作业课题 数列的概念及其表示法

数列的概念和表示方法数列是数学中重要的概念之一。

它由一系列按照一定规律排列的数字组成，这些数字依次排列，每一个数字称为数列的项。

数列的概念和表示方法有着广泛的应用，能够帮助我们解决很多实际问题。

一、数列的概念数列是按照一定规则排列的数字序列。

数列中的每个数字称为该数列的项。

数列可以无限延伸，也可以中断。

数列中的规律可以通过一定的公式或递推关系进行表示。

数列是数学研究以及实际问题解决中的重要工具。

二、数列的表示方法1. 通项公式通项公式是用代数表达式来表示数列中任意一项与该项所在位置之间的关系。

通项公式通常依赖于数列的项数或项号。

例如，斐波那契数列的通项公式为Fn = Fn-1 + Fn-2，其中n为项号，Fn表示第n项的值。

2. 递推公式递推公式是通过已知的一些项来推导出数列中的其他项的公式。

递推公式是数列的项之间的关系表达式。

例如，等差数列的递推公式为an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项的值，a1为首项的值，d为公差。

3. 图形表示数列也可以通过图形表示来展示其规律。

可以使用折线图、柱状图等方式将数列中的项与其对应的位置进行关联，从而更直观地观察数列的规律。

三、数列的应用数列的概念和表示方法在实际问题的解决中有着广泛的应用。

1. 自然科学中常常涉及到一些指数、级数等数列的求和问题。

例如天体物理学中的一些数学模型，对宇宙星系中星体的数量进行估算，可以使用数列求和的方法。

2. 经济学中，通过构建数列模型可以研究经济发展的趋势，并对经济指标进行预测和分析，从而指导经济政策的制定。

3. 在工程领域，数列的应用也非常广泛，如电子电路中的信号处理、图像处理等领域都离不开数列分析与处理。

4. 生活中的一些规律也可以通过数列进行描述，如雨滴的滴落、植物的生长等，都可以用数列来表示和研究。

总结：数列作为数学中的一个重要概念，有着广泛的应用领域。

通过数列的概念和表示方法，我们可以更好地理解和分析规律性的事件和现象。

数列的概念与简单表示法教案一、教学目标1. 了解数列的概念，理解数列的表示方法，如通项公式、项的表示等。

2. 学会用图像和数学公式表示数列。

3. 能够运用数列的性质解决实际问题。

二、教学内容1. 数列的概念：数列是按照一定的顺序排列的一列数。

2. 数列的表示方法：a) 通项公式：数列中每一项的数学表达式。

b) 项的表示：用序号表示数列中的每一项。

3. 数列的图像表示：数列的图像通常为一条直线或曲线。

4. 数列的性质：数列的项数、公差、公比等。

三、教学重点与难点1. 教学重点：数列的概念、数列的表示方法、数列的图像表示。

2. 教学难点：数列的性质及其应用。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生通过观察、分析、归纳数列的性质。

2. 利用多媒体展示数列的图像，增强学生的直观感受。

3. 开展小组讨论，培养学生合作学习的能力。

五、教学步骤1. 引入数列的概念，引导学生理解数列是按照一定顺序排列的一列数。

2. 讲解数列的表示方法，如通项公式、项的表示，让学生学会用数学公式表示数列。

3. 利用多媒体展示数列的图像，让学生了解数列的图像表示方法。

4. 分析数列的性质，如项数、公差、公比等，并引导学生运用数列的性质解决实际问题。

5. 进行课堂练习，巩固所学内容。

教案设计仅供参考，具体实施时可根据学生的实际情况进行调整。

六、教学活动1. 课堂讲解：数列的概念与表示方法。

2. 实例分析：分析生活中常见的数列，如等差数列、等比数列。

3. 练习：求给定数列的前n项和。

七、数列的图像表示1. 讲解：数列图像的绘制方法。

2. 练习：绘制给定数列的图像。

八、数列的性质与应用1. 讲解：数列的性质及其应用。

2. 实例分析：运用数列的性质解决实际问题。

3. 练习：运用数列的性质解决给定问题。

九、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，总结数列的概念、表示方法、图像表示和性质。

2. 强调数列在实际问题中的应用。

十、课后作业1. 习题：求给定数列的前n项和。

6.1 数列的概念及简单表示法1．数列的定义按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．2．数列的分类3．数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．4．数列的通项公式如果数列｛a n｝的第n 项a n与n 之间的关系可以用一个函数式a n＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．S1 n ＝ 15．已知S n，则a n＝S n－S n－1 n ≥ 2 1 21．判断下面结论是否正确 (请在括号中打“√” 或“×” )(1)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( × )(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( √ )1＋－1 n ＋1(3)数列： 1,0,1,0,1,0 ，⋯，通项公式只能是a n＝2 . ( × )(4)如果数列｛a n｝的前n项和为S n，则对? n∈N＋，都有a n＋1＝S n＋1－S n. ( √ )(5)在数列｛a n｝中，对于任意正整数m ，n，a m＋n＝a mn＋1 ，若a1＝1，则a2＝2.( √ )2(6)若已知数列｛a n｝的递推公式为a n＋1＝，且a2＝1，则可以写出数列｛a n｝的任何2a n－1一项． ( √ )2．设数列｛a n｝的前n 项和S n＝n2，则a8 的值为( )A．15 B．16 C．49 D． 64答案 A解析∵S n＝n2，∴ a1＝S1＝1.当n≥2 时，a n＝S n－S n－1＝n2－(n－1)2＝2 n－ 1.∴a n ＝ 2n － 1 ，∴ a8＝ 2 × 8 － 1 ＝ 15.3．已知数列｛a n｝的前n 项和S n满足：S n＋S m＝S n＋m，且a1＝1，那么a10 等于( )答案 A解析 ∵S n ＋S m ＝S n ＋m ，a 1＝1， ∴S 1＝1. 可令 m ＝1，得 S n ＋1＝S n ＋1，∴S n ＋1－ S n ＝1. 即当 n ≥1 时， a n ＋1＝ 1，∴a 10 ＝1.214． （2013·课标全国Ⅰ）若数列｛a n ｝的前 n 项和S n ＝3a n ＋3，则｛a n ｝的通项公式是 a n ＝ ___________________________________________________________________答案 （－ 2）n －1解析 当n ＝1时， a 1＝1；当 n ≥2 时， 22a n ＝ S n －S n －1＝ a n － a n －1，33an故 ＝－ 2，故 a n ＝（－2）n －1a n －1当 n ＝ 1 时，也符合 a n ＝（－2）n －1综上， a n ＝（－ 2）n －1.（2013 ·安徽）如图，互不相同的点 A 1，A 2，⋯，A n ，⋯和 B 1， B 2，⋯，B n ⋯分别在角 O 的两条边上，所有 且所有梯形 A n B n B n ＋1A n ＋1 的面积均相等．设 a 2＝ 2，则数列 ｛a n ｝的通项公式是 ．答案 a n ＝ 3n － 2由相似三角形面积比是相似比的平方知 OA 2n ＋OA 2n ＋2＝2OA 2n ＋1，即 a 2n ＋a 2n ＋2＝2a 2n ＋1，5．＝ 1因此｛a2n｝为等差数列且a2n＝a21＋3（n －1）＝3n － 2，故a n ＝n－2.题型一 由数列的前几项求数列的通项 例 1 写出下面各数列的一个通项公式：(1) 3,5,7,9 ，⋯ ； 1 3 7 15 31 (2) ， ， ， ， ， 2 4 8 16 32(4) 3,33,333,3 333 ，思维启迪 先观察各项的特点，然后归纳出其通项公式，要注意项与项数之间的关系，项与前后项之间的关系．解 (1)各项减去 1 后为正偶数，所以 a n ＝ 2n ＋1.(2) 每一项的分子比分母少 1，而分母组成数列 23242524，(3) 奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子 (－ 1) n ；3－ ， n 为正奇数，n也可写为 a n ＝5 ， n 为正偶数 .n(3)－1，3，4，－5，6，2n－1⋯，所以 a n ＝ 2n各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4 ， ⋯；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为 1，偶数项为 3 ，即奇数项 为 2－ 1，偶数项为 2＋1，所以 a n ＝(－1)n 2＋ － 1 n(4) 将数列各项改写为 9 99 999 9 9993 ， 3 ， 3 ， 3 ⋯，分母都是 3，而分子分别是 10 －1,10 2所以 a n ＝3（10 n－1）．思维升华 根据所给数列的前几项求其通项时， 需仔细观察分析， 抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征，应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想．（1）数列－ 1,7 ，－ 13,19 ，⋯的一个通项公式是 a n ＝ .3 7 9（2）数列｛a n ｝的前 4项是2，1，10，17，则这个数列的一个通项公式是 a n ＝答案2n ＋1(1)(－1)n ·(6n －5) (2)n 2＋1解析（1）符号问题可通过 （－1）n 或（－1）n ＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为后面的 数的绝对值总比前面的数的绝对值大 6，故通项公式为 a n ＝（－1）n（6n －5）．（2）S n ＝3n ＋b .思维启迪 当 n ＝1 时，由 a 1＝ S 1，求 a 1；当 n ≥ 2 时，由 a n ＝S n － S n －1 消去 S n ，得 a n ＋1 与 a n 的关系． 转化成由递推关系求通项． 解 （1）a 1＝S 1＝2－3＝－ 1，当 n ≥ 2 时， a n ＝S n － S n －1 ＝（2n 2－3n ）－［2（n －1）2－3（n －1）］＝4n －5， 由于 a 1 也适合此等式， ∴a n ＝ 4n － 5. （2） a 1＝S 1＝ 3＋b ， 当 n ≥ 2 时， a n ＝S n － S n －12×1＋1 （2） 数列 ｛a n ｝的前 4 项可变形为 2×2＋1 2×3＋ 1 22＋1 ， 32 ＋1 ， 2×4＋142＋1 ，故 2n ＋1n 2＋1题型二 由数列的前 n 项和 S n 求数列的通项 例2 已知下面数列 ｛a n ｝的前 n 项和 S n ，求 ｛a n ｝的通项公式：12＋1 (1)S n ＝2n 2－3n ；当 b ＝－ 1 时，a 1 适合此等式． 当 b ≠－1 时， a 1不适合此等式． ∴当 b ＝－ 1 时， a n ＝2·3n －1； 3＋ b ， n ＝1，当 b ≠－1 时，a n ＝2·3n －1， n ≥2.S 1， n ＝ 1 ， 思维升华数列的通项 a n 与前n 项和S n 的关系是 a n ＝S n － S n －1，a 1 若适合 S n － S n －1，则 n ＝1 的情况可并入 n ≥ 2 时的通项 a n ；当 合 S n － S n － 1，则用分段函数的形式表示．已 知数列 ｛a n ｝的前 n 项和 S n ＝ 3n 6 7－2n ＋1，2，n ＝1答案 a n ＝6n －5，n ≥2解析 当 n ＝1 时， a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2； 当 n ≥ 2 时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝ 6 n － 5 ，显然当 n ＝1 时，不满足上式．2， n ＝ 1 ， 故数列的通项公式为 a n ＝ 6n －5，n ≥2.题型三 由数列的递推关系求数列的通项公式例 3 (1)设数列 ｛a n ｝中， a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ n ＋1 ，则通项 a n ＝7 数列 ｛a n ｝中， a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，则它的一个通项公式为 a nn ＋ 2(3)在数列｛a n ｝中， a 1＝ 1，前 n 项和S n ＝ a n .则｛a n ｝的通项公式为当 n ＝1时， n ≥2.n ＝1 时， a 1若不适则其通项公式为3思维启迪 观察递推式的特点，可以利用累加 （乘 ）或迭代法求通项公式．n n ＋1 因此 a n ＝ 2 ＋ 1.（2）方法一 （累乘法 ）a n ＋1＝3a n ＋2，即 a n ＋1＋1＝3（a n ＋ 1）， a n ＋1＋ 1 即 a n ＋ 1 ＝ 3，a 2＋1a 3＋1 a 4＋ 1 a n ＋1＋1所以a 1＋1＝3，a 2＋1＝3，a 3＋1＝3，⋯， a n ＋1 ＝3.a n ＋1＋1将这些等式两边分别相乘得 a1＋1 ＝3n .a n ＋1＋1因为 a 1＝1 ，所以 1＋1 ＝ 3n ， 即 a n ＋1＝2×3n－1（n ≥1） ， 所以 a n ＝2×3n －1－1（n ≥2），又 a 1＝ 1 也满足上式，故数列 {a n }的一个通项公式为 a n ＝2 ×3n －1－1. 方法二 （迭代法 ）a n ＋1＝ 3a n ＋2， 即 a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)＝32(a n －1＋ 1) ＝ 33(a n － 2 ＋1)答案 n n ＋ 1(1)＋ 1 (2)2 ×3n －1－ 1 (3) a n ＝ n n ＋12解析 （1） 由题意得，当 n ≥2 时，a n ＝a 1＋（a 2－a 1）＋（a 3－a 2）＋⋯＋ （a n －a n －1） ＝2＋（2＋ 3＋⋯＋ n ）＝2＋ n －1 2＋nn n ＋1 ＋ 1.1× 1＋1a ＝2＝＋1 ，符合上式，＝⋯ ＝3n (a 1＋1)＝2× 3n (n ≥1)， 所以 a n ＝2×3n －1－1(n ≥2)，又 a 1＝ 1 也满足上式，故数列 ｛a n ｝的一个通项公式为 a n ＝2 ×3n －1－1. (3) 由题设知， a 1＝ 1.n ＋ 2 n ＋1当 n >1 时， a n ＝S n － S n －1＝ a n － a n － 1.33a n n ＋ 1 a n －1 n －1 a nn ＋1a 4 5∴ ＝ ，⋯ ， ＝ ， a n －1 n －1 a 3 3a 3 4 a 2＝ ， ＝ 3. a 2 2 a 1a n n n ＋ 1以上 n －1 个式子的等号两端分别相乘，得到 ＝ ，a 1 2 思维升华 已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解．当出现 a n ＝a n －1＋m 时，构造等差数列；当出现 a n ＝xa n －1＋y 时，构造等比数列；当 a n出现 a n ＝a n － 1＋f (n )时，用累加法求解；当出现 ＝f (n )时，用累乘法求解．a n －1n － 1(1)已知数列 ｛a n ｝满足 a 1＝ 1，a n ＝(2)已知数列｛a n ｝的前 n 项和为 S n ，且S n ＝2a n －1(n ∈N ＋)，则 a 5等于 ( ) A ．－ 16 B ．16 C ．31 D ．32又∵ a 1＝1， ∴a n ＝ n n ＋1.1答案 (1) (2)Bnn－1解析 (1) ∵a n ＝a n－1 (n≥2) ，n －2 1∴ a n －1＝ a n －2，⋯， a 2＝ a 1.n －1 2以上 (n － 1)个式子相乘得(2) 当 n ＝1 时， S 1＝2a 1－1，∴a 1＝1. 当 n ≥ 2 时， S n －1＝2a n －1－1，∴a n ＝ 2a n －2a n －1 ，∴ an ＝ 2a n －1.∴{a n }是等比数列且 a 1＝1， q ＝2， 故 a 5＝a 1× q 4＝24＝16.典例： (12 分 )已知数列 {a n }．(1) 若 a n ＝ n 2－5n ＋4， ①数列中有多少项是负数？②n 为何值时， a n 有最小值？并求出最小值．(2)若 a n ＝n 2＋kn ＋4 且对于 n ∈N ＋，都有 a n ＋1>a n .求实数 k 的取值范围． 思维启迪 (1)求使 a n <0 的 n 值；从二次函数看 a n 的最小值． (2)数列是一类特殊函数，通 项公式可以看作相应的解析式 f (n )＝n 2＋kn ＋4.f (n )在 N ＋上单调递增，但自变量不连续．从二次函数的对称轴研究单调性． 规范解答解 (1) ①由 n 2－5n ＋4<0 ，解得 1< n <4. ∵n ∈N ＋，∴n ＝2,3.12 23n － 1 a 1 1 n＝n ＝ n5n ＝ .又 n ∈N ＋，∴当 n ＝2或 n ＝32时， a n 有最小值，其最小值为 a 2＝a 3＝－ 2.(2)由 a n ＋ 1> a n 知该数列是一个递增数列， 又因为通项公式 a n ＝n 2＋kn ＋4，可以看作是k 3关于 n 的二次函数，考虑到 n ∈N ＋，所以－ 2<2，即得 k > －3.温馨提醒 (1) 本题给出的数列通项公式可以看做是一个定义在正整数集因此可以利用二次函数的对称轴来研究其单调性，得到实数解决．(2) 在利用二次函数的观点解决该题时，一定要注意二次函数对称轴位置的选取． (3) 易错分析：本题易错答案为 k > － 2.原因是忽略了数列作为函数的特殊性，即自变量是正整数 .方法与技巧1． 求数列通项或指定项．通常用观察法 (对于交错数列一般用 (－1)n 或(－1)n ＋1来区分奇偶 项的符号 )；已知数列中的递推关系， 一般只要求写出数列的前几项， 若求通项可用归纳、 猜想和转化的方法．S 1 n ＝ 12． 强调 a n 与 S n 的关系： a n ＝ .S n －S n －1 n ≥ 23 ． 已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握．一般有二种常见 思路：∴ 数列中有两项是负数，即为 a 2，a 3.[4 分 ]②∵ a n ＝n 2－5n ＋4＝ n －2 2－ 的对称轴方程为 [8 分][12 分 ]N ＋上的二次函数，k 的取值范围，使问题得到(1) 算出前几项，再归纳、猜想；(2) 利用累加或累乘法可求数列的通项公式．失误与防范 1 ． 数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值，如数 列 a n ＝f (n )和函数 y ＝ f (x )的单调性是不同的． 2 ． 数列的通项公式不一定唯一． A 组 专项基础训练 (时间： 40 分钟 ) 、选择题 1． 数列 0,1,0 ，－ 1,0,1,0 ，－ 1， ⋯的一个通项公式是 a n 等于 －1 n ＋ 1 A. B ．cos n π n ＋1 C ． cos π 2 D ． c os n ＋2 π 2 答案 D 解析 令 n ＝1,2,3 ，⋯逐一验证四个选项，易得 D 正确． 2． 数列 {a n }的前 n 项和为 S n ，若 a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则 a 6 等于 ( A ．3×44 B ．3×44＋1 答案 A 解析 当 n ≥1 时， a n ＋1＝3S n ，则 a n ＋2＝ 3S n ＋1， D ．45＋1 C ．45 ∴a n ＋2－a n ＋1＝3S n ＋1－3S n ＝3a n ＋1，即 a n ＋2＝ 4a n ＋1， ∴ 该数列从第二项开始是以 4 为公比的等比数列．1 n ＝ 1 ， 又a 2＝3S 1＝3a 1＝3， ∴a n ＝3×4n －2n ≥2 .∴当 n ＝6 时， a 6＝3×46－2＝3×44.3． 若数列 {a n }的通项公式是 a n ＝（－1）n （3n －2），则 a 1＋a 2＋⋯＋a 10等于 （）A ．15B ．12C ．－ 12D ．－ 15 答案 A 解析 由题意知， a 1＋a 2＋ ⋯＋a 10＝－ 1＋4－7＋10＋⋯＋（－1）10×（3 ×10－2） ＝（－1＋4）＋（－7＋10）＋⋯＋［（－1）9×（3×9－2）＋（－1）10×（3×10 －2）］ ＝ 3 × 5 ＝ 15.A ．有最大项，没有最小项B ．有最小项，没有最大项C ．既有最大项又有最小项D ．既没有最大项也没有最小项 答案 C42解析 ∵数列 {a n }的通项公式为 a n ＝（9）n －1－（3）n －1，2令 t ＝（ ）n －1，t ∈（0,1］ ，t 是减函数，11则 a n ＝t 2－t ＝ （t －2）2－4，由复合函数单调性知 a n 先递增后递减． 故有最大项和最小项，选 C.n 15． 若 S n 为数列 {a n }的前 n 项和，且 S n ＝ ，则 等于n ＋1 a 55 A. 64． 已知数列 {a n } 的通项公式为 42 a n ＝(9)n －1－(3)n －1，则数列 {a n } 6 B. 5C. 30 答案 Dn n －1当 n ≥2 时， a n ＝ S n －S n －1＝ －n ＋1 n1所以 ＝5×6＝ 30.a 5、填空题n 26 ． 已知数列 ｛ 2 ｝，则 0.98 是它的第 _ 项．n 2＋1答案 7n 249解析 n 2＋1＝0.98 ＝50，∴n ＝7.7． 数列 ｛a n ｝中， a 1＝1，对于所有的 n ≥2，n ∈N ＋，都有 a 1·a 2·a 3·⋯·a n ＝n 2，则 a 3＋a 561 答案 16解析 由题意知： a 1·a 2·a 3·⋯·a n －1＝（n －1）2，n∴an ＝（n －1）2（n ≥2），3 5 61∴ a 3＋ a 5＝ （ ）2＋ （ ）2＝ .24 16 8． 已知｛a n ｝是递增数列，且对于任意的 n ∈N ＋，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数 λ的取值范围是 ______ ． 答案 （－3，＋ ∞） 解析 方法一 （ 定义法 ）D ． 30解析因为｛a n｝是递增数列，所以对任意的n∈N ＋，都有a n＋1> a n，即（n ＋1）2＋λ（n ＋ 1）> n2＋λn，整理，得2n ＋1＋λ>0 ，即 λ> －(2n ＋1)．(*)因为 n ≥1，所以－ (2n ＋1)≤－3，要使不等式 (*)恒成立，只需 λ> －3. 方法二 (函数法 )设 f ( n )＝ a n ＝ n 2＋ λn ，其图象的对称轴为直线 n ＝－ 2，要使数列 {a n }为递增数列，只需使定义在正整数上的函数 f (n )为增函数， 故只需满足 f (1)< f (2) ，即 λ> －3. 三、解答题9． 数列 {a n }的通项公式是 a n ＝ n 2－7n ＋ 6.(1) 这个数列的第 4 项是多少？(2)150 是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ (3) 该数列从第几项开始各项都是正数？ 解 (1)当 n ＝4 时， a 4＝42－4×7＋6＝－ 6. (2)令 a n ＝ 150 ，即 n 2－7n ＋6＝150 ， 解得 n ＝16 或 n ＝－ 9(舍去 )， 即 150 是这个数列的第 16 项．(3) 令 a n ＝ n 2－7n ＋6>0 ，解得 n >6 或 n <1( 舍)． 故数列从第 7 项起各项都是正数．9nn ＋ 110 ．已知数列 {a n }的通项公式为 a n ＝ n ，试判断此数列是否有最大项？若有，第几项10 n最大，最大项是多少？若没有，说明理由．当 n <8 时， a n ＋1－ a n >0 ，即 a n ＋1>a n ；当 n ＝ 8 时， a n ＋1－a n ＝ 0，即 a n ＋1＝a n ； 当 n >8 时， a n ＋1－a n <0 ，即 a n ＋1<a n .a n ＋ 1－ a n ＝ 9n ＋1n ＋2 9n n ＋110 n ＋110n 9n8－ n 10 ·10则a1<a2<a3< ⋯<a8＝a9>a10> a11>⋯，故数列 ｛a n ｝ 有最大项，为第 8 项和第 9 项，B 组 专项能力提升（时间： 30 分钟 ）1． 跳格游戏：如图，人从格子外只能进入第 1个格子，在格子中每次可向前跳 1格或 2格，那么人从格子外跳到第 8 个格子的方法种数为 （ ）A ．8 种B ．13 种C ．21 种D ．34 种答案 C解析 设跳到第 n 个格子的方法种数有 a n ，则到达第 n 个格子的方法有两类： ① 向前跳 1 格到达第 n 个格子，方法种数为 a n － 1；②向前跳 2 格到达第 n 个格子，方法种数为 a n －2，则 a n ＝a n －1＋a n －2 ， 由数列的递推关系得到数列的前 8 项分别是 1,1,2,3,5,8,13,21.∴跳到第 8 个格子的方法种数是 21. 故选 C.12．数列｛a n ｝满足 a n ＋a n ＋1＝2 （n ∈N ＋），a 2＝2，S n 是数列｛a n ｝的前 n 项和，则S 21为（ ）1 1 7∴S 21＝10×2＋a 1＝5＋2－2＝297 8×9 且 a 8＝a 9＝ 10 8 9910 811 ∴a 1＝2－a 2＝2－2，a 2＝2， 1a 3＝2－2，a 4＝2，⋯，故 a 2n ＝ 2， 1 a 2n －1＝2－2.23． 若数列 {n (n ＋4)( )n }中的最大项是第 k 项，则 k ＝3答案 422k k ＋4 3 k≥ k ＋ 1 k ＋5 3 k ＋1解析 由题意得22k k ＋4 3 k≥ k － 1 k ＋3 3 k －1k 2≥10，由 k ∈N ＋可得 k ＝4. k 2－2k －9≤0设 c n ＝T 2n ＋1 －T n . (1)求数列 {b n }的通项公式；(2) 判断数列 {c n }的增减性．解 (1)a 1＝2 ，a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2) ．3 n ＝1∴b n ＝1n n ≥2(2) ∵c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋⋯＋ b 2n ＋11 1 1 ＋ ＋⋯ ＋ ， n ＋1 n ＋2 2n ＋111∴ c n ＋1 － c n ＝ ＋2n ＋ 2 2n ＋3 n ＋ 14． 已知数列 {a n }满足前 n 项和 S n ＝n 2＋1，数列 {b n }满足2 b n ＝ ，且前 n 项和为T n ，a n ＋1 所以－1∴ {c n } 是递减数列．5． 设数列 {a n }的前 n 项和为 S n .已知 a 1＝a ，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N ＋.（1）设b n ＝S n －3n ，求数列 {b n }的通项公式；（2）若 a n ＋1≥a n ，n ∈N ＋，求 a 的取值范围． 解 （1） 依题意， S n ＋1－S n ＝ a n ＋1＝S n ＋ 3n ， 即 S n ＋1＝2S n ＋3n ，由此得 S n ＋1－3n ＋ 1＝2（S n － 3n ）． 即 b n ＋1＝2b n ，又 b 1＝S 1－3＝a －3， 因此，所求通项公式为 b n ＝S n －3n ＝（a －3）2 n －1，n ∈N ＋. （2）由（1）知 S n ＝3n ＋（a －3）2n －1，n ∈N ＋， 于是，当 n ≥ 2 时， a n ＝S n －S n －1＝3n ＋（a －3）2 n －1－3n －1－（a －3）2 n －2 ＝2×3n －1＋（a －3）2 n －2， 33n －1＋（a －3）2 n －2＝2n －2［12（ 2）n －2＋a －3］， 3当 n ≥2 时，a n ＋1≥a n ? 12（2）n －2＋a －3≥0? a ≥－ 9. 又 a 2＝a 1＋3> a 1.综上，所求的 a 的取值范围是 ［－9，＋2n ＋3 2n ＋22n ＋3 2n ＋2<0 a n ＋1－ a n ＝4×∞）．7 9 13A ． 5 B. C. D.2 2 2答案 B1解析∵a n＋a n＋1＝2（n∈ N ＋），。

数列的三种表示方法摘要：一、数列的定义与意义二、数列的三种表示方法1.顺序表示法2.通项表示法3.递推表示法三、各种表示方法的优缺点及适用场景四、如何选择合适的表示方法五、数列在实际问题中的应用案例正文：数列是数学中一个重要的概念，它在数学分析、概率论、物理学等多个领域有着广泛的应用。

为了更好地理解和研究数列，我们有必要了解数列的三种表示方法：顺序表示法、通项表示法和递推表示法。

1.顺序表示法顺序表示法是指用自然数表示数列中的每一个元素。

例如，等差数列{a1, a2, a3, ...}，其中a1表示数列的第一个元素，a2表示第二个元素，以此类推。

顺序表示法直观地反映了数列中元素的位置关系，但当数列的项数较多时，记忆和计算都会变得复杂。

2.通项表示法通项表示法是用一个公式来表示数列中任意一项的方法。

例如，等差数列的通项公式为an = a1 + (n - 1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。

通项表示法简洁地反映了数列的规律，方便进行分析和计算。

但需要注意的是，通项表示法适用于具有规律性的数列，对于无规律的数列，通项表示法可能不适用。

3.递推表示法递推表示法是用前一项与当前项之间的关系来表示数列的方法。

例如，斐波那契数列的递推关系式为：fn = fn-1 + fn-2。

递推表示法揭示了数列中项之间的内在联系，有助于发现数列的性质和规律。

但递推表示法在实际应用中可能涉及到复杂的递推关系，计算和分析难度较大。

在实际问题中，选择合适的表示方法至关重要。

一般来说，顺序表示法适用于描述简单有序的数据，通项表示法适用于研究具有规律的数列，递推表示法适用于分析复杂数列之间的关系。

根据问题的需求，我们可以灵活地选择合适的表示方法。

例如，在研究等差数列的求和公式时，我们可以采用通项表示法，将求和公式表示为Sn = n/2 * (a1 + an)，其中Sn表示前n项和，a1表示首项，an 表示第n项。

而在分析斐波那契数列的性质时，我们通常使用递推表示法，通过迭代计算来揭示数列的规律。

数列的概念与简单表示法一．基础知识1．数列的概念：按一定 排列的一列数叫做数列。

数列中的每一个数都叫做数列的 。

从函数的角度看：数列可以看作是一个定义域为 或它的有限子集，当自变量从小到大依次取值时对应的一列 。

2．数列的表示方法：（1）列表法；（2）图示法：数列的图像是离散的点，而不是曲线；（3）通项公式法：用含)(n f a a n n n =，即的式子表示（4）递推公式法：3．数列的分类：（1）按项数的多少可分为 和 ；（2）按数列中相邻两项的大小关系可分为 、 、 和 。

4．（1）数列{}n a 的前n 项和：n n a a a a S ++++= 321（2）的关系与n n S a ： ⎩⎨⎧≥-==-.2111n S S n S a n nn ，，， 二．基本方法 用函数的思想方法处理数列问题（数列的本质是函数）（1）如何理解数列是函数？（2）如何求数列的通项公式？（3）如何判断数列的单调性及求数列中的最大(小)项？三．例题解析例1.根据下面各数列的前几项,写出数列的一个通项公式.（1） 已知数列 ，，，，1111-- （2） 已知数列1，3，5，7，…（3） 已知数列2，4，6，8，…（4） 已知数列1， ，，，814121-- （5） 已知数列 ，，，，924715581-- （6） 3,5,9,17,33……（7） (99)10,638,356,154,32-- 例2. 已知数列{}n a 中,,11=a 且对于任意正整数n ,都有221+=+n n n a a a ,写出数列的前5项,并猜想出它的通项公式.练习： 已知数列的通项公式为a n =122+n n .（1）0.98是不是它的项？（2）判断此数列的增减性.例3.已知下面各数列{}n a 的前项和n S 的公式,求{}n a 的通项公式.(1)n n S n 322-= (2)23-=n n S练习：已知数列{a n }的前n 项和S n 满足a n +2S n S n-1=0 (n ≥2),a 1=21,求a n .例4.已知数列{}n a 的通项公式为n n a n 1003-=,试比较n a 与1+n a 的大小,并求出数列中的最小项.四、课堂检测1.数列2,9,23,44,72,x ,149,…中,x 可能是( )A.82 B ．87 C ．107 D ．1112.已知数列{}n a 的前项和为,3n S n =,则65a a +的值为（ ）。

数列的概念与简单表示法教案第一章：数列的概念1.1 数列的定义引导学生理解数列是由按照一定顺序排列的一列数。

举例说明数列的组成，如自然数数列、等差数列等。

1.2 数列的项解释数列中的每一个数称为数列的项。

强调数列项的顺序和重复性质。

1.3 数列的通项公式引导学生了解通项公式的概念，即用公式表示数列中任意一项的方法。

举例讲解如何写出简单数列的通项公式。

第二章：数列的表示法2.1 列举法讲解如何用列举法表示数列，即直接写出数列的所有项。

练习写出几个给定数列的列举表示。

2.2 公式法解释公式法表示数列的方法，即用公式来表示数列的任意一项。

举例说明如何用公式法表示等差数列和等比数列。

2.3 图像法介绍图像法表示数列的方法，即用图形来表示数列的项。

引导学生通过观察图形来理解数列的特点。

第三章：数列的性质3.1 数列的项数解释数列的项数是指数列中项的数量。

举例说明如何确定一个数列的项数。

3.2 数列的单调性引导学生理解数列的单调性，即数列项的增减规律。

举例说明如何判断一个数列的单调性。

3.3 数列的周期性解释数列的周期性是指数列中项按照一定规律重复出现。

举例说明如何判断一个数列的周期性。

第四章：数列的通项公式4.1 等差数列的通项公式讲解等差数列的定义和性质。

推导等差数列的通项公式。

4.2 等比数列的通项公式讲解等比数列的定义和性质。

推导等比数列的通项公式。

4.3 其他类型数列的通项公式引导学生了解其他类型数列的通项公式。

举例讲解如何求解其他类型数列的通项公式。

第五章：数列的前n项和5.1 等差数列的前n项和讲解等差数列的前n项和的定义和性质。

推导等差数列的前n项和的公式。

5.2 等比数列的前n项和讲解等比数列的前n项和的定义和性质。

推导等比数列的前n项和的公式。

5.3 其他类型数列的前n项和引导学生了解其他类型数列的前n项和的求法。

举例讲解如何求解其他类型数列的前n项和。

第六章：数列的求和公式6.1 数列求和的定义解释数列求和是指将数列中的所有项相加得到一个数值。

课题 数列的概念与简单表示法1、概括数列的概念：(1)按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。

各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….(2)数列的一般形式：ΛΛ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项⑴数列的数是按一定顺序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列顺序不同，那么它们就是不同的数列； ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.2、数列的分类：（1）根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6。

无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…（2）根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。

递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列。

常数数列：各项相等的数列。

摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3、数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 4、递推公式与数列的通项公式的区别是：(1)通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项(或n 项)之间的关系.(2)对于通项公式，只要将公式中的n 依次取1, 2, 3, 4,…即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项(或前n 项)，才可依次求出其他项.3. 用递推公式求通项公式的方法：观察法、累加法、迭乘法.则项之和为的前若记数列, }{ n n S n a ⎪⎩⎪⎨⎧=≥-=-1)( 2)( 11n S n S S a n n n 题型一、已知通项，求数列的每一项例1 、 根据下面数列 {a n }的通项公式，写出它的前5项：(1)1n na n =+ ()(2)1n n a n =-⋅解：1）在通项公式中依次取 n =1，2，3，4，5，得到数列{a n } 的前5项为.65,54,43,32,21（2）数列 {a n } 的前5项为－1，2， － 3，4， － 5.变式1、根据下面数列{an}的通项公式，写出它的前5项：⑶a n =5×(-1)n+1 5,-5,5,-5,5∴ n n n a a 2211=⋅=-变式5、 根据各个数列的首项和递推公式,写出它的前五项,并归纳出通项公式.1111(1)0,(21)(2)1,2n n nn n a a a n a a a a ++==+-==+题型五、根据数列和求通项公式例6. 已知数列{a n }的前n 项和为1322++=n n s n ,求n a 。

《数列的概念与简单表示法》教案第一章：数列的概念1.1 数列的定义引导学生理解数列是由按照一定顺序排列的一列数。

强调数列的有序性，即数列中每个数的位置是固定的。

1.2 数列的项解释数列中的每一个数称为数列的项。

举例说明数列的项与数列的关系。

1.3 数列的表示方法介绍数列的表示方法，包括顺序列举法和通项公式法。

举例说明如何用通项公式表示数列。

第二章：数列的通项公式2.1 通项公式的定义引导学生理解通项公式是用来表示数列中任意一项的公式。

强调通项公式中变量的含义和作用。

2.2 常见数列的通项公式举例讲解等差数列和等比数列的通项公式。

引导学生通过观察数列的特点来确定通项公式。

2.3 通项公式的应用解释如何利用通项公式来求解数列中的特定项。

举例说明通项公式在解决数列问题中的应用。

第三章：数列的性质3.1 数列的项数解释数列的项数是指数列中项的个数。

引导学生理解项数与数列的定义和表示方法的关系。

3.2 数列的单调性讲解数列的单调性，包括递增和递减。

举例说明如何判断数列的单调性。

3.3 数列的周期性解释数列的周期性是指数列中存在重复的项的模式。

举例说明如何判断数列的周期性。

第四章：数列的求和4.1 数列的求和公式引导学生理解数列的求和是指将数列中所有项相加得到的结果。

讲解数列的求和公式，包括等差数列和等比数列的求和公式。

4.2 数列的求和应用解释如何利用数列的求和公式来求解数列的和。

举例说明数列的求和公式在解决数列问题中的应用。

4.3 数列的求和性质讲解数列的求和性质，包括数列的错位相减法和分组求和法。

举例说明如何利用数列的求和性质来简化计算。

第五章：数列的综合应用5.1 数列的极限引导学生理解数列的极限是指数列项趋近于某个值的过程。

讲解数列的极限的定义和性质。

5.2 数列的极限应用解释如何利用数列的极限来解决数列问题。

举例说明数列的极限在数学分析中的应用。

5.3 数列的实际应用讲解数列在实际问题中的应用，包括数列在物理学和经济学中的例子。

数列的概念与简单表示法要点一、数列的概念数列概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列. 要点诠释：（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们是不同的数列；（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. 数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…；排在第n 位的数称为这个数列的第n 项.其中数列的第1项也叫作首项；项在数列中的位置序号称为项数.要点诠释：数列的项与项数是两个不同的概念。

数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号.类比集合中元素的三要素，数列中的项也有相应的三个性质： （1）确定性：一个数是否数列中的项是确定的； （2）可重复性：数列中的数可以重复；（3）有序性：数列中的数的排列是有次序的.数列的一般形式可以写成：1a ，2a ，3a ，…，n a ，…，或简记为{}n a .其中n a 是数列的第n 项.要点诠释：{}n a 与n a 的含义完全不同，{}n a 表示一个数列，n a 表示数列的第n 项. 要点二、数列的分类 根据数列项数的多少分： 有穷数列：项数有限的数列. 无穷数列：项数无限的数列. 根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列。

递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列。

常数数列：各项相等的数列。

摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列. 要点三、数列的通项公式与前n 项和数列的通项公式表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.如数列：0，1，23，…的通项公式为1n a n =-（*n N ∈）；1，1，1，1，…的通项公式为1n a =（*n N ∈）；1，12，13，14，…的通项公式为1n a n=（*n N ∈）；要点诠释：（1）并不是所有数列都能写出其通项公式； （2）一个数列的通项公式有时是不唯一的。

数列的概念和应用一、数列的概念1.数列的定义：数列是由按照一定顺序排列的一列数组成的。

2.数列的表示方法：用大括号“{}”括起来，例如：{a1, a2, a3, …, an}。

3.数列的项：数列中的每一个数称为数列的项，简称项。

4.数列的项的编号：数列中每个项都有一个编号，通常表示为n，n为正整数。

5.数列的通项公式：用来表示数列中第n项与n之间关系的公式称为数列的通项公式，例如：an = n^2。

6.数列的类型：(1)等差数列：数列中任意两个相邻项的差都相等，记为d（d为常数）。

(2)等比数列：数列中任意两个相邻项的比都相等，记为q（q为常数，q≠0）。

(3)斐波那契数列：数列的前两项分别为0和1，从第三项开始，每一项都是前两项的和。

二、数列的应用1.等差数列的应用：(1)等差数列的求和公式：Sn = n/2 * (a1 + an)。

(2)等差数列的前n项和公式：Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d)。

(3)等差数列的第n项公式：an = a1 + (n-1)d。

2.等比数列的应用：(1)等比数列的求和公式：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)。

(2)等比数列的前n项和公式：Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)。

(3)等比数列的第n项公式：an = a1 * q^(n-1)。

3.斐波那契数列的应用：(1)斐波那契数列的性质：斐波那契数列的前两项分别为0和1，从第三项开始，每一项都是前两项的和。

(2)斐波那契数列的通项公式：Fn = (1/√5) * [((1+√5)/2)^n - ((1-√5)/2)^n]。

4.数列在实际生活中的应用：(1)计数：数列可以用来表示一些有序的集合，如自然数集、整数集等。

(2)计时：数列可以用来表示时间序列数据，如一天内的每小时气温变化。

(3)排队：数列可以用来表示排队时的人数，以及每个人的位置。

(4)数据分析：数列可以用来表示一组数据的分布情况，如成绩分布、经济发展水平等。