2020年高考数学(文)一轮复习讲练测 专题2.6 指数与指数函数(练) 含解析

2020年高考数学一轮复习第二章第6节指数函数1.(827)23＋(－1)3372964的值为 ( ) A.0 B.89 C.43 D.29解析：(827) ＋(－1)3372964＝[(23)3]－13(94)3＝49－49＝0.答案：A2.运算：(1)(0.027)13-－⎝⎛⎭⎫－17－2＋⎝⎛⎭⎫27912－(2－1)0；(2)⎝⎛⎭⎫14 23320.1a b --()解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎫271000 －(－1)2⎝⎛⎭⎫17－2＋⎝⎛⎭⎫259 －1＝103－49＋53－1＝－45.(2)原式＝132244100•·32a ·32a -·32b ·32b -＝425a 0·b 0＝425.3.实数a ，b 满足等式(12)a ＝(13)b ，以下五个关系式：①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 232312-13-12解析：由得2a ＝3b ，在同一坐标系中作出y ＝2x ，y ＝3x 的图象，当纵坐标相等 时，能够得到相应横坐标的大小关系，从而得出③④不可能成立.答案：B4.(2018·泉州模拟)定义运算a ⊕b ＝>a a b b a b ⎧⎨⎩(≤)() 那么函数f (x )＝1⊕2x 的图象是()解析：∴f (x )＝1⊕2x ＝102<0x x x ⎧⎨⎩(≥),(),应选A.答案：A5.函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )，假设f (x )的图象如右图所示，那么函数g (x )＝a x ＋b 的图象是 ()解析：由f (x )图象，得0<a <1，b <－1，∴g (x )为减函数且g (0)＝1＋b <0.∴A 项符合题意.答案：A题组三 指数函数的性质6.假设x ∈(2,4)，a ＝22x ，b ＝(2x )2，c ＝22x ，那么a 、b 、c 的大小关系是 () A.a ＞b ＞c B. a ＞c ＞b C. c ＞a ＞b D.b ＞a ＞c解析：∵b ＝(2x )2＝22x ，∴要比较a ，b ，c 的大小，只要比较x 2,2x ,2x 当x ∈(2,4)时的大小即可.用专门值法，取x ＝3，容易得知，x 2＞2x ＞2x ，那么a ＞c ＞b .答案：B7.假设函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)，满足f (1)＝19，那么f (x )的单调递减区间是 ( ) A.(－∞，2] B.[2，＋∞) C.[－2，＋∞) D.(－∞，－2]解析：由f (1)＝19，得a 2＝19，因此a ＝13，因此f (x )＝(13)|2x －4|.因为g (x )＝|2x －4|在[2，＋∞)上单调递增，因此f (x )的单调递减区间是[2，＋∞).答案：B8.(2018·永州模拟)函数y ＝|2x －1|在区间(k －1，k ＋1)内不单调，那么k 的取值范畴是 ( )A.(－1，＋∞)B.(－∞，1)C.(－1,1)D.(0,2)解析：由于函数y ＝|2x －1|在(－∞，0)内单调递减，在(0，＋∞)内单调递增，而函数在区间(k －1，k ＋1)内不单调，因此有k －1＜0＜k ＋1，解得－1＜k ＜1.答案：C9.函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)的定义域为M ，当x ∈M 时，求f (x )＝2x ＋2－3×4x 的最大值为 . 解析：由3－4x ＋x 2＞0得x ＞3或x ＜1，∴M ＝{x |x ＞3或x ＜1}，f (x )＝－3×22x ＋2x ＋2＝－3(2x －16)2＋2512. ∵x ＞3或x ＜1，∴2x ＞8或0＜2x ＜2，∴当2x ＝16，即x ＝log 216时，f (x )最大，最大值为2512. 答案：251210.假设函数f (x )、( )A.f (2)<f (3)<g (0)B.g (0)<f (3)<f (2)C.f (2)<g (0)<f (3)D.g (0)<f (2)<f (3)解析：∵f (x )－g (x )＝e x 且f (x )、g (x )分不为R 上的奇函数、偶函数，∴f (－x )－g (－x )＝e －x ，即－f (x )－g (x )＝e －x ，解得f (x )＝e x －e －x 2，g (x )＝－e x ＋e －x 2. ∵f (x )在[0，＋∞)上是增函数，∴f (3)>f (2)>f (0)＝0且g (0)＝－1，∴g (0)<f (2)<f (3)，应选D.答案：D11.函数f (x )＝22,1,1,<x x x x ⎧⎪⎨-⎪⎩≥()1,假设f (x 0)≥4，那么x 0的取值范畴是 . 解析：x ≥1时：2x ≥4，即2x ≥22，∴x ≥2；x <1时：(x －1)2≥4，即x －1≥2或x －1≤－2，即x ≥3或x ≤－1，∴x ≤－1.答案：(－∞，－1]∪[2，＋∞)12.设f (x )＝a x ＋b 同时满足条件f (0)＝2和对任意x ∈R 都有f (x ＋1)＝2f (x )－1成立.(1)求f (x )的解析式；(2)设函数g (x )的定义域为[－2,2]，且在定义域内g (x )＝f (x )，且函数h (x )的图象与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，求h (x )；(3)求函数y ＝g (x )＋h (x )的值域.解：(1)由f (0)＝2，得b ＝1，由f (x ＋1)＝2f (x )－1，得a x (a －2)＝0，由a x ＞0得a ＝2，因此f (x )＝2x ＋1.(2)由题意知，当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )＝2x ＋1.设点P (x ，y )是函数h (x )的图象上任意一点，它关于直线y ＝x 对称的点为P ′(y ，x )，依题意点P ′(y ，x )在函数g (x )的图象上，即x ＝2y ＋1，因此y ＝log 2(x －1)，即h (x )＝log 2(x －1)(x ∈[54，5]). (3)由得，y ＝log 2(x －1)＋2x ＋1，且两个函数的公共定义域是[54，2]，因此函数y ＝g (x )＋h (x )＝log 2(x －1)＋2x ＋1(x ∈[54，2]).由于函数g(x)＝2x＋1与h(x)＝log2(x－1)在区间[5，2]上均为增函数，4当x＝5时，y＝242－1，4当x＝2时，y＝5，，2])的值域为[242－1,5].因此函数y＝g(x)＋h(x)(x∈[54。

第二章 函数第2.6讲 指数与指数函数1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．题型一 指数幂的运算题型二 指数函数的图象及应用 题型三 指数函数的性质及应用 题型四 指数函数的综合应用1．根式(1)一般地，给定大于1的正整数n 和实数a ，如果存在实数x ，使得x n ＝a ，那么x 称为a 的n 次方根． (2)当na 有意义的时候，na 称为根式，其中n 称为根指数，a 称为被开方数． (3)(n a )n ＝a .当n 为奇数时，na n ＝a ，当n 为偶数时，na n ＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.2．分数指数幂正数的正分数指数幂：m na ＝na m (a >0，m ，n ∈N ＋，且m n 为既约分数)．正数的负分数指数幂：m n a－＝1m na＝1nam(a >0，m ，n ∈N ＋，n >1)．0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． 3．指数幂的运算性质a r a s ＝a r ＋s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ，s ∈Q )．4．指数函数及其性质(1)概念：一般地，函数y＝a x(a>0，且a≠1)称为指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.(2)指数函数的图象与性质R题型一指数幂的运算题型二 指数函数的图象及应用A ．B ．C ．D ．()x()()2m )()3,+∞)193,8⎛⎫ ⎪⎝⎭题型三指数函数的性质及应用](0,e⎤⎦)()0,ea>，且上的最大值和最小值的和为上的最小值是（）D题型四指数函数的综合应用A．B．C．D．。

专题2.6 指数与指数函数1.（2019·陕西西安一中月考）下列函数中，与函数y ＝2x －2－x 的定义域、单调性与奇偶性均一致的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝x 3C ．y ＝⎝⎛⎭⎫12xD ．y ＝log 2x【答案】B【解析】y ＝2x －2－x 是定义域为R 的单调递增函数，且是奇函数．而y ＝sin x 不是单调递增函数，不符合题意；y ＝⎝⎛⎭⎫12x是非奇非偶函数，不符合题意； y ＝log 2x 的定义域是(0，＋∞)，不符合题意；y ＝x 3是定义域为R 的单调递增函数，且是奇函数符合题意．2．（2019·河北承德一中期中）设2x ＝8y ＋1，9y ＝3x －9，则x ＋y 的值为( ) A ．18 B ．21 C ．24 D ．27 【答案】D【解析】因为2x ＝8y ＋1＝23(y＋1)，所以x ＝3y ＋3，因为9y ＝3x －9＝32y ，所以x －9＝2y ， 解得x ＝21，y ＝6，所以x ＋y ＝27.3．（2019·广西北海一中月考）函数y ＝a x －1a(a >0，且a ≠1)的图象可能是( )【答案】D【解析】当a >1时，y ＝a x －1a 是增函数．当x ＝0时，y ＝1－1a ∈(0，1)，A ，B 不满足．当0<a <1时，y ＝a x －1a 在R 上是减函数．当x ＝0时，y ＝1－1a<0，C 错，D 项满足．4．（2019·广东韶关一中期末）设x >0，且1<b x <a x ，则( ) A ．0<b <a <1 B ．0<a <b <1 C ．1<b <a D ．1<a <b【答案】C【解析】因为x >0时，1<b x ，所以b >1. 因为x >0时，b x <a x ，所以x >0时，⎝⎛⎭⎫a b x>1. 所以ab>1，所以a >b ，所以1<b <a .5．（2019·山东济宁二中期末）若函数f (x )＝a |2x －4|(a ＞0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]【答案】B【解析】由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝⎛⎭⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．6．（2019·福建三明一中期末）已知函数f (x )＝x －4＋9x ＋1，x ∈(0,4)，当x ＝a 时，f (x )取得最小值b ，则函数g (x )＝a |x ＋b |的图象为( )【答案】A【解析】因为x ∈(0,4)，所以x ＋1＞1， 所以f (x )＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5≥29x ＋1·(x ＋1)－5＝1， 当且仅当x ＝2时取等号，此时函数有最小值1， 所以a ＝2，b ＝1，此时g (x )＝2|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥－1，⎝⎛⎭⎫12x ＋1，x ＜－1，此函数图象可以看作由函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥0，⎝⎛⎭⎫12x ，x ＜0的图象向左平移1个单位得到．结合指数函数的图象及选项可知A 正确．故选A.7．（2019·安徽阜阳一中期末）已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12ax，a 为常数，且函数的图象过点(－1，2)． (1)求a 的值；(2)若g (x )＝4－x －2，且g (x )＝f (x )，求满足条件的x 的值． 【解析】(1)由已知得⎝⎛⎭⎫12－a＝2，解得a ＝1. (2)由(1)知f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x，又g (x )＝f (x )，则4－x －2＝⎝⎛⎭⎫12x，所以⎝⎛⎭⎫14x－⎝⎛⎭⎫12x－2＝0，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫12x 2－⎝⎛⎭⎫12x－2＝0.令⎝⎛⎭⎫12x＝t ，则t ＞0，t 2－t －2＝0，即(t －2)(t ＋1)＝0， 又t ＞0，故t ＝2，即⎝⎛⎭⎫12x＝2，解得x ＝－1， 故满足条件的x 的值为－1.8．（2019·浙江绍兴一中期末）已知函数f (x )＝3x ＋a 3x ＋1为奇函数．(1)求a 的值；(2)判断函数f (x )的单调性，并加以证明．【解析】(1)因为函数f (x )是奇函数，且f (x )的定义域为R ，所以f (0)＝1＋a1＋1＝0，所以a ＝－1.(2)f (x )＝3x －13x ＋1＝1－23x ＋1，函数f (x )在定义域R 上单调递增．理由：设任意的x 1，x 2，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝2（3x 1－3 x 2）（3 x 1＋1）（3 x 2＋1）.因为x 1<x 2，所以3 x 1<3 x 2，所以3 x 1－3 x 2<0， 所以f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在定义域R 上单调递增．9．（2019·计算宿迁一中期中）不等式⎝⎛⎭⎫122+x ax ＜⎝⎛⎭⎫12+-22x a 恒成立，则a 的取值范围是________． 【答案】(－2,2)【解析】由指数函数的性质知y ＝⎝⎛⎭⎫12x 是减函数， 因为⎝⎛⎭⎫122+x ax ＜⎝⎛⎭⎫12+-22x a 恒成立， 所以x 2＋ax ＞2x ＋a －2恒成立， 所以x 2＋(a －2)x －a ＋2＞0恒成立， 所以Δ＝(a －2)2－4(－a ＋2)＜0， 即(a －2)(a －2＋4)＜0， 即(a －2)(a ＋2)＜0，故有－2＜a ＜2，即a 的取值范围是(－2,2)．10．（2019·广东云浮一中期中）已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫1a x －1＋12x 3(a ＞0，且a ≠1)．(1)讨论f (x )的奇偶性；(2)求a 的取值范围，使f (x )＞0在定义域上恒成立． 【解析】(1)由于a x －1≠0，则a x ≠1，得x ≠0， ∴函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}．对于定义域内任意x ，有 f (－x )＝⎝⎛⎭⎫1a －x －1＋12(－x )3 ＝⎝⎛⎭⎫a x1－a x ＋12(－x )3 ＝⎝⎛⎭⎫－1－1a x －1＋12(－x )3＝⎝⎛⎭⎫1a x －1＋12x 3＝f (x )， ∴函数f (x )是偶函数． (2)由(1)知f (x )为偶函数，∴只需讨论x ＞0时的情况，当x ＞0时，要使f (x )＞0， 则⎝⎛⎭⎫1a x －1＋12x 3＞0， 即1a x －1＋12＞0， 即a x ＋12(a x －1)＞0，则a x ＞1. 又∵x ＞0，∴a ＞1.∴当a ∈(1，＋∞)时，f (x )＞0.11．（2019·湖南衡阳八中模拟）在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，专家预测经过x 年可能增长到原来的y 倍，则函数y ＝f (x )的图象大致为( )【答案】D【解析】设原有荒漠化土地面积为b ，经过x 年后荒漠化面积为z ，所以z ＝b (1＋10.4%)x ，故y ＝z b＝(1＋10.4%)x (x ≥0)，是底数大于1的指数函数．因此y ＝f (x )的图象为选项D.12．（2019·河北正定中学模拟）已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x－m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．a ＜c ＜bD ．c ＜b ＜a【答案】B【解析】由函数f (x )＝2|x－m |－1为偶函数，得m ＝0，所以f (x )＝2|x |－1，当x ＞0时，f (x )为增函数，log 0.53＝－log 23，所以log 25＞|－log 23|＞0， 所以b ＝f (log 25)＞a ＝f (log 0.53)＞c ＝f (2m )＝f (0)， 故b ＞a ＞c .13．（2019·浙江余姚中学模拟）设y ＝f (x )在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K ，定义f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）≤K ，K ，f （x ）>K .给出函数f (x )＝2x ＋1－4x ，若对于任意x ∈(－∞，1]，恒有f K (x )＝f (x )，则( ) A ．K 的最大值为0 B ．K 的最小值为0 C ．K 的最大值为1 D ．K 的最小值为1 【答案】D【解析】根据题意可知，对于任意x ∈(－∞，1]，若恒有f K (x )＝f (x )，则f (x )≤K 在x ≤1上恒成立，即f (x )的最大值小于或等于K 即可．令2x ＝t ，则t ∈(0，2]，f (t )＝－t 2＋2t ＝－(t －1)2＋1，可得f (t )的最大值为1，所以K ≥1，故选D.14．（2019·福建泉州五中模拟）设a >0，且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1，1]上的最大值是14，则实数a 的值为________．【答案】13或3【解析】令t ＝a x (a >0，且a ≠1)， 则原函数化为y ＝f (t )＝(t ＋1)2－2(t >0)． ①当0<a <1，x ∈[－1，1]时，t ＝a x ∈⎣⎡⎦⎤a ，1a ， 此时f (t )在⎣⎡⎦⎤a ，1a 上为增函数． 所以f (t )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋12－2＝14.所以⎝⎛⎭⎫1a ＋12＝16，解得a ＝－15(舍去)或a ＝13.②当a >1时，x ∈[－1，1]，t ＝a x ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ，此时f (t )在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上是增函数．所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3或a ＝－5(舍去)．综上得a ＝13或3. 15．（2019·山东烟台二中模拟）已知函数f (x )＝1－42a x ＋a (a >0，a ≠1)且f (0)＝0.(1)求a 的值；(2)若函数g (x )＝(2x ＋1)·f (x )＋k 有零点，求实数k 的取值范围； (3)当x ∈(0，1)时，f (x )>m ·2x －2恒成立，求实数m 的取值范围． 【解析】(1)对于函数f (x )＝1－42a x ＋a (a >0，a ≠1)，由f (0)＝1－42＋a ＝0，得a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝1－42·2x ＋2＝1－22x ＋1.因为g (x )＝(2x ＋1)·f (x )＋k ＝2x ＋1－2＋k ＝2x －1＋k 有零点， 所以函数y ＝2x 的图象和直线y ＝1－k 有交点，所以1－k >0，即k <1. 故实数k 的取值范围是(－∞，1)．(3)因为当x ∈(0，1)时，f (x )>m ·2x －2恒成立，即1－22x＋1>m ·2x －2恒成立，亦即m <32x －22x （2x ＋1）恒成立．令t ＝2x ，则t ∈(1，2)，且m <3t －2t （t ＋1）＝3t ＋1t （t ＋1）＝1t ＋2t ＋1.由于y ＝1t ＋2t ＋1在t ∈(1，2)上单调递减，所以1t ＋2t ＋1>12＋22＋1＝76，所以m ≤76.故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，76.1．(2018·上海卷)已知常数a >0，函数f (x )＝2x2x ＋ax 的图象经过点P ⎝⎛⎭⎫p ，65、Q ⎝⎛⎭⎫q ，－15.若2p ＋q ＝36pq ，则a ＝________．【答案】6【解析】依题设知f (p )＝65，且f (q )＝－15，所以⎩⎨⎧2p 2p＋ap ＝65， ①2q 2q ＋aq＝－15， ②①＋②得2p （2q ＋aq ）＋2q （2p ＋ap ）（2p ＋ap ）（2q ＋aq ）＝1，整理得2p ＋q ＝a 2pq .又2p ＋q ＝36pq ，所以a 2pq ＝36pq . 由于pq ≠0，得a 2＝36(a >0)，则a ＝6.2.(2017·北京卷)已知函数f (x )＝3x －⎝⎛⎭⎫13x，则f (x )( ) A.是偶函数，且在R 上是增函数 B.是奇函数，且在R 上是增函数 C.是偶函数，且在R 上是减函数 D.是奇函数，且在R 上是减函数 【答案】B【解析】函数f (x )的定义域为R ， f (－x )＝3－x －⎝⎛⎭⎫13－x＝⎝⎛⎭⎫13x－3x ＝－f (x )， ∴函数f (x )是奇函数.又y ＝3x 在R 上是增函数，函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x在R 上是减函数，∴函数f (x )＝3x －⎝⎛⎭⎫13x 在R 上是增函数.。

第五讲 指数及指数函数一．根式 1.根式的概念2.两个重要公式①na n＝⎩⎨⎧a (n 为奇数)，|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)，－a (a <0)(n 为偶数)；②(na )n＝a (注意a 必须使na 有意义)． 二．有理指数幂 (1)分数指数幂的表示①正数的正分数指数幂是mna ＝na m(a >0，m ，n ∈N *，n >1)；②正数的负分数指数幂是m na-＝1m na＝1na m(a >0，m ，n ∈N *，n >1)；③0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义． (2)有理指数幂的运算性质 ①a s a t＝as ＋t(a >0，t ，s ∈Q )；②(a s )t ＝a st(a >0，t ，s ∈Q )； ③(ab )t＝a t b t(a >0，b >0，t ∈Q )．三．指数函数的图象与性质（1）指数函数的定义一般地，函数y＝a x(a>0，a≠1)叫做指数函数，函数的定义域是R. （2）指数函数的图象与性质考向一指数的运算【例1】计算化简(1)(12)−1+823+(2019)0= .（2）(278)13−(30.5)2+(0.008)−23×425=______．（3）已知x 12+x −12=3，求下列各式的值： ①x +x−1；②x 2+x −2；③x 32−x −32x 12−x −12.【答案】（1）7 （2）52（3）－6a b（4）①7②47③8【解析】(1)(12)−1+823+(2019)0=2+4+1=7 （2）(278)13−(30.5)2+(0.008)−23×425，=(32)3×13−312×2+(15)3×(−23)×425=32−3+4=52．（3）①因为x 12+x −12=3，所以(x 12+x −12)2=x +2+x −1=9,即x +x −1=7.②因为x +x −1=7所以(x +x −1)2=x 2+2x ⋅x −1+x −2=x 2+2+x −2=49，即x 2+x −2=47. ③x 32−x −32x 12−x −12=(x 12)3−(x −12)3x 12−x −12=(x 12−x −12)(x +1+x −1)x 12−x −12=x +1+x −1=8.【举一反三】 1．0.027−13−(−16)−2+2560.75+(125729)−13+(59)−1−729−16＝__________.【答案】31 【解析】原式＝0.3−1−36+25634−(125729)−13+95−93×(−16)=103−36+43−95+95−13=31.故答案为：312．化简：(√3+√2)2015×(√3−√2)2016＝_________________________________. 【答案】√3−√2【解析】(√3+√2)2015×(√3−√2)2016=[(√3+√2)(√3−√2)]2015×(√3−√2)=√3−√2. 故答案为：√3−√2 3．(0.25)12−[−2×(37)0]2×[(-2)3]43+(√2-1)-1-212＝________．【答案】−1252【解析】原式=(14)12−(−2)2×(−2)42−1−√2=12−4×16+(√2−1)−√2=12−4×16+(√2+1)−√2=−1252，故答案为−1252.4.已知x ＋x －1＝3，则3322x x -+的值为．【答案】 2 5【解析】11222()x x-+＝x ＋2＋x －1＝5，1122x x-\+=331112222()(1)x xx x x x ---\+=+-+＝5(3－1)＝2 5.5.已知a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a >b >0，则a －ba ＋b＝. 【答案】55【解析】由已知得，a ＝3＋5，b ＝3－5，所以a ＋b ＝6，ab ＝4， 所以⎝⎛⎭⎪⎫a －b a ＋b 2＝a ＋b －2ab a ＋b ＋2ab ＝6－246＋24＝15.因为a >b >0，所以a >b ，所以a －b a ＋b ＝55. 6．设2x＝8y ＋1，9y ＝3x －9，则x ＋y 的值为．【答案】 27 【解析】 ∵2x＝8y ＋1＝23(y ＋1)，∴x ＝3y ＋3，∵9y ＝3x －9＝32y，∴x －9＝2y ，解得x ＝21，y ＝6，∴x ＋y ＝27.7．已知a －1a＝3(a >0)，则a 2＋a ＋a －2＋a －1的值为．【答案】 11＋13【解析】由a －1a＝3，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2＝9，即a 2＋1a2－2＝9，故a 2＋a －2＝11.又(a ＋a －1)2＝a 2＋a －2＋2＝11＋2＝13，且a >0，所以a ＋a －1＝13.于是a 2＋a ＋a －2＋a －1＝11＋13.考向二 指数函数的判断【例2】函数f(x)＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数，则有（ ） A ．a ＝1或a ＝2 B ．a ＝1 C ．a ＝2 D ．a>0且a ≠1 【答案】C【解析】函数f(x)＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数,根据指数函数的定义得到a 2－3a ＋3=1，且a>0,解得a=1或2，因为指数函数的底数不能为1，故结果为2.故答案为：C.【举一反三】1．函数y =（a 2–3a +3）⋅a x 是指数函数，则a 的值为 A ．1或2 B ．1 C ．2 D ．a >0且a ≠1的所有实数 【答案】C【解析】∵y =（a 2–3a +3）⋅a x是指数函数，∴{x 2−3x +3=1x >0且x ≠1，解得a =2．故选C ．2．函数f （x ）=（2a –3）a x是指数函数，则f （1）= A ．8 B ．32C ．4D ．2 【答案】D【解析】函数f （x ）=（2a-3）a x 是指数函数，∴2a-3=1，解得a=2；∴f （x ）=2x ，∴f （1）=2．故选：D ． 3．函数x (x )=(x 2−x −1)x x 是指数函数，则实数x =（ ） A ．2 B ．1 C ．3 D ．2或−1 【答案】D【解析】由指数函数的定义，得x 2−x −1=1，解得x =2或−1，故选D.考向三 指数函数的单调性【例3】函数x (x )=51−|2x +4|的单调递增区间为（ ） A ．[−2,+∞) B ．[−32,+∞)C ．(−∞,−32]D ．(−∞,−2]【答案】D【解析】由题意，函数x (x )的定义域为x ， 设x =x (x )=1−|2x +4|={−2x −32x +5 x >−2x ≤−2，则x (x )在(−2,+∞)上单调递减，在(−∞,−2]上单调递增， 又因为x =5x 在x 上单调递增，根据复合函数的单调性， 可得函数x (x )的单调递增区间为(−∞,−2].【举一反三】1.函数x（x）=x −x 2+4x −9的单调递增区间是（ ）A ．(−2,+∞)B ．(2,+∞)C ．(−∞,−2)D ．(−∞,2)【答案】D【解析】因为x =x x ，是指数函数，是增函数，x =−x 2+4x −9是开口向下的二次函数， 所以x＜2时，二次函数x =−x 2+4x −9是增函数，x＞2时，x =−x 2+4x −9是减函数， 由复合函数的单调性可知：函数x（x）=x −x 2+4x −9的单调递增区间是（−∞，2）．故选：D ．2.函数f (x )＝4x－2x ＋1的单调增区间是________．【答案】 [0，＋∞)【解析】 设t ＝2x (t >0)，则y ＝t 2－2t 的单调增区间为[1，＋∞)，令2x ≥1，得x ≥0，又y ＝2x在R 上单调递增，所以函数f (x )＝4x －2x ＋1的单调增区间是[0，＋∞)．3．若函数f (x )＝a|2x －4|(a >0，a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是________．【答案】 [2，＋∞)【解析】 由f (1)＝19，得a 2＝19，所以a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增， 所以f (x )在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．考向四 指数函数的定义域和值域【例4】（1）函数x =√4−2x 的定义域为_______．（2）设函数f （x ）=√4−4x ，则函数f （x4）的定义域为 。

2019-2020年高考数学一轮复习专题2.6指数与指数函数讲【考纲解读】【知识清单】1.根式和分数指数幂 1.根式(1)概念：式子na 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.(2)性质：(na )n＝a (a 使n a 有意义)；当n 为奇数时，na n＝a ，当n 为偶数时，na n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0. 2.分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a mn ＝a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是a －mn ＝1(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：a r a s＝a r ＋s；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q .对点练习化简：(1)a 3b 23ab 2（a 14b 12）4a －13b 13(a >0，b >0)；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－278－23＋(0.002)－12－10(5－2)－1＋(2－3)0. 【答案】 (1) ab －1.(2)－1679.＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－82723＋50012－10(5＋2)＋1 ＝49＋105－105－20＋1＝－1679. 2.指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x(a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是变量，函数的定义域是R ，a 是底数.(2)指数函数的图象与性质对点练习【xx 广西桂林模拟】当x<0时，函数f(x)＝(2a －1)x的值恒大于1，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B ．(1,2)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，1)【答案】A【解析】由题意可得0<2a －1<1，解得12<a<1，故选A.【考点深度剖析】从近几年的高考试题来看，指数函数的图象和性质及其应用是高考的热点，题型多以选择题、填空题为主，偶尔有以大题中关键一步的形式出现，主要考查视图用图能力、数形结合思想的应用、函数单调性的应用、运算能力等．常常与对数函数综合考查.【重点难点突破】考点1 根式、指数幂的化简与求值 【1-1】化简的结果为（ ）A ．5B ．C ．﹣D ．﹣5 【答案】B 【解析】，故选【1-2】×0＋×－＝________. 【答案】【领悟技法】 指数幂的化简与求值(1)化简原则：①化根式为分数指数幂；②化负指数幂为正指数幂；③化小数为分数；④注意运算的先后顺序．提醒：有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算．(2)结果要求：①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂的形式表示；③结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂． 【触类旁通】【答案】2【变式二】1.5－×0＋80.25×＋(×)6－【答案】【解析】原式＝113133234422 2223210811033⎛⎫⎛⎫⨯⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋＋－. 考点2 根式、指数幂的条件求值 【2-1】已知，求下列各式的值. （1）；（2）；（3） 【答案】【解析】（1）将两边平方得，所以. （2）将两边平方得，所以. （3）由（1）（2）可得【2-2】已知是方程的两根，且求的值. 【答案】【解析】由已知，，所以21.5===因为 所以【领悟技法】根式、指数幂的条件求值，是代数式求值问题的常见题型，一般步骤是： (1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点； (2)化简：①化简已知条件；②化简所求代数式； （3）求值：往往通过整体代入，简化解题过程. 【触类旁通】【变式一】已知且，求11221122x y x y-+的值.【答案】考点3 指数函数的概念、图象、性质及其应用【3-1】【xx 山东德州一模】已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，则( )A.a <b <cB.c <b <aC.c <a <bD.b <c <a【答案】D【解析】∵在R 上为减函数，，∴. 又∵在上为增函数，，【3-2】【xx 河南安阳模拟】已知函数 (a >0，且a ≠1)，如果以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f (x 1)·f (x 2)等于( ) A.1 B.a C.2D.a 2【答案】A【解析】∵以()()1122()()P x f x Q x f x ，，，为端点的线段的中点在轴上， ∴.又∵，∴()()0121212··1xxx xf x f x a a aa ＋＝＝＝＝.【3-3】函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值域为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．(0,2] 【答案】A【3-4】指数函数y ＝(2－a)x在定义域内是减函数，则a 的取值范围是________. 【答案】 (1，2)【解析】由题意知0<2－a<1，解得1<a<2. 【领悟技法】1.比较幂值大小时，要注意区分底数相同还是指数相同．是用指数函数的单调性，还是用幂函数的单调性或指数函数的图象解决．要注意图象的应用，还应注意中间量0、1等的运用．指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要注意讨论底数的不同取值情况.2.形如. 一类函数，有如下结论：（1）的定义域、奇偶性与的定义域、奇偶性相同；（2）先确定的值域，再利用指数函数的单调性，确定的值域；（3）的单调性具有规律“同增异减”，即的单调性相同时，是增函数，的单调性不同时，是减函数. 【触类旁通】【变式一】已知()()22,3xxf x f m -=+=,且,若()()()2,2,2a f m b f m c f m ===+,则的大小关系为（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】D【解析】由于,所以,72)22()2(2=-+=-m mm f ,而m m m m mm f c ----⋅-=⋅--=-⋅=+=241712241)23(44224)2(,由于,因此,所以,应选D ．【变式二】【xx 河北衡水中学模拟】若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x，b ＝x 2，c ＝log 23x ，则当x >1时，a ，b ，c 的大小关系是( ) A.c <a <b B.c <b <a C.a <b <cD.a <c <b【答案】A【易错试题常警惕】易错典例1：计算下列各式的值．（1）；（2）；（3）；（4）.易错分析：，不注意的奇偶性对的影响，是导致错误出现的一个重要原因，要在理解的基础上，记准、记熟、会用、活用．温馨提醒：(1) 中实数的取值由的奇偶性确定，只要有意义，其值恒等于，即；(2) 是一个恒有意义的式子，不受的奇偶性限制，，但的值受的奇偶性影响.易错典例2：已知，求33221122a aa a----的值.易错分析：本题解答一是难以想到应用“立方差”公式，二是应用“立方差”公式时易出现错误．正确解析：由于，所以331111122222211112222()()a a a a a a a aa a a a--------++⋅=--=温馨提醒：条件求值问题，化简已知条件、所求代数式是进一步代入计算的基础，熟记公式，准确化简是关键.易错典例3：函数的单调递增区间是________．易错分析：本题解答往往忽视函数的定义域，而出现错误．正确解析：令，得函数定义域为，所以在上递增，在递减．根据“同增异减”的原则，函数的单调递增区间是. 温馨提醒：处理函数问题时，应注意遵循“定义域优先”的原则.【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。

第五节指数与指数函数[考纲传真] 1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，12，13的指数函数的图象.3.体会指数函数是一类重要的函数模型．1．根式n 次方根概念 如果x n ＝a ，那么x 叫作a 的n 次方根，其中n ＞1，n ∈N *表示 当n 是奇数时，a 的n 次方根x ＝na当n 是偶数时，正数的n 次方根x ＝±n a ；负数没有偶次方根0的任何次方根都是0，记作n0＝0根式概念 式子n a 叫作根式，其中n 叫作根指数，a 叫作被开方数性质 (na )n ＝a当n 为奇数时，na n ＝a当n 为偶数时，na n＝|a |＝⎩⎨⎧a ，a ≥0－a ，a ＜0(1)分数指数幂①正分数指数幂：a m n ＝na m (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)； ②负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1n a m(a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)；③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的运算性质①a r·a s＝a r＋s(a＞0，r，s∈Q)；②(a r)s＝a rs(a＞0，r，s∈Q)；③(ab)r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈Q)．3．指数函数的图象与性质y＝a x a＞10＜a＜1图象定义域R值域(0，＋∞)性质(0,1) 过定点当x＞0时，y＞1；x＜0时，0＜y＜1当x＞0时，0＜y＜1；x＜0时，y＞1 在R上是增函数在R上是减函数[常用结论]指数函数的图象与底数大小的关系如图是指数函数(1)y＝a x，(2)y＝b x，(3)y＝c x，(4)y＝d x的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)的图象越高，底数越大．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)4(－4)4＝－4. ()(2)(－1)24＝(－1)12＝－1. ()(3)函数y ＝2x －1是指数函数．( )(4)若a m ＜a n (a ＞0且a ≠1)，则m ＜n . ( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)× 2．化简[(－2)6]12－(－1)0的结果为( )A ．－9B ．7C ．－10D ．9 B [原式＝(26) 12－1＝8－1＝7.]3．(教材改编)若函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，则f (－1)等于( )A.22 B. 2C.14D ．4B [由题意知12＝a 2，所以a ＝22， 所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x，所以f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22-1＝ 2.]4．函数y ＝a x －a (a ＞0，且a ≠1)的图象可能是( )A B C DC [令y ＝a x －a ＝0，得x ＝1，即函数图象必过定点(1,0)，符合条件的只有选项C.]5．指数函数y ＝(2－a )x 在定义域内是减函数，则a 的取值范围是________． (1,2) [由题意知0＜2－a ＜1， 解得1＜a ＜2.]指数幂的化简与求值1．(2019·济宁模拟)下列各式中成立的是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 7＝n 7m 17 B.12(－3)4＝3－3 C.4x 3＋y 3＝(x ＋y )34 D.39＝33D [39＝(913)12＝916＝313＝33，故选D.]2．若a ＞0，b ＞0，则化简＝________.ab －1 [原式＝＝＝ab －1.]3．化简－10(5－2)－1＋3π0＋59＝________.－16 [原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫82723＋50012－105－2＋3＋59 ＝49＋105－10(5＋2)＋3＋59 ＝－16.]4．若x 12＋x -12＝3，则＝________.25[由x 12＋x -12＝3得x ＋x －1＋2＝9. 所以x ＋x －1＝7.同理由x ＋x －1＝7可得x 2＋x －2＝47.x 32＋x －32＝(x 12＋x －12)(x ＋x －1－1)＝3×6＝18. 所以[规律方法] 指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算. (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数.(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解题.易错警示：运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一.指数函数的图象及应用【例1】 (1)函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a ＞1，b ＜0B ．a ＞1，b ＞0C ．0＜a ＜1，b ＞0D ．0＜a ＜1，b ＜0(2)已知函数f (x )＝3＋a 2x －4的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是________． (3)若曲线y ＝|3x －1|与直线y ＝k 只有一个公共点，则实数k 的取值范围为________．(1)D(2)(2,4)(3){0}∪[1，＋∞)[(1)由f(x)＝a x－b的图象可以观察出函数f(x)＝a x－b在定义域上单调递减，所以0＜a＜1.函数f(x)＝a x－b的图象是在f(x)＝a x的基础上向左平移得到的，所以b＜0.(2)令2x－4＝0得x＝2，且f(2)＝4，则点P的坐标为(2,4)．(3)函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点．][规律方法]指数函数图象应用的4个技巧(1)画指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.(2)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除.(3)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.(4)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.(1)函数y＝xa x|x|(a＞1)的图象大致是()A B C D(2)函数f (x )＝2|x －1|的图象是( )A B C D(3)已知a ＞0，且a ≠1，若函数y ＝|a x －2|与y ＝3a 的图象有两个交点，则实数a 的取值范围是________．(1)B (2)B (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23 [(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x ＞0，－a x ，x ＜0，又a ＞1，故选B.(2)函数f (x )＝2|x －1|的图象可由y ＝2|x |的图象向右平移1个单位得到，故选B. (3)①当0＜a ＜1时，如图①，所以0＜3a ＜2，即0＜a ＜23； ②当a ＞1时，如图②，而y ＝3a ＞1不符合要求．图① 图②所以0＜a ＜23.]指数函数的性质及应用►考法1 比较指数式的大小【例2】 已知a ＝343，b ＝925，c ＝12113，则( ) A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜bA [因为a ＝343＝923＞925＝b ，c ＝12113＝1123＞923＝a ，所以c ＞a ＞b .故选A.]►考法2 解简单的指数方程或不等式 【例3】 (1)设函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－7，x ＜0，x ，x ≥0，若f (a )＜1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)(2)已知实数a ≠1，函数f (x )＝⎩⎨⎧4x ，x ≥0，2a －x ，x ＜0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为________．(1)C (2)12 [(1)当a ＜0时，不等式f (a )＜1可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a－7＜1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a＜8，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3，因为0＜12＜1，所以a ＞－3，此时－3＜a ＜0；当a ≥0时，不等式f (a )＜1可化为a ＜1，所以0≤a ＜1.故a 的取值范围是(－3,1)．故选C.(2)当a ＜1时，41－a＝21，解得a ＝12；当a ＞1时，代入不成立．故a 的值为12.]►考法3 与指数函数有关的函数的值域或最值问题【例4】 (1)已知函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________.(2)已知0≤x ≤2，则y ＝4x －12－3·2x ＋5的最大值为________．(1)－32 (2)52[(1)当a ＞1时，函数f (x )＝a x ＋b 在[－1,0]上为增函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，无解．当0＜a ＜1时，函数f (x )＝a x ＋b 在[－1,0]上为减函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－32.(2)y ＝12(2x )2－3·2x ＋5.令t ＝2x ，由0≤x ≤2得1≤t ≤4，又y ＝12t 2－3t ＋5＝12(t －3)2＋12， ∴当t ＝1时，y 有最大值，最大值为52.] ►考法4 复合函数的单调性、值域或最值【例5】 函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋2x ＋1的单调递减区间是________，值域是________．(－∞，1] ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ [令u ＝－x 2＋2x ＋1，则u ＝－(x －1)2＋2.又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u 在R 上是减函数，则函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋2x ＋1的单调递减区间为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间．由此函数f (x )的单调递减区间为(－∞，1]．因为u ≤2，则f (x )≥⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，即函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞.][规律方法] 应用指数函数性质综合的常考题型及求解策略数的性质 等性质的方法一致易错警示：在研究指数型函数单调性时，当底数与“1”的大小关系不明确时，要分类讨论．(1)(2019·信阳模拟)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35-12，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35-14，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32-34，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c ＜a ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜a ＜cD ．c ＜b ＜a(2)(2019·长春模拟)函数y ＝4x ＋2x ＋1＋1的值域为( ) A ．(0，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．[1，＋∞) D ．(－∞，＋∞)(3)已知函数y ＝2－x 2＋ax ＋1在区间(－∞，3)上单调递增，则a 的取值范围为________．(4)函数y ＝2－x 2＋2x的值域为________．(1)D (2)B (3)[6，＋∞) (4)(0,2] [(1)c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32-34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫278-14，则⎝ ⎛⎭⎪⎫35-13＞⎝ ⎛⎭⎪⎫35-14＞⎝ ⎛⎭⎪⎫278-14，即a ＞b ＞c ，故选D. (2)y ＝4x ＋2x ＋1＋1＝(2x )2＋2·2x ＋1， 令t ＝2x ，则t ＞0，∴y ＝t 2＋2t ＋1＝(t ＋1)2＞1，故选B.(3)由题意知，函数u ＝－x 2＋ax ＋1在区间(－∞，3)上单调递增，则a2≥3，即a ≥6.(4)－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，则0＜y ≤2. 即函数y ＝2－x 2＋2x 的值域为(0,2]．]。

专题2.6指数与指数函数1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，3，10，12，13的指数函数的图象；4.体会指数函数是一类重要的函数模型。

知识点一根式(1)概念：式子na 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.(2)性质：(na )n＝a (a 使na 有意义)；当n 为奇数时，n a n ＝a ，当n 为偶数时，n a n＝|a |，a ≥0，a ，a <0.知识点二分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a mn ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是a －mn ＝1na m(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：a r a s ＝a r +s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q.知识点三指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数.(2)指数函数的图象与性质a >10<a <1图象定义域R 值域(0，＋∞)性质过定点(0，1)，即x ＝0时，y ＝1当x >0时，y >1；当x <0时，y >1；当x <0时，0<y <1当x >0时，0<y <1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数【特别提醒】1.画指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)12.在第一象限内，指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象越高，底数越大.考点一指数幂的运算【典例1】（2019·＋2－212－(0.01)0.5＋2－212－(0.01)0.5＝1＋14×1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615【答案】1615【方法技巧】1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序.2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.【变式1】（2019·湖南岳阳一中模拟）化简[(0.06415)－2.5]23－3338－π0；【解析】[(0.06415)－2.5]23－3338－π01×231＝52－32－1＝0.【答案】0考点二指数函数的图像及其应用【典例2】（2019·辽宁葫芦岛高级中学模拟）函数y ＝a x －a －1(a ＞0，且a ≠1)的图象可能是()【答案】D【解析】函数y ＝a x －1a 是由函数y ＝a x 的图象向下平移1a 个单位长度得到的，A 项显然错误；当a ＞1时，0＜1a ＜1，平移距离小于1，所以B 项错误；当0＜a ＜1时，1a ＞1，平移距离大于1，所以C 项错误．故选D.【方法技巧】有关指数函数图象问题的解题思路(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．(4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x ＝1与图象的交点进行判断．【变式2】（2019·山西平遥中学模拟）已知f (x )＝|2x －1|，当a ＜b ＜c 时，有f (a )＞f (c )＞f (b )，则必有()A ．a ＜0，b ＜0，c ＜0B ．a ＜0，b ＞0，c ＞0C ．2－a ＜2cD ．1＜2a ＋2c ＜2【答案】D【解析】作出函数f (x )＝|2x －1|的图象如图所示，因为a ＜b ＜c ，且有f (a )＞f (c )＞f (b )，所以必有a ＜0,0＜c ＜1，且|2a －1|＞|2c －1|，所以1－2a ＞2c －1，则2a ＋2c ＜2，且2a ＋2c ＞1.故选D.考点三比较指数式的大小【典例3】【2019年高考天津文数】已知0.223log 7,log 8,0.3a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c b a <<B ．a b c<<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】A 【解析】∵0.200.30.31c =<=，22log 7log 42a =>=，331log 8log 92b <=<=，∴c b a <<.故选A.【方法技巧】利用指数函数的性质比较幂值的大小，先看能否化成同底数，能化成同底数的先化成同底数幂，再利用函数单调性比较大小，不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小；【变式3】（2019·江苏扬州中学模拟）已知f (x )＝2x －2－x，a-14，bc ＝log 279，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为()A ．f (b )＜f (a )＜f (c )B ．f (c )＜f (b )＜f (a )C ．f (c )＜f (a )＜f (b )D ．f (b )＜f (c )＜f (a )【答案】B【解析】易知f (x )＝2x －2－x 在R 上为增函数，又a-14b ＞0，c ＝log 279＜0，则a ＞b＞c ，所以f (c )＜f (b )＜f (a )．考点四解简单的指数方程或不等式【典例4】（2019·河北唐山一中模拟）已知实数a ≠1，函数f (x)x ，x ≥0，a －x ，x ＜0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为________．【解析】当a ＜1时，41－a ＝21，解得a ＝12；当a ＞1时，代入不成立．故a 的值为12.【答案】12【方法技巧】利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式，先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解；【变式4】（2019·安徽马鞍山二中模拟）设函数f (x )－7，x ＜0，x ≥0，若f (a )＜1，则实数a 的取值范围是________．【解析】若a ＜0，则f (a )＜1－7＜1＜8，解得a ＞－3，故－3＜a ＜0；若a ≥0，则f (a )＜1⇔a ＜1，解得a ＜1，故0≤a ＜1.综合可得－3＜a＜1.【答案】(－3,1)考点五指数函数性质的综合应用【典例5】（2019·江西鹰潭一中模拟）已知函数f(x)243－＋ax x.(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值；(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．【解析】(1)当a＝－1时，f(x)243－＋x x，令g(x)＝－x2－4x＋3，由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g(x)＝ax2－4x＋3，则f(x)(x)，由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1，1，解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.(3)由指数函数的性质知，要使f(x)的值域为(0，＋∞)，应使y＝ax2－4x＋3的值域为R，因此只能a＝0(因为若a≠0，则y＝ax2－4x＋3为二次函数，其值域不可能为R)．故a的值为0.【方法技巧】解答指数函数性质的综合应用，首先判断指数型函数的性质，再利用其性质求解。