(北师大版)初中数学《线段的垂直平分线(1)》导学案2

A 13.5.2 线段垂直平分线导学案一、学习目标：1、掌握线段垂直平分线的性质定理、判定定理，并能能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理。

2、能够运用线段垂直平分线的性质定理、判定定理解决几何问题。

3、进一步发展推理意识及能力。

二、学习重难点重点：线段垂直平分线的性质定理、判定定理。

难点：利用线段垂直平分线的性质定理、判定定理的应用。

三、预习导学：1、我们学过哪些互逆定理？举例说明。

2、什么是线段垂直平分线？并且 一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线。

3、线段垂直平分线有哪些性质？（结合图形）性质1：线段是 图形。

A 、中心对称；B 、轴对称性质2： ∵直线MN 是线段AB 的垂直平分线（已知）∴ ， （定义）四、新课探究 探究一：在公路的同侧有张村、李庄两个村庄，现要在公路上建一车站，使车站距两村的距离相等，如何确定车站的位置？ 探究二：实践： 1、在一张纸上任意画一线段AB 。

2、作出这条线段的垂直平分线MN3、沿直线MN 对折，你有什么发现？4、在直线MN 上任意取一点P ，连结PA 、PB5（1）（2）（3）、写一写：几何语言：（如上图）∵ 点P 在直线MN 上，直线MN 垂直平分线段AB ∴ =探究三：1、写一写：写出线段垂直平分线性质定理的逆命题：。

2、想一想：以上的命题是 命题（“真”或“假” ）3、证一证：已知：如图13.5.2（课本95页），QA=QB李庄A B 求证：点Q 在线段AB 的垂直平分线上。

分析：为了证明点Q 在线段AB 的垂直平分线上，可以先经过点Q 作线段AB 的垂线，然后证明该垂线平分线段AB.证明：过点Q 作QC ⊥AB 于C∵QC ⊥AB 于C ∴∠ =∠ = ° ∴△ 和△ 是 三角形在Rt △ 和Rt △ 中 ⎩⎨⎧∴Rt △ ≌Rt △ （ ）∴ =∴点Q 在线段AB 的垂直平分线上（也可以先平分线段AB ，设线段AB 的中点为点C ，然后证明QC 垂直于线段AB ，想一想用这种方法怎么证明？）4、概括：因此得到线段的垂直平分线的判定定理：到线段的 距离相等的点，在这条线段的 。

《线段的垂直平分线》教案《线段的垂直平分线》教案作为一位不辞辛劳的人民教师，总归要编写教案，借助教案可以提高教学质量，收到预期的教学效果。

优秀的教案都具备一些什么特点呢？下面是小编整理的《线段的垂直平分线》教案，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。

《线段的垂直平分线》教案 1教学目的:1、使理解线段的垂直平分线的性质定理及逆定理，掌握这两个定理的关系并会用这两个定理解决有关几何问题。

2、了解线段垂直平分线的轨迹问题。

3、结合教学内容培养学生的动作、形象和抽象。

教学重点:线段的垂直平分线性质定理及逆定理的引入证明及运用。

教学难点:线段的垂直平分线性质定理及逆定理的关系。

教学关键:1、垂直平分线上所有的点和线段两端点的距离相等。

2、到线段两端点的距离相等的所有点都在这条线段的垂直平分线上。

教具:投影仪及投影胶片。

教学过程:一、提问1、角平分线的性质定理及逆定理是什么?2、怎样做一条线段的垂直平分线?二、新课1、请同学们在练习本上做线段AB的垂直平分线EF(请一名同学在黑板上做)。

2、在EF上任取一点P，连结PA、PB量出PA=?PB=?引导学生观察这两个值有什么关系?通过学生的观察、分析得出结果PA=PB，再取一点P试一试仍然有PA=PB，引导学生猜想EF上的所有点和点A、点B的距离都相等，再请同学把这一结论叙述成命题(用幻灯展示)。

定理:线段的垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等。

这个命题，是我们通过作图、观察、猜想得到的，还得在理论上加以证明是真命题才能做为定理。

三、举例(用幻灯展示)例:已知，ΔABC中，边AB，BC的垂直平分线相交于点P，求证:PA=PB=PC。

证明:∵点P在线段AB的垂直平分线上∴PA=PB同理PB=PC∴PA=PB=PC由例题PA=PC知点P在AC的'垂直平分线上，所以三角形三边的垂直平分线交于一点P，这点到三个顶点的距离相等。

四、小结正确的运用这两个定理的关键是区别它们的条件与结论，加强证明前的分析，找出证明的途径。

第一章证明（二）单元总览1.1你能证明它们吗（1）目标导航1.了解作为证明基础的几条公理的内容；掌握证明的基本步骤和书写格式.2.能够用综合法证明等腰三角形的有关性质（等边对等角，三线合一）.基础过关1.边边边公理的内容是.2.边角边公理的内容是.3.角边角公理的内容是.4.全等三角形的相等，相等.5.角角边推论的内容是.6.三角形ABC中，如果AB=AC，则.7.等腰三角形的、、互相重合.8.等边三角形的各边都，各角都是.能力提升9.下列说法中，正确的是（）A.两边及一角对应相等的两个三角形全等B.有一边对应相等的两个等腰三角形全等C.两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D.两边对应相等的两个三角形全等10.若等腰△ABC 的顶角为∠A ，底角为∠B =α，则α的取值范围是（ ）A. α＜45°B. α＜90°C.0°＜α＜90°D.90°＜α＜180°11.△ABC 中， AB =AC ， CD 是△ABC 的角平分线， 延长BA 到E 使DE =DC ， 连结EC ， 若 ∠E =51°，则∠B 等于（ ）A.68°B.52°C.51°D.78° 12.等腰三角形的顶角是n °，那么它的一腰上的高与底边的夹角等于（ ）A.290 n -B.90－2 nC.2n D.90°－n °13.等腰三角形的两边分别是7 cm 和3 cm ，则周长为_________.14.等腰三角形的一边长为23，周长为43+7，则此等腰三角形的腰长为_________. 15.如图，∆ABC 中，AB=AC, ∠BAD=︒30 ,AE=AD,则∠EDC= .EDCBA15题图 16题图16.如图，在△ABC 中，∠A =20°，D 在AB 上，AD =DC ，∠ACD ∶∠BCD =2∶3，求：∠ABC 的度数.17.已知：如图∆ABD 、∆ACE 都是等边三角形，求证：BE=DC.EDCBA18.如图，在∆ABC 中，AB=AC,点D 在AC 上，且BD=BC=AD,求∠ADB 的度数.DCBA聚沙成塔已知：如图，D 是等腰ABC 底边BC 上一点，它到两腰AB 、AC 的距离分别为DE 、DF.当D 点在什么位置时，DE=DF ？并加以证明.1.1你能证明它们吗（2）目标导航1.能够用综合法证明等腰三角形的有关性质.2.了解并能证明等腰三角形的判定定理.3.结合实例体会反证法的含义. 基础过关1.一个等腰三角形有一角是70°，则其余两角分别为_________.2.一个等腰三角形的两边长为5和8，则此三角形的周长为_________.3.等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是________________，这个逆命题是_________命题.4.在△ABC 中，AB=AC ，∠A=︒36，BD 是的角平分线，图中等腰三角形有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个5.在下列三角形中，若AB=AC ，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（ ） A.（1）（2）（3） B.（1）（2）（4） C.（2）（3）（4） D.（1）（3）（4）BAC BAC B AC B AP EDCBA(1) (2) （3） （4） 7题图 能力提升6.三角形三边分别为a 、b 、c ，且a 2－bc =a (b －c )，则这个三角形（按边分类）一定是_________三角形.7.如图，在△ABC 中，BC=5cm,BP 、CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且PD//AB ，PE//AC ，则△PDE 的周长是 .8.等腰△ABC 中，AC =2BC ，周长为60，则BC 的长为（ ）A.15B.12C.15或12D.以上都不正确 9.已知：如图，AB =AC ，DE ∥AC ，求证：△DBE 是等腰三角形.10.如图，△ABC 中，AB =AC ，∠1=∠2，求证：AD 平分∠BAC.11.用反证法证明：△ABC 中至少有两个角是锐角.12.如图，小明欲测量河宽，选择河流北岸的一棵树（点A ）为目标，然后在这棵树得正南岸（点B ）插一小旗作标志，从B 点沿南偏东︒60方向走一段距离到C 处，使∠ACB 为︒30，这时小明测得BC 的长度，认为河宽AB=BC ，他说得对吗？为什么？60︒CBA13.如图，在ABC Rt ∆中，∠CAB=︒90，AD ⊥BC 于D ，∠ACB 的平分线交AD 于E ，交AB 于F.求证：△AEF 为等腰三角形.F EDCBA14.如图，在△ABC 中，AB=AC,P 是BC 上一点，PE ⊥AB, PF ⊥AC,垂足为E 、F,BD 是等腰三 角形腰AC 上的高， ⑴求证：BD=PE ＋PF.⑵当点P 在BC 边的延长线上时，而其它条件不变，又有什么样的结论呢？请用文字加以说明本题的结论.FEPC A D聚沙成塔如图所示，点O 是等边△ABC 内一点，∠AOB=110。

《线段的垂直平分线》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本节课的作业设计旨在使学生能够掌握线段垂直平分线的概念、性质和判定方法，能够运用所学知识解决实际问题，并培养学生的空间想象能力和数学思维能力。

二、作业内容1. 掌握线段垂直平分线的定义及性质。

（1）让学生通过课本和课堂笔记，理解线段垂直平分线的定义，并能够正确画出线段垂直平分线。

（2）让学生掌握线段垂直平分线的性质，如线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，等等。

并能够通过例题，运用这些性质进行解题。

2. 练习运用线段垂直平分线的性质解题。

（1）让学生完成一定量的练习题，包括选择题、填空题和解答题等，加深对线段垂直平分线概念和性质的理解。

（2）让学生尝试运用所学知识解决实际问题，如求证两条线段是否互相垂直平分等。

3. 拓展延伸，培养学生的空间想象能力和数学思维能力。

（1）引导学生思考线段垂直平分线在实际生活中的应用，如建筑、道路规划等。

（2）让学生尝试探索其他与线段垂直平分线相关的知识点，如角平分线的性质等，拓宽学生的知识面。

三、作业要求1. 学生需认真完成作业，按照课堂要求画出线段垂直平分线，并正确运用所学知识进行解题。

2. 学生在解题过程中，要注重思路的清晰和逻辑的严密，注意题目的解题方法和技巧。

3. 学生应充分利用课余时间，积极思考、探索与线段垂直平分线相关的知识点，培养自己的空间想象能力和数学思维能力。

4. 学生在完成作业后，需认真检查答案，确保答案的正确性和完整性。

如有疑问或不确定的地方，可向老师或同学请教。

四、作业评价1. 老师将根据学生的作业完成情况，给予相应的评价和反馈。

2. 评价将综合考虑学生的作业正确性、解题思路、逻辑严密性、空间想象能力和数学思维能力等方面。

3. 对于表现优秀的学生，老师将给予表扬和鼓励；对于存在问题的学生，老师将给予指导和帮助，帮助学生改正错误，提高学习成绩。

五、作业反馈1. 老师将根据学生的作业情况，及时调整教学计划和教学方法，以更好地满足学生的学习需求。

10.4.线段的垂直平分线（1） 导学案学习目标1、 经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力.2、 能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理及其相关结论. 学习策略1.线段的垂直平分线性质与逆定理及其的应用2.线段的垂直平分线的逆定理的理解和证明 学习过程 一.复习回顾：1.线段垂直平分线的性质线段垂直平分线的性质定理: 1） 符号语言 ∵ P 在线段AB 的垂直平分线CD 上(如上图1) ∵PD ⊥AB AD=BD ∴ PA =2） 如图2，已知直线AD 是线段AB 的垂直平分线，则AB = 。

3） 如图3，AD 是线段BC 的垂直平分线，AB = 5，BD = 4，则AC = ，CD = ，AD = 。

4） 如图4，在△ABC 中，AB = AC ，∠AED = 50°，则∠B 的度数为 。

图2 图3E DAB CABCD图4二.新课学习：1.线段垂直平分线的判定定理线段垂直平分线的判定: 符号语言∵ PA = PB (如上图1)∴ P 在1） 已知点A 和线段BC ，且AB = AC ，则点A 在 。

2）如果平面内的点C 、D 、E 到线段AB 的两端点的距离相等，则C 、D 、E 均在线段AB 的 。

3）设l 是线段AB 的垂直平分线，且CA = CB ，则点C 一定 。

【合作探究】例题：已知：如下图，在 △ABC 中，AB = AC ，O 是 △ABC 内一点，且 OB = OC.求证：直线 AO 垂直平分线段BC 。

A BCD三.尝试应用：1如下图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C 落在AB 上的点E 处．已知BC=12，∠B=30°，则DE 的长是（ ） A ．3 B ．8 C ．4 D ． 52在△ABC 中，AB = AC ，AB 的垂直平分线交AC 于D ，△ABC 和△DBC 的周长分别是60cm 和38cm ，求AB 、BC 。

5.3 简单的轴对称图形第2课时线段垂直平分线的性质教学内容第2课时线段垂直平分线的性质课时1核心素养目标1、在经历探索线段的轴对称的性质的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念2、探索垂直平分线的基本性质，掌握线段垂直平分线的尺规作图方法，进一步在实际应用中体会等腰三角形的有关性质.知识目标1.理解线段垂直平分线的性质和判定．2.能运用线段垂直平分线的性质和判定解决实际问题.教学重点理解线段垂直平分线的性质和判定．教学难点能运用线段垂直平分线的性质和判定解决实际问题.教学准备课件教学过程主要师生活动设计意图一、复习导入二、探究新知三、当堂练习，巩固所学一、温习旧知，导入新知什么样的图形叫做轴对称图形？师生活动：教师提问，学生积极回答：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.教师追问：线段是轴对称图形吗？二、小组合作，探究概念和性质知识点一：线段垂直平分线的性质在纸片上画一条线段AB，然后对折AB，使A，B两点重合，设折痕与AB的交点为O. 你发现了什么？师生活动：学生通过观察与测量得出AO = BO. 学生积极讨论，教师引导学生总结：归纳总结线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴.垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线(简称中垂线).议一议如图，点C是线段AB垂直平分线上的一点，AC和BC相等吗？师生活动：学生独立画图并思考，通过测量可得AC=BC.教师追问：改变点C的位置，结论还成立吗？小组交换数据并交流.设计意图：回顾轴对称图形的知识，使这几节课内容更加具有连贯性，再讨论线段是否为轴对称图形，引出了本节课的研究内容，起到铺垫作用.设计意图：在学生讨论线段的对称轴特点的基础之上，教科书给出了线段垂直平分线的概念对于此概念的理解，应建立在学生充分实践及思考的基础之上. 教学和评价时，教师可以让学生回顾这一操作过程，并说明自己在操作过程中获得的结论以及所得结论的理由.事实上，线段还有另外一条对称轴，即线段所在的直线，但不要求学生掌握.设计意图：鼓励学生进行讨论与交流，也可以利用多媒体演示，以加强对线段的中垂线性质的理解.学生可以利用折叠重合或全等三角形加以说明.设计意图：锻炼学生作图能力，尺规作图不要求学生写作法，但学生应能说学生发现结论不变，因此教师引导学生总结：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.典例精析例1 利用尺规，作线段AB的垂直平分线.已知：线段AB.求作：AB的垂直平分线.师生活动：学生独立思考，学生代表发言说明作图过程，教师通过PPT或者教具操作展示如下：作法：1.分别以点A和B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D；2. 作直线CD．直线CD就是线段AB的垂直平分线.对于学生不同但合理的方法，教师都应予以肯定.做一做利用尺规作如图所示的△ABC的重心.师生活动：教师提示：三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心.学生独立思考，学生代表上台展示，教师引导学生说明作图过程及依据，然后予以适当的评价，预测结果如图.典例精析例2 如图，DE是AC的垂直平分线，AB＝12厘米，BC＝10厘米，则△BCD的周长为() A．22 厘米B．16 厘米C．26 厘米D．25 厘米师生活动：学生独立思考，学生代表发言，教师引导学生阐述解题思路，如：解析：根据线段垂直平分线的性质得CD＝AD，故△BCD的周长为DC＋BD＋BC＝AD＋BD＋BC＝AB＋BC＝12＋10＝22 (厘米).明其中的道理，即以操作和理解为主，提高学生语言表达能力.设计意图：回顾三角形的重心，使知识相互串联，然后利用作线段的垂直平分线的方法作图，提高学生作图能力.设计意图：通过练习加强学生对线段垂直平分线的性质的理解与应用.设计意图：让学生在问题的引导下，理解作图过程的合理性，提高作图能力．设计意图：考查学生对线段垂直平分线的性质的运用．设计意图：强化与线段垂直平分线的性质有关的证明和计算的技巧．设计意图：通过练习加强学生对线段垂直平分线的性质的理解与应用，强化说理、表达能力.设计意图：考查与线段垂直平分线的性质有关的证明和计算．设计意图：考查线段垂直平分线性质的实际运用，以及垂直平分线的作图能力.例3如图，某地由于居民增多，要在公路l边增加一个公共汽车站，A，B是路边两个新建小区，这个公共汽车站C建在什么位置，能使两个小区到车站的路程一样长（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）？师生活动：学生独立思考，学生代表发言，教师引导学生简单说明画图过程与理由，并给予适当的评价与完善.解析：连接AB，作AB的垂直平分线交直线l于O，交AB于E.因为EO是线段AB的垂直平分线，所以点O到A，B的距离相等.所以这个公共汽车站C应建在O点处，才能使到两个小区的路程一样长．针对训练1. 如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且P A = 5，则线段PB的长为( )A. 6B. 5C. 4D. 3师生活动：学生独立思考，学生代表发言，教师给予适当的评价.2. 如图，AB是△ABC的一条边，DE是AB的垂直平分线，垂足为E，并交BC于点D，已知AB = 8 cm，BD = 6 cm，那么EA=_____cm，DA =_____cm.师生活动：学生独立思考，学生代表发言，教师引导学生简单说明解答过程，并给予适当的评价.3. 如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，交AB、BC于D、E，若AC = 4，BC = 5，求△AEC的周长.师生活动：学生独立思考，学生代表板书，教师与其余同学给予适当的评价与完善板书.解：因为DE是△ABC边AB的垂直平分线，所以EB = EA.所以△AEC的周长为AC + CE + EA = AC + CE + EB= AC + BC = 4 + 5 = 9.三、当堂练习，巩固所学1. 如图，在△ABC中，BC = 8 cm，边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18 cm，则AC的长是cm.2. 如图，AD△BC，BD = DC，点C在AE的垂直平分线上，AB，AC，CE的长度有什么关系？AB + BD与DE有什么关系？3.如图，A，B，C三点表示三个工厂，现要建一供水站，使它到这三个工厂的距离相等，请在图中标出供水站的位置P，并说明理由.板书设计线段垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.课后小结教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理知识框架.教学反思本课时探索线段的轴对称性. 教科书以操作性活动以及“你发现了什么”的问题引人线段的轴对称性，学生在回答“线段是轴对称图形”后，建议要求其说明线段的对称轴的特点，为下面给出垂直平分线的定义做铺垫.。

线段的垂直平分线----知识讲解(基础)责编：杜少波【学习目标】1.掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理，能够利用尺规作已知线段的垂直平分线．2.会证明三角形的三条中垂线必交于一点.掌握三角形的外心性质定理.3.已知底边和底边上的高，求作等腰三角形.4.能运用线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理解决简单的几何问题及实际问题．【要点梳理】要点一、线段的垂直平分线1.定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．2.线段垂直平分线的做法求作线段AB 的垂直平分线.作法：（1）分别以点A ，B 为圆心，以大于21AB 的长为半径作弧，两弧相交于C ，D 两点； （2）作直线CD ，CD 即为所求直线．要点诠释：(1)作弧时的半径必须大于21AB 的长，否则就不能得到两弧的交点了． (2)线段的垂直平分线的实质是一条直线.要点二、线段的垂直平分线定理线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 要点诠释：线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的常用方法之一．同时也给出了引辅助线的方法，“线段垂直平分线，常向两端把线连”.就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件．要点三、线段的垂直平分线逆定理线段的垂直平分线逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 要点诠释：到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线.线段的垂直平分线可以看作是与这条线段两个端点的距离相等的所有点的集合．要点四、三角形的外心三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.要点诠释:1.三角形三条边的垂直平分线必交于一点（三线共点），该点即为三角形外接圆的圆心.2.锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合.3.外心到三顶点的距离相等.要点五、尺规作图作图题是初中数学中不可缺少的一类试题，它要求写出“已知，求作，作法和画图”，画图必须保留痕迹，在现行的教材里，一般不要求写出作法，但是必须保留痕迹.证明过程一般不用写出来.最后要点题即“xxx即为所求”.【典型例题】类型一、线段的垂直平分线定理1、如图，△ABC中AC＞BC，边AB的垂直平分线与AC交于点D，已知AC=5，BC=4，则△BCD的周长是（）A．9 B．8 C．7 D．6【思路点拨】先根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD，即AD+CD=BD+CD=AC，再根据△BCD 的周长=BC+BD+CD即可进行解答．【答案】A；【解析】因为BD=AD,所以△BCD的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=5+4=9.【总结升华】此题正是应用了线段垂直平分线的性质定理，也就是已知直线是线段垂直平分线，那么垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，从而把三角形的边进行转移，进而求得三角形的周长．举一反三：【变式1】如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下述结论错误的是（）A．BD平分∠ABC B．△BCD的周长等于AB+BCC．AD=BD=BC D．点D是线段AC的中点【答案】D；提示:根据等边对等角、三角形内角和定理及线段垂直平分线的性质定理即可推得选项A、B、C正确；所以选D,另外，注意排除法在解选择题中的应用．【变式2】（2015秋•江阴市校级月考）如图，△ABC中，BC=7，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．求△AEG的周长．【答案】解：∵DE为AB的中垂线，∴AE=BE，∵FG是AC的中垂线，∴AG=GC，△AEG的周长等于AE+EG+GA，分别将AE和AG用BE和GC代替得：△AEG的周长等于BE+EG+GC=BC，所以△AEG的周长为BC的长度即7．类型二、线段的垂直平分线的逆定理2、如图，已知AB=AC,∠ABD=∠ACD，求证：AD是线段BC的垂直平分线．A【答案与解析】证明：∵ AB=AC（已知）∴∠ABC=∠ACB (等边对等角)又∵∠ABD=∠ACD (已知)∴∠ABD-∠ABC =∠ACD-∠ACB (等式性质)即∠DBC=∠DCB∴DB=DC （等角对等边）∵AB=AC（已知）DB=DC（已证）∴点A和点D都在线段BC的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）∴AD是线段BC的垂直平分线。

6.4 线段的垂直平分线（一）学习目标：1、经历探索、猜想、证明”的过程，进一步发展推理证明意识和能力。

2、能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理。

3、能够用尺规作已知线段的垂直平分线。

学习过程：一、前置准备：1、什么是线段的垂直平分线？2、你会画线段的垂直平分线？二、自主学习：“线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”你能证明这一结论吗？三、合作交流；议一议：写出“线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”这一命题的逆命题？它是真命题吗？如果是，请证明，并与同伴交流。

做一做：阅读P25做一做，然后用尺规作出右图已知线段AB的垂直平分线CD，并说明为什么CD是线段AB的垂直平分线？A B反思：如何用尺规作图确定已知线段的中点？四、归纳总结：1、我的收获？2、我不明白的问题？五、例题解析：如图在△ABC中，AD是∠BAC平分线,AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E求证：（1）∠EAD=∠EDA ;（2）DF∥AC（3）∠EAC=∠B六、当堂训练：1、已知：线段AB及一点P，PA=PB，则点P在上。

2、已知：如图，∠BAC=1200,AB=AC,AC的垂直平分线交BC于D则∠ADC= 。

3、△ABC中，∠A=500，AB=AC,AB的垂直平分线交AC于D则∠DBC的度数。

4、△ABC中，DE、FG分别是边AB、AC垂直平分线，则∠B ∠BAE，∠C ∠GAF ，若∠BAC=1260，则∠EAG= 。

5、如图，△ABC中，AB=AC=17,BC=16,DE垂直平分AB，则△BCD的周长是。

6、有特大城市A及两个小城市B、C，这三个城市共建一个污水处理厂，使得该厂到B、C两城市的距离相等，且使A市到厂的管线最短，试确定污水处理厂的位置。

课下训练：P25 习题1、2、3中考真题：已知：如图，DE是△ABC的AB边的垂直平分线，分别交AB、BC 于D、E，AE平分∠BAC，若∠B=300，求∠C的度数。

九年级数学上册导学案编号 06911006九年级数学学科导学案执笔人：李青学校：红柳沟镇中学审核人 ________集体备课批注栏一、课题3．线段的垂直平分钱（一）二、学习目标经历探索、猜测过程，能够运用公理和所学过的定理证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理．能够利用尺规作已知线段的垂直平分线．经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．三、学习重点和难点1.重点：能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理.2. 难点：能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理.课堂导学过程设计预习案一、温故知新提问： 1、什么是线段的垂直平分线？你会画线段的垂直平分线吗？探究案二、导学释疑探究一：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”你能证明这一结论吗？已知：如图，直线 MN ⊥ AB ，垂足是 C，且 AC=BC ， P 是 MN 上的任意一点 .求证： PA=PB.（分析：要想证明边相等，考虑证它们所在的三角形全等）MPABCN九年级数学上册导学案编号 06911006定理：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等探究二：你能写出“线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”这一命题的逆命题吗？它是真命题吗？如果是，请证明 .逆命题：已知：求证：定理：到一条线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 .探究三：用尺规作出已知线段 AB 的垂直平分线 CD （不要求写作法）A BCD 为什么是线段AB 的垂直平分线？思考：用尺规作图能确定已知线段的中点吗？例题解析：,AD 的垂直平分线分别交AB 、如图在△ ABC中，AD是∠ BAC平分线BC 延长线于F、 E求证：（ 1）∠ EAD=∠EDA;（ 2）DF∥ AC（ 3）∠ EAC=∠B九年级数学上册导学案编号 06911006训练案三、巩固提升1.已知：线段 AB 及一点 P ， PA=PB ，则点 P 在上 .2.已知：如图，∠ 0BC 于D BAC=120, AB=AC,AC 的垂直平分线交 则∠ ADC= .第 2 题第 4 题AC 于 D 则∠DBC 3.△ ABC 中，∠ A=50 ，AB=AC,AB 的垂直平分线交 的度数. 4.△ ABC 中，DE 、FG 分别是边 AB 、AC 垂直平分线， 则∠ B ∠ BAE ，∠ C ∠ GAF ，若∠ BAC=126，则∠ EAG=.5.如图，△ ABC 中， AB=AC=17,BC=16,DE 垂直平分 AB ，则△ BCD 的周长是.6. 有特大城市 A 及两个小城市 B 、C ，这三个城市共建一个污水处 理厂，使得该厂到B 、C 两城市的距离相等，且使A 市到厂的管线最短，试确定污水处理厂的位置.四、课堂小结通过这节课的学习你有什么收获?五、走进中考已知：如图， DE 是△ ABC 的 AB 边的垂直平分线，分别交AB 、BC 于 D 、E ， AE 平分∠ BAC ，若∠ B=30 ，求∠ C 的度数 .九年级数学上册导学案编号 06911006六、布置作业1.必做：习题 1.6 第 3、 4.2.选做：二选一.（ 1）如图，已知 AB是线段 CD的垂直平分线， E 是 AB上的一点，如果 EC=7cm,那么 ED=cm0；如果∠ ECD=60，那么∠ EDC=∠ B=300CA BED（2）如图，在△ ABC中，已知 AC=27，AB的垂直平分线交 AB于点E，交 AC于点 D，△ BCD的周长等于 50，求 BC的长 .反思。

九年级数学上册导学案编号 06911007九年级数学学科导学案执笔人：李青学校：红柳沟镇中学审核人________集体备课批注栏一、课题2．线段的垂直平分线（二）二、学习目标能够证明线段垂直平分线的性质定理，体验线段垂直平分线定理的实际应用 .能运用所学定理进行尺规作图，并能说明作图依据 . 经历探究、发现的过程，提高推理证明能力，发展学生的推理证明意识和能力 .三、学习重点和难点1.重点：能够利用尺规作已知线段的垂直平分线和满足条件的等腰三角形 .2.难点：理解三线共点的证明方法．课堂导学过程设计预习案一、温故知新1.等腰三角形的顶点一定在上 .2.在△ ABC中， AB、 AC 的垂直平分线相交于点P，则 PA、 PB、 PC的大小关系是.3.在△ ABC 中,AB=AC, ∠ B=58,AB 的垂直平分线交AC 于 N,则∠NBC=.4.已知线段 AB，请你用尺规作出它的垂直平分线.A B探究案二、导学释疑探究一：（1）请你通过折叠的方法找出一个锐角三角形纸片每条边的垂直平分线。

观察这三条垂直平分线 , 你发现了什么 ?（ 2）请你用利用尺规作出钝角三角形三条边的垂直平分线。

再观察这三条垂直平分线, 你又发现了什么?ACB（ 3）请证明三角形三边的垂直平分线交于一点证明：如图，在△ABC中，设AB，BC的垂直平分线交于点P，连接AP， BP， CP。

定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

结论：锐角三角形的三边垂直平分线的交点在内；钝角三角形的三边垂直平分线的交点在外；钝角三角形的三边垂直平分线的交点在；探究二：一、思考： 1、已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗？如果能，能作几个？所作的三角形都全等吗？2、已知等腰三角形底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？二、做一做：已知底边及底边上的高，求作等腰三角形。

已知：线段a、 h求作：△ ABC ，使 AB=AC ，且 BC=a ，高 AD=h.训练案三、巩固提升1.在三角形内部，有一点P 到三角形三个顶点的距离相等，则点P 一定是（）A 、三角形三条角平分线的交点；B 、三角形三条垂直平分线的交点；C、三角形三条中线的交点；D、三角形三条高的交点。

《第2课时线段的垂直平分线的有关作图》教案教学目标①探索并理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质．②探索并理解线段垂直平分线的两个性质．③通过观察、实验、猜测、验证与交流等数学活动，初步形成数学学习的方法．④在数学学习的活动中，养成良好的思维品质．教学重点与难点重点：图形轴对称的性质和线段垂直平分线的性质．难点：由线段垂直平分线的两个性质得出的“点的集合”的描述．教学过程Ⅰ、情境导入1．下面的图形是轴对称图形吗?如果是，请说出它的对称轴．2．如果两个图形成轴对称，那么这两个图形有什么关系?(如下图，△ABC 和△A'B'C'关于直线MN对称)3．如图，△ABC和△A'B'C'关于直线MN对称，点A'、B'、C'分别是点A、B、C的对称点，线段AA'、BB'、CC'与直线MN有什么关系?Ⅱ、自主探究探究1：要解决问题3，我们可以从最简单的一个点开始：先将一张纸对折，用圆规在纸上穿一个孔，然后再把纸展开，记两个孔的位置为图点A 和点A'，折痕为直线MN(如图3)．显然，此时点A 和点A'关于直线MN 对称．连结点 A ，A'，交直线MN 于点P ．观察图形，线段AA'与直线MN 有怎样的位置关系?你能说明理由吗? 类似地，点B 与点B'，点C 与点C'是否也有同样的关系?你能用语言归纳上述发现的规律吗?上述性质是对两个成轴对称的图形来说的，如果是一个轴对称图形，那么它的对应点的连线与对称轴之间是否也与同样的关系呢?探究2：如图，木条MN 与AB 钉在一起，MN 垂直平分AB ，P1，P2， P3，……是MN 上的点，分别量一下点P1，P2，P3，……到A 与B 的距离，你有什么发现吗？你能说明理由吗?探究3:反过来PA=PB,那么点P 是否在线段AB 的垂直平分线上？为什么？Ⅲ、交流归纳通过探究1首先知道垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线学生归纳出图形轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

第十三章轴对称线段的垂直平分线的性质导学案教学目标：1、知识与技能掌握线段的垂直平分线的性质和判定，能灵活运用线段的垂直平分线的性质和判断解题。

2、过程与方法通过经历线段的垂直平分线的性质与判定的证明过程，表达逻辑推理的数学方法。

3、情感态度与价值观通过认识上的升华，使学生加深对命题证明的认识。

教学重点：线段的垂直平分线的性质和判定，能灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题。

教学难点：灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题。

教学方法：采用“情境──探究〞的方法教学用具：多媒体课件、彩粉笔、三角板等教学过程：一、复习回忆，引入新课1.前面我们学习了轴对称图形，线段是轴对称图形吗？什么是线段的垂直平分线？2.你能找出线段的对称轴吗？3.线段的对称轴与这条线段有什么关系？说明理由．今天我们来研究线段垂直平分线的性质。

二、合作学习，探索新知1、探究线段垂直平分线的性质师：如图，直线l 垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l 上的点，请猜测点P1，P2，P3，…到点A 与点B 的距离之间的数量关系．生：三个点到A，B两点的距离分别相等。

师：请在图中的直线l 上任取一点，那么这一点与线段AB 两个端点的距离相等吗？生：这一点与A，B两个端点的距离相等。

师：总结归纳性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 即AP1=BP1，AP2=BP2，…2、证明线段垂直平分线的性质定理师：这又是证明线段相等的命题，回忆上节课证明角的平分线的性质的方法，会得到什么启发？生：可以利用SAS证明△APC≌△BPC，从而得到PA=PB。

引导学生画出图形，写出、求证。

(1)证法一：利用判定两个三角形全等．如以下图，在△APC和△BPC中，PC=PC，∠PCA=∠PCB=90°，AC=BC⇒△APC≌△BPC ⇒ PA=PB.(2) 证法二：利用轴对称性质．由于点C是线段AB的中点，将线段AB沿直线l对折，线段PA与PB是重合的，•因此它们也是相等的．线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．用几何语言表示为：∵ CA =CB，l⊥AB，或∵点P在线段AB的垂直平分线上∴ PA =PB ∴ PA =PB今后我们可以直接利用这个性质得到有关线段相等，同时这也可以当作等腰三角形的一种判定方法。