一元一次方程纠错一

数学纠错本范本
数学纠错本
尊敬的老师：
您好！我是贵班的学生，我写这封信是为了纠正我在上堂数学课上所犯的错误。

上周，在数学课上，我们学习了一元一次方程的概念和解法。

老师在黑板上写了一个例题，其内容是求解方程“2x + 3 = 7”。

老师解释了解题思路，并列出了详细的计算步骤。

在课堂上，我跟着老师一起做了计算，并写下了最终的答案为“x = 2”。

然而，经过我仔细的复查和思考后，发现我在解题过程中存在一个错误。

当我计算到最后一步，将“7 - 3”得到“4”，然后再
将“4 ÷ 2”得到“2”的时候，我没有检查是否满足方程的两边相等。

实际上，我只是一味地按照老师的步骤计算，而没有注意到这一重要的细节。

正确解法应该是将“7 - 3 = 4”写为“4 = 2x”，然后将“x”的系数
移到等号的另一边，得到“2x = 4”。

最终的解应该为“x = 2”，
这与我的答案是相同的。

我为我在上堂数学课上的错误感到非常抱歉，我将会更加认真地对待每一道数学题，尤其是解方程题时，不只是死记硬背计算方法，更加重视解题过程中的逻辑思维和严谨性。

对于我的错误，我向您致以最诚挚的歉意，希望老师能原谅我的疏忽。

我会努力改正错误，提高自己的数学水平，并希望在今后的学习中不再犯类似的错误。

再次向您表示诚挚的歉意！
学生：XXX。

讲义主题： 一元一次方程的概念与性质 一：课前纠错与课前回顾1、作业检查与知识回顾2、错题分析讲解 （1） （2） （3）二、课程内容讲解与课堂练习 【题模1】：等式的性质、一元一次方程例1.1.1已知231x y -=，用含x 的代数式表示y 正确的是（ ）A ．213y x =-B ．312y x +=C ．213x y -=D ．1233y x=-- 例1.1.2下列等式变形正确的是（ ） A ．如果x y =，那么22x y -=- B ．如果12x -=8，那么4x =-C ．如果mx my =，那么x y =D ．如果x y =，那么x y =例1.1.3用适当的数或式子填空，使所得结果仍是整式，并说明变形是根据等式的哪一条性质以及怎样变形的？（1）若358x +=，则38x =-_________，这是根据等式基本性质__________，等式两边同时__________（2）若144x -=，则x =_________，这是根据等式基本性质__________，等式两边同时__________（3）若237n m -=，则27n =+_________，这是根据等式基本性质__________，等式两边同时__________（4）若1463x +=，则12x +=_________，这是根据等式基本性质__________，等式两边同时__________例1.1.4运用等式性质进行的变形，正确的是_________（填序号）①如果a b =，那么a c b c +=-；②如果23a a =，那么3a =；③如果a b =，那么a bc c=；④如果a bc c=，那么a b =；⑤如果a c b d +=-，如果a b c d -=+；⑥如果a b =，那么ac bc =；⑦如果ac bc =，那么a b =；⑧如果a b =，那么2211a b c c =++；⑨如果2211a bc c =++，那么a b =． 例1.2.1下列式子是方程的个数有（ ）①321345+=，②239x +<，③429x -=，④232x-=，⑤32x -A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例1.2.2若()2320m m x --=是关于x 的一元一次方程，则m 的值是（ ） A ．2±B ．2-C ．2D ．4例1.2.3关于x 的方程()230n m x --=是一元一次方程．（1）则m ，n 应满足的条件为：m ___________，n ________________； （2）若此方程的根为正整数，求整数m 的值．【讲透例题】略 【讲透考点】一．等式用等号“＝”连接，表示相等关系的式子，叫做等式．在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边．二．等式的性质1．等式基本性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），所得结果仍是等式．用字母表示为：如果a b =，那么a c b c ±=±．2．等式基本性质2：等式两边同时乘以同一个数（或式子），或除以同一个不为零的数（或式子），所得结果仍是等式．3．用字母表示为：如果a b =，那么ac bc =；如果a b =且0c ≠，那么a bc c=． 等式本身还具有一些性质： 对称性：如果a b =，那么b a =． 传递性：如果a b =，b c =，那么a c =． 三．方程1．定义：含有未知数的等式叫做方程．定义中含有两层含义：①方程必定是等式，即是用等号连接而成的式子；②方程中必定有一个（可以是多个）待确定的数，即未知数．二者缺一不可．2．方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．求得方程的解的过程，叫做解方程． 方程中含有的未知数可以不止一个，对于只含有一个未知数的方程，它的解也叫方程的根． 解方程与方程的解是两个不同的概念，后者是求得的结果，前者是求出这个结果的过程．要验证某个数是不是一个方程的解，只需将这个数分别代入方程的左边和右边，如果左、右两边数值相等，那么这个数就是方程的解，否则就不是．3．方程中的未知数和已知数已知数一般是具体的数值，如50x +=中，5和0是已知数（x 的系数是1，是已知数，但一般不说）． 有些情况下，方程的已知数需要用字母表示，习惯上常用a b c m n 、、、、等表示，这时a b c m n 、、、、等字母叫做参数．未知数是指要求的数，习惯上常用x y z 、、等字母表示．为了指明未知数x ，我们一般把方程2x a =称为“关于x 的方程”，其中a 是参数．四．一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程．这里的“元”是指未知数的个数，“次”是指含未知数的项的最高次数．一元一次方程的标准形式：0ax b +=（0a ≠，a ，b 是已知数）．一元一次方程的最简形式：ax b =（0a ≠，a ，b 是已知数）．【相似题练习】随练1.1若a b =，则下列变形中不一定成立的是( )A ．11a b -=-B ．3322a b +=+ C ．1133a b-=- D ．5115a b --=--随练1.2给出下面四个方程及其变形：①480x +=变形为20x +=；②753x x +=-变形为42x =-； ③235x =变形为215x =；④42x =-变形为2x =-； 其中变形正确的是（ ） A ．①③④ B ．①②③ C ．②③④ D ．①②④ 随练1.3利用等式的性质，在括号内填上适当的数或式子（1）如果235x -=-，则2x =_____________，x =_____________ （2）如果5224x x +=-，则3x =_____________，x =_____________（3）如果1233x x =-，则53x -=_____________，x =_____________随练1.4下列式子是方程的个数有（ ）①0x =，②23x >，③220x x +-=，④20yx+=，⑤32x -，⑥1x x =-，⑦0x y -=，⑧1xy =A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个 随练1.5若关于x 的方程22(3)x ax bx -+=是一元一次方程,则,a b 满足（）A ．00a b =≠且B ．10a b =-≠且C ．02a b =≠且D ．12a b =≠且随练1.6已知2(1)(1)30k x k x -+-+=是关于x 的一元一次方程，求k 的值及方程的解．【题模2】：一元一次方程的解法例2.1.1已知方程2(1)3132x x x --+=-,去分母得（） A ．4(1)13(3)x x x +-=-- B ．4(1)63(3)x x x +-=--C ．62(1)63(3)x x x +-=--D ．64(1)63(3)x x x +-=--例2.1.2当x =_____________时，代数式1(12)3x -与代数式2(31)7x +的值相等例2.1.3解下列方程： 111246819753x ⎧⎫⎡+⎤⎛⎫+++=⎨⎬⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭【讲透例题】略 【讲透考点】一．一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤是：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）未知数的系数化为1． 注意：这五个步骤在解一元一次方程中，有时可能用不到，有时可能需重复用，使用时不一定严格按从（1）到（5）的顺序进行，要根据方程的特点灵活运用．【相似题练习】随练2.1解方程321126x x -+-=，下列去分母正确的是（ ） A ．3(3)(21)1x x --+= B ．3(3)211x x --+= C ．3(3)216x x --+= D ．3(3)(21)6x x --+=随练2.2若6x --与17互为倒数，则x =______________．随练2.3解关于x 的方程（1）1+=32x-；（2）()38382x x x --+=+；（3）132134x x x --=+-；（4）0.50.02 3.60.20.03x x +-=；变形名称具体做法依据注意事项去分母在方程两边同乘以各分母的最小公倍数等式性质2①不含分母的项不要漏乘②注意分数线有括号作用，去掉分母后，如果分子是多项式，要加括号去括号由内向外去括号，即先去小括号，再去中括号，最后去大括号 分配律，去括号法则①运用分配律去括号时，不要漏乘括号内的项②如果括号前是“－”号，去括号时，括号内各项要变号移项把含未知数的项都移到方程的一边（通常是左边），不含未知数的项都移到方程的另一边 等式性质1①移项必须变号②一般把含未知数的项移到左边，其他项移到右边合并同类项把方程两边同类项分别合并，把方程化为()0ax b a =≠的形式 合并同类项法则合并同类项是同类项的系数相加，字母及其指数不变未知数系数化1在方程两边同除以未知数系数a ，得到方程的解bx a =看不清楚解，不会调整等式性质2 应注意系数a 不能等于0（5）ax b =随练2.42]214)141(23[32+=--x x【题模3】：含有参数的方程例1.1.1已知关于x 的方程4x-3m=2的解是x=m ，则m 的值是____． 例1.2.1若x=2是关于x 的方程2x+3m-1=0的解，则m 的值为（ ） A ．-1B ．0C ．1D ．13例1.2.2若关于x 的方程3x +3k=2的解是正数，则k 的值为（ ）A ．32>k B ．32<k C ．k 为任何数 D ．以上都不对例1.2.3解下列关于x 的方程：（1）12x a -=（2）()362x x a +=- （3）()()12112x x a -=--+ 例1.2.4已知a 为正整数，关于x 的方程5814225x a x -=+的解为整数，求a 的最小值．例1.3.1解关于x 的方程：（1）2421m x mx -=+ （2）x a x b bb a a---=，其中0a b -≠（3）()()1234m x n x m -=+．例1.3.2已知2x =-是方程(1)410a x a ++-=的解，则a 的值是（ ）A ．2-B ．32C ．0D ．23例1.3.3已知方程2ax x b -=+，问a 、b 分别满足什么条件时： （1）方程有唯一解？ （2）方程无解？（3）方程有无穷多个解？例1.3.4关于x 的方程kx-1=2x 的解为正实数，则k 的取值范围是____．例1.4.1如果关于x 的方程372x x a -=+的解与方程437x +=的解相同，那么a 的值为____.例1.4.2已知关于x 的方程3242a x x x ⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦和方程3151128x a x +--=有相同的解，求a 的值．例1.4.3如果方程42832x x -+-=-的解与关于x 的方程()431621x a x a -+=+-的解相同，求1a a-的值．例1.5.1已知关于x 的方程()22mx m x +=-的解满足1102x --=，则m 的值是（ ） 例1.5.2若|x+1|=2，则x 的值是（） A ．1 B ．-3 C ．1或3D ．1或-3例1.5.3解下列方程： （1）331x -= （2）120x +-= （3）6232x -+= （4）()311x x -=+ （5）132132x --= （6）()121133x -+=【讲透例题】略 【讲透考点】一．参数有的方程中除了未知数外，还会含有一些其他的字母，它们代表已经确定的数字，只是我们不知道它们具体是多少，这种字母称为“参数”，即“参与运算的数”．虽然都是字母，但未知数与参数各自的地位和含义是不相同的．比如方程ax b =，理论上来讲，如果题目没有说明，里面的每一个字母都可以当做未知数．但是一般情况下，当a b c 、、与x y z 、、同时出现在一个方程时，我们会约定俗成地认为，x y z 、、是未知数，a b c 、、是（已知数）参数．因此，我们通常会说关于x 的方程ax b =，这样比较严谨，就不会出现纠结谁是未知数的问题．二．常数项含参数的一次方程对未知数系数不含参数，常数项含参数的方程，在运算中就把参数当成普通的数字来对待，带着参数完成解方程的过程．如解关于x 的一元一次方程()12x a b c -+=，则()2x c b a =-+．三．系数含参的一次方程的解法对于未知数系数含参数的方程，其方程的解与参数的取值有很大关系，需要对参数进行分类讨论． 求解一个系数含参数的一元一次方程，依然采用常规的五步法，其中去分母、去括号、移项、合并同类项这四步带着参数一起运算即可，在最后一步未知数系数化为1时要对参数进行讨论．因为此时系数是否为0会对方程的解有很大的影响，即对关于x 的方程ax b =（a b 、为参数），有：（1）当0a ≠时方程有唯一解bx a=； （2）当0a =时，方程的解仍不能确定，需要对b 再进行分类讨论： ①当0b ≠时，方程为0x b =，无解；②当0b =时，方程为00x =，任意数字均为方程的解． 也就是说，此时方程的解有三类情况，需要逐个说明．四．绝对值方程1．x a =解的讨论：①当0a >时，方程有两个解x a =±．如3x =，则3x =±； ②当0a =时，方程有唯一解0x =．如0x =，则0x =； ③当0a <时，方程无解．如3x =-，则方程无解． 2．ax b c +=型方程：①当0c >时，原方程等价于方程ax b c +=或ax b c +=-．如方程211x +=，等价于211x +=或211x +=-；②当0c =时，原方程等价于方程0ax b +=．如方程210x +=，等价于210x +=； ③当0c <时，原方程无解．3．利用分类讨论解ax b cx d +=+型的方程：我们已经学过，一个数x 的绝对值x 的定义是：当0x ≥时，x x =；当0x <时，x x =-． 这个定义说明只要我们知道绝对值内的数或代数式的正负，就可以按照定义去掉绝对值号了．所以我们可以先分类讨论绝对值内部部分的正负，然后化作一般方程求解．注意：最终的解一定要符合其所对应的分类前提，否则就要舍去．例如，解关于x 的方程25x x =+： 绝对值内部为x ，我们对x 分类讨论．①当0x ≥时，x x =，原方程化为25x x =+，解得5x =-．但是由于5x =-不满足0x ≥的前提要求，所以舍去；②当0x <时，x x =-，原方程化为25x x -=+，解得53x =-．检验53x =-满足0x <的前提要求，所以53x =-是原方程的解．【相似题练习】随练1.1某同学在解方程5a －x=13（x 为未知数）时，误将－x 看作+x ，得方程的解为x=－2，则原方程的解为（ ） A ．x=2 B ．x=1 C ．x=0 D ．x=－3 随练1.2已知关于x 的方程2x+4=m-x 的解为负数，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＜43B ．m ＞43C ．m ＜4D ．m ＞4随练1.3已知关于x 的方程()210a b x +-=无解，则ab 的值是（ ） A ．负数 B ．正数 C ．非负数 D ．非正数 随练1.4关于x 的方程36x a +=的解是自然数，则非负整数a =__________．随练1.5关于x 的一元一次方程(1)30m x --=的根为整数，则m 的整数值为____________．随练1.6解下列关于x 的方程：()112323x x a x b -+=+⎡⎤⎢⎥⎣⎦随练1.7解下列关于x 的方程：235x a x bx b -++=+随练1.8解关于x 的方程：()2a x b a x ab +-=+．随练1.9解关于x 的方程1mx nx -=．随练1.10已知关于x 的方程()16326a x a x x +=--，问当a 取何值时：（1）方程无解？（2）方程有无穷多解？随练1.11若关于x 的方程32x k =+与方程251x +=的解相同，则k =____ 随练1.12若关于x 的()40k m x ++=和()210k m x --=是关于x 的同解方程，则2km-的值是________ 随练1.13解下列方程：（1）214x x -+= （2）()1311232xx x ---=+ （3）421x x +--=随练1.14若关于x 的方程230x m -+=无解，340x n -+=只有一个解，450x k -+=有两个解，则m 、n 、k 的大小关系是（ ）A ．m k n >>B ．n k m >>C ．k m n >>D ．m n k >>三、课后练习（写出各题的主要解答过程。

《一元一次方程》教学反思
《一元一次方程》是人教版七年级数学上册第三章第一节的内容，是在小学学习了方程概念的基础上进行的，是学习进一步学习二元一次方程组的依据，也是进一步学习方程和等式。

遵循概念教学规律，渗透类比的学习方法，抓关键词，培养学生自主学习能力，来一次自我对话，在练习这条主线中逐步推进。

本节课先从方程引入，因为小学已学过方程，所以快速复习方程的定义并找出关键词，让学生紧扣定义中的关键词去判断方程，为后面一元一次方程定义的讲解及应用做铺垫。

第二部分从实际问题即行程问题入手，一步步引导学生列出方程，让学生体会从实际问题转化为数学问题的过程、初步体会建立数学模型、运用方程的思想。

从三个实际问题得到三个方程，让同学们自己观察并总结出一元一次方程的定义，再从判断是否为一元一次的方程题型中反复加深关键条件。

设置求参数的题目在加深学生对定义的理解和运用的同时再将含未知数项的系数不为0的第四个关键条件列出，智力闯关中三个题目的设置也是在反复加深定义的印象。

最后课堂小结及时回扣学习目标，让学生做到心中有数。

遗憾的是，在一开始引入应用题时，重点偏了，本节课的重点是一元一次方程的概念，但在实际的操作中，在实际问题的处理中耗时太多，导致最后一元一次方程的概念和最后练习巩固的时间不足。

练习过程中，过度纠错，产生包办的嫌疑。

在讲解实际问题时，数学建模思想没有很好地渗透。

在练习环节，关于n值的讨论，分类讨论思想没有关注到。

解决例题的方法大体分为方程法与算术法，有的学生能够想到算术法，但是并没有深入探究。

《解一元一次方程》教学反思《解一元一次方程》教学反思1通过上节课学习后，学生已经掌握了用去括号、移项、合并同类项、把系数化为1这四个步骤解一元一次方程。

接下来这一节课，我们要重点讨论是;①解方程中的“去分母”，②根据实际问题列方程。

这样我们就掌握了解一元一次方程一般都采用的五步变形方法。

由一道著名的求未知数的问题，得到方程，这个方程的特点就是有些系数是分数，这时学生纷纷用合并同类项，把系数化为1的变形方法来解，但在合并同类项时几个分数的求和，有相当一部分学生会感到困难且容易出错，再看方程怎样解呢？学生困惑了，不知从何处下手了，此时，需要寻求一种新的变形方法来解它，求知的欲望出来了，想到了去分母，就是化去分母，把分数系数化为整数，使解方程中的计算方便些。

在解方程中去分母时，我们发现存在这样的一些问题：①部分学生不会找各分母的最小公倍数，这点要适当指导，②用各分母的最小公倍数乘以方程两边的项时，漏乘不含分母的项，③当减式中分子是多项式且分母恰好为各分母的最小公倍数时，去分母后，分子没有作为一个整体加上括号，容易错符号。

如解方程方程两边都乘以2后，得到2x-x+2=2,其中x+2没有加括号，弄错了符号。

《解一元一次方程》教学反思2本节课内容选自人教版七上3.2.2章节的《解一元一次方程》，学生之前已经学习了用合并同类项的方法来解一元一次方程，这种方程的特点是含x的项全部在左边，常数项全部在右边。

今天要学习的方程类型是两边都有x和常数项，通过移项的方法化归到合并同类项的方程类型。

教学重点是用移项解一元一次方程，难点是移项法则的探究。

我是从复习旧知识开始，合并同类项一节解方程都是之前学过的知识，为本节课作铺垫，再引出课本上的“分书”问题，应用题本身对学生来说，理解上有点难度，讲解其中的数量关系不是本节课的重点，所以我避重就轻地给了学生分析提示，通过填空的形式，找出数量关系，进而列出方程。

列出方程后，发现方程两边都有x和常数项，这个方程怎么解？从而引出本节课的学习内容：怎样解此类方程。

第8章一元一次方程的解法设计思路
寒亭区固堤街道泊子中学张利生
一元一次方程的解法是本章的重点内容，本节只涉及到一元一次方程的简单解法，移项和化系数为1，相对来说比较简单，本节主要以学生的自主学习为主，自主发现，自主解决问题，教师只讲解一些易错的问题和共性错误。

本章的重点是一元一次方程的解法步骤，难点是移项法则，法则本身并不难，但是学生往往容易忽视，忘记移项需要改变符号，导致出错。

突破难点的关键是教师要在这里多强调，另外学生之间要相互纠错，增强印象，增强学生相互协作能力。

为此，本节设计思路如下：
一：在课前延伸环节我设计了4个题目，一是回顾一下前一节的知识，二是利用等式的基本性质引申出本节内容——移项。

二：在自主学习环节要注意给学生提出明确的问题，让学生带着问题去思考问题，同时要注意时间和学生之间的相互合作。

在自主学完成后，用一个巩固新知来加深学生对移项法则的再认识。

三：在交流提升环节我设计了4个比较简单的解方程的题，主要是让学生结合例题，对一元一次方程的解法有一个初步的认识和了解，在接下来的精讲点拨中，教师要对步骤加以规范，要严格要求。

四：在巩固检测环节我设计了6个小题，通过学生上黑板完成和小组合作完成来发现学生存在的问题并及时加以纠正。

五：在课后延伸环节，我设计了5个题目，1-3题为必答题4、5题为拓展延伸，1-3题主要是巩固本节所学内容，第四题把一元一次
方程与代数式联系起来让学生进一步拓展一元一次方程。

第五题利用回顾去过括号法则，为下一节复杂的一元一次方程的解法做一个铺垫，让学生提前接触一下。

教学篇•经验交流初中数学教学中培养学生纠错习惯措施刘璐（江苏省泗洪姜堰实验学校，江苏泗洪）摘要：纠错行为是贯穿初中数学教学中一项必不可少的环节，及时纠错、正确纠错是提高学生解题能力、巩固学生学习效果的重要途径。

然而在实际初中教学中，学生普遍存在不重视纠错、逃避纠错、机械化纠错等情况，导致纠错效率低下，背离纠错初衷。

鉴于此，结合教学，谈谈在教学活动中对学生纠错能力的认识，并针对学生纠错习惯的培养提出相应措施。

关键词：初中数学；纠错习惯；培养策略；培养措施纠错行为是贯穿初中数学教学中一项必不可少的环节，纠错是提高学生学习效率的重要途径。

然而在实际初中教学中，大多数学生存在不重视纠错的情况，导致纠错效率低下，无法提高学习效率。

鉴于此，笔者将结合自身教学，谈谈自己在教学活动中如何提高学生的纠错能力，并针对学生纠错习惯的培养提出相应措施。

一、初中数学教学中学生纠错习惯误区（一）不重视纠错初中数学教学中，学生需要做大量练习训练解题技巧，出现错误是在所难免的。

然而大多数学生对于错误，往往采取一种轻视的态度。

出于对自己的盲目自信，一些学生认为仅需在课堂上听老师讲解题目后，自己就可以掌握正确的解法。

于是对于错误的修订不予重视，总是被动地受教师督促或采取敷衍态度直接抄袭答案，他们认为只要将错题和答案写在本上，就是完成了纠错。

（二）逃避纠错鉴于初中学生的年龄阶层处于典型青春期心理发展时期，他们更加敏感，容易产生自卑感与羞耻心理。

当测试或练习中出现错误时，他们害怕表露出自己的错误会受到嘲笑，因此不愿主动寻求师生帮助，甚至尽力掩盖自己的错误。

他们在数学练习时，为了避免纠正错误，遇到自己不擅长的领域便抄袭答案，宁愿多做几道新的题目也不愿意去纠正一道旧的错误题目。

这样的行为导致他们总是在相同的领域出现错误，严重缺乏纠错意识。

（三）机械化纠错在传统应试教育的教学影响下，学生习惯于教师讲课、学生听课的课程模式。

大多数学生往往被动接受教师传授的知识，很难养成主动思考问题，提前探究错误的习惯。

专题5.3 求解一元一次方程（一）-移项、合并同类项（知识讲解）【学习目标】1．会应用移项、合并同类项法则解一些简单的一元一次方程.2．通过具体的实例感知、归纳移项法则，进一步探索方程的解法.3．进一步认识解方程的基本变形，感悟解方程过程中的转化思想.【要点梳理】移项的概念：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。

特别说明：通过移项，含未知数的项与常数项分别位于方程左右两边，使方程更接近于x=a的形式。

移项、合并同类项解方程步骤：解方程的步骤及依据分别是：（1）移项（等式的性质1）（2）合并（分配律）（3）系数化为1（等式的性质2）【典型例题】知识点一、解方程1．解方程：(1)x－3＝31；(2)4x＝3x－5；(3)－7x＝21；(4)－32x＝32.【答案】（1）x＝34；（2）x＝－5；（3）x＝－3；（4）-1.【分析】（1）（2）移项合并即可求出解；（3）（4）将x系数化为1，即可求出解．解：(1) 移项，得x＝31+3，x=34；(2)移项，得4x－3x＝－5，x＝－5；(3) 系数化为1，得x＝－3；(4)方程两边同时乘以23⎛⎫-⎪⎝⎭，得x＝32×23⎛⎫-⎪⎝⎭＝－1.故答案为：（1）x＝34；（2）x＝－5；（3）x＝－3；（4）-1.【点拨】本题考查解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解．举一反三：【变式1】 解方程（1） 4 2.5 1.515x x x -+= （2）5757x x -=+【答案】（1）5；（2）-6【分析】（1）直接合并同类项，系数化1即可解得方程；（2）利用移项，合并同类项，系数化1即可解得方程；解：（1）4 2.5 1.515x x x -+=， 合并同类项得：315x =，系数化1得：x=5；（2）5757x x -=+， 移项得：575+7x x -=， 合并同类项得：212x -=，系数化1得：-6x =【点拨】本题主要考查一元一次方程的解法，解一元一次方程的基本步骤有：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，根据方程的特点，灵活运用相应步骤解方程．【变式2】解方程：（1）36156x x -=--； （2）45173x x +=-； （3） 2.57.5516y y y --=-； （4）11481.5533z z +=-． 【答案】（1）1x =-；（2）66x =-；（3）56y =；（4）407z =- 【分析】（1）（2）（3）（4）先移项，再合并同类项，最后系数化为1即可．解：（1）移项，得36156x x +=-+．合并同类项，得99x =-．系数化为1，得1x =-．（2）移项，得41753x x -=--． 合并同类项，得1223x =-． 系数化为1，得66x =-．（3）移项，得 2.57.5165y y y --+=．合并同类项，得65y =．系数化为1，得56y =． （4）移项，得11841.5533z z -=--． 合并同类项，得7410z =-． 系数化为1，得407z =-． 【点拨】本题考查了解一元一次方程的问题，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 知识点二、一元一次方程中“纠错”题2．解方程：1145155x x +=--． 佳佳的解题过程如下：解：移项，得1145155x x +=-．① 合并同类项，得34x =．①系数化为1，得43x =．① 请问佳佳的解题步骤有误吗？如果有误，从第几步开始出错的？并且将正确答案写出来．【答案】有误，从第①步开始出错的．正确的解题过程见解析【分析】根据一元一次方程的解法步骤判断即可．解：有误，从第①步开始出错的．正确的解题过程：移项，得1145155x x +=--， 合并同类项，得36x =-，系数化为1，得2x =-． 【点拨】本题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．举一反三：【变式1】下面是两位同学的作业.请你用曲线把出错误的步骤画出来，并把正确的写在右边.(1) 解方程: 215x x -=-+.解：215x x -=+，6x =.(2)解方程：715y y =+. 解: 71y y =+，71y y -=，61y =，16y =. 【分析】根据解一元一次方程的步骤:移项,合并同类项,系数化为1,进行解方程即可求解. 解：①215x x -=+ 改正：215x x +=+ 2x =(2) 71y y =+ 改正：755y y =+ 52y = 【点拨】本题主要考查解一元一次方程的步骤,解决本题的关键是要熟练掌握解一元一次方程的步骤.【变式2】 下面是张铭同学今天做的家庭作业：问题：将等式5x ﹣3y=4x ﹣3y 变形．解：因为5x ﹣3y=4x ﹣3y ，所以5x=4x （第一步）所以5=4（第二步） 上述过程中，第一步是怎么得到的？第二步得出错误的结论，其原因是什么？【答案】第一步是两边都加3y ，第二步错误的原因是x=0时，两边都除以x 无意义 【解析】【分析】根据等式的性质逐步分析即可，等式的基本性质1是等式的两边都加上（或减去）同一个整式，所得的结果仍是等式；等式的基本性质2是等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得的结果仍是等式.解：第一步是根据等式的性质1，把等式的两边都加3y ，第二步根据等式的性质2可知，错误的原因是x =0时，两边都除以x 无意义.【点拨】本题考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的2条基本性质是解答本题的关键.【变式3】某同学解方程52486x x -=-的过程如下，请你指出他开始出错的一步及错误的原因，并改正.解：移项，得58624x x -=--，①合并同类项，得330x -=-，①方程两边同时除以-3，得10x =.①；【答案】该同学的移项是错误的，原因见解析.【分析】根据解一元一次方程的步骤及移项的定义进行分析，即可得到答案.解：该同学的移项是错误的，原因是-24进行移项后符号没有改变．根据移项的定义可知，正确移项是58624x x -=-+，合并同类项，得318x -=，方程两边同时除以-3， 得6x =-.【点拨】本题考查解一元一次方程——移项，解题的关键是熟练掌握移项.知识点三、一元一次方程中同解原理3、已知2(26)m -与｜n+2｜互为相反数，则求方程m x +3n=6的解． 【答案】4x =【分析】由题意可得()22620m n -++=，然后根据非负数的性质可求出m 、n ，代入原方程后再求解方程即可．解：由题意得：()22620m n -++=，所以260,20m n -=+=，解得3,2m n ==-，则方程mx+3n=6即为366x -=，移项、合并同类项，得3x=12，系数化为1，得x=4．【点拨】本题考查了非负数的性质和一元一次方程的解法，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握基本知识是解题的关键． 举一反三：【变式1】已知关于x 的方程3x+2a ＝x+7，某同学在解这个方程时，不小心把右端的+7抄成了－7，解得的结果为x ＝2，求原来方程的解.【答案】x ＝9【分析】根据方程的解满足方程，可得关于a 的方程，根据解方程，可得a 的值，根据移项、合并同类项、系数化为1，可得答案．解：将x=2代入3x+2a=x -7，得6+2a=-5，解得a=-112． 当a=-112时，原方程为3x -11=x+7， 移项、合并同类项，得2x=18，系数化为1，得x=9，原方程的解为x=9．【点拨】本题考查了一元一次方程的解，将方程的解代入方程得出a 的值是解题关键．【变式2】已知关于x 的方程130.58192x a a +=-与方程3122x x -=-的解互为相反数，求a 的值．【答案】3a =【分析】首先解得方程3122x x -=-的解，然后根据相反数的定义将方程3122x x -=-的解的相反数代入第一个方程来求a 的值即可．解：解方程3122x x -=-，得1x =-，∴方程130.58192x a a +=-的解是1x =把1x =代入130.58192x a a +=-，得130.58192a a ， 解之得：3a = 【点拨】本题考查了一元一次方程的解的定义，熟悉相关性质是解题的关键．【变式3】已知关于x 的一元一次方程（m -6）x 2-2x+n=0与x -（3-x ）=1的解相同，求m 、n 的值.【答案】m=6，n=4【分析】先根据等式的性质求出方程x -（3-x ）=1的解;根据两个方程的解相同, 将求得的解代入到一元一次方程（m -6）x 2-2x+n=0中, 不难求出n 的值.解: 利用等式的基本性质求解方程，x -（3-x ）=1, 可得x=2.因为方程（m -6）x2-2x+n=0为一元一次方程，得m -6=0,m=6,因为两方程的解相同,所以x=2也是方程（m -6）x2-2x+n=0的解.将x=2代入-2x+n=0可得: -4+n=0,解得n=4.故答案：m=6，n=4.【点拨】本题是一道关于解方程的问题, 解题的关键是求出第一个方程的解.知识点四、一元一次方程的创新题4、一般情况下a 2+b 3=a+b2+3不成立，但有些数可以使得它成立，例如：a =b =0，我们称使得a 2+b 3=a+b 2+3成立的一对数a ，b 为“相伴数对”，记为(a , b).（1）若(1 , b)是“相伴数对”，求b 的值；（2）若(m , n)是“相伴数对”，求代数式m −10n −2(5m −3n +1)的值.【答案】（1）−94；（2）-2【解析】(1)、首先根据“相伴数对”的定义列出关于b 的一元一次方程，从而求出b 的值；(2)、根据“相伴数对”的定义得出关于m 和n 的代数式，然后进行化简得出9m+4n=0，最后将所求的代数式进行化简，利用整体代入的思想进行求解.解 ：（1）∵(1 , b)是“相伴数对”，∴12+b 3=1+b 2+3，解得：b =−94；（2）由(m , n)是“相伴数对”可得：m 2+n 3=m+n 2+3，则15m +10n =6m +6n ，即9m +4n =0，则原式=m −10n −10m +6n −2=−9m −4n −2=−2.举一反三：【变式1】数学课上，高老师和同学们做一个游戏：他在三张硬纸片上分别写出一个代数式，背面分别标上序号①、①、①，摆成如图所示的一个等式．然后翻开纸片①是4x 2＋5x ＋6，翻开纸片①是－3x 2－x －2．解答下列问题：（1）求纸片①上的代数式；（2）若x 是方程2x ＝－x －9的解，求纸片①上代数式的值．【答案】（1）244x x ++；（2）1.【分析】（1）由①=①+①即可求解；（2）由方程2x ＝－x －9求出x 值，再代入纸片①上的代数式求值即可.解：（1）222456(32)44x x x x x x =+=+--=+-+①②③＋＋，所以纸片①上的代数式为244x x ++；（2）解2x ＝－x －9得3x =-，将3x =-代入244x x ++得2(3)4(3)491241-+⨯-+=-+=，所以纸片①上代数式的值为1.【点拨】本题考查了整式的加减运算及代入求值，同时涉及了解一元一次方程，灵活掌握整式的加减运算是解题的关键.【变式2】下图是一个运算程序:(1)若2,3x y =-=，求m 的值；(2)若4x =，输出结果m 的值与输入y 的值相同，求y 的值.【答案】（1）-7；（2）-2 【分析】(1)根据x 、y 的值和运算程序得出3m x y =-，代入即可得出答案(2) 根据运算程序分4m >和4m ≤两种情况列出关于m 的方程，解方程即可得出y 的值解: (1)2,3x y =-=，x y ∴≤，32337m x y ∴=-=--⨯=-.(2)由己知条件可得4,x y m ==，当4m >时，由43m m +=，得2m =-，符合题意:当4m ≤时，由43m m -=得1m =，不符合题意，舍掉.2y ∴=-.【点拨】本题考查了代数式求值和一元一次方程的应用，把满足条件的字母的值代入计算得到对应的代数式的值．也考查了观察图表的能力．。