初一数学数轴及绝对值

课程类型：新授课—衔接课年级：新初一学科：数学课程主题第2讲：认识数轴、绝对值与相反数【要点梳理】1、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．注意：（1）定义中的“规定”二字是说原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据需要“规定”的．通常，习惯取向右为正方向．（2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km、m、dm、cm等．2、数轴的画法（1）画一条直线（通常画成水平位置）；（2）在这条直线上取一点作为原点，这点表示0；（3）规定直线上向右为正方向，画上箭头；（4）再选取适当的长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，…注意：（1）原点的位置、单位长度的大小可根据实际情况适当选取．（2）确定单位长度时根据实际情况，有时也可以每隔两个（或更多的）单位长度取一点．3、数轴与有理数的关系任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理数，还可以表示其他数例如无理数，比如 ．注意：（1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示．（2）一般地，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．【典型例题】1、（2021七上·海安期末）比－4.3大的负整数有（）A. 4个B. 5个C. 6个D. 无数个2、（2021七上·江阴期末）下列算式中，运算结果为负数的是（）A. B. C. D.3、（2020七上·溧阳期中）已知两个有理数、，如果 0且a+b 0，那么（）A. 0， 0B. 0， 0C. 、同号D. 、异号，且负数的绝对值较大4、在数轴上，位于﹣3和3之间的点有（）A. 7个B. 5个C. 4个D. 无数个5、在﹣4，0，﹣1，3这四个数中，最小的数是（）A. ﹣4B. 2C. -1D. 36、数轴是一条（）A. 直线B. 射线C. 线段D. 不能确定7、下面画的数轴正确的是（）A. B. C. D.【同步演练】1、下列一组数：1，4，0，-，﹣3在数轴上表示的点中，不在原点右边的点的个数为（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个2、如图所示，根据有理数a，b，c在数轴上的位置，下列关系正确的是（）A. b>a>0>cB. a<b<0<cC. b<a<0<cD. a<b<c<03、如图，数轴上的点P、O、Q、R、S表示某城市一条大街上的五个公交车站点，有一辆公交车距P站点3km，距Q站点0.7km，则这辆公交车的位置在（）A.P站点与O站点之间B. O站点与Q站点之间C. Q站点与R站点之间D. R站点与S站点之间4、若有理数m在数轴上对应的点为M，且满足|m|＞1且m＜0，则下列数轴表示正确的是（）A. B.C. D.要点2：认识相反数【要点梳理】1、定义：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数．特别地，0的相反数是0．注意：（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同．（2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉．（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数．（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可．2．性质：（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）．（2）互为相反数的两数和为0．3、多重符号的化简多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4 ；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4 ．注意：（1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5．（2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数．如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3．【典型例题】1、（2021七下·苏州开学考）2021的相反数是（）A. -2021B.C. 2021D.2、（2020七上·高新期中）下列各对数中，互为相反数的是（）A. -（-3）与B. 与-0.25C. -（+3）与+（-3）D. +（-0.1）与-（- ）3、如果a与﹣3互为相反数，那么a等于（）A. B. - C. 3 D. -34、下列结论正确的有（）①任何数都不等于它的相反数；②符号相反的数互为相反数；③表示互为相反数的两个数的点到原点的距离相等；④若有理数a,b互为相反数，那么a+b=0；⑤若有理数a,b互为相反数，则它们一定异号。

七年级数学上册数轴、绝对值培优训练一、阅读与思考数学是研究数和形的学科，在数学里数和形是有密切联系的。

我们常用代数的方法来处理几何问题；反过来，也借助于几何图形来处理代数问题，寻找解题思路，这种数与形之间的相互作用叫数形结合，是一种重要的数学思想。

运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形结合的有力工具，主要体现在以下几个方面：1、利用数轴能形象地表示有理数；2、利用数轴能直观地解释相反数；3、利用数轴比较有理数的大小；4、利用数轴解决与绝对值相关的问题。

二、知识点反馈1、利用数轴能形象地表示有理数；例1：已知有理数a 在数轴上原点的右方，有理数b 在原点的左方，那么（ ） A ．b ab < B ．b ab > C ．0>+b a D ．0>-b a 拓广训练：1、如图b a ,为数轴上的两点表示的有理数，在a b b a a b b a ---+,,2,中，负数的个数有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42、把满足52≤<a 中的整数a 表示在数轴上，并用不等号连接。

2、利用数轴能直观地解释相反数；例2：如果数轴上点A 到原点的距离为3，点B 到原点的距离为5，那么A 、B 两点的距离为 。

拓广训练：1、在数轴上表示数a 的点到原点的距离为3，则._________3=-a2、已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么所有满足条件的点B 与原点O 的距离之和等于 。

3、利用数轴比较有理数的大小；例3：已知0,0<>b a 且0<+b a ，那么有理数b a b a ,,,-的大小关系是 。

（用“<”号连接） 拓广训练：1、 若0,0><n m 且n m >，比较m n n m n m n m --+--,,,,的大小，并用“>”号连接。

例4：已知5<a 比较a 与4的大小拓广训练：1、已知3->a ，试讨论a 与3的大小2、已知两数b a ,，如果a 比b 大，试判断a 与b 的大小4、利用数轴解决与绝对值相关的问题。

数轴去绝对值题目初一一、知识点回顾1. 绝对值的定义- 绝对值表示一个数在数轴上所对应点到原点的距离。

正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。

- 用数学符号表示为：| a|=a(a≥0) -a(a<0)2. 在数轴上确定数的绝对值大小- 例如，在数轴上表示数a，如果a在原点右侧，那么| a| = a；如果a在原点左侧，那么| a|=-a。

二、典型题目及解析1. 题目1- 已知a = - 3，b = 2，c = -1，求| a - b|+| b - c|的值。

- 解析：- 首先计算a - b的值：a - b=-3 - 2=-5。

- 根据绝对值的定义，| a - b|=| - 5| = 5。

- 然后计算b - c的值：b - c = 2-(-1)=2 + 1=3。

- 所以| b - c|=|3| = 3。

- 则| a - b|+| b - c|=5 + 3=8。

2. 题目2- 若| x| = 3，求x的值。

- 解析：- 因为| x| = 3，根据绝对值的定义，当x≥0时，x = 3；当x<0时，x=-3。

所以x=±3。

3. 题目3- 有理数a，b在数轴上的位置如图所示，化简| a|+| b - a|。

- （数轴上a在原点左侧，b在原点右侧，且b到原点的距离大于a到原点的距离）- 解析：- 因为a在原点左侧，所以a<0，根据绝对值的定义| a|=-a。

- 又因为b在原点右侧，a在原点左侧，所以b - a>0，那么| b - a|=b - a。

- 所以| a|+| b - a|=-a+(b - a)=-a + b - a=b - 2a。

4. 题目4- 化简| x - 1|+| x+3|（x为有理数）。

- 解析：- 要化简这个式子，需要根据x与1和- 3的大小关系进行讨论。

- 当x≥1时，x - 1≥0，x + 3>0，则| x - 1|+| x+3|=(x - 1)+(x + 3)=x - 1+x + 3 = 2x+2。

1.2数轴、相反数和绝对值1．数轴(1)数轴的概念规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．如图所示．(2)数轴的概念包涵的意思①数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；②数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可；③原点位置的选定，单位长度大小的确定都是根据实际而定的．一般取向右的方向为正方向．(3)数轴的画法：要正确迅速地画出数轴，可按以下步骤进行：①“画”就是先画一条水平的直线；②“取”就是在直线上选取一点表示原点(原点表示的数是0)；③“选”就是选择向右的方向为正方向(用箭头表示)，那么相反的方向，即从原点向左为负方向，然后选取适当的长度作为单位长度，用细短线在直线上画出；④“标”就是从原点向右，依次标出1,2，3，…；从原点向左，依次标出－1，－2，－3，….画数轴的步骤可简单归纳为“一画、二取、三选、四标”．解技巧确定数轴的单位长度画数轴时根据实际问题的需要可选取不同的距离作为单位长度，同一数轴上的单位长度必须一致．【例1】观察下列图形，数轴画得正确的是______．解析：判断一条直线是否为一数轴，关键看这条直线是否具有原点、正方向和单位长度这三要素．A没有原点，B没有正方向，C的单位长度不一致，E中负方向上所标注的数字顺序错误，只有D满足条件．答案：D辨误区画数轴常见的错误画数轴常出现的错误：(1)没有方向；(2)没有原点；(3)单位长度不一致；(4)标出的数值排列错误．2．有理数与数轴上的点之间的关系(1)数对应点：任何一个有理数，都可以用数轴上的一个点来表示．(2)在数轴上，正数和负数分别位于原点的两侧，所有正数对应的点都在数轴上原点的右侧，所有负数对应的点都在数轴上原点的左侧，与正数对称．(3)找出数轴上的点对应的有理数的步骤是：①确定点与原点的位置关系(左负右正)；②确定点与原点的距离．辨误区有理数与数轴上的点的对应关系所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但不能说数轴上所有的点都表示有理数，因为数轴上除了表示所有的有理数的点之外，还有表示所有的无理数的点(以后会学习)．【例2－1】指出数轴上A，B，C，D，E，F各点分别表示什么数？分析：先确定已知点的位置是在原点的左边还是右边，再确定点对应的数值，特别是B ，E 两点，要看准它们所表示的数在哪两个数之间．解：A 表示4；B 表示2.5；C 表示1；D 表示0；E 表示－1.5；F 表示－3.【例2－2】把下列各数在数轴上表示出来：32，－5,0,3.6，－3，－12，－112.分析：第一步，画出数轴(按三要素)；第二步，把这些数在数轴上的对应点找出来；0在原点，容易找到对应点．正数在原点的右边，所以32，3.6在原点的右边，且分别距原点32个单位长度、3.6个单位长度．负数在原点的左边，所以－5，－3，－12，－112在原点的左边，且分别距原点5个单位长度、3个单位长度、12个单位长度、112个单位长度．解：解技巧确定数在数轴上的对应点(1)确定有理数在数轴上的对应点，要先根据正负确定该点在原点的哪一边，然后再确定距原点多少个单位长度；(2)一般情况下，原数轴上的表示单位长度的数要标在数轴的下方，而要表示的数应标在数轴的上方．3.相反数(1)相反数的定义只有符号不同的两个数互为相反数，这就是说，其中一个是另一个的相反数，特别规定：0的相反数是0.辨误区相反数的意义①“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，千万不能漏掉；②“只有符号不同”指的是除符号不同以外，其他完全相同，不能理解为只要符号不同的两个数就互为相反数，例如：－2和＋3符号不同，但它们不互为相反数．(2)相反数的几何意义两个互为相反数的数在数轴上所表示的点在原点的两侧，与原点的距离相等．如：＋3和－3，＋4.4和－4.4互为相反数，在数轴上的位置如图所示：(3)相反数的表示方法一般地，数a 的相反数是－a ，这里a 表示任意一个数，它可以是正数、负数或者零．析规律相反数的表示方法在任意一个数前面添上“－”号，所得的数是原数的相反数，在一个数的前面添上一个“＋”号，仍是原数．【例3】填空题：(1)－5的相反数是__________；(2)－(－6)的相反数__________；(3)__________的相反数是0.7；(4)18与__________互为相反数；(5)若a ＝13，则－a ＝__________.解析：根据相反数的意义求出各数的相反数．(1)－5的相反数为5；(2)－(－6)表示－6的相反数，即－(－6)＝6，所以求－(－6)的相反数就是求6的相反数；(3)－0.7的相反数是0.7；(4)18与－18互为相反数；(5)－a 表示a 的相反数，即求13的相反数，所以－a ＝－13.答案：(1)5(2)－6(3)－0.7(4)－18(5)－134．绝对值(1)绝对值的概念在数轴上，表示数a 的点到原点的距离，叫做数a 的绝对值，记作|a |.表示数0的点即原点，到原点的距离是0，故|0|＝0.(2)一个数的绝对值与这个数的关系①一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.②绝对值实际上和四则运算“加、减、乘、除”一样，也是一种运算，绝对值运算的本质就是要把带有绝对值符号的数化为不带绝对值符号的数(即去绝对值)．注意：既可以说0的绝对值是它本身，也可以说0的绝对值是它的相反数．故绝对值是它本身的数是正数和0；绝对值是它的相反数的数是负数和0.③互为相反数的两个数的绝对值相等；绝对值相等、符号相反的两个数互为相反数．谈重点绝对值的意义绝对值是初中代数中的重要概念，从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大，离原点的距离越近，绝对值越小．由于距离总是正数或零，则有理数的绝对值不可能是负数．也就是说，任何一个有理数的绝对值都是非负数，即a 取任意有理数，都有|a |≥0，所以绝对值最小的数是0.【例4－1】下列说法正确的是()．A ．|－5|表示－5的绝对值，等于－5B ．负数的绝对值等于它本身C ．－4距离原点4个单位长度，所以－4的绝对值是4D ．绝对值等于它本身的数有两个，是0和1解析：绝对值是一个距离，不能为负数，故选项A 错误；负数的绝对值等于它的相反数，故选项B 错误；一个数的绝对值是它在数轴上对应点与原点的距离，C 正确；正数的绝对值都等于它本身，故选项D 错误．答案：C【例4－2】回答问题：(1)绝对值是3的数有几个？各是什么？(2)绝对值是0的数有几个？各是什么？(3)绝对值是－2的数是否存在？若存在，请写出来．分析：本题要正确理解绝对值的概念，尤其要理解绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．(1)表示到原点距离等于3的点对应的数有几个，显然，表示数3和－3的点到原点的距离都等于3，所以绝对值等于3的数有两个，它们互为相反数．(2)到原点的距离为0的点只有原点本身，它对应的数是0.(3)任意有理数的绝对值都是非负数，故不存在绝对值是－2的数．一般地，一个有理数的绝对值只有一个，但是绝对值为一个正数的有理数都有两个，它们互为相反数，没有绝对值为负数的有理数．解：(1)绝对值是3的数有两个，它们分别是3和－3.(2)绝对值是0的数只有一个，它是0.(3)绝对值是－2的数不存在．5．数轴上两点间的距离与点表示的数之间的关系(1)数轴使数和直线上的点建立了对应关系，它揭示了数和形的内在联系．正是这种联系，使得数轴上两点之间的距离与所表示的数之间存在密切关系．(2)数轴上表示数a 的点与原点之间的距离：当a 为一个正数时，它与原点的距离是a 个单位长度，当a 是负数时，它与原点的距离是|a |个单位长度；当a 是0时，距离为0.(3)注意：到某一点距离等于a (a 是正数)的点有两个，在原点的左右两侧各一个．解技巧确定数轴上两点间的距离解决此类问题的最好方法是画出数轴，并表示出所求的数，再求两点间的距离．【例5－1】如图，A ，B 两点在数轴上，点A 对应的数为2，若线段AB 的长为3，求点B 对应的数是多少？分析：由于点A 对应的数为2，说明它到原点的距离为2，又线段AB 的长为3，则点B 对应的数就很容易确定了．解：因为点A 对应的数为2，又线段AB 的长为3，所以点B 到原点的长为1.又因为点B 在原点的左边，所以点B 对应的数为－1.【例5－2】已知数轴上A ，B 表示的数互为相反数，并且A ，B 两点间的距离为6个单位长度，求A ，B 两点表示的数(A 在B 的左边)．分析：互为相反数的数，位于原点的两侧，且到原点的距离相等，根据A ，B 的距离为6个单位长度，即可求出A ，B 两点表示的数．解：由点A ，B 表示的数互为相反数，且A ，B 两点间的距离为6，可知点A ，B 在原点的两侧，到原点距离都为3，又A 在B 的左边，所以A 点表示－3，B 点表示3.6.运用相反数化简符号(1)理解：①在任意－个数前面添上“－”号，新的数就是原数的相反数．如：＋5的相反数表示为－(＋5)，而5的相反数就是－5，所以－(＋5)＝－5.因此运用相反数可以进行符号化简．(2)分类：简单的符号化简共有3种情况：①－(＋a )＝－a ；②＋(－a )＝－a ；③－(－a )＝a .(3)延伸：①－[－(－a )]＝－a ；－[＋(－a )]＝a 等．②－0＝0，表示0的相反数是0.多重符号的结果是由“－”号的个数决定的，与“＋”号无关，据此可以对带有多重符号的数进行化简．化简时“＋”号的个数不影响结果，可省去；而“－”号的个数是偶数个时也可全部省去，奇数个时，结果保留一个“－”号即可．【例6－1】填空：(1)__________；(2)，那么x ＝__________.解析：(1)∵127，因此此题实际上是求127的相反数，∴－127；(2)是已知x 的相反数求原数x 的问题，∵－x ＝＋(－80.5)＝－80.5，∴x ＝80.5.答案：(1)－127(2)80.5【例6－2】化简下列各符号：(1)－[－(－2)]；(2)＋{－[－(＋5)]}；(3)－{－{－…－(－6)…}}(共n 个负号)．分析：化简的法则是：结果的符号与负号的个数有关，有偶数个负号时，结果为正；有奇数个负号时，结果为负．解：(1)－2；(2)5；(3)当n 为偶数时，为6；当n 为奇数时，为－6.7.绝对值的化简和计算化简绝对值符号主要根据绝对值的非负性，解题时看清楚“－”号在绝对值符号的里面还是外面．如果“－”号在绝对值符号的里面，化简时把“－”号去掉；如果“－”号在绝对值符号的外面，化简时不能把“－”号去掉．解技巧准确化简绝对值符号化简绝对值符号的关键是判断绝对值符号内的数是正数、负数或是0.【例7】化简：(1)－|－23|；(2)＋|(3)|；(4)|－(－7.5)|.分析：先判断绝对值符号内数的符号，再求绝对值．解：(1)－|－23|＝－23；(2)＋|；(3)|＝312；(4)|－(－7.5)|＝7.5.8.字母表示的数的绝对值的求法应用因为用字母所表示的数既可以是正数也可以是负数，还可以是0.它具有不确定性，而求绝对值首先要考虑的就是符号，因此求字母表示的数的绝对值时，必须考虑题目中给定的条件，若有限定条件，就按限定条件求出，若没有限定条件，则要分正、负、0三种情况讨论．解技巧求字母表示的数的绝对值(1)限制型逆用求法，如：|a |＝6，那么a ＝±6；(2)开放型分类讨论求法：如求|x |＋x 的值，当x ＞0时，|x |＝x ，所以|x |＋x ＝x ＋x ＝2x ，当x ＜0时，|x |＝－x ，原式＝0，当x ＝0时，原式＝0；(3)化简型求法：如：|a |＝|－8|，|－a |＝|－8|，|－a |＝|8|都能化为|a |＝|8|＝8解决．【例8－1】已知a ＝－5，|a |＝|b |，则b 的值等于()．A ．＋5B ．－5C ．0D ．±5解析：因为a ＝－5，所以|a |＝5.所以|b |＝5.所以b ＝±5.注：本题常见的思维误区是由|a |＝|b |推出a ＝b ，错选B.事实上，由|a |＝|b |，可得b ＝±a ，所以b ＝a 或b ＝－a ，即b ＝5或b ＝－5.答案：D【例8－2】下面推理正确的是()．A ．若|m |＝|n |，则m ＝nB ．若|m |＝n ，则m ＝nC ．若|m |＝－n ，则m ＝nD ．若m ＝n ，则|m |＝|n |解析：A 中若|m |＝|n |，则m ＝±n ；B 中若|m |＝n (n 一定是非负数)，则m ＝±n ，例如|±2|＝2，此时m ＝±2，n ＝2，显然m ＝±n ；C 中若|m |＝－n ，则m ＝n 或m ＝－n ，例如|±3|＝－(－3)(n 一定是非正数)，此时m ＝±3，n ＝－3，所以m ＝±n .答案：D 9．利用数轴解决生活中的实际问题本节知识常与运动问题结合在一起，利用数形结合将运动问题解决．这种利用数形结合解决问题的方法是中考考查的热点题型之一．数轴是一种数学工具，它使数和数轴上的点建立了对应关系，运用数轴可以直观表示点的移动，正确找出数在数轴上的对应点，会由数轴上的点的位置确定对应的数，是解决这类问题的关键．解题时，通常根据题意正确地画出数轴，在选取长度单位时，要根据题目中的实际情况来确定，再在数轴上表示点的移动过程，用箭头和竖线来表示．【例9】超市、书店、玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，超市在书店西边20米处，玩具店位于书店东边50米处．小明从书店出来沿街向东走了50米，接着又向东走了－80米，此时小明的位置在何处？在数轴上标出超市、书店、玩具店的位置以及小明最后的位置．分析：书店处于超市和玩具店之间，且书店与玩具店之间的距离是50米，书店与超市之间的距离是20米，这样可以画出数轴，即可表示出小明最后的位置．解决点的移动问题，可画出数轴，在数轴上表示点的移动，关键是确定原点，最后的点相对于原点来说，若在原点的右侧，表示的是正数，若在原点的左侧，则表示的是负数．解：根据题意可以画出如图所示的数轴，小明位于超市西边10米处．10.利用绝对值解决实际问题绝对值的产生来源于实际问题的需要，反过来又可以运用它解决一些实际问题．利用绝对值求距离路程问题中，当出现用“＋”、“－”号表示带方向的路程，求最后实际路程时，实际上是求绝对值的和．方法：①求各个数的绝对值；②求所有数的绝对值的和；③写出答案．【例10】一天上午，出租车司机小王在东西走向的中山路上营运，如果规定向东为正，向西为负，出租车的行车里程如下(单位：千米)：＋15，－3，＋12，－11，－13，＋3，－12，－18，请问小王将最后一位乘客送到目的地时，共行驶了多少千米？分析：本题是绝对值意义在实际问题中的具体应用，有理数中的“＋”和“－”在本题中表示的是方向，而它们的绝对值是小王在营运中所行驶的路程，因此求共行驶的路程应是每次行车里程绝对值之和．解：|＋15|＋|－3|＋|＋12|＋|－11|＋|－13|＋|＋3|＋|－12|＋|－18|＝15＋3＋12＋11＋13＋3＋12＋18＝87(千米)．答：小王将最后一位乘客送到目的地时共行驶了87千米．。

初中7年级数学开学第一课：数轴与绝对值从小学到初中，第一个需要接受的是“负数”，其实接受负数并不困难，困难的是关于含负数的四则运算和乘方运算，从教学的实践来看，刚上初中的同学在计算上的错误率很高，而且如果不能及时改善这个问题，那么这个问题将会一直带到初二、初三，好不容易获得了解题思路并列出等式，但计算结果常常错误，这是一件多么遗憾的事情！不过解决这个问题也很简单，那就是坚持不懈地每天都要练习计算20题，直到准确率达到100%。

有理数与数轴是“数”与“形”的第一次“联姻”，因为之前学过的数（整数、小数），以及刚学到的负数均可在数轴上找出其相应的点，然后通过观察点与点的位置关系可以直观地判断它们的大小关系。

但遗憾的是大多同学只是弄懂了数轴的概念和三要素（原点，正方向，单位长度），却不知道把它作为工具来使用，以至做题时一筹莫展。

一、关于数轴，有以下基本知识点：1，越靠左的点表示的数越小，越靠右表示的数越大；2，长度为a的线段在数轴上可以覆盖的整数点的个数，最少为[a]个，最多为[a]+1个；（[a]为不大于a的最大整数，详见前文关于含取整运算“ [x] ”的方程解法，取整运算（高斯函数）中的“断点”）3，（中点公式）如果点A表示的数为a，点B表示的数为b，则线段AB的中点表示的数为（a+b）/2；4，（动点公式）如果点A表示的数为a，那么点A向右移动m个单位后表示的数为：a+m；点A向左移动m个单位后表示的数为：a-m；【例1】长度为2018.2的线段在数轴最多能覆盖多少个整数点？【解析】因为[2018.2]=2018，所以最多能覆盖2019个整数点。

【例2】如图1，A点表示的数为a，B点表示的数为b，那么请比较a，b，（a+b）/2，（a-b）/2，0，-a，-b的大小关系。

【解析】将要比较的数在数轴上表示出来，然后从左到右用小于号连接。

(如图1-1)由图可知：b＜(a+b)/2＜-a＜0＜a＜(a-b)/2＜-b。

学生做题前请先回答以下问题问题1：有理数有几种分类，分别是什么？问题2：数轴的定义是什么？数轴的作用有哪些？问题3：什么是相反数，怎么找一个数或一个式子的相反数？问题4：什么是绝对值，绝对值法则是什么？问题5：（1）如果数a的绝对值等于a，那么a可能是正数吗？可能是0吗？可能是负数吗？（2）如果数a的绝对值大于a，那么a可能是正数吗？可能是0吗？可能是负数吗？（3）一个数的绝对值可能小于它本身吗？数轴、相反数、绝对值（人教版）一、单选题(共18道，每道5分)1.如果收入50元记作+50元，那么支出30元记作( )A.+30元B.-30元C.+80元D.-80元答案：B解题思路：正数和负数表示相反意义的量，收入和支出是相反意义的量，所以如果收入50元记作+50元，那么支出30元记作-30元．故选B．试题难度：三颗星知识点：正数和负数的意义2.有如下一些数：-3，-3.14，-(-20)，0，+6.8，，，其中负数有( )A.2个B.3个C.4个D.5个答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：负数3.下列说法正确的是( )A.正有理数和负有理数统称为有理数B.正分数、0、负分数统称为分数C.小数3.14不是分数D.整数和分数统称为有理数答案：D解题思路：选项A：正有理数、负有理数和0统称为有理数，0既不是正有理数也不是负有理数，错误；选项B：正分数、负分数统称为分数，0是整数不是分数，错误；选项C：3.14是有限小数，可以写成分数的形式，错误；选项D：整数和分数统称为有理数，正确．故选D．试题难度：三颗星知识点：有理数及其分类4.下列说法正确的是( )A.正整数和负整数统称整数B.0既不是正数，也不是负数C.0是最小的有理数D.有理数就是正有理数和负有理数答案：B解题思路：选项A：正整数、0和负整数统称为整数，A选项错误；选项B：0既不是正数，也不是负数，正确选项C：所有的负有理数都比0小，所以0不是最小的有理数，错误；选项D：有理数包括正有理数、0和负有理数，错误．故选B．试题难度：三颗星知识点：有理数及其分类5.5的相反数是( )A. B.C.+5D.-5答案：D解题思路：只有符号不同的两个数互为相反数，因此5的相反数是-5．故选D．试题难度：三颗星知识点：相反数6.下列各数中，是正数的是( )A. B.-3的相反数C. D.-3的相反数的相反数答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：相反数7.如图，在数轴上点A表示的数可能是( )A.1.5B.-1.5C.-2.4D.2.4答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：数轴的作用——表示数8.已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列选项错误的是( )A.a<0<bB.b＞-aC.-a＞0D.-b＞a答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：利用数轴比较大小9.已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则a，-b，，从大到小的顺序为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：利用数轴比较大小10.如图，如果数轴上A，B两点之间的距离是8，那么点B表示的数是( )A.5B.-5C.3D.-3答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：数轴的作用——表示距离11.下列各对数中，互为相反数的是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值法则12.若，则( )A.2mB.0C.-2mD.m答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值法则13.数轴上的点A到原点的距离是6，则点A表示的数为( )A.6或-6B.6C.-6D.3或-3答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：数轴的作用——表示距离14.若，则a=( )A.4B.-4C.±4D.±2答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值的定义15.若，则( )A.0B.xC.-xD.以上答案都不对答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值法则16.是一个( )A.正数B.非正数C.非负数D.负数答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值法则17.若，则a的取值范围是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值法则18.已知学校、图书馆和小明家依次坐落在一条东西走向的大街上，学校在图书馆西边20米处，小明家位于图书馆东边70米处，小明从图书馆沿街向东走了30米，接着又向东走了-40米，此时小明的位置在( )A.图书馆B.小明家C.学校西10米处D.学校东10米处答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：数轴的作用——表示数2019-2020学年七年级数学上学期期末模拟试卷一、选择题1．如图所示的四条射线中，表示南偏西60°的是（ ）A.射线OAB.射线OBC.射线OCD.射线OD2．下列各图中，∠1与∠2互为余角的是（ ）A. B. C. D.3．若科技馆在学校的南偏东方向，则学校在科技馆的（ ） A.北偏西方向B.北偏东方向C.南偏东方向D.南偏西方向4．一件工程甲独做50天可完，乙独做75天可完，现在两个人合作，但是中途乙因事离开几天，从开工后40天把这件工程做完，则乙中途离开了（ ）天． A.10B.20C.30D.255．在有理数范围内定义运算“*”，其规则为a*b=﹣23a b+，则方程（2*3）（4*x ）=49的解为（ ） A.﹣3B.﹣55C.﹣56D.556．下列各题中，合并同类项结果正确的是（ ） A.2a 2+3a 2=5a 2 B.2a 2+3a 2=6a 2C.4xy-3xy=1D.2m 2n-2mn 2=0 7．已知322x y 与32mxy -的和是单项式，则式子4ｍ－24的值是（）A.20B.－20C.28D.－28．下列等式变形正确的是( ) A.如果s ＝12ab ，那么b ＝2s aB.如果12x ＝6，那么x ＝3 C.如果x －3＝y －3，那么x －y ＝0 D.如果mx ＝my ，那么x ＝y9．若-2a m b 4与5a n+2b 2m+n 可以合并成一项，则m n 的值是（ ） A.0B.1-C.1D.210．若正整数x 、y 满足(25)(25)25x y --=，则x y +等于A.18或10B.18C.10D.2611．如果a 与－3的和是0，那么a 是（ ） A.13-B.13C.－3D.312．﹣2018的相反数是（ ） A.﹣2018 B.2018C.±2018D.﹣12018二、填空题13．如图，B 处在A 处南偏西50°方向，C 处在A 处的南偏东20°方向，C 处在B 处的北偏东80°方向，则∠ACB=_____．14．在直角三角形中，一个锐角比另一个锐角的3倍还多10，则较小的锐角度数是_______．15．下列各式中，3a+4b ，0，﹣a ，am+1，﹣xy ， 1x ，x a ﹣1， 2x y +单项式有______个，多项式有_______个16．将多项式xy 3-x 2y+2x 3-5y 2按字母x 降幂排列是：______．17．2005年11月1日零时，全国总人口为130628万人，60岁及以上的人口占总人口的11.03％，则全国60岁及以上的人口用科学记数法表示约为_______万人（用计算器计算，保留3个有效数字）。

专题02数轴、相反数与绝对值压轴题十四种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一数轴的三要素及其画法】 (1)【考点二用数轴上的点表示有理数】 (3)【考点三数轴上两点之间的距离】 (4)【考点四根据点在数轴的位置判断式子的正负】 (5)【考点五数轴上的动点问题】 (7)【考点六求一个数的相反数】 (8)【考点七化简多重符号】 (9)【考点八判断是否互为相反数】 (10)【考点九利用相反数的性质，求参数的值】 (11)【考点十绝对值的意义】 (12)【考点十一化简绝对值】 (13)【考点十二绝对值非负性的应用】 (15)【考点十三利用绝对值比较负有理数的大小】 (16)【考点十四求解绝对值方程】 (17)【过关检测】 (20)【典型例题】【考点一数轴的三要素及其画法】例题：（2023·全国·七年级假期作业）以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据数轴的三要素：原点，单位长度和正方向，进行判断即可．【详解】解：∵数轴要有三要素：单位长度，原点，正方向，并且数轴上表示的数从左到右增大，∴四个选项中只有选项D符合题意，故选：D．【点睛】本题考查数轴的定义．熟练掌握数轴的三要素：原点，单位长度和正方向，是解题的关键．【变式训练】1．（2023·江苏·七年级假期作业）在下列选项中数轴画法正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】分析各选项图形是否是直线、是否有方向、单位长度是否统一，即可解答题目．【详解】解：A.各单位长度之间的距离不统一，故此选项错误，不符合题意；B.数轴为直线，可以无限延伸，故此选项错误，不符合题意；C.规定了原点、单位长度、正方向，故此选项正确，符合题意；D.没有规定正方向，故此选项错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了数轴，熟练掌握数轴是一条规定了正方向、原点、单位长度的直线是解题的关键．2．（2023秋·吉林延边·七年级统考期末）下面是四位同学画的数轴，其中正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据数轴的三要素：原点，正方向，单位长度判断所给出的四个数轴哪个正确．【详解】解：A、没有原点，故此选项错误，不符合题意；B、单位长度不统一，故此选项错误，不符合题意；C、符合数轴的概念，故此选项正确，符合题意．D、没有正方向，故此选项错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了数轴的概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴．特别注意数轴的三要素缺一不可．【考点二用数轴上的点表示有理数】12 1.514-<-<<由数轴可得12 1.5142-<-<<．【变式训练】由数轴可得：1310 2.52-<-<<<．【点睛】本题考查了有理数与数轴上点的关系，任何一个有理数都可以用数轴上的点表示，在数轴上，原______<______<______<______.按从小到大的顺序排列为：1212 3.5 2-<-<<．1【考点三数轴上两点之间的距离】【变式训练】1．（2023·江苏·七年级假期作业）数轴上数5-和14-的两点间的距离是______，与5-相距9个单位的点是______．【答案】94和14-【分析】直接根据数轴作答即可．【详解】数轴上数5-和14-的两点间的距离是()5149---=，与5-相距9个单位的点是594-+=和5914--=-，故答案为：9；4和14-．【点睛】此题考查数轴上两点之间的距离的求法，两点间的距离＝右边的点表示的数－左边的点表示的数；或者两点间的距离＝两数差的绝对值．2．（2023秋·河南洛阳·七年级统考期末）点A 、B 、C 在同一条数轴上，其中点A 、B 表示的数分别为4-、1，若2BC =，则AC 等于______．【答案】3或7/7或3【分析】根据题意求出AB ，分点C 在点B 的右侧和点C 在点B 的左侧两种情况计算．【详解】∵点A 、B 表示的数分别为4-、1，∴5AB =，第一种情况：点C 在AB 外，如图，527AC =+=；第二种情况：点C 在AB 内，如图，523AC =-=；故答案为：3或7．【点睛】本题考查了数轴的知识，灵活运用分情况讨论思想，掌握在数轴上表示两点之间的距离是解题的关键．【考点四根据点在数轴的位置判断式子的正负】例题：（2023·陕西咸阳·统考二模）如图，数轴上A B 、两点所表示的数分别为a b ，，则a b +______0．（填“>”“=”或“<”）【答案】<【分析】根据数轴先判断出a b ，的大小，再根据有理数的加法法则计算即可解决问题．【详解】解：根据数轴可得：1b <-，01a <<，∴+<，a b故答案为：<．【点睛】本题主要考查了实数与数轴的对应关系，数轴上的数右边的数总是大于左边的数，以及有理数的加法法则．【变式训练】【答案】<>【考点五数轴上的动点问题】【变式训练】1．（2023·江苏·七年级假期作业）点A表示数轴上的一个点，将点A向右移动3个单位，再向左移动5个单位，终点恰好是原点，则点A表示的数是_______．【答案】2【分析】由原点向右移动5个单位，再向左移动3个单位，即可得出点A的坐标．+-=．【详解】解：0532故点A表示的数是2．故答案为：2．【点睛】此题考查数轴，掌握点在数轴上平移的规律和对应的数的大小变化是解决问题的关键．2．（2023秋·广东佛山·七年级校考期末）如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示1-的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则圆周上表示数字___的点与数轴上表示2023的点重合．【答案】0【分析】圆周上的0点与1-重合，滚动到2023，圆滚动了2024个单位长度，用2024除以4，余数即为重合点．【详解】解：圆周上的0点与1-重合，+=，202312024÷=，20244506圆滚动了506周到2023，圆周上的0与数轴上的2023重合，故答案为：0．【点睛】本题考查了数轴，找出圆运动的规律与数轴上的数字的对应关系是解决此类题目的关键．【考点六求一个数的相反数】【考点七化简多重符号】【考点八判断是否互为相反数】【考点九利用相反数的性质，求参数的值】例题：（2023·浙江·七年级假期作业）已知23x +与5-互为相反数，则x 等于______．【答案】1【分析】根据互为相反数的两个数的和为0列式计算即可．【详解】∵23x +与5-互为相反数，∴()2350x ++-=解得1x =．故答案为：1．【点睛】本题考查了相反数的性质，熟练掌握互为相反数的两个数的和为0是解题的关键．【变式训练】1.（2023秋·湖南湘西·七年级统考期末）已知4a +与2互为相反数，那么=a ___________．【答案】6-【分析】根据相反数的定义求解即可．【详解】解：∵4a +与2互为相反数，∴420a ++=，∴6a =-，故答案为：6-．【点睛】本题主要考查了相反数的定义，熟知互为相反数的两个数和为零是解题的关键．2.（2023秋·全国·七年级专题练习）若a 、b 互为相反数，则a +b +2的值为______．【答案】2【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数，互为相反数，可知0a b +=，将其代入即可求得结果．【详解】解：∵a 、b 互为相反数，∴0a b +=，∴2022a b ++=+=，故答案为：2．【点睛】本题主要考查的是相反数的定义，整体进行代入求值是本题的主要思路．【考点十绝对值的意义】A ．aB ．bA．点A与点B之间【考点十一化简绝对值】++--化简：a a b b c【答案】22b c+(1)填空：A ，B 之间的距离为______【考点十二绝对值非负性的应用】【考点十三利用绝对值比较负有理数的大小】【考点十四求解绝对值方程】【过关检测】一、选择题1．（2023·河南信阳·校考三模）5=3-（）A．53B．53-C．53±D．35【答案】A【分析】根据绝对值的性质即可得．【详解】解：∵50 3-<，∴55 33 -=，故选：A．【点睛】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．注意，负数的绝对值等于它的相反数，正数和0的绝对值都等于它本身．2．（2023春·海南海口·九年级海口市义龙中学校考阶段练习）实数4-的相反数是（）A．4B．4-C．14D．14-【答案】A【分析】根据相反数的定义作出选择即可．【详解】解：实数4-的相反数是4，故选：A．【点睛】本题考查了相反数的定义，熟知只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答本题的关键．3．（2023·江苏·七年级假期作业）下列图形表示数轴正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据数轴的三要素原点、单位长度、正方向，来进行判断即可．【详解】解：A.从左向右的点所表示的数是依次增大，故A错误；B.符合数轴的三要素，故B正确；A ．0a b +=B ．0a b -=【点睛】本题主要考查了根据数轴上点的位置判定式子的符号，解题的关键在于能够熟练掌握数轴与数轴上点的关系．二、填空题【答案】0【分析】点B在数轴上表示的数为点【详解】解：根据题意可得：---【答案】2b a c【点睛】本题主要考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．三、解答题(1)求a b c a b c++=_______(1)观察数轴，填空：。

第二讲数轴和绝对值知识点包括：数轴、相反数以及绝对值。

知识点一、数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，原点位置的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据需要认为规定的。

例题1：判断下图中所画的数轴是否正确？如不正确，指出错在哪里？分析：原点、正方向、单位长度这数轴的三要素缺一不可。

例题2：下列结论正确的有（）个：①规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴②最小的整数是0 ③正数，负数和零统称有理数④数轴上的点都表示有理数A.0B.1C.2D.3例题3：在数轴上，表示－5的数在原点的侧，它到原点的距离是个单位长度。

课堂小结：1．数轴是非常重要的数学工具，它使数和直线上的点建立了对应关系，它揭示了数与形之间的内在联系；所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但反过来并不是数轴上的所有点都表示有理数；2．画数轴时，原点的位置以及单位长度的大小可根据实际情况适当选取，注意不要漏画正方向、不要漏画原点，单位长度一定要统一，数轴上数的排列顺序（尤其是负数）要正确。

课堂练习一：1、把下面各小题的数分别表示在三条数轴上：(1) 2， -1， 0， 3，+3.5 (2) ―5， 0， +5， 15， 20；(3) ―1500，―500， 0， 500， 1000。

2、在数轴上，表示+2的点在原点的侧，距原点个单位；表示－7的点在原点的侧，距原点个单位；两点之间的距离为个单位长度。

知识点二、相反数代数定义：只有符号不同的两个数互为相反数。

0的相反数是0。

几何定义：在数轴上原点两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的两个数互为相反数。

0的相反数是0。

例1：判断下列说法是否正确：①―5是5的相反数； ( ) ②5是―5的相反数； ( )③5与―5互为相反数； ( ) ④―5是相反数； ( )⑤正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。

( )例2：.如果a 的相反数是－2,且2x+3a=4.求x的值.课堂小结：1．只有符号不同的两个数互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0，从数轴上看，求一个数的相反数就是找一个点关于原点的对称点；2．相反数是表示具有特定关系（只有符号不同）的两个数，单独一个数不能被称为相反数，相反数是成对出现的；课堂练习二：1.如果2(x+3) 与3(1－x)互为相反数,那么x的值是 ( )A －8 Ｂ 8 C －9 D 92．若2a与1－a互为相反数，则a等于（）11 A．1 B．－1 C． D． 233.如果a 的相反数是最大的负整数,b的相反数是最小的正整数,则a+b= .4.若果 a 和 b是符号相反的两个数,在数轴上a所对应的数和 b所对应的点相距6个单位长度,如果a=－2,则b的值为 .5.若a＝6，b＝－2，c＝－4，并且a－b＋(－c)－(－d)＝1，则d的值是_________。

1.2数轴、相反数和绝对值5．数轴上两点间的距离与点表示的数之间的关系(1)数轴使数和直线上的点建立了对应关系，它揭示了数和形的内在联系．正是这种联系，使得数轴上两点之间的距离与所表示的数之间存在密切关系．(2)数轴上表示数a的点与原点之间的距离：当a为一个正数时，它与原点的距离是a个单位长度，当a是负数时，它与原点的距离是|a|个单位长度；当a 是0时，距离为0.(3)注意：到某一点距离等于a(a是正数)的点有两个，在原点的左右两侧各一个．解技巧确定数轴上两点间的距离解决此类问题的最好方法是画出数轴，并表示出所求的数，再求两点间的距离．【例5－1】如图，A，B两点在数轴上，点A对应的数为2，若线段AB的长为3，求点B对应的数是多少？分析：由于点A对应的数为2，说明它到原点的距离为2，又线段AB的长为3，则点B对应的数就很容易确定了．解：因为点A对应的数为2，又线段AB的长为3，所以点B到原点的长为1.又因为点B在原点的左边，所以点B对应的数为－1.【例5－2】已知数轴上A，B表示的数互为相反数，并且A，B两点间的距离为6个单位长度，求A，B两点表示的数(A在B的左边)．分析：互为相反数的数，位于原点的两侧，且到原点的距离相等，根据A，B的距离为6个单位长度，即可求出A，B两点表示的数．解：由点A，B表示的数互为相反数，且A，B两点间的距离为6，可知点A，B在原点的两侧，到原点距离都为3，又A在B的左边，所以A点表示－3，B 点表示3.6.运用相反数化简符号(1)理解：①在任意－个数前面添上“－”号，新的数就是原数的相反数．如：＋5的相反数表示为－(＋5)，而5的相反数就是－5，所以－(＋5)＝－5.因此运用相反数可以进行符号化简．(2)分类：简单的符号化简共有3种情况：①－(＋a )＝－a ；②＋(－a )＝－a ；③－(－a )＝a .(3)延伸：①－＝－a ；－＝a 等．②－0＝0，表示0的相反数是0.多重符号的结果是由“－”号的个数决定的，与“＋”号无关，据此可以对带有多重符号的数进行化简．化简时“＋”号的个数不影响结果，可省去；而“－”号的个数是偶数个时也可全部省去，奇数个时，结果保留一个“－”号即可．【例6－1】 填空：(1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫－127的相反数是__________； (2)如果－x ＝＋(－80.5)，那么x ＝__________.解析：(1)∵－⎝ ⎛⎭⎪⎫－127＝127，因此此题实际上是求127的相反数，∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫－127的相反数是－127；(2)是已知x 的相反数求原数x 的问题，∵－x ＝＋(－80.5)＝－80.5，∴x ＝80.5.答案：(1)－127 (2)80.5【例6－2】 化简下列各符号：(1)－；(2)＋{－}；(3)－{－{－…－(－6)…}}(共n 个负号)．分析：化简的法则是：结果的符号与负号的个数有关，有偶数个负号时，结果为正；有奇数个负号时，结果为负．解：(1)－2；(2)5；(3)当n 为偶数时，为6；当n 为奇数时，为－6.7.绝对值的化简和计算化简绝对值符号主要根据绝对值的非负性，解题时看清楚“－”号在绝对值符号的里面还是外面．如果“－”号在绝对值符号的里面，化简时把“－”号去掉；如果“－”号在绝对值符号的外面，化简时不能把“－”号去掉．解技巧 准确化简绝对值符号化简绝对值符号的关键是判断绝对值符号内的数是正数、负数或是0.【例7】 化简：(1)－⎪⎪⎪⎪⎪⎪－23； (2)＋|－24|；(3)⎪⎪⎪⎪⎪⎪－⎝ ⎛⎭⎪⎫＋312； (4)|－(－7.5)|.分析：先判断绝对值符号内数的符号，再求绝对值．解：(1)－⎪⎪⎪⎪⎪⎪－23＝－23； (2)＋|－24|＝24；(3)⎪⎪⎪⎪⎪⎪－⎝ ⎛⎭⎪⎫＋312＝312； (4)|－(－7.5)|＝7.5.8.字母表示的数的绝对值的求法应用因为用字母所表示的数既可以是正数也可以是负数，还可以是0.它具有不确定性，而求绝对值首先要考虑的就是符号，因此求字母表示的数的绝对值时，必须考虑题目中给定的条件，若有限定条件，就按限定条件求出，若没有限定条件，则要分正、负、0三种情况讨论．解技巧 求字母表示的数的绝对值(1)限制型逆用求法，如：|a |＝6，那么a ＝±6；(2)开放型分类讨论求法：如求|x |＋x 的值，当x ＞0时，|x |＝x ，所以|x |＋x ＝x ＋x ＝2x ，当x ＜0时，|x |＝－x ，原式＝0，当x ＝0时，原式＝0；(3)化简型求法：如：|a |＝|－8|，|－a |＝|－8|，|－a |＝|8|都能化为|a |＝|8|＝8解决．【例8－1】已知a＝－5，|a|＝|b|，则b的值等于()．A．＋5B．－5C．0 D．±5解析：因为a＝－5，所以|a|＝5.所以|b|＝5.所以b＝±5.注：本题常见的思维误区是由|a|＝|b|推出a＝b，错选 B.事实上，由|a|＝|b|，可得b＝±a，所以b＝a或b＝－a，即b＝5或b＝－5.答案：D【例8－2】下面推理正确的是()．A．若|m|＝|n|，则m＝nB．若|m|＝n，则m＝nC．若|m|＝－n，则m＝nD．若m＝n，则|m|＝|n|解析：A中若|m|＝|n|，则m＝±n；B中若|m|＝n(n一定是非负数)，则m＝±n，例如|±2|＝2，此时m＝±2，n＝2，显然m＝±n；C中若|m|＝－n，则m＝n 或m＝－n，例如|±3|＝－(－3)(n一定是非正数)，此时m＝±3，n＝－3，所以m ＝±n.答案：D9．利用数轴解决生活中的实际问题本节知识常与运动问题结合在一起，利用数形结合将运动问题解决．这种利用数形结合解决问题的方法是中考考查的热点题型之一．数轴是一种数学工具，它使数和数轴上的点建立了对应关系，运用数轴可以直观表示点的移动，正确找出数在数轴上的对应点，会由数轴上的点的位置确定对应的数，是解决这类问题的关键．解题时，通常根据题意正确地画出数轴，在选取长度单位时，要根据题目中的实际情况来确定，再在数轴上表示点的移动过程，用箭头和竖线来表示．【例9】超市、书店、玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，超市在书店西边20米处，玩具店位于书店东边50米处．小明从书店出来沿街向东走了50米，接着又向东走了－80米，此时小明的位置在何处？在数轴上标出超市、书店、玩具店的位置以及小明最后的位置．分析：书店处于超市和玩具店之间，且书店与玩具店之间的距离是50米，书店与超市之间的距离是20米，这样可以画出数轴，即可表示出小明最后的位置．解决点的移动问题，可画出数轴，在数轴上表示点的移动，关键是确定原点，最后的点相对于原点来说，若在原点的右侧，表示的是正数，若在原点的左侧，则表示的是负数．解：根据题意可以画出如图所示的数轴，小明位于超市西边10米处．10.利用绝对值解决实际问题绝对值的产生来源于实际问题的需要，反过来又可以运用它解决一些实际问题．利用绝对值求距离路程问题中，当出现用“＋”、“－”号表示带方向的路程，求最后实际路程时，实际上是求绝对值的和．方法：①求各个数的绝对值；②求所有数的绝对值的和；③写出答案．【例10】一天上午，出租车司机小王在东西走向的中山路上营运，如果规定向东为正，向西为负，出租车的行车里程如下(单位：千米)：＋15，－3，＋12，－11，－13，＋3，－12，－18，请问小王将最后一位乘客送到目的地时，共行驶了多少千米？分析：本题是绝对值意义在实际问题中的具体应用，有理数中的“＋”和“－”在本题中表示的是方向，而它们的绝对值是小王在营运中所行驶的路程，因此求共行驶的路程应是每次行车里程绝对值之和．解：|＋15|＋|－3|＋|＋12|＋|－11|＋|－13|＋|＋3|＋|－12|＋|－18|＝15＋3＋12＋11＋13＋3＋12＋18＝87(千米)．答：小王将最后一位乘客送到目的地时共行驶了87千米．。

数轴与绝对值一、绝对值定义：正数的绝对值是这个正数本身，负数的绝对值是这个负数的相反数，零的绝对值是零。

也就是说：一个数的绝对值是按照这个数的符号情况，来分类决定的。

如果用字母a 表示这个数，那么用式子来表示就是：)0()0(0000a a a a a a a aaa a 它本身，所以，因为零的相反数就是时），（当时），（当时），（当即：零和正数的绝对值是它本身，零和负数的绝对值是它的相反数。

这里，a 表示什么？如果它是2，结果怎样？如果是-3呢？如果是x -2呢？如果没有告诉你x 的取值范围，那么该如何化简2x ？（示例）。

）；（）解方程：（例x x x x 21212111.1解：（1）略；（2）当x + 1 < 0，即x < - 1 时，原方程为– (x + 1) = 2x ，x =31；当x + 1 ≥0，即x ≥ - 1 时，原方程为x + 1 = 2x ，x = 1，∴原方程的根是x 1 = 31, x 2 = 1 。

指导学生：①分析解题依据及步骤；②检查答案（2）的正确性。

既然已经发现答案是错误的，那么可以肯定解答过程有误，请找出错误。

指导语：在解这类含有绝对值的方程（或不等式）时，应注意：（1）需根据绝对值符号内的整体内容的符号来决定将绝对值符号去掉后的内容，是原来的，还是其相反数。

也就是说，要根据绝对值符号内的整体的“零点”情况来划分自变量的取值范围，对方程（或不等式）进行分类讨论。

（2）要注意检查相应的“解”是否在相应讨论的数的范围之内。

（3）当方程（或不等式）中含有多个绝对值时，应该针对所有的“零点”来划分自变量的取值区间，对方程（或不等式）进行分类讨论。

例2.解方程：|x - 2|+|x + 3| = 6 .二、绝对值与相反数的几何意义1.绝对值：|a| ←→数轴上，和数a对应的点与原点之间的距离。

某数的绝对值越大，则在数轴上，与该数对应的点与原点之间的距离就越大；反之，在数轴上，若某一点距原点越近，那么与之对应的数的绝对值就越小。

初一数学数轴和绝对值知识点总结知识点考点一数轴的概念及画法数轴：画一条直线，在直线上取一点表示，这个点叫做；选取某一长度作为；规定直线上的方向为正方向，就得到下面的数轴，如图所示.注意：(1)数轴是一条直线，可以向两边；(2)数轴的三要素：、、，三者缺一不可；(3)“规定”二字，就是说的选定、的选取、大小的确定，都是根据实际需要而“规定”的.数轴的画法：(1)先画一条直线（一般画成水平方向的直线，但不是说必须是水平方向）；(2)确定正方向（通常取向右为正方向，实际选取正方向是任意的），用箭头表示出来；(3)在直线上任意取一点为原点（通常取图上适中的位置，若所需的都是正数，则可偏向左边），用0表示出来.(4)选取适当的单位长度（单位长度根据实际情况而定），从原点向左每隔一个单位长度在直线上取一个点，依次表示为-1，-2，-3，…，从原点向右每隔一个单位长度在直线上取一个点，依次表示为1,2,3，….考点二数轴上的点与有理数的关系任何有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理数.考点三在数轴上表示有理数的大小数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的 .比较法则：正数 0，负数 0，正数负数.考点四相反数的概念及意义相反数的代数定义：如果两个数只有不同，那么称其中一个数为另一个数的，也称这两个数 .特别地，0的相反数是 .注意：(1)相反数总是成对出现，不能单独存在.(2)对于“两个数只有符号不同”中的“只有”指的是除了符号不同外，其他完全相同.例如：-1和+2，符号不同，但它们相反数.(3)相反数等于它本身的数个，是 .(4)如果a，b互为相反数，那么a+b=；反之，也成立.相反数的几何意义：在数轴上，位于原点的，且到原点的距离的两个点所表示的数互为相反数.相反数的表示法：在一个数前面添上一个“”号就表示这个数的 .一般地，数a 的相反数是 .这里的a是任意的有理数，可以是正数、负数或零.考点五绝对值的意义定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点之间的叫做这个数的绝对值.数a的绝对值记作“”，读作“”.从几何意义上看，一个数的绝对值是，所以绝对值为负数.一个数的绝对值与这个数的关系：正数的绝对值是；负数的绝对值是；0的绝对值是 .总结：(1)若|a|=a，则a 0；若|a|=−a，则a 0.(2)任何一个有理数的绝对值都是一个数.(3)绝对值等于一个正数的数有个，这两个数 .(4)互为相反数的两个数的绝对值 .考点六绝对值的非负性任何一个数的绝对值为负数，即|a| 0.这里的a可以是，也可以是，还可以是 .绝对值最小的有理数是 .考点七两个负数大小的比较法则因为两个负数在数轴上的位置关系是：绝对值较大的负数一定在绝对值较小的负数的，所以，两个负数比较大小，绝对值大的反而 .比较两个负数的大小的步骤是：(1)先分别求出两个负数的；(2)比较两个 ；(3)根据“ ”作出正确的判断.题型一 数轴的画法【例1】在下图中，表示数轴正确的是（ ）【过关练习】1.下列各图中，所画数轴正确的是（ ）2.下列说法中，错误的是（ ）A.在数轴上，原点位置的确定是任意的B.在数轴上，正方向可以是从原点向右，也可以是从原点向左C.在数轴上，确定单位长度时可根据需要任意选取D.数轴是规定了原点、正方向、单位长度的直线题型二 有理数与数轴上的点【例1】下列语句： 数轴上的点只能表示整数； 数轴是一条线段；●数轴上的一个点只能表示一个数；❍数轴上找不到既不表示正数，又不表示负数的点；⏹数轴上的点所表示的数都是有理数.其中正确的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个【例2】画一条数轴，并在数轴上表示下列各数：-3，-1.5，-0.5,0,1,212,4，−223.【例3】点A 表示的数为-2，当点A 沿数轴移动4个单位长度时，它表示的数是（ ）A.2B.2或-6C.-6D.不同于以上答案【例4】如图，已知数轴上的点A ，B ，C ，D 分别表示数-2,1,2,3，则表示3−223的点P 应落在线段（ ）A.AO 上B.OB 上C.BC 上D.CD 上【过关练习】1. 画一条数轴，并在数轴上表示下列各数：-3.5，-2，-0.5,0,1.5,223,4，−212.2.如图，分别用数轴上的点A ,B ,C ,D 表示数，正确的是（ ）A.点D 表示-2.5B.点C 表示-1.25C.点B 表示1.5D.点A 表示1.253. 在数轴上，一点从原点开始，先向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度后到达终点，这个终点表示的数是（ ）A.5B.1C.-1D.-5 4. 如图，在数轴上一动点A 先向左移动2个单位长度到达点B ，再向右移动5个单位长度到达点C ，若点C 表示的数为1，则点A 表示的数为（ ）A.7B.3C.-3D.-25. 在数轴上一点A 表示数-2.(1)若数轴上的原点改在表示数-1的点的位置，那么点A 应表示什么数？(2)现在改变了数轴的单位长度，原来的一个单位长度表示10个单位长度，A 点又表示什么数？题型三求相反数【例1】 (1)分别写出−412，334的相反数.(2)指出-3.1和-p各是什么数的相反数.【例2】如图，所表示的数互为相反数的点是（）A.点A与点CB.点B与点DC.点B与点CD.点A与点D【过关练习】1. 下列说法： m与-m互为相反数，因此它们一定不相等； 相反数等于它本身的数只有0；●正数和负数互为相反数；❍负数的相反数是正数；⏹ a的相反数一定是负数.其中正确的个数是（）A.1B.2C.3D.42. 设a是有理数，则-a与|a|的和为（）A.可能是负数B.不可能是负数C.只可能是负数D.只能是03. (1)写出下列各数的相反数，并将这些数连同它们的相反数在数轴上表示出来；(2)说明各对数在数轴上的位置特点.+2，−3，0，−(−1)，−312，−(+2)题型四求绝对值【例1】如图，点A所表示的有理数的绝对值是（）A.-1B.1C.±1D.以上都不对【例2】已知数轴上的点A为-2，那么在数轴上到A点的距离是3的点所表示的数是（）【例3】已知|a |=-a ，则a 的值是（ ）A.正数B.负数C.非正数D.非负数【例4】已知|x −5|+|3−y |=0，求x ，y 的值.【过关练习】1.下列说法中： 一个数的绝对值越大，这个数越大； 一个正数的绝对值越大，这个数越大；●一个数的绝对值越小，这个数越大；❍一个负数的绝对值越小，这个数越大.其中正确的是（ ）A.1B.2C.3D.42. (1)绝对值不大于π的整数有 .(2)已知|x −28|=0，则x = .3. a 是最小的正整数，b 是最大的负整数，c 是绝对值最小的有理数，则a ，b ，c 三数之和是 .4. 若|a −1|=a −1，则a 的取值范围是 .5. 已知|a −3|+|2b −8|+|c −2|=0，求a +3b −c 的值.题型五 利用数轴和绝对值比较有理数大小【例1】在数轴上表示下列各数，并用“＜”将这些数连接起来：-3，−23,1,0，+4.5，-1.5，113.【例2】在数-3,2,0,3中，大小在-1和2之间的数是（ ）【例3】利用绝对值比较下列每组数的大小：(1)−1011与−1112(2)−19与−0.7(3)−12，−13，14【例4】已知a为正数，b为负数，且|a|＜|b|，比较a,b,−a,−b的大小.【过关练习】1.有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则a b（填“＞”“＜”“＝”）.2. 以下四个选项表示某天四个城市的平均气温，其中平均气温最低的是（）A.-3℃B.15℃C.-10℃D.-1℃3.把下列各数在数轴上表示出来，再按从大到小的顺序用“＞”把数连接起来.-0.5,-2,0,4，324. 已知有理数a，b在数轴上的位置如图，下列结论错误的是（）A.|a|<1<|b|B.1<−a<bC. 1<|a|<bD.−b<a<−15. 数轴上有四个点A,B,C,D，它们与原点的距离分别为1,2,3,4个单位长度，且点A,C在原点左边，点B,D在原点右边.(1)请写出点A,B,C,D分别表示的数；(2)比较四个数的大小，并用“＞”连接.题型六解决实际问题【例1】将长度为2个单位的木棒放在数轴上，最多能覆盖个表示整数的点，最少能覆盖个表示整数的点.【例2】超市、书店、玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，超市在书店西边20米处，玩具店位于书店东边50米处.小明从书店出来沿街向东走了50米，接着又向东走了-80米，此时小明的位置在何处？在数轴上标出超市、书店、玩具店的位置，以及小明最后的位置.【例3】某天出租车司机小王驾车在南北走向的公路上行驶，从某一地点出发，若规定向南为正，向北为负，他这天上午的行程记录如下（单位：km）+2，-6，+4，-7，+12，+8，-9，-10，+5.若汽车每行驶1km 耗油0.8L，请你计算一下小王驾驶的汽车这天上午共耗油多少升？【过关练习】个单位长度的线段，则此线段在数轴上最多能覆盖住的整数点的个数为1. 在数轴上任取一条长为201613（）A.2017B.2016C.2015D.20142.检验4个工件，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的工件是（）A.-2B.-3C.3D.53. 某同学在做数学作业时，不小心将墨水洒在所画的数轴上，如图，被墨水污染部分的整数有个.4. 小明、小兵、小颖三人的家和学校在同一条东西走向的大街上，星期天老师到这三家进行家访，从学校出发先向东走250m到小明家，后又向东走350m到小兵家，再向西行800m到小颖家，最后又回到学校.(1)以学校为原点，画出数轴并在数轴上分别表示出小明家、小兵家、小颖家的位置.(2)小明家距离小颖家多远？(3)这次家访，老师共行了多少千米的路程？5.足球比赛中，对所用的足球有严格的规定，下表是5个足球的质量检测结果（用正数表示超过标准质量的克数，用负数表示不足标准质量的克数）..课后练习【补救练习】1.-15的相反数是（）A.15B.-15C.±15D.1152. 在-4,2，-1,3这四个数中，比-2小的数是（）A.-4B.2C.-1D.33.数a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，在这四个数中，绝对值最大的是（ ）A.aB.bC.cD.d4. 数轴上的点A 对应的数是-2，点B 对应的数是3，则A ，B 两点之间的距离是 .5.把下列各数用“＞”连接起来：−|412|，32，0.7，−0.7，23，|−5|，−4.2，0.6.比较下列各组数的大小.(1)-6,-2； (2)-2.5,1； (3)−13，−14； (4)-10,0；(5)-7,2，-2；(6)1.8，-3.1，-5.6.7.由图回答问题： (1)A ，C 两点间的距离是多少？C ，D 两点间的距离是多少？(2)若数轴取B 点为原点，其他条件不变，则点A ，C ，D 表示的数各是什么？8. a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，下列说法正确的是（ ）A.a ，b ，c 都表示正数B.a ，b ，c 都表示负数C.a，b表示正数，c表示负数D.a，b表示负数，c表示正数9.a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，又|a|=3，|b|=4，|c|=3.求a，b，c.4【巩固练习】1.下列说法正确的是（）A.一个数的绝对值一定比0大B.一个数的相反数一定比它本身小C.绝对值等于它本身的数一定是正数D.最小的正整数是12. 在数轴上，A点和B点所表示的数分别是-1和1，若使A点表示的数是B点表示的数的2倍，则点A （）A.向左移动3个单位长度B.向右移动3个单位长度C.向左移动5个单位长度D.向右移动5个单位长度3. 在数轴上表示数-1和2014的两点分别为A和B，则A，B两点之间的距离为（）A.2013B.2014C.2015D.20164.数轴上，点A表示的数是-1，把点A向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度得到点B，则点B表示的数是 .5.如图，四个有理数在数轴上的对应点为M，P，N，Q，若点M,N表示的有理数互为相反数，则图中表示到原点的距离最小的点是（）A.点MB.点NC.点PD.点Q6.已知|15−a|+|b−12|=0,求2a−b+7的值.7. 如图所示，在数轴上有三个点A、B、C，怎样移动其中的两个点，才能使三个点表示的数相同？8.老师不小心把墨水洒在了如图所示的数轴上，你能帮助他把这条数轴补充完整吗？并在补好的数轴上标出你喜欢的一个正整数、一个正分数、一个负整数、一个负分数.9.某供电站工作人员乘车检修供电线路，向南记为正，向北记为负.某天自供电站出发，他的行程记录如下（单位：km）：+12，-5，+3，-3，-7，+11，-2，+9，+4，-8.若汽车每千米耗油0.09L，问共耗油多少升？10.如图所示，已知在纸面上有一数轴.操作一：(1)折叠纸面，使表示1的点与表示-1的点重合，则表示-2的点与表示的点重合.操作二：(2)折叠纸面，使表示-1的点与表示3的点重合，回答以下问题：表示5的点与表示的点重合；若数轴上A，B两点之间的距离为9（A在B的左侧），且A，B两点折叠后重合，求A，B两点表示的数.11.一条直线流水线上依次有5个机器人，它们站的位置在数轴上依次用点A1，A2，A3，A4，A5表示，如图所示.(1)怎样将点A3移动，使它先到达点A2再到达点A5，请用文字语言说明.(2)若原点是零件供应点，那5个机器人分别到达供应点取货的总路程是多少？(3)将零件的供应点设在何处，才能使5个机器人分别到达供应点取货的总路程最短？【拔高练习】1.数轴上A点表示的数为-5，B点表示的数的绝对值为7，C点表示的数与A点表示的数互为相反数，则点B与点C之间的距离是 .2.(1)式子|m−3|+6的值随m的变化而变化，当m为何值时，|m−3|+6有最小值？(2)当a为何值时，式子8−|2a−3|有最大值？最大值是多少？(3)当a为何值时，|1−a|+2的有最小值？并求这个最小值.(4)当a为何值时，2−|4−a|有最大值？并求这个最大值.3.已知数轴上有两点M、N，它们分别表示互为相反数的两个数m、n（其中m>n），并且M、N两点间的距离为10，求m、n两数.4.如图是一个正方体纸盒的展开图，若在其中3个正方形A,B,C内分别填入适当的数，使得它折成正方体后相对的面上的两个数互为相反数，则填入正方形A,B,C的三个数是多少？5. 探究：(1) 当a>0时，a−a；当a=0时，a−a；当a<0时，a−a.的大小关系.(2)请仿照(1)方法比较a和1a。

数轴【知识点1】数轴的概念规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.注:（1）规定直线上向右的方向为正方向。

（1） 数轴三要素：原点、正方向、单位长度。

【例1】下列五个选项中,是数轴的是（ ）A。

B 。

。

D 。

E.【知识点2】数轴上的点与有理数的关系所有有理数都可以用数轴上的点来表示，0表示原点,正有理数可以用原点右边的点表示，负有理数可以用原点左边的点表示。

但反过来,不能说数轴上的所有点都表示有理数。

【例2】如图，数轴上的点A 、B 、C 、D 分别表示什么数？【知识点3】相反数的概念（1） 几何定义：在数轴上，原点两旁离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数；如图所示1和-1（2） 代数定义:只有符号不同的两个数,我们说其中一个数是另一个数的相反数,也称这两个数互为相反数。

特别地，0的相反数为0。

【例3】(1）21的相反数是 ；一个数的相反数是7 ,则这个数是 。

（2）分别写出下列A 、B 、C 、D 、E 各点对应有理数的相反数【知识点4】利用数轴比较有理数的大小在数轴上表示的数,右边的数总是比左边大；正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数.【例4】a 、b 为两个有理数，在数轴上的位置如图所示，把a 、b 、—a 、—b 、0按从小到大的顺序排列出来。

0 1 2 -1 -2 3 0 1 -1 2 1 0 1 -1 0 1 -1 0 1 2 -2 -1 30 1 -1变式：已知a 〉b 〉0，比较a ，-a ，b,-b 的大小。

【基础练习】一、判断1、在有理数中，如果一个数不是正数，则一定是负数. ( ）2、数轴上有一个点，离开原点的距离是3个单位长度，则这个点表示的数一定是3 ( ）3、已知数轴上的一个点,表示的数为3，则这个点到原点的距离一定是3个单位长度。

（ ）4、已知点A 和点B 都在同一条数轴上，点A 表示3,又知点B 和点A 相距5个单位长度，则点B 表示的数一定是8。

题目：七年级上册数学绝对值和数轴知识点题型正文：一、绝对值的概念绝对值是指一个数到0的距离，表示为|a|，其中a可以是任意实数。

其定义如下：当a≥0时，|a|=a；当a<0时，|a|=-a。

二、绝对值的性质1. |a|≥0，且当且仅当a=0时，|a|=0；2. |ab|=|a|*|b|；3. |a+b|≤|a|+|b|。

三、求绝对值1. 当a是正数时，|a|=a；2. 当a是负数时，|a|=-a。

四、数轴上的绝对值数轴是一个直线，上面标志了各种数，以0为中心，向右是正数，向左是负数。

绝对值可以表示在数轴上的距离。

五、绝对值的表示1. 当数轴上的点A和原点O之间的距离为|a|时，其坐标表示为±a；2. 如果点A在原点的右边，其坐标表示为+a；3. 如果点A在原点的左边，其坐标表示为-a。

六、数轴上的距离计算1. 若有两个数a和b，则它们在数轴上的距离为|a-b|。

七、求解绝对值的题型1. 计算绝对值，如|5|、|-6|等；2. 解绝对值不等式，如|2x-1|<5等；3. 解绝对值方程，如|3x+2|=8等；4. 判断关于绝对值的真假，如|2x-5|=8是否成立等；5. 综合运用绝对值和数轴解题。

总结：数学中的绝对值和数轴是七年级上册学习的重要知识点，掌握好这些知识对于学生的数学学习和思维能力的提升非常有益。

在解题过程中，要灵活运用绝对值的概念和性质，合理利用数轴，加强练习，提高解题的有效性和准确性。

希望同学们能够通过系统的学习和练习，掌握绝对值和数轴的知识，提高数学水平，取得优异的成绩。

在学习数学的过程中，绝对值和数轴的概念是十分重要的基础知识。

通过对绝对值和数轴的深入学习，学生能够更好地掌握数学的基本概念，并且为将来更高阶段的数学学习打下坚实的基础。

接下来，我们将继续扩展讨论七年级上册数学中关于绝对值和数轴的知识点题型。

八、绝对值不等式的解法绝对值不等式是指含有不等号且绝对值表达式的方程。

数轴、相反数、绝对值知识点一、数轴1、数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．2、数轴三要素：原点、正方向、单位长度3、数轴的画法：①在平面内画一条直线；②标出原点；③用一定的长度作为单位长度，左边和右边标出数字4、数轴上的点的意义：一般地，设a是一个正数，则数轴上表示a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示－a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。

注意：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示。

知识点二、相反数1、相反数的代数概念：只有符号不同的两个数称互为相反数。

0的相反数是0.2、相反数的几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个数分别位于原点两侧，且与原点的距离相等。

说明：（1）相反数是指只有符号不同的两个数;（2）相反数是成对出现的，不能单独存在，因而不能说“-6是相反数”。

特别强调的是0的相反数为0，因为0既不是正数，也不是负数，它到原点的距离就是0，这是相反数等于本身的唯一的数。

规定:在任何一个数的前面添上一个"+"号,表示这个数本身;添上一个"-"号,就表示这个数的相反数.一般地，数a的相反数是－a，其中a可是正数和负数和0．注意：a不一定是正数，同样－a也不一定是负数。

3、“-”号的三种主要意义：① 性质符号：写在一个数值的前面，表示这个数是负数. 比如，-5表示“负5”这个负数，在这里的“-”号就是表示负数的一种符号，它表明“-5”的性质是负数.② 相反数符号：表示一个数的相反数时，我们常在这个数的前面添上“-”号.③ 运算符号：知识点三、绝对值1、绝对值的定义：我们把在数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值)。

记作|a|。

2、绝对值的一般规律：① 一个正数的绝对值是它本身；② 0的绝对值是0；③ 一个负数的绝对值是它的相反数。

即：①若a ＞0，则|a|=a ； ②若a ＜0，则|a|=–a ； 或写成：)0()0()0(0<=>⎪⎩⎪⎨⎧-=a a a a a a 。

绝对值与数轴1．当a≠0时，请解答下列问题：（1）求的值；（2）若b≠0，且，求的值．2．已知数轴上三点A，O，B表示的数分别为﹣3，0，1，点P为数轴上任意一点，其表示的数为x．（1）如果点P到点A，点B的距离相等，那么x=；（2）当x=时，点P到点A，点B的距离之和是6；（3）若点P到点A，点B的距离之和最小，则x的取值范围是；（4）在数轴上，点M，N表示的数分别为x1，x2，我们把x1，x2之差的绝对值叫做点M，N 之间的距离，即MN=|x1﹣x2|．若点P以每秒3个单位长度的速度从点O沿着数轴的负方向运动时，点E以每秒1个单位长度的速度从点A沿着数轴的负方向运动、点F以每秒4个单位长度的速度从点B沿着数轴的负方向运动，且三个点同时出发，那么运动秒时，点P到点E，点F的距离相等．3．已知|a|=3，|b|=2且|a﹣b|=b﹣a，求a+b的值．4．在数轴上表示a，0，1，b四个数的点如图所示，已知O为AB的中点．求|a+b|++|a+1|的值．5．如图，数轴上的三点A，B，C分别表示有理数a，b，c，化简|a﹣b|﹣|a+c|+|b﹣c|．6．已知a+b+c=0，其中a＞0，c＜0且|a|＜|c|，请根据绝对值的意义化简：（1）=，=；（2）请分析b的正负性，并求出++的值．7．已知|a﹣1|=9，|b+2|=6，且a+b＜0，求a﹣b的值．8．已知点A在数轴上对应的数是a，点B在数轴上对应的数是b，且|a+4|+（b﹣1）2=0．现将A、B之间的距离记作|AB|，定义|AB|=|a﹣b|．（1）2018b+a的值；（2）|AB|的值；（3）设点P在数轴上对应的数是x，当|PA|﹣|PB|=2时，求x的值．9．有理数a、b、c在数轴上的位置如图：（1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c0，a+b0，c﹣a0．（2）化简：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|．10．若﹣1＜x＜4，化简|x+1|+|4﹣x|．11．已知a ，b ，c 都不等于零，且++﹣的最大值是m ，最小值为n ，求的值．12．已知A 、B 在数轴上分别表示a 、b ．（1）对照数轴填写下表：（2）若A 、B 两点间的距离记为d ，试问d 和a 、b （a ＜b ）有何数量关系； （3）写出数轴上到﹣1和1的距离之和为2的所有整数；（4）若点C 表示的数为x ，代数式|x +1|+|x ﹣2|取最小值时，相应的x 的取值范围是 ，此时代数式|x +1|+|x ﹣2|的最小值是 ． 13．将下列各数填在相应的集合里．﹣，9，0，+4.3，|﹣0.5|，﹣（+7），18%，（﹣3）4，﹣（﹣2）5，﹣62 正有理数集合：{ …}； 正分数集合：{ …}； 负整数集合：{ …}； 自然数集合：{ …}． 14．把下列各数填入表示它所在的数集的大括号： ﹣2.4，3，21.08，0，﹣100，﹣（﹣2.28），﹣，﹣|﹣4|，正有理数集合：{ } 负有理数集合：{ } 整数集合：{ } 分数集合：{ }．15．阅读：因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以，当a≥0时，|a|=a，当a≤0时，|a|=﹣a．根据以上阅读完成：（1）|3.14﹣π|=；（2）计算：|﹣|+|﹣|+|﹣|+…+|﹣|16．已知a、b表示两个不同点A、B的有理数，且|a|=5，|b|=2，它们在数轴的位置如图所示．（1）试确定a、b的数值．（2）表示a、b两数的点相距多远？（3）若C点在数轴上，C点到A点的距离是C点到B点距离的3倍，求C点表示的数．17．若|x|=3，|y|=6，且xy＜0，求2x+3y的值．18．阅读：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|=|a ﹣b|．理解：（1）数轴上表示2和﹣4的两点之间的距离是；（2）数轴上表示x和﹣6的两点A和B之间的距离是；应用：（1）当代数式|x﹣1|+|x+2|取最小值时，相应的x的取值范围，最小值为；（2）当x≤﹣2时，代数式|x﹣1|﹣|x+2|的值3（填写“≥、≤或=”）．19．如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为﹣10，OB=3OA，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向右运动．点N以每秒2个单位长度的速度从点O向右运动（点M、点N同时出发）（1）数轴上点B对应的数是．（2）经过几秒，点M、点N分别到原点O的距离相等？20．已知小华家、小夏家、小红家及学校在同一条大路旁，一天，他们放学后从学校出发，先向南行1000m到达小华家A处，继续向北行3000m到达小红B家处，然后向南行6000m 到小夏家C处．（1）以学校以原点，以向南方向为正方向，用1个单位长度表示1000m，请你在数轴上表示出小华家、小夏家、小红家的位置；（2）小红家在学校什么位置？离学校有多远？21．已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为﹣1，0，3，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．（1）MN的长为；（2）如果点P到点M、点N的距离相等，那么x的值是；（3）数轴上是否存在点P，使点P到点M、点N的距离之和是8？若存在，直接写出x的值；若不存在，请说明理由．（4）如果点P以每分钟1个单位长度的速度从点O向左运动，同时点M和点N分别以每分钟2个单位长度和每分钟3个单位长度的速度也向左运动．设t分钟时点P到点M、点N 的距离相等，求t的值．22．如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看到终点表示的数是﹣2．已知点A，B是数轴上的点，请参照图并思考，完成下列各题．（1）若点A表示数﹣2，将A点向右移动5个单位长度，那么终点B表示的数是，此时A，B两点间的距离是．（2）若点A表示数3，将A点向左移动6个单位长度，再向右移动5个单位长度后到达点B，则B表示的数是；此时A，B两点间的距离是．（3）若A点表示的数为m，将A点向右移动n个单位长度，再向左移动t个单位长度后到达终点B，此时A、B两点间的距离为多少？23．在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东记为正，向西记为负，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：14，﹣9，+8，﹣7，+13，﹣6，+12，﹣5．（1）请你帮忙确定B地相对于A地的位置；（2）若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？24．已知：数轴上点A表示的数是8，点B表示的数是﹣4．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左运动，动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左运动．P，Q两点同时出发．（1）经过多长时间，点P位于点Q左侧2个单位长度？（2）在点P运动的过程中，若点M是AP的中点，点N是BP的中点，求线段MN的长度．25．已知，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动7cm到达A点，再从A点向右移动12cm 到达B点，把点A到点B的距离记为AB，点C是线段AB的中点．（1）点C表示的数是；（2）若点A以每秒2cm的速度向左移动，同时C、B点分别以每秒1cm、4cm的速度向右移动，设移动时间为t秒，①点C表示的数是（用含有t的代数式表示）；②当t=2秒时，求CB﹣AC的值；③试探索：CB﹣AC的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．26．如图，已知数轴上的点A表示的数为6，点B表示的数为﹣4，点C是AB的中点，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为x秒（x ＞0）．（1）当x=秒时，点P到达点A．（2）运动过程中点P表示的数是（用含x的代数式表示）；（3）当P，C之间的距离为2个单位长度时，求x的值．27．如图，点A、B都在数轴上，O为原点．（1）点B表示的数是；（2）若点B以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，则2秒后点B表示的数是；（3）若点A、B分别以每秒1个单位长度、3个单位长度的速度沿数轴向右运动，而点O不动，t秒后，A、B、O三个点中有一个点是另外两个点为端点的线段的中点，求t的值．28．已知数轴上的点A和点B之间的距离为32个单位长度，点A在原点的左边，距离原点5个单位长度，点B在原点的右边．（1）点A所对应的数是，点B对应的数是；（2）若已知在数轴上的点E从点A出发向左运动，速度为每秒2个单位长度，同时点F从点B出发向左运动，速度为每秒4个单位长度，在点C处点F追上了点E，求点C对应的数．29．如图，点A、B都在数轴上，且AB=6（1）点B表示的数是；（2）若点B以每秒2个单位的速度沿数轴向右运动，则2秒后点B表示的数是；（3）若点A、B都以每秒2个单位沿数轴向右运动，而点O不动，t秒后有一个点是一条线段的中点，求t．30．已知如图，在数轴上有A，B两点，所表示的数分别为﹣10，﹣4，点A以每秒5个单位长度的速度向右运动，同时点B以每秒3个单位长度的速度也向右运动，如果设运动时间为t秒，解答下列问题：（1）运动前线段AB的长为；运动1秒后线段AB的长为；（2）运动t秒后，点A，点B运动的距离分别为和；（3）求t为何值时，点A与点B恰好重合；（4）在上述运动的过程中，是否存在某一时刻t，使得线段AB的长为5，若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．31．根据题意设未知数，并列出方程（不必求解）．（1）有两个工程队，甲队人数30名，乙队人数10名，问怎样调整两队的人数，才能使甲队的人数是乙队人数的7倍．（2）有一个班的同学准备去划船，租了若干条船，他们计算了一下，如果比原计划多租1条船，那么正好每条船坐6人；如果比原计划少租1条船，那么正好每条船坐9人．问这个班共有多少名同学？32．A，B两地相距2400米，甲、乙两人分别从A，B两地同时出发相向而行，乙的速度是甲的2倍，已知乙到达A地15分钟后甲到达B地．（1）求甲每分钟走多少米？（2）两人出发多少分钟后恰好相距480米？33．在一次有12个队参加的足球循环赛中（每两队之间比赛一场），规定胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分，某队在这次循环赛中所胜场数比所负场数多2场，结果共积19分，问：该队在这次循环赛中战平了几场？34．一个两位数，个位上的数是a，十位上的数比个位上的数多4，把它的个位和十位上的数交换位置，得到的新的两位数与原来的两位数的和是88，求这个两位数．35．一快递员骑摩托车需要在规定的时间内把快递送到某地，若每小时行驶40km，就早到12分钟；若每小时行驶30km，就要迟到8分钟．求快递员所要骑行的路程．36．A、B两地相距450千米，甲，乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行．已知甲车速度为120千米/时，乙车速度为80千米/时，经过多少小时两车相距50千米？37．已知数轴上两点A、B对应的数分别是6，﹣8，M、N、P为数轴上三个动点，点M从A点出发速度为每秒2个单位，点N从点B出发速度为M点的3倍，点P从原点出发速度为每秒1个单位．（1）若点M向右运动，同时点N向左运动，求多长时间点M与点N相距54个单位？（2）若点M、N、P同时都向右运动，求多长时间点P到点M，N的距离相等？38．如图，已知数轴上点A表示的为8，B是数轴上一点，且AB=14，动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）写出数轴上点B表示的数，点P表示的数（用含t的代数式表示）；（2）动点H从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、H同时出发，问点P运动多少秒时追上点H？39．甲、乙两站相距300千米，一列慢车从甲站开往乙站，每小时行40千米，一列快车从乙站开往甲站，每小时行80千米，已知慢车先行1.5小时，快车再开出，则快车开出多少小时后与慢车相遇？40．A、B两地相距64千米，甲从A 地出发，每小时行14千米，乙从B地出发，每小时行18千米；（1）若两人同时出发相向而行，则需经过几小时两人相遇？（2）若两人同时出发相向而行，则需几小时两人相距16千米？。