2021年高三数学9月调考理科试卷 新人教A版

()()1242412+-++++=-mx m m x mx y 2021年高三9月月考 数学理 含答案考试说明：（1）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分, 满分150分．考试时间为120分钟；（2）第I 卷，第II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．第I 卷 （选择题, 共60分）（2）选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1． 已知集合，集合，且，则A ．B ．C ．D ．2． 命题“所有实数的平方都是正数”的否定为A. 所有实数的平方都不是正数 B ．有的实数的平方是正数C ．至少有一个实数的平方是正数D ．至少有一个实数的平方不是正数3． 已知函数的定义域为，则的 取值范围是A ．B ．C ．D ．4． 设，则不等式的解是A. B ． C ． D ．或5． 如果函数是奇函数，则函数的值域是A ．B ．C ．D ．6． 已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则当时，的表达式为A ．B ．C ．D ．7. 已知函数，则大小关系为A ．B ．C ．D ．8. 关于的方程在内有两个不相等实数根，则的取值范围是A. B ． C ． D ． 或9. 若函数在区间上的图象如图所示,则的值可能是A.B．C．D．第二节，则A．B．C．D．11. ，方程有个实根，则所有非零实根之积为A．B．C．D．12．若函数，记，，则A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题, 共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上) 13．函数的单调递增区间为_____________________.14. 已知；，若的充分不必要条件是，则实数的取值范围是___________________15. 已知可以表示为一个奇函数与一个偶函数之和，若不等式对于恒成立，则实数的取值范围是__________________20.已知函数，若的图象有三个不同交点，则实数的取值范围是_______________________三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．（本大题10分）已知集合,,,求实数的取值范围,使得成立.18．（本大题12分）设,是上的偶函数.(Ⅰ) 求的值;(Ⅱ) 利用单调性定义证明:在上是增函数.19．（本大题12分）已知定义在上的奇函数，当时，.（Ⅰ）当时，讨论在上的单调性；（Ⅱ）若在上为单调递减函数，求的取值范围.20．（本大题12分）某出版社新出版一本高考复习用书，该书的成本为元一本，经销过程中每本书需 付给代理商元的劳务费，经出版社研究决定，新书投放市场后定价为 元一本，预计一年的销售量为万本.（Ⅰ）求该出版社一年的利润（万元）与每本书的定价的函数关系式； （Ⅱ）每本书定价为多少元时，该出版社一年利润最大，并求出的最大值.21．（本大题12分）已知函数.（Ⅰ）判断奇偶性；（Ⅱ）若图象与曲线关于对称，求的解析式及定义域；（Ⅲ）若对于任意的恒成立，求的取值范围.22. （本大题12分）已知函数定义域为，且满足.（Ⅰ）求解析式及最小值；（Ⅱ）设22()(),()(2)()x x f x g x h x x x g x xe+'==+，求证：，.数学（理科）答案选择题：CDBDD CABBB CB填空题：13 1415 16解答题：17. 或或18. （1）（2）证明略21.当时，（1）递增；递减（2）22.（1）（2）时，；时，23.（1）奇函数（3）,当时，；当时，（4）当时，，故此时定义域中无正整数当时，需所有正整数在定义域中，故，即再利用单调性可知，，故所求范围是22. （1），（2），，令通过求导知当时有最大值为，且又通过求导知故22368 5760 坠}D?o37018 909A 邚34061 850D 蔍40759 9F37 鼷22983 59C7 姇35763 8BB3 讳31829 7C55 籕20666 50BA 傺34508 86CC 蛌。

2021年高三上学期九月月考数学理科卷含答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分。

1．已知集合，集合，集合，则=（）A．B．C．D．2．，则=（）A．3 B．1 C．2 D．3．函数的定义域为（）A． B．C． D．4．已知，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．5．已知过，则以下函数图像正确的是（）A． B． C． D．6．已知实数满足，，则的最大值是（）A．B．4 C．D．7．已知命题“已知为定义在上的偶函数，则的图像关于直线对称”，命题“若，则方程有实数解”，则（）A．“且”为真B．“或”为假C．假真D．真假8．若满足，且的最大值为4，则的值为（）A．B．C．D．9．若函数在的最大值为，最小值为，且，则的值是（）A．1 B．C．D．10．已知函数，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．11．已知函数，若方程恰有两个不同实根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．12．已知集合，函数，若对任意，都有，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本题4小题，每小题5分。

13．=_________14．函数的单调递增区间为__________15．已知是定义在实数集上的函数，当时，，且对任意都有，则=__________16．已知是定义在上的偶函数，且当时，，若满足：①时，，②是定义在上的周期函数，③存在使得，则的值为________三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）函数关于对称（1）求得值；（2）解不等式18．（12分）二次函数开口向上，且满足恒成立。

已知它的两个零点和顶点构成边长为2的正三角形。

（1）求的解析式；（2）讨论在的最小值。

19．（12分）四棱锥中，，底面为平行四边形，，点分别为的中点。

（1）求证：；（2）若，求二面角的正弦值。

20．（12分）已知抛物线焦点为，准线为，为上任意点。

过作的两条切线，切点分别为。

（1）若在轴上，求；（2）求证：以为直径的圆恒过定点。

2021届高三数学9月教育教学质量监测考试试题 理注意事项：1.本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。

3.全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.本试卷满分150分，测试时间120分钟。

5.考试范圃：必修1～5，选修2－1，2－2，2－3。

第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若z ＝2－i ，则|z 2－z|＝2.若集合A ＝{x|y ＝log 3(x 2－3x －18)}，B ＝{－5，－2，2，5，7}，则A∩B＝A.{－2，2，5}B.{－5，7}C.{－5，－2，7}D.{－5，5，7}3.我国古代的宫殿金碧辉煌，设计巧夺天工，下图(1)为北京某宫殿建筑，图(2)为该宫殿某一“柱脚”的三视图，其中小正方形的边长为1，则根据三视图可知，该“柱脚”的表面积为A.9π＋＋9B.18π＋＋9C.18π＋＋18D.18π＋＋184.已知抛物线C 1：y 2＝6x 上的点M 到焦点F 的距离为，若点N 在C 2：(x ＋2)2＋y 2＝1上，92则点M 到点N 距离的最小值为－－1 D.25.根据散点图可知，变量x ，y 呈现非线性关系。

为了进行线性回归分析，设u ＝2lny ，v ＝(2x －3)2，利用最小二乘法，得到线性回归方程u ＝－v ＋2，则13A.变量y 的估计值的最大值为eB.变量y 的估计值的最小值为eC.变量y 的估计值的最大值为e 2D.变量y 的估计值的最小值为e 26.函数f(x)＝ln2x －x 3的图象在点(，f())处的切线方程为1212A. B. C. D.5344y x =-524y x =-+1144y x =-14y x =-7.已知函数f(x)＝3cos(ωx＋φ)(ω>0)，若f(－)＝3，f()＝0，则ω的最小值为3π3πA. B. C.2 D.312348.(3x －2)2(x －2)6的展开式中，x 4的系数为A.0B.4320C.480D.38409.已知圆C 过点(1，3)，(0，2)，(7，－5)，直线l ：12x －5y －1＝0与圆C 交于M ，N 两点，则|MN|＝A.3B.4C.6D.810.已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点(1，m)，其中m>0；若tan2α＝－，则cos(2α＋mπ)＝125A.－ B.－ C. D.6131213613121311.已知三棱锥S －ABC 中，△SBC 为等腰直角三角形，∠BSC＝∠ABC＝90°，∠BAC＝2∠BCA，D ，E ，F 分别为线段AB ，BC ，AC 的中点，则直线SA ，SB ，AC ，SD 中，与平面SEF 所成角为定值的有A.1条B.2条C.3条D.4条12.已知函数f(x)＝－m(lnx ＋x ＋)恰有两个极值点，则实数m 的取值范围为x e x 2xA.(－∞，] B.(，＋∞) C.(，)∪(，＋∞) D.(－∞，]1212123e 3e 12∪(，＋∞)3e 第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

哈三中2021-2021学年度上学期高三学年9月份月考数学试题〔理工类〕考试说明：本试卷分第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两局部，总分值150分，考试时间120分钟．〔1〕答题前，考生先将自己的班级、姓名、考号和序号填写清楚；〔2〕选择题必须使用2B 铅笔填涂在机读卡上，请在各题目的答题区域内作答；〔3〕只交机读卡和答题卡.第I 卷 〔选择题，共60分〕一、选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分. 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1. {}2x y y P ==，{}222=+=y x x Q ，那么=Q PA ．]2,0[B ．{})1,1(),1,1(-C ．{}2,0 D ． ]2,2[- 2. 以下命题错误的选项是A ．命题“假设0232=+-x x ，那么1=x 〞的逆否命题为“假设1≠x ，那么0232≠+-x x 〞B ．假设q p ∧为假命题，那么p 、q 均为假命题C ．命题p ：存在R x ∈0,使得01020<++x x ，那么p ⌝：任意R x ∈,都有012≥++x x D ．“2>x 〞是“0232>+-x x 〞的充分不必要条件3. )1ln(652-+-=x x x y 的定义域为A ．),3[+∞B ．]2,1(C ．),3[]2,1(+∞D ．),3[)2,1(+∞4. “0<a 〞是“方程012=++x ax 至少有一个负数根〞的A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 5. 如图，AB 是圆O 的直径，CB 切圆O 于B ，CD 切圆O 于D ，交BA 的延长线于E ，假设4,6==ED AB ，那么CD A ．3B ．4C ．5D ．66. 以下函数中既是奇函数又在区间]1,1[-上单调递减的是A ．x y sin =B ．1+-=x yC ．x x y +-=22lnD ．)22(21xx y -+= 7. 点P 、Q 分别在ABC ∆的边BC 和AC 上，R 是AP 上一点，53=CP BP ，43=QA CQ ，那么=RP ARA ． 932B ． 2C ． 38D ．9208. x x f =)(，)(x g 是R 上的偶函数，当0>x 时，x x g ln )(=，那么)()(x g x f y ⋅= 的大致图象为A ．B ．C ．D ．9. 函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)21()21(x f x f -=+，那么 ++)2()1(f f=+)2009(fA ．2009B ．1C ．0D ．1-10. 对于集合M 和N ，定义{}N x M x x N M ∉∈=-，且，=⊕N M )(N M -)(M N - ，设{}x x y y A 32-==，{}x y y B 2-==，那么=⊕B AEBCA ．)0,49(-B ．]0,49[-C ．),0[)49,(+∞--∞D ．),0()49,(+∞--∞ 11. 函数)(log 3ax x y a -=〔0>a 且1≠a 〕在)0,21(-内单调递增，那么a 的范围是A ．)1,41[B ．)1,43[C ．),49(+∞D ．)49,1(12. 以下说法中:① 假设定义在R 上的函数)(x f 满足)1()2(--=+x f x f ，那么6为函数)(x f 的周期；② 假设对于任意)3,1(∈x ，不等式022<+-ax x 恒成立，那么311>a ； ③ 定义：“假设函数)(x f 对于任意∈x R ，都存在正常数M ，使x M x f ≤)(恒成立，那么称函数)(x f 为有界泛函．〞由该定义可知，函数1)(2+=x x f 为有界泛函； ④对于函数1(),1x f x x -=+ 设[])()(2x f f x f =，[])()(23x f f x f =，…，[])()(1x f f x f n n =+〔*n N ∈且2n ≥〕，令集合{}2009(),M x f x x x R ==∈，那么集合M 为空集.正确的个数为A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第二卷 〔非选择题，共90分〕二、填空题(此题共4个小题，每题5分，共20分，将答案填在答题卡的相应位置) 13. 在平面直角坐标系中，抛物线x y 42=经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy xx 23后的图形的方程为.14. 直线的极坐标方程为2)3cos(=+πθρ，那么点)6,2(πA 到直线的距离为 . 15. 在实数的原有运算中，我们补充定义新运算“⊕〞如下：当b a ≥时，a b a =⊕；当b a <时，2b b a =⊕．设函数()()()[]2,2,21-∈⊕-⊕=x x x x x f ，那么函数()x f 的值域为 .16. 函数()()12822+--=x m mx x f ，()mx x g =，对∈∀x R ，()x f 与()x g 的值至少有一个为正数，那么m 的取值范围是 .三、解答题(此题共6小题，总分70分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.〔本小题总分值10分〕 函数x x x f +=3)(.〔Ⅰ〕证明：)(x f 是奇函数；〔Ⅱ〕用定义证明)(x f 在),(+∞-∞上是单调增函数.18.〔本小题总分值12分〕某高中需要从两名学生中选出一人参加中央电视台《开心学国学》知识竞赛，现设计了一个挑选方案：选手从5道备选题中一次性随机抽取3题进行答复．5道备选题中，选手甲有3题能答对，2题答错；选手乙答对每题的概率都是53，且每题答对与否互不影响. 〔Ⅰ〕分别求出甲、乙两名选手答对题数的概率分布列； 〔Ⅱ〕你认为应该挑选哪个选手去参加比赛.19.〔本小题总分值12分〕{}0822≥-+=x x x A ,{}19239+≤-=x x x B ,{}0222≤++=ax x x C .〔Ⅰ〕假设不等式0102≥++c x bx 的解集为B A ，求b 、c 的值； 〔Ⅱ〕设全集=U R ，假设B C ⊆ A C U ，求实数a 的取值范围.20.〔本小题总分值12分〕椭圆14922=+y x ，直线l 过定点()1,1P . 〔Ⅰ〕当直线l 的斜率为21时，求椭圆上的点到直线l 距离的最大值； 〔Ⅱ〕直线l 与椭圆交于A ，B 两点，求PB PA ⋅的最小值.21.〔本小题总分值12分〕如图，梯形ABCD 内接于圆O ，AD //BC ，过B 引圆O 的切线分别交DA 、CA 的延长线于E 、F .〔Ⅰ〕求证：BC AE AB ⋅=2；〔Ⅱ〕假设,6,9===AF CD BC 求AC 的长.22.〔本小题总分值12分〕函数()()ax x x f +-=1ln . 〔Ⅰ〕讨论函数()x f 的单调性； 〔Ⅱ〕求函数()x f 在[]3,2上的最大值；〔Ⅲ〕当1=a 时，令()()x e f x g =，且存在00>x ，满足()004x x g =，证明：当0x x >时，()x x g 4>.哈三中2021-2021学年度上学期高三学年9月份月考名 班级数学答案卷〔理工类〕序号_______二、填空题(本大题共4个小题, 每题5分, 共20分)13. ____________________________ 14. ______________________________15. ____________________________ 16. ______________________________三、解答题(本大题共6小题，总分70分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.〔此题总分值10分〕18.〔此题总分值12分〕19.〔此题总分值12分〕20.〔此题总分值12分〕21.〔此题总分值12分〕22.〔此题总分值12分〕哈三中2021-2021学年度上学期高三学年9月份月考序号________装订线 内禁止答考号 姓名 班级数学参考答案〔理工类〕一、选择题1.A2.B3.D4.B5.D6.C7.A8.A9.C 10.C 11.B 12.B 二、填空题 13. x y '='316214．2 15. ]6,4[- 16. )8,0( 三、解答题17. 〔Ⅰ〕略；…………………………4分〔Ⅱ〕略.…………………………………10分 18. 〔Ⅰ〕设甲、乙两人答对题数分别为ξ、η，ξ的可能取值为3,2,1，103)1(==ξP ，53)2(==ξP ，101)3(==ξP ；ξ的分布列略. η的可能取值为3,2,1,0，1258)0(==ηP ，12536)1(==ηP ， 12554)2(==ηP ；12527)3(==ηP .ξ的分布列略.………………………………7分〔Ⅱ〕259,59==ξξD E ，2518,59==ηηD EηξD D <，应选甲.………………………………………………………………12分19. 〔Ⅰ〕A ]3,2[=B ,12,2-=-=c b ；……………………………………………6分〔Ⅱ〕B A C U ]3,4(-=, 〔1〕φ=C 时，)2,2(-∈a ； 〔2〕φ≠C 时，∈a ]2,611[--)49,2[ 综上，)49,611[-∈a .………………………………………………………12分20. 〔Ⅰ〕直线方程为)1(21+=x y ，椭圆上的点到直线l 距离的最大值为556……………………………………………………………………………6分 〔Ⅱ〕923……………………………………………………………………………12分21. 〔Ⅰ〕略；……………………………………………………………………………5分〔Ⅱ〕215……………………………………………………………………………12分 22. 〔Ⅰ〕)1(11)(>+-='x a x x f ， 〔1〕0≥a 时，函数()x f 在),1(+∞单调递增； 〔2〕0<a 时，函数()x f 在)11,1(a -单调递增；),11(+∞-a单调递减.………4分 〔Ⅱ〕 〔1〕21-≥a 时，函数()x f 在[]3,2上单调递增，最大值为2ln 3+a ； 〔2〕1-≤a 时，函数()x f 在[]3,2上单调递减，最大值为a 2； 〔3〕211-<<-a 时，函数()x f 在)11,2(a -单调递增；)3,11(a -单调递减，最大值为)1ln(1aa -+-.…………………………………………………………8分〔Ⅲ〕设=-=x x g x F 4)()(()x e e xx 41ln -+- )1(0>>x x=')(x F 01)1(412>--=-+-x x xxx e e e e e )(x F 在),1(+∞单调递增，)()(0x F x F >，0x x >时，()x x g 4>.……12分。

2021年高三9月月考数学（理）试题含解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，集合，则（）A． B． C． D．【答案】A考点：集合交集，一元二次不等式．【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 注意区间端点的取舍.2.已知复数，则复数的模为（）A． B． C．D．2【答案】B【解析】试题分析：，. 考点：复数运算．3.已知向量均为非零向量，，则的夹角为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C 【解析】试题分析：由于，，所以，，化简得222cos 0,2cos 0a a b b a b θθ-⋅=-⋅=，两式相减，得到，所以.考点：向量运算．4.等差数列中，，前11项和，则（ ）A ．10B ．12 C. 14 D ．16 【答案】D 【解析】 试题分析：()3911911110,162a a S a+⋅===.考点：等差数列的基本概念．5.圆截直线所得弦的长度为2，则实数（ ）A ．-4B ．-2 C.4 D ．2 【答案】A考点：直线与圆的位置关系．6.某家具厂的原材料费支出与销售额（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出与的线性回归方程为，则为（）2 4 5 6 825 35 60 55 75A．5 B．15 C. 10 D．20【答案】C【解析】试题分析：回归直线方程过样本中心点，，代入，解得.考点：回归直线方程．7.某程序框图如图1所示，该程序运行后输出的的值是（）A．3024 B． 1007 C. xx D．xx【答案】A考点：算法与程序框图． 8.给出下列四个结论：①已知直线，，则的充要条件为；②函数()3sin cos f x x x ωω=+满足，则函数的一个对称中心为； ③已知平面和两条不同的直线，满足，，则； ④函数的单调区间为. 其中正确命题的个数为（ ）A ．4B ．3 C. 2 D ．0 【答案】D 【解析】试题分析：①时，两直线重合，故错误. ②说明周期为，则，即，，故不是对称中心. ③可能含于，故错误. ④单调区间不能写成并集，故错误.综上所述，正确命题个数为. 考点：空间点线面的位置关系．9.某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的表面积为（ ）A ．B ． C. D ． 【答案】B考点：三视图．10.已知是奇函数并且是上的单调函数，若函数2(2)(2)y f x f x m =++--只有一个零点， 则函数的最小值是（ ）A ．3B ．-3 C. 5 D ．-5 【答案】C 【解析】试题分析：由于函数为奇函数且单调，故2(2)(2)0f x f x m ++--=等价于，即有唯一解，判别式为零，即，所以44()11511g x x x x x =+=-++≥--. 考点：函数的单调性与奇偶性．11.四面体的四个顶点都在球的球面上，，，， 平面平面，则球的体积为（ ）A ．B ． C. D ． 【答案】A考点：几何题的外接球．【思路点晴】设几何体底面外接圆半径为,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.若长方体长宽高分别为则其体对角线长为；长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心.12.椭圆上一点关于原点的对称点为为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的最大值为（）A．1 B． C. D．【答案】B考点：直线与圆锥曲线位置关系．【思路点晴】设左焦点为，根据椭圆的定义：，又因为，所以，利用直角三角形和焦距，得到，最后根据的取值范围求出离心率的取值范围.在圆锥曲线的小题中，往往可以向定义去想，如双曲线的定义是，再结合题目的已知条件来求.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.若满足条件356023150x yx yy-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则的最大值为________.【答案】【解析】试题分析：画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值为.考点：线性规划．14.是定义在上的函数，且满足，当时，，则___________.【答案】考点：函数的周期性．15.已知，，且，则的值等于__________. 【答案】 【解析】试题分析：由于，所以，427sin 2,cos 299αα==-，由于，，()()()102sin()sin 2sin 2cos cos 2sin 27αβααβααβααβ-=--=---=⎡⎤⎣⎦. 考点：三角函数恒等变形．【思路点晴】本题主要考查三角函数恒等变形，主要突破口在()sin()sin 2αβααβ-=--⎡⎤⎣⎦，根据两角和与差的正弦公式，只要计算出427sin 2,cos 29αα==-，就可以得到结果.要注意熟记二倍角公式22sin 22sin cos ,cos 2cos sin x x x x x x ==-，对于余弦的二倍角公式变形成降幂公式，也要熟练写出，如.16.已知曲线（且）与直线相交于两点，且 （为原点），则的值为_____________. 【答案】考点：直线与圆锥曲线位置关系，向量运算．【思路点晴】本题考查直线与圆锥曲线位置关系，向量运算.两个向量的数量积等于零，也就是说这两个向量垂直，转化为代数式子就是，由此可以想到利用根与系数关系求出.联立直线的方程和曲线的方程，消去，写出根与系数关系，然后带入数量积，化简就可以得到.根与系数关系运算量较大，注意检验计算是否正确．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分12分）如图3所示，在四边形中，，，，．（I）求的面积；（II）若，求的长．【答案】（I）；（II）.试题解析：（I）如图2，因为，，，所以2221cos23AD CD ACDAD CD+-==--.………………2分因为，所以222sin1cosD D=-=.………………4分因为，，所以的面积1122sin13=2223S AD CD D==⨯⨯⨯………………6分（II），，∴. ∵，………………8分所以23 sinsin(2)sin22sin cos23sinAB AB ABB B B B BBπ====-，所以.………………12分考点：解三角形．18.（本小题满分12分）2016年1月2日凌晨某公司公布的元旦全天交易数据显示，天猫元旦当天全天的成交金额为315.5亿元．为了了解网购者一次性购物情况，某统计部门随机抽查了1月1日100名网购者的网购情况，得到如下数据统计表，已知网购金额在xx元以上（不含xx元）的频率为0.4．（I）先求出的值，再将如图4所示的频率分布直方图绘制完整；（II）对这100名网购者进一步调查显示：购物金额在xx元以上的购物者中网龄3年以上的有35人，购物金额在xx 元以下（含xx 元）的购物者中网龄不足3年的有20人，请填写下面的列联表，并据此判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为网购金额超过xx 元与网龄在3年以上有关？参考数据：参考公式：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中．【答案】（I ）0.1,10,15,0.15q y x p ====；（II ）列联表见解析，能在犯错误的概率不超过的前提下认为网购金额超过元与网龄在年以上有关.试题解析：（I ）因为网购金额在xx 元以上（不含xx 元）的频率为0.4， 所以网购金额在的频率为， 即，且，从而 ，，相应的频率分布直方图如图3所示：…………………………………………………………5分（II）相应的列联表为：由公式222()100(3520405)5.56()()()()40607525n ad bcka b c d a c b d-⨯-⨯===++++⨯⨯⨯， (10)分因为，所以据此列联表判断，在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为网购金额超过xx元与网龄在3年以上有关.……………………12分考点：频率分布直方图，独立性检验．19．（本小题满分12分）如图5，已知四棱锥中，底面为菱形，平面，，，分别是，的中点．（II）取，在线段上是否存在点，使得与平面所成最大角的正切值为，若存在，请求出点的位置；若不存在，请说明理由．【答案】（I）证明见解析；（II）存在且.试题解析：证明：由四边形为菱形，，可得为正三角形，因为为的中点，所以.又，因此.………………3分因为平面，平面，所以.而平面，平面，，所以平面.………………6分（II）解：设线段上存在一点，连接，.由（I）知，平面，则为与平面所成的角.………………8分在中，，所以当最短时，即当时，最大，此时36tanAEEHAAH∠===.………………11分所以，线段上存在点，当时，使得与平面所成最大角的正切值为.………………12分考点：立体几何．20．（本小题满分12分）已知为坐标原点，抛物线在第一象限内的点到焦点的距离为，在点处的切线交轴于点，直线经过点且垂直于轴．（II ）设不经过点和的动直线交于点和，交于点，若直线的 斜率依次成等差数列，试问：是否过定点？请说明理由． 【答案】（I ）；（II ）定点.试题解析：（I ）由抛物线在第一象限内的点到焦点的距离为， 得，，抛物线的方程为，.………………2分 在第一象限的图象对应的函数解析式为，则， 故在点处的切线斜率为，切线的方程为， 令得，所以点的坐标为.故线段的长为2.………………5分 （II ）恒过定点，理由如下：由题意可知的方程为，因为与相交，故. 由，令，得，故. 设，， 由消去得：，则，.………………7分 直线的斜率为1121112222222y y y x y --==-+-，同理直线的斜率为， 直线的斜率为.因为直线的斜率依次成等差数列，所以1222222212242b b m y y m++++=⨯=+++. 即1212121212122(4)42112()42()42y y y y b y y y y y y y y m++-+=+=+++++++.………………10分整理得：，因为不经过点，所以， 所以，即.故的方程为，即恒过定点.………………12分 考点：直线与圆锥曲线位置关系．【方法点晴】本题主要考查直线与抛物线的位置关系.第一问考查的是抛物线的定义，抛物线的定义是动点到定点的距离等于到定直线的距离，根据已知条件“到焦点的距离为”可以求出，进而得到抛物线的方程和点的坐标.第二问主要的条件是“直线的斜率依次成等差数列”先假设存在，然后联立方程，由根与系数关系和等差中项的性质列方程，可求得定点坐标. 21．（本小题满分12分） 已知，．（I ）若，求函数在点处的切线方程；（II ）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；（III ）令，（是自然对数的底数），求当实数等于多少时，可以使函数 取得最小值为3．【答案】（I ）；（II ）；（III ）.试题解析：（I ）当时，，∴，∴，，∴函数在点处的切线方程为.………………3分 （II ）函数在上是增函数， ∴在上恒成立， 即在上恒成立.令，则，当且仅当时，取“=”号. ∴，∴的取值范围为.………………6分 （III ）∵，∴.（1）当时，，∴在上单调递减，min ()()13g x g e ae ==-=，（舍去）.………………8分考点：函数导数与不等式．【方法点晴】求函数图象在某点的切线方程，主要通过导数得到斜率，结合切点的坐标，利用点斜式方程来求.函数在某个区间上单调递增，那么它在这个区间上的导函数恒大于或等于零，反之，如果函数在某个区间上单调递减，则它在这个区间上的导数恒小于或等于零.往往等号容易漏掉，求解时要特别注意.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图6，的半径垂直于直径，为上一点，的延长线交于点，过点的 切线交的延长线于点.（I）求证：；（II）若的半径为，，求的长．【答案】（I）证明见解析；（II）.【解析】∠=∠=∠，.试题分析：（I）连接，根据切线的性质有，所以，.因为于，，所以BNP BMO PMN所以；（II）根据相交弦定理有，从而求得.试题解析：（I）证明：连接，∵切于，∴，∴.∵，∴.∵于，∴，∠=∠=∠，.故BNP BMO PMN∴.考点：几何证明选讲．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知曲线，将曲线上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标轴伸长到原来的2倍，得到曲线，又已知直线cos ,3:3sin3x t l y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（是参数），且直线与曲线交 于两点．（I ）求曲线的直角坐标方程，并说明它是什么曲线； （II ）设定点，求． 【答案】（I ），是椭圆；（II ）. 【解析】试题分析：（I ）对曲线两边乘以化为直角坐标为，经过平移和伸缩变换后得到曲线的直角坐标方程为，这是焦点在轴上的椭圆；（II ）将直线的参数方程代入曲线的方程中，化简得，写出根与系数关系，，，结合点的几何意义可求得.（II ）直线12:33x t l y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（是参数）将直线的方程代入曲线的方程中， 得.设对应的参数方程为， 则，，结合的几何意义可知，1212121248||||||11||||31332||||||||||||213t t t t PA PB PA PB PA PB t t t t ++++=====.……………………10分考点：坐标系与参数方程．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数．（I ）求不等式的解集； （II ）设，证明：．【答案】（I ）或；（II ）证明见解析.试题解析： （I ）解：，即.当时，原不等式可化为， 解得，此时原不等式的解集为； 当时，原不等式可化为， 解得，此时原不等式无解； 当时，原不等式可化为， 解得，此时原不等式的解集为； 综上， 或.………………5分（II ）证明：因为()()|1||1||1(1)|||f a f b a b a b a b --=+--+≤+--+=+， 所以，要证，只需证， 即证，即证2222212a b ab a ab b ++>++，即证，即证. ∵，∴，，∴成立，所以原不等式成立.………………10分考点：坐标系与参数方程．。

2021年高三上学期9月质量检测数学（理）试题含答案本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

第I卷（选择题共50分）注意事项：1.答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2.每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在改涂在其他答案标号。

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合A={x|-1≤x<2},B={x|x<a},若A=,则a的取值范围是A.a<2B.a>2C.a>-1D.-1<a≤22.是成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 函数的零点有A.0个B.1个C. 2个D.3个4. 设，则a，b，c的大小关系是（）A.b>c>aB.a>c>bC.b>a>cD. a>b>c5．已知命题p：存在x∈R，使，命题q：集合{x|}有2个子集，下列结论：①命题“p且q”是真命题；②命题“p且”是假命题③命题“”是真命题，其中正确的个数是A.0B.1C.2D.36. 已知函数f（x）的导函数，且满足f（x）=2+lnx，则=A.-eB. -1C. 1D.e7. 函数的定义域和值域都是[0,1]，则=A.1B.2C. 3D. 48.函数满足f（2）=4，那么函数g（x）=||的图像大致为9.设函数f（x）是定义在R上周期为3的奇函数，若f（1）<1，f（2）=，则有A.且a≠-1B.a<-1或a>0C.-1<a<0D.-1<a<210. 已知a，b，c，d是互不相同的正数，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则abcd的取值范围是（）A.（18 ，28）B.（18 ，25 ）C.（20,25）D.（21,24）第II卷（非选择题共100分）注意事项：第II卷所有题目的答案考生需用黑色签字笔答在“数学”答题卡指定的位置。

2021年高三9月调研考试（理数）一、选择题（每小题5分，共40分）1．已知集合,则集合的子集个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．已知数列满足，则数列一定是（）A．公差为的等差数列B．公差为的等差数列C．公比为的等比数列D．公比为的等比数列3．函数的最小正周期是，则（）A．B．C．D．4．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为2，那么这个几何体的体积为（）A．B．C．D．5．已知函数在定义域内可导，其导函数的图象如右图，则函数的单调递增区间为（）A．B．C．D．6．为了解一片经济树林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm），根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示．那么在这100株树木中，底部周长小于110cm的株数n是（）A．30 B．60C．70 D．807．如图，平面内有三个向量其中与的夹角为60°, 与、与的夹角都为30°,且∣∣=∣∣=1, ∣∣=,若=+,则的值为（）A．4 B．C．D．28．奇函数在上是减函数，且，则不等式的解集为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共30分）9．已知向量且，则10．已知函数的图象经过点和原点，则．11．若执行如右图所示的程序框图，则输出的= ．12．在中，已知,则的最大角的大小为．13．在区间上随机取两个实数，，则事件“”的概率为_____ 14．若直线始终平分圆：的周长，则的最小值为_________. 三、解答题15．（本题满分12分）已知，且．（1）求实数的值；（2）求函数的最大值和最小值．16．（本题满分12分）某项竞赛分别为初赛、复赛、决赛三个阶段进行，每个阶段选手要回答一个问题.规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛，否则即遭淘汰.已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是，且各阶段通过与否相互独立.（1）求该选手在复赛阶段被淘汰的概率；（2）设该选手在竞赛中回答问题的个数为，求的分布列、数学期望和方差.17．（本小题满分12分）如图，在正方体中，分别为棱的中点.（1）试判截面的形状，并说明理由；（2）证明：平面平面．18．（本小题满分14分）等差数列中，，前项和为，等比数列各项均为正数，，且，的公比（1）求与；（2）求数列的前项和19．（本小题满分14分）已知函数图象上一点处的切线方程为．（1）求的值；（2）若方程在内有两个不等实根，求的取值范围（其中为自然对数的底数）；20．（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点，若动点满足且点的轨迹与抛物线交于两点.（1）求证：；（2）在轴上是否存在一点，使得过点的直线交抛物线于两点，并以线段为直径的圆都过原点。

2021年高三9月阶段性质量监测考试数学理试题含答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.A）∩B=（）1．已知全集为实数集R，若集合A={x|≥0}，B={x|x2＜2x}，则（∁RA． {x|0＜x＜1} B．{x|0≤x＜1} C．{x|0＜x≤1}D．{x|0≤x≤1}2．已知幂函数f（x）=x a的图象过点（，），则（）A． f（）＜f（）B．f（）=f（）C． f（）＞f（）D．f（），f（）的大小不能确定3．下列说法错误的是（）A．若命题p：对于任意的x∈（1，+∞），都有x2＞1，则命题p的否定是：存在x∈（1，+∞），使x2≤1B．“sinθ=”是“θ=30°”的必要不充分条件C．命题“若a=0，则ab=0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”D．已知p：存在x∈R，使cosx=1，q：任意x∈R，都有x2﹣x+1＞0，则“p且q”为假命题4．已知函数f（x）=x2+，则“0＜a＜8”是“函数f（x）在（2，+∞）上为增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．设a＞b＞1＞c＞0，则正确的是（）A．a c＜b c B．l og c a＞log c b C．log a c＜log b c D．a a﹣c＞b b﹣c6．设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）=0，当x＞0时，有＞0恒成立，则不等式f（x）＞0的解集是（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B．（﹣2，0）∪（0，2）C．（﹣2，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）7．函数f（x）=log a x+x﹣2有两个零点x1，x2，其中x1∈（0，1），x2∈（2，3），则实数a 的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，3）D．（3，+∞）8．已知函数f（x）=lg（|x|+1），定义函数F（x）=，若mn＜0，m+n＞0，则有F（m）+F （n）（）A．一定为负数B．等于0 C．一定为正数D．正负不能确定9．已知函数f（x）=﹣x3+bx2﹣b3（b＞0），有且仅有两个不同的零点x1，x2，则（）A．x1+x2＞0，x1x2＜0 B．x1+x2＞0，x1x2＞0C．x1+x2＜0，x1x2＜0 D．x1+x2＜0，x1x2＞010．已知f（x）=﹣，g（x）=|x﹣2|﹣2，记F（t）=[f（x）﹣g（x）]dx，函数F（t）的导函数为F′（t），则函数y=F′（t），t∈（0，4）的大致图象是（）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应横线上. 11．函数y=的定义域是_________．12．曲线y=x3在P（1，1）处的切线方程为_________．13．（5分）已知f（x）=x2+2sinx，则f（x）dx=_________．14．（5分）已知函数f（x）=，记集合A={（x，y）|y=f（x），x∈R}，实数集为R，映射g：R→A的对应法则是x→（x，f（x）），若这个映射是一一映射，则实数a的取值范围是_________．15．若函数y=f（x）的定义域为D，存在正数T，对任意的x∈D，都有f（T+x）≥f（x），则称函数f（x）是D上的“T阶高升函数”，已知函数g（x）=是实数集R上的阶高升函数，则实数m的取值范围是_________．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤. 16．（12分）已知集合A={y|y=log2x，x∈[，16]}，集合B={x|（）3x+a＞2x}，集合C={x|m+1≤x ＜2m﹣1}．（1）若A∩B=A，求实数a的取值范围；（2）若A∪C=A，求实数m的取值范围．17．（12分）已知函数f（x）=+a是奇函数．（1）求实数a；（2）求函数y=f（x）的值域．18．（12分）定义在R上的奇函数y=f（x）是周期为4的周期函数，且当x∈[0，2]时f（x）=x2+bx+c（b，c∈R）．（1）求常数b，c的值；（2）解不等式f（x）＞．19．（12分）已知函数f（x）=x2﹣mlnx（m∈R，且m为常数）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）求函数f（x）在[1，e]上的最小值．20．（13分）已知函数f（x）=x+．（1）若命题p：“存在x∈[，4]，使f（log2x）﹣k•log2x≥2”是真命题，求实数k的取值范围；（2）设g（x）=|2x﹣1|，方程f[g（x）]+=3k+2有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．21．（14分）已知函数f（x）=（其中e为自然对数的底）在区间（0，2）上有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，记实数m的取值范围为区间I．（Ⅰ）求区间I；（Ⅱ）记g（m）=x1+x2，证明：函数y=g（m）在区间I上单调递减．参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．C2．A3．D4．A5．D6．C7．A8．C9．A 解：∵f′（x）=﹣3x2+2bx，由f′（x）=0得到x=0或b，∴f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，b）递增，在（b，+∞）递减，画出函数f（x）的图象，如图示：，由图象得：x1＜0，x2=b＞0，x1•x2＜0，又f（﹣b）=b3＞0，∴x1＞﹣b，∴x1+x2＞0，故选：A．10．B 解：对于函数f（x）=﹣=，此函数中的两段都可看成反比例函数经过平移得到，且x≥2时不难验证图象过（2，）与（4，0）；而x≤2时不难验证图象过（2，）与（0，0）；对于函数g（x）=|x﹣2|﹣2=，此函数中的两段都可看成直线的一部分，x≥2时不难验证图象过（2，﹣2）与（4，0）；而x≤2时不难验证图象过（2，﹣2）与（0，0）；利用上述条件在同一个平面直角坐标系内画y=f（x）与y=g（x）图象：又F（t）=[f（x）﹣g（x）]dx表示由函数f（x）=﹣的图象、g（x）=|x﹣2|﹣2的图象与直线x=t围成的图形的面积，∴从图象可以看出，t从0开始增大时，直线x=t向右移动，∵F（t）是增函数，且增的速度变化是先慢中间快再慢，∴F′（t）的图象只有B符合．故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应横线上. 11．．12．y=3x﹣2．13．．14．（0，1]．15．m≥1．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤. 16．解：由A中y=log2x，x∈[，16]，得到y∈[﹣4，4），即A=[﹣4，4），由B中不等式变形得：（）3x+a=2﹣3x﹣a＞2x，即﹣3x﹣a＞x，解得：x＜﹣，即B={x|x＜﹣}，（1）∵A∩B=A，∴A⊆B，则有﹣≥4，即a≤﹣16，则a的范围为（﹣∞，﹣16]；（2）∵A∪C=A，∴C⊆A，若C=∅，则有m+1≥2m﹣1，解得：m≤2；若C≠∅，则有，解得：2＜m≤，综上，m的范围为（﹣∞，]．17．解：（1）f（﹣x）=﹣f（x）⇒⇒2a=﹣2（+）⇒a=﹣1（2）f（x）=因为2x+1＞1，所以0＜＜2，所以f（x）的值域是（﹣1，1）．18．解：（1）∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=c=0，f（﹣2）=﹣f（2），又由函数y=f（x）是周期为4的周期函数，∴f（﹣2）=f（2），∴f（2）=4+2b=0，解得b=﹣2；（2）由（1）得当x∈[0，2]时f（x）=x2﹣2x∈[﹣1，0]，不等式f（x）＞无解，当x∈[﹣2，0]时，﹣x∈[0，2]，f（﹣x）=x2+2x=﹣f（x），故f（x）=﹣x2﹣2x，令f（x）=﹣x2﹣2x＞，解得x∈（，），故不等式f（x）＞的解集为：（4k，4k），k∈Z．19．解：（1）∵f（x）=x2﹣mlnx，（x＞0），∴f′（x）=x﹣=，①若m≤0，则f′（x）=＞0，函数f（x）在区间（0，+∞）单调递增；②若m＞0，由f′（x）==0可得x=，故当x∈（0，）时，f′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0∴函数f（x）在区间（0，）单调递减，在区间（，+∞）单调递增；（2）①若m≤1，则当x∈[1，e]时，f′（x）≥0，函数f（x）在[1，e]上单调递增，∴函数的最小为f（1）=；②若1＜m＜e2，则当x∈（1，）时，f′（x）＜0，当x∈（，e）时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（1，）上单调递减，在（，e）上单调递增，∴函数的最小为f（）=﹣；③若m≥e2，则当x∈[1，e]时，f′（x）≤0，函数f（x）在[1，e]上单调递减，∴函数的最小为f（e）=﹣m20．解：（1）f（log2x）﹣k•log2x≥2可化为，设，∵x∈[，4]，∴．∴不等式可化为k≤t2﹣2t+1．记h（t）=t2﹣2t+1，∵，故h（t）max=1．∴k的取值范围是（﹣∞，1]；（2）方程f[g（x）]+=3k+2化为|2x﹣1|2﹣（3k+2）•|2x﹣1|+（2k+1）=0．令|2x﹣1|=t，则t∈（0，+∞），t2﹣（3k+2）t+（2k+1）=0有两个不同的实数解t1，t2，其中0＜t1＜1，t2＞1或0＜t1＜1，t2=1．记h（t）=t2﹣（3k+2）t+（2k+1），则①或②解①得，k＞0；②无解．∴实数k的取值范围为（0，+∞）．21．解：（Ⅰ）f′（x）=，∵x∈（0，2），∴x﹣2＜0，x3＞0，∴x1，x2是方程me x﹣x=0的两个不同的根，即方程h（x）=，h′（x）=，∴h（x）在（0，1]上递增，在[1，2]上递减，又h（0）=0，h（1）=，h（2）=，∴I∈（，）．（Ⅱ）设m1，m2∈I，且m1＜m2，m1，m2对应的极值点分别是x1，x2和，，∵h（x）=在区间（0，1]上递增，在[1，2]上递减，∴0＜x1＜＜1＜＜x2，∴＞＞1，又m1=x1，m1=x2，∴=，记=t1，则x2﹣x1=lnt1，则x1=，x2=，g（m1）=，记=t2，同理可得g（m2）=，记φ（t）=，则φ′（t）=，令r（t）=﹣2lnt+t﹣，则r′（t）=﹣+1+=，∴t≥1时，r′（t）≥0，∴t＞1时，r（t）＞r（1）=0，∴φ′（t）＞0，即φ（t）在区间（1，+∞）上单调递增，∵t1＞t2＞1，∴φ（t1）＞φ（t2），即g（m1）＞g（m2），∴函数y=g（m）在区间I上单调递减．26803 68B3 梳_t0o31799 7C37 簷\30906 78BA 確31183 79CF 秏24208 5E90 庐28058 6D9A 涚20552 5048 偈。

第二学期高三年级第九次调研理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合},41|{N x x x A ∈≤≤-=，B=}1,0,1{-，则B A ⋂=（ ）}1,1.{-A }1,0.{B }1,0,1.{-C }21|.{≤≤-x x D2. 若08)31(2=+-i z ，其中i 为虚数单位，则=z （ ）A.i 31+B.i 31-C.i -3D.i +-33.如图是某三棱锥的正视图与俯视图，已知网格纸上小正方形的边长为a ，则该三棱锥的侧视图可能为（ ）4.据统计，连续熬夜48小时诱发心脏病的概率为0.055，连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为0.19.现有一人已连续熬夜48小时未诱发心脏病，则他还能继续连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为（ ） A.76 B. 353 C. 3511C.0.19 5. 某校高一年级进行研究性学习，得出五个百货商场今年6月份的销售情况统计图，如图，下列陈述正确的是（ ）①这五个商场中销售额与去年同期相比增长率排序居同一位的只有1个；②与去年6月份相比，这五个商场的销售额均在增长；③与去年6月份相比，A 的增长率最大，所以A 的销售额增量也最大； ④去年6月份C 比D 的销售额大.A. ①②B.①②④C.②③④D.①③④ 6.已知函数|1|)(-=x e x f ，则下列说法错误的是（ ） A.)1()1(,000x f x f R x -≠+∈∃ B.1)(,≥∈∀x f R xC.函数)1(+x f 是偶函数D.x x f R x ≥∈∀)(,7.过圆422=+y x外一点)2,4(P 作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则ABP ∆的外接圆的方程为（ ） A. 1)2()4(22=-+-y x B. 4)2(22=-+y x C. 5)1()2(22=+++y x D. 5)1()2(22=-+-y x8.如图，函数)sin()(ϕω+=x A x f （其中2||,0,0πϕω≤>>A ）的图像与坐标轴的三个交点分别为R Q P ,,，若)22(),0,1(-M P 为线段QR 的中点，则A 的值为（ ）A.32B.337 C.338 D.34 9.下图是用秦九韶算法求2=x 时多项式x x x x x f -+-=2452)(的值的程序框图，其中543210,,,,,a a a a a a 是按x 的降幂排列的多项式各项系数，则输出v 的值是（ ）A.32B. 22C. 11D.610.在区间[2,4]和[1,5]上分别随机取一个数，记为b a ,，则双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的离心率⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈5,25e 的概率为（ ）A.32 B. 325 C. 3227 D.87 11. 已知平面α过正方体ABCD D C B A -1111的顶点B ，D ，且平面⊥α平面1BDC ，设平面⋂α平面m A ABB =11，则异面直线m 与11D B 所成角的余弦值为（ ）A.510 B. 515 C.21 D. 012. 定义在R 上的函数)0()(32018>-+=m m mx e x f x ，当121=+x x 时，不等式)(cos )()(sin )(2221θθf x f f x f +>+在R ∈θ时恒成立，则实数1x 的取值范围是( ）A. ),1[+∞B.[1,2]C.(1,2)D.),1(+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量b a ,满足32|2|,1||=-=b a a ，a 在b 方向上的投影为21，则._____)2(=+⋅b a b14.已知531⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x x 的展开式的常数项为10，则=+⎰a dx x x 02)sin (__________.15.已知抛物线x y 42=，点A ，B 在抛物线上，弦AB 的中点为M(2,1),则AOB ∆(O 为坐标原点)的面积为_________.16.如图，在ABC ∆中，332sin=∠ABC ，点D 在线段AC 上，且AD=2DC ，BD=334，则ABC ∆的面积的最大值为___________.三、简答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.（本小题满分12分）数列}{n a 为递增的等比数列，135{,,}{8,3,2,0,1,4,9,16,27}a a a ⊆---，数列}{n b 满足n n n a b b b 82,211=-=+．（1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；（2）设数列}{n c 满足14+⋅=n n n n b b c ，且数列}{n c 的前n 项和n T ，并求使得m n a T 1>对任意都成立的正整数的最小值.18.（本小题满分12分）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，ABC ∆为等边三角形，过C A 1作平面CD A 1平行于1BC ，交AB 于点D. （1）求证：点D 为AB 的中点；（2）若四边形11B BCC 是边长为2的正方形，且51=D A ，求平面CD A 1与平面111C B A 所成的锐二面角的余弦值.19.（本小题满分12分）某瑜伽俱乐部为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按50元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下表：消费次第 第1次 第2次 第3次 第4次及以后收费比例10.950.900.85该俱乐部从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如下表：消费次数 1次 2次 3次 4次 频数60201010假设该俱乐部一次瑜伽的成本为20元，根据所给数据，解答下列问题： （1）估计该俱乐部一位会员至少消费两次的概率；（2）某会员消费三次，求三次消费中，该俱乐部获得的平均利润；（3）假设每个会员每星期最多消费4次，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，从该俱乐部的会员中随机抽取2位，记俱乐部从这2位会员的消费中获得的平均利润之差的绝对值为X ，求X 的分布列和数学期望)(X E .20.（本小题满分12分） 如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左，右焦点分别为1F ,2F ，线段1OF ,2OF 的中点分别为1B ,2B ，且21B AB ∆ 是面积为4的直角三角形.（1）求该椭圆的离心率和标准方程；（2）过1B 做直线l 交椭圆于Q P ,两点，使22QB PB ⊥，求直线l 的方程.21.（本小题满分12分）已知函数),0(1)(2R n m ne mx x x f x ∈≤++=，且函数)(x f 的图像在点))2(,2(f 处的切线的斜率为21em +-. （1）求n 的值，并讨论函数)(x f 的极值；（2）若)0,1(-∈m ，证明：对任意的5)(4],1,1[,2121<+-∈x x f m x x .选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为)(sin 1cos 为参数ααα⎩⎨⎧+==y x ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θθρsin 8cos 2=.（1）将1C 的参数方程化为极坐标方程，将2C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）已知直线l 的参数方程为为参数）t t y t x (233213⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=，直线l 与曲线1C 交于A 点，直线l 与曲线2C 交于B 点（A ，B 非原点O ），求|AB |.23.（本小题满分10分）已知函数.1)(|,2||22|)(+=---=x x g x x x f （1）求不等式)()(x g x f <的解集；（2）设1-<a ，当]1,2(a a x +-∈时，)()(x g x f ≥成立，求实数a 的取值范围.九调理科数学参考答案1-5BBCAB ，6-10ADCBC ，11-12AD 13. 34 14.2cos 311- 15.37216.2317..解：（1）数列为递增的等比数列，则其公比为正数，又，当且仅当时成立。

湖北省武汉市高三数学9月调考理科试卷 新人教A版注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（题型注释）1．212(1)ii +=-（ ）A ．112i --B ．112i -+C ．112i +D ．112i - 【答案】B ．【解析】 试题分析：2121211(1)22i i i i i ++==-+--． 考点：复数的计算．2．已知集合{1,}A a =，{1,2,3}B =，则"3"a =是""A B ⊆的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A ． 【解析】试题分析：若3a =：则有A B ⊆，若A B ⊆：则2a =或3，∴是充分不必要条件． 考点：1．集合间的关系；2．充分必要条件．3．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）A ．ˆ0.4 2.3yx =+ B ．ˆ2 2.4y x =- C ．ˆ29.5yx =-+ D ．ˆ0.3 4.4y x =-+ 【答案】A ．【解析】试题分析：由变量x 与y 正相关，排除C ，D ，再由线性回归方程过样本中心点(3,3.5)可知选A ．考点：线性回归分析．4．已知向量a ，b 的夹角为45°，且||1a =，|2|10a b -=，则||b ＝（ ） A ．2 B ．22 C ．32 D ．42 【答案】C ． 【解析】试题分析：∵|2|10a b -=，∴2222|2|(2)4410a b a b a a b b -=-=-⋅+=，即2||22||60b b --=，解得||32b =．考点：平面向量数量积．5．若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ） A ．112 B ．5 C ．92D ．4【答案】D ． 【解析】试题分析：由题意可知，该几何体为一直六棱柱，∴底面六边形的面积可以看成一个矩形与两个等腰直角三角形的面积和，即11221242S =⨯+⨯⨯⨯=，∴4V Sh ==． 考点：空间几何体的体积． 6．在△ABC 中，7AC =，2BC =，60B =，则BC 边上的高等于（ ）A 3B 33C ．362D ．3394【答案】B ．【解析】试题分析：由余弦定理可得，2222cos b a c ac B =+-⋅，即2742c c =+-，∴3c =，∴1133sin sin 222ABC S ac B ah h c B ∆==⇒==． 考点：正余弦定理解三角形．7．x ，y 满足约束条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若z y ax =-取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（ ） A ．12或1- B ．2或12C ．2或1D ．2或1- 【答案】D ． 【解析】试题分析：如图，画出线性约束条件所表示的可行域，坐出直线y ax =，因此要使线性目标函数取得最大值的最优解不唯一，直线y ax =的斜率，要与直线220x y -+=或20x y +-=的斜率相等，∴2a =或1-．考点：线性规划．8．如图，互不相同的点1A ，2A ， ，n A ， 和1B ，2B ， ，n B ， 分别在角O 的两条边上，所有n n A B 相互平行，且所有梯形1!n n n n A B B A ++的面积均相等．设n n OA a =，若11a =，22a =，则9a ＝（ ）A ．19B ．22C ．5D ．27【答案】C ． 【解析】试题分析：由题意可知，1122OA B A B ∆∆，∴11222121()4OA B OA B S OA S OA ∆∆==，∴11112213OA B A B B A S S ∆=， 同理1199OA B OA B ∆∆，∴119921991()5138OA B OA B S OA OA S OA ∆∆==⇒=+⨯，即95a =．考点：1．相似三角形的性质；2．数列的通项公式． 9．已知函数21()(0)2x f x x e x =+-<与2()ln()g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ） A．(-∞ B．(-∞ C．( D．( 【答案】B ．【解析】试题分析：由题意可得，存在0x <，使得221()ln()2x x e x x a +-=-+-+成立，即．1ln()2x e x a -=-+， 1ln()02x e x a ---+=，令1()ln()2x h x e x a =---+，若0a >：则问题等价于1()ln()2x h x e x a =---+在(,0)-∞上存在零点，易证，当x →-∞时，()h x →-∞，()h x 在(,0)-∞上单调递增，∴只需(0)0h >，即11ln 002a a -->⇒<<，若0a ≤：则问题等价于1()ln()2x h x e x a =---+在(,)a -∞上存在零点，易证，当x →-∞时，()h x →-∞，()h x 在(,)a -∞上单调递增，∴只需当x a →时，()0h x >，易得当x a →时，()h x →+∞，∴0a ≤符合题意，综上所述，实数a的取值范围是(-∞． 考点：函数的性质与应用．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）10．已知F 为抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则△AFO 与△BFO 面积之和的最小值是（ ）A ．8 B ．4 C ．2D 【答案】B ． 【解析】试题分析：由题意，设2(,)A a a ，2(,)B b b ，(0)ab <∴2222OA OB a b ab ab ⋅=+=⇒=-， 又∵F 为抛物线2y x =的焦点，∴1(,0)4F ，∴11||24AFO BFO S S b a ∆∆+=⨯⨯-， ∵222||22248b a a b ab ab ab ab -=+-≥--=-=，当且仅当a b =-时，等号成立，∴min ||b a -=，∴min ()4AFO BFO S S ∆∆+=． 考点：1．抛物线的标准方程；2．基本不等式．11．设二项式5的展开式中常数项为A ，则A ＝ ． 【答案】10-． 【解析】试题分析：由二项式定理可知，二项式展开的第1r +项为5552326155(1)(1)r rr r rr rr T C xC x---+=-=-，令55026r -=，则3r =，∴335(1)10A C =-=-． 考点：二项式定理．12．如果执行如图所示的程序框图，输入1x =-，3n =，则输出的数S ＝ ．【答案】4-． 【解析】试题分析：依次执行程序框图中的语句：①：6(1)213S =⨯-++=-，1i =；②：3(1)115S =-⨯-++=，0i =；③：5(1)014S =⨯-++=-，1i =-，跳出循环语句，∴输出4S =-． 考点：程序框图．13．正方形的四个顶点(1,1)A --，(1,1)B -，(1,1)C ，(1,1)D -分别在抛物线2y x =-和2y x =上，如图所示．若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是 ．【答案】23． 【解析】试题分析：首先求第一象限内阴影部分的面积，1231001211|33x dx x -=-=⎰，根据对称性以及几何概型的相关内容可知，所求概率为22313P ==．考点：1．定积分求曲边图形的面积；2．几何概型求概率．14．已知椭圆C ：22143x y +=，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += ． 【答案】8．【解析】试题分析：如图，设MN 的中点为P ，由题意可知，1PF ，2PF 分别为AMN ∆，BMN ∆的中位线，∴12||||2(||||)248AN BN PF PF +=+=⨯=．考点：椭圆的性质．15．平面几何中有如下结论：如图1，设O 是等腰Rt △ABC 底边BC 的中点，AB ＝1，过点O 的动直线与两腰或其延长线的交点分别为Q ，R ，则有112AQ AR+=．类比此结论，将其拓展到空间有：如图2，设O 是正三棱锥A-BCD 底面BCD 的中心，AB ，AC ，AD 两两垂直，AB ＝1，过点O 的动平面与三棱锥的三条侧棱或其延长线的交点分别为Q ，R ，P ，则有 ．【答案】1113AQ AR AP++=．【解析】 试题分析：设O到各个平面的距离为d，而11113326R AQP AQP V S AR AQ AP AR AQ AP AR -∆=⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅，又∵111333R AQP O AQP O ARP O AQR AQP ARP AQR V V V V S d S d S d ----∆∆∆=++=⋅+⋅+⋅1()6AQ AP AR AP AQ AR d=⋅+⋅+⋅，∴11()66AQ AP AR AQ AP AR AP AQ AR d ⋅⋅=⋅+⋅+⋅，即111d AQ AR AP++=，而111233436A BDC BDC V S h -∆=⋅=⋅⋅⋅=，∴11318O ABD A BDC V V --==，即1111333218ABD S d d d ∆⋅⋅=⋅⋅=⇒=，∴1113AQ AR AP ++=． 考点：立体几何类比推理题．三、解答题（题型注释）16．已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-．（1）若sin()4πα+=，且0απ<<，求()f α的值； （2）当()f x 取得最小值时，求自变量x 的集合． 【答案】（1）1()2f α=-；（2）3{|,}8x x k k Z ππ=-∈．【解析】试题分析：（1）首先根据α的范围0απ<<，可求得4πα+的范围5444πππα<+<，再由三角函数的性质可知在5(,)44ππ上，满足正弦值为2的角只有一个34π，故有344ππα+=，从而2πα=，111()cos (sin cos )cos (sin cos )222222f πππαααα=+-=+-=-；（2）利用二倍角公式的降幂变形结合辅助角公式，可将()f x 的表达式化简为形如正弦型函数sin()A x ωϕ+的形式，再结合正弦函数sin y x =在22x k ππ=-，k Z ∈上取到最小值，即可求解： 2111cos 21()sin cos cos sin 22222x f x x x x x +=+-=+-11sin 2cos 2)2224x x x π=+=+， ∴当2242x k πππ+=-，k Z ∈，即38x k ππ=-，k Z ∈时，()f x 取得最小值， 此时自变量x 的集合为3{|,}8x x k k Z ππ=-∈． 试题解析：（1）∵0απ<<，∴5444πππα<+<， 2分又∵sin()42πα+=，∴344ππα+=，∴2πα=， 4分 ∴111()cos (sin cos )cos (sin cos )222222f πππαααα=+-=+-=-； 6分 （2）2111cos 21()sin cos cos sin 22222x f x x x x x +=+-=+- 7分11sin 2cos 2)224x x x π=+=+， 8分 ∴当2242x k πππ+=-，k Z ∈，即38x k ππ=-，k Z ∈时，()f x 取得最小值， 10分此时自变量x 的集合为3{|,}8x x k k Z ππ=-∈． 12分 考点：1．三角恒等变形；2．三角函数的性质．17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数． （1）证明：2n n a a λ+-=；（2）当λ为何值时，数列{}n a 为等差数列？并说明理由． 【答案】（1）详见解析；（2）4λ=，理由详见解析． 【解析】试题分析：（1）欲证2n n a a λ+-=，由条件11n n n a a S λ+=-，考虑到1n n n a S S +=-，因此可以利用11n n n a a S λ+=-，1211n n n a a S λ+++=-，两式相减，即可消去n S 得到121()n n n n a a a a λ+++-=，再由10n a +≠，即可得到2n n a a λ+-=；（2）由11a =，1211a a S λ=-，可得21a λ=-，再由（1）2n n a a λ+-=可知31a λ=+，故若数列{}n a 为等差数列，则有2132a a a =+，解得4λ=，接下来只需证明当4λ=时，数列{}n a 确实为等差数列，结合（1）首先对n 的奇偶性进行分类讨论：由（1）可得21{}n a -是首项为1，公差为4的等差数列，2114(1)41n a n n -=+-=-，而2{}n a 是首项为3，公差为4的等差数列，234(1)41n a n n =+-=-，因此21n a n =-，12n n a a +-=，故当4λ=时，数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列．试题解析：（1）由题设，11n n n a a S λ+=-，1211n n n a a S λ+++=-， 2分 两式相减，得121()n n n n a a a a λ+++-=， 3分 ∵10n a +≠，∴2n n a a λ+-=； 4分（2）由题设，11a =，1211a a S λ=-，可得21a λ=-， 5分由（1）知，31a λ=+，若数列{}n a 为等差数列，则2132a a a =+，解得4λ=， 6分故24n n a a +-=，由此可得21{}n a -是首项为1，公差为4的等差数列，2114(1)41n a n n -=+-=-， 7分2{}n a 是首项为3，公差为4的等差数列，234(1)41n a n n =+-=-， 8分∴21n a n =-，12n n a a +-=， 10分因此当4λ=时，数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列． 12分 考点：1．数列的通项公式；2．等差数列的证明．18．如图，在三棱锥P-ABQ 中，PB ⊥平面ABQ ，BA ＝BP ＝BQ ，D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，AQ ＝2BD ，PD 与EQ 交于点G ，PC 与FQ 交于点H ，连结GH ． （1）求证：AB ∥GH ；（2）求平面PAB 与平面PCD 所成角的正弦值．【答案】（1）详见解析；（2． 【解析】试题分析：（1）欲证//AB GH 结合条件中出现的中点，因此可以考虑利用三角形的中位线性质定理来证明线线平行：由D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，可知//EF AB ，//DC AB ，故//EF DC ，从而有//EF 平面PCD ，再根据性质“一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行”，可知EF ⊂平面EFQ ，平面EFQ平面PCD GH =，故有//EF GH ；（2）根据条件D 为AQ 中点及2AQ BD =可知AB BQ ⊥，再结合条件PB ⊥平面ABQ ，因此可以以B 为坐标原点，分别以BA ，BQ ，BP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设2BA BQ BP ===，则可知(0,2,0)BQ =为平面PAB 的一个法向量，再设平面PCD 的一个法向量为(,,)n x y z =，由0n DP ⋅=，0n CP ⋅=，得2020x y z y z --+=⎧⎨-+=⎩，取1z =，得(0,2,1)n =，因此两个法向量夹角的余弦值2cos ,5||||5n BQ n BQ n BQ ⋅⨯<>===⋅，从而平面PAB 与平面PCD 5=． 试题解析：（1）∵D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点， 1分 ∴//EF AB ，//DC AB ， 2分 ∴//EF DC ，又∵EF ⊄平面PCD ，DC ⊂平面PCD ， ∴//EF 平面PCD ， 3分 又∵EF ⊂平面EFQ ，平面EFQ平面PCD GH =， 4分 ∴//EF GH ，又∵//EF AB ，∴//AB GH ； 6分（2）在ABQ ∆中，∵2AQ BD =，AD DQ =，∴90ABQ ∠=，即AB BQ ⊥， 又∵PB ⊥平面ABQ ，∴BA ，BQ ，BP 两两垂直，以B 为坐标原点，分别以BA ，BQ ，BP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设2BA BQ BP ===，则(0,0,0)B ，(0,2,0)Q ，(1,1,0)D ，(0,1,0)C ，(0,0,2)P ，(注：坐标写对给2分)∴(1,1,2)DP =--，(0,1,2)CP =-， 8分设平面PCD 的一个法向量为(,,)n x y z =， 由0n DP ⋅=，0n CP ⋅=，得2020x y z y z --+=⎧⎨-+=⎩，取1z =，得(0,2,1)n =， 10分又∵(0,2,0)BQ =为平面PAB 的一个法向量，∴2225cos ,5||||52n BQ n BQ n BQ ⋅⨯<>===⋅⨯，故平面PAB 与平面PCD 22551()5-=12分 考点：1．线线平行的证明；2．利用空间向量求线面角．19．在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上 作物产量（kg ） 300 500 概率 0．50．6作物市场价格（元/kg ） 6 10 概率0．40．6（1）设X 表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X 的分布列； （2）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于．．．2000元的概率． X 4000 2000 800 P 0．30．50．2（2）0.896P =． 【解析】 试题分析：（1）根据条件中的表格可知，作物产量与市场价的可能的组合总共有四种情况：产量500kg ，市场价10元/kg ；产量500kg ，市场价6元/kg ；产量300kg ，市场价10元/kg ；产量300kg ，市场价6元/kg ；因此作物的利润的计算也应分四种情况进行计算：5001010004000⨯-=，500610002000⨯-=，3001010002000⨯-=，30061000800⨯-=，若设A 表示事件“作物产量为300kg ”，B 表示事件“作物市场价格为6元/kg ”，则X 取到各个值的概率为：(4000)()()(10.5)(10.4)0.3P X P A P B ===-⨯-=，(2000)()()()()(10.5)0.40.5(10.4)0.5P X P A P B P A P B ==+=-⨯+⨯-=，(800)()()0.50.40.2P X P A P B ===⨯=，即可知X 的分布列；（2）由（1）可知，事件2000X ≥等价于事件2000X =或4000，因此(2000)(4000)(2000)0.30.50.8P X P X P X ≥==+==+=，而所求事件的概率等价于3季的利润都不少于2000元或3季当中有2季利润不少于2000元，根据二项分布的相关内容，可知所求概率为32230.80.8(10.8)0.5120.3840.896P C =+⨯⨯-=+=．试题解析：（1）设A 表示事件“作物产量为300kg ”，B 表示事件“作物市场价格为6元/kg ”， 由题设知()0.5P A =，()0.4P B =，（注：基本事件叙述各1分）2分 ∵利润＝产量×市场价格－成本， ∴X 所有可能的取值为：5001010004000⨯-=，500610002000⨯-=，3001010002000⨯-=，30061000800⨯-=， 4分(4000)()()(10.5)(10.4)0.3P X P A P B ===-⨯-=，(2000)()()()()(10.5)0.40.5(10.4)0.5P X P A P B P A P B ==+=-⨯+⨯-=，(800)()()0.50.40.2P X P A P B ===⨯=，∴的分布列为（2）设i C 表示事件“第i 季利润不少于2000元”(1,2,3)i =， 8分 由题意知1C ，2C ，3C 相互独立，由（1）知，()(4000)(2000)0.30.50.8(1,2,3)i P C P X P X i ==+==+==，∴这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为32230.80.8(10.8)0.5120.3840.896P C =+⨯⨯-=+=． 12分考点：1．相互独立事件的概率乘法公式；2．离散型随机变量及其分布列．20．如图，动点M 与两定点A(－1，0)，B(2，0)构成△MAB ，且∠MBA ＝2∠MAB ．设动点M 的轨迹为C ．（1）求轨迹C 的方程；（2）设直线2y x m =-+（其中2m <）与y 轴相交于点P ，与轨迹C 相交于点Q ，R ，且||||PQ PR <，求||||PR PQ 的取值范围．【答案】（1）221(1)3y x x -=>；（2）||||PR PQ 的取值范围是(1,7)．【解析】试题分析：（1）首先由题意可知，显然0x >，当90MBA ∠=时，点M 的坐标为(2,3)±，当90MBA ∠≠时，2x ≠，可将2MBA MAB ∠=∠转化为正切值即斜率之间的关系，从而可以得到x ，y 所满足的关系式，即可得到轨迹方程C ：22tan tan 1tan MABMBA MAB∠∠=-∠，即22||||1||21()1y y x y x x +-=--+，化简可得，22330x y --=，而点(2,3)±也在曲线22330x y --=，轨迹C 的方程为221(1)3y x x -=>；（2）首先将直线方程2y x m =-+与轨迹C 的方程221(1)3y x x -=>联立，消去y 并化简后可得：22430(*)x mx m -++=，故若设Q ，R 的坐标分别为(,)Q Q x y ，(,)R R x y ，则问题等价于在22430(*)x mx m -++=有两个大于1的根R x ，Q x ，且R Q x x >的条件下，求RQx x 的取值范围，因此首先根据方程(*)有两个大于1的正根，可求得m 的取值范围是12m <<，再由求根公式，可将RQx x 表示为关于m的函数关系：1R Q x x ===-+，在12m <<下，可得117<-+<，即||||PR PQ 的取值范围是(1,7)． 试题解析：（1）设M 的坐标为(,)x y ，显然有0x >，且0y ≠， 1分 当90MBA ∠=时，点M 的坐标为(2,3)±， 2分 当90MBA ∠≠时，2x ≠，由2MBA MAB ∠=∠，有22tan tan 1tan MAB MBA MAB ∠∠=-∠，即22||||1||21()1y y x y x x +-=--+， 4分 化简可得，22330x y --=，而点(2,3)±也在曲线22330x y --=， 5分综上可知，轨迹C 的方程为221(1)3y x x -=>； 6分 （2）由22213y x m y x =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 并整理，得22430(*)x mx m -++=， 7分由题意，方程(*)有两根且均在(1,)+∞内．设f(x)＝x 2－4mx ＋m 2＋3，∴2222412(1)1430(4)4(3)0mf m m m m -⎧->⎪⎪⎪=-++>⎨⎪∆=--+>⎪⎪⎩，解得1m >，且2m ≠， 9分 又∵2m <，∴12m <<， 10分设Q ，R 的坐标分别为(,)Q Q x y ，(,)R R x y ，由||||PQ PR <及方程(*)有2R x m =2Q x m =∴||1||RQxPRPQ x====-由12m<<，得117<-+<， 12分故||||PRPQ的取值范围是(1,7)． 13分考点：1．圆锥曲线轨迹；2．直线与双曲线相交综合题．21．已知函数()lnf x ax x x=+的图象在点x e=（e为自然对数的底数）处的切线的斜率为3．（1）求实数a的值；（2）若2()f x kx≤对任意0x>成立，求实数k的取值范围；（3）当1n m>>*(,)m n N∈mn>．【答案】（1）1a=；（2）1k≥；（3）详见解析．【解析】试题分析：（1）由'()ln1f x a x=++结合条件函数()lnf x ax x x=+的图象在点x e=处的切线的斜率为3，可知'()3f e=，可建立关于a的方程：ln13a e++=，从而解得1a=；（2）要使2()f x kx≤对任意0x>恒成立，只需max2()[]f xkx≥即可，而由（1）可知()lnf x x x x=+，∴问题即等价于求函数1ln()xg xx+=的最大值，可以通过导数研究函数()g x的单调性，从而求得其最值：221(1ln)ln'()x x xxg xx x⋅-+==-，令'()0g x=，解得1x=，当01x<<时，'()0g x>，∴()g x在(0,1)上是增函数；当1x>时，'()0g x<，∴()g x在(1,)+∞上是减函数，因此()g x在1x=处取得最大值(1)1g=，∴1k≥即为所求；（3）考虑采用分析法证明欲证的不等式：1111111111ln lnln ln(1)ln(1)ln11 n m n mm n m m n m n m nn n m n m ---->⇔>⇔>⇔->-⇔>--，故可考虑构造函数ln ()1x xh x x =-，则问题等价于证明()h x 在(1,)+∞上单调递增，可以考虑利用导数求证：21ln '()(1)x xh x x --=-，由（2）知，1ln (0)x x x ≥+>，∴'()0h x ≥，∴()h x 是(1,)+∞上的增函数，即欲证不等式得证．试题解析：（1）∵()ln f x ax x x =+，∴'()ln 1f x a x =++， 1分 又∵()f x 的图象在点x e =处的切线的斜率为3，∴'()3f e =，即ln 13a e ++=， ∴1a =； 2分（2） 由（1）知，()ln f x x x x =+， ∴2()f x kx ≤对任意0x >成立1ln xk x+⇔≥对任意0x >成立， 4分 令1ln ()xg x x +=，则问题转化为求()g x 的最大值， 221(1ln )ln '()x x xx g x x x ⋅-+==-，令'()0g x =，解得1x =， 5分 当01x <<时，'()0g x >，∴()g x 在(0,1)上是增函数；当1x >时，'()0g x <，∴()g x 在(1,)+∞上是减函数． 6分 故()g x 在1x =处取得最大值(1)1g =，∴1k ≥即为所求； 8分（3）令ln ()1x xh x x =-，则21ln '()(1)x x h x x --=-， 9分 由（2）知，1ln (0)x x x ≥+>，∴'()0h x ≥， 10分 ∴()h x 是(1,)+∞上的增函数，∵1n m >>，∴()()h n h m >，即ln ln 11n n m mn m >--， 11分 ∴ln ln ln ln mn n n n mn m m m ->-， 12分即ln ln ln ln mn n m m mn m n n +>+，ln ln ln ln mnm mn n nm m n +>+，ln()ln()n m m n mn nm >， 13分∴()()n mm nmn nm >mn>． 14分考点：1．利用导数求切线方程；2．利用导数判断函数单调性与求函数极值．。