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高等数学试题一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）1．设f(x)=lnx ，且函数ϕ(x)的反函数1ϕ-2(x+1)(x)=x-1，则[]ϕ=f (x)（ ） ....A B C D x-2x+22-x x+2 ln ln ln ln x+2x-2x+22-x2．()002lim 1cos tt x x e e dt x -→+-=-⎰（ ）A ．0B ．1C ．-1D ．∞ 3．设00()()y f x x f x ∆=+∆-且函数()f x 在0x x =处可导，则必有（ ）.lim 0.0.0.x A y B y C dy D y dy ∆→∆=∆==∆= 4．设函数,131,1x x x ⎧≤⎨->⎩22x f(x)=，则f(x)在点x=1处（ ）A.不连续B.连续但左、右导数不存在C.连续但不可导D. 可导5．设C +⎰2-x xf(x)dx=e ，则f(x)=（ ）2222-x -x -x -x A.xe B.-xe C.2e D.-2e二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6.设函数f(x)在区间[0，1]上有定义，则函数f(x+14)+f(x-14)的定义域是__________. 7．()()2lim 1_________n n a aq aq aq q →∞++++<=8．arctan lim _________x x x→∞= 9.已知某产品产量为g 时，总成本是2g C(g)=9+800，则生产100件产品时的边际成本100__g ==MC 10.函数3()2f x x x =+在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理的点ξ是_________.11.函数3229129y x x x =-+-的单调减少区间是___________.12.微分方程3'1xy y x -=+的通解是___________.13.设2ln 2,6a a π==⎰则___________.14.设2cos x z y =则dz= _______. 15.设{}2(,)01,01y D D x y x y xedxdy -=≤≤≤≤=⎰⎰，则_____________.三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）16.设1x y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求dy.17.求极限0ln cot lim ln x x x+→18.求不定积分.19.计算定积分I=0.⎰ 20.设方程2z x 2e 1y xz -+=确定隐函数z=z(x,y)，求','x y z z 。
各种数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是无理数？A. 2B. √2C. 0.5D. 1/3答案：B2. 函数y=x^2+2x+1的顶点坐标是？A. (-1, 0)B. (1, 0)C. (-1, 2)D. (1, 2)答案：C3. 以下哪个选项不是偶函数？A. y = cos(x)B. y = x^2C. y = x^3D. y = e^x答案：C4. 以下哪个选项是等比数列？A. 2, 4, 8, 16C. 2, 3, 5, 7D. 1, 2, 4, 8答案：D5. 以下哪个选项是二项式定理展开式中的一项？A. x^2 + 2x + 1B. x^3 - 3x^2 + 3x - 1C. x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1D. x^5 - 10x^4 + 40x^3 - 80x^2 + 80x - 32 答案：D6. 以下哪个选项是正弦函数的周期？A. πB. 2πC. 4πD. 6π答案：B7. 以下哪个选项是复数的模？A. |1 + i| = √2B. |1 + i| = 2C. |1 + i| = 1D. |1 + i| = i答案：A8. 以下哪个选项是线性方程组的解？B. x = 2, y = 3C. x = 3, y = 4D. x = 4, y = 5答案：A9. 以下哪个选项是二阶导数？A. f'(x)B. f''(x)C. f'''(x)D. f(x)答案：B10. 以下哪个选项是圆的标准方程？A. (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1B. x^2 + y^2 = 1C. x^2 + y^2 = 2D. (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 2答案：B二、填空题（每题2分，共20分）11. 函数y=x^3的反导数是______。
答案：1/4x^4 + C12. 函数y=sinx的不定积分是______。
数学测试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 已知函数f(x) = 2x^2 - 3x + 5，求f(2)的值。
A. 7B. 9C. 11D. 132. 一个圆的半径为5厘米，求圆的面积。
A. 25π cm²B. 50π cm²C. 75π cm²D. 100π cm²3. 如果一个三角形的两边长分别为3厘米和4厘米，第三边的长度至少为多少厘米？A. 1厘米B. 2厘米C. 5厘米D. 7厘米4. 以下哪个数是无理数？A. 2B. πC. 0.5D. √45. 一个直角三角形的两个直角边长分别为6厘米和8厘米，求斜边的长度。
A. 10厘米B. 12厘米C. 14厘米D. 16厘米二、填空题（每空2分，共10分）6. 圆的周长公式是 C = _________。
7. 一个数的平方根是4，那么这个数是 _________。
8. 一个数的立方根是-2，那么这个数是 _________。
9. 一个数的绝对值是5，这个数可以是 _________ 或 _________。
10. 已知一个数的相反数是-7，那么这个数是 _________。
三、解答题（共75分）11. 计算下列表达式的值：(3x - 2) / (x + 1)，当x = -3时。
12. 已知一个长方形的长是宽的两倍，且周长为24厘米，求长方形的长和宽。
13. 一个班级有40名学生，其中女生人数是男生人数的两倍。
求男生和女生各有多少人？14. 一个工厂生产了x个产品，每个产品的成本是5元，销售价格是10元。
工厂希望获得的利润是销售额的30%，求x的值。
15. 解方程：2x + 3 = 11。
答案：一、选择题1. B（将x=2代入f(x) = 2x^2 - 3x + 5，得f(2) = 2*2^2 - 3*2 + 5 = 4 - 6 + 5 = 9）2. B（圆的面积公式是A = πr²，代入r=5，得A = π*5² = 25π cm²）3. C（根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得1 < 第三边 < 7，故第三边至少为5厘米）4. B（π是无理数）5. A（根据勾股定理，斜边长度为√(6² + 8²) = √(36 + 64) =√100 = 10厘米）二、填空题6. 2πr7. 168. -89. 5, -510. 7三、解答题11. 当x = -3时，(3x - 2) / (x + 1) = (3*(-3) - 2) / (-3 + 1) = (-9 - 2) / (-2) = 11 / 212. 设宽为w厘米，则长为2w厘米。
大学数学精选试题及答案一、选择题1. 设函数f(x)在区间(a, b)内连续，且满足f(a)f(b) < 0，则下列结论正确的是：A. 函数f(x)在(a, b)内至少有一个零点B. 中值定理在(a, b)内不成立C. 函数f(x)在(a, b)内单调递增D. 函数f(x)在(a, b)内单调递减答案：A2. 已知数列{an}满足a1 = 1，且an+1 = an + 2n，求数列的通项公式an。
A. an = n^2B. an = n(n+1)C. an = 2n - 1D. an = 2^n - 1答案：B二、填空题3. 计算定积分∫(0到1) x^2 dx 的值为 ________。
答案：1/34. 设矩阵A为3阶方阵，且|A| = 2，则矩阵A的逆矩阵的行列式为________。
答案：1/2三、解答题5. 证明：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，则f(x)在该区间上一定存在最大值和最小值。
证明：根据连续函数的性质，我们知道如果函数在闭区间上连续，那么它在该区间上必定有最大值和最小值。
首先，由于f(x)在[a, b]上连续，根据闭区间上连续函数的性质，f(x)在[a, b]上也连续。
因此，根据极值定理，f(x)在[a, b]上必定存在最大值和最小值。
6. 求解二元一次方程组：\[\begin{cases}x + y = 5 \\2x - y = 1\end{cases}\]解：将方程组写成增广矩阵形式，通过高斯消元法求解。
首先，我们有\[\begin{bmatrix}1 & 1 & | & 5 \\2 & -1 & | & 1\end{bmatrix}\]通过行变换，我们得到\[\begin{bmatrix}1 & 0 & | & 3 \\0 & 1 & | & -1\end{bmatrix}\]因此，方程组的解为 x = 3，y = -1。
数学各种考试题及答案解析一、选择题1. 下列哪个数是无理数？A. 3.14159B. πC. √2D. 0.33333答案：B、C解析：无理数是无限不循环小数，π和√2都是无理数，而3.14159是π的近似值，0.33333是有限小数。
2. 如果一个数的平方等于它本身，这个数可能是：A. 0B. 1C. -1D. 所有选项答案：D解析：0的平方是0，1的平方是1，-1的平方也是1，因此所有选项都是正确答案。
二、填空题1. 一个数的立方等于它本身，这个数可以是______。
答案：0或1或-1解析：0的立方是0，1的立方是1，-1的立方是-1。
2. 若a和b互为相反数，则a + b = ______。
答案：0解析：相反数的和为0，即a + (-a) = 0。
三、计算题1. 计算下列表达式的值：(1) (-2)^3(2) √(9) + √(16)答案：(1) -8(2) 5解析：(1) 负数的奇数次幂结果为负，即(-2)^3 = -2 * -2 * -2 = -8。
(2) 9的平方根是3，16的平方根是4，相加得3 + 4 = 5。
2. 解方程：2x - 5 = 9答案：x = 7解析：将方程两边同时加5，得到2x = 14，再将两边同时除以2，得到x = 7。
四、解答题1. 证明：若a > b > 0，则a^2 > b^2。
答案：证明如下：由题设，a > b > 0，两边同时平方，得到a^2 > b^2。
因为a和b都是正数，所以平方后不等号方向不变。
解析：利用不等式的基本性质，即正数的平方仍然保持原来的不等关系。
2. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度。
答案：斜边长度为5。
解析：根据勾股定理，直角三角形的斜边长度等于两直角边的平方和的平方根，即√(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5。
五、应用题1. 一个工厂生产了1000个零件，其中不合格品的比例是2%，求不合格品的数量。
数学问题试题及答案大全
1. 加法问题
问题一：
某校举行了一个慈善义卖活动，小明捐赠了50个苹果，小红捐赠了30个苹果，小明和小红一共捐赠了多少个苹果呢？
答案：
小明和小红一共捐赠了 80 个苹果。
80个苹果。
2. 减法问题
问题二：
小芳手里有6颗糖果，她分给小亮2颗糖果后，还剩下多少颗糖果？
答案：
小芳分给小亮2颗糖果后，她还剩下 4 颗糖果。
4颗糖果。
3. 乘法问题
问题三：
小明参加了一场游戏，游戏规则是每个参与者投掷一枚骰子，并将骰子的点数相乘，得到的积就是最终的得分。
如果小明投掷的骰子点数是3，小草投掷的骰子点数是4，那么小明的得分是多少呢？
答案：
小明的得分是 12 分。
12分。
4. 除法问题
问题四：
小明有10个糖果，他想平分给他的5个朋友。
每个朋友能得到多少个糖果呢？
答案：
小明的每个朋友能得到 2 个糖果。
2个糖果。
5. 混合运算问题
问题五：
某校举办了一次田径比赛，小明参加了800米长跑项目。
小明跑了2分钟后，累计距离已经达到了400米。
小明继续以这个速度跑，他需要多少时间才能完成全程比赛呢？
答案：
小明需要再跑 2 分钟，才能完成全程比赛。
2分钟，才能完成全程比赛。
以上是一些关于加法、减法、乘法、除法以及混合运算的数学问题试题及答案。
希望对您有帮助！。
数学试题大全及答案一、选择题1. 下列哪个选项是整数？A. 3.14B. 5C. -2.7D. 0.5答案：B2. 圆的面积公式是什么？A. A = πr²B. A = 2πrC. A = πrD. A = r²答案：A二、填空题1. 一个数的平方根是它本身的数是______和______。
答案：0, 12. 一个直角三角形的两个直角边分别为3和4，其斜边长度为______。
答案：5三、计算题1. 计算下列表达式的值：(1) 2 + 3 × (4 - 1)(2) (-2)³答案：(1) 2 + 3 × 3 = 2 + 9 = 11(2) (-2)³ = -82. 解下列方程：(1) 2x + 5 = 13(2) 3x - 4 = 14答案：(1) 2x = 13 - 5 = 8x = 8 / 2 = 4(2) 3x = 14 + 4 = 18x = 18 / 3 = 6四、解答题1. 一个长方体的长、宽、高分别为2米、3米和4米，求其体积。
答案：长方体的体积 V = 长× 宽× 高= 2 × 3 × 4 = 24 立方米。
2. 某工厂生产一批零件，合格率为98%，如果生产了1000个零件，求不合格的零件数。
答案：不合格的零件数= 1000 × (1 - 98%) = 1000 × 0.02 = 20 个。
五、应用题1. 某商店购进一批商品，进价为每件100元，标价为每件150元。
如果商店希望获得20%的利润率，那么应该打几折销售？答案：首先计算期望的售价：100 × (1 + 20%) = 120元。
然后计算折扣：120 / 150 = 0.8，即打八折。
2. 一个水池有一个进水管和一个出水管，单独开进水管每小时可以注满水池的1/5，单独开出水管每小时可以放空水池的1/6。
数学考试题型及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2. 圆的周长公式是？A. C = πdB. C = 2πrC. C = πrD. C = 2πd答案：B3. 一个数的相反数是-5，这个数是？A. 5B. -5C. 0D. 10答案：A4. 计算下列哪个表达式的结果是正数？A. (-3) × (-2)B. (-3) × 2C. (-3) × (-2) × (-1)D. (-3) × 0答案：A5. 一个等腰三角形的底角是45度，那么顶角是多少度？A. 90B. 45C. 60D. 120答案：C6. 一个数的绝对值是5，这个数可能是？A. 5B. -5C. 5或-5D. 0答案：C7. 下列哪个是二次方程？A. 2x + 3 = 0B. x^2 + 3x + 2 = 0C. 3x - 5 = 0D. x^3 - 2x + 1 = 0答案：B8. 一个数的立方是-8，这个数是？A. 2B. -2C. 8D. -8答案：B9. 计算下列哪个表达式的结果是负数？A. 5 - 3B. -5 - 3C. 5 + 3D. -5 + 3答案：B10. 一个直角三角形的两条直角边分别是3和4，斜边是多少？A. 5B. 7C. 9D. 12答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 一个数的平方根是2，这个数是______。
答案：412. 一个数的立方根是-8，这个数是______。
答案：-51213. 计算 (2/3) × (3/4) 的结果是______。
答案：1/214. 一个等差数列的首项是2，公差是3，那么第5项是______。
答案：1715. 一个二次函数的顶点是(2, -1)，且经过点(0, 3)，这个二次函数的解析式是 y = a(x - 2)^2 - 1，其中a的值是______。
小学数学试题和答案解析一、加法与减法1. 下列哪个选项的计算结果是10？A. 6 + 2B. 12 - 5C. 3 + 4D. 8 - 1答案与解析：B. 12 - 5计算12减去5的结果为7，不是10。
2. 5 + 3 - 2 = ？A. 5B. 6C. 4D. 8答案与解析：B. 6首先计算5加3等于8，再减去2得到6。
二、乘法与除法1. 4 x 7 = ？A. 28B. 30C. 32D. 24答案与解析：A. 284乘以7的结果为28。
2. 18 ÷ 3 = ？A. 6B. 5C. 4D. 3答案与解析：A. 618除以3等于6。
三、分数1. 1/2 + 1/3 = ？A. 2/3B. 3/5C. 5/6D. 1/5答案与解析：A. 2/3将分数通分得到3/6 + 2/6 = 5/6，化简后为2/3。
2. 如果将2/5化为百分数，应写成多少？A. 40%B. 35%C. 20%D. 30%答案与解析：A. 40%将2/5化为百分数，乘以100得到40%。
四、形状与图形1. 下列哪个图形是长方形？A. 三角形B. 正方形C. 梯形D. 长方形答案与解析：D. 长方形长方形具有四个直角和对边相等的特点。
2. 如果一个正方形的边长是6厘米，它的周长是多少厘米？A. 30B. 24C. 36D. 18答案与解析：B. 24正方形的周长等于4乘以边长，即4 x 6 = 24厘米。
五、时间1. 如果现在是上午8点，那么5小时后是几点？A. 上午1点B. 下午1点C. 下午3点D. 中午12点答案与解析：B. 下午1点8点到1点是5个小时，所以5小时后是下午1点。
2. 小明从下午4点玩到下午6点，他一共玩了多少小时？A. 1小时B. 2小时C. 3小时D. 4小时答案与解析：B. 2小时从下午4点到下午6点是2个小时。
以上是关于小学数学试题和答案解析的内容，希朥能帮助你更好地理解和掌握基础数学知识。
数学问题测试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B2. 一个数的平方是9，这个数可能是：A. 3B. -3C. 3或-3D. 9答案：C3. 计算下列哪个表达式的结果为0？A. 2 + 3B. 5 - 5C. 7 * 0D. 8 / 2答案：C4. 如果一个角是直角的一半，那么这个角是：A. 45°B. 90°C. 180°D. 360°答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 圆的周长公式是__________。
答案：C = 2πr2. 一个等差数列的首项为3，公差为2，那么第5项是__________。
答案：133. 一个三角形的三个内角之和是__________。
答案：180°4. 如果一个数的绝对值是5，那么这个数可能是__________。
答案：5或-5三、解答题（每题10分，共20分）1. 计算下列表达式的值：(3x - 2)(x + 1)。
答案：3x^2 + x - 2x - 2 = 3x^2 - x - 22. 一个长方形的长是8厘米，宽是5厘米，求它的周长和面积。
答案：周长 = 2(8 + 5) = 26厘米面积 = 8 * 5 = 40平方厘米四、证明题（每题10分，共20分）1. 证明：如果一个三角形的两边之和大于第三边，那么这个三角形是存在的。
答案：根据三角形不等式定理，如果a、b、c是三角形的三边，那么必须满足a + b > c，a + c > b，b + c > a。
如果一个三角形的两边之和大于第三边，那么它满足这个条件，因此这个三角形是存在的。
2. 证明：勾股定理：在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。
答案：设直角三角形的两直角边为a和b，斜边为c。
根据勾股定理，有a^2 + b^2 = c^2。
可以通过构造一个边长为a+b的正方形，将其分割成两个直角三角形和一个边长为a和b的矩形，然后通过面积相等来证明这个定理。
数学试题答案一、1.【答案】 B【解析】本题选择B选项.2. 【答案】A【解析】本题选择A选项.3. 【答案】B【解析】本题选择B选项.4. 【答案】C【解析】模拟程序框图运行过程，如下；当i=1时,，满足循环条件，此时i=2；当i=2时,，满足循环条件，此时i=3；当i=3时,，满足循环条件，此时i=4；当i=4时,，不满足循环条件，此时本题选择C选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．5. 【答案】D【解析】设第一个月的点击量为 1.则4个月后点击量 .该网站的点击量和原来相比，增长为原来的5倍以上，但不超过6倍。
本题选择D选项.6. 【答案】 B【解析】,“|a|=1”的充要条件是 .本题选择B选项.7. 【答案】A【解析】∵，∴c>b>a.本题选择A选项.点睛：实数比较大小：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．当底数与指数都不相同时，选取适当的“媒介”数（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小．8. 【答案】C【解析】开设英语、法语、西班牙语和德语四个语种的培训过程，要求每名员工参加且只参加其中两种。
没有相同的安排共有种，当每种安排各有4人，则没有5名员工参加的培训完全相同。
此时有员工4×6=24人，当增加1人，必有5名员工参加的培训完全相同。
该公司至少有25名员工。
本题选择C选项.点睛：(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．二、9.【答案】【解析】所以复数在复平面上所对应的点的坐标是 .10.【答案】【解析】如图，由A点向BC作垂线，垂足为D，设AC=x,∵∠CAB=75°，∠CBA=60°，∴∠ACB=180°-75°-60°=45°，∴，∴在Rt△ABD中，（千米），所以两点间的距离是千米.点睛：解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.11.【答案】【解析】在直角坐标系中，A(0,2)，直线l:x=1，A关于直线l的对称点B(2,2).由于，OB直线的倾斜角等于，且点B在第一象限，故B的极坐标为 .12.【答案】48【解析】根据题意，分2种情况讨论：①前排2幅,后排3幅,则前排的必须是A,B,考虑其顺序,有种情况，剩下的三幅放在后排,有种情况，则此时有2×6=12种不同的排法，②前排3幅，后排2幅，需要先在剩下3幅中,选出1幅,与A. B一起放在前排,有种情况，剩下的2幅放在后排,考虑其顺序,有种情况，则此时有18×2=36种不同的排法，则不同的排法共有12+36=48种；故答案为：48.13.【答案】(1). 8(2). 2【解析】过双曲线C:的渐近线方程为，因为过双曲线C: 的右焦点F的直线与C只有一个公共点，所以，又因为，解得，所以，则的焦距为8，的离心率为 2.14.【答案】(1). (2).故的最大值为2，最小值为.三、15. 【答案】(1)1, ;(2) .【解析】试题分析：(Ⅰ)整理函数的解析式，据此可得时，. (Ⅱ)利用题意可得，在直角三角形中可得. 试题解析：（Ⅰ），此时.（Ⅱ）过作轴于，,.点睛：求解三角函数的最值(或值域)时一定要注意自变量的取值范围，由于三角函数的周期性，正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可能不在自变量区间的端点处取得，因此要把这两个最值点弄清楚．16. 【答案】(1)0.7;(2)0.78;(3)B.【解析】试题分析：(Ⅰ)利用题意结合古典概型公式可得从类样本中任选一人，求此人属于中低消费人群的概率为0.7；(Ⅱ)利用题意列出所有可能的时间，然后进行计算可得甲的消费档次不低于乙的消费档次的概率为0.78(Ⅲ)利用题中数据的波动程度可得两类人群哪类月均服装消费额的方差较大是 B.试题解析：（Ⅰ）设此人属于中低消费人群为事件，则（Ⅱ）设甲的消费档次不低于乙的消费档次为事件，则（Ⅲ）答：17. 【答案】(1)详见解析;(2) ;(3) .【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意证得，结合线面平行的判断定理可得平面.(Ⅱ)建立空间直角坐标系，结合平面的法向量可得二面角的大小为30°；(Ⅲ)利用(II)中的空间直角坐标系结合空间向量的坐标表示得到关于实数的方程，解方程可得. 试题解析：（Ⅰ）证明：设是的中点，连接∵ 分别是的中点∴ ，，∴∴ 四点共面∵ ，平面，∴平面（Ⅱ）∵平面底面，∴ 平面，过点作轴与平面垂直，则轴平面以分别为轴，轴建立空间直角坐标系设平面的法向量为，则设平面的法向量为，，，，∴∴ ，∴所求二面角大小为.（Ⅲ），，，，设，，∴ ，∵ 平面，∴∴ ， .点睛：高考中立体几何试题不断出现了一些具有探索性、开放性的试题。
对于这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决。
立体几何引入空间向量后，可以借助向量工具，使几何问题代数化，降低思维的难度.尤其是在解决一些立体几何中的探索性问题时，更可以发挥这一优势.18. 【答案】(1) ;(2)详见解析.【解析】试题分析：(Ⅰ)利用导数求得斜率为1，结合切线所过的点，由点斜式方程可得切线方程为;试题解析：(Ⅰ)因为，，所以因为所以切点为，则切线方程为(Ⅱ)证明:定义域函数所以当时，,均为减函数所以在上单调递减；又因为当时，在上单调递增；又因为当在上单调递减；因为所以在处取得最大值解法二:当时， ,又因为，在上单调递增；当，又因为,在上单调递减；又因为所以在处取得最大值解法三:也可以二次求导,老师斟酌给分19.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意求得，据此可得椭圆的方程为；(Ⅱ)联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理和中点坐标公式可得点的坐标为. 试题解析：（Ⅰ）由已知得，解得所以椭圆的方程为（Ⅱ）法一：∵点在曲线上，∴ 又∵，且为的中点∴为的中位线，且否则，与矛盾设点的坐标为∵点在曲线上，∴ ①∵ ，∴ ②由②得：，代入①整理得：解得：或（舍），∴ ，设点的坐标为则∴ ∴点的坐标为.法二：∵点在曲线上，∴ 又∵，且为的中点∴为的中位线，且否则，与矛盾由（Ⅰ）知，，设直线，得，，设，由韦达定理可知，，由，得∵，∴即，∴，设，∵点是的中点，∴，得，故20. 【答案】(1) 详见解析;(2) ; (3)【解析】试题分析：(Ⅰ)利用题中所定义的可得共有5个可能的值；(Ⅱ)利用题意逐一交换元素的位置，讨论可得：的取值集合为．(Ⅲ)利用(II)中的方法结合排列组合相关结论可得给定正整数，求的个数是试题解析：（Ⅰ）解：，，，，，共个．（Ⅱ）解：首先证明，且．在③中，令，得．由①得．由②得．在③中，令，得，从而．由①得．考虑，即，，此时为最大值．现交换与，使得，此时．现将逐项前移，直至．在前移过程中，显然不变，这一过程称为1次移位．继续交换与，使得，此时．现将逐项前移，直至．在前移过程中，显然不变，执行第2次移位．依此类推，每次移位的值依次递减．经过有限次移位，一定可以调整为，交替出现．注意到为奇数，所以为最小值．所以，的取值集合为．（Ⅲ）解：由①、②可知，有序数组中，有个，个．显然，从中选个，其余为的种数共有种．下面我们考虑这样的数组中有多少个不满足条件③，记该数为．如果不满足条件③，则一定存在最小的正整数，使得（ⅰ）；（ⅱ）．将统统改变符号，这一对应为：，从而将变为个，个组成的有序数组．反之，任何一个个，个组成的有序数组．由于多于的个数，所以一定存在最小的正整数，使得．令对应为：，从而将变为个，个组成的有序数组．因此，就是个，个组成的有序数组的个数．所以的个数是．11。
