人教课标版高中数学必修3《弧度制》导学案

弧度制学案一，复习回顾，温故知新1. 在平面几何里，度量角的大小用什么单位？2. 1°的角是如何定义的？二，探索新知探究：在圆内，圆心角的大小和半径大小有关系吗？角度为300、600的圆心角，半径r=1,2,3时:（1）分别计算相对应的弧长.(l =nπr 180)（2）分别计算对应弧长与半径之比.思考：通过上面的计算，你发现了什么规律？1,弧度的概念把 叫做1弧度(radian)的角.思考1:圆的半径为r,弧长分别为2r 、3r,则它们所对圆心角的弧度数是多少?思考2：如果半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长为l ，那么角α的弧度数的绝对值如何计算？结论：圆心角AOB 的弧度数等于2.角度与弧度的换算思考3：一个周角以度为单位度量是多少度， 以弧度为单位度量是多少弧度？由此可得角度与弧度有怎样的换算关系？思考4：根据上述关系，1°等于多少弧度， 1 rad 等于多少度？例1：把 67°30′化成弧度。

例2：把下列各角的弧度化为度数。

（1）125π （2）π4例3：填写下列表中特殊角的弧度数或度数。

三，达标检测1．正确表示终边落在第一象限的角的范围的是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π，2k π＋π2(k ∈Z )B ．⎝⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π2(k ∈Z ) C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π2(k ∈Z ) D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π，k π＋π2(k ∈Z ) 2．与30°角终边相同的角的集合是( )A {α|α=k ∙360°+π6,k ∈Z} B {α|α=2kπ+30°,k ∈Z }C {α|α=2k ∙360°+30°,k ∈Z }D {α|α=2kπ+π6,k ∈Z} 3．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( )A ．403πB ．203πC ．2003πD ．4003π4．将－1 485°化成2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z )的形式为 ． 四，课堂小结：1．什么叫1弧度角? 2.“角度制”与“弧度制”的联系与区别. 3．度与弧度的相互转换公式。

1．1.2弧度制1.角的单位制□1长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作□2弧度，通常略去不写.□3以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制．弧度数的计算：2．角度与弧度的换算(1)角度制与弧度制的换算(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应表3．扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为r ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角的弧度数，n 为圆心角的角度数，则扇形的弧长：l ＝□17n πr 180＝□18αr ，扇形的面积：S ＝□19n πr 2360＝□2012lr ＝□2112α·r 2.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大．( )(2)圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等．( )(3)用弧度表示的角都是正角．( )(4)“度”和“弧度”是度量角的两种不同的度量单位．( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2．做一做(1)(教材改编P 9T 5)在半径为5 cm 的圆中，圆心角为周角的23的角所对的圆弧长为( )A.4π3 cmB.20π3 cmC.10π3 cmD.50π3 cm答案 B解析 记r ＝5，圆心角α＝23×2π＝4π3，∴l ＝|α|r ＝20π3.(2)－135°化为弧度为________，11π3化为角度为________．答案 －3π4 660°解析 －135°＝－135×π180＝－3π4，11π3＝113×180°＝660°.探究1弧度制的概念例1下列命题中，假命题是()A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B．一度的角是周角的1360，一弧度的角是周角的12πC．弧度制下，角与实数之间建立了一一对应关系D．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关解析根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D是假命题．选项A，B，C均为真命题．答案D拓展提升角度制和弧度制的比较(1)弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，而角度制是以“度”为单位来度量角的单位制．(2)1弧度的角是指等于半径长的弧所对的圆心角，而1度的角是指圆周角的1360的角，大小显然不同．(3)无论是以“弧度”还是以“度”为单位来度量角，角的大小都是一个与“半径”大小无关的值．(4)用“度”作为单位度量角时，“度”(即“°”)不能省略，而用“弧度”作为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”通常省略不写．但两者不能混用，即在同一表达式中不能出现两种度量方法．【跟踪训练1】下列叙述中正确的是()A．1弧度是1度的圆心角所对的弧B．1弧度是长度为半径的弧C ．1弧度是1度的弧与1度的角之和D ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位答案 D解析 弧度是度量角的大小的一种单位，1弧度是长度等于半径的圆弧所对圆心角的大小．故选D.探究2 角度和弧度的换算例2 把下列各角用另一种度量制表示出来：112°30′；36°；－5π12；3.5.解 112°30′＝2252×π180＝5π8.36°＝36×π180＝π5.－5π12＝－5π12×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝－75°. 3．5＝3.5×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°≈3.5×57.3°＝200.55°(或200°33′)． 拓展提升用弧度制表示角时“弧度”二字可以省略不写，而用角度制表示角时要特别注意单位“°”不能丢，因为1°与1是完全不同的两个角．【跟踪训练2】 (1)－300°化为弧度是( )A ．－4π3B ．－5π3C ．－7π4D ．－7π6(2)8π5化为度数是( )A ．278°B ．280°C ．288°D ．318°答案 (1)B (2)C解析 (1)－300°＝－300×π180＝－5π3.(2)8π5＝85×180°＝288°.探究3 用弧度制表示角的集合例3 已知角α＝2005°.(1)将α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限的角；(2)在[－5π，0)内找出与α终边相同的角．解 (1)2005°＝2005×π180rad ＝401π36rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5×2π＋41π36 rad ， 又π<41π36<3π2，∴角α与41π36终边相同，是第三象限的角．(2)与α终边相同的角为2k π＋41π36(k ∈Z )，由－5π≤2k π＋41π36<0，k ∈Z 知k ＝－1，－2，－3.∴在[－5π，0)内与α终边相同的角是－31π36，－103π36，－175π36.拓展提升用弧度制表示终边相同的角2k π＋α(k ∈Z )时，其中2k π是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．【跟踪训练3】 (1)将－1125°表示成2k π＋α，0≤α<2π，k ∈Z 的形式为________；(2)用弧度表示终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合．答案 (1)－8π＋7π4 (2)见解析解析 (1)∵－1125°＝－⎝⎛⎭⎪⎫1125×π180＝－25π4， 而－25π4＝－8π＋7π4，∴－1125°＝－8π＋7π4.(2)因为终边落在OA 处的角θ＝2k π＋5π12，k ∈Z ，终边落在OB 处的角θ＝2k π－π6，k ∈Z ，所以终边落在阴影部分的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪2k π－π6<θ<2k π＋5π12，k ∈Z . 探究4 扇形的弧长及面积公式的应用例4 (1)已知扇形的周长为8 cm ，圆心角为2，则扇形的面积为________cm 2；(2)已知一半径为R 的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的圆心角是多少弧度？面积是多少？解析 (1)设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，由圆心角为2 rad ，依据弧长公式可得l ＝2r ，从而扇形的周长为l ＋2r ＝4r ＝8，解得r ＝2，则l ＝4.故扇形的面积S ＝12lr ＝12×4×2＝4 cm 2.(2)设扇形的弧长为l ，由题意得2πR ＝2R ＋l ，所以l ＝2(π－1)R ，所以扇形的圆心角是l R ＝2(π－1)，扇形的面积是12lR ＝(π－1)R 2.答案 (1)4 (2)见解析拓展提升弧度制下涉及扇形问题的解题策略(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，r 是扇形的半径，α(0<α<2π)是扇形的圆心角)．(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．【跟踪训练4】 已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径为6，求：(1)AB ︵的长； (2)扇形所含弓形的面积(即阴影面积)．解 (1)∵120°＝2π3，∴AB ︵的长l ＝2π3×6＝4π.(2)S 扇形AOB ＝12lr ＝12×4π×6＝12π.如图所示，过点O 作OD ⊥AB ，交AB 于D 点，于是有S △OAB ＝12×AB ×OD ＝12×2×33×3＝93，∴弓形的面积为S 扇形AOB －S △AOB ＝12π－9 3.1.弧度制与角度制的区别与联系(1)区别①单位不同．弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”为度量单位； ②定义不同．(2)联系不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值．2.角度制与弧度制换算时应注意的问题(1)弧度制与角度制的互化是一种比例关系的变形，具体变化时，可牢记以下公式：π180＝弧度角度，只要将已知数值填入相应的位置，解出未知的数值，再添上相应的单位即可．(2)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两字可以省略不写，这时弧度数在形式上虽是一个不名数，但我们应该把它理解为名数，如sin2是指sin(2弧度)，π＝180°是指π弧度＝180°；但如果以度为单位表示角时，度就不能省去．(3) 用弧度为单位表示角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特殊要求，不必把π写成小数，如45°＝π4弧度，不必写成45°≈0.785弧度．(4)度化为弧度时，应先将分、秒化为度，再化为弧度．(5)角度制和弧度制表示的角不能混用．如α＝2k π＋30°，k ∈Z ；β＝k ·90°＋π4，k ∈Z ，都不正确.1．2145°转化为弧度数为( )A.163B.322C.16π3D.143π12答案 D解析 2145°＝2015×π180 rad ＝143π12 rad.2．α＝－2 rad ，则α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 C解析 ∵1 rad ≈57.30°，∴－2 rad ≈－114.60°.故α的终边在第三象限．3．在△ABC 中，若A ∶B ∶C ＝3∶5∶7，则角A ，B ，C 的弧度数分别为________．答案 π5，π3，7π15解析 A ∶B ∶C ＝3∶5∶7，则A 占总度数的33＋5＋7＝15； B 占总度数的53＋5＋7＝13； C 占总度数的73＋5＋7＝715. 三角形的内角和为π，则A 为π5，B 为π3，C 为7π15.4．用弧度制表示终边落在第二象限的角的集合为________．答案 ⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋π2<α<2k π＋π，k ∈Z 解析 若角α的终边落在第二象限，则2k π＋π2<α<2k π＋π，k ∈Z . 5．(1)把310°化成弧度；(2)把5π12 rad 化成角度；(3)已知α＝15°，β＝π10，γ＝1，θ＝105°，φ＝7π12，试比较α，β，γ，θ，φ的大小．解 (1)310°＝π180 rad ×310＝31π18 rad.(2)5π12 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π×5π12°＝75°. (3)解法一(化为弧度)：α＝15°＝15×π180＝π12.θ＝105°＝105×π180＝7π12.显然π12<π10<1<7π12，故α<β<γ<θ＝φ.解法二(化为角度)：β＝π10＝π10×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝18°，γ＝1≈57.30°，φ＝7π12×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝105°.显然，15°<18°<57.30°<105°，故α<β<γ<θ＝φ.A 级：基础巩固练一、选择题1．下列各式中正确的是( )A ．π＝180B ．π＝3.14C ．90°＝π2 radD ．1 rad ＝π 答案 C解析 A 选项，π rad ＝180°，故错误；B 选项，π≈3.14，故错误；C 选项，90°＝π2rad ，故正确；D 选项，1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°，故错误．故选C.2．扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也增加为原来的两倍，则( )A ．扇形的面积不变B ．扇形圆心角不变C ．扇形面积增大到原来的2倍D ．扇形圆心角增大到原来的2倍答案 B解析 由弧度制定义，等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，所以一扇形所在圆的半径增加为原来的2倍，弧长也增加到原来的2倍，弧长与半径之比不变，所以，扇形圆心角不变，故选B.3．把－11π4表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ为( )A ．－3π4 B.π4 C.3π4 D ．－π4答案 A解析 ∵－11π4＝－2π－3π4，∴θ＝－3π4.又－11π4＝－4π＋5π4，∴θ＝5π4.∴使|θ|最小的θ＝－3π4.4．若α＝2k π－354，k ∈Z ，则角α所在象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 C解析 ∵－9<－354<－8，∴－3π<－354<－3π＋π2.∴－354在第三象限，故α也在第三象限．5．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数的绝对值为( )A.π3B.2π3C. 3D ．2答案 C解析 设所在圆的半径为r ，圆内接正三角形的边长为2r sin60°＝3r ，所以弧长3r 的圆心角的弧度数为3r r ＝ 3.二、填空题6．将－1485°化成2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z )的形式为________．答案 －10π＋7π4解析 －1485°＝－1485×π180＝－33π4＝－10π＋7π4.7．扇形AOB ，半径为2 cm ，|AB |＝2 2 cm ，则AB ︵所对的圆心角弧度数为________． 答案 π2解析 ∵|AO |＝|OB |＝2，|AB |＝22，∴∠AOB ＝90°＝π2.8．若角α的终边与8π5角的终边相同，则在[0,2π]上，终边与α4角的终边相同的角是________________． 答案 2π5，9π10，7π5，19π10解析 由题意，得α＝8π5＋2k π，∴α4＝2π5＋k π2(k ∈Z )．令k ＝0,1,2,3，得α4＝2π5，9π10，7π5，19π10.三、解答题9．用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)，并判断2019°是不是这个集合的元素．解 ∵150°＝5π6，∴终边在阴影区域内角的集合为S ＝{β⎪⎪⎪⎭⎬⎫5π6＋2k π≤β≤3π2＋2k π，k ∈Z .∵2019°＝219°＋5×360°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫219π180＋10π rad ，又 5π6<219π180<3π2，∴2019°∈S .10．扇形AOB 的周长为8 cm.(1)若这个扇形的面积为3 cm 2，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB . 解 (1)设扇形的圆心角为θ，扇形所在圆的半径为R .依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 2R ＋Rθ＝8，12θ·R 2＝3，解得θ＝23或6.即圆心角的大小为23弧度或6弧度．(2)设扇形所在圆的半径为 x cm ，则扇形的圆心角θ＝8－2xx .于是扇形的面积是S ＝12x 2·8－2xx ＝4x －x 2＝－(x －2)2＋4.故当x ＝2 cm 时，S 取到最大值．此时圆心角θ＝8－42＝2弧度，弦长AB ＝2·2sin1＝4sin1(cm)．故扇形的面积取得最大值时圆心角等于2弧度，弦长AB 等于4sin1 cm.B 级：能力提升练1．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R ，若扇形的周长是一定值C (C ＞0)，该扇形的最大面积为( )A.C 4B.C 24C.C 216D.C 22答案 C解析 设扇形的半径为R ，则扇形的弧长为C －2R ，则S ＝12(C －2R )R ＝－R 2＋C 2R ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫R －C 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫C 42，当R ＝C 4，即α＝C －2R R ＝2时，扇形的面积最大，最大面积为C 216.故选C.2．如图所示，动点P ，Q 从点A (4,0)出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求P ，Q 第一次相遇所用的时间及P ，Q 各自走过的弧长．解 设P ，Q 第一次相遇时所用的时间为t 秒，则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6＝2π，解得t ＝4. 即第一次相遇时所用的时间为4秒．P 点走过的弧长为：4π3×4＝16π3，Q 点走过的弧长为：8π－16π3＝8π3.。

数学（高三上）导学案角α的弧度数公式|α|＝lr(弧长用l表示)角度与弧度的换算1°＝π180rad；1 rad＝⎝⎛⎭⎪⎫180π°弧长公式弧长l＝|α|r扇形面积公式S＝12lr＝12|α|r23.任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx(x≠0).(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)小于90°的角是锐角.()(2)锐角是第一象限角，反之亦然.()(3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.()(4)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等.()答案(1)×(2)×(3)×(4)×2.已知角α的终边过点P(8m，3)，且cos α＝－45，则m的值为()A.－12 B.12 C.－32 D.32答案 A3.在－720°～0°范围内，所有与角α＝45°终边相同的角β构成的集合为________.答案{－675°，－315°}答案 (1)C(2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π 【训练1】 (1)设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z ， N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z ，那么( ) A.M ＝N B.M ⊆N C.N ⊆MD.M ∩N ＝∅(2)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________.解析 (1)由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k 4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N .(2)在[0，2π)内，终边落在阴影部分角的集合为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，56π，所以，所求角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|2k π＋π4<α<2k π＋5π6（k ∈Z ）. 答案 (1)B (2) ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|2k π＋π4<α<2k π＋5π6（k ∈Z ） 考点二 弧度制及其应用典例迁移【例2】 已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l .若α＝π3，R ＝10 cm ，求扇形的面积. 解 由已知得α＝π3，R ＝10， ∴S 扇形＝12α·R 2＝12×π3×102＝50π3(cm 2).【迁移探究1】 若例题条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积.解 l ＝α·R ＝π3×10＝10π3(cm)， S 弓形＝S 扇形－S 三角形＝12·l ·R －12·R 2·sin π3 ＝12×10π3×10－12×102×32 ＝50π－7533(cm 2).【迁移探究2】 若例题条件改为：“若扇形周长为20 cm ”，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 解 由已知得，l ＋2R ＝20，即l ＝20－2R (0<R <10)， 所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5 cm 时，S 取得最大值25 cm 2，此时l ＝10 cm ，α＝2 rad. 【训练2】 (一题多解)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为2π3，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是( ) A.6平方米 B.9平方米 C.12平方米D.15平方米解析 法一 如图，由题意可得∠AOB ＝2π3，OA ＝4，在Rt △AOD 中，可得∠AOD ＝π3，∠DAO ＝π6，OD ＝12AO ＝12×4＝2，于是矢＝4－2＝2.由AD ＝AO ·sin π3＝4×32＝23，得弦AB ＝2AD ＝4 3.所以弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)＝12×(43×2＋22)＝43＋2≈9(平方米).法二 由已知，可得扇形的面积S 1＝12r 2θ＝12×42×2π3＝16π3，△AOB 的面积S 2＝12×OA ×OB ×sin ∠AOB ＝12×4×4×sin 2π3＝4 3. 故弧田的面积S ＝S 1－S 2＝16π3－43≈9(平方米). 答案 B考点三 三角函数的概念【例3】 (1)(2018·合肥质检)在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3，cos π3，则sin(π＋α)＝( ) A.－32 B.－12 C.12D.32(2)若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角D.第四象限角解析 (1)易知sin π3＝32，cos π3＝12，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.由三角函数的定义可得sin α＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12，则sin(π＋α)＝－sin α＝－12.(2)由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，则α为第二或第三象限角；由cos αtan α<0可知cos α，tan α异号，则α为第三或第四象限角.综上可知，α为第三象限角.答案 (1)B (2)C【训练3】 (1)(2019·西安一中月考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，若点A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45和⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，则cos(α＋β)的值为( )A.－2425B.－725C.0D.2425(2)满足cos α≤－12的角α的集合为________.解析 (1)由三角函数的定义可得cos α＝35，sin α＝45，cos β＝－45，sin β＝35.所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－2425. (2)作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC ，OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z .答案 (1)A(2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z三、讨论交流 点拨提升1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.2.若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则tan α>α>sin α.3.角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.4.象限角的集合四、作业布置基础知识：课时作业本（基础巩固题组）拓展提升: 课时作业本（能力提升题组）教学反思。

弧度制一、知识点1.角的度量：（1）角度制：把 规定为1度的角，记作1 ，这种用度做单位来度量角的单位制叫做角度制。

（2）弧度制： 叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写)。

这种用弧度做单位来度量角的单位制叫做弧度制。

2.正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个 ．零角的弧度数是 ．3.若半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则=α 。

这里α的正负由角α的终边的旋转方向决定。

4.角度和弧度的互化：=0180 rad =01 rad ≈ rad =rad 1 ≈5.角与实数的对应关系：在弧度制下， 与 之间建立起一一对应的关系：每个角都有唯一的实数（即 ）与它对应;反过来，每一个实数也都有（即 ）与它对应。

6.扇形弧长公式：=l =扇形面积公式：=S = 。

二、例题知识点一 ： 弧度制定义1.下列各命题中，真命题是（ ）A.一弧度就是一度的圆心角所对的弧 B .一弧度是长度为半径的弧C.一弧度是一度的弧与一度的角之和D .一弧度是长度等于半径的弧岁对的圆心角，它是角的一种度量单位2. 在半径不等的两个圆内，1弧度的圆心角（ ）A.所对的弧长相等B.所对的弦长相等C.所对的弧长等于各自的半径D.以上都不对知识点二： 角度制与弧度制的互化3.把下列角表示为另一种形式：（1）0300- （2）π58 （3）031120' （4）π125- （5） '15564. 把π411-表示成)(2Z k k ∈+πθ的形式，使θ最小的θ的值是（ ） A.43π- B.4π- C.4π D.43π 5. 把下列各角化成),20(2Z k k ∈<≤+πααπ的形式，并指出它们是第几象限角（1）01500- （2）01485- （3）π2004 (4)6-6. 将分针拨慢十分钟，则分针所转过的弧度数是 （ ） A.3π B.3π- C.5π D.5π-7. 经过5小时25分钟，时钟的时针和分针各转过 度， 弧度。

高中必修三数学教案《弧度制及其与角度制的换算》教材分析《弧度制及其与角度制的换算》是普通高中课程标准实验教科书人教版B 版必修三第七章第一单元第二节的内容。

本节课起着承上启下的作用——学生已经学习过的角的度量单位“度”，并且上节课学习了任意角的概念，学生已经掌握一些基本单位的转换方法，并能体会不同的单位制解决问题带来的方便；本节课还将为后续学习任意角的三角函数等知识做铺垫。

通过本节课的学习，我们很容易找出与角对应的实数，并且在弧度制下的弧长公式与扇形面积公式有了更为简单的形式。

另外，弧度制为学生今后学习三角函数带来很大的方便，同时，通过本节课的学习，学生可以认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但是是相互联系、辩证统一的。

学情分析1、认知基础对于在任意角的基础上进行单位转化，学生有一定的基础。

2、认知障碍充分理解本节课的意义，用实数表示角的大小。

教学目标1、理解任意角、弧度制的概念，能正确进行弧度与角度的互化。

2、会判断三角函数值的符号。

3、理解任意三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。

教学重点理解并掌握弧度制的定义，熟练地进行角度制与弧度制的互化。

教学难点理解弧度制的定义，运用弧度制。

教学方法讲授法、演示法、讨论法、练习法。

教学过程一、直接导入在日常生活以及学科中，一个量可用不同的标准来度量，从而也就有了不同的单位以及单位之间的换算。

例如，长度既可以用米、厘米来度量，也可以用尺、寸来度量；面积可以用平方米来度量，也可以用亩来度量。

类似地，角除了使用角度来度量外，还可以使用本小节我们要学习的弧度来度量。

二、学习新知1、弧度制使用角度来度量角时，是把圆周等分成360份，其中每一份所对应的圆心角为1度，这种用度作单位来度量角的制度称为角度制。

角度制还规定1度等于60分，1分等于60秒，即1°= 60’，1’ = 60’’使用角度来度量角，其关键是“等分”。

考虑到面积、体积等都可以通过线的长度来刻画，那么，能否用“测量长度”来代替“等分”，从而引进另外一种度量角的制度呢？如图7-1-7是一种折叠扇。

弧度制一、学习目标1.理解并掌握弧度制的定义，领会弧度制定义的合理性；2.掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；3.熟练地进行角度制与弧度制的换算；4.理解角的集合与实数集R 之间建立的一一对应关系5.通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.二、重点难点重点是理解弧度制的概念以及角度制与弧度制之间的换算；难点是弧度制概念的理解。

三、自学指导自学课本P6到P8内容，完成下列问题.四、新课学习：1、复习回顾1)、角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等. 2)、在角度制下 360n 1802r l r n S ππ==扇扇2、新课学习：弧度制的定义：等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度。

用弧度作单位来度量角的制度叫做弧度制。

在这种规定下，圆周长所对的圆心角为π2rad,半圆所对的圆心角为π rad ，︒90=2πrad,你能继续往下推吗？请你填写书上第6页的表格。

注：1、一般地，正角的弧度数是一个正数（正实数），负角的弧度数是一个负数（负实数），零角的弧度数是零。

这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决定。

2、用角度制和弧度制度量零角，单位不同，数量相同；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，数量也不同。

练习：请你填下列表格。

角度0°15°45°弧度角度 90° 270°弧度更进一步，我们可以得到：︒=180rad π'185730.57)180(101745.01801︒=︒≈︒=≈=︒ππrad radrad利用上面的方法，我们可以把任意一个角度转换成弧度，或将任意一个弧度转化成角度。

例：按照下列要求，把67°30′化成弧度。

1）精确值； 2）精确到0.001的近似值。

《弧度制》教学设计一、教学目标：（一）核心素养通过本节课的学习，了解引入弧度制的必要性，理解弧度制的定义，熟练角度制与弧度制的换算，掌握并运用弧度制的弧长公式和扇形的面积公式；在类比和数学运算过程中，更好的形成弧度的概念，建立角的集合与实数集的一一对应的关系.（二）教学目标1.“为什么”——为什么要引入弧度制，理解引入弧度制的必要性；2.“是什么”——弧度是什么，理解弧度的定义；3.“如何化”——如何进行弧度与角度的转化，掌握弧度与角度之间的相互转化；4.“怎么用”——如何使用弧度制，学会使用弧度制下的新的弧长与扇形面积公式求解有关问题（三）学习重点1．理解弧度“是什么”；2．熟练弧度和角度之间“如何化”；3．掌握弧度制来计算弧长和扇形面积“怎么用”；（四）学习难点1．理解弧度“是什么”；2．理解角的集合与实数之间一一对应的关系二、教学过程（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第6页至第11页．（2）想一想：弧度制是如何定义的？弧度制和角度制之间是如何让转化的？如何将弧度制应用于弧长公式和扇形的面积公式中？2．预习自测=____________（1）已知圆O的半径为2，弧AB的长为2，则AOB【答案】1rad．（2）2π rad =（）A．180°B．200°C．270°D．360°【答案】D．（3）把50°化为弧度制（）A．50B．5 18πC．18 5πD．9000π【答案】B．（4）扇形的圆心角为72°，半径为5，则它的弧长为______，面积为________ 【答案】2π；5π(二)课堂设计1．知识回顾（1）角的概念的推广；（2）终边相同的角的表示2．问题探究探究一结合实例，引入弧度制，理解引入弧度制的必要性；●活动结合实例，引入弧度制有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约270.4公里，但也有人回答约169英里，请问那一种回答是正确的？（已知1英里=1.6公里）显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里.在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制.【设计意图】从生活实例到数学问题，从特殊到一般，体会概念的提炼、抽象过程．探究二 弧度是什么，理解弧度的定义 ●活动① 回顾角度制的定义1．角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等. 【设计意图】从1角度过度到1弧度，更加的自然. ●活动② 探究弧度制的定义弧度制的定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角， 记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写).A【设计意图】让学生掌握弧度制的定义 探究三 探究如何进行弧度与角度的转化●活动① 通过具体的数据，探究弧度制和角度制之间的关系如图,半径为r 的圆的圆心与原点重合,角α的终边与x 轴的正半轴重合,交圆于点A,终边与圆交于点B.请完成表格.xyαBOA【答案】我们知道，角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0，角的正负主要由角的旋转方向来决定.【设计意图】一方面可以让学生加深对弧度制的理解，也为接下来推导弧度制和角度制的转化公式做准备.●活动② 在掌握了弧度制定义的基础上推导弧长，半径，和圆心角（弧度制）之间的关系思考：如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l ,那么α的弧度数是多少? 角α的弧度数的绝对值是：rl=α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径. 【设计意图】既是对弧度制定义的巩固强化，加深学生对于弧长，半径以及圆心角（弧度数）三者关系的理解.●活动③ 通过活动①中表格的数据，推导出弧度制和角度制的转化公式.'360=2rad 180rad 1801rad 1rad=57.3=5718180ππππ︒∴︒=⎛⎫∴︒=︒≈︒︒ ⎪⎝⎭反过来【设计意图】通过已有的数据推出角度制和弧度制相互转化的公式更容易被学生理解和接受. ●活动④ 快速抢答抢答特殊角的度数与弧度数的对应表:【答案】【设计意图】通过抢答环节，让学生迅速掌握弧度制和角度制的相互转换，也让学生熟悉特殊角对应的角度制和弧度制.探究四 探究弧度制下的弧长与扇形面积公式求解有关问题.●活动① 回顾初中已学的用角度制表示的弧长公式和扇形的面积公式.已知扇形的圆心角为n °，半径为R则弧长180n Rl π=，扇形的面积公式为2360n R S π=【设计意图】通过对已有知识的回顾，对接下来推出弧度制下的弧长与扇形面积公式做准备.●活动② 利用弧度制证明下列关于扇形的公式:(1)l R α=; (2)212S R α=; (3)12S lR =.其中R 是半径,l 是弧长,(02)ααπ<<为圆心角,S 是扇形的面积.lRl R αα==立即可得：证明：由公式 2ππ=360180n R n S α=又，221121802n S R R πα∴=⋅⋅= 1122l R S R R lRαα=∴=⋅⋅=又【设计意图】以证明题的形式将弧度制应用于弧长和扇形的面积公式，有了推导过程，学生更容易理解和记忆.●活动③ 利用计算器比较sin1.5和sin85°的大小.【设计意图】弧度制定义的理解与应用,以及角度与弧度的区别. ●活动④ 巩固基础，检查反馈 例1 下列说法不正确的是（ ）A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．1度的角是圆周角的1360，1弧度的角是圆周角的12πC ． 根据弧度的定义，180°一定等于π弧度D ．大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大【知识点】考察了弧度制和角度制的相互转换，弧度制的定义，以及弧度制和角度制都是度量角的两种方式 【数学思想】转换的思想【解题过程】当圆心角一定时，它所对的弧长与半径的比值是一定的，与所取圆的半径大小无关【思路点拨】通过弧度制的定义去判断 【答案】D同类训练 若扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也扩大到原来的2倍，则（ ） A ．扇形的面积不变 B ．扇形的圆心角不变C ． 扇形的面积扩大到原来的2倍D ．扇形的圆心角扩大到原来的2倍【知识点】扇形的圆心角，弧长，半径三者之间的关系 【数学思想】【解题过程】由公式lRα=，因此圆心角应该不变 【思路点拨】所对的弧长与半径的比值是一定值，则圆心角就不变 【答案】B例2：（1）将下列各角化为弧度：①'11230︒；②315-︒（2）将下列各弧度化为角度：①512rad π-；②193rad π【知识点】弧度制和角度制换算公式的应用 【数学思想】【解题过程】'511230112.5112.51808rad rad ππ︒=︒=⨯= 7315(315)1804551807512121919180114033rad radrad rad ππππππππ-︒=-⨯=-⎛⎫-=-⨯︒=-︒⎪⎝⎭⎛⎫=⨯︒=︒ ⎪⎝⎭【思路点拨】公式 1801 1=180rad rad ππ⎛⎫︒=︒ ⎪⎝⎭的应用 【答案】58rad π，74rad π-，75-︒，1140︒同类训练 将下列各角度与弧度互化'9(1)67.5; (2)15730; (3); (4)34π︒-︒ 【知识点】弧度制和角度制换算公式的应用 【数学思想】【解题过程】367.567.51808rad rad ππ︒=⨯= '715730157.5(157.5)1808991804054418054033()rad rad rad πππππππ-︒=-︒=-⨯=-⎛⎫=⨯︒=︒ ⎪⎝⎭⎛⎫=⨯︒=︒ ⎪⎝⎭【思路点拨】公式 1801 1=180rad rad ππ⎛⎫︒=︒ ⎪⎝⎭的应用 【答案】38rad π；78rad π-；405︒；540()π︒例3 半径为1cm ，圆心角为56π的弧长为（ ）A ．23cmB ．23cm πC ．56cmD ．56cm π【知识点】弧度制在弧长公式的应用 【数学思想】【解题过程】55166l aR cm ππ==⨯= 【思路点拨】公式l R α=的应用 【答案】D同类训练 若2rad 的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹扇形的面积是（ ）A ．tan 2B ．1sin1 C ．21sin 1 D ．2cos1【知识点】圆中垂径定理的应用和三角函数以及弧度在扇形面积公式中的应用 【数学思想】【解题过程】半径1sin1R =，22112221sin1S R α⎛⎫==⨯⨯ ⎪⎝⎭【思路点拨】公式212S R α=的应用●活动5 强化提升、灵活应用例4 与1°角终边相同的角的集合为（ ）A ．360,180k k Z παα⎧⎫=⋅︒+∈⎨⎬⎩⎭B ．360,180k k Z παα⎧⎫=⋅︒+∈⎨⎬︒⎩⎭C ．2,180k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭D ．2,180k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬︒⎩⎭【知识点】终边相同角的表示，同一个式子中角度制和弧度制不能混用 【数学思想】 【解题过程】1180π︒=，3602π︒=，13602180k k ππ∴︒+︒=+【思路点拨】将角度制转换为弧度制:1180π︒=【答案】C同类训练 第四象限角的集合可写为（ ）A ．360360,2k k k Z πααα⎧⎫=⋅︒-<<⋅︒∈⎨⎬⎩⎭B ．{}2902,k k k Z ααπαπ=-︒<<∈C ．,2k k k Z πααπαπ⎧⎫=-<<∈⎨⎬⎩⎭D ．22,2k k k Z πααπαπ⎧⎫=-<<∈⎨⎬⎩⎭【知识点】第四象限角的表示，同一个式子中角度制和弧度制不能混用 【数学思想】 【解题过程】{}36090360,k k k Z ααα=⋅︒-︒<<⋅︒∈3602,π︒=902π︒= 22,2k k k Z πααπαπ⎧⎫∴=-<<∈⎨⎬⎩⎭【思路点拨】将角度制转换为弧度制:1180π︒=【答案】D 3.课堂总结（1）长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写).（2）弧度制和角度制之间的转换公式为：1801rad 1rad=180ππ⎛⎫︒=︒ ⎪⎝⎭（3）弧度制在扇形相关公式中的应用为：l R α= ；212S R α=； 12S lR =.重难点归纳（1）生活实例到数学问题，从特殊到一般，体会概念的提炼、抽象过程． （2）当圆心角一定时，它所对的弧长与半径的比值是一定的，与所取圆的半径大小无关.（3）同一个式子中角度制和弧度制不能混用.（4）在选择弧长和扇形的面积公式时，一定要理清楚题目所给圆心角是弧度制还是角度制. （三）课后作业 基础型 自主突破1．在半径不相等的两个圆内，1弧度的圆心角（ ） A ．所对的弧长相等 B ．所对的弦长相等C ．所对的弦长等于各自的半径D ．所对的弧长等于各自的半径 【知识点】弧长的定义【解题过程】长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角 【思路点拨】1弧度的圆心角所对的弧长始终等于半径 【答案】D2．把'5615︒化为弧度是（ ）A ．58πB ．54πC ．56πD ．516π 【知识点】角度制和弧度制的相互换算 【解题过程】'5561556.2556.2518016rad rad ππ︒=︒=⨯= 【思路点拨】先将角度的单位化为“°”【答案】D3．若=4α-，则α是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【知识点】了解每个象限角对应的范围【数学思想】数形结合 【解题过程】342ππ-<-<- 【思路点拨】342ππ-<-<- 【答案】B4．若角α与β的终边互相垂直，则α与β的关系是（ ）A ．2πβα=+B ．2πβα=±C ．2()2k k Z πβαπ=++∈ D ．2()2k k Z πβαπ=±+∈ 【知识点】对于角的表示【数学思想】【解题过程】B 选项忽略了终边相同应该加上圆周角2π的整数倍【思路点拨】角α与β的终边互相垂直的本质是将角α的终边绕着原点顺时针或者逆时针旋转90°，即2π±，但要注意终于边相同要加圆周角2π的整数倍【答案】D5．已知一扇形的圆心角3πα=，扇形所在圆的半径10R =，则这个扇形的弧长为____________，该扇形对应的弓形的面积为_________．【知识点】弧度制在弧长公式中的应用【数学思想】转化的思想，将弓形的面积转化为扇形的面积—三角形的面积 【解题过程】1010,33l R ππα==⨯= 110150==10102323S S S ππ-⨯⨯-⨯⨯=-弓扇三角形 【思路点拨】弓形的面积=扇形的面积—三角形的面积【答案】103π；503π- 6．在单位圆上有两个动点P Q ，，它们同时从(10)A ，出发沿圆周运动，已知点P 按逆时针方向每秒转3π，点Q 按顺时针方向每秒转6π，试求它们从出发后到第五次相遇时各自走过的弧长．【知识点】行程问题中的相遇问题【数学思想】数形结合 【解题过程】102036t t t πππ+=∴=201020203363P Q l l ππππ∴=⨯==⨯=， 【思路点拨】第五次相遇即两点的路程和恰好是圆周2π的5倍【答案】201033P Q l l ππ==， 能力型 师生共研7．已知扇形的周长为6cm ，面积为22cm 则扇形的圆心角的弧度数为（ ）A ．1B ．4C ．1或4D ．2或4【知识点】12,2C l R S lR =+= 【数学思想】【解题过程】12,2C l R S lR =+=26121(62)2142222l R R R R R l l lR +=⎧==⎧⎧⎪∴∴⋅-⋅=∴⎨⎨⎨===⎩⎩⎪⎩或 =4(=1απα∴>舍）或【思路点拨】一定要考虑最终求出的圆心角的弧度数不能超过π【答案】A8．集合{}{}2(21),,44P k k k Z Q απαπαα=≤≤+∈=-≤≤，则P Q =（ ）A ．∅B ．{}40ααπαπ-≤≤-≤≤或C ．{}44αα-≤≤D ．{}0ααπ≤≤【知识点】交集的定义【数学思想】【解题过程】P 集合中的k 分别取0或1-，0απ≤≤或2παπ-≤≤-分别和Q 取公共部分【思路点拨】要找出P Q ，P 集合中的k 只能取0和1-【答案】B探究型 多维突破9．圆弧长等于其圆内接正方形的边长，则其所对的圆心角的弧度数为______ 【知识点】rl =α的应用 【数学思想】数形结合【解题过程】α==【思路点拨】有图有真相自助餐1．35π弧度化为角度是（ ） A ．110°B ．160°C ．108°D ．218°【知识点】弧度制化为角度制的应用【数学思想】 【解题过程】33180()10855πππ=⨯︒=︒ 【思路点拨】1801=rad π⎛⎫︒ ⎪⎝⎭【答案】C2．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为（ ）A ．143π B ．143π- C ．718π D ．718π- 【知识点】分针每走一分钟，走过的弧度数为30π 【解题过程】14140303ππ⨯= 【思路点拨】分针走60分钟走过的弧度数为2π【答案】B3．角的集合2A x x k k Z ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，与集合22B x x k k Z ππ⎧⎫==±∈⎨⎬⎩⎭，之间的关系为_____________【知识点】根据集合看角的终边所处的位置【解题过程】A ，B 集合表示的都是终边在y 轴上的角【思路点拨】注意“k π+”和“2k π+”的区别【答案】A B =4．若角α的终边与角6π的终边关于直线y x =对称，且(44)αππ∈-，，则α=_______【知识点】轴对称的特征以及终边相等的角的特征【数学思想】数形结合【解题过程】在0~2π中与角6π的终边关于直线y x =对称的是3π 在2~4ππ中与角3π终边相同的角是7233πππ+=在2~0π-中与角3π终边相同的角是5233πππ-=- 在4~2ππ--中与角3π终边相同的角是11433πππ-=- 【思路点拨】(44)αππ∈-，有4个圆周【答案】7511,,,3333ππππ-- 5．如图，圆上一点A 以逆时针方向作匀速圆周运动，已知点A 每分钟转过θ角(0)θπ<≤，经过2分钟到达第三象限，经过14分钟回到原来位置，求θ的大小． xyO A【知识点】象限角的范围【数学思想】【解题过程】14=2,,7k k k Z k Z πθπθ∈∴=∈3332224274721,24454577k k k Z k πππππππθθππθθ<<∴<<<<∴<<∈∴=∴==又即或或 【思路点拨】回到原位，即所走的角度是圆周2π的整数倍 【答案】4577ππθθ==或 6．在扇形AOB 中，90AOB ∠=°，弧AB 的长为l ，求此扇形内切圆的面积．【知识点】勾股定理，弧长公式l R α=以及圆的面积公式2S R π=【数学思想】数形结合【解题过程】设扇形AOB 所在圆半径为R ，此扇形内切圆的半径为r ，则有R r =，π2AB l R ==·．由此可得r =．则内切圆的面积22πS r ==． 【思路点拨】将内切圆的半径r 用弧长l 表示2。

课题：弧度制课型：新授课课时: 第2 课时
【三维目标】
●知识与技能：要求学生掌握弧度制的定义，学会弧度制与角度制互化，并进而建立角的集合与实数集R一一对应关系的概念。

●过程与方法: 自主学习和尝试，互动式讨论
●情感态度与价值观：进一步培养学生学习数学、应用数学的意识以及思维的创新性和深刻性
【学习重点】角度制与弧度制的换算
【学习难点】加深学生对弧度制的理解，逐步习惯在具体应用中运用弧度制解决具体的问题.
【教学资源】多媒体
【归纳小结】：
1．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略如：3表示3rad sinπ表示πrad角的正弦
2．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住（见课本P8表）
3．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实
数的集合之间建立一种一一对应的关系。

人教版高中数学弧度制教案
教学内容：弧度制
教学目标：
1. 理解弧度制的概念及与角度制的转换关系；
2. 掌握弧度制的计算方法；
3. 能够运用弧度制解决相关问题。

教学重点：
1. 弧度制的概念及运用；
2. 弧度制和角度制的转换。

教学难点：
1. 弧度制与角度制的转换；
2. 弧度制的计算方法。

教学过程：
一、导入新知识（5分钟）
教师引导学生回顾角度制的概念及计算方法，并提出弧度制的定义。

二、讲解弧度制的概念及计算方法（15分钟）
1. 教师讲解弧度制的定义及计算方法，强调弧度制的优势和应用范围；
2. 带领学生进行弧度制与角度制的转换练习，并解释计算过程。

三、练习与讨论（20分钟）
1. 学生自主练习弧度制计算方法，并相互讨论解题思路；
2. 教师布置相关练习题，让学生在课后进行巩固练习。

四、检测与总结（10分钟）
1. 教师让学生进行弧度制的应用题练习，并及时纠正；
2. 学生合作讨论，总结本节课的知识点，提出问题并解决。

五、作业布置（5分钟）
布置相关作业，要求学生巩固掌握弧度制的概念和计算方法。

教学反思：
本节课主要围绕弧度制展开教学，通过讲解、练习和讨论，让学生充分理解弧度制的概念和计算方法，提高学生的数学运算能力和分析问题的能力。

在课后作业中，学生可以继续巩固弧度制的知识，提高解题的能力和速度。

弧度制使用说明：1.阅读探究课本P9-11页的基础知识，自主高效预习，提升自己的阅读理解能力；2.完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成本学案内容。

【学习目标】1.通过探究使学生认识到角度值和弧度制都是度量角的制度，通过总结引入弧度制的好处，学会归纳整理并认识到任何新知识的学习，都会为解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣。

2.培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物。

【重点难点】重点：理解弧度制的意义，并能进行角度和弧度的换算。

难点：弧度的概念及其与角度的关系。

一、知识链接1.在初中几何里，我们学习过角的度量，1度的角是怎样定义的呢？2. 除了用角度度量外，还有没有其它度量角的办法呢？二.教材助读1.什么是1弧度的角？其单位是什么？2.角度与弧度的转化：360= rad 180= rad90= rad 60= rad 1= rad ≈rad 1rad=≈=3.什么叫弧度制？4.弧长公式： l= =5.扇形的面积公式：S= =注意：对于4和5中的公式，一定要搞清楚各个量所表示的含义。

预习自测1.把下列各角从度化成弧度.（1）135；（2）90；（3）60；（4）45；2.把下列各角从弧度化成度.（1）2π；（2）；（3）；（4）。

3.时间经过4h,时针、分针各转了多少度？各等于多少弧度？4.扇形弧长为18cm,半径为12cm,求扇形面积。

探究案基础知识探究1.用弧度制表示终边在x轴上的角的集合2.用弧度制表示终边在y轴非负半轴上的角的集合3.分别用角度制、弧度制下的弧长公式，计算半径为1m的圆中，60的圆心角所对的弧的长度。

综合应用探究把下列各角化为0-2π间的角加上2kπ（ k是整数）的形式，并指出它们是哪个象限的角。

（1）623π（2）-15000（3）6720 （4）-718π我的收获。

第一章三角函数第一节弧度制（第2课时）一、学习目标1.理解认识弧度制的概念。

2.掌握弧度制与角度制的互化。

3.学会解决弧度制相关应用题。

【重点、难点】弧度制与角度制的互化以及相关应用。

二、学习过程【情景创设】1. 在角度制中，把圆周等分成360份，其中的一份是多少度？2. 半径为1的圆的周长是2π，即周长为2π时，对应的圆心角为360°，那么弧长为π时，对应的圆心角是多少？3.周角是多少度？是多少弧度？4.半圆所对圆心角是多少度？是多少弧度？【导入新课】1、弧度制：(1)1弧度的角：_______________________________；(2)记作：_____或______；(3)定义：________________________________.2、互化：3、弧度数的计算公式：如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是：|α|=______.【典型例题】例1：已知圆的半径为2，则弧长为5的弧所对的圆心角α的弧度数为（）。

例2：将下列角度化为弧度，弧度化为角度.(1)75°=（），120°=（），35π=（），74π=（）.【变式拓展】1. 已知扇形的周长为6cm，面积为2cm2，则扇形的圆心角的弧度数为( )A.1B.4C.1或4D.2或42.已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R，若扇形的周长是一定值C（C>0），该扇形的最大面积为（）。

222C C C CA. B. C. D.44162三、总结反思1.对弧度制定义及角度制与弧度制互化的四点说明(1)不管是以弧度还是度为单位的角的大小，都是一个与半径的大小无关的值.(2)用弧度与度去度量每一个角时，除了零角以外，所得到的数量是不同的.(3)任意角的弧度数与实数的对应关系①正角：正角的弧度数是一个正数.②负角：负角的弧度数是一个负数.③零角：零角的弧度数是0.2.扇形周长及面积的最值问题的求解技巧(1)当扇形周长一定时，扇形的面积有最大值.其求法是把面积S转化为关于r的二次函数，但要注意r的取值范围.特别注意一个扇形的弧长必须满足0<l<2πr.(2)当扇形面积一定时，扇形的周长有最小值.其求法是把周长L转化为关于r的函数，但要注意r的取值范围.四、随堂检测设扇形的周长为8cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角是( )。

教 案观察这幅动画，回答问题问题1.大齿轮旋转一周，旋转的角度是多少？大齿轮旋转三分之一周，旋转的角是多少？360，3601203=. 问题2.同学们对“角度制”有哪些认识呢？ 以度，分，秒为单位的角的度量制叫作角度制.1：把圆周等分成360份，其中每一份所对应的圆心角为1度.问题3.当大齿轮旋转一周时，一个小齿轮旋转的角度是多少？这两条弧有什么关系？小齿轮旋转的角是与小齿轮旋转形成的弧长和小齿轮的周长有关的,也就是与2π2πRr有关.有怎么的关系呢？如果*=,()R kr k ∈N ，那么小齿轮旋转的角是*2π()2πRk k r=∈N 也就是整数k 周； 如果大圆的半径R 不是小圆半径r 的整数倍， *2π()2πRm l m r=∈N ， 余出的这部分弧长l 对应的圆心角是多少呢？初中学过弧长公式：如果圆心角记为n ，则弧长2π=360rl n ⋅， 那么是不是可以用弧长（长度）来度量角呢？ 弧长与角是否满足一一对应的关系呢？ 问题4.两个不同的圆，同时旋转120，比较弧长的关系.大圆所对的弧长大，小圆所对的弧长小，即半径大，弧长大;半径小，弧长小.弧长，与圆心角、半径有怎样的数量关系？2π2π=120=3603AB R R l ⨯，2π2π=120=3603'A B'r rl ⨯， 得到2π3AB l R =，2π3A'B'l r =.可以得到什么猜想？提出猜想：同一圆心角所对的弧长与其所在圆的半径的比值是一个常数.问题5.思考还可以用什么来度量角呢？问题6.120与2π3有什么关系？确定同一个角.问题7.证明猜想：同一圆心角所对的弧长与其所在圆的半径的比值是一个常数.设圆心角n α=，弧长为l ，半径为r ，由弧长公式可得2π=360rl n ⋅，我们将等式的左右两边同时除以半径r ，得到2π=360l n r ⋅.与n ⋅确定同一个角. 回头看刚刚的问题.如何用弧度制表示呢2πR=360=2π180= πrad π1=180中大齿轮旋转三分之一周，120，弧2π120=1203=30,60,45化成弧度（用平面直角坐标系中作出他们的终边180= π，π1=180ππ30= 301806=，45= 4560= 60将三个角的点与坐标原点重合，始边为半轴，三个角都是正角，那么分别逆时针方向旋180= π，，所288⎫=⎪⎭.第四现象利用弧度制推导扇形的面积公式 30'把下列各弧度化成角度.3π2。

高中数学《任意角和弧度制及任意角的三角函数》导学案【学习目标】1、 通过课前预习，学生掌握角度和弧度的概念，熟悉弧度与角度的互化，熟悉弧长和扇形的面积公式；2、 通过课堂探究，熟练掌握运用任意角三角函数的定义进行化简和求值。

【重、难点】三角函数的定义及应用是考察的重难点。

1．－870°的终边在第几象限 ( )A ．一B ．二C ．三D ．四【知识点链接】 第一象限角的集合可以表示为{α| },第二象限角的集合可以表示为{α| },第三象限角的集合可以表示为{α| },第四象限角的集合可以表示为{α| }.2．已知角α的终边经过点(3，－1)，则角α的最小正值是 ( )A.2π3B.11π6C.5π6D.3π4【知识点链接】若α与β是终边相同的角，则β可用α表示为S ＝{β|＝ }(或{β|β＝ })．3．若sin α<0且tan α>0，则α是 ( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【知识点链接】四个象限的符号可用口诀来表示：4．弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为________，面积为________．【知识点链接】(1)角度与弧度的换算：①1°＝ rad ；②1 rad ＝ .(2)弧长、扇形面积的公式：设扇形的弧长为l ，圆心角大小为α(rad)，半径为r ，又l ＝r α，则扇形的面积为S ＝ .＝ .5.=34cos π . 【知识点链接】sin(α＋k ²2π)＝ cos(α＋k ²2π)＝ tan(α＋k ²2π)＝【知识脉络】角的概念→角度与弧度的转化→扇形半径和面积公式【考点一】角的集合的表示[例1] (1)如果α是第三象限的角，那么－α，2α的终边落在何处？(2)写出终边在直线y ＝3x 上的角的集合．变式：若角β的终边与60°角的终边相同，则在0°～360°范围内，终边与角β3的终边相同的角为________．小结：(1)利用终边相同的角的集合S ＝{β|β＝2k π＋α，k ∈Z}判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0,2π)范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α的象限．(2)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出这个角的终边相同的所有角的集合， 然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需角.【考点二】三角函数的定义[例2]已知角α的终边经过点P(m ，－3)，且cos α＝－45，则m 等于 ( ) A ．－114 B.114 C ．－4 D ．4变式：角θ的终边上有一点(a ，a)，a ∈R 且a≠0，则sin θ的值是 ( ) A.22 B ．－ 22 C.22或－22D ．1变式：已知角α的终边与单位圆的交点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，32，则tan α＝ ( ) A. 3 B ．± 3 C.33 D ．±33小结：定义法求三角函数值的两种情况：(1)已知角α终边上一点P 的坐标；(2)已知角α的终边所在的直线方程；分别思考如何来求解？【考点三】 扇形的弧长、面积公式及其应用[例3](1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．(2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？变式：已知扇形的半径为12 cm ，弧长为18 cm ，则扇形圆心角的弧度数是 ( )A.23B.32C.23πD.32π变式：圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为 ( )A.π3B.2π3C. 3 D ．2小结：1.在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．2.记住下列公式：①l ＝αR ；②S ＝12lR ；③S ＝12αR2.其中R 是扇形的半径，l 是弧长，α(0<α<2π)为圆心角，S 是扇形面积．1.若角α和角β的终边关于x 轴对称，则角α可以用角β表示为( )A ．2kπ＋β(k∈Z)B ．2kπ－β(k∈Z)C ．kπ＋β(k∈Z)D ．kπ－β(k∈Z)2.已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是( )A ．1或4B ．1C ．4D ．83.已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3]4. 在直角坐标系中，O 是原点，A(3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．5. 若β的终边所在直线经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫cos 3π4，sin 3π4，则sin β＝________，tan β＝________.【课外延申】已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝m (0<m <1)，试判断式子sin α－cos α的符号．。

5.2.2 弧度制实际应用教学目的：要求学生掌握弧度制的定义，学会弧度制与角度制互化，并用弧度制能解决实际问题。

教学重点：灵活地用弧度制解决实际问题。

教学难点：灵活地用弧度制解决实际问题。

【教学方法】 观察发现；交流讲解【教学备品】教学课件．【课时安排】1课时．【教学过程】在弧度制的单位下，角的表示出现了一些新的形式。

一、终边相同角的公式：与角α终边相同的角都可以表示为：α﹢k ×360°（k ∈Z ）的形式，它们组成集合是 {β|β= α＋k ×360°，k ∈Z}。

在弧度制下，与角α 终边相同的角表示为： α﹢2k π（k ∈Z ），所有与角α 终边相同的角的集合可以表示为{β|β= α＋2k π，k ∈Z}这个公式对我们解决弧度制下，判断象限角或者界限角，提供了帮助。

例1 指出下列各角是否为界限角，如果不是指出其所在的象限。

【分析】这道题判断界限角或者象限角的类型，一种一个方法就是弧度换成角度单位，变陌生为熟悉。

但是如果能在弧度制下，直接来做，说明你对弧度制的掌握到了炉火纯青的地步。

请你试试看？在弧度制下，界限角分别为 ,3；通过和这几个界限角的数值比较 0, , , 2 2 2 ，可以判断弧度角终边所在位置。

90° y 2Ⅱ Ⅰ Ⅱ Ⅰ 0° 0 180° O Ⅲ 270° yx 360° Ⅳ ⇒π Ox 2πⅢ3Ⅳ2解：⑴ 2为 正角，逆时时针旋转，5 0 < 2< , 所以它是第一象限角。

5⑵ -4是负角，顺时针旋转。

取绝对值4，<4<3,按照顺时针转，3 3 3 2终边会停在第二象限，是第二象限角。

⑶ 27是正角，逆时时针旋转，527> 2，利用弧度制下终边相同角的公式β= α＋2kπ，k∈Z，527=2 ⨯10+7=2 ⨯ 2+7；所以，27和7终边相同，又因为5 5 5 5 5 5<7<3,所以是第三象限角。

弧度制导学案引言弧度制是一种用来度量角度的单位系统。

相较于我们常用的度数制，弧度制在数学、物理和工程等领域具有重要的应用。

本文档旨在介绍弧度制的定义、换算关系、使用方法以及常见应用。

一、弧度制的定义弧度制是一种用弧长来度量角度的单位系统。

定义如下：1弧度（简写为1 rad）是半径为1的圆的弧所对应的角度。

即当圆的半径为1单位长度时，弧长等于半径的角度称为1弧度。

二、弧度与度数的换算弧度制和度数制是常用的角度单位制度，它们之间的换算关系如下：1弧度 = (180/π)度1度 = (π/180)弧度其中，π是圆周率，约等于3.14159。

应用实例：1. 将60°转换为弧度。

根据换算关系可得：60°× (π/180) ≈ 1.0471 rad因此，60°约等于1.0471弧度。

2. 将2π弧度转换为度数。

根据换算关系可得：2π× (180/π) ≈ 360°因此，2π弧度约等于360°。

三、弧度的使用方法弧度制在数学和物理中常用于计算角度的大小以及相关的三角函数。

1. 弧度制在三角函数中的应用三角函数中角度的输入参数为弧度制。

常见三角函数包括：正弦函数、余弦函数、正切函数等。

例如，sin(π/6)表示半径为1的圆上相对于x轴正向的角度为π/6弧度的点的y轴坐标。

2. 弧度制在角速度中的应用角速度是表示物体旋转快慢的物理量，单位是弧度/秒。

例如，当一个物体以每秒2π弧度的角速度旋转时，它完成了一圈的运动。

四、弧度制的常见应用1. 计算圆的弧长和扇形面积使用弧度制可以简化圆的弧长和扇形面积的计算。

根据圆的弧长公式：弧长 = 半径×弧度根据扇形面积公式：扇形面积 = 1/2 ×半径²×弧度2. 物体的旋转学弧度制在描述和计算物体的旋转学中起着重要作用。

例如，刚体的转动惯量和角动量的计算都需要使用弧度制。

弧度制导学案一、导学目标1.了解弧度制的定义和计算方法。

2.掌握角度与弧度之间的转换关系。

3.能够在实际问题中应用弧度制进行计算。

二、知识导入在几何学和三角学中，我们通常使用度数来度量角的大小。

例如，一个圆的周长是360度。

然而，当我们涉及到复杂的几何和三角函数计算时，度数制并不是最方便的。

为了解决这个问题，数学家们引入了弧度制。

三、弧度制的定义和计算方法1. 弧度的定义：弧度是角度的一种度量方式，它是指在半径为1的圆中所对应的圆弧长度。

我们用符号“rad”表示弧度。

例如，一个完整的圆周对应的弧长是2π，所以一个完整的圆周对应的角度是360度或2π弧度。

2. 弧度的计算方法：对于任意一个角度θ，我们可以通过以下公式将其转换为弧度：弧度 = (θ×π) / 1803. 例题：将60度转换为弧度。

解答：弧度 = (60 ×π) / 180= π / 3四、角度与弧度的转换关系1. 角度转换为弧度的公式：弧度 = (θ×π) / 1802. 弧度转换为角度的公式：角度 = (弧度× 180) / π3. 例题：将π/4弧度转换为角度。

解答：角度 = (π/4 × 180) / π= 45度五、实际问题中的弧度计算除了转换角度与弧度之外，我们还可以应用弧度制进行实际问题的计算。

1. 弧长公式：在一个圆形的轨道上，当我们沿着圆的边界行进一段距离时，我们所走过的弧长即为弧度所对应的圆弧的长度。

弧长公式如下：弧长 = 弧度×半径2. 弧度与度数的比较：使用弧度制进行计算时，有时候可以更方便地进行数值比较。

例如，当我们在解决三角函数运算时，很多函数表格都是基于弧度制给出的。

六、总结通过本次学习，我们了解了弧度制的定义和计算方法，掌握了角度与弧度之间的转换关系，并学会了在实际问题中应用弧度制进行计算。

弧度制在几何学和三角学中有着广泛的应用，能够更方便地进行各种数学计算。

人教版高一数学必修第三册《弧度制及其与角度制的换算》教案及教学反思一、教学目标1.掌握弧度制。

2.熟练掌握角度制和弧度制之间的换算。

3.能够灵活运用角度制和弧度制进行计算。

二、教学重点和难点1.弧度制的概念和计算方法。

2.角度制和弧度制之间的换算。

三、教学过程1.引入（5分钟）教师通过讲述一个故事或引用一个有趣的例子，让学生了解使用角度制进行计算时可能遇到的问题。

通过这个引入，让学生对今天的学习主题——弧度制及其与角度制的换算有所了解，并对其产生兴趣。

2.概念讲解（15分钟）为了更好地让学生理解弧度制，教师应该把它和角度制进行对比，逐步介绍弧度制的概念。

教师可以在黑板上画一个圆，并解释它的周长是 $2\\pi$ 倍的半径。

然后，教师可以用同样的长度来描述圆心角的大小，这就是弧度制。

3.计算弧度制（20分钟）接下来，教师应该逐步引导学生计算弧度制。

教师可以给学生一些例子，例如求圆的周长、圆心角的大小等等。

在教师给出题目的同时，应该给出解题思路，让学生能够理解用弧度制进行计算的过程。

4.角度制和弧度制的换算（25分钟）在学生掌握了弧度制的概念和计算方法之后，教师应该指导学生如何进行角度制和弧度制之间的换算。

教师可以给学生一些例子，并通过讲解解题思路，让学生理解如何将角度制转换为弧度制，以及如何将弧度制转换为角度制。

5.练习（30分钟）为了帮助学生掌握弧度制及其与角度制的换算，教师应该给学生留出足够的练习时间。

教师可以为学生提供一系列的练习题，让他们在课堂上独自或与同伴联合解答。

6.讲解（10分钟）在讲解的过程中，教师需要重点强调角度制和弧度制之间的换算技巧，以及如何使用弧度制计算有关圆的属性的方法。

四、教学反思在教学过程中，我发现学生对于弧度制的概念和计算方法有一定的概念混淆，导致了学生在计算上出现了困难。

因此，在下一次课堂上，我会更加详细地介绍弧度制的概念，让学生能够掌握弧度制的作用以及具体的计算方法。

人教版高一数学必修第三册《弧度制及其与角度制的换算》说课稿一、教材分析本篇说课稿是针对人教版高中数学必修第三册中的《弧度制及其与角度制的换算》这一单元进行的。

该单元是高一数学必修课的一部分，主要内容是介绍弧度制的概念以及与角度制进行换算。

通过本单元的学习，学生能够了解弧度制的基本概念和性质，并能够熟练进行弧度制与角度制的互相转换。

二、教学目标1.知识目标：–了解弧度制的定义和基本性质；–掌握弧度制与角度制的换算方法；–能够灵活运用弧度制与角度制进行角度的计算与单位转换。

2.能力目标：–培养学生观察问题、提出问题、解决问题的能力；–培养学生正确使用弧度制和角度制进行数学推理和计算的能力；–培养学生合作探究、团队合作的能力。

3.情感目标：–培养学生对数学学科的兴趣和热爱；–培养学生正确的学习态度和方法；–培养学生思维的灵活性和创造性。

三、教学重难点1.教学重点：–弧度制的定义和基本性质；–弧度制与角度制的换算方法。

2.教学难点：–弧度制与角度制的互相转换方法的理解与应用；–弧度制与角度制的思维方式转换的培养。

四、教学过程1. 导入与引导（5分钟）引导学生回顾角度的相关知识，并提出一个问题：我们平常计算角度时经常使用的是度数，但在某些情况下使用弧度制更加方便，你们知道弧度制吗？2. 教学呈现（10分钟）通过多媒体展示弧度制的定义及其基本性质，包括弧长与半径的关系、弧度与角度的换算公式等内容。

引导学生思考弧度制与角度制之间的关系。

3. 教学实践（40分钟）3.1 实践引入：教师设计一道相关练习，让学生通过计算角度的弧度表示，进一步理解弧度制的应用。

3.2 合作探究：学生分组进行小组讨论，针对给定问题，通过实践操作、尝试和讨论，探究弧度制与角度制之间的换算方法。

教师起到引导和组织学生思维的作用。

3.3 学生展示：每个小组选出一名代表，对自己的探究结果进行汇报，并由教师引导全班学生进行讨论和交流，加深对弧度制与角度制的理解和运用。