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《离散数学》试题及答案一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列关系中，哪个是等价关系？（）A. 小于等于（≤）B. 大于等于（≥）C. 整除（|）D. 模2同余（≡）答案：D2. 下列哪个图是完全图？（）A. 无向图B. 有向图C. 简单图D. n阶完全图答案：D3. 设A和B为集合，若A∪B=A，则下列哪个结论成立？（）A. A⊆BB. B⊆AC. A=BD. A∩B=∅答案：B4. 下列哪个命题是永真命题？（）A. (p→q)∧(q→p)B. (p∧q)→(p∨q)C. (p→q)∧(p→¬q)D. (p∧¬q)→(p→q)答案：B5. 设G=(V,E)是一个连通图，其中V={v1,v2,v3,v4,v5}，E={e1,e2,e3,e4,e5,e6}，若G的最小生成树的边数是（）。
A. 4B. 5C. 6D. 7答案：B二、填空题（每题5分，共25分）6. 设A={1,2,3,4,5}，B={3,4,5,6,7}，则A∩B=_________。
答案：{3,4,5}7. 设图G的顶点集V={a,b,c,d}，边集E={e1,e2,e3,e4,e5}，其中e1=(a,b)，e2=(a,c)，e3=(b,d)，e4=(c,d)，e5=(d,a)，则G的邻接矩阵为_________。
答案：[0 1 1 0 0; 1 0 0 1 0; 1 0 0 1 0; 0 1 1 0 1;0 0 0 1 0]8. 设p为真命题，q为假命题，则(p∧q)∨(¬p∧¬q)的值为_________。
答案：真9. 设G=(V,E)是一个连通图，其中V={v1,v2,v3,v4,v5}，E={e1,e2,e3,e4,e5,e6}，若G的度数序列为（3,3,3,3,3,3），则G的边数是_________。
答案：1510. 下列命题中，与“若p，则q”互为逆否命题的是_________。
数理逻辑习题判断题1．任何命题公式存在惟一的特异析取范式 （ √ ） 2． 公式)(q p p →⌝→是永真式 （ √ ） 3．命题公式p q p →∧)(是永真式 （ √ ） 4．命题公式r q p ∧⌝∧的成真赋值为010 （ × ） 5．))(()(B x A x B x xA →∃=→∀ （ √ ）6．命题“如果1＋2＝3，则雪是黑的”是真命题 （ × ） 7．p q p p =∧∨)( （ √ ）8．))()((x G x F x →∀是永真式 （ × ） 9．“我正在撒谎”是命题 （ × ） 10． )()(x xG x xF ∃→∀是永真式（ √ ）11．命题“如果1＋2＝0，则雪是黑的”是假命题 （ × ） 12．p q p p =∨∧)( （ √ ）13．))()((x G x F x →∀是永假式 （ × ）14．每个命题公式都有唯一的特异（主）合取范式 （ √ ） 15．若雪是黑色的:p ，则q →p 公式是永真式 （ √ ） 16．每个逻辑公式都有唯一的前束范式 （ × ） 17．q →p 公式的特异（主）析取式为q p ∨⌝ （ × ） 18．命题公式 )(r q p →∨⌝的成假赋值是110 （ √ ） 19．一阶逻辑公式)),()((y x G x F x →∀是闭式（ × ）单项选择题1． 下述不是命题的是（ A ）A．花儿真美啊! B．明天是阴天。
C．2是偶数。
D．铅球是方的。
2．谓词公式（∀y）（∀x）（P（x）→R（x,y））∧∃yQ（x,y）中变元y （B）A．是自由变元但不是约束变元B．是约束变元但不是自由变元C．既是自由变元又是约束变元D．既不是自由变元又不是约束变元3．下列命题公式为重言式的是（ A ）A．p→ （p∨q）B．（p∨┐p）→qC．q∧┐q D．p→┐q4．下列语句中不是．．命题的只有（A ）A．花儿为什么这样红？B．2+2=0C．飞碟来自地球外的星球。
离散数学考试题(后附详细答案)一、命题符号化（共6小题，每小题3分，共计18分）1.用命题逻辑把下列命题符号化a)假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。
b)我今天进城，除非下雨。
c)仅当你走，我将留下。
2.用谓词逻辑把下列命题符号化a)有些实数不是有理数b)对于所有非零实数x，总存在y使得xy=1。
c) f 是从A到B的函数当且仅当对于每个a∈A存在唯一的b∈B，使得f(a)=b.二、简答题（共6道题，共32分）1.求命题公式(P→(Q→R)) (R→(Q→P))的主析取范式、主合取范式，并写出所有成真赋值。
（5分）2.设个体域为{1,2,3}，求下列命题的真值（4分）a)x y(x+y=4)b)y x (x+y=4)3.求x(F(x)→G(x))→(xF(x)→xG(x))的前束范式。
（4分）4.判断下面命题的真假，并说明原因。
（每小题2分，共4分）a)（A B）－C=(A-B) (A-C)b)若f是从集合A到集合B的入射函数，则|A|≤|B|5.设A是有穷集，|A|=5，问（每小题2分，共4分）a)A上有多少种不同的等价关系？b)从A到A的不同双射函数有多少个？6.设有偏序集<A,≤>，其哈斯图如图1，求子集B={b,d,e}的最小元，最大元、极大元、极小元、上界集合、下界集合、上确界、下确界，(5分)f g图17.已知有限集S={a1,a2,…,a n},N为自然数集合，R为实数集合，求下列集合的基数S;P(S);N,N n;P(N);R,R×R,{o,1}N（写出即可）(6分)三、证明题（共3小题，共计40分）1.使用构造性证明，证明下面推理的有效性。
（每小题5分，共10分）a)A→(B∧C),(E→ F)→ C, B→(A∧ S) B→Eb)x(P(x)→ Q(x)), x(Q(x)∨R(x))，x R(x) x P(x)2.设R1是A上的等价关系，R2是B上的等价关系，A≠ 且B≠ ，关系R满足：<<x1,y1>,<x2,y2>>∈R，当且仅当< x1, x2>∈R1且<y1,y2>∈R2。
离散数学试题总汇及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 在集合{1, 2, 3, 4}中，子集{1, 2}的补集是（）。
A. {3, 4}B. {1, 3, 4}C. {2, 3, 4}D. {1, 2, 3, 4}答案：A2. 命题“若x > 0，则x² > 0”的逆否命题是（）。
A. 若x² ≤ 0，则x ≤ 0B. 若x² > 0，则x > 0C. 若x ≤ 0，则x² ≤ 0D. 若x² ≤ 0，则x < 0答案：C3. 函数f(x) = x² + 2x + 1的值域是（）。
A. {x | x ≥ 0}B. {x | x ≥ 1}C. {x | x ≥ 2}D. {x | x ≥ -1}答案：B4. 以下哪个图是无向图（）。
A. 有向图B. 无向图C. 有向树D. 无向树答案：B5. 以下哪个图是二分图（）。
A. 完全图B. 非完全图C. 任意两个顶点都相连的图D. 任意两个顶点都不相连的图答案：C6. 以下哪个是哈密顿回路（）。
A. 经过每个顶点恰好一次的回路B. 经过每个顶点至少一次的回路C. 经过每个顶点恰好两次的回路D. 经过每个顶点至少两次的回路答案：A7. 以下哪个是欧拉回路（）。
A. 经过每条边恰好一次的回路B. 经过每条边至少一次的回路C. 经过每条边恰好两次的回路D. 经过每条边至少两次的回路答案：A8. 以下哪个是二进制数（）。
A. 1010B. 1020C. 1102D. 1120答案：A9. 以下哪个是格雷码（）。
A. 0101B. 1010C. 1100D. 1110答案：B10. 以下哪个是素数（）。
A. 4B. 6C. 7D. 8答案：C二、填空题（每题2分，共20分）11. 集合{1, 2, 3}与{2, 3, 4}的交集是______。
答案：{2, 3}12. 命题“若x > 0，则x² > 0”的逆命题是：若x² > 0，则______。
离散数学试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}，则A∩B等于：A. {1}B. {2,3}C. {1,2,3}D. {2,3,4}答案：B2. 命题“若x>0，则x^2>0”的逆否命题是：A. 若x≤0，则x^2≤0B. 若x^2≤0，则x≤0C. 若x^2>0，则x>0D. 若x^2≤0，则x≤0答案：B3. 函数f: X→Y是单射的，当且仅当：A. 对于任意x1≠x2，有f(x1)=f(x2)B. 对于任意x1≠x2，有f(x1)≠f(x2)C. 对于任意y∈Y，存在唯一的x∈X，使得f(x)=yD. 对于任意y∈Y，存在x∈X，使得f(x)=y答案：B4. 有限集合A的子集个数为2^n，其中n是集合A的元素个数，则n 等于：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C5. 逻辑运算符“与”用符号表示为：A. ∧B. ∨C. →D. ¬答案：A6. 命题逻辑中，命题p和q的析取（逻辑或）的真值表中，当p为真，q为假时，p∨q的值为：A. 真B. 假C. 可能真，可能假D. 不确定答案：A7. 以下哪个选项表示的是等价关系：A. 自反性B. 对称性C. 传递性D. 自反性、对称性和传递性答案：D8. 在图论中，如果一个图的任意两个顶点都由一条边连接，则称该图为：A. 连通图B. 完全图C. 无向图D. 有向图答案：B9. 以下哪个选项是图的顶点的度的定义：A. 与该顶点相连的边的数量B. 与该顶点相连的顶点的数量C. 该顶点发出的边的数量D. 该顶点接收的边的数量答案：A10. 在布尔代数中，逻辑运算符“异或”用符号表示为：A. ⊕B. ∧C. ∨D. ¬答案：A二、填空题（每题2分，共20分）1. 集合{1,2,3}的补集在全集U={1,2,3,4,5}中表示为________。
答案：{4,5}2. 命题“若x>0，则x^2>0”的逆命题是“若________，则x>0”。
《离散数学》题库及答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？()(1)Q=>Q→P(2)Q=>P→Q(3)P=>P→Q(4)P(PQ)=>P答：（1），（4）2、下列公式中哪些是永真式？()(1)(┐PQ)→(Q→R)(2)P→(Q→Q)(3)(PQ)→P(4)P→(PQ)答：（2），（3），（4）3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式()(1)P=>PQ(2)PQ=>P(3)PQ=>PQ(4)P(P→Q)=>Q(5)(P→Q)=>P(6)P(PQ)=>P答：（2），（3），（4），（5），（6）4、公式某((A(某)B(y，某))zC(y，z))D(某)中，自由变元是(变元是()。
答：某,y,某,z5、判断下列语句是不是命题。
若是，给出命题的真值。
((1)北京是中华人民共和国的首都。
(2)陕西师大是一座工厂。
)，约束)(3)你喜欢唱歌吗？(4)若7+8＞18，则三角形有4条边。
(5)前进！(6)给我一杯水吧！答：（1）是，T（2）是，F（3）不是（4）是，T（5）不是（6）不是6、命题“存在一些人是大学生”的否定是()，而命题“所有的人都是要死的”的否定是()。
答：所有人都不是大学生，有些人不会死7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为()。
(1)只有在生病时，我才不去学校(2)若我生病，则我不去学校(3)当且仅当我生病时，我才不去学校(4)若我不生病，则我一定去学校答：（1）QP（2）PQ（3）PQ（4）PQ8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是()。
(1)某y(某+y=0)(2)y某(某+y=0)答：（1）对任一整数某存在整数y满足某+y=0（2）存在整数y对任一整数某满足某+y=09、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值：(1)某y(某y=y)()(2)某y(某+y=y)()(3)某y(某+y=某)()(4)某y(y=2某)()答：（1）F（2）F（3）F（4）T10、设谓词P(某)：某是奇数，Q(某)：某是偶数，谓词公式某(P(某)Q(某))在哪个个体域中为真()2(1)自然数(2)实数(3)复数(4)(1)--(3)均成立答：（1）11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（）。
离散数学考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个选项不是离散数学的研究对象？A. 图论B. 组合数学C. 微积分D. 逻辑学答案：C2. 在逻辑学中，下列哪个命题是真命题？A. 如果今天是周一，那么明天是周二。
B. 如果今天是周一，那么明天是周三。
C. 如果今天是周一，那么明天是周四。
D. 如果今天是周一，那么明天是周五。
答案：A3. 在集合论中，下列哪个符号表示集合的并集？A. ∩B. ∪C. ⊆D. ⊂答案：B4. 在图论中，下列哪个术语描述的是图中的顶点集合？A. 边B. 路径C. 子图D. 顶点答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 如果一个集合A包含5个元素，那么它的子集个数是______。
答案：322. 在逻辑学中，如果命题P和命题Q都是真命题，那么复合命题“P且Q”的真值是______。
答案：真3. 在图论中，如果一个图的顶点数为n，那么它的最大边数是______。
答案：n(n-1)/24. 如果一个二叉树的深度为3，那么它最多包含______个节点。
答案：7三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述什么是图的连通性，并给出一个例子。
答案：图的连通性是指在图中任意两个顶点之间都存在一条路径。
例如，在一个完全图K3中，任意两个顶点之间都可以通过一条边直接连接，因此它是连通的。
2. 解释什么是逻辑蕴含，并给出一个例子。
答案：逻辑蕴含是指如果一个命题P为真，则另一个命题Q也必须为真。
例如，命题P：“如果今天是周一”，命题Q：“明天是周二”。
如果今天是周一，那么根据逻辑蕴含，明天必须是周二。
3. 请描述什么是二叉搜索树，并给出它的一个性质。
答案：二叉搜索树是一种特殊的二叉树，其中每个节点的左子树只包含小于当前节点的数，右子树只包含大于当前节点的数。
它的一个性质是中序遍历可以得到一个有序序列。
四、计算题（每题15分，共30分）1. 给定一个集合A={1, 2, 3, 4, 5}，请计算它的幂集，并列出所有元素。
离散数学试题总汇及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 在集合{1,2,3}和{3,4,5}的笛卡尔积中，元素(2,4)是否存在？A. 存在B. 不存在C. 无法确定D. 以上都不对2. 函数f: A→B是单射的，当且仅当对于任意的a1, a2∈A，若f(a1)=f(a2)，则a1=a2。
A. 正确B. 错误C. 无法确定D. 以上都不对3. 以下哪个命题是真命题？A. 所有的狗都会游泳。
B. 有些狗不会游泳。
C. 所有的狗都不会游泳。
D. 以上都不是真命题。
4. 如果p蕴含q为假，那么p和q的真值可以是？A. p为真，q为假B. p为假，q为真C. p为真，q为真D. p为假，q为假5. 以下哪个图是连通图？A. 一个孤立点B. 两个不相连的点C. 一个包含三个点且每对点都相连的图D. 以上都不是连通图6. 在有向图中，如果存在从顶点u到顶点v的路径，那么称v是u的后继顶点。
A. 正确B. 错误C. 无法确定D. 以上都不对7. 以下哪个等价关系是集合{1,2,3}上的？A. {(1,1), (2,2), (3,3)}B. {(1,2), (2,1), (2,2), (3,3)}C. {(1,1), (2,3), (3,2), (3,3)}D. {(1,1), (2,2), (3,3), (1,3)}8. 以下哪个命题是假命题？A. 所有的鸟都有羽毛。
B. 有些鸟不会飞。
C. 所有的哺乳动物都是温血动物。
D. 以上都不是假命题。
9. 在图论中，一个图的生成树是包含图中所有顶点的最小连通子图。
A. 正确B. 错误C. 无法确定D. 以上都不对10. 如果命题p和q互为逆否命题，那么它们具有相同的真值。
A. 正确B. 错误C. 无法确定D. 以上都不对二、填空题（每题2分，共20分）1. 集合{1,2,3}和{3,4,5}的并集是________。
2. 函数f: A→B是满射的，当且仅当对于任意的b∈B，存在a∈A，使得f(a)=________。
离散数学试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 在集合论中，下列哪个选项不是集合的运算？A. 并集B. 交集C. 差集D. 乘法2. 命题逻辑中，下列哪个命题是真命题？A. (P ∧ ¬P) → QB. (P ∨ Q) ∧ ¬(P ∧ Q)C. P → (Q → P)D. (P → Q) ∧ (Q → R) → (P → R)3. 函数f: A → B，如果f是单射，那么下列哪个选项是正确的？A. A中不同的元素在B中可能有相同的像B. B中每个元素都有原像C. A中不同的元素在B中有不同的像D. B中不同的元素在A中有不同的原像4. 在图论中，下列哪个选项不是图的基本术语？A. 顶点B. 边C. 邻接D. 矩阵5. 组合数学中，从n个不同元素中取出k个元素的组合数记作C(n, k)，下列哪个选项是错误的？A. C(n, k) = C(n, n-k)B. C(n, 0) = 1C. C(n, 1) = nD. C(n, k) = C(k, n)6. 关系R是A×B上的二元关系，下列哪个选项不是关系R的性质？A. 自反性B. 对称性C. 传递性D. 可数性7. 在命题逻辑中，下列哪个命题等价于P ∨ (Q ∧ R)？A. (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)B. (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)C. (P ∨ Q) ∨ RD. (P ∨ Q) ∧ R8. 集合{1, 2, 3}的幂集含有多少个元素？A. 3B. 6C. 8D. 99. 在图论中，下列哪个选项不是树的性质？A. 无环B. 至少有两个顶点C. 任意两个顶点都由唯一路径连接D. 至少有一个环10. 在集合论中，下列哪个选项是正确的？A. 空集是任何集合的子集B. 任何集合都是其自身的超集C. 空集是任何非空集合的真子集D. 空集是其自身的并集二、简答题（每题10分，共30分）11. 简述命题逻辑中的德摩根定律，并给出一个例子。
离散数学试题及答案解析一、选择题1. 在集合{1,2,3,4}中，含有3个元素的子集有多少个？A. 4B. 8C. 16D. 32答案：B解析：含有3个元素的子集可以通过组合数公式C(n, k) = n! / [k!(n-k)!]来计算，其中n为集合的元素个数，k为子集中的元素个数。
在本题中，n=4，k=3，所以C(4, 3) = 4! / [3!(4-3)!] = 4。
2. 下列哪个命题是真命题？A. 所有偶数都是整数。
B. 所有整数都是偶数。
C. 所有整数都是奇数。
D. 所有奇数都是整数。
答案：A解析：偶数是指能被2整除的整数，因此所有偶数都是整数，选项A是真命题。
选项B、C和D都是错误的，因为并非所有整数都是偶数或奇数。
二、填空题1. 逻辑运算符“非”（NOT）的真值表是：当输入为真时，输出为______；当输入为假时，输出为真。
答案：假解析：逻辑运算符“非”（NOT）是一元运算符，它将输入的真值取反。
如果输入为真，则输出为假；如果输入为假，则输出为真。
2. 命题逻辑中，合取词“与”（AND）的真值表是：当两个命题都为真时，输出为真；否则输出为______。
答案：假解析：合取词“与”（AND）是二元运算符，只有当两个命题都为真时，输出才为真；如果其中一个或两个命题为假，则输出为假。
三、简答题1. 解释什么是等价关系，并给出一个例子。
答案：等价关系是定义在集合上的一个二元关系，它满足自反性、对称性和传递性。
例如，考虑整数集合上的“同余”关系。
对于任意整数a，b，如果a和b除以同一个正整数n后余数相同，则称a和b模n同余。
这个关系是自反的（a同余a），对称的（如果a同余b，则b同余a），并且是传递的（如果a同余b且b同余c，则a同余c）。
2. 什么是图的连通性？一个图是连通的需要满足什么条件？答案：图的连通性是指在无向图中，任意两个顶点之间都存在一条路径。
一个图是连通的需要满足以下条件：图中的任意两个顶点v和w，都可以通过图中的边相互到达。
试卷十八试题与答案一、 选择：（满分20分，每小题2分）1．下列语句中不是命题的有（ ）⑴ 9+5≤12 ； ⑵ x+3=5；⑶我用的计算机CPU 主频是1G 吗？； ⑷ 我要努力学习。
2．命题“我不能一边听课，一边看小说”的符号化为（ ）⑴ Q P ⌝→ ； ⑵ Q P →⌝；⑶ P Q ⌝∧⌝ ； ⑷ )(Q P ∧⌝。
3．下列表达式正确的有（ ）⑴ Q Q P ⌝⇒→⌝)(； ⑵ P Q P ⇒∨ ；⑶ P Q P Q P ⇔⌝∧∨∧)()(； ⑷ T Q P P ⇔→→)(。
4．n 个命题变元可产生（ ）个互不等价的小项。
⑴ n ； ⑵ n 2 ； ⑶ 2n ； ⑷ 2n 。
5．若公式)()(R P Q P ∧⌝∨∧的主析取范式为111110011001m m m m ∨∨∨则它的主合取范式为（ ）⑴ 111110011001m m m m ∧∧∧ ； ⑵ 101100010000M M M M ∧∧∧ ；⑶111110011001M M M M ∧∧∧； ⑷ 101100010000m m m m ∧∧∧ 。
6．命题“尽管有人聪明，但未必一切人都聪明”的符号化（P(x)：x 是聪明的，M(x)：x 是人） （ ）⑴ )))()((())()((x P x M x x P x M x →∀⌝∧→∃⑵ )))()((())()((x P x M x x P x M x ∧∀⌝∧∧∃⑶ )))()((())()((x P x M x x P x M x →∀⌝∧∧∃⑷)))()((())()((x P x M x x P x M x →∀⌝∨∧∃7．设A={Φ} ，B=Р(Р(A)) 下列（ ）表达式成立。
⑴ B ⊆Φ ； ⑵ {}B ⊆Φ； ⑶ {}{}B ∈Φ； ⑷{}{}B ⊆Φ。
8．A 是素数集合，B 是奇数集合，则A-B=（ ）⑴ 素数集合； ⑵ 奇数集合； ⑶ Φ； ⑷ {2}。
9．集合A={2，3，6，12，24，36}上偏序关系R 的Hass 图为则集合B={2，3，6，12}的上确界 。
B={2，3，6，12}的下界 。
B={6，12，24，36}的下确界 。
B={6，12，24，36}的上界 。
⑴ 2； ⑵ 3； ⑶ 6； ⑷ 12； ⑸ 无。
10．若函数g 和f 的复合函数g f 是双射，则（ ）一定是正确的。
⑴ g 是入射； ⑵ f 是入射； ⑶ g 是满射； ⑷ f 是满射。
二、 填空：（满分20，每小题2分）1．设P ：它占据空间，Q ：它有质量，R ：它不断运动，S ：它叫做物质。
命题“占据空间的，有质量的而且不断运动的叫做物质”的符号化为 。
2．设A ，B 是两命题公式，B A ⇔当且仅当。
3．要证C R →为前提m H H H ,,,21 的有效结论，运用CP 规则是 。
4．对谓词公式()),(),(),(y x xR z x zQ y x yP ∀∨∃∧∀的自由变元代入得 。
5．设S={a 1,a 2,…,a 8},B i 是S 的子集，则B 31= 。
6．设I 为整数集合，R={<x,y>∣x ≡y(mod3) 则[1]= 。
7．偏序集〈Ρ（{a,b}），⊆〉的Hass 图为。
8．对集合X 和Y ，设|X|=m ，|Y|=n ，则从X 到Y 的函数有 个。
9．设R 为实数集，S={x |0<x<1}，f ：R →S ，则f(x)= 为双射。
10．设K[N]=0 ，K[(0,1)]= ，则K[N×(0,1)]= 。
三、 证明：（48分）1．不构造真值表证明蕴涵式Q R P P R R P P Q →⇒⌝∧→→→⌝∧→)))((())(( （7分）2．用逻辑推演下式C B A →∧)( ，D ⌝，D C ∨⌝⇒ B A ⌝∨⌝ （7分）3．用CP 规则证明)()())()((x xQ x xP X Q x P x ∃∨∀⇒∨∀ （7分）4．符号化并证明其结论：“所有有理数是实数，某些有理数是整数，因此某些实数是整数”（设R(x)：x 是实数，Q(x)：x 是有理数，I(x)：x 是整数） （7分）5．设R 是集合X 上的一个自反关系，求证：R 是对称的和传递的当且仅当＜a,b ＞和＜a,c ＞在R 中，则有＜b,c ＞在R 中 (8分)。
6．设f 和g 是函数，则f ∩g 也是函数。
（6分）7．证明 [0，1]～（0，1） （6分）四、（6分）集合S={1，2，3，4，5}，找出S 上的等价关系，此关系能产生划分{{1，2}，{3}，{4，5}}，并画出关系图。
五、（6分）求)()(Q P P Q ∧⌝∧→的主合取范式。
答案一、选择：（满分20，每小题2分）1．⑵ ⑶；2．⑴ ⑷；3．⑴ ⑶；4．⑷；5． ⑵ 6．⑶；7．⑴ ⑵ ⑶；8．⑷；9．⑷ ⑸ ⑶ ⑸；10．⑵ ⑶。
二、1．R Q P S ∧∧↔；2．T B A ⇔↔；3．由前提H 1，H 2，…，H m 和R 推出C 即可；4．()),(),(),(w x xR z u zQ y u yP ∀∨∃∧∀；5．B 00011111={a 4，a 5，a 6，a 7，a 8}； 6．{…，-8，-5，-2，1，4，7，10，…}；7．8．n m ；9．21arctan 1+x π；10．。
三、证 1．设Q R →为F ，则R 为T ，Q 为F 。
因P P ⌝∧为F ，所以)(Q P Q ⌝∧→为T ，)(Q P R ⌝∧→为F ，于是))((Q P R R ⌝∧→→为F ，因此)))((())((P P R R P P Q ⌝∧→→→⌝∧→为F 。
即：Q R P P R R P P Q →⇒⌝∧→→→⌝∧→)))((())((成立。
2．⑴ D C ∨⌝ P ⑺ B A ⌝∨⌝ T ⑹E⑵ C D ⌝→⌝ T ⑴E⑶ D ⌝ P⑷ C ⌝ T ⑵⑶I⑸ C B A →∧)( P⑹ )(B A ∧⌝ T ⑷⑸I{}b a ,{}a {}b Φ3．)())(()()(x xQ x xP x xQ x xP ∃→∀⌝⇔∃∨∀⑴ ))((x xP ∀⌝ P(附加前提) ⑸ )()(c Q c P ∨ US ⑷⑵ ))((x P x ⌝∃ T ⑴E ⑹ )(c Q T ⑶⑸I⑶ )(c P ⌝ ES ⑵ ⑺ )(x xQ ∃ EG ⑹⑷ ))()((x Q x P x ∨∀ P ⑻ )())((x xQ x xP ∃→∀⌝ CP4．符号化为：))()((x R x Q x →∀，))()((x I x Q x ∧∃⇒ ))()((x I x R x ∧∃⑴ ))()((x I x Q x ∧∃ P ⑹ )(c R T ⑷⑸I⑵ )()(c I c Q ∧ ES ⑴ ⑺ )(c I T ⑵I⑶ ))()((x R x Q x →∀ P ⑻ )()(c I c R ∧ T ⑹⑺I⑷ )()(c R c Q → US ⑶ ⑼ ))()((x I x R x ∧∃ EG ⑻⑸ )(c Q T ⑵I5．⑴R 是对称的和传递的⇒<a,b>∈R ，<a,c>∈R 则<b,c>∈R 。
X c b a ∈∀,,，若<a,b>∈R ，由R 对称性有<b,a>∈R ，而<a,c>∈R ，由R 传递性得 <b,c>∈R 。
⑵<a,b>∈R ，<a,c>∈R 则<b,c>∈R ⇒R 是对称的和传递的X c b a ∈∀,,，若<a,b>∈R ，因R 自反，所以<a,a>∈R ，由已知<b,a>∈R ，即R 具有对称性。
若<a,b>∈R ，<b,c>∈R ，由R 对称性知<b,a>∈R ，再由已知<a,c>∈R 即R 具有传递性。
6．})()(,{x g x f y domg x domf x y x g f ==∧∈∧∈><=⋂})()(,{x g x f y d o m g d o m f x y x ==∧⋂∈><= })()(,{)(x g x f domg domf x x g f dom =⋂∈=⋂若y 1≠y 2，因f 是函数，故必有y 1=f(x 1)，y 2=f(x 2)且x 1≠x 2所以g f 是函数。
7．证：设},31,21,1,0{ =A 令f ：[0,1]→(0,1)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-∈=∈=+∈==.]1,0[,;,2,1,1,11;0,21)(A x x n A n x n A x x f则f 是[0,1]→(0,1)的双射函数。
所以[0，1]～（0，1）四、解：R 1={1,2}×{1,2}={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>}R 2={3}×{3}={<3,3>}R 3={4,5}×{4,5}={<4,4>,<4,5>,<5,4>,<5,5>}R=R 1 R 2 R 3={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<4,5>,<5,4>,<5,5>}五、解：)()()()()()())()()()(Q P Q P Q P Q P FQ P P Q P Q Q P P Q Q P P Q ⌝∨⌝∧∨⌝∧⌝∨∧∨⇔⇔∧⌝∧∨∧⌝∧⌝⇔∧⌝∧∨⌝⇔∧⌝∧→。
