最新初中数学三角函数经典考题知识讲解

三角函数知识点及典型例题三角函数知识点及典型例题§1.1.1、任意角1、正角、负角、零角、象限角的概念.2、与角α终边相同的角的集合：{}|360,S k k Z ββα==+?∈.§1.1.2、弧度制1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.2、 rl =α.3、弧长公式： R4、扇形面积公式： S=21 lr=21αr 2.§1.2.1、任意角的三角函数1、设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么：xyx y ===αααtan ,cos ,sin . 2、设点()00,y x A 为角α终边上任意一点，那么：（设2020y x r +=）_______sin r y =α，________cos rx=α，_____tan x y =α.3、αsin ，αcos ，αtan 在四个象限的符号一正二正弦三切四余和三角函数线的画法. 4、诱导公式一：()()()_tan _2tan _cos _2cos _sin _2sin απααπααπα=+=+=+kk k （Z k ∈）5、特殊角0°，30°，45°，60°，90°，180°，270°的三角函数值. §1.2.2、同角三角函数的基本关系式1、平方关系：22sin cos 1αα+=.2、商数关系：sin tan cos ααα=. §1.3、三角函数的诱导公式1、诱导公式二：()()()._tan _tan _,cos _cos _,sin _sin ααπααπααπ=+-=+-=+2、诱导公式三：()()()._tan _tan _____,cos _cos _,sin _sin αααααα-=-=--=-3、诱导公式四：()()()._tan _tan _,cos _cos _,sin _sin ααπααπααπ-=--=-=-4、诱导公式五：._sin _2cos _,cos _2sin ααπααπ=??-=-5、诱导公式六：._sin _2cos _,cos _2sin ααπααπ-=??+=+ §1.4.1、正弦、余弦函数的图象1、记住正弦、余弦函数图象：2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. 3、会用五点法作图.§1.4.2、正弦、余弦函数的性质1、周期函数定义：对于函数()x f ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()x f T x f =+，那么函数()x f 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.§1.4.3、正切函数的图象与性质 1、记住正切函数的图象：2、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. §1.5、函数()?ω+=x A y sin 的图象1、能够讲出函数x y sin =的图象和函数()b x A y ++=?ωsin 的图象之间的平移伸缩变换关系.2、对于函数：()()0,0sin >>++=ω?ωA b x A y 有：振幅A ，周期ωπ2=T ，初相?，相位?ω+x ，频率πω21==f .第三章、三角恒等变换两角和与差的正弦、余弦、正切公式cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-tan()αβ-tan tan 1tan tan αβαβ-=+ . tan()αβ+tan tan 1tan tan αβαβ+=-二倍角的正弦、余弦、正切公式1、_cos sin 2_2sin ααα=，变形：cos α=ααsin 22sin .2、22cos2cossin ααα=-22cos 1α=-212sin α=-变形1：21cos 2cos 2αα+=，变形2：21cos 2sin 2αα-=. 3、22tan tan 21tan ααα=- 1、注意正切化弦、平方降次. 解三角形 1、正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin === 2、余弦定理a A bc c b cos 222-+=变形 cosA=bca cb 2222-+b B ac c a cos 2222-+=变形 cosB=acb c a 2222-+c C ab b a cos 2222-+=变形cosC=abc b a 2222-+3、三角形面积公式： S =21absinC=21bcsinA=21acsinB 课本题(必修4)1.（P 11 习题13）若扇形的周长为定值l ，则该扇形的圆心角为多大时，扇形的面积最大？22.（P 23 练习4）已知sin （4π-x ）=-51，且0<x<="">623.（ P 24 习题9(2)）设tan α=-21，计算αααα22cos 2cos sin sin 1--。

三角函数中考知识点总结一、基本概念1. 三角函数的定义：正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数等的定义和图像。

2. 周期性：三角函数的周期和图像的性质。

3. 奇偶性：三角函数的奇偶性质。

4. 三角函数的定义域和值域。

5. 三角函数的相关位置：在平面坐标系和单位圆中的位置。

二、三角恒等式1. 三角函数的互化公式。

2. 三角函数的和差化积公式。

3. 三角函数的倍角公式。

4. 三角函数的半角公式。

三、三角函数的性质1. 三角函数的增减性。

2. 三角函数的周期性。

3. 三角函数的奇偶性。

4. 三角函数的反函数。

四、三角函数的函数图像1. 正弦函数的图像和性质；2. 余弦函数的图像和性质；3. 正切函数的图像和性质；4. 余切函数的图像和性质；5. 正割函数和余割函数的图像。

五、三角函数的应用1. 在三角形中的应用；2. 在物理问题中的应用；3. 在数学分析中的应用；4. 在工程计算中的应用。

六、三角函数的求值1. 三角函数解析式的计算；2. 三角函数的运算；3. 三角函数的积分和微分。

七、三角函数的变换1. 三角函数的平移变换；2. 三角函数的伸缩变换；3. 三角函数的反转和反转。

八、三角函数的等价变形1. 三角函数的等价变形和化简；2. 三角函数的同角变形；3. 三角函数的双角变换。

九、常见的三角函数解法1. 三角函数的二次方程求解；2. 三角函数的绝对值求解；3. 三角函数的等差数列求和。

十、其它1. 三角函数的极限和级数；2. 三角函数的方程和不等式求解。

以上是三角函数中的一些重要知识点总结，希望对大家的学习有所帮助。

在复习备考时，建议大家要多做题、多总结、多练习，才能更好地掌握三角函数中的知识点。

同时，要善于归纳整理知识点，掌握三角函数的基本概念和相关规律，这样才能在考试中得心应手。

祝大家学习进步，考试顺利！。

三角函数知识点及题型归纳三角函数是数学中的一个重要分支，在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用。

下面我们来详细归纳一下三角函数的知识点和常见题型。

一、三角函数的基本概念1、角的概念角可以分为正角、负角和零角。

按旋转方向，逆时针旋转形成的角为正角，顺时针旋转形成的角为负角，没有旋转的角为零角。

2、弧度制把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角。

用弧度作为单位来度量角的制度叫做弧度制。

弧度与角度的换算公式为：180°＝π 弧度。

3、任意角的三角函数设角α的终边上任意一点 P 的坐标为(x, y)，它与原点的距离为 r(r ＝√（x²＋ y²) ＞ 0)，则角α的正弦、余弦、正切分别为：sinα ＝ y/r，cosα ＝ x/r，tanα ＝ y/x（x ≠ 0）。

4、三角函数线有正弦线、余弦线、正切线，它们分别是角α的终边与单位圆交点的纵坐标、横坐标、纵坐标与横坐标的比值。

二、同角三角函数的基本关系1、平方关系：sin²α ＋cos²α ＝ 12、商数关系：tanα ＝sinα/cosα三、诱导公式诱导公式可以将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数。

例如：sin(π ＋α) ＝sinα，cos(π α) ＝cosα 等。

四、三角函数的图象和性质1、正弦函数 y ＝ sin x图象：是一条波浪形曲线，周期为2π，对称轴为 x ＝kπ ＋π/2（k∈Z），对称中心为(kπ, 0)（k∈Z）。

性质：在π/2 ＋2kπ, π/2 ＋2kπ（k∈Z）上单调递增，在π/2 ＋2kπ, 3π/2 ＋2kπ（k∈Z）上单调递减。

2、余弦函数 y ＝ cos x图象：也是一条波浪形曲线，周期为2π，对称轴为 x ＝kπ（k∈Z），对称中心为(π/2 ＋kπ, 0)（k∈Z）。

性质：在π ＋2kπ, 2kπ（k∈Z）上单调递增，在2kπ, π ＋2kπ（k∈Z）上单调递减。

三角函数知识点及题型归纳一、三角函数的基本概念三角函数是数学中重要的函数类型，它们在几何、物理等领域有着广泛的应用。

首先，角的概念是基础。

我们把平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。

角可以用弧度制或角度制来度量。

弧度制是用弧长与半径之比来度量角的大小，公式为：弧长\（l ＝r\theta\），其中\（r\）为半径，＼（＼theta\）为圆心角的弧度数。

接下来是三角函数的定义。

在平面直角坐标系中，设点\（P(x,y)＼）是角\（＼alpha\）终边上非原点的任意一点，＼（r ＝＼sqrt{x^2 ＋y^2}＼），则有正弦函数\（＼sin\alpha ＝＼frac{y}｛r}＼），余弦函数\（＼cos\alpha ＝＼frac{x}｛r}＼），正切函数\（＼tan\alpha ＝＼frac{y}｛x}（x ＼neq 0)＼）。

二、三角函数的基本性质1、周期性正弦函数和余弦函数的周期都是\（2\pi\），正切函数的周期是\（＼pi\）。

2、奇偶性正弦函数是奇函数，即\（＼sin(＼alpha) ＝＼sin\alpha\）；余弦函数是偶函数，即\（＼cos(＼alpha) ＝＼cos\alpha\）。

3、单调性正弦函数在\（＼frac{＼pi}｛2} ＋ 2k\pi, ＼frac{＼pi}｛2} ＋ 2k\pi(k ＼in Z)＼）上单调递增，在\（＼frac{＼pi}｛2} ＋ 2k\pi, ＼frac{3\pi}｛2} ＋ 2k\pi(k ＼in Z)＼）上单调递减；余弦函数在\（2k\pi, ＼pi ＋2k\pi(k ＼in Z)＼）上单调递减，在\（＼pi ＋ 2k\pi, 2\pi ＋ 2k\pi(k ＼in Z)＼）上单调递增；正切函数在\（（＼frac{＼pi}｛2} ＋ k\pi, ＼frac{＼pi}｛2} ＋ k\pi)（k ＼in Z)＼）上单调递增。

三角函数知识点梳理关键信息项：1、三角函数的定义正弦函数余弦函数正切函数余切函数正割函数余割函数2、三角函数的基本关系式平方关系商数关系倒数关系3、三角函数的诱导公式正弦诱导公式余弦诱导公式4、三角函数的图像和性质正弦函数图像和性质余弦函数图像和性质正切函数图像和性质5、三角函数的周期性周期的定义常见三角函数的周期6、三角函数的最值和值域正弦函数的最值和值域余弦函数的最值和值域正切函数的最值和值域7、三角函数的和差公式正弦和差公式余弦和差公式正切和差公式8、三角函数的倍角公式余弦倍角公式正切倍角公式9、三角函数的半角公式正弦半角公式余弦半角公式正切半角公式11 三角函数的定义111 正弦函数：在直角三角形中，锐角的正弦等于其对边与斜边的比值。

即 sinA ＝ a/c，其中 A 为锐角，a 为 A 的对边，c 为斜边。

112 余弦函数：锐角的余弦等于其邻边与斜边的比值。

即 cosA ＝b/c，其中 b 为 A 的邻边。

113 正切函数：锐角的正切等于其对边与邻边的比值。

即 tanA ＝a/b。

114 余切函数：锐角的余切等于其邻边与对边的比值。

即 cotA ＝b/a。

115 正割函数：斜边与邻边的比值。

即 secA ＝ c/b。

116 余割函数：斜边与对边的比值。

即 cscA ＝ c/a。

12 三角函数的基本关系式121 平方关系：sin²A ＋ cos²A ＝ 1，1 ＋ tan²A ＝ sec²A，1 ＋ cot²A ＝ csc²A。

122 商数关系：tanA ＝ sinA ／ cosA，cotA ＝ cosA ／ sinA。

123 倒数关系：sinA × cscA ＝ 1，cosA × secA ＝ 1，tanA × cotA ＝1。

13 三角函数的诱导公式131 正弦诱导公式：sin(2kπ ＋ A) ＝ sinA，sin(π ＋ A) ＝ sinA，sin(A) ＝ sinA 等。

三角函数的图像与性质一、知识梳理1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0).(2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )π3.对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期. (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.(3).对于y ＝tan x 不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内为增函数.二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴是y 轴.( ) (2)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数.( ) (3)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( ) (4)y ＝sin|x |是偶函数.( )解析 (1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴有无穷多条，y 轴只是其中的一条. (2)正切函数y ＝tan x 在每一个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.(3)当k >0时，y max ＝k ＋1；当k <0时，y max ＝－k ＋1. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.若函数y ＝2sin 2x －1的最小正周期为T ，最大值为A ，则( ) A.T ＝π，A ＝1 B.T ＝2π，A ＝1 C.T ＝π，A ＝2D.T ＝2π，A ＝2解析 最小正周期T ＝2π2＝π，最大值A ＝2－1＝1.故选A. 答案 A3.函数y ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为________.解析 由－π2＋k π＜2x －3π4＜π2＋k π(k ∈Z )， 得π8＋k π2＜x ＜5π8＋k π2(k ∈Z )，所以y ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z ). 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z )4.(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为( )A.4πB.2πC.πD.π2解析 由题意T ＝2π2＝π. 答案 C5.(2017·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A.65B.1C.35D.15解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，函数的最大值为65. 答案 A6.(2018·江苏卷)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2 的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值是________.解析 由函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝±1.所以2π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，所以φ＝－π6＋k π(k ∈Z )，又－π2<φ<π2，所以φ＝－π6. 答案 －π6考点一 三角函数的定义域【例1】 (1)函数f (x )＝－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π6 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－π12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π6（k ∈Z ） D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋π6（k ∈Z ） (2)不等式3＋2cos x ≥0的解集是________.(3)函数f (x )＝64－x 2＋log 2(2sin x －1)的定义域是________. 解析 (1)由2x ＋π6≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠k π2＋π6(k ∈Z ).(2)由3＋2cos x ≥0，得cos x ≥－32，由余弦函数的图象，得在一个周期[－π，π]上，不等式cos x ≥－32的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－5π6≤x ≤56π，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z .(3)由题意，得⎩⎨⎧64－x 2≥0，①2sin x －1>0，②由①得－8≤x ≤8，由②得sin x >12，由正弦曲线得π6＋2k π<x <56 π＋2k π(k ∈Z ).所以不等式组的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8. 答案 (1)D (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8【训练1】 (1)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________. (2)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为______.解析 (1)要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示.在[0，2π]上，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4＋2k π≤x ≤54π＋2k π，k ∈Z .(2)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以2k π<x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .答案(1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4＋2k π≤x ≤54π＋2k π，k ∈Z (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z考点二 三角函数的值域与最值【例2】 (1)y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域是________.(2)(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________. (3)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________.解析 (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，故3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3，即y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. (2)由题意可得f (x )＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－(cos x －32)2＋1.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos x ∈[0，1].∴当cos x ＝32，即x ＝π6时，f (x )max ＝1. (3)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ，sin x cos x ＝1－t22，且－2≤t ≤2，所以y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2 .所以函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1. 答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 (2)1 (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1【训练2】 (1)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最大值为( )A.4B.5C.6D.7(2)(2019·临沂模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________. 解析 (1)由f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，又sin x ∈[－1，1]，所以当sin x ＝1时函数的最大值为5.(2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，知x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，a ＋π6.因为x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以由函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，所以π3≤a ≤π. 答案 (1)B(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π考点三 三角函数的单调性 角度1 求三角函数的单调区间【例3－1】 (1)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π12－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π12－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) (2)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调递减区间为________. 解析 (1)由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )，得k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ).(2)y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，它的减区间是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的增区间.令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z . 答案 (1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z角度2 利用单调性比较大小【例3－2】 已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a >b >c B.a >c >b C.c >a >bD.b >a >c解析 令2k π≤x ＋π6≤2k π＋π，k ∈Z ，解得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z ，∴函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上是减函数，∵－π6<π7<π6<π4<5π6， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4. 答案 A角度3 利用单调性求参数【例3－3】 (2018·全国Ⅱ卷)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4B.π2C.3π4D.π解析 f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，由题意得a >0，故－a ＋π4<π4，因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4在[－a ，a ]是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋π4≥0，a ＋π4≤π，a >0，解得0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4.答案 A【训练3】 (1)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π，则以下结论正确的是( )A.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上单调递减B.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增 C.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6上单调递减 D.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π上单调递增(2)cos 23°，sin 68°，cos 97°的大小关系是________.(3)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.解析 (1)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4π3，－π3，此时函数f (x )先减后增；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，此时函数f (x )先增后减；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，4π3，此时函数f (x )单调递减；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π3，5π3，此时函数f (x )先减后增.(2)sin 68°＝cos 22°，又y ＝cos x 在[0°，180°]上是减函数，∴sin 68°>cos 23°>cos 97°.(3)法一 由于函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图象可知，π3为函数f (x )的14周期，故2πω＝4π3，解得ω＝32.法二 由题意，得f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3ω＝1.由已知并结合正弦函数图象可知，π3ω＝π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝32＋6k (k ∈Z )，所以当k ＝0时，ω＝32.答案 (1)C (2)sin 68°>cos 23°>cos 97° (3)32考点四 三角函数的周期性、奇偶性、对称性 角度1 三角函数奇偶性、周期性【例4－1】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A.f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B.f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C.f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D.f (x )的最小正周期为2π，最大值为4(2)(2019·杭州调研)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|<π2的图象关于y 轴对称，则θ＝( ) A.－π6 B.π6 C.－π3 D.π3解析 (1)易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝3cos 2x ＋12＋1＝32cos 2x ＋52，则f (x )的最小正周期为π，当2x ＝2k π，即x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，最大值为4.(2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－π3， 由题意可得f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±1，∴θ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，∴θ＝5π6＋k π(k ∈Z ). ∵|θ|<π2，∴k ＝－1时，θ＝－π6. 答案 (1)B (2)A角度2 三角函数图象的对称性【例4－2】 (1)已知函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称，则函数g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象( )A.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称B.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称 C.关于直线x ＝π3对称 D.关于直线x ＝π6对称解析 (1)因为函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称，所以f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，所以1＝32a ＋12，a ＝33，所以g (x )＝sin x ＋33cos x ＝233sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，函数g (x )的对称轴方程为x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π3(k ∈Z )，当k ＝0时，对称轴为直线x ＝π3，所以g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝π3对称. 规律方法 1.对于可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x 即可.2.对于可化为f (x )＝A cos(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x ；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可.【训练4】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝tan x1＋tan 2x的最小正周期为( )A.π4B.π2C.πD.2π(2)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( )A.f (x )的一个周期为－2πB.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称 C.f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6 D.f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减解析 (1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z .f (x )＝sin x cos x 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x 2＝sin x ·cos x ＝12sin 2x ，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)A 项，因为f (x )的周期为2k π(k ∈Z 且k ≠0)，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确.B 项，因为f (x )图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，当k ＝3时，直线x ＝8π3是其对称轴，B 项正确.C 项，f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4π3，将x ＝π6代入得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＝cos 3π2＝0，所以x ＝π6是f (x＋π)的一个零点，C 项正确.D 项，因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3 (k ∈Z )，递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3 (k ∈Z )，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3是减区间，⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π是增区间，D 项错误.答案 (1)C (2)D三、课后练习1.若对于任意x ∈R 都有f (x )＋2f (－x )＝3cos x －sin x ，则函数f (2x )图象的对称中心为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π4，0(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π8，0(k ∈Z ) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π4，0(k ∈Z ) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z ) 解析 因为f (x )＋2f (－x )＝3cos x －sin x ，所以f (－x )＋2f (x )＝3cos x ＋sin x .解得f (x )＝cos x ＋sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以f (2x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 令2x ＋π4＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2－π8(k ∈Z ).所以f (2x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z ). 答案 D2.(2017·天津卷)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( ) A.ω＝23，φ＝π12 B.ω＝23，φ＝－11π12C.ω＝13，φ＝－11π24D.ω＝13，φ＝7π24解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π， ∴f (x )的最小正周期为4⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8－5π8＝3π， ∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋φ. ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12(k ∈Z )， 又|φ|<π，∴取k ＝0，得φ＝π12.答案 A3.已知x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，则f (x )的单调递减区间是________.解析 因为x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝1，解得φ＝2k π－π6(k ∈Z ). 不妨取φ＝－π6，此时f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， 令2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋56π(k ∈Z ). 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋56π(k ∈Z )4.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＋32. (1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值.解 (1)f (x )＝cos x sin x －32(2cos 2x －1) ＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当2x －π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝512π＋k π(k ∈Z )时，函数f (x )取最大值，且最大值为1.(2)由(1)知，函数f (x )图象的对称轴为x ＝512π＋k π(k ∈Z )，∴当x ∈(0，π)时，对称轴为x ＝512π.又方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2.∴x 1＋x 2＝56π，则x 1＝56π－x 2，∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－2x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3， 又f (x 2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3＝23， 故cos(x 1－x 2)＝23.5.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，若对任意的实数α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，都存在唯一的实数β∈[0，m ]，使f (α)＋f (β)＝0，则实数m 的最小值是________.解析 因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，所以α－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－2π3，则f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，0，因为对任意的实数α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，都存在唯一的实数β∈[0，m ]，使f (α)＋f (β)＝0，所以f (β)在[0，m ]上单调，且f (β)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，则β－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，所以β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2，即实数m 的最小值是π2. 答案 π26.(2017·山东卷)函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( )A.π2B.2π3C.πD.2π解析 ∵y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， ∴T ＝2π2＝π.答案 C7.(2019·石家庄检测)若⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0是函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx 图象的一个对称中心，则ω的一个取值是( )A.2B.4C.6D.8解析 因为f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，由题意，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ8＋π4＝0，所以ωπ8＋π4＝k π(k ∈Z )，即ω＝8k －2(k ∈Z )，当k ＝1时，ω＝6.答案 C8.已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23 B.32 C.2 D.3解析 ∵ω>0，－π3≤x ≤π4，∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ4.由已知条件知－ωπ3≤－π2，∴ω≥32.答案 B9.(2019·湖南十四校联考)已知函数f (x )＝2sin ωx －cos ωx (ω>0)，若f (x )的两个零点x 1，x 2满足|x 1－x 2|min ＝2，则f (1)的值为( ) A.102 B.－102 C.2 D.－2解析 依题意可得函数的最小正周期为2πω＝2|x 1－x 2|min ＝2×2＝4，即ω＝π2，所以f (1)＝2sin π2－cos π2＝2.答案 C10.(2018·北京卷)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0).若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________.解析 由于对任意的实数都有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4成立，故当x ＝π4时，函数f (x )有最大值，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，πω4－π6＝2k π(k ∈Z )，∴ω＝8k ＋23(k ∈Z ).又ω>0，∴ωmin ＝23. 答案 2311.(2019·北京通州区质检)已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程；(2)讨论函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性. 解 (1)∵f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4，且T ＝π， ∴ω＝2，于是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4. 令2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).即函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).(2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z ). 注意到x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以令k ＝0，得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8； 同理，其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，π2.。

直线和圆的位置关系知识点补充知识点1：判断直线和圆的位置关系：（1）利用圆心到直线的距离等于半径。

（2）直线过一定点，此定点在圆内，则直线和圆相交。

知识点2 圆),(,00222y x r y x 经过圆上点=+的切线方程为200r yy xx =+；点),(00y x 为圆,)()(222r b y a x =-+-上一点，则过该点的切线方程为200))(())((r b y b y x x a x =--+--知识点 3 ;过圆外一点可作出圆的两条切线，求切线方程时，通常),(,00222y x r y x 经过点=+设切线的点斜式方程，若求出的k 只有一个，则说明还有一条切线必垂直于x 轴（无斜率），。

应补上。

三角函数的图象和性质知识点1 ：只要求三角函数的周期，对称轴，对称中心，单调区间，值域，一般是将三角函数化为同角一次，在此使用辅助角公式。

)sin(ϕ+=wx A y ，使用对三角函数的整体思想去做。

知识点2 三角函数的两种图象平移：(1)先伸缩后平移；（2）先平移后伸缩知识点3 三角函数周期的求解方法（1）利用求解周期的定义（2）利用公式wT w T ππ==,2 （3）对于较为复杂的三角函数转化为)sin(ϕ+=wx A y +k 求解知识点4 确定三角函数的单调区间函数)sin(ϕ+=wx A y （A>0，w>0）的单调区间的确定：基本思路是讲ϕ+wx 看做一个整体，由函数名称对于的原单调区间求解对于的x 的范围若0<w ，方式（1）通过诱导公式将负号诱导，原函数的增区间变为减区间，减区间变为增区间。

(2)利用复合函数的单调性。

知识点5 已知函数图象上的点求解析式)sin(ϕ+=wx A y 的方法（1）绘出图象确定解析式)sin(ϕ+=wx A y 的题型，有时从寻找“五点法”的第一个零点（)0,wϕ-作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。

（2）已知函数图象求函数)sin(ϕ+=wx A y （)0,0>>w A 的解析式时，常用的解题方法是待定系数法，由图中的最大值或者最小值确定A ，由周期确定w 的取值，由适合解析式的点的坐标来确定ϕ，但由图象求得的)sin(ϕ+=wx A y )0,0(>>w A 的解析式一般不唯一，只有限定了也的取值范围，才能得出唯一解，否则ϕ的值就不确定，解析式也就不唯一。

三角函数例题和知识点总结一、三角函数的基本概念在数学中，三角函数是一类重要的函数，它们描述了三角形中边与角之间的关系。

首先，我们来了解一下角度的度量。

角度可以用度（°）或弧度来表示。

一个完整的圆周对应的角度是 360°，而用弧度表示则是2π 弧度。

接下来，我们认识一下常见的三角函数：正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）。

正弦函数sinθ 表示在直角三角形中，对边与斜边的比值；余弦函数cosθ 表示邻边与斜边的比值；正切函数tanθ 则是对边与邻边的比值。

二、三角函数的基本公式1、同角三角函数的基本关系sin²θ ＋cos²θ ＝ 1tanθ ＝sinθ ／cosθ2、诱导公式例如：sin(π θ) ＝sinθ ，cos(π θ) ＝cosθ 等三、三角函数的图像和性质1、正弦函数 y ＝ sin x 的图像是一个周期为2π 的波形，其值域为-1, 1，在 x ＝π/2 ＋2kπ （k 为整数）时取得最大值 1，在 x ＝3π/2 ＋2kπ （k 为整数）时取得最小值－1。

2、余弦函数 y ＝ cos x 的图像也是一个周期为2π 的波形，值域同样为-1, 1，在 x ＝2kπ （k 为整数）时取得最大值 1，在 x ＝π ＋2kπ （k 为整数）时取得最小值－1。

3、正切函数 y ＝ tan x 的图像其周期为π，定义域为x ≠ π/2 ＋kπ （k 为整数），值域为 R 。

四、三角函数的例题例 1：已知sinθ ＝ 08，且θ 在第一象限，求cosθ 和tanθ 的值。

因为sin²θ ＋cos²θ ＝ 1，所以cosθ ＝√（1 sin²θ) ＝√（1 08²) ＝06 。

tanθ ＝sinθ ／cosθ ＝ 08 ／ 06 ＝ 4 ／ 3 。

例 2：求函数 y ＝ 2sin(2x ＋π/3) 的周期和振幅。

5.2.1 三角函数的概念（基础知识+基本题型）知识点一 任意角的三角函数 1、单位圆的概念在直角坐标系中，以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆叫单位圆. 2、任意角的三角函数的定义如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(,)P x y ，那么：y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y α=；②x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x α=； ③y x 叫做α的正切，记作tan α，即()tan 0yx xα=≠. 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数。

拓展：（1）任意角的三角函数的定义一般地，设角α的终边上任意一点的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为r =，则sin ,cos ,tan (0)y x yx r r xααα===≠ （2）在任意角的三角函数的定义中，应该明确：α是一个任意角，其范围是使函数有意义的实数集. （3）三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和(,)P x y 所在中边上的位置无关，而由角α的终边位置决定.（4）要明确sin α是一个整体，不是sin 与α的乘积，它是“正弦函数”的一个记号，就如()f x 表示自变量为x 的函数一样，离开自变量的“sin α”“cos α”“tan α”等式没有意义的.知识点二 三角函数的定义域和函数值的符号1. 正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域如下∶2.在各个象限内的符号，如图所示.【拓展】为了便于记忆,我们把三角函数值在各象限内的符号规律概括为下面口诀:“一全正、二正弦、三正切、四余弦”，意思为：第一象限各三角函数值均为正；第二象限只有正弦值为正，其余均为负；第三象限只有正切值为正，其余均为负；第四象限只有余弦值为正，其余均为负.由于从原点到角的终边上任意一点的距离r 是正值,根据三角函数的定义,知 (1)正弦函数的符号取决于纵坐标y 的符号; (2)余弦函数的符号取决于横坐标x 的符号;(3)正切函数的符号是由,x y 的符号共同决定的,即,x y 同号为正,异号为负. 知识点三 诱导公式一公式一:()sin 2sin k παα+⋅= , ()cos 2cos k παα+⋅=, ()tan 2tan k παα+⋅=, 【提示】(1)诱导公式一说明终边相同的角的同一三角函数值相等.(2)任意给定一个角,它的三角函数值是唯一确定的;若给定一个三角函数值,则有无数个角与之对应. (3)利用诱导公式一,可以把求任意角的三角函数值,转化为求0到2π内的角 的三角 函数值.其中 k Z ∈ . 知识点四 三角函数线 1.有向线段带有方向的线段叫做有向线段. 2.三角函数线的定义如图 1.2-4,设任意角α的顶点在原点o (单位圆的圆心),始边与x 轴的非负半轴重合,终边与单位圆相交于点,()P x y ,过点p 作x 轴的垂线,垂足为点M ;过点(1,0)A 作单位圆的切线,设它与角α 的终边(当α位于第一、四象限时)或其反向延长线(当α位于第二、三象限时)相交于点T (因为过切点的半径垂直于圆的切线,所以AT 平行于y 轴 ).于是sin ,cos ,tan y MP AT y MP x OM AT x OM OAααα======== . 我们规定与坐标轴 同向时 ,方向为正向,与坐标轴反向时,方向为负向,则有向线段MP ,OM ,AT 分别叫做角α 的正弦线、余弦线、正切线,它们统称为三角函数线.【提示】(1)三角函数线的意义是可以表示三角函数的值,其长度等于三角函数的绝对值,方向表示三角函数值的正负.(2)因为三角函数线是与单位圆有关的有向线段,所以作角的三角函数线时,一定要先作出单位圆. (3)有向线段的书写:有向线段的起点字母写在前面,终点字母写在后面.考点一 三角函数的定义及函数值符号 【例1】 有下列说法:①终边相同的角的同名三角函数值相等; ②终边不同的角的同名三角函数值不等; ③若sin20α> ,则α 是第一象限角;④若α 是第二象限角,且(,)P x y 是其终边上一点,则cos α= .其中正确说法的个数是 ( ) A.1B.2C.3D.4解析: 对于此类三角函数的题目,需要逐个判断.充分利用三角函数的定义求解是关键.总结: (1)解决此类问题的关键是准确理解任意角的三角函数的定义.(2)注意问题:①对于不同象限的角,求其三角函数值时,要分象限进行讨论;②终边在坐标轴上的角不属于任何象限.考点二 求三角函数的定义域 【例2】 求下列函数的定义域: (1)sin tan y x x =+ ;(2)sin cos tan x xy x+=.解: (1)要使函数有意义, 必须使sin x 与tan x 都有意义, 所以,().2R x k k Z x ππ∈≠+∈⎧⎪⎨⎪⎩ 所以函数sin tan y x x =+的定义域为 2,k x Z x k ππ∈⎧⎫≠+⎨⎬⎩⎭.(2)要使函数有意义,必须使tan x 有意义,且tan 0x ≠ ,所以,2()Z k x k x k πππ⎧⎪⎨⎪⎩≠+∈≠所以函数sin cos tan x xy x +=的定义域为,2k x x k Z π≠∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭. (1)解题时要注意函数本身的隐含条件.(2)求三角函数的定义域,应 熟悉各三角函数在各象限内的符号,并要注意各三角函数的定义域 ,一 般用弧度制表示.考点三 诱导公式一的应用 【例3 】计算下列各式的值:(1) ()()sin 1395cos111cos 1020sin7500︒︒︒︒-+-;(2)1112sin cos tan 465πππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭. 解: (1)原式()()()()sin 454360cos 303360cos 603360sin 302360︒︒︒︒︒︒︒︒=-⨯+⨯+-⨯+⨯ cos30cos60sin30sin 45︒︒︒︒+=1122=⨯14=+=(2)原式()2sin 2cos 2tan 0465πππππ⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭21sincos0652ππ=+⨯= . 利用诱导公式一可把负角的三角函数转化为0~2π 内的角的三角函数,也可把大于2π 的角的三角函数转化为0~2π 内的角的三角函数, 即实现了“负化正 ,大化小”. 要注意记 忆特殊角的三角 函数值.考点四 三角函数线的应用【例4】 利用单位圆中的工角函数线 ,分别确定角θ的取值范围.(1)sin θ(2)1co s 2-≤< .分析: 先作出三角函数在边界时的三角函数线,观察角在什么范围内变化, 再根据范围区域写出θ 的取值范围.解: (1)图①中阴影部分就是满足条件的角θ 的范围, 即,32223k k k Z πππθπ+≤≤∈+ .(2)图②中阴影部分就是满足条件的角θ 的范围,即22362k k πππθπ<--+≤+ 或22,326k k Z k ππθππ<≤+∈+ .解形如()f m α≤ 或()()1f m m α≥< 的式子时,在直角坐标及单位圆中标出满足()f m α= 的两个角的终边(若为正弦函数,则角的终边是直线y m = 与单位圆的两个交点 与原点的连线;若为余弦函数,则角的终边是直线x m = 与单位圆的两个交点与原点的连 线 ;若为正切函数,则角的终边与角的终边的反向延长线表示的正切值相同). 根据三角函数值的大小,先找出α 在0~2π (或 ~ππ- )内 的取值 ,再加上2()k k Z π∈ 即可.。

三角函数性质与应用例题和知识点总结一、三角函数的基本定义在直角三角形中，正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan）分别定义为：正弦：对边与斜边的比值，即sinθ ＝对边／斜边。

余弦：邻边与斜边的比值，即cosθ ＝邻边／斜边。

正切：对边与邻边的比值，即tanθ ＝对边／邻边。

二、三角函数的性质1、周期性正弦函数和余弦函数的周期都是2π，即 sin(x ＋2π) ＝ sin(x)，cos(x ＋2π) ＝ cos(x)；正切函数的周期是π，即 tan(x ＋π) ＝ tan(x)。

2、奇偶性正弦函数是奇函数，即 sin(x) ＝ sin(x)；余弦函数是偶函数，即cos(x) ＝ cos(x)。

3、值域正弦函数和余弦函数的值域都是－1, 1，正切函数的值域是 R（全体实数）。

4、单调性正弦函数在π/2 ＋2kπ, π/2 ＋2kπ 上单调递增，在π/2 ＋2kπ, 3π/2 ＋2kπ 上单调递减（k∈Z）。

余弦函数在2kπ, π ＋2kπ 上单调递减，在π ＋2kπ, 2π ＋2kπ 上单调递增（k∈Z）。

正切函数在（π/2 ＋kπ, π/2 ＋kπ) 上单调递增（k∈Z）。

三、三角函数的应用例题例 1：已知一个直角三角形的一个锐角为 30°，斜边为 2，求这个直角三角形的两条直角边的长度。

解：因为一个锐角为 30°，所以 sin30°＝ 1/2，cos30°＝√3/2。

设 30°角所对的直角边为 a，邻边为 b，则：a ＝ 2×sin30°＝ 2×（1/2) ＝ 1b ＝ 2×cos30°＝ 2×（√3/2) ＝√3例 2：求函数 y ＝ 2sin(2x ＋π/3) 的最大值和最小值，并求出取得最值时 x 的值。

解：因为正弦函数的值域为－1, 1，所以 2sin(2x ＋π/3) 的值域为－2, 2。

三角函数中的常考题型及其解法三角函数中常考题型及解法：一、求解三角函数值1、求正弦函数值解法：使用正弦定理进行求解，总结如下：（1）正弦定理（用于直角三角形）：a/sinA=b/sinB=c/sinC；（2）正弦表：常记正弦值，如15°的正弦值是0.2588；（3）半角公式：sin(x/2)=±√[(1-cosx)/2]；（4）倍角公式：sin2x=2sinxcosex。

2、求余弦函数值解法：使用余弦定理进行求解，总结如下：（1）余弦定理（用于直角三角形）：a²=b²+c²-2bc·cosA；（2）余弦表：常记余弦值，如45°的余弦值是0.7071；（3）化简余弦值：常用公式或知识点化简余弦值，如极限化简，勾股定理等；（4）半角公式：cos(x/2)=±√[(1+cosx)/2]；（5）倍角公式：cos2x=cos²x-sin²x。

三、求解三角函数表达式1、求正弦函数表达式解法：（1）可用图像法求解，如求函数y=2sin(x+π/6)的图形，可将之前已知的普通正弦图形向右移动π/6，并放大2倍；（2）也可用公式求解，如求函数y=2sin(x+π/6)，用单位正弦函数表示法，则有y=2sin(x)·cos(π/6)+2cos(x)·sin(π/6)。

2、求余弦函数表达式解法：（1）可用图像法求解，如求函数y=2cos(x+π/6)的图形，可先求出正弦函数的图像，再进行垂直翻转；（2）也可用公式求解，如求函数y=2cos(x+π/6)，用单位余弦函数表示法，则有y=2cos(x)·cos(π/6)-2sin(x)·sin(π/6)。

初中三角函数知识点总结及典型习题共5页初三下学期锐角三角函数知识点总结及典型题1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。

2、在直角三角形Rt△ABC中，若∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为：定义表达式取值范围关系正弦 sinA a/c (-1,1] 对边/斜边余弦 cosA b/c (-1,1] 邻边/斜边正切 tanA a/b (-∞。

+∞) 对边/邻边同时，有以下关系式：sinA = cosBcosA = sinBsin^2A + cos^2A = 13、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，余弦值等于它的余角的正弦值。

即：sinA = cos(90°-A)cosA = sin(90°-A)4、特殊角的三角函数值：角度 30° 45° 60°正弦值1/2 √2/2 √3/2余弦值√3/2 √2/2 1/2正切值√3/3 1 √35、正弦、余弦的增减性：当0°≤A≤90°时，XXX随A的增大而增大，cosA随A的增大而减小。

6、正切的增减性：当0°<A<90°时，XXX随A的增大而增大。

7、正弦定理、余弦定理：1) 三角形常用公式：A+B+C=π；S=1/2absinC=1/2bcsinA=1/2casinB2) 三角形中的边角不等关系：A>B⇔a>b。

a+b>c。

a-b<c3) 正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R（外接圆直径）4) 正弦定理应用范围：①已知两角和任一边，求其他两边及一角。

②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。

③几何作图时，存在多种情况。

如已知a、b及A，求作三角形时，要分类讨论，确定解的个数。

已知两边和其中一边的对角解三角形，有如下的情况：1)A为锐角一解：a = bsinA/sinB两解：a < b2)A为锐角或钝角，当a>b时有一解。

专题04三角函数的应用（1个知识点4种题型1个易错点1种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.解直角三角形的应用（重点、难点）【方法二】实例探索法题型1.方向角问题题型2.坡度、坡角问题题型3.方案决策问题题型4.一题多解——求建筑物的高【方法三】差异对比法易错点：对俯角的意义理解错误【方法四】仿真实战法考法.解直角三角形的应用-坡角问题【方法四】成果评定法【学习目标】1.进一步体会三角函数在解决实际问题中的作用。

2.能够把实际问题转化数学问题，能够借助计算器进行有关s'j函数的计算，并能够进一步对结果的意义进行说明，提高解决实际问题的能力。

3.能利用解直角三角形的有关知识，解决测量、航海、工程技术等生活中的实际问题。

重难点：把实际问题转化为直角三角形问题，通过解直角三角形形达到求解的目的。

【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.解直角三角形的应用（重点、难点）1．水平线：水平面上的直线以及和水平面平行的直线.2．铅垂线：垂直于水平面的直线，我们通常称为铅垂线.3．在测量时，如图，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角.4．如图，坡面的铅垂高度(h )和水平宽度(l )的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i ，即h i l=.坡度通常写成1:m 的形式，如i =1︰1.5．5．坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作α.坡度i 与坡角α之间的关系:h i tan lα==.知识延伸※1．方向角：以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向，旋转到目标的方向线所成的小于90°的角，通常表达成北（南）偏东（西）*度.若正好为45°，则表示为西（东）南（北）方向.2．方位角：从标准方向的北端起，顺时针方向到直线的水平角称为该直线的方位角.方位角θ的取值范围为0360θ≤< .【例1】．（2023秋•成都期中）如图，一座古塔座落在小山上（塔顶记作点A ，其正下方水平面上的点记作点)B ，小李站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，但由于某些原因，无人机无法直接飞到塔顶进行测量，因此他先控制无人机从脚底（记为点)C 出发向右上方（与地面成45︒，点A ，B ，C ，O 在同一平面）的方向匀速飞行4秒到达空中O 点处，再调整飞行方向，继续匀速飞行8秒到达塔顶，已知无人机的速度为5米/秒，75AOC ∠=︒，（求小李到古塔的水平距离即BC 的长．（结果精确到1m 1.41≈ 1.73)≈【分析】过点O作OD BC⊥，交BC的延长线于点D，过点O作OE AB⊥，垂足为E，根据题意可得：40AO=米，20OC=米，OE BD=，//OE BD，从而可得45EOC OCD∠=∠=︒，进而可得30AOE∠=︒，然后在Rt OCD∆中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，再在Rt AOE∆中，利用锐角三角函数的定义求出OE的长，从而求出BD的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【解答】解：过点O作OD BC⊥，交BC的延长线于点D，过点O作OE AB⊥，垂足为E，由题意得：8540AO=⨯=（米)，4520OC=⨯=（米)，OE BD=，//OE BD，45EOC OCD∴∠=∠=︒，75AOC∠=︒，30AOE AOC EOC∴∠=∠-∠=︒，在Rt OCD∆中，2cos452022CD OC=⋅︒=⨯=)，在Rt AOE∆中，3cos304032OE AO=⋅︒=⨯=（米)，3OE BD∴==)，310221BC BD CD∴=-=-≈（米)，∴小李到古塔的水平距离即BC的长约为21米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【例2】．（2023秋•盘州市期中）某超市利用一个带斜坡的平台装卸货物，其纵断面ACFE如图所示．AE为台面，AC垂直于地面，AB表示平台前方的斜坡．斜坡的坡角ABC∠为43︒，坡长AB为2m．为保障安全，又便于装卸货物，决定减小斜坡AB的坡角，AD是改造后的斜坡(D在直线BC上），坡角ADC∠为31︒．求斜坡AD底端D与平台AC的距离CD．（结果精确到0.1)m【参考数据：sin430.68︒=，cos430.73︒=，tan430.93︒=；sin310.52︒=，cos310.86︒=，tan310.60︒=】【分析】首先在Rt ABC∆中，求出AC的长，再在Rt ADC∆，由tanACADCCD∠=，即可求出CD的长．【解答】解：在Rt ABC∆中，sinAC ABCAB∠=，sin4320.68 1.36() AC AB m∴=⋅︒=⨯=，在Rt ADC∆中，tanAC ADCCD ∠=，∴1.362.3()tan310.60ACCD m ==≈︒，∴斜坡AD底端D与平台AC的距离CD约为2.3m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是利用三角函数知识解直角三角形．【例3】．（2023秋•九龙坡区校级月考）如图，海岸边上有三个观测站A，B，C，观测站B在观测站A的东北方向，观测站C在观测站B的正东方向，观测站B，C之间的距离为30海里．某天，观测站A，B，C同时收到一艘轮船在D处发出的求救信号，经分析，D在观测站C的南偏东15︒方向，在观测站B的东南方向，在观测站A的正东方向．（1）求CD的长度．（结果精确到个位）（2）目前只有观测站A与B配备了搜救艇，搜救艇航速为30海里/时．收到求救信号后，因观测站B的搜救艇在检修，接到任务后不能马上出发，需30分钟后才能出发，而且必须先去C处，才能再去D处（在C 处停留时间可忽略不计）；而观测站A的搜救艇接到任务后可马上出发，并直接到达D处．请问哪一个观测站的搜救艇可以更快到达D 1.414≈ 1.732)≈【分析】（1）过点C 作CE BD ⊥于点E ，利用方向角的意义，等腰直角三角形的性质和含30︒角的直角三角形的性质解答即可；（2）过点B 作BF AD ⊥于点F ，利用（1）的结论和等腰直角三角形的判定与性质求得AD 的长度，通过比较两个搜救艇到达D 处所需的时间解答即可．【解答】解：（1）由题意得：//AD BC ，45CBD ∠=︒，9015105BCD ∠=︒+︒=︒，30BC =海里．过点C 作CE BD ⊥于点E ，如图，则CBE ∆为等腰直角三角形，45BCE ∴∠=︒，21522BE CE ===（海里），60DCE BCD BCE ∴∠=∠-∠=︒，30CDE ∴∠=︒，2242CD CE ∴==≈（海里）；（2）观测站A 的搜救艇可以更快到达D 处．理由：由（1）知：152BE =海里，22156DE CD CE =-=（海里），(152156)BD BE DE ∴=+=海里．过点B 作BF AD ⊥于点F ，由题意得：45NAB BAD ∠=∠=︒，//BF AN ，45ABF ∴∠=︒，45DAF ∠=︒ ，90ABD ∴∠=︒，ABD ∴∆为等腰直角三角形，23030382AD BD ∴==+≈（海里）．∴观测站A 的搜救艇到达D 处需要8230 2.73÷=（小时）． 观测站B 的搜救艇到达D 处需要：1(3042)300.5 2.4 2.92++÷=+=（小时），∴观测站A 的搜救艇可以更快到达D 处．【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，方向角，直角三角形的边角关系定理，特殊角的三角函数值，利用已知条件恰当的添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键．【方法二】实例探索法题型1.方向角问题1．（2023•高碑店市模拟）如图为东西流向且河岸平行的一段河道，点A ，B 分别为两岸上一点，且点B 在点A 正北方向，由点A 向正东方向走a 米到达点C ，此时测得点B 在点C 的北偏西55︒方向上，则河宽AB 的长为()A ．tan 55a ︒米B ．cos55a ︒米C ．tan 35a ︒米D ．tan 55a ︒米【分析】连接AB ，BC ，根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：连接AB ，BC ，由题意得，90BAC ∠=︒，55ABC ∠=︒，AC a =米，tan tan 55AC ABC AB ∴∠=︒=，tan 55tan 55AC a AB ∴==︒︒，【点评】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．2．（2023•金东区二模）如图，小明在C 处看到西北方向上有一凉亭A ，北偏东35︒的方向上有一棵大树B ，已知凉亭A 在大树B 的正西方向，若50BC =米，则AB 的长等于()米．A ．5050sin 35cos35-︒︒B ．5050sin 35cos35+︒︒C ．50(cos35sin 35)︒-︒D ．50(cos35sin 35)︒+︒【分析】过点C 作CD AB ⊥，垂足为D ，先在Rt BCD ∆中，利用锐角三角函数的定义求出BD ，CD 的长，然后在Rt ADC ∆中，利用锐角三角函数的定义求出AD 的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【解答】解：过点C 作CD AB ⊥，垂足为D ，在Rt BCD ∆中，35BCD ∠=︒，50BC =米，sin 3550sin 35BD BC ∴=⋅︒≈︒（米)，cos 4550cos 35CD BC =⋅︒=︒（米)，在Rt ADC ∆中，45ACD ∠=︒，tan 4550cos 35AD CD CD ∴=⋅︒==︒（米)，50cos3550sin 3550(cos35sin 35)AB AD BD ∴=+=︒+︒=︒+︒米，【点评】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．3．（2023秋•徐汇区期末）如图，一段东西向的限速公路MN 长500米，在此公路的南面有一监测点P ，从监测点P 观察，限速公路MN 的端点M 在监测点P 的北偏西60︒方向，端点N 在监测点P 的东北方向，那么监测点P 到限速公路MN 的距离是米（结果保留根号）．【分析】过点P 作PA MN ⊥于点A ，则90PAM PAN ∠=∠=︒，设PA x =米，证PAN ∆是等腰直角三角形，得NA PA x ==米，再由锐角三角函数定义得MA =米，然后由MA NA MN +=，求出250x =-，即可得出结论．【解答】解：如图，过点P 作PA MN ⊥于点A ，则90PAM PAN ∠=∠=︒，设PA x =米，由题意可知，60MPA ∠=︒，45NPA ∠=︒，PAN ∴∆是等腰直角三角形，NA PA x ∴==米，tan tan 60MAMPA PA∠==︒= ，MA ∴==（米)，500MA NA MN +== ，∴500x +=，解得：250x =-，即监测点P 到限速公路MN 的距离是250)-米，故答案为：250)-．【点评】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．4．（2023春•沙坪坝区校级期中）在公园里，同一平面内的五处景点的道路分布如图所示，经测量，点D 、E 均在点C 的正北方向且600CE =米，点B 在点C 的正西方向，且BC =点B 在点A 的南偏东60︒方向且400AB =米，点D 在点A 1.414≈， 1.732≈ 2.449)≈．（1）求道路AD 的长度（精确到个位）；（2）若甲从A 点出发沿A —D —E 的路径去点E ，与此同时乙从点B 出发，沿B —A —E 的路径去点E ，其速度为40米/分钟．若两人同时到达点E ，请比较谁的速度更快？快多少？（精确到十分位）【分析】（1）过点A 作AF CB ⊥，交CB 的延长线于点F ，过点A 作AG DC ⊥，垂足为G ，根据题意可得：AF CG =，AG CF =，然后在Rt AFB ∆中，利用锐角三角函数的定义求出AF ，BF 的长，从而求出CF 的长，再在Rt ADG ∆中，利用锐角三角函数的定义求出AD 的长，即可解答；（2）利用（1）的结论可求出EG 的长，再在Rt AGE ∆中，利用勾股定理可求出AE 的长，然后在Rt ADG ∆中，利用锐角三角函数的定义求出DG 的长，从而求出甲和乙的路程，最后进行计算即可解答．【解答】解：（1）过点A 作AF CB ⊥，交CB 的延长线于点F ，过点A 作AG DC ⊥，垂足为G ，由题意得：AF CG =，AG CF =，在Rt AFB ∆中，60BAF ∠=︒，400AB =米，∴1cos604002002AF AB=⋅︒=⨯=（米)，sin60400BF AB=⋅︒=⨯（米)，200CG AF∴==米，BC=∴CF BF BC=+=+=（米)，∴AG CF==米，在Rt ADG∆中，904545DAG∠=︒-︒=︒，∴980cos45AGAD==︒（米)，∴道路AD的长度约为980米；（2）600CE=米，200CG=米，400EG CE CG∴=-=（米)，在Rt AGE∆中，AG=米，∴800AE=（米)，在Rt ADG∆中，45DAG∠=︒，∴tan45DG AG=⋅︒=)，∴甲的路程400)AD DE AD DG EG=+=+-=米，乙的路程4008001200AB AE=+=+=（米)，乙的速度为40米/分钟，∴乙所用的时间12003040==（分钟），∴甲所用的时间也是30分钟，∴甲的速度42.4=≈（米/分钟），42.440 2.4∴-=（米/分钟），∴若两人同时到达点E，甲的速度更快，快2.4米/分钟．【点评】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，勾股定理的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．5．（2023秋•沙坪坝区校级月考）如图，五边形ABCDE 是某公园的游览步道，把公园的五个景点连接起来，为方便游览，增设了步道AC ．经勘测，90BAE ∠=︒，景点C 在景点A 的东北方向，且在景点B 的南偏东60︒方向的800米处，景点D 在景点C 的正南方向500米处，150AED ∠=︒ 1.414≈ 1.732)≈（1）求景点A 与景点E 的距离；（结果精确到1米）（2）甲、乙两人同时从景点A 出发，选择相反的路线依次游览其余四个景点，最后回到景点A ，两人在各景点处停留时间忽略不计．其中甲的游览路线是A B C D E A →→→→→，甲游览的平均速度是100米/分，乙游览的平均速度是80米/分．请通过计算说明在游览过程中，甲、乙谁先到达景点C ？【分析】（1）延长AE ，CD 交于点G ，连接AC ，过点C 作CF AB ⊥于点F ，利用含30︒角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质解答即可；（2）利用（1）的结论分别计算出甲，乙两人的走的路程，再计算出到达点C 的时间即可．【解答】解：（1）延长AE ，CD 交于点G ，连接AC ，过点C 作CF AB ⊥于点F ，如图，由题意得：800BC =米，500CD =米，60ABC ∠=︒，景点C 在景点A 的东北方向，45BAC CAG ∴∠=∠=︒．在Rt BFC ∆中，60B ∠=︒ ，30BCF ∴∠=︒，400BF ∴=（米)，CF ==（米)．90AFC ∠=︒ ，45BAC ∠=︒，AF FC ∴==)，AC ∴==)，45CAG ∠=︒ ，90G ∠=︒，2AG GC AC ∴===（米)，500)DG CG CD ∴=-=米，150AED ∠=︒ ，30DEG ∴∠=︒，21000)DE DG ∴==米，(1200EG ∴==-米，1200359AE AG EG ∴=-=-≈（米)．答：景点A 与景点E 的距离359米．（2）乙先到达景点C ，理由：由（1）知：4008001893AB AF BF =+=++≈（米)，35910005001245AE DE CD ++=++=（米)，∴甲到达点C 所有的时间为189310018.93÷=（分)，乙到达点C 所有的时间为12458015.56÷≈（分)，18.9315.56> ，∴乙先到达景点C ．【点评】本题主要考查了直角三角形的应用，含30︒角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，方向角，近似数和有效数字，恰当的构造直角三角形是解题的关键．6．（2023秋•九龙坡区校级期中）如图，五边形ABCDE 是一个公园沿湖的健身步道（步道可以骑行），BD 是仅能步行的跨湖小桥．经勘测，点B 在点A 的正北方935米处，点E 在点A 的正东方，点D 在点B 的北偏东74︒，且在点E 的正北方，90C ∠=︒，800BC =米，600CD =米．（参考数据：sin 740.96︒≈，cos 740.27︒≈，tan 74 3.55)︒≈（1）求AE 的长度（结果精确到1米）；（2）小明和爸爸在健身步道锻炼，小明以200米/分的速度从点A 出发沿路线A B C D E A →→→→→的方向骑行，爸爸以150米/分的速度从点B 出发沿路线B D E A →→→的方向跑步前行．两人约定同时出发，那么小明和爸爸谁先到达A 点？请说明理由．【分析】（1）过点B 作BF DE ⊥，垂足为F ，根据垂直定义可得90BFE BFD ∠=∠=︒，再根据题意可得：74GBD ∠=︒，90A E ∠=∠=︒，从而可得四边形ABFE 是矩形，进而可得AB FE =，AE BF =，//AB EF ，然后利用平行线的性质可得74GBD BDF ∠=∠=︒，在Rt BCD ∆中，利用勾股定理求出BD 的长，再在Rt BFD ∆中，利用锐角三角函数的定义求出BF 的长，即可解答；（2）在Rt BFD ∆中，利用锐角三角函数的定义求出DF 的长，从而求出DE 的长，然后进行计算，比较即可解答，【解答】解：（1）如图：过点B 作BF DE ⊥，垂足为F ，90BFE BFD ∴∠=∠=︒，由题意得：74GBD ∠=︒，90A E ∠=∠=︒，∴四边形ABFE 是矩形，935AB FE ∴==米，AE BF =，//AB EF ，74GBD BDF ∴∠=∠=︒，90C ∠=︒ ，800BC =米，600CD =米1000BD ∴===（米)，在Rt BFD ∆中，sin 7410000.96960BF BD =⋅︒≈⨯=（米)，960BF AE ∴==米，AE ∴的长度约为960米；（2）爸爸先到达A 点，理由：在Rt BFD ∆中，74BDF ∠=︒，1000BD =米，cos 7410000.27270DF BD ∴=⋅︒≈⨯=（米)，935EF = 米，9352701205DE DF EF ∴=+=+=（米)，∴小明从点A 出发沿路线A B C D E A →→→→→的方向骑行需要的时间450022.5200200AB BC CD DE AE ++++===（分钟），爸爸从点B 出发沿路线B D E A →→→的方向跑步前行需要的时间316521.1150150BD DE EA ++===（分钟），21.1 分钟22.5<分钟，∴爸爸先到达A 点．【点评】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．7．（2023秋•沙坪坝区校级月考）如图，小明家A 和商店C 都在地铁站D 的正西方向，小亮家B 在地铁站的西北方，且在小明家北偏东15︒方向．一天，小明和小亮相约去地铁站坐地铁，小明到离家4千米的商店C 时，小亮家B 恰在商店C 的北偏西30︒方向． 1.41≈， 2.45)≈（1）求小明和小亮家的距离（保留根号）；（2）小明从商店出发继续前往地铁站，此时小亮也从家出发乘坐公交车沿BD 方向前往地铁站，其中小明的步行速度为每小时8千米，公交车的行驶速度为每小时25千米，谁先到达地铁站呢？请说明理由．【分析】（1）过点A 作AE BC ⊥，垂足为E ，根据题意可得：75BAC ∠=︒，60BCA ∠=︒，从而利用三角形内角和定理可得45ABC ∠=︒，然后在Rt AEC ∆中，利用锐角三角函数的定义求出AE 和CE 的长，再在Rt ABE ∆中，利用锐角三角函数的定义求出AB 的长，即可解答；（2）过点B 作BF AC ⊥，垂足为F ，在Rt ABE ∆中，利用锐角三角函数的定义求出BE 的长，从而求出BC 的长，然后在Rt BCF ∆中，利用锐角三角函数的定义求出BF 和CF 的长，再在Rt BFD ∆中，利用锐角三角函数的定义求出DF 和BD 的长，从而求出CD 的长，最后进行计算即可解答．【解答】解：（1）过点A 作AE BC ⊥，垂足为E，由题意得：901575BAC ∠=︒-︒=︒，903060BCA ∠=︒-︒=︒，18045ABC BAC BCA ∴∠=︒-∠-∠=︒，在Rt AEC ∆中，4AC =千米，1cos 60422CE AC ∴=⋅︒=⨯=（千米），3sin 60432AE AC =⋅︒=⨯=（千米），在Rt ABE ∆中，2326sin 4522AE AB ===︒，∴小明和小亮家的距离为26千米；（2）小明先到达地铁站，理由：过点B 作BF AC ⊥，垂足为F，在Rt ABE ∆中，45ABE ∠=︒，AE =千米，tan 45AE BE ∴==︒，2CE =千米，(2BC BE CE ∴=+=+千米，在Rt BCF ∆中，60BCF ∠=︒，sin 60(2(32BF BC ∴=⋅︒=+⨯=+千米，1cos 60(2(12CF BC =⋅︒=+⨯=千米，在Rt BFD ∆中，904545BDF ∠=︒-︒=︒，(3tan 45BF DF ∴==︒千米，sin 45BF BD ==︒千米，3(12CD DF CF ∴=-=++=（千米）， 小明的步行速度为每小时8千米，公交车的行驶速度为每小时25千米，∴小明到达地铁站需要的时间210.2584===（小时），小亮到达地铁站需要的时间0.27=（小时），0.25 小时0.27<小时，∴小明先到达地铁站．【点评】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．题型 2.坡度、坡角问题8．（2023•秦都区校级模拟）菏泽某超市计划更换安全性更高的手扶电梯，如图，把电梯坡面的坡角由原来的37︒减至30︒，已知原电梯坡面AB 的长为8米，更换后的电梯坡面为AD ，点B 延伸至点D ，求BD 的长．（结果精确到0.1米．参考数据：sin 370.60︒≈，cos 370.80︒≈，tan 370.75︒≈，3 1.73)≈【分析】根据正弦的定义求出AC ，根据余弦的定义求出BC ，根据正切的定义求出CD ，结合图形计算，得到答案．【解答】解：在Rt ABC ∆中，8AB =米，37ABC ∠=︒，则sin 80.60 4.8AC AB ABC =⋅∠≈⨯=（米)，cos 80.80 6.40BC AB ABC =⋅∠≈⨯=（米)，在Rt ADC ∆中，30ADC ∠=︒，则 4.88.30tan tan 3033AC CD ADC ===≈∠︒（米)，8.30 6.40 1.9BD CD BC ∴=-=-≈（米)，答：BD 的长约为1.9米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．题型3.方案决策问题9．（2023秋•大东区期末）如图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC 表示车后盖，已知1AB m =，0.6BC m =，123ABC ∠=︒，该车的高度 1.7AO m =．如图2，打开后备箱，车后盖ABC 落在AB C ''处，AB '与水平面的夹角27B AD '∠=︒．（1）求打开后备箱后，车后盖最高点B '到地面l 的距离；（2）若小明爸爸的身高为1.83m ，他从打开的车后盖C 处经过，有没有碰头的危险请说明理由．（结果精确到0.01m ，参考数据：sin 270.454︒≈，cos 270.891︒≈，tan 270.510︒≈3 1.732)≈【分析】（1）过点B E AD '⊥于E ，根据正弦的定义求出B E '，进而求出车后盖最高点B '到地面l 的距离；（2）过点C '作C F B E '⊥'于点F ，根据题意求出60C B F ∠''=︒，根据余弦的定义求出B F '，再求出点C '到地面l 的距离，比较大小证明结论．【解答】解：（1）如图2，过点B E AD '⊥于E ，在Rt △AB E '中，1AB AB m '==，27B AD ∠'=︒，sin B E B AE AB '∠'='，sin 1sin 270.454()B E AB B AE m ∴'='⋅∠'=⨯︒≈，∴点B '到地面l 的距离为：0.454 1.7 2.154 2.15()m +=≈，答：车后盖最高点B '到地面l 的距离约为2.15m ；（2）没有碰头的危险，理由如下：如图2，过点C '作C F B E '⊥'于点F ，在Rt △AB E '中，27B AD ∠'=︒，则902763AB E ∠'=︒-︒=︒，123AB C ABC ∠'=∠=︒ ，60C B F ∴∠''=︒，0.6B C BC m ''== ，1cos 0.60.3()2B F BC C B F m ∴'=''⋅∠''=⨯=，∴点C '到地面l 的距离为：2.150.3 1.85()m -=，1.85 1.8> ，∴没有碰头的危险．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，正确作出辅助线、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．题型4.一题多解——求建筑物的高10．（2023秋•长春期末）在综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度．如图，塔AB 前有一座高为3m 的观景台DE ，已知30DCE ∠=︒，点E 、C 、A 在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C 处测得塔顶部B 的仰角为45︒，在观景台D 处测得塔顶部B 的仰角为27︒．求塔AB 的高度．【参考数据：tan 270.5︒=，3 1.7=】．【分析】根据题意可得：DE EC ⊥，然后在Rt DEC ∆中，利用含30度角的直角三角形的性质得333CE DE m ==，过点D 作DF AB ⊥，垂足为F ，设AB h =m ，根据题意得：(33)DF EA h m ==，3DE FA m ==，则(3)BF h m =-，然后在Rt BDF ∆中，利用锐角三角函数的定义求出BF 的长，从而列出关于h 的方程，进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：DE EC ⊥，在Rt DEC ∆中，30DCE ∠=︒，90DEC ∠=︒，3DE m =，∴333CE DE m ==，BA EA ⊥ ，在Rt ABC ∆中，45BCA ∠=︒，AB h =m ，tan 45AB AC h m ∴==︒，∴)AE EC AC h m =+=，过点D 作DF AB ⊥于点F ，由题意得：3DE FA m ==，)DF EA h m ==，AB h = m ，(3)BF AB AF h m ∴=-=-，在Rt BDF ∆中，27BDF ∠=︒，tan 270.5(33)BF DF h m ∴=⋅︒=+，∴3)h h -=，∴611.1h =+=，11.1AB m ∴=，∴塔AB 的高度约为11.1m ．【点评】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角，熟练掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．11．（2023秋•闵行区月考）如图，AB ，CD 表示两栋建筑，小明想利用建筑CD 玻璃幕墙的反射作用来测建筑AB 的高度，首先他在建筑AB 的底部A 处用测角仪测得其顶部B 在建筑CD 玻璃幕墙上的反射点E 的仰角为α，然后他沿AC 前进了10米到达点F 处，再用测角仪测得建筑AB 的顶部B 在建筑CD 玻璃幕墙上的反射点G 的仰角为β，已知1tan 3α=，1sin 3β=，测角仪置于水平高度1.5米的M 、N 处．试求建筑AB 的高度．【分析】延长BE ．BG 分别交MN 的延长线于M '，N '，MM '于CD 相交于H ，设NH xm =，则(10)MH x m =+，(210)N M x m '=+，(220)MM x m '=+，在Rt △MM B '中，1tan (210)3BM MM x α='=+ ，在Rt △MN B '中，tan BM MN β=' ，根据1sin 3β=求得2tan 4β=，于是得到210)4BM x =+，列方程解得30235x =+，于是得到1[2(30235)20] 1.5(20231.5)3AB m =⨯+++=+．【解答】解：延长BE ．BG 分别交MN 的延长线于M '，N '，MM '于CD 相交于H ，设NH xm =，则(10)MH x m =+，(210)N M x m '=+，(220)MM x m '=+，在Rt △MM B '中，1tan (220)3BM MM x α='=+ ，在Rt △MN B '中，tan BM MN β=' ，1sin 3β=，22cos 3β∴=，2tan 4β∴=，210)BM x ∴=+，∴12(220)10)34x x +=+，解得：30235x =，1[2(30235)20] 1.5(20231.5)3AB m ∴=⨯+++=+．答：建筑AB 的高度为(20231.5)m ．【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．【方法三】差异对比法易错点：对俯角的意义理解错误12．（2023秋•诸城市期中）如图，数学兴趣小组用无人机测量一幢楼AB 的高度．小亮站立在距离楼底部94米的D 点处，操控无人机从地面F 点，竖直起飞到正上方60米E 点处时，测得楼AB 的顶端A 的俯角为30︒，小亮的眼睛点C 看无人机的仰角为45︒（点B 、F 、D 三点在同一直线上）．求楼AB 的高度．（参考数据：小亮的眼睛距离地面1.7米，3 1.7)≈【分析】过点C 作CG EF ⊥，垂足为G ，延长BA 交HE 于点I ，根据题意可得：BI EH ⊥， 1.7GF CD ==米，CG DF =，EI BF =，60EF IB ==米，94BD =米，从而可得58.3EG =米，然后在Rt EGC ∆中，利用锐角三角函数的定义求出CG 的长，从而求出IE 的长，再在Rt AIE ∆中，利用锐角三角函数的定义求出AI 的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【解答】解：如图：过点C 作CG EF ⊥，垂足为G ，延长BA 交HE 于点I ，由题意得：BI EH ⊥， 1.7GF CD ==米，CG DF =，EI BF =，60EF IB ==米，94BD =米，60 1.758.3EG EF FG ∴=-=-=（米)，在Rt EGC ∆中，45ECG ∠=︒，58.3tan 45EG CG ∴==︒（米)，58.3CG DF ∴==米，9458.335.7IE BF BD DF ∴==-=-=（米)，在Rt AIE ∆中，30AEI ∠=︒，tan 3035.7AI IE ∴=⋅︒=⨯（米)，6039.77AB IB IA ∴=-=-≈（米)，∴楼AB 的高度约为39.77米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【方法四】仿真实战法考法.解直角三角形的应用-坡角问题1．（2023•淄博）如图，与斜坡CE 垂直的太阳光线照射立柱AB （与水平地面BF 垂直）形成的影子，一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上．若2BC =米，8.48CD =米，斜坡的坡角32ECF ∠=︒，则立柱AB 的高为米（结果精确到0.1米）．科学计算器按键顺序计算结果（已取近似值）0.5300.8480.625【分析】延长AD 交BF 于点H ，根据余弦的定义求出CH ，进而求出BH ，再根据正切的定义计算，得到答案．【解答】解：如图，延长AD 交BF 于点H ，在Rt CDH ∆中，8.48CD =米，32DCH ∠=︒，cos CD DCH CH ∠=，8.4810cos 0.848CD CH DCH ∴=≈=∠（米)，10212BH CH BC ∴=+=+=（米)，90CDH ∠=︒ ，32DCH ∠=︒，903258DHC ∴∠=︒-︒=︒，AB BF ⊥ ，905832BAH ∴∠=︒-︒=︒，在Rt ABH ∆中，tan BH BAH AB ∠=，1219.2tan 0.625BH AB BAH ∴=≈=∠（米)，故答案为：19.2．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．2．（2023•十堰）如图所示，有一天桥高AB 为5米，BC 是通向天桥的斜坡，45ACB ∠=︒，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C 延伸到D 处，使30D ∠=︒，则CD 的长度约为()（参考数据：1.414≈ 1.732)≈A ．1.59米B ．2.07米C ．3.55米D ．3.66米【分析】由90BAC ∠=︒，45ACB ∠=︒，得45ABC ACB ∠=∠=︒，则5AC AB ==米，由90BAD ∠=︒，30D ∠=︒，得60ABD ∠=︒，则tan 603AD AB =︒=，所以3AD AB =，则3 3.66CD AD AC AB AC =-=-≈米，于是得到问题的答案．【解答】解：在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，45ACB ∠=︒，45ABC ACB ∴∠=∠=︒，5AC AB ∴==米，在Rt ABD ∆中，90BAD ∠=︒，30D ∠=︒，60ABD ∴∠=︒，∴tan tan 603AD ABD AB=∠=︒=，3AD AB ∴=，3 1.73255 3.66CD AD AC AB AC ∴=-=-≈⨯-≈（米)，CD ∴的长度约为3.66米，故选：D ．【点评】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、等腰直角三角形的判定、锐角三角函数与解直角三角形等知识，推导出3AD AB =是解题的关键．3．（2023•深圳）爬坡时坡面与水平面夹角为α，则每爬1m 耗能(1.025cos )J α-，若某人爬了1000m ，该坡角为30︒，则他耗能()（参考数据：3 1.732≈，2 1.414)≈A ．58J B ．159J C ．1025J D ．1732J【分析】根据题意可得：他耗能1000(1.025cos30)=⨯-︒，进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：某人爬了1000m ，该坡角为30︒，则他耗能1000(1.025cos30)1000(1.025159()J =⨯-︒=⨯-≈，故选：B ．【点评】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，准确熟练地进行计算是解题的关键．4．（2023•辽宁）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山．需要登顶600m 高的山峰，由山底A 处先步行300m 到达B 处，再由B 处乘坐登山缆车到达山顶D 处．已知点A ，B ，D ，E ，F 在同一平面内，山坡AB 的坡角为30︒，缆车行驶路线BD 与水平面的夹角为53︒（换乘登山缆车的时间忽略不计）．（1）求登山缆车上升的高度DE ；（2）若步行速度为30/m min ，登山缆车的速度为60/m min ，求从山底A 处到达山顶D 处大约需要多少分钟（结果精确到0.1)min ．（参考数据：sin 530.80︒≈，cos 530.60︒≈，tan 53 1.33)︒≈【分析】（1）根据直角三角形的边角关系求出BM ，进而求出DE 即可；（2）利用直角三角形的边角关系，求出BD 的长，再根据速度、路程、时间的关系进行计算即可．【解答】解：（1）如图，过点B 作BM AF ⊥于点M ，由题意可知，30A ∠=︒，53DBE ∠=︒，600DF m =，300AB m =，在Rt ABM ∆中，30A ∠=︒，300AB m =，11502BM AB m EF ∴===，600150450()DE DF EF m ∴=-=-=，答：登山缆车上升的高度DE 为450m ；（2）在Rt BDE ∆中，53DBE ∠=︒，450DE m =，sin DE BD DBE∴=∠4500.80≈562.5()m =，∴需要的时间t t t =+步行缆车300562.53060=+19.4()min ≈，答：从山底A 处到达山顶D 处大约需要19.4分钟．【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．5．（2023•大庆）某风景区观景缆车路线如图所示，缆车从点A 出发，途经点B 后到达山顶P ，其中400AB =米，200BP =米，且AB 段的运行路线与水平方向的夹角为15︒，BP 段的运行路线与水平方向的夹角为30︒，求垂直高度PC ．（结果精确到1米，参考数据：sin150.259︒≈，cos150.966︒≈，tan150.268)︒≈【分析】过点B 作BD PC ⊥，垂足为D ，过点B 作BE AC ⊥，垂足为E ，根据题意可得：CD BE =，然后分别在Rt ABE ∆和Rt BDP ∆中，利用锐角三角函数的定义求出BE 和DP 的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【解答】解：过点B 作BD PC ⊥，垂足为D ，过点B 作BE AC ⊥，垂足为E ，由题意得：CD BE =，在Rt ABE ∆中，15A ∠=︒，400AB =米，sin154000.259103.6BE AB ∴=⋅︒≈⨯=（米)，103.6CD BE ∴==米，在Rt BDP ∆中，30PBD ∠=︒，200BP =米，11002DP BP ∴==（米)，204PC PD DC ∴=+≈（米)，∴垂直高度PC 约为204米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【方法五】成果评定法一、单选题A ．10tan 40⋅︒米B 【答案】A 【分析】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．【详解】解：∵ABC 为直角三角形，A ．170m【答案】D 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点四边形ABED 是矩形，得到可求出答案．【详解】解：如图所示，过点由题意得AB CD AD ∥，∴AB AD ⊥，又∵BE CD ⊥，∴四边形ABED 是矩形，∴10m DE AB AD ==，在Rt EBC 中，tan α=∴105m CE =，∴115m CD DE CE =+=故选D ．4．（2023上·四川资阳则AC的长是（）A．53米B【答案】A【分析】本题考查了坡比计算，熟练掌握定义是解题的关键．【详解】∵堤高5BC=米，迎水坡∴:5:1:==BC AC AC解得53AC=（米），故选A．5．（2023上·山西长治·九年级校联考期末）该支架三个脚长度相同且与地面夹角相同．如图∠脚AB的长为2米，BA．2tan70︒米B．2sin【答案】B【分析】本此题主要考查了解直角三角形的应用，直接利用锐角三角函数关系得出。

三角函数应用(常见题型)一、求角的弧度和角度常用的角度单位有度和弧度两种，它们在三角函数的应用中经常被使用。

- 弧度是一个角所对应的弧长与半径之比，通常用符号“rad”表示。

角度为360度时，对应的弧度为2π弧度。

- 角度是用一个直角顶点处的一条封闭射线除以另外一条初始射线所得的比值。

通常用符号“°”表示。

角度为360度时，对应的弧度为2π弧度。

在实际计算中，经常需要将角度和弧度进行转换。

根据以上定义，可以得到下面的换算关系：- 弧度 = 角度× π / 180- 角度 = 弧度× 180 / π二、常见题型1. 根据已知边长求角度：题目描述：已知直角三角形一边长为a，另一边长为b，求其夹角C的度数。

解题思路：使用三角函数中的反函数来求解。

根据问题描述，已知a和b，可以计算出斜边长c，然后使用反正弦函数求解夹角C。

$$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$$$C = \arcsin \left(\frac{b}{c}\right)$$2. 根据已知角度求边长：题目描述：已知直角三角形一边长为a，另一边长为b，其中夹角C的度数已知，求斜边的长度。

解题思路：使用三角函数中的正弦函数来求解。

根据问题描述，已知a、b和夹角C，可以使用以下公式求解斜边c的长度。

$$c = \frac{b}{\sin(C)}$$3. 角度和边长之间的关系：题目描述：已知直角三角形一边长为a，另一边长为b，其中夹角C的度数已知，求另一个夹角A的度数。

解题思路：注意，直角三角形中，角A和角C的和为90度。

所以可以利用该关系来求解角A的度数。

$$A = 90 - C$$三、总结三角函数的应用在几何学和物理学中有广泛的使用。

通过掌握常见题型的解法，我们可以更好地理解和应用三角函数，解决实际问题。

三角函数相关知识点总结一、三角函数的定义。

1. 锐角三角函数。

- 在直角三角形中，设一个锐角为α。

- 正弦sinα=(对边)/(斜边)。

例如，在直角三角形ABC中，∠ C = 90^∘，∠A=α，BC为∠ A的对边，AB为斜边，则sinα=(BC)/(AB)。

- 余弦cosα=(邻边)/(斜边)，对于上述三角形，AC为∠ A的邻边，cosα=(AC)/(AB)。

- 正切tanα=(对边)/(邻边)=(BC)/(AC)。

2. 任意角三角函数（单位圆定义）- 设角α终边上一点P(x,y)，r=√(x^2)+y^{2}。

- sinα=(y)/(r)。

- cosα=(x)/(r)。

- tanα=(y)/(x)(x≠0)。

二、三角函数的基本性质。

1. 定义域。

- y = sin x和y=cos x的定义域都是R（全体实数）。

- y=tan x的定义域是<=ft{xx≠ kπ+(π)/(2),k∈ Z}。

2. 值域。

- y = sin x和y=cos x的值域都是[ - 1,1]。

- y=tan x的值域是R。

3. 周期性。

- y = sin x和y=cos x的最小正周期都是2π。

即sin(x + 2kπ)=sin x，cos(x +2kπ)=cos x，k∈ Z。

- y=tan x的最小正周期是π，tan(x + kπ)=tan x，k∈ Z。

4. 奇偶性。

- y=sin x是奇函数，因为sin(-x)=-sin x。

- y = cos x是偶函数，因为cos(-x)=cos x。

- y=tan x是奇函数，因为tan(-x)=-tan x。

5. 单调性。

- y=sin x在<=ft[-(π)/(2)+2kπ,(π)/(2)+2kπ](k∈ Z)上单调递增，在<=ft[(π)/(2)+2kπ,(3π)/(2)+2kπ](k∈ Z)上单调递减。

- y=cos x在[2kπ-π,2kπ](k∈ Z)上单调递增，在[2kπ,2kπ + π](k∈ Z)上单调递减。

三角函数例题和知识点总结三角函数是数学中一个重要的分支，在解决几何、物理等问题中有着广泛的应用。

下面我们将通过一些例题来深入理解三角函数的知识点。

一、三角函数的基本概念三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等。

在直角三角形中，正弦函数定义为对边与斜边的比值，余弦函数定义为邻边与斜边的比值，正切函数定义为对边与邻边的比值。

例如，一个直角三角形的一个锐角为θ，对边为 a，邻边为 b，斜边为 c，则sinθ ＝ a/c，cosθ ＝ b/c，tanθ ＝ a/b。

二、特殊角的三角函数值我们需要牢记一些特殊角（如 0°、30°、45°、60°、90°）的三角函数值。

｜角度｜ 0°｜ 30°｜ 45°｜ 60°｜ 90°｜｜｜｜｜｜｜｜｜ sin ｜ 0 ｜ 1/2 ｜√2/2 ｜√3/2 ｜ 1 ｜｜ cos ｜ 1 ｜√3/2 ｜√2/2 ｜ 1/2 ｜ 0 ｜｜ tan ｜ 0 ｜√3/3 ｜ 1 ｜√3 ｜不存在｜三、三角函数的诱导公式诱导公式用于将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数。

例如，sin(180° α) ＝sinα，cos(180° α) ＝cosα 等。

四、三角函数的图像和性质1、正弦函数 y ＝ sin x 的图像是一个周期为2π 的波浪线，其值域为-1, 1，在0, 2π内，函数在 x ＝π/2 处取得最大值 1，在 x ＝3π/2 处取得最小值－1。

2、余弦函数 y ＝ cos x 的图像也是一个周期为2π的波浪线，值域为-1, 1，在0, 2π内，函数在 x ＝ 0 处取得最大值 1，在 x ＝π 处取得最小值－1。

五、例题解析例 1：已知sinα ＝ 1/2，且α为锐角，求α的度数和cosα的值。

因为sinα ＝ 1/2，且α为锐角，所以α ＝ 30°。

三角函数知识点及题型总结
三角函数是数学中的一种基本概念，主要用于研究三角形的几何性质和三角函数的性质。

下面是三角函数的知识点和题型总结：
知识点：
1. 三角函数的定义：三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数。

它们分别表示三角形中的角度与其对应的边长或高度之间的关系。

2. 三角函数的图像：正弦函数和余弦函数的图像呈周期性变化，余切函数和正切函数的图像呈双曲线形状。

三角函数的图像可以用来确定角度的大小和方向。

3. 三角函数的性质：三角函数具有周期性、奇偶性、单调性等性质。

这些性质可以用来解决三角函数的相关问题。

题型总结：
1. 三角函数的定义和性质：这类题目主要考察对三角函数定义和性质的理解和掌握程度。

例如，给出一个角度和对应的边长或高度，要求计算该角度的正弦值、余弦值或正切值等。

2. 三角函数的图像：这类题目主要考察对三角函数图像的观察和理解能力。

例如，给定一个角度或一个角度范围，要求画出对应的三角函数图像。

3. 三角函数的应用：这类题目主要考察三角函数在实际问题中的应用能力。

例如，要求解决一个三角形的几何问题，需要利用三角函数的性质和图像来求解。

总之，三角函数是数学中的一个重要概念，需要掌握其定义、性质和图像，并能够在实际问题中灵活运用。

第24讲三角函数概念及定义5种题型总结【考点分析】考点一：角的概念①任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角(逆时针旋转）、负角（顺时针旋转）和零角（不旋转）．②所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是{}Z k k S ∈+︒⋅==，αββ360．③象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，叫做轴线角．④象限角的集合表示方法：考点二：弧度制的概念①定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．②角度制和弧度制的互化：rad 180π=︒,rad 1801π=︒,π︒=180rad 1．③扇形的弧长公式：r l ⋅=α，扇形的面积公式：22121r lr S ⋅==α．考点三：任意角的三角函数①定义：任意角α的终边与单位圆交于点)(y x P ，时，则y =αsin ，x =αcos ，)0(tan ≠=x xyα．考点四：任意角三角函数的性质如下：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号αsin R ＋＋－－αcos R＋－－＋αtan }2|{Z k k ∈+≠，ππαα＋－＋－【题型目录】题型一：与角α终边相同的角的集合的表示题型二：判断等分角的象限问题题型三：扇形的弧长、面积公式的计算题型四：任意角三角函数的定义题型五：三角函数值的正负判断【典例例题】题型一：与角α终边相同的角的集合的表示【例1】将－1485°化成()202,k k απαπ+≤<∈Z 的形式是（）A ．π8π4-B ．784π-πC ．104π-πD ．7104π-π【例2】与2022︒终边相同的角是（）A ．488-︒B ．148-︒C ．142︒D ．222︒【例3】与角94π的终边相同的角的表达式中，正确的是（）A ．245k π+ ，k Z ∈B ．93604k π⋅+，k Z ∈C ．360315k ⋅- ，k Z∈D ．54k ππ+，k Z ∈【例4】已知角2022α= ，则角α的终边落在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【例5】终边落在直线y =上的角α的集合为（）A ．{}18030,Z k k αα=⋅︒+︒∈B ．{}18060,Z k k αα=⋅︒+︒∈C ．{}36030,k k αα=⋅︒+︒∈Z D ．{}36060,Z k k αα=⋅︒+︒∈【例6】（多选题）如果角α与角45γ+︒的终边相同，角β与45γ-︒的终边相同，那么αβ-的可能值为（）A ．90︒B ．360︒C ．450︒D ．2330︒【例7】下列说法中正确的是（）A ．第二象限角大于第一象限角B ．若()360360180k k k α⋅︒<<⋅︒+︒∈Z ，则α为第一或第二象限角C ．钝角一定是第二象限角D ．三角形的内角是第一或第二象限角【例8】已知{}4536090360k k ααα∈︒+⋅︒≤≤︒+⋅︒，则角α的终边落在的阴影部分是（）A ．B ．C ．D ．【题型专练】1.把375-︒表示成2πk θ+，k Z ∈的形式，则θ的值可以是（）A ．π12B ．π12-C ．5π12D ．5π12-2.下列各角中，与1840︒角终边相同的角是（）A ．40︒B ．220︒C ．320︒D ．400-︒3.与2022︒终边相同的角可以为___________.（填写一个符合题意的角即可）4.若角α的终边在直线y x =-上，则角α的取值集合为（）A ．2,4k k πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z B ．32,4k k πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z C ．3,4k k πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z D ．,4k k πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z 5.如图，用弧度制表示终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合：______.6．5π3-的角化为角度制的结果为_______．7.（多选题）下列条件中，能使α和β的终边关于y 轴对称的是（）A ．90αβ+=︒B ．180αβ+=︒C ．()36090k k αβ+=⋅︒+︒∈Z D ．()()21180k k αβ+=+⋅︒∈Z 8．如果角α与角x ＋45°具有相同的终边，角β与角x －45°具有相同的终边，那么α与β之间的关系是（）A ．0αβ+=︒B ．90αβ-=︒C ．()360k k αβ+=⋅︒∈Z D ．()36090k k αβ-=⋅︒+︒∈Z 9．若360k αθ=⋅︒+，()360,m k m βθ=⋅︒-∈Z ，则角α与角β的终边一定（）A ．重合B ．关于原点对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称10．集合|,4k k k Z παπαπ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭中的角所表示的范围(阴影部分)是（）A ．B ．C ．D ．题型二：判断等分角的象限问题【例1】若18045,k k Z α=⋅+∈ ，则α的终边在（）A ．第一、三象限B ．第一、二象限C ．第二、四象限D ．第三、四象限【例2】（多选）若α是第二象限角，则（）A ．πα-是第一象限角B ．2α是第一或第三象限角C ．32πα+是第二象限角D ．α-是第三或第四象限角【题型专练】1.角α的终边属于第一象限，那么3α的终边不可能属于的象限是（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.θ是第二象限角，则下列选项中一定为负值的是（）A ．sin2θB ．cos2θC ．sin 2θD ．cos 2θ3.已知角α第二象限角，且cos cos 22αα=-，则角2α是（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角题型三：扇形的弧长、面积公式的计算【例1】已知扇形OAB 的圆心角为2，弦长2AB =，则扇形的弧长等于（）A ．1sin1B ．2sin1C ．1cos1D ．2cos1【例2】如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，钱塘江和钱江潮头是会徽的形象核心，绿水青山展示了浙江杭州山水城市的自然特征，江潮奔涌表达了浙江儿女勇立潮头的精神气质，整个会徽形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧AD 长度是1l ，弧BC 长度是2l ，几何图形ABCD 面积为1S ，扇形BOC 面积为2S ，若122l l =，则12S S =（）A ．1B ．2C ．3D ．4【例3】已知扇形的周长为4cm ，当它的半径为________cm 和圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________cm 2.【例4】《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧AB 及其所对弦AB 围成的图形．若弧田的弦AB 长是2，弧所在圆心角的弧度数也是2，则弧田的弧AB 长为_______，弧田的面积为_________．【例5】（多选题）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为1S ，其圆心角为θ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S的比值为12时，扇面为“美观扇面”2.236≈）（）A ．122S S θπθ=-B ．若1212SS =，扇形的半径3R=，则12S π=C ．若扇面为“美观扇面”，则138θ≈D ．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径20R =，则此时的扇形面积为()20035-【题型专练】1．已知扇形的圆心角为135︒，扇形的弧长为3π，则该扇形所在圆的半径为___________.2.已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的圆心角的弧度数可能是（）A ．1B ．4C ．2D ．33.沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB 是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是AB 的中点，D 在 AB 上，CD AB ⊥．“会圆术”给出AB 的弧长的近似值s 的计算公式：2CD s AB OA=+．当2,60OA AOB =∠=︒时，s =（）A ．11332-B ．11432-C ．9332-D ．9432-4．玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人．某扇形玉雕壁面尺寸（单位：cm ）如图所示，则该玉雕壁画的扇面面积约为（）A ．2160cm B ．23200cm C ．23350cm D ．24800cm 5.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.按如下方法剪裁，扇面形状较为美观.从半径为r 的圆面中剪下扇形OAB ，使剪下扇形OAB 后所剩扇形的弧长与圆周长的比值为512-，再从扇形OAB 中剪下扇环形ABDC 制作扇面，使扇环形ABDC 的面积与扇形OAB 的面积比值为512-.则一个按上述方法制作的扇环形装饰品（如图）的面积与圆面积的比值为（）A ．512-B ．514-C ．352-6.“圆材埋壁”是我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题，现有一个“圆材埋壁”的模型，其截面如图所示，若圆柱形材料的底面半径为1，截面圆圆心为O ，墙壁截面ABCD 为矩形，且1AD =，则扇形OAD 的面积是__________.7.炎炎夏日，在古代人们乘凉时习惯用的纸叠扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形加工制作而成.如图，扇形纸叠扇完全展开后，扇形ABC 的面积S 为22225cm π，若2BD DA =，则当该纸叠扇的周长C 最小时，BD 的长度为___________cm .题型四：任意角三角函数的定义【例1】已知函数()log 23a y x =++的图象恒过定点A ，若角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，且点A 在角α的终边上，则sin α的值为（）A ．BCD ．【例2】已知角α的终边与单位圆交于点1,22P ⎛- ⎝⎭，则sin α的值为（）A ．B ．12-C ．2D ．12【例3】已知角θ的终边经过点(,3)M m m -，且1tan 2θ=，则m =（）A ．12B ．1C ．2D ．52【题型专练】1.已知()2,P y -是角θ终边上一点，且sin θ=y 的值是（）A ．5-B ．5C ．17-D ．172.已知角α的终边经过点()2,1P -，则sin α=（）AB C ．12-D ．－23.（多选）已知函数())log 201a f x x a a =-+>≠且的图象经过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则11tan sin θθ+的值可能是（）A ．2B ．3C ．14D4.已知角α的终边上有一点()P m ，且sin 4m α=，则m 的值为______．5.已知角α的终边与单位圆的交点为P 1(,)2y -，则sin tan αα＝______．题型五：三角函数值的正负判断【例1】若θ满足sin 0,tan 0θθ<>，则θ的终边在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【例2】若角θ是第四象限角，则sin cos tan sin cos tan y θθθθθθ=++=______．【例3】已知角θ在第二象限，且sin sin 22θθ=-，则角2θ在（）A ．第一象限或第三象限B ．第二象限或第四象限C ．第三象限D ．第四象限【例4】（多选）下列三角函数值中符号为负的是（）A ．sin100︒B ．()cos 220-︒C ．()tan 10-D ．cos π【例5】若角α满足sin cos 0αα⋅<，cos sin 0αα-<，则α在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【例6】我们知道，在直角坐标系中，角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角．已知点()cos ,tan P αα在第三象限，则角α的终边在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【题型专练】1.在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边经过点()1,P m -()0m ≠，则下列各式的值一定为负的是（）A ．cos αB ．sin cos αα-C ．sin cos ααD ．sin 2πα⎛⎫- ⎪⎝⎭2.已知点()tan ,sin P αα在第三象限，则角α在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.在ABC 中，A 为钝角，则点()cos ,tan P A B （）A ．在第一象限B ．在第二象限C ．在第三象限D ．在第四象限4.“角θ是第一或第三象限角”是“sin cos 0>θθ”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.如果cos 0θ<，且tan 0θ<，则sin cos cos θθθ-+的化简为_____.6.已知R θ∈，则“cos 0θ>”是“角θ为第一或第四象限角”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要。

锐角三角函数知识点1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

222c b a =+2、如以下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：定义表达式取值围关系正弦 斜边的对边A A ∠=sin caA =sin1sin 0<<A(∠A 为锐角)B A cos sin = B A sin cos =1cos sin 22=+A A余弦 斜边的邻边A A ∠=cos c bA =cos 1cos 0<<A(∠A 为锐角)正切 的邻边的对边A tan ∠∠=A A b aA =tan 0tan >A(∠A 为锐角)B A cot tan = B A tan cot =AA cot 1tan =(倒数) 1cot tan =⋅A A余切的对边的邻边A A A ∠∠=cot abA =cot0cot >A(∠A 为锐角)3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。

5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)三角函数 0° 30°45°60°90° αsin 0 21 22 23 1 αcos1 23 2221 0 αtan 0 33 1 3 不存在 αcot不存在3133 0对边邻边 斜边 B锐角三角函数题型训练类型一：直角三角形求值1．Rt △ABC 中，,12,43tan ,90==︒=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．2．：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，⋅=∠43sin AOC 求：AB 及OC 的长．3．：⊙O 中，OC ⊥AB 于C 点，AB ＝16cm ，⋅=∠53sin AOC(1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ； (2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC ． 4.A ∠是锐角，178sin =A ，求A cos ，A tan 的值 类型二. 利用角度转化求值：1．：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点．DE ∶AE ＝1∶2．求：sin B 、cos B 、tan B ．2. 如图4，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．8AB =，10BC =,则tan EFC ∠的值为 ( ) Ａ．34 Ｂ．43Ｃ．35Ｄ．453. 如图6，在等腰直角三角形ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，D 为AC 上一点，假设1tan 5DBA ∠=，则AD 的长为( )A ．2 B ．2 C ．1 D ．224. 如图6，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，∠A 的平分线AD =3316求∠B 的度数及边BC 、AB 的长. 类型三. 化斜三角形为直角三角形例1〔2021•〕如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB 的长．例2．：如图，△ABC 中，AC ＝12cm ，AB ＝16cm ，⋅=31sin A(1)求AB 边上的高CD ； (2)求△ABC 的面积S ； (3)求tan B ．例3．：如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝10，AC ＝5．求：sin ∠ABC 的值．对应训练 1．〔2021•〕如图，在Rt△ABC 中，∠BAC=90°，点D 在BC 边上，且△ABD 是等边三角形．假设AB=2，求△ABC 的周长．〔结果保存根号〕2．：如图，△ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，△ABC 的面积等于9，求sin B ． 类型四：利用网格构造直角三角形例1 〔2021•江〕如下图，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为〔 〕 A ．12 B ．55 C ．1010 D ．255DABC对应练习：1．如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______.特殊角的三角函数值例1．求以下各式的值︒-︒+︒30cos 245sin 60tan 2=. 计算：3－1+(2π－1)0－33tan30°－tan45°= 030tan 2345sin 60cos 221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛︒-︒+︒+= ︒-︒+︒60tan 45sin 230cos 2tan 45sin 301cos 60︒+︒-︒=在ABC ∆中，假设0)22(sin 21cos 2=-+-B A ，B A ∠∠，都是锐角，求C ∠的度数 例2．求适合以下条件的锐角．(1)21cos =α (2)33tan =α (3)222sin =α(4)33)16cos(6=- α〔5〕为锐角，且3)30tan(0=+α，求αtan 的值〔〕在ABC ∆中，假设0)22(sin 21cos 2=-+-B A ，B A ∠∠，都是锐角，求C ∠的度数 例3. 三角函数的增减性 1．∠A 为锐角，且sin A <21，则∠A 的取值围是 A. 0°< A < 30° B. 30°< A ＜60° C. 60°< A < 90° D. 30°< A < 90° 2. A 为锐角，且030sin cos <A ，则 〔 〕A. 0°< A < 60°B. 30°< A < 60°C. 60°< A < 90°D. 30°< A < 90° 例4. 三角函数在几何中的应用1．：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BE ＝16cm ，⋅=1312sin A 求此菱形的周长．2．：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，3==BC AC ，作∠DAC ＝30°，AD 交CB 于D 点，求：(1)∠BAD ；(2)sin ∠BAD 、cos ∠BAD 和tan ∠BAD ．3. ：如图△ABC 中，D 为BC 中点，且∠BAD ＝90°，31tan =∠B ，求：sin ∠CAD 、cos ∠CAD 、tan ∠CAD ． 解直角三角形：1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如下图)： 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c ， ①三边之间的等量关系：________________________________．②两锐角之间的关系：__________________________________． ③边与角之间的关系：==B A cos sin ______；==B A sin cos _______；==BA tan 1tan _____；==B A tan tan 1______．④直角三角形中成比例的线段(如下图)．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ．CD 2＝_________；AC 2＝_________； BC 2＝_________；AC ·BC ＝_________．类型一例1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．(1)：a ＝35，235=c ，求∠A 、∠B ，b ；(2)：32=a ，2=b ，求∠A 、∠B ，c ； (3)：32sin =A ，6=c ，求a 、b ；(4)：,9,23tan ==b B 求a 、c ； (5)：∠A ＝60°，△ABC 的面积,312=S 求a 、b 、c 及∠B ．例2．：如图，△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝60°，AC ＝10cm ．求AB 及BC 的长．例3．：如图，Rt △ABC 中，∠D ＝90°，∠B ＝45°，∠ACD ＝60°．BC ＝10cm ．求AD 的长． 例4．：如图，△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝135°，AC ＝10cm ．求AB 及BC 的长． 类型二：解直角三角形的实际应用 仰角与俯角：例1．〔2021•〕如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C 处的高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点的距离是〔 〕 A ． 200米 B ． 200米 C ． 220米 D ． 100〔〕米例2．：如图，在两面墙之间有一个底端在A 点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B 点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D 点．∠BAC ＝60°，∠DAE ＝45°．点D 到地面的垂直距离m 23=DE ，求点B 到地面的垂直距离BC ．例3〔昌平〕19.如图，一风力发电装置竖立在小山顶上，小山的高BD =30m ． 从水平面上一点C 测得风力发电装置的顶端A 的仰角∠DCA =60°， 测得山顶B 的仰角∠DCB =30°，求风力发电装置的高AB 的长．例4.如图，小聪用一块有一个锐角为30︒的直角三角板测量树高，小聪和树都与地面垂直，且相距33米，小聪身高AB 为1.7米，求这棵树的高度.例5．：如图，河旁有一座小山，从山顶A 处测得河对岸点C 的俯角为30°，测得岸边点D 的俯角为45°，又知河宽CD 为50m ．现需从山顶A 到河对岸点C 拉一条笔直的缆绳AC ，求山的高度及缆绳AC 的长(答案可带根号)． 例5．〔2021•〕如图，为测量*物体AB 的高度，在D 点测得A 点的仰角为30°，朝物体AB 方向前进20米，到达点C ，再次测得点A 的仰角为60°，则物体AB 的高度为〔 〕 A ． 10米 B ． 10米 C ． 20米 D ．米 例6．〔2021•〕超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在A 处，离大道的距离〔AC 〕为30米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B 处行驶到C 处所用的时间为8秒，∠BAC=75°． 〔1〕求B 、C 两点的距离；〔2〕请判断此车是否超过了大道60千米/小时的限制速度.〔计算时距离准确到1米，参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.732，3≈1.732，60千米/小时≈16.7米/秒〕 类型四. 坡度与坡角A B CD EA例．〔2021•〕如图，*水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1：3，堤坝高BC=50m ，则应水坡面AB 的长度是〔 〕A ．100mB ．1003mC ．150mD ．503m类型五. 方位角1．：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A 处测得灯塔M 在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B 处，测得灯塔M 在北偏西45°，问该货轮继续向北航行时，与灯塔M 之间的最短距离是多少"(准确到0.1海里，732.13≈) 综合题：三角函数与四边形：〔西城二模〕1．如图，四边形ABCD 中，∠BAD=135°，∠BCD=90°，AB=BC=2， tan∠BDC=63． (1)求BD 的长； (2)求AD 的长．〔2021东一〕2．如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 分别作AE BC E AF ⊥CD 于点F ． 〔1〕求证：∠BAE =∠DAF ； 〔2〕假设AE =4，AF =245，3sin 5BAE ∠=，求CF 的长．三角函数与圆：1． 如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ，和点(00)O ，，与*轴的正半轴交于点D ，B 是y 轴右侧圆弧上一点，则cos∠OBC 的值为〔 〕 A ．12 B ．32C ．35D ．45〔延庆〕19.：在⊙O 中,AB 是直径，CB 是⊙O 的切线，连接AC 与⊙O 交于点D,(1) 求证：∠AOD=2∠C(2) 假设AD=8，tanC=34，求⊙O 的半径。