<，故原不等式的解为1,2.（2）原不等式可化为201ax x -<-即()()210ax x --<， 当0a <时，不等式的解为2x a <或1x >；当0a =时，原不等式可化为10x ->即1x >；当0a >时，原不等式可化为()210x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭， 若02a <<，则不等式的解为21x a <<； 若2a =，则不等式的解为∅；若2a >，则不等式的解为21x a<<. 综上，当0a <时，不等式的解为()2,1,a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，当0a =时，不等式的解为1,， 当02a <<时，不等式的解为21,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，当2a =时，不等式的解为∅， 当2a >时，不等式的解为2,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 5．（2020·上海高一课时练习）若不等式22231ax x x x-+<-+对一切实数x 均成立，求实数a 的范围． 【解析】210x x -+>,11430∆=-=-<，则210x x -+>恒成立，22231ax x x x +-+∴-<，即()22231ax x x x -+<-+． 整理得:()22310x a x +-+>．该式对一切实数x 均成立，()22380a ∴∆=--<，即(2330a a ∆=---+<,解得：33a -<<+ 6．（2020·浙江省高一期末）已知集合(){}(][)22310,15,x R x k x k ∈-+-+≥=-∞-⋃+∞． （Ⅰ）求实数k 的值；（Ⅰ）已知(),2t ∈-∞，若不等式()22234150x k x k m m -+--++≥在4t x ≤≤上恒成立，求实数m 的取值范围．【解析】（Ⅰ）由题意可知，1-和5是方程()22310x k x k -+-+=的两个根，所以由韦达定理得152531k k -+=+⎧⎨-=-+⎩， 故实数2k =. （Ⅰ）由2k =，原不等式可化为224940x x m m -+-+≥， 所以22449x x m m -≥--在()42t x t ≤≤<上恒成立，令()22424y x x x =-=--，因为()42t x t ≤≤<，所以min 4y =-，所以不等式恒成立等价于2494m m --≤-，故由2450m m --≤， 解得：15m -≤≤，故实数m 的取值范围为：[]1,5-.。