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高数部分知识点总结1 高数部分1.1 高数第一章《函数、极限、连续》求极限题最常用的解题方向:1.利用等价无穷小;2.利用洛必达法0,,0,0,1则，对于型和型的题目直接用洛必达法则，对于、、型0,0,的题目则是先转化为型或型，再使用洛比达法则;3.利用重要极0,1xx1x,1(1，x),e限，包括、、;4.夹逼定理。
(1，),exlimlimlimsinxxx,0,0x,,1.2 高数第二章《导数与微分》、第三章《不定积分》、第四章《定积分》第二章《导数与微分》与前面的第一章《函数、极限、连续》、后面的第三章《不定积分》、第四章《定积分》都是基础性知识，一方面有单独出题的情况，如历年真题的填空题第一题常常是求极限;更重要的是在其它题目中需要做大量的灵活运用，故非常有必要打牢基础。
对于第三章《不定积分》，陈文灯复习指南分类讨论的非常全面，范围远大于考试可能涉及的范围。
在此只提醒一点:不定积分f(x)dx,F(x)，C中的积分常数C 容易被忽略，而考试时如果在答,案中少写这个C会失一分。
所以可以这样建立起二者之间的联系以加f(x)dx深印象:定积分的结果可以写为F(x)+1，1指的就是那一分，,f(x)dx,F(x)，C把它折弯后就是中的那个C,漏掉了C也就漏掉了,这1分。
第四章《定积分及广义积分》可以看作是对第三章中解不定积分方法的应用，解题的关键除了运用各种积分方法以外还要注意定积分与不定积分的差异——出题人在定积分题目中首先可能在积分上下af(x)dx限上做文章:对于型定积分，若f(x)是奇函数则有,,aaaaf(x)dxf(x)dxf(x)dx=0;若f(x)为偶函数则有=2;对于,,,,a,a0,,2t,,xf(x)dx型积分，f(x)一般含三角函数，此时用的代换是常,02用方法。
所以解这一部分题的思路应该是先看是否能从积分上下限中入手，对于对称区间上的积分要同时考虑到利用变量替换x=-u和利aaa奇函数,0偶函数,2偶函数用性质、。
大学高等数学复习要点总结第一章1）洛必达法则求极限，最常用，要熟练；2）无穷小代换求极限，在解题中非常有用，几个等价公式要倒背如流；3）求含参数的极限，关键是把握常量变量的关系，求解过程体现你极限计算的基本功；4）1的∞次方的极限是重点，多练几个题；5）函数连续计算中要会对点进行修改定义、补充定义，看看书上怎么写的，给你说句话你体会一下，“连续的概念是逐点概念”，所以问题就是围绕特殊点展开的，这是数学思想了；6）闭区间连续函数性质四定理非常重要，把它们背下来，然后结合例题搞定；7）记住趋向不同，结果就大不一样的极限；8）两个重要极限、两个基本极限把它们的推倒过程多写写，记住；关键还是刚才的要点，一个是用e的抬头法，一个是注意“趋向不同，结果就大不一样的极限”，还有注意ln某的定义域>0;9）要注意存在与任意的关系，存在就是说只要有一个符合就成立，任意是说只要有一个不符合就不成立，你体会体会。
例题：无穷大无穷小有界变量无界变量；10）注意夹逼定理的条件很强，不要漏掉要点；11）“见根号差，用有理化”！！这是思维定势，很管用；第二章1）导数的概念非常重要！！一定会在解答题（主观题）中让你展现出你对它的理解是透彻的，所以这里不要用什么特殊化思想，就是严格按照定义来演算推理；2）导数公式倒背如流的要求不算过分吧呵呵；3）连续可导的要求一个弱一个强，只要改变条件的强弱就会有截然不同的做法，你做题的时候一定要总结一下，回顾一下，看看条件的强弱问题，然后在每个题上标记出来，便于以后再复习；4）由于有些函数求导会出现某在分母上出现，所以要知道：即使不是分段函数，有时也要用定义去求导，而且乘积中一些因子在特定点不可导，但乘积在该点也可能可导；5）中值定理的难点在于构造辅助函数，构造函数是根据题目的要求来的，除了陈文灯等人写的方法外，关键是多看例题，熟练了，自然就会了（我上次给同学们说的是“微分方程法”和“凑”法，这两个掌握了就足够了）；6）函数性态部分是基本功，一定要耐心的按照函数作某某某的几大步骤认真做几个题，这样就可以把函数的各种性态串起来了，方法：抄例题，然后背下来，自己默一遍；9）这部分的经济应用题不难，关键是仔细一些，对弹性等概念理解好，你经济学的好的多了，我就不说了：）；第三章1）一元函数积分是高等数学中最重要的部分之一，一元函数的积分不学扎实，后面的多元函数的积分就是空中楼阁，要熟练掌握各种积分方法和几种常见的积分类型，如有理函数，三角函数的有理式和简单无理函数的积分；2）一个经验：如果在一个函数或者积分等中的函数，当它是同一个某的函数时，比如f(某)g(某)的形式，可以对其中的任何一个进行放大缩小或者变形，而另一个可以不动，这样的处理往往是需要的，很有用，当你作不下去时，想想我说的这个。
《高等数学》各章知识点总结——第1章1.集合的概念：集合是由确定的、互不相同的对象组成的一个整体。
集合中的对象称为元素，用大写字母A、B等表示集合，用小写字母a、b等表示元素。
集合中的元素无序，不重复。
2.集合的运算：(1)并集：表示由属于任一集合的元素组成的新集合，记作A∪B。
(2)交集：表示同时属于所有集合的元素组成的新集合，记作A∩B。
(3)差集：表示属于一个集合但不属于另一个集合的元素组成的新集合，记作A-B。
(4)互斥：两个集合的交集为空集，即A∩B=∅。
(5)补集：表示全集中不属于一些集合的所有元素的集合，记作A'。
3.集合之间的关系：(1)包含关系：若集合A的所有元素都属于集合B，则称集合A包含于集合B，记作A⊆B。
(2)相等关系：若集合A和集合B的元素完全相同，则称集合A等于集合B，记作A=B。
(3)真包含关系：若集合A包含于集合B，并且集合A不等于集合B，则称集合A真包含于集合B，记作A⊂B。
4.映射的概念：(1)映射：设有两个非空集合A和B，如果存在一种对应关系，使得A 中的每个元素对应B中的唯一元素，则称这种对应关系为映射。
(2)函数：映射的另一种称呼，表示自变量和因变量之间的关系。
通常用f(x)表示函数，其中x为自变量，f(x)为相应的因变量。
5.映射的性质：(1)定义域和值域：映射的定义域是指所有自变量的集合，值域是指所有因变量的集合。
(2)单射：每个自变量只对应唯一的因变量。
(3)满射：每个因变量都有对应的自变量。
(4)一一对应：既是单射又是满射的映射。
(5)复合映射：将两个映射结合起来形成一个新的映射，称为复合映射。
总结：本章主要阐述了集合的基本概念、集合的运算、集合之间的关系和映射的概念及其性质。
理解这些基本概念对于后续学习高等数学的内容具有重要的指导意义，也为我们建立起了抽象数学思维的基础。
在学习中，我们需要牢记集合的运算规则和映射的性质，灵活运用，为数学的进一步学习打下坚实的基础。
高等数学(上)总结.doc高等数学（上）知识点总结第一章：函数、极限与连续性1.1 函数定义：函数是定义域到值域的一种对应关系。
性质：单调性、奇偶性、周期性、有界性等。
1.2 极限定义：极限描述了函数在某一点或无穷远处的行为。
运算法则：加、减、乘、除、复合等。
1.3 无穷小与无穷大无穷小：函数值趋于零的量。
无穷大：函数值趋于无穷的量。
1.4 连续性定义：函数在某一点的极限等于函数值。
性质：连续函数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是连续的。
间断点：第一类间断点和第二类间断点。
第二章：导数与微分2.1 导数定义：导数是函数在某一点处的切线斜率。
几何意义：曲线在某点的切线斜率。
物理意义：速度、加速度。
2.2 基本导数公式幂函数、三角函数、指数函数、对数函数的导数。
2.3 高阶导数定义：导数的导数，用于研究函数的凹凸性。
2.4 微分定义：函数在某一点处的线性主部。
几何意义：局部线性逼近。
第三章：积分3.1 不定积分定义：原函数，即导数等于给定函数的函数。
基本积分表：幂函数、三角函数、指数函数、对数函数等。
3.2 定积分定义：在区间上函数平均值的极限。
几何意义：曲线与x轴围成的面积。
3.3 积分技巧分部积分法、换元积分法、有理函数积分等。
第四章：级数4.1 数项级数收敛性：正项级数、交错级数、比值判别法等。
4.2 幂级数泰勒级数：函数在某点的幂级数展开。
4.3 函数项级数一致收敛性：函数序列的极限。
第五章：多元函数微分学5.1 偏导数定义：函数对某一变量的局部变化率。
5.2 全微分定义：函数在多元变量上的微分。
5.3 隐函数微分法定义：隐函数的导数和微分。
5.4 多元函数的极值拉格朗日乘数法：求解多元函数的条件极值。
高数大一最全知识点高等数学作为大一学生的必修课程，是一门基础而又重要的学科。
掌握好高数知识点，不仅对后续的学习有着重要的影响，也对提高数理思维和解决实际问题具有重要的帮助。
下面将为大家整理总结大一高数中最全的知识点。
第一章：函数与极限1. 函数的概念和性质函数定义、定义域和值域、函数的图像和性质等。
2. 极限的概念和性质数列极限、函数极限、几何意义以及重要的极限性质。
3. 连续与间断连续函数的概念、连续函数的性质、间断点和间断函数等。
第二章：导数与微分1. 导数的概念和计算导数的定义、导数的计算方法、各种函数导数的计算公式等。
2. 高阶导数与导数的应用高阶导数的定义、高阶导数的计算、导数在几何和物理问题中的应用等。
3. 微分学基本定理微分中值定理、极值与最值、凹凸性等重要的微分学定理。
第三章：积分与不定积分1. 定积分和不定积分的概念和性质定积分的定义、定积分的计算、不定积分的定义和基本积分表等。
2. 定积分的应用定积分的几何应用、定积分的物理应用、定积分的概率统计应用等。
3. 反常积分反常积分的概念和性质、反常积分判敛方法、特殊函数的反常积分等。
第四章：常微分方程1. 常微分方程的基本概念常微分方程的定义、初值问题、解的存在唯一性定理等。
2. 一阶常微分方程解法可分离变量方程、齐次方程、一阶线性方程、伯努利方程等解法。
3. 高阶线性微分方程高阶线性齐次和非齐次微分方程的解法、常系数线性微分方程等。
第五章：多元函数与偏导数1. 多元函数的概念和性质多元函数的定义、定义域、值域、图像等基本概念。
2. 偏导数与全微分偏导数的定义和计算、全微分的定义以及全微分近似等。
3. 隐函数与参数方程隐函数的存在定理、隐函数的求导、参数方程的定义和性质等。
第六章：多元函数的积分学1. 二重积分的概念和性质二重积分的定义、二重积分的计算、二重积分的性质等。
2. 三重积分和曲线、曲面积分三重积分的定义、三重积分的计算、曲线积分、曲面积分的概念与计算等。
第一章函数与极限主要内容:函数的定义；函数的几种特性；复合函数、反函数与初等函数的概念；数列与函数极限的定义；极限的运算法则；无穷小与无穷大的概念；两个重要极限；无穷小的比较；函数在点与区间的连续性及间断性；闭区间上连续函数的性质。
内容要点：1.函数的概念及函数奇偶性、单调性、周期性、有界性。
2.复合函数和反函数的概念。
3.基本初等函数的性质及其图形。
4.立简单实际问题中的函数关系式。
5.极限的概念，掌握极限四则运算法则及换元法则。
6.子数列的概念，掌握数列的极限与其子数列的极限之间的关系。
7.极限存在的夹逼准则，了解实数域的完备性(确界原理、单调有界数列必有极限的原理, 柯西(Cauchy)，审敛原理、区间套定理、密性定理)。
会用两个重要极限求极限。
8.无穷小、无穷大、以及无穷小的阶的概念。
会用等价无穷小求极限。
9.函数在一点连续和在一个区间上连续的概念，了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。
10.初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理，最大最小值定理，一致连续性)。
一、求函数的定义域①分式的分母不等于零；②偶次方根式中，被开方式大于等于零；③含有对数的式子，真数式大于零；④反正弦、反余弦符号内的式子绝对值小于等于1；⑤分段函数的定义域是各段函数定义域的并集；(6)若已知y=f(x)的定义域是[a,b]，求y=f[t(x)]的定义域，方法是解a≦t(x)≦b二、判断两个函数是否相同一个函数的确定取决于其定义域和对应关系的确定，因此判断两个函数是否相同必须判断其定义域是否相同，且要判断函数表达式是否统一即可。
三、判断函数奇偶性判断函数的奇偶性，主要的方法就是利用定义，其次是利用奇偶的性质，即奇(偶)函数之和仍是奇(偶)函数；两个奇函数之积是偶函数；两个偶函数之积仍是偶函数；一奇一偶之积是奇函数。
四、数列极限的求法利用数列极限的四则运算法则、性质以及已知极限求极限。
(1)若数列分子分母同时含n，则同除n的最高次项。
《高等数学》各章知识点总结——第9章第9章是《高等数学》中的微分方程章节。
微分方程是研究函数与其导数之间的关系的一门数学学科，是应用数学的基础。
本章主要介绍了常微分方程的基本概念和解法，包括一阶和二阶常微分方程的解法、线性常微分方程、齐次线性常微分方程和非齐次线性常微分方程等。
本章的主要内容如下：1.一阶常微分方程的解法：-可分离变量法：将方程两边进行变量分离，然后分别对两边积分得到解。
-齐次方程法：通过对方程的两边同时除以y的幂次，转化为可分离变量的形式。
- 线性方程法：将方程整理为dy/dx + P(x)y = Q(x)的形式，然后通过积分因子法求解。
2.二阶常微分方程的解法：- 齐次线性方程法：将方程整理为d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = 0的形式，然后通过特征方程求解。
- 非齐次线性方程法：将方程整理为d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = f(x)的形式，然后通过待定系数法求解。
3.线性常微分方程：-线性方程的定义和性质：线性方程是指非齐次线性方程，具有叠加和齐次性质。
-齐次线性方程的通解：通过特征方程求解齐次线性方程，得到通解。
-非齐次线性方程的通解：通过齐次线性方程的通解和非齐次线性方程的一个特解求得非齐次线性方程的通解。
4.齐次线性微分方程：-齐次线性方程的定义和性质：齐次线性方程是指非齐次线性方程中f(x)为零的情况。
-齐次线性方程的解法：通过特征方程求解齐次线性方程，得到通解。
5.非齐次线性微分方程：-非齐次线性方程的定义和性质：非齐次线性方程是指非齐次线性方程中f(x)不为零的情况。
-非齐次线性方程的解法：通过待定系数法求解非齐次线性方程。
6.可降次的非齐次线性微分方程：-可降次的非齐次线性方程的定义和性质：可降次的非齐次线性方程是指非齐次线性方程中f(x)可以表示为x的多项式乘以y(x)的幂函数的形式。
《高等数学》各章知识点总结——第6章第6章《向量代数与空间解析几何》是高等数学中的重点章节之一，主要讲述了向量及其运算、空间直线与平面方程、空间曲线及其切线等内容。
以下是该章节的知识点总结：一、向量及其运算1.向量的定义：具有大小和方向的量，用有向线段表示。
2.向量的运算：(1)向量的加法：满足交换律和结合律。
(2)向量的数乘：向量乘以一个实数。
(3)向量的数量积：等于两个向量的模的乘积与它们的夹角的余弦值的乘积。
(4)向量的向量积：等于两个向量模的乘积与它们夹角的正弦的乘积。
(5)向量的混合积：等于三个向量的向量积与第三个向量的数量积。
二、空间直线及其方程1.空间直线的定义：两点确定一条直线。
2.空间直线的方程：(1) 参数方程：x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct(2)对称方程：(x-x0)/a=(y-y0)/b=(z-z0)/c(3)一般方程：Ax+By+Cz+D=0三、空间平面及其方程1.空间平面的定义：三点共面确定一个平面。
2.空间平面的方程：(1)一般方程：Ax+By+Cz+D=0(2)点法式方程：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0(3)法线方程：(x-x0)/l=(y-y0)/m=(z-z0)/n四、空间曲线及其切线1.切线的定义：曲线上特定点的切线是通过该点且与曲线相切的直线。
2.参数方程表示的曲线的切线方程：(1)曲线上一点的切线方程：x=x0+h,y=y0+k,z=z0+l(2)曲线的切线方程：(x-x0)/h=(y-y0)/k=(z-z0)/l以上是《高等数学》第6章《向量代数与空间解析几何》的主要知识点总结。
通过学习这些知识点，我们可以了解并掌握向量的定义和运算、空间直线和平面的方程、曲线的切线方程等内容，为后续的学习打下坚实的基础。
《高等数学》-各章知识点总结——第9章第9章 多元函数微分学及其应用总结一、多元函数的极限与连续 1、n 维空间2R 为二元数组),(y x 的全体，称为二维空间。
3R 为三元数组),,(z y x 的全体，称为三维空间。
nR 为n元数组),,,(21nx x x 的全体，称为n 维空间。
n维空间中两点1212(,,,),(,,,)n n P x x x Q y y y 间的距离：2221122||()()()n n PQ y x y x y x =-+-++-邻域:设0P 是nR 的一个点，δ是某一正数，与点0P距离小于δ的点P 的全体称为点0P 的δ邻域，记为),(0δP U ，即00(,){R|||}nU P P PP δδ=∈<空心邻域: 0P 的δ邻域去掉中心点0P 就成为0P 的δ空心邻域,记为0(,)U P δ=0{0||}PPP δ<<。
内点与边界点：设E 为n 维空间中的点集，nP ∈R 是一个点。
如果存在点P 的某个邻域),(δP U ，使得EP U ⊂),(δ，则称点P 为集合E 的内点。
如果点P 的任何邻域内都既有属于E 的点又有不属于E 的点，则称P 为集合E 的边界点,E 的边界点的全体称为E的边界．聚点：设E 为n 维空间中的点集，nP ∈R 是一个点。
如果点P 的任何空心邻域内都包含E 中的无穷多个点，则称P 为集合E 的聚点。
开集与闭集: 若点集E 的点都是内点，则称E 是开集。
设点集nE ⊆R , 如果E 的补集nE-R是开集，则称E 为闭集。
区域与闭区域：设D 为开集，如果对于D 内任意两点，都可以用D 内的折线（其上的点都属于D ）连接起来, 则称开集D 是连通的．连通的开集称为区域或开区域．开区域与其边界的并集称为闭区域．有界集与无界集: 对于点集E ，若存在0>M ，使得(,)E U O M ⊆，即E 中所有点到原点的距离都不超过M，则称点集E 为有界集，否则称为无界集．如果D 是区域而且有界，则称D 为有界区域． 有界闭区域的直径：设D 是nR 中的有界闭区域，则称1212,()max{||}P P Dd D PP ∈=为D 的直径。
第4章 不定积分总结1、原函数如果在区间I 上, 可导函数F (x )的导函数为f (x ), 即对任一x ∈I , 都有F '(x )=f (x )或dF (x )=f (x )dx , 那么函数F (x )就称为f (x )(或f (x )dx )在区间I 上的原函数.2、原函数存在定理如果函数f (x )在区间I 上连续, 那么在区间I 上存在可导函数F (x ), 使对任一x ∈I 都有F '(x )=f (x ).3、不定积分在区间I 上, 函数f (x )的带有任意常数项的原函数称为f (x )(或f (x )dx )在区间I 上的不定积分, 记作 ⎰dx x f )(.4、基本积分表(1)C kx kdx +=⎰(k 是常数), (2)C x dx x ++=+⎰111μμμ, (3)C x dx x +=⎰||ln 1, (4)C e dx e x x +=⎰, (5)C aa dx a x x +=⎰ln , (6)C x xdx +=⎰sin cos , (7)C x xdx +-=⎰cos sin , (8)C x xdx dx x +==⎰⎰tan sec cos 122, (9)C x xdx dx x+-==⎰⎰cot csc sin 122, (10)C x dx x +=+⎰arctan 112, (11)C x dx x +=-⎰arcsin 112, (12)C x xdx x +=⎰sec tan sec , (13)C x dx x +-=⎰csc cot csc ,5、不定积分的性质⎰⎰⎰+=+dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([. ⎰⎰=dx x f k dx x kf )()((k 是常数, k ≠0).6、换元积分法（1）第一类换元法⎰⎰⎰+=+==='C x F C u F du u f x d x f dx x x f )]([)()()()]([)()]([ϕϕϕϕϕ .（2）第二类换元法设x =ϕ(t )是单调的、可导的函数, 并且ϕ'(t )≠0. 又设f [ϕ(t )]ϕ'(t )具有原函数F (t ), 则有换元公式C x F t F dt t t f dx x f +=='=-⎰⎰)]([)()()]([)(1ϕϕϕ.其中t =ϕ-1(x )是x =ϕ(t )的反函数.（i ）22x a -t a t a a cos sin 222=-=, dx =a cos tdt . (ii)22a x +t a a 222tan +==a sec t , dx =a sec 2t dt , (iii)22a x -222sec a t a -=1sec 2-=t a =a tan t .(16)C x xdx +-=⎰|cos |ln tan ,(17)C x xdx +=⎰|sin |ln cot ,(18)C x x xdx ++=⎰|tan sec |ln sec ,(19)C x x xdx +-=⎰|cot csc |ln csc , (20)C a x a dx x a +=+⎰arctan 1122,(21)C a x a x a dx a x ++-=-⎰||ln 21122, (22)C a x dx x a +=-⎰arcsin 122,(23)C a x x a x dx +++=+⎰)ln(2222, (24)C a x x a x dx +-+=-⎰||ln 2222. 7、分部积分法⎰⎰'-='vdx u uv dx v u , 或⎰⎰-=vdu uv udv ,适用分部积分法 ⎰xdx x cos , ⎰dx xe x , dx e x x ⎰2;⎰xdx x ln , ⎰xdx arccos , ⎰xdx x arctan ;xdx e x sin ⎰, ⎰xdx 3sec .2222⋅⋅⋅===⎰⎰⎰du e dx e dx xe u x x , 2222⋅⋅⋅=-==⎰⎰⎰dx e e x de x dx e x x x x x .8、有理函数的积分有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数, 即具有如下形式的函数:mm m m n n n n b x b x b x b a x a x a x a x Q x P ++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++=----11101110)()(, 其中m 和n 都是非负整数; a 0, a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅ , a n 及b 0, b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅ , b m 都是实数, 并且a 0≠0, b 0≠0. 当n <m 时, 称这有理函数是真分式; 而当n ≥m 时, 称这有理函数是假分式.假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式.三角函数有理式的积分三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数, 其特点是分子分母都包含三角函数的和差和乘积运算. 由于各种三角函数都可以用sin x 及cos x 的有理式表示, 故三角函数有理式也就是sin x 、cos x 的有理式.用于三角函数有理式积分的变换:把sin x 、cos x 表成2tan x 的函数, 然后作变换2tan x u =: 222122tan 12tan 22sec 2tan 22cos 2sin 2sin u u x xx x x x x +=+===, 222222112sec 2tan 12sin 2cos cos u u x xx x x +-=-=-=. 变换后原积分变成了有理函数的积分.简单无理函数的积分无理函数的积分一般要采用第二换元法把根号消去.。
第一章 函数一、知识结构：二、例题：判断题1. 设arcsin y u =,u 可以复合成一个函数2arcsin 2+=x y ；2. 函数1lg lg y x =的定义域是1x >且10x ≠；3. 函数2x y e -=在(0,)+∞内无界；4. 函数211y x =+在(0,)+∞内无界；5. 21()cos x f x x-=是奇函数；6. ()f x x =与2()g x =是相同函数 ；7. 函数x y e =是奇函数；8. y x =与y =是同一函数； 9. 函数31y x x =++是奇函数；10. 函数1arcsin 2x y -=的定义域是(1,3)- ；11. y x =与 2x y x=不是同一个函数；函数函数关系函数的表示基本初等函数，初等函数复合函数 分段函数 反函数 函数的性质单调性奇偶性周期性有界性经济学常用函数建立函数关系（应用问题）集合 实数集(区间)集合的运算 交、并、差12. 函数cos y x x =是偶函数 .填空题1. 设23,,tan ,u y u v v x ===则复合函数为()y f x == _________；2. 设xx f 1)(=,x x g -=1)(,则)]([x g f = _______ ；3. 复合函数2(sin )x y e =是由 ________, ________, _______函数复合而成的；4. 已知11()1f x x =-,则 (2)f = __________ ；5.y =+其定义域为 __________ ；6. 设函数2()1x f x x -=-,则(1)f -= __________；7. 考虑奇偶性,函数ln(y x =为 ___________ 函数 ；8. 函数2x y e =的反函数是 ,它的图象与2x y e =的图象关于________ 对称 .选择题1. 函数32--=x x y 的定义域是 ( ) (A) (2,)+∞ (B)[2,]+∞ (C)(,3)(3,)-∞+∞ (D)[2,3)(3,)+∞2. 函数 22)1(-=x x y 在区间 (0,1) 内 ( )(A) 单调增加 (B) 单调减少 (C) 不增不减 (D)有增有减 3. 下列函数中，是奇函数的是 ( )(A)42y x x =- (B) 2y x x =- (C)22x x y -=- (D)22x x y -=+4. 已知函数 20()10ax bx f x x x +<⎧=⎨+≥⎩，则(0)f 的值为 ( )(A) a b + (B) b a - (C) 1 (D) 2第二章 极限与连续一、知识结构：二、例题：判断题1. 函数在点0x 处有极限，则函数在0x 点极必连续；2. 0x →时,x 与sin x 是等价无穷小量；3. 若00(0)(0)f x f x -=+，则)(x f 必在0x 点连续；4. 当0x →时，2sin x x +与x 相比是高阶无穷小；5. 函数221y x =+在(,)-∞+∞内是单调的函数；6. 设)(x f 在点0x 处连续，则00(0)(0)f x f x -=+ ；7. 函数 21sin ,0()0,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 在0x =点连续； 8. 1=x 是函数122--=x x y 的间断点；9. ()sin f x x =是一个无穷小量；10. 当0→x 时，x 与)1ln(2x +是等价的无穷小量； 11. 若 )(lim 0x f x x → 存在，则)(x f 在0x 处有定义；极限连续极限 连续极限的 定义极限的性质数列极限 连续的定义一点处的连续 开区间上连续 闭区间上连续闭区间连续函数的性质有界性最值性介值性零点定理极限的计算函数极限 唯一性 有界性 保号性四则运算夹逼准则 无穷小性质及等价无穷小代换两个重要极限连续函数的计算 连续函数的四则运算 连续函数的复合无穷小与无穷大及关系由连续性求极限初等函数的连续性间断点及类型12. 若x 与y 是同一过程下两个无穷大量，则x y -在该过程下是无穷小量； 13. 22--=x y 是一个复合函数；14. 21sin lim0=+→x x x x ； 15. 11,0,,0,,0,481数列收敛2；16. 函数 1sin y x x= 在 0x = 点连续；17. 0x =是函数ln(2)x y x-=的间断点；18. 以零为极限的变量是无穷小量；填空题1. sin limx xx→∞= _______ ；2. xx xx sin lim +∞→ = _______ ； 3. 函数 922-+=x x y 在 _______ 处间断；4. 1253lim 22-+∞→n n n n = _______； 5. 当 0x → 时，1cos x - 是比 x ______ 阶的无穷小量；6. 当 0x → 时， 若 sin 2x 与 ax 是等价无穷小量，则 a = ______；7.0)lim sin x x x+→= __________ ； 8. 设 sin 2,0(),0xx f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 连续，则 a = _________ ；9.0h →=___________ ；10. 2lim(1)x x x→∞-=________；11. 0ln(13)limsin 3x x x →+=_________ ； 12. 设 21,0()0,0x e x f x x -⎧⎪≠=⎨⎪=⎩ 在 0x = 处________（是、否）连续；13. 当0x →时,23是______（同阶、等价）无穷小量.选择题1. 当0x →时，xy 1sin= 为 ( ) (A) 无穷小量 (B) 无穷大量 (C)有界变量但不是无穷小量 (D)无界变量 2. 1x +→时，下列变量中为无穷大量的是 ( )(A) 113-x (B) 112--x x (C) x 1 (D) 112--x x3.已知函数2,()1,f x x ⎧-⎪=-⎨11001x x x ≤--<<≤<，则1lim ()x f x →- 和 0lim ()x f x →( )(A) 都存在 (B) 都不存在(C) 第一个存在,第二个不存在 (D) 第一个不存在，第二个存在4. 函数 ()12xf x ⎧⎪=⎨⎪⎩ 11x x ≠= 的连续区间是 ( ) (A)(,1)-∞ (B)(1,)+∞ (C)(,1)(1,)-∞+∞ (D) (,)-∞+∞5. 设 232,0()2,0x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，则 0lim ()x f x +→= ( ) (A) 2 (B) 0 (C) 1- (D) 2-7. 函数 1,0()1,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩ ，在 0x = 处 ( )(A) 左连续 (B) 右连续 (C) 连续 (D) 左、右皆不连续8. 02lim5arcsin x xx→= ( ) (A) 0 (B) 不存在 (C) 25(D) 19. ()f x 在点 0x x = 处有定义，是 ()f x 在 0x x =处连续的 ( )(A) 必要条件 (B) 充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 无关条件 10. 下列极限存在的有 ( )(A)2(1)lim x x x x →∞+ (B) 01lim 21x x →- (C) 10lim xx e →(D) x 计算与应用题1. 设)(x f 在点2x =处连续，且232,2,()2,2x x x f x x a x ⎧-+≠⎪=-⎨⎪=⎩，求 a .2. 求极限:(1)20cos 1lim 2x x x →- ; (2)121lim()21x x x x +→∞+-; (3)3721lim 5x x x x →∞-+-; (4)xx x 10)41(lim -→ ;(5)30(1cos )tan lim x x x x →-; (6)2111lim()222n n →∞+++ ; (7)22lim(1)nn n→∞-; (8)lim()1x x x x →∞+;(9)lim x →- (10)3131lim()11x x x →---. 3. 求极限:(1)32202lim x x x x →- ; (2) 2202lim x x x x →-; (3)34205lim x x x x x→-+; (4) 3352011lim 20125x x x x →∞-+-; (5) 35112113114lim 2012115x x x x →∞-+-; (6) 53112113114lim 2012115x x x x →∞-+-; (7)01lim sin x x x →; (8) 1lim sin x x x →∞; (9) 01lim sin x x x →; (10) 11lim sin x x x →∞.第三章 导数与微分一、知识结构：二、例题：判断题1. 若函数)(x f 在0x 点可导，则00()[()]f x f x ''=；2. 若)(x f 在0x 处可导，则 )(lim 0x f x x → 一定存在；3. 函数 x x f =)( 在其定义域内可导；4. 若 )(x f 在 [,]a b 上连续，则 )(x f 在 (,)a b 内一定可导；5. ()(),()f x f x y e y e f x ''''==已知则；6. 函数 22,1()ln ,014x x f x x x ⎧≥⎪=⎨<<⎪⎩ 在 1x = 点可导；7. 若 (),n f x x = 则 ()(0)!n f n = ；8. 2d()2ax b ax += ；9. 若 ()f x 在 0x 点不可导，则 ()f x 在 0x 不连续； 10. 函数 ()f x x x = 在点 0x = 处不可导 .填空题1. ()f x =则(0)f '= _________ ；导数微分导数微分导数的定义左导数 微分的计算基本微分公式微分形式不变性 微分在近似计算中的应用导数的计算极限的计算右导数基本公式导数四则运算 隐函数导数（对数求导，参数方程求导）反函数求导 可微的定义可微、可导及连续的关系 可微的几何意义复合函数求导导数的几何意义，切线方程 高阶导数可导与连续的关系2. 曲线3y x =在点(1,1)处的切线方程是 ________ ；3. 设ln e x e y x e x e =+++，则y '= ______ ；4. sin(1)x y e =+ ,dy =_______ ；5. 设222e x y x +=，则y ' = ________ ；6. 设e x y n +=，则()n y = ________ ；7. 曲线x e x y +=在点 (0,1) 的处的切线方程是_______；8. 若)(x u 与)(x v 在x 处可导,则])()(['x v x u = _________ ；9. sin ()x x '= _______；10. 设)(x f 在0x 处可导,且A x f =')(0,则000(2)(3)limh f x h f x h h→+--= _______ ； 11. 导数的几何意义为 ________________________ ；12.曲线y =在(1,1)处的切线方程是 ___________ ；13. 曲线31y x =+在(1,0)-处的切线方程是 ___________ ； 14. 函数32sin(1)y x x =+的微分dy =__________ ； 15. 曲线2y x =在点(0,0)处切线方程是_________ ； 16. sin y x =的n (n 是正整数)阶导数是 ________ .选择题1. 设)(x f 在点0x 处可导，则下列命题中正确的是 ( )(A) 000()()lim x x f x f x x x →-- 存在 (B) 000()()lim x x f x f x x x →--不存在(C) 00()()lim x x f x f x x →+-存在 (D) 00()()lim x f x f x x∆→-∆不存在2. 设)(x f 在点0x 处可导且0001lim (2)()4x x f x x f x →=--，则0()f x '等于 ( )(A) 4 (B) –4 (C) 2 (D) –23. 设21,10()1,02x x f x x ⎧+-<≤=⎨<≤⎩ ，则)(x f 在点x = 0处 ( )(A) 可导 (B) 连续但不可导 (C) 不连续 (D) 无定义 4. 设()y f x =可导，则(2)()f x h f x --= ( )(A)()()f x h o h '+ (B)2()()f x h o h '-+ (C)()()f x h o h '-+ (D)2()()f x h o h '+5. 设(0)0f =,且0()lim x f x x →存在，则0()limx f x x→＝( ) (A) ()f x ' (B) (0)f ' (C) (0)f (D) 1(0)2f '6. 函数)(x f e y =,则="y ( )(A) )(x f e (B) )(")(x f e x f (C) 2)()]('[x f e x f (D) )}(")]('{[2)(x f x f e x f + 7. 函数 x x x f )1()(-=的导数为 ( )(A)x x x )1(- (B)1)1(--x x (C)x x x ln (D))]1ln(1[)1(-+--x x xx x8. 函数)(x f 在0x x =处连续，是)(x f 在0x 处可导的 ( )(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 9. 已知ln y x x =，则(10)y =( )(A) 91x - (B) 91x (C) 98!x (D) 98!x-10. 函数xxx f =)(在0=x 处 ( )(A) 连续但不可导 (B) 连续且可导 (C)极限存在但不连续 (D)不连续也不可导11. 函数 1,0()1,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩，在 0x = 处 ( )(A) 左连续 (B) 右连续 (C) 连续 (D) 左、右皆不连续 12. 设x x y e e -=+,则y ''=( )(A) x x e e -+ (B) x x e e -- (C) x x e e --- (D) x x e e --+13. 函数0,0()1,0x f x x x≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ ,在点0x =不连续是因为 ( ) (A)(00)(0)f f +≠ (B)(00)(0)f f -≠ (C)(00)f +不存在 (D)(00)f -不存在14. 设1(2)1f x x +=+ ，则()f x '=( )(A) 21(1)x -- (B) 21(1)x -+ (C) 11x + (D) 11x -- 15. 已知函数2ln y x =,则dy =（ ）(A) 2dx x (B) 2x (C) 21x (D) 21dx x16. 设21cos ,0()0,01tan ,0x x x f x x x x x⎧<⎪⎪==⎨⎪⎪>⎩ ，则()f x 在0x =处（ ） (A)极限不存在 (B)极限存在，但不连续 (C)连续但不可导 (D)可导 17. 已知sin y x =，则(10)y = ( )(A) sin x (B) cos x (C) sin x - (D) cos x - 计算与应用题1. 设 f (x ) =xaa a x arccos 22-- (0a >), 求(2)f a '-. 2. 设ln()y xy =确定y 是x 的函数，求dxdy.3. 设xx y 1cos 1ln +=，求dy .4. 设21(1)arctan cos 2y x x x =++，求y '.5.设x y e y ln =确定y 是x 的函数，求dxdy.6. 设)ln(ln x y =，求dy7. 221arcsin x y e x x=+-y , 求y '及dy .8. ln tan ln sin 2xy =+，求y '及dy .9. sin()y x y =+，求y ',dy 并求其在点(,0)π处的切线与法线方程.10. 221cos 5ln xx y -+=,求 y '及dy .11. y e =y '及dy .12. xy e y x -=，求y ',dy 并求其在点(0,1)处的切线与法线方程. 13. 已知2cos 3y x =，求y '. 14. 设22sin 0y x y --=， 求y '. 15. 求13cos x y e x -= 的微分.16. 设ln(y x x =+，求y '. 17. 设cos2x y e = ，求dy .18. 方程0y x e e xy -+=确定y 是x 的函数，求y '.19. 设22arctan()1xy x=- ，求y '. 20. 方程2cos 0y y x e +=确定y 是x 的函数，求y '. 21. 3cos cos x y x x e =+，求dy . 22. ln y x x =，求y ''.23. 已知 ln(y x =+，求y '.24. 设 2011201220112011x x y x x =+++，求y '.25. 已知()sin3f x x =，求()2f π''.26. 求2xe y x=的微分.27. 求由参数方程cos sin x a t y b t=⎧⎨=⎩(a ,b 均为正实数)所确定函数的导数dydx .28. 求由参数方程3cos sin x t t t y t t⎧=+⎨=-⎩(a ,b 均为正实数)所确定函数的导数dydx .第四章 函数一、知识结构：二、例题：判断题1. y 轴是曲线24(1)2x y x +=-的铅垂渐近线； 2. 曲线3y x x =-在(,0)-∞是下凹的，在(0,)+∞是上凹的；3. 1x =是31()3f x x x =-在 [2,2]-+上的极小值点；4. 曲线y =在0x =点没有切线；5. 函数可导，极值点必为驻点；6. 函数的极值只可能发生在驻点和不可导点；7. 直线2y =-是曲线2)1(42-+=x x y 的水平渐近线； 8. 12x =是曲线234161x x y -=的拐点；9. 若)(x f 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，12a x x b <<<，则至少存在一点 12(,)x x ξ∈，使得 ))(()()(a b f a f b f -'=-ξ；10. 若0)(0='x f ，0)(0<''x f ，则)(0x f 是)(x f 的极大值；11. 函数)12ln()(+=x x f 在[0,2]上满足拉格朗日定理； 12. 若0x x =是函数)(x f 的极值点，则0)('0=x f ； 13. 函数)(x f 在[,]a b 上的极大值一定大于极小值； 14. 当x 很小时，ln(1)x x +≈；中值定理及应用中值定理罗尔定理 中值定理的应用洛必达法则函数的单调性极值 曲线的凹向 拐点 柯西定理 最大值与应用问题渐近线，函数作图边际与弹性分析定义：求所有的原函数15. 30sin 1lim3x x x x →-= ； 16. 曲线 3y x = 的拐点是 (0,0)；17. 函数 ()y f x = 在 0x x = 点处取得极大值，则 0()0f x '= 或不存在； 18. 0()0f x '=是可导函数()y f x =在0x x =点处取得极值的充要条件； 19. 曲线 1ln y x =+ 没有拐点；20. 设()()()f x x a x ϕ=-，其中函数()x ϕ在x a =处可导，则 ()()f a a ϕ'= ；21. 因为 1y x = 在区间(0,1)内连续，所以在(0,1)内 1y x= 必有最大值； 填空题1. 求曲线 21x y x =+ 的渐近线为________ ； 2. lim nax x x e→+∞ （ 0,a > n 为正整数）= ________ ； 3. 幂函数 y x α=（ α为常数）的弹性函数是 _________ ；4. 设 322++=ax x y 在点 1x = 处取得极小值，则 a = _______ ；5. 设 3)(a x y -= 在 (1,)+∞ 是上凹的，则 a = ______ ；6. 若函数 )(x f 在区间 (,)a b 内恒有 ()0f x ''>，则曲线 )(x f y = 在 (,)a b 内的凹向是_______；7. 若 3)(-=''x x f ，则曲线 )(x f y = 的拐点横坐标是 ______ ；8. 函数 32y x =+ 在 3x = 处的弹性是 ________ ；9. x y e -= 的渐近线为 _______ ；10. 设需求函数(83)Q p p =-，P 为价格，则需求弹性值2P EQ Ep ==_______ ； 11.函数y =[0,5]上满足罗尔中值定理的ξ= ______ ；12. 函数22y x x =-在[0,2]上满足拉格朗日中值定理的 ξ=__________ ；13. 函数y x =在区间 [0,1] 上的最小值是 _________ .选择题1.函数 sin y x = 在区间 [0,]π 上满足罗尔定理的 ξ= ( )(A) 0 (B) 4π (C) 2π (D) π 2. 曲线 21x y x=+ 的铅垂渐近线的方程是 ( ) (A) 1y =- (B) 1y = (C) 1x =- (D) 1x =3. 函数 ()y f x = 在点 0x x = 处取得极大值，则必有（ ）(A) 0()0f x '= (B) 0()0f x ''<(C) 0()0f x '= 且 0()0f x ''< (D) 0()0f x '= 或不存在 计算与应用题1. 求极限： (1)11lim()1ln x x x x →--; (2) 011lim()1x x x e →--; (3) sin 0lim x x x +→; (4)10lim (1sin )x x x +→+.2. 设某产品价格与销量的关系为 10P Q =-（Q 为销量），求：(1) 销量为 30 时的总收益；(2) 销量为 30时的平均收益；(3) 销量为 30时的边际收益；(4) 销量为 30时，销量对价格的弹性。
