912不等式的性质2精品

9.1.2 不等式的性质在数学的广袤天地中，不等式是一个非常重要的概念，而不等式的性质则是我们理解和解决不等式问题的关键工具。

首先，我们来谈谈不等式的基本性质。

其中一个重要性质是对称性，也就是说，如果 a ＞ b，那么 b ＜ a。

这就好比两个人比身高，如果甲比乙高，那么反过来乙就比甲矮，非常直观易懂。

另一个关键性质是传递性。

假如 a ＞ b 并且 b ＞ c，那么必然有 a＞ c。

这就好像是在一条身高的链条上，如果甲比乙高，乙又比丙高，那毫无疑问甲肯定比丙高。

还有一个重要的性质是加法性质。

如果 a ＞ b，那么 a ＋ c ＞ b ＋ c。

这意味着，在不等式两边同时加上同一个数，不等号的方向不变。

比如说，已知 5 ＞ 3，如果在两边同时加上 2，就变成了 7 ＞ 5，不等式依然成立。

乘法性质也不能忽略。

当 c 为正数时，如果 a ＞ b，那么 ac ＞ bc；但当 c 为负数时，如果 a ＞ b，那么 ac ＜ bc。

这个性质稍微有点复杂，需要我们特别留意。

举个例子，若 2 ＞ 1，两边同时乘以 3（正数），得到 6 ＞ 3；而如果两边同时乘以－1（负数），则变成－2 ＜－1，不等号方向改变了。

这些性质在解决不等式问题时有着广泛的应用。

比如说，我们要解不等式3x ＋5 ＞8。

首先，根据加法性质，在不等式两边同时减去5，得到 3x ＞ 3。

然后，再根据乘法性质，在两边同时除以 3，得到 x ＞ 1。

再来看一个稍微复杂点的例子，解不等式－2x ＋ 7 ＜ 11。

第一步，两边同时减去 7，得到－2x ＜ 4。

由于这里乘以的是－2（负数），所以根据乘法性质，不等号方向要改变，两边同时除以－2，得到 x ＞－2。

不等式的性质还能帮助我们比较两个代数式的大小。

比如，要比较2(x ＋ 1) 和 3x 1 的大小。

我们可以通过作差法，将两个式子相减：2(x ＋ 1) （3x 1) ＝ 2x ＋ 2 3x ＋ 1 ＝ x ＋ 3。

9.1.2 不等式的性质（二）◆回顾归纳1．如果a>b ，并且c<0，那么ac____bc ，或a c ____bc，即不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向______．2．符号“≤”和“≥”分别比“<”和“>”各多了一层相等的含义，•它们是_____号比_____号的合写形式，•通常把用符号“≤”和“≥”表示大小关系的式子，也称为______式． ◆课堂测控知识点一 不等式的性质3 1．若-32m n>-，则2m______3n ． 2．若a>b ，则b_____0时，ab<b ；当a_____0时，a>ab ．3．若-23x+5>-23y+5，则x______y ． 4．不等式mx-2<3x+4的解集是x>63m -，则m 的取值范围是_______．5．下列说法中，错误的是（ ）A ．如果a<b ，那么a-c<b-cB ．如果a>b ，c>0，那么ac>bcC ．如果a<b ，c<0，那么>D ．如果a>b ，c<0，那么-a c <-bc6．若a<0，则下列不等式中不成立的是（ ）A ．3a<2aB ．a-3<a-2C ．-3a>-2aD ．2a >-2a 7．（教材变式题）已知-3x-4≥6x+2 先阅读：-3x-6x ≥2+4 ① -9x ≥6 ② x ≥-23③ 再填空：步骤①是根据不等式的性质______将不等式的两边同时______；步骤②是根据不等式的性质_______，将不等式的两边同时_______．其中有错误的一步是步骤_______．本题正确的结论是_____．知识点二含“≥”或“≤”的不等式8．若x为非负整数，则-1≤325x的解集是______．9．下列说法不正确的是（）A．不等式-x≤1的解集是x≥1 B．不等式-12x>-2的解集是x<4C．不等式2（x-1）≤3的解集是x≤2.5 D．不等式1≤x的解集是x≥110．（经典题）某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券．（•奖券购物不再享受优惠）根据上述促销方法，顾客在该商场的购物可获得双重优惠，如果李老师在该商场购标价为450元的商品，他获得的优惠额为多少元？◆课后测控1．满足x-9<3x-3的最大负整数解是_______．2．若│2a+3│>2a+3，则有理数a的取值范围是______．3．关于x的不等式3x-2a≤-2的解集是x≤-1，则a的值是_____．4．不等式21-5x>4的正整数解的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．55．若点P（3a-2，2b-3）在第二象限，则（）A．a>23，b>32B．a>23，b<32C．a<23，b>32D．a<23，b<326．利用不等式的性质解下列不等式，并把其解集在数轴上表示出来．（1）34x-1<5 （2）-3x+2≤107．已知关于x的方程（m-2）x+3=11-m（3-x），当m取何值时：（1）有正数解；（2）有负数解；（3）有不大于2的解．◆拓展创新8．（探索题）某家庭装饰厨房需用480块某品牌的同一种规格的瓷砖，装饰材料商店出售的这种瓷砖有大，小两种包装，大包装每包50片，价格为30元；小包装每包30片，价格为20元，若大，小包装均不拆开零售，那么怎样制定购买方案才能使所付费用最少？答案:回顾归纳1．<；<；改变 2．不等；等；不等课堂测控1．< 2．<；> 3．< 4．m<3 5．D 6．A7．1；加上4-6x； 3；除以-9；②；x≤-2 38．4，3，2，1，0 9．A10．标价为450元的商品按80%的价格出售，消费金额为360元，消费金额360•元在200≤x≤400之中，故优惠额为30元，总共为450×（1-80%）+30=120元．课后测控1．-2 2．a<-323．-124．B 5．C6．（1）x<8 （2）x≥-8 37．（1）m>83（2）m<83（3）m≤48．依题意有三种购买方案：方案一：只买大包装，则需买包数为48048505=由于不折包装，所以只需买10包，•所付费用为30×10=300元．方案二：只买小包装，则需买包数为48030=16，所付费用为16×20=320元．方案三：既买大包装，又买小包装并设买大包装x包，小包装y包，所需费用为w元．则50304803020x yw x y+=⎧⎨=+⎩所以w=-103x+320．因为0<50x<480，且x为正整数，所以0<x<9.6．所以x=9时，w最小=290（元）即购买9包大包装瓷砖和1包小包装瓷砖时，所付费用最少，最少为290元．解题规律：实际问题中的包数应为整数．。

不等关系与不等式(理科)一、考点梳理1．两个实数大小关系的比较两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a －b ＞0⇔a ＞b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b ＜0⇔a ＜b.另外，若b ＞0，则有a b ＞1⇔a ＞b ；a b ＝1⇔a ＝b ；ab ＜1⇔a ＜b.2．不等式的性质(1)对称性：如果a>b ，那么b<a. (2)传递性：如果a>b ，b>c ，那么a>c. (3)可加性：如果a>b ，那么a ＋c>b ＋c.(4)可乘性：如果a>b ，c>0，那么ac>bc ；如果a>b ，c<0，那么ac<bc. (5)同向可加性：如果a>b ，c>d ，那么a ＋c>b ＋d. (6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)可乘方性：如果a>b>0，那么a n >b n (n ∈N ，n ≥2)．(8)可开方性：如果a>b>0∈N ，n ≥2)． 3．不等式的一些常用性质 (1)倒数性质： ①a ＞b ，ab ＞0⇒1a ＜1b .②a ＜0＜b ⇒1a ＜1b .③a ＞b ＞0,0＜c ＜d ⇒a c ＞bd.④0＜a ＜x ＜b 或a ＜x ＜b ＜0⇒1b ＜1x ＜1a .(2)有关分数的性质 若a ＞b ＞0，m ＞0，则 ①真分数的性质：b a ＜b ＋m a ＋m ；b a ＞b －m a －m (b －m ＞0)； ②假分数的性质：a b ＞a ＋m b ＋m ；a b ＜a －m b －m (b －m ＞0)． 二、例题解析 考向一 比较大小【例1】►已知a ，b ，c 是实数，试比较a 2＋b 2＋c 2与ab ＋bc ＋ca 的大小．【训练1】 已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( )． A ．M<N B ．M>N C ．M ＝N D ．不确定考向二 不等式性质的简单应用【例2】►(1)(2012·上海十三校联考)若1a <1b <0，有下面四个不等式：①|a|>|b|，②a<b ，③a＋b<ab ，④a 3>b 3，则不正确的不等式的个数是( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3(2)设a ，b 是实数，则“0＜ab ＜1”是“b ＜1a ”的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件【训练2】 已知三个不等式：①ab ＞0；②bc ＞ad ；③c a ＞db .以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成正确命题的个数是( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3考向三 不等式性质的综合应用【例3】►已知函数f(x)＝ax 2＋bx ，且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4.求f(－2)的取值范围．【训练3】 若α，β满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤α＋β≤1，1≤α＋2β≤3，试求α＋3β的取值范围．三、课后练习1．(2011·浙江)若a ，b 为实数，则“0<ab<1”是“a<1b 或b>1a ”的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．(2013·保定模拟)已知a>b ，则下列不等式成立的是( )． A ．a 2－b 2≥0 B ．ac>bc C ．|a|>|b|D ．2a >2b3．(2012·晋城模拟)已知下列四个条件：①b>0>a ，②0>a>b ，③a>0>b ，④a>b>0，能推出1a <1b 成立的有( )． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．（2010江苏12）设实数x,y 满足3≤2xy ≤8，4≤y x 2≤9，则43yx 的最大值是_____▲____5.(2010辽宁文15)．已知－1＜x+y ＜4且2＜x －y ＜3，则z=2x －3y 的取值范围是6．若－π2<α<β<π2，则α－β的取值范围是________．7．(13分)已知f(x)＝ax 2－c 且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围．8．(2012·泉州一模)已知奇函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上是单调减函数，α，β，γ∈R，且α＋β>0，β＋γ>0，γ＋α>0，则f(α)＋f(β)＋f(γ)与0的关系是________．9．(2011·安徽)(1)设x≥1，y≥1，证明x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy；(2)设1＜a≤b≤c，证明log a b＋log b c＋log c a≤log b a＋log c b＋log a c.基本不等式及应用（理科）一、知识归纳： 1．基本不等式：①重要不等式：如果R b a ∈,，则ab b a 222≥+，当且仅当b a =时，等号成立；②基本不等式0,0>>b a ，ab ba ≥+2，当且仅当b a =时，等号成立； 变形：ab b a 2≥+，ab b a ≥+2)2(，2≥+abb a两个正数的算术平均不小于它们的几何平均，即2a b+≥③三个正数的算术-几何平均不等式：如果,,a b c R +∈，则3a b c ++≥当b a ==c 时，等号成立；推广到一般情形：对于n 个正数12,,,n a a a 它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即12n a a a n+++≥ 12n a a a === 时，等号成立2．最值问题： 已知y x ,是正数，①如果积xy 是定值P ，则当y x =时，和y x +有最小值P 2； ②如果和y x +是定值S ，则当y x =时，积xy 有最大值241S . 利用基本不等式求最值时，要注意变量是否为正，和或积是否为定值，等号是否成立，以及添项、拆项的技巧，以满足均基本不等式的条件。

人教版七年级数学下册9.1.2.2《不等式的性质(2)》教学设计一. 教材分析《不等式的性质(2)》是人教版七年级数学下册第9.1.2节的一部分，主要介绍不等式的性质。

本节课主要让学生了解不等式的性质，掌握不等式的基本性质，并能够运用不等式的性质解决实际问题。

教材通过具体的例子和练习题，帮助学生理解和掌握不等式的性质。

二. 学情分析学生在七年级上册已经学习了不等式的基本概念和性质，对不等式有一定的了解。

但是，对于不等式的性质的深入理解和灵活运用还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要结合学生的实际情况，通过具体的例子和练习题，引导学生深入理解和掌握不等式的性质。

三. 教学目标1.让学生了解不等式的性质，掌握不等式的基本性质。

2.培养学生运用不等式的性质解决实际问题的能力。

3.培养学生逻辑思维和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.不等式的性质的理解和运用。

2.解决实际问题时的不等式应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过探索和解决问题，深入理解和掌握不等式的性质。

2.使用多媒体教学手段，通过动画和图形，生动形象地展示不等式的性质，帮助学生理解和记忆。

3.采用小组合作学习的方式，让学生在讨论和合作中，共同解决问题，提高学生的合作能力和解决问题的能力。

六. 教学准备1.多媒体教学设备。

2.教学课件和教学素材。

3.练习题和答案。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生回顾不等式的基本概念和性质，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（15分钟）呈现不等式的性质（2），通过动画和图形，生动形象地展示不等式的性质，帮助学生理解和记忆。

3.操练（15分钟）让学生通过解决实际问题，运用不等式的性质，巩固所学知识。

在此过程中，引导学生运用不等式的性质，解决实际问题，培养学生的应用能力。

4.巩固（10分钟）让学生完成一些练习题，检查学生对不等式的性质的掌握程度，并对学生的错误进行指导和纠正。