概率论大数定律与强大数定理优秀课件

依概率收敛
设有随机变量序列X1, X2,…, Xn和随机变量Y
若对任意的 >0，有
nlim
P
:
Xn() Y ()
0
则称随机变量序列{Xn}依概率收敛于Y, 记为
Xn P Y
弱大数定律讨论的就是依概率收敛.
以概率1收敛
设有随机变量序列X1, X2,…, Xn和随机变量Y
如果
P(
:
lim
x
X
n
()
P(t1
vn
t2 )
P
t1
np npq
vn
np npq
t2
np npq
t2
np npq
t1
np npq
查分布表
当n 较小时，误差较大，公式可修正为
P(t1
vn
t2 )
t2
(1/ 2) npq
np
t1
(1/ 2) npq
np
查正态分布表
例5.2.2设某地区原有一家小电影院，现拟筹建一所较 大的电影院。根据分析，该地区每天平均看电影者 约有n=1600人，预计新电影院开业后，平均约有3/4 的观众将去新电影院。现计划其座位数，要求座位 数尽可能多，但“空座达到200或更多”的概率不能 超过0.1，问设多少座位为好？
X3
X
2 4
X5
X6
n
n
X2 3n2
X 3n1 X 3n
P14 , n
a 14
习题5.11 假设某洗衣店为第i个顾客服务的时间Xi服从区间[5,53] (单位：分钟)上的均匀分布，且对每个顾客是相互独立的，试问
当n
时，n次服务时间的算术平均值 1 n

三、大数定律
第5章 大数定律及中心极限定理 12
定理4（独立同散布大数定律）
设随机变量序列X1, X2, , Xn, 独立同分布，若E Xi ，D Xi = 2 ，
i 1, 2, 。则对任意 0，有
lim P n
1 n
n i 1
Xi
1.
这里随机变量序列X1, X2, , Xn , 独立同分布指随机变量序列相互独立， 且序列中随机变量的分布类型及参数均相同。
例2 设X ~ N (, 2，) 用切比雪夫不等式估计概率P( X 3 ) 。
解
因为 =3 ，由切比雪夫不等式得
P X EX DX 2
P
X
3
D(X )
3 2
=
1 9
一、切比雪夫不等式
第5章 大数定律及中心极限定理 7
例3
设随机变量 X 的方差 D X 0，求证，X 服从参数为 c 的退化散布。
n
n i 1
X
2 i
P 1 n
n i 1
E
X
2 i
E
X
2 i
D Xi
E2
Xi
三、大数定律
第5章 大数定律及中心极限定理 17
例4续
01 当Xi B(m, p)时，E Xi =mp, E
X
2 i
=mp 1 p m2 p2, 有
OPTION
X P mp,
1 n
n i 1
X
2 i
P mp 1
p
m2 p2
02 OPTION
当X i
E 时，E
Xi
=
1
,
E
X
2 i
=
2

概率论与数理统计
§5.2 中心极限定理
2）中 心极限 定理表明，若 随 机 变 量 序 列
X 1 , X 2 , , X n 独立同分布，且它们的数学期
望及方差存在，则当n充分大时，其和的分布,
n
即 X k 都近似服从正态分布. (注意:不一定是 k 1
标准正态分布）
3）中心定理还表明：无论每一个随机变量 X k ,
概率论与数理统计
§5.1 大数定律
定理1（Chebyshev切比雪夫大数定律）
假设{ Xn}是两两不相关的随机
变量序列，EXn , DXn , n 1,2, 存在，
其方差一致有界，即 D(Xi) ≤L，
i=1,2, …， 则对任意的ε>0，
lim P{|
n
1 n
n i1
Xi
1 n
n i1
E(Xi ) | } 1.
概率论与数理统计
§5.2 中心极限定理
现在我们就来研究独立随机变量之和所 特有的规律性问题.
在概率论中，习惯于把和的分布 收敛于正态分布这一类定理都叫做中心 极限定理.
下面给出的独立同分布随机变量序 列的中心极限定理, 也称列维——林德 伯格（Levy－Lindberg）定理.
概率论与数理统计
§5.2 中心极限定理
大量的随机现象平均结果的稳定性
大量抛掷硬币 正面出现频率
生产过程中的 字母使用频率 废品率
概率论与数理统计
§5.1 大数定律
一、大数定律
阐明大量的随机现象平均结果的稳定性的一系
列定理统称为大数定律。
定义1 如果对于任意 0, 当n趋向无穷时，事件
" Xn X " 的概率收敛到1，即

vn n
np 1
n2
p
p 1
n
p
由切比雪夫不等式，对任意正数ε，有
0
P
vn n
p
p 1 p
n 2
n 0
lim
P
n
vn n
p
0
历史上，伯努利是第一个研究弱大数定理的， 他在1713年发表的论文中，提出了上述定理， 那是概率论的第一篇论文。
依概率收敛
设有随机变量序列X1, X2,…, Xn和随机变量
可以证明，若 Xn a.s Y 则 Xn P Y
强大数定律讨论的就是以概率1收敛.
二、强大数定律 定义
设有独立随机变量序列X1, X2,…, Xn，如
n
Xi EXi
P lim i=1
=0 1
n
n
则称{Xn}满足强大数定律。
柯尔莫哥洛夫不等式 （引理5.1.2）
设X1, X2,…, Xn为独立随机变量序列，具有 有限的数学期望和方差，则对任意 >0 ，有
n i 1
X
i
1 n2
n
Var Xi
i 1
2 n
P{Yn
EYn
}
Var Yn
2
2
n 2
0
(n )
得证。
辛钦大数定律 设X1，X2，…，Xn，…是独
立同分布的随机变量序列，且有有限的期望μ， 则对任意ε>0，有
lim
n
P
X1
X2 n
Xn
0
显然
E
X1
X2
n
Xn
n
证
令Var Xi 2,
n i 1
EX i