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郑州轻工业学院2011-2012学年线性代数与空间解析几何试卷参考答案及评分标准试卷号：A20120104一、单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题中括号内)(每小题4分,共20分)1、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=010101121A ,*A 为A 的伴随矩阵，则=*A (D))(A 21-)(B 41)(C 2)(D 4 2、设A 、B 均为n 阶矩阵，则下列结论中正确的是（D ）)(A 22)(B A B A B A -=-+）（)(B k k k B A AB =)()(C B A k kAB =)(D kk k B A AB =)(3、设A 为三阶矩阵，A 的特征值为2,21,2--，则下列矩阵中可逆的是（B ）)(A A E 2+)(B A E 23+)(C A E +2)(D E A 2-4、设xz txy z y x z y x f 2224),,(222++++=为正定二次型，则t 的取值范围是（C ）)(A 22<<-t )(B 2<t )(C 22<<-t )(D 2>t5、设直线⎩⎨⎧=+--=+++031020123:z y x z y x l 与平面0224:=-+-z y x π的关系是（ C ））（A l ∥π ）（B l 在π内）（C l ⊥π ）（D 不是前面三种关系二、填空题(将正确答案填在题中横线上)(每小题4分,共20分)1、设向量T )1,0,1(1=α,T)0,1,0(2=α,T )1,0,0(3=α,则向量T)0,1,1(--=α可表示为321,,ααα的线性组合：321ααα+--. 2、若方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1000010002100001A ，则1-A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-10000100021000013、设4元线性方程组b Ax =的系数矩阵A 的秩为3)(=A R ,321,,ηηη均为此方程组的解，且,)6,4,0,2(21T=+ηη,)2,1,2,1(31T -=+ηη则方程组b Ax =的通解为TT k x )4,3,2,1()3,2,0,1(+=4、向量T ）（3,2,2,1=α与T）（1,5,1,3=β的夹角=θ4π. 5、空间曲线⎩⎨⎧+==++222228yx z z y x 在xoy 面上投影曲线的方程为：⎩⎨⎧==+0422z y x三、解答下列各题(每小题8分，共32分)1、计算行列式：1022022122102102解102102212211210151025*********1051022*********1024321=+++c c c c 3分11221211511202120011021015141312---=---+--r r r r r r 6分25132151302100115221312-=----=------r r r r 8分2、求矩阵X ,使得B XA A =-1，其中：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100030003,010*******21B A解A 为正交矩阵，T A A =-13分⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-===-02121100021211000300030102102121211TABA ABA X ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3000210128分3、若向量组ααα123,,线性无关，而.2,,3213212211αααβααβααβ+-=-=+=试证：321,,βββ线性无关.证明：设0332211=++βββk k k2分得0)2()(3323211321=+--+++αααk k k k k k k由ααα123,,线性无关得⎪⎩⎪⎨⎧==--=++00203321321k k k k k k k ,它只有零解k k k 1230===,……..6分故βββ123,,线性无关。
郑州航空工业管理学院2006—2007学年第一学期课程考试试卷（A ）卷。
一、 填空题（本题总计20分，每小题2分） 1. 排列7623451的逆序数是_______。
2. 若122211211=a a a a ，则=160030322211211a a a a 3. 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =，其中E 为n 阶单位矩阵，则__________1=-B 。
4. 若A 为n m ⨯矩阵，则齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是______________。
5. 设A 为86⨯的矩阵，已知它的秩为4，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为_____________。
6. 设A 为三阶可逆阵，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-1230120011A ，则=*A 7.若A 为n m ⨯矩阵，则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是8.已知五阶行列式1234532*********140354321=D ，则=++++4544434241A A A A A9. 向量α=(2,1,0,2)T-的模（范数）为______________。
10.若()Tk 11=α与()T121-=β正交，则=k二、选择题（本题总计10分，每小题2分） 1. 向量组r ααα,,,21Λ线性相关且秩为s ，则( )Ａ．s r = Ｂ．s r ≤Ｃ．r s ≤ Ｄ．r s <2. 若A 为三阶方阵，且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A ( )Ａ．8 Ｂ．8-Ｃ．34 Ｄ．34-3．设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( )Ａ．)()(A R B R ≤ Ｂ．)()(A R B R <Ｃ．)()(A R B R = Ｄ．)()(A R B R ≥ 4. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则()*kA 等于_____。
)(A *kA )(B *A k n )(C *-A k n 1 )(D *A 5. 设n 阶矩阵A ，B 和C ，则下列说法正确的是_____。
![[考研数学]北京航天航空大学线性代数 4-3](https://img.taocdn.com/s1/m/073241c7aa00b52acfc7cafb.png)
郑州航空工业管理学院2006—2007学年第一学期考试试卷答案及评分标准（A ）卷一、填空题（本题总计20分，每小题 2 分）1、 15；2、3；3、CA ；4、()n b A R A R ==),(；5、2；6、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛123012001；7、()n A R <；8、0；9、3；10、1。
.二、选择题（本题总计 10 分，每小题 2分）1、D ；2、A ；3、D ；4、C ；5、B三、计算题（本题总计60分，1-3每小题8分，4-7他每小题9分）1、 解：D ),,4,3(2n i r r i =-00021 00022 00122 03022-n20022-n ------3分 122r r - 00001 00022- 00122-3022--n20022--n-------6分)!2(2)2()3(21)2(1--=-⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯=n n n ----------8分 （此题的方法不唯一，可以酌情给分。
）2、 解：（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-11111111124121311211111111112A AB ------1分⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222222222602222464⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=420004242------5分 （2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-171111610239511311131122B A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=161287113084--------8分3. 设A 为三阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，且21=A ，求*A A 2)3(1--.因*A A ＝E E 21=A ，故411==-n A *A 3分 **A A A211==-A 5分 27164134342322)3(31-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-=--****A A A A A 8分4、解： ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=100111010011001001),(E A 1312r r r r ++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101110011010001001---3分 23r r +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---112100011010001001)1()1()1(321-÷-÷-÷r r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------112100011010001001---6分故⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=-1120110011A -------8分（利用*-=A AA 11公式求得结果也正确。
郑航教辅岗真题及答案解析郑航教辅岗考试是郑州航空工业管理学院面向教辅岗位招聘的一项选拔考试。
该考试的内容主要包括专业技能测试和综合素质测试两个部分。
接下来，我们将对郑航教辅岗真题及答案进行解析。
专业技能测试一般包括对应用能力和专业知识的考察，涵盖教育学、心理学、教学方法等方面的内容。
在解析这部分内容之前，我们先来了解一下综合素质测试的相关知识。
综合素质测试主要考察应聘者的综合素质，如思维能力、沟通能力、组织能力等。
具体来说，这部分测试可能涉及到情景模拟、问题解答、团队合作等各种形式。
考察的重点是应聘者的思维逻辑能力和处理问题的能力。
接下来，我们来看一些具体的真题及答案解析。
真题一：请描述一个你成功解决教学难题的经历，并分析你采取的策略和取得的效果。
这是一个考察综合素质的问题。
在回答这个问题时，应聘者需要先描述一个具体的教学难题，比如学生缺乏学习动力。
然后，应聘者需要详细阐述自己采取的策略，如激发学生兴趣、设计富有趣味性的教学内容等。
最后，应聘者应说明自己的策略取得了哪些效果，如学生学习积极性提高、成绩明显提升等。
真题二：请结合你对教育学理论的理解，谈谈你对如何培养学生创新精神的看法。
这是一个专业知识的考察题。
在回答这个问题时，应聘者需要结合自己对教育学理论的理解，提出培养学生创新精神的具体方法。
可以从提供富有挑战性的学习环境、培养学生解决问题的能力等方面进行论述。
同时，应聘者还应说明为什么培养学生创新精神对他们未来的发展至关重要。
真题三：请分析一下你在组织学生社团活动时遇到的挑战，并谈谈你是如何解决这些挑战的。
这是一个考察组织能力和解决问题能力的问题。
在回答这个问题时，应聘者可以先描述一下组织学生社团活动时遇到的具体挑战，比如学生参与度不高、活动方案设计不合理等。
接着，应聘者需要详细解释自己是如何解决这些挑战的，如改进活动方案、鼓励学生积极参与等。
最后，应聘者应指出他们的解决方案取得了哪些成效，比如活动参与人数增加、学生积极性提高等。
河南农业大学《线性代数》考试试卷一及参考答案一．判断题（每小题2分，共计20分）（ ）1. 若n 阶行列式D 中各行元素之和均为0，则0=D .（ ）2. 设B A ,都是n 阶可逆矩阵，则B A +也可逆. （ ）3. 初等矩阵都是可逆的且逆矩阵也是初等矩阵. （ ）4. 若5阶矩阵A 的所有3阶子式均为0，则3)(<A r . （ ）5. 基础解系包含的向量的个数不会大于系数矩阵的秩. （ ）6. 三个方程四个未知量的线性方程组必有非零解. （ ）7. 设A 是n 阶方阵，022=+A A ，则A 有特征值2,0-.（ ）8. 若321,,ααα线性无关，β可由1α，2α，3α线性表出，则表示方法惟一． （ ）9. 若n 阶方阵A 的特征根均为单根，则A 一定可以相似对角化. （ ）10. 若Q 是正交矩阵，则其伴随矩阵*Q 也是正交矩阵．二．填空题（每空2分，共计20分）1. 设A 为3阶方阵且,2011⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A 则=-TA . 2. 设3阶方阵A 满足O E A A =-+42，则=+-1)(E A ．3. 3阶矩阵A 的特征值为1,2,2，则1-A的特征值为 ，且=-12A ．4. 设A 是n m ⨯矩阵，n m <，A 的行向量线性无关，则A 的秩等于 .5. 设A 是n 阶方阵，若0=-A E ，则A 有特征值 ．.6. 若γβα,,线性无关，δβα,,线性相关，则δγβα,,,线性 （填“相关”或“无关”）,δ （填“能”或“不能”）由βα,惟一的线性表示．7. 设2阶方阵A 的特征值为21、，它们对应的特征向量分别是T31)2,1(），和（T ， 则=A .8. 设向量)1,5,1,3(),3,2,2,1(==βα，则α与β的夹角是 .三．计算题（每题10分，共计50分）1．求行列式6741212060311512-----=D .2．求⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=101011111A 的逆矩阵1-A ．3．求解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=+++12223432143214321x x x x x x x x x x x x4．请先判断⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=310130004A 能否相似于对角矩阵，若能，再求矩阵Λ和P ，使Λ=-AP P 1．5．已知向量组)1,3,2(,)2,4,2(,)0,1,1(321===ααα， （1）求向量组321,,ααα的秩；（2）求出向量组321,,ααα的一个极大线性无关组； （3）问3α能否由21,αα线性表示？若能，请写出表达式．四．证明题（10分）已知321,,ααα线性无关， 设321321211,,αααβααβαβ++=+==， 证明：321,,βββ也线性无关一、判断题（每小题2分，共20分）二、填空题（每空2分，共20分）1.2-2.A 41 3. 21,21,1 2 4.m 5. 1 6.相关 能7. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--4611 8. 4π三、计算题（每小题10分，共50分）1.解：127721206031135706741212060311512-----=-----=D 4'12772121357)1(112----*=+2731752123172521001277212120==---=---==25-．2.解：=E A 4'⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→323131313231313131100010001323131313231001100010111323131101001100210111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--101211001210300111101011001210120111100010001101011111所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-211121111311A3. 解： ()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=123111112121111b A →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------513121110010111 4'⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----→612310020100001613321100010111∵3=r ，4=n ．∴1=-r n令04=x 代入非齐次方程可得，特解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=06120γ ， 令14=x 代入齐次方程可得，导出组的一个基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1320η ∴原方程组的任一解为ηγc +0，其中c 为任意常数． ■4.解：（1）特征方程为：由0)2()4(2=--=-λλλA E 得特征值为：1234, 2.λλλ===对于二重特征值124λλ==，构造O X A E =-)4(.由于⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-0000001101101100004A E ，故1)4(=-A E r 因此O X A E =-)4(的基础解系向量的个数为312-=，即二重特征值124λλ==对应两个线性无关的特征向量，故A 可以相似对角化.又齐次线性方程组O X A E =-)4(的基础解系为T T12(1,0,0),(0,1,1)==ξξ，此即124λλ==对应两个线性无关的特征向量.对于单特征值32λ=，求得O X A E =-)2(的基础解系T3(0,1,1)=-ξ，此为32λ=对应的一个线性无关的特征向量.因此，相似变换矩阵和对角矩阵分别为()123100,,011011⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭P ξξξ， 123442λλλ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Λ， 使得12-=P A P Λ. ■5.解： ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0002110101000120221120120221120341221),,(321T T T ααα（1）故向量组321,,ααα的秩为2；6'（2）21,αα或31,αα或32,αα均可作为向量组321,,ααα的一个极大线性无关组； （3）由（1）可见，3α能由21,αα线性表示，且21321ααα+=． ■四、证明题（10分）证明：设有常数321,,k k k 使得0332211=++βββk k k ，代入321321211,,αααβααβαβ++=+==整理上式可得：0)()(321321211=+++++ααααααk k k ，即： 0)()(332321321=+++++αααk k k k k k 又已知321,,ααα线性无关，则⎪⎩⎪⎨⎧==+=++000332321k k k k k k 显然，方程组只有零解0321===k k k 所以：321,,βββ也线性无关．。
1. (单选题) 设A为3阶矩阵,|A|=1,则|-2A T|=( )(本题1.0分)A. -8B. -2C. 2D. 8答案: A解析: 无2. (单选题) 下列矩阵中不是初等矩阵的是( )(本题1.0分)A.B.C.D.答案: A解析: 无3. (单选题) 设行列式,则（）(本题1.0分)A. -6B. -3C. 3D. 6答案: D解析: 无4. (单选题) 设齐次线性方程组有非零解,则为( )(本题1.0分)A. 1B. 0C. -1D. 2答案: C解析: 无5. (单选题) 若向量α=(1,-2,1)与β=(2,3,t)正交,则t=( )(本题1.0分)A. -2B. 0C. 2D. 4答案: D解析: 无6. (单选题) 设三阶方阵A的特征值分别为,则的特征值为( )(本题1.0分)A. 2,4,B.C.D. 2,4,3-答案: A解析: 无7. (单选题) 对于任意两个事件A与B,若A B,则P(A-B)= ( )。
(本题1.0分)A. P(A) －P(B)B. 1C. 0D. P(A)答案: C解析: 无8. (单选题) 设为某连续型随机变量的概率密度函数, 则必有( )。
(本题1.0分)A.B.C. 在定义域内单调不减D.答案: B解析: 无9. (单选题) 若P( )=0.1,P( )=0.6,独立,则=( )(本题1.0分)A. 0.9B. 0.4C. 1.3D. 0.94答案: D解析: 无10. (单选题) 已知随机变量X服从参数为2的指数分布,则随机变量X的期望为( )(本题1.0分)A. -B. 0C.D. 2答案: C解析: 无11. (单选题) 设行列式,,则行列式等于( )(本题1.0分)A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n答案: D解析: 无12. (单选题) 已知4阶矩阵A的第三列的元素依次为1,3,-2,2,它们的余子式的值分别为3,-2,1,1,则( )(本题1.0分)A. 5B. -5C. -3D. 3答案: A解析: 无13. (单选题) 设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC,则必有( )(本题1.0分)A. A =0B. B C时A=0C. A0时B=D. |A|0时B=C答案: D解析: 无14. (单选题) .设矩阵A的秩为r,则A中( )(本题1.0分)A. 所有r-1阶子式都不为0B. 所有r-1阶子式全为0C. 至少有一个r阶子式不等于0D. 所有r阶子式都不为0答案: C解析: 无15. (单选题) 设n阶方阵A不可逆,则必有( )(本题1.0分)A. 秩(A)<nB. 秩(A)=n-1C. A=0D. 方程组Ax=0只有零解答案: A解析: 无16. (单选题) 设是非齐次线性方程组的两个解向量,则下列向量中仍为该方程组解的是( )(本题1.0分)A.B.C.D.答案: B解析: 无17. (单选题) 设λ0是矩阵A的特征方程的3重根,A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k,则必有( )(本题1.0分)A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>3答案: A解析: 无18. (单选题) .设A是正交矩阵,则下列结论错误的是( )(本题1.0分)A. |A|2必为1B. |A|必为1C. A-1=A TD. A的行(列)向量组是正交单位向量组答案: B解析: 无19. (单选题) 设A=,则下列矩阵中与A相似的是( )(本题1.0分)A.B.C.D.答案: A解析: 无20. (单选题) 设矩阵A=有特征值1、2、-4,则=( ) (本题1.0分)A. 3B. -3C. 2D. -4答案: B解析: 无21. (单选题) 设行列式,则( )(本题1.0分)A. -6B. -3C. 3D. 6答案: D解析: 无22. (单选题) 设矩阵,为同阶方阵,且可逆,若则矩阵=( )(本题1.0分)A.B.C.D.答案: A解析: 无23. (单选题) 已知向量,,则=( )(本题1.0分)A.B.C.D.答案: A解析: 无24. (单选题) 已知A为3阶方阵,且∣A∣=3,则∣-2A∣=( )(本题1.0分)A. -6B. 6C. -24D. 24答案: C解析: 无25. (单选题) 设三阶方阵A的特征值分别为,则的特征值为( )(本题1.0分)A. 2,4,B.C.D. 2,4,3答案: A解析: 无26. (单选题) 设A是正交矩阵,则下列结论错误的是( )(本题1.0分)A. |A|2必为1B. |A|必为1C.D. A的行(列)向量组是正交单位向量组答案: B解析: 无27. (单选题) 对于任意两个事件A与B,若A B,则P(A-B)= ( )。
郑州航空工业管理学院2006—2007学年第一学期课程考试试卷（A ）卷。
一、 填空题（本题总计20分，每小题2分）1. 排列7623451的逆序数是_______。
2. 若122211211=a a a a ，则=160030322211211a a a a 3. 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =，其中E 为n 阶单位矩阵，则__________1=-B 。
4. 若A 为n m ⨯矩阵，则齐次线性方程组AXb =有唯一解的充分要条件是______________。
5. 设A 为86⨯的矩阵，已知它的秩为4，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为_____________。
6. 设A 为三阶可逆阵，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1230120011A ，则=*A7.若A 为n m ⨯矩阵，则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是8.已知五阶行列式1234532011111112140354321=D ，则=++++4544434241A A A A A9. 向量α=(2,1,0,2)T-的模（范数）为______________。
10.若()T k 11=α与()T 121-=β正交，则=k二、选择题（本题总计10分，每小题2分）1. 向量组r ααα,,,21 线性相关且秩为s ，则( )Ａ．s r = Ｂ．s r ≤Ｃ．r s ≤ Ｄ．r s <2. 若A 为三阶方阵，且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A ( )Ａ．8 Ｂ．8-Ｃ．34 Ｄ．34- 3．设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( )Ａ．)()(A R B R ≤ Ｂ．)()(A R B R <Ｃ．)()(A R B R =Ｄ．)()(A R B R ≥ 4. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则()*kA 等于_____。
)(A *kA )(B *A k n )(C *-A k n 1 )(D *A5. 设n 阶矩阵A ，B 和C ，则下列说法正确的是_____。
)(A AC AB = 则 C B = )(B 0=AB ,则0=A 或0=B)(C T T T B A AB =)( )(D 22))((B A B A B A -=-+三、计算题（本题总计60分。
1-3每小题8分,4-7每小题9分）1. 计算n 阶行列式22221 =D 22222 22322 21222-n n2222。
2．设A 为三阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，且21=A ，求*A A 2)3(1--. 3．求矩阵的逆111211120A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭4. 讨论λ为何值时，非齐次线性方程组21231231231x x x x x x x x x λλλλλ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩① 有唯一解； ②有无穷多解； ③无解。
5. 求下非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系和此方程组的通解。
⎪⎩⎪⎨⎧=++=+++=+++522132243143214321x x x x x x x x x x x6.已知向量组()T 32011=α、()T 53112=α、()T 13113-=α、()T94214=α、()T 52115=α，求此向量组的一个最大无关组，并把其余向量用该最大无关组线性表示．7. 求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=201034011A 的特征值和特征向量．四、证明题（本题总计10分）设η为b AX =()0≠b 的一个解，12,n r ξξξ-为对应齐次线性方程组0=AX 的基础解系，证明12,,n r ξξξη-线性无关。
郑州航空工业管理学院2007—2008学年第 一 学期课程考试试卷（A ）卷一、填空题（本题总计 20 分，每小题 2 分）1. 排列6573412的逆序数是 ．2.函数()f x = 21112xx xx x ---中3x 的系数是 ． 3．设三阶方阵A 的行列式3A =,则*1()A -= ．4．n 元齐次线性方程组AX=0有非零解的充要条件是 ．5．设向量(1,2,1)T α=--，β=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-22λ正交，则λ= ．6．三阶方阵A 的特征值为1，1-，2，则A ＝ ．7. 设1121021003A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，则_________A *=. 8. 设A 为86⨯的矩阵，已知它的秩为4，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为_____________．9．设A 为n 阶方阵，且A ＝2 则1*1()3A A --+= ． 10．已知20022311A x -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭相似于12B y -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则=x ，=y ．二、选择题（本题总计 10 分，每小题 2 分）1. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则A －5等于 ．(A) (5)n D - (B)-5D (C) 5D (D)1(5)n D -- 2. n 阶方阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是 .(A) 矩阵A 有n 个线性无关的特征向量(B) 矩阵A 有n 个特征值(C) 矩阵A 的行列式0A ≠(D) 矩阵A 的特征方程没有重根3．A 为m n ⨯矩阵，则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充要条件是 ．(A)(,)R A b m < (B)()R A m <(C)()(,)R A R A b n == (D)()(,)R A R A b n =<4.设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( )(A)．)()(A R B R ≤ (B)．)()(A R B R <(C)．)()(A R B R = (D)．)()(A R B R ≥5. 向量组12,,,s ααα线性相关且秩为r ，则 ．(A)r s = (B) r s < (C) r s > (D) s r ≤三、计算题（本题总计 60 分，每小题 10 分）1. 计算n 阶行列式: 22221 =D 22222 22322 21222-n n 2222. 2．已知矩阵方程AX A X =+，求矩阵X ,其中220213010A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.3. 设n 阶方阵A 满足0422=--E A A ,证明3A E -可逆，并求1(3)A E --.4．求下列非齐次线性方程组的通解及所对应的齐次线性方程组的基础解系:1234123412342342323883295234x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪-++=⎪⎨-+--=-⎪⎪--=-⎩ 5．求下列向量组的秩和一个最大无关组,并将其余向量用最大无关组线性表示．123421234,1,3,5.2012αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭6．已知二次型：323121232221321844552),,(x x x x x x x x x x x x f --+++=，用正交变换化),,(321x x x f 为标准形，并求出其正交变换矩阵Q ．四、证明题（本题总计 10 分，每小题 10 分）设11b a =, 212b a a =+ , , 12r r b a a a =+++, 且向量组r a a a ,,,21 线性无关，证明向量组r b b b ,,,21 线性无关.2006—2007学年第二学期课程考试试卷（B ）卷一、填空题（本题总计20分，每小题2分）1、按自然数从小到大为标准次序，则排列(2)(22)2n n -的逆序数为2、设4阶行列式4ab c d d a c d D b d c aa d c b=，则11213141A A A A +++= 3、已知1103027002A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则()1*A -=4、已知n 阶矩阵A 、B 满足A B BA +=，则()1E B --=5、若A 为n m ⨯矩阵，则齐次线性方程组A =x 0只有零解的充分必要条件是6、若A 为n m ⨯矩阵，且()3min{,}R A n m =<，则齐次线性方程组A =x 0的基础解系中包含解向量的个数为7、若向量()123T α=-与向量()11T βλ=正交，则λ=8、若三阶方阵A 的特征多项式为2(1)(1)A E λλλ-=-+-，则A =9、设三阶方阵1223A αγγ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭、12B βγγ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，已知6A =，1B =，则A B -=10、设向量组123,,ααα线性无关，则当常数l 满足 时，向量组21321,,l αααααα---线性无关.二、选择题（本题总计10分，每小题2分）1、 以下等式正确的是( )Ａ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a k d kc b ka Ｂ．d c b a k kd kc kb ka = Ｃ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++d c b a d c d b c a Ｄ．a b c d d c b a = 2、 4阶行列式det()ij a 中的项11334422a a a a 和24311342a a a a 的符号分别为（ ）Ａ．正、正 Ｂ．正、负Ｃ．负、负 Ｄ．负、正3、 设A 是m n ⨯矩阵，C 是n 阶可逆阵，满足B ＝AC. 若A 和B 的秩分别为A r 和B r ，则有( )Ａ．A B r r >Ｂ．A B r r < Ｃ．A B r r =Ｄ．以上都不正确 4、 设A 是m n ⨯矩阵，且()R A m n =<，则非齐次线性方程组A =x b ( )Ａ．有无穷多解 Ｂ．有唯一解Ｃ．无解 Ｄ．无法判断解的情况5、已知向量组1234,,,αααα线性无关，则以下线性无关的向量组是（ ）Ａ．12233441,,,αααααααα++++Ｂ．12233441,,,αααααααα----Ｃ．12233441,,,αααααααα+++-Ｄ．12233441,,,αααααααα++--三、计算题（本题总计60分，每小题10分）1． 求矩阵1124-⎛⎫= ⎪⎝⎭A 的特征值和特征向量． 2． 计算1n +阶行列式 0111111001010001n n n a a D a a +-=3． 已知矩阵010100001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100001010B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，143201120C -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，且满足AXB C =，求矩阵X.4． 求下列非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系及此方程组的通解123451234523451234513233226054335x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩ 5． 已知矩阵12112112146422463979A ---⎛⎫ ⎪-- ⎪= ⎪--- ⎪--⎝⎭，求矩阵A 的列向量组的一个最大无关组，并把其余向量用该最大无关组线性表示．6． 已知A 为三阶矩阵，且2A =-，求()1*1312A A -⎛⎫+ ⎪⎝⎭四、证明题（本题总计10分）设向量组12,,,n ααα中前1n -个向量线性相关，后1n -个向量线性无关，试证：（1）1α可由向量组231,,,n ααα-线性表示；（2）n α不能由向量组121,,,n ααα-线性表示.郑州航空工业管理学院2007—2008学年第一学期课程考试试卷（A ）卷一、填空题（本题总计16分，每小题2分）9、按自然数从小到大为标准次序，则排列13(21)24(2)n n -的逆序数为 10、 4阶行列式4124811111416641525125D == 11、已知1110029002A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，*A 为A 的伴随矩阵，则()1*A -= 12、已知n 阶方阵A 和B 满足BA A B =+，则()1E B --= 13、已知A 为m n ⨯矩阵，且()min{,}R A r m n =<，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组A =x 0的基础解系中包含解向量的个数为 14、已知四维列向量()T 31521=α、()T 1051102=α、()T 11143-=α，且()()()x x x +=++-321523ααα，则=x 15、把向量()1022T α=-单位化得 16、 若三阶方阵A 的特征多项式为2()(1)(1)f λλλ=-+-，则2A E -=二、选择题（本题总计14分，每小题2分）5、 已知,,,,a b c d k R ∈，则以下等式正确的是( )Ａ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a k d kc b ka Ｂ．d c b a k kd kc kb ka = Ｃ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++d c b a d c d b c a Ｄ．ab c d d c b a = 6、 设A 和B 为n 阶方阵，下列说法正确的是（ ）Ａ．若AB AC =，则B C = Ｂ．若0AB =，则0A =或0B = Ｃ．若0AB =，则0A =或0B = Ｄ．若0A E -=，则A E =7、 设A 是m n ⨯矩阵，且()R A m n =<，则非齐次线性方程组A =x b ( )Ａ．有唯一解 Ｂ．有无穷多解Ｃ．无解 Ｄ．无法判断解的情况8、 向量组的秩就是向量组的（ ）Ａ．极大无关组中的向量 Ｂ．线性无关组中的向量Ｃ．极大无关组中的向量的个数 Ｄ．线性无关组中的向量的个数9、 已知n 阶方阵A 、B 和C 满足ABC=E ，其中E 为n 阶单位矩阵，则1B-=( ) Ａ．11A C --Ｂ．AC Ｃ．CAＤ．11C A -- 10、 设A 为三阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且41=A ，则=--*A A 3)4(1（ ）Ａ．2716 Ｂ．2716- Ｃ．21 Ｄ．21- 11、 已知n 元齐次线性方程组A =x 0的系数矩阵的秩等于n-3，且123,,ααα是A =x 0的三个线性无关的解向量，则A =x 0的基础解系可为（ ）Ａ．122331,,αααααα+++ Ｂ．312123,,αααααα+++ Ｃ．122331,,αααααα--- Ｄ．122331,,αααααα++-三、计算题（本题总计60分，1-3每小题8分，4-7每小题9分）7． 计算n 阶行列式n x a a a a x a a D aa x a a a ax =8． 已知三阶方阵100110111A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，求21(2)(4)A E A E --- 9． 已知矩阵121210110A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，010210021B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求AB BA -. 10． 求下列非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系及此方程组的通解1212341234522153223x x x x x x x x x x +=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩11． 判定向量组123(2,1,1,1),(0,3,2,0),(2,4,3,1)T T T ααα=--=-=--的线性相关性。
